Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem39.a |
|- ( ph -> A e. RR ) |
2 |
|
fourierdlem39.b |
|- ( ph -> B e. RR ) |
3 |
|
fourierdlem39.aleb |
|- ( ph -> A <_ B ) |
4 |
|
fourierdlem39.f |
|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) |
5 |
|
fourierdlem39.g |
|- G = ( RR _D F ) |
6 |
|
fourierdlem39.gcn |
|- ( ph -> G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
7 |
|
fourierdlem39.gbd |
|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) |
8 |
|
fourierdlem39.r |
|- ( ph -> R e. RR+ ) |
9 |
|
cncff |
|- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC ) |
10 |
4 9
|
syl |
|- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC ) |
11 |
10
|
feqmptd |
|- ( ph -> F = ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) ) |
12 |
11
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) = F ) |
13 |
12 4
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) |
14 |
|
coscn |
|- cos e. ( CC -cn-> CC ) |
15 |
14
|
a1i |
|- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) ) |
16 |
1 2
|
iccssred |
|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR ) |
17 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
18 |
16 17
|
sstrdi |
|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC ) |
19 |
8
|
rpred |
|- ( ph -> R e. RR ) |
20 |
19
|
recnd |
|- ( ph -> R e. CC ) |
21 |
|
ssid |
|- CC C_ CC |
22 |
21
|
a1i |
|- ( ph -> CC C_ CC ) |
23 |
18 20 22
|
constcncfg |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> R ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) |
24 |
18 22
|
idcncfg |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> x ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) |
25 |
23 24
|
mulcncf |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( R x. x ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) |
26 |
15 25
|
cncfmpt1f |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( cos ` ( R x. x ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) |
27 |
8
|
rpcnne0d |
|- ( ph -> ( R e. CC /\ R =/= 0 ) ) |
28 |
|
eldifsn |
|- ( R e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( R e. CC /\ R =/= 0 ) ) |
29 |
27 28
|
sylibr |
|- ( ph -> R e. ( CC \ { 0 } ) ) |
30 |
|
difssd |
|- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC ) |
31 |
18 29 30
|
constcncfg |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> R ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) ) |
32 |
26 31
|
divcncf |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) |
33 |
32
|
negcncfg |
|- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) |
34 |
|
cncff |
|- ( G e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> G : ( A (,) B ) --> CC ) |
35 |
6 34
|
syl |
|- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> CC ) |
36 |
35
|
feqmptd |
|- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) ) |
37 |
36
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) = G ) |
38 |
37 6
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
39 |
|
sincn |
|- sin e. ( CC -cn-> CC ) |
40 |
39
|
a1i |
|- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) ) |
41 |
|
ioosscn |
|- ( A (,) B ) C_ CC |
42 |
41
|
a1i |
|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC ) |
43 |
42 20 22
|
constcncfg |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> R ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
44 |
42 22
|
idcncfg |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> x ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
45 |
43 44
|
mulcncf |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( R x. x ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
46 |
40 45
|
cncfmpt1f |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( R x. x ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
47 |
|
ioombl |
|- ( A (,) B ) e. dom vol |
48 |
47
|
a1i |
|- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol ) |
49 |
|
volioo |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) ) |
50 |
1 2 3 49
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) ) |
51 |
2 1
|
resubcld |
|- ( ph -> ( B - A ) e. RR ) |
52 |
50 51
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR ) |
53 |
|
eqid |
|- ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) |
54 |
|
ioossicc |
|- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) |
55 |
54
|
a1i |
|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) ) |
56 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC ) |
57 |
55
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A [,] B ) ) |
58 |
56 57
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC ) |
59 |
53 13 55 22 58
|
cncfmptssg |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
60 |
59 46
|
mulcncf |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
61 |
|
cniccbdd |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> E. y e. RR A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
62 |
1 2 4 61
|
syl3anc |
|- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
63 |
|
nfra1 |
|- F/ z A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y |
64 |
54
|
sseli |
|- ( z e. ( A (,) B ) -> z e. ( A [,] B ) ) |
65 |
|
rspa |
|- ( ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
66 |
64 65
|
sylan2 |
|- ( ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
67 |
66
|
ex |
|- ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> ( z e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) ) |
68 |
63 67
|
ralrimi |
|- ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
69 |
68
|
a1i |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) ) |
70 |
69
|
reximdva |
|- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> E. y e. RR A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) ) |
71 |
62 70
|
mpd |
|- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
72 |
|
nfv |
|- F/ z ( ph /\ y e. RR ) |
73 |
|
nfra1 |
|- F/ z A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y |
74 |
72 73
|
nfan |
|- F/ z ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
75 |
|
simpll |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> ( ph /\ y e. RR ) ) |
76 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) |
77 |
19
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> R e. RR ) |
78 |
|
elioore |
|- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. RR ) |
79 |
78
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. RR ) |
80 |
77 79
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. x ) e. RR ) |
81 |
80
|
resincld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( R x. x ) ) e. RR ) |
82 |
81
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( R x. x ) ) e. CC ) |
83 |
58 82
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) e. CC ) |
84 |
83
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) e. CC ) |
85 |
|
dmmptg |
|- ( A. x e. ( A (,) B ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) e. CC -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) = ( A (,) B ) ) |
86 |
84 85
|
syl |
|- ( ph -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) = ( A (,) B ) ) |
87 |
86
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) = ( A (,) B ) ) |
88 |
76 87
|
eleqtrd |
|- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) ) |
89 |
88
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) ) |
90 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
91 |
88
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) ) |
92 |
|
rspa |
|- ( ( A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
93 |
90 91 92
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
94 |
93
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
95 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) |
96 |
|
fveq2 |
|- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) ) |
97 |
|
oveq2 |
|- ( x = z -> ( R x. x ) = ( R x. z ) ) |
98 |
97
|
fveq2d |
|- ( x = z -> ( sin ` ( R x. x ) ) = ( sin ` ( R x. z ) ) ) |
99 |
96 98
|
oveq12d |
|- ( x = z -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) = ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) |
100 |
99
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ x = z ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) = ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) |
101 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. ( A (,) B ) ) |
102 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC ) |
103 |
54 101
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. ( A [,] B ) ) |
104 |
102 103
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` z ) e. CC ) |
105 |
20
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R e. CC ) |
106 |
41 101
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. CC ) |
107 |
105 106
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. z ) e. CC ) |
108 |
107
|
sincld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( R x. z ) ) e. CC ) |
109 |
104 108
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) e. CC ) |
110 |
95 100 101 109
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) |
111 |
110
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) ) |
112 |
104 108
|
absmuld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) x. ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) ) |
113 |
111 112
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) ) |
114 |
113
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) ) |
115 |
114
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) = ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) ) |
116 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ph ) |
117 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> z e. ( A (,) B ) ) |
118 |
116 117 104
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( F ` z ) e. CC ) |
119 |
118
|
abscld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR ) |
120 |
20
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> R e. CC ) |
121 |
41 117
|
sseldi |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> z e. CC ) |
122 |
120 121
|
mulcld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( R x. z ) e. CC ) |
123 |
122
|
sincld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( sin ` ( R x. z ) ) e. CC ) |
124 |
123
|
abscld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) e. RR ) |
125 |
119 124
|
remulcld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) e. RR ) |
126 |
|
1red |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> 1 e. RR ) |
127 |
119 126
|
remulcld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) e. RR ) |
128 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> y e. RR ) |
129 |
128 126
|
remulcld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( y x. 1 ) e. RR ) |
130 |
108
|
abscld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) e. RR ) |
131 |
|
1red |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR ) |
132 |
104
|
abscld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR ) |
133 |
104
|
absge0d |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) |
134 |
19
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R e. RR ) |
135 |
|
elioore |
|- ( z e. ( A (,) B ) -> z e. RR ) |
136 |
135
|
adantl |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. RR ) |
137 |
134 136
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. z ) e. RR ) |
138 |
|
abssinbd |
|- ( ( R x. z ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) <_ 1 ) |
139 |
137 138
|
syl |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) <_ 1 ) |
140 |
130 131 132 133 139
|
lemul2ad |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) ) |
141 |
140
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) ) |
142 |
141
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) ) |
143 |
|
0le1 |
|- 0 <_ 1 |
144 |
143
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> 0 <_ 1 ) |
145 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) |
146 |
119 128 126 144 145
|
lemul1ad |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. 1 ) <_ ( y x. 1 ) ) |
147 |
125 127 129 142 146
|
letrd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) x. ( abs ` ( sin ` ( R x. z ) ) ) ) <_ ( y x. 1 ) ) |
148 |
115 147
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ ( y x. 1 ) ) |
149 |
128
|
recnd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> y e. CC ) |
150 |
149
|
mulid1d |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( y x. 1 ) = y ) |
151 |
148 150
|
breqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) |
152 |
75 89 94 151
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) |
153 |
152
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> ( z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) ) |
154 |
74 153
|
ralrimi |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y ) -> A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) |
155 |
154
|
ex |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) ) |
156 |
155
|
reximdva |
|- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` z ) ) <_ y -> E. y e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) ) |
157 |
71 156
|
mpd |
|- ( ph -> E. y e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) ` z ) ) <_ y ) |
158 |
48 52 60 157
|
cnbdibl |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) e. L^1 ) |
159 |
15 45
|
cncfmpt1f |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( R x. x ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
160 |
42 29 30
|
constcncfg |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> R ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) ) |
161 |
159 160
|
divcncf |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
162 |
161
|
negcncfg |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
163 |
38 162
|
mulcncf |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
164 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR ) |
165 |
19
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> R e. RR ) |
166 |
8
|
rpne0d |
|- ( ph -> R =/= 0 ) |
167 |
166
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> R =/= 0 ) |
168 |
164 165 167
|
redivcld |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y / R ) e. RR ) |
169 |
168
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) -> ( y / R ) e. RR ) |
170 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) |
171 |
35
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC ) |
172 |
20
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> R e. CC ) |
173 |
78
|
recnd |
|- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. CC ) |
174 |
173
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. CC ) |
175 |
172 174
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. x ) e. CC ) |
176 |
175
|
coscld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( R x. x ) ) e. CC ) |
177 |
166
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> R =/= 0 ) |
178 |
176 172 177
|
divcld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) e. CC ) |
179 |
178
|
negcld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) e. CC ) |
180 |
171 179
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. CC ) |
181 |
180
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. CC ) |
182 |
181
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> A. x e. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. CC ) |
183 |
|
dmmptg |
|- ( A. x e. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) e. CC -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( A (,) B ) ) |
184 |
182 183
|
syl |
|- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( A (,) B ) ) |
185 |
170 184
|
eleqtrd |
|- ( ( ph /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) ) |
186 |
185
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> z e. ( A (,) B ) ) |
187 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) |
188 |
|
fveq2 |
|- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) ) |
189 |
97
|
fveq2d |
|- ( x = z -> ( cos ` ( R x. x ) ) = ( cos ` ( R x. z ) ) ) |
190 |
189
|
oveq1d |
|- ( x = z -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) |
191 |
190
|
negeqd |
|- ( x = z -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) |
192 |
188 191
|
oveq12d |
|- ( x = z -> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) |
193 |
192
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ x = z ) -> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) |
194 |
35
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. CC ) |
195 |
107
|
coscld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( R x. z ) ) e. CC ) |
196 |
166
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R =/= 0 ) |
197 |
195 105 196
|
divcld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) e. CC ) |
198 |
197
|
negcld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) e. CC ) |
199 |
194 198
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) e. CC ) |
200 |
187 193 101 199
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) = ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) |
201 |
200
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) ) |
202 |
201
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) ) |
203 |
35
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) -> G : ( A (,) B ) --> CC ) |
204 |
203
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. CC ) |
205 |
204
|
abscld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR ) |
206 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> y e. RR ) |
207 |
20
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R e. CC ) |
208 |
106
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. CC ) |
209 |
207 208
|
mulcld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( R x. z ) e. CC ) |
210 |
209
|
coscld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( R x. z ) ) e. CC ) |
211 |
166
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R =/= 0 ) |
212 |
210 207 211
|
divcld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) e. CC ) |
213 |
212
|
negcld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) e. CC ) |
214 |
213
|
abscld |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) e. RR ) |
215 |
8
|
rprecred |
|- ( ph -> ( 1 / R ) e. RR ) |
216 |
215
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / R ) e. RR ) |
217 |
204
|
absge0d |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( G ` z ) ) ) |
218 |
213
|
absge0d |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) |
219 |
188
|
fveq2d |
|- ( x = z -> ( abs ` ( G ` x ) ) = ( abs ` ( G ` z ) ) ) |
220 |
219
|
breq1d |
|- ( x = z -> ( ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) ) |
221 |
220
|
rspccva |
|- ( ( A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) |
222 |
221
|
adantll |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ y ) |
223 |
197
|
absnegd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) = ( abs ` ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) |
224 |
195 105 196
|
absdivd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) = ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / ( abs ` R ) ) ) |
225 |
8
|
rpge0d |
|- ( ph -> 0 <_ R ) |
226 |
19 225
|
absidd |
|- ( ph -> ( abs ` R ) = R ) |
227 |
226
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / ( abs ` R ) ) = ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / R ) ) |
228 |
227
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / ( abs ` R ) ) = ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / R ) ) |
229 |
223 224 228
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) = ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / R ) ) |
230 |
195
|
abscld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) e. RR ) |
231 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> R e. RR+ ) |
232 |
|
abscosbd |
|- ( ( R x. z ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) <_ 1 ) |
233 |
137 232
|
syl |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) <_ 1 ) |
234 |
230 131 231 233
|
lediv1dd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( cos ` ( R x. z ) ) ) / R ) <_ ( 1 / R ) ) |
235 |
229 234
|
eqbrtrd |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) <_ ( 1 / R ) ) |
236 |
235
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) <_ ( 1 / R ) ) |
237 |
205 206 214 216 217 218 222 236
|
lemul12ad |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) x. ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) <_ ( y x. ( 1 / R ) ) ) |
238 |
194 198
|
absmuld |
|- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) = ( ( abs ` ( G ` z ) ) x. ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) ) |
239 |
238
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) = ( ( abs ` ( G ` z ) ) x. ( abs ` -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) ) |
240 |
206
|
recnd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> y e. CC ) |
241 |
240 207 211
|
divrecd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( y / R ) = ( y x. ( 1 / R ) ) ) |
242 |
237 239 241
|
3brtr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) x. -u ( ( cos ` ( R x. z ) ) / R ) ) ) <_ ( y / R ) ) |
243 |
202 242
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) |
244 |
186 243
|
syldan |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) /\ z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) |
245 |
244
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) -> A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) |
246 |
|
breq2 |
|- ( w = ( y / R ) -> ( ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w <-> ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) ) |
247 |
246
|
ralbidv |
|- ( w = ( y / R ) -> ( A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w <-> A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) ) |
248 |
247
|
rspcev |
|- ( ( ( y / R ) e. RR /\ A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ ( y / R ) ) -> E. w e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w ) |
249 |
169 245 248
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( G ` x ) ) <_ y ) -> E. w e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w ) |
250 |
249 7
|
r19.29a |
|- ( ph -> E. w e. RR A. z e. dom ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ( abs ` ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) ` z ) ) <_ w ) |
251 |
48 52 163 250
|
cnbdibl |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) e. L^1 ) |
252 |
12
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) ) |
253 |
5
|
eqcomi |
|- ( RR _D F ) = G |
254 |
253
|
a1i |
|- ( ph -> ( RR _D F ) = G ) |
255 |
252 254 36
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A [,] B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) ) |
256 |
|
reelprrecn |
|- RR e. { RR , CC } |
257 |
256
|
a1i |
|- ( ph -> RR e. { RR , CC } ) |
258 |
20
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R e. CC ) |
259 |
|
recn |
|- ( x e. RR -> x e. CC ) |
260 |
259
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC ) |
261 |
258 260
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( R x. x ) e. CC ) |
262 |
261
|
coscld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( cos ` ( R x. x ) ) e. CC ) |
263 |
166
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R =/= 0 ) |
264 |
262 258 263
|
divcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) e. CC ) |
265 |
264
|
negcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) e. CC ) |
266 |
19
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R e. RR ) |
267 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR ) |
268 |
266 267
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( R x. x ) e. RR ) |
269 |
268
|
resincld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sin ` ( R x. x ) ) e. RR ) |
270 |
269
|
renegcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` ( R x. x ) ) e. RR ) |
271 |
270 266
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) e. RR ) |
272 |
271 266 263
|
redivcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) e. RR ) |
273 |
272
|
renegcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) e. RR ) |
274 |
|
recoscl |
|- ( y e. RR -> ( cos ` y ) e. RR ) |
275 |
274
|
adantl |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( cos ` y ) e. RR ) |
276 |
275
|
recnd |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( cos ` y ) e. CC ) |
277 |
|
resincl |
|- ( y e. RR -> ( sin ` y ) e. RR ) |
278 |
277
|
renegcld |
|- ( y e. RR -> -u ( sin ` y ) e. RR ) |
279 |
278
|
adantl |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> -u ( sin ` y ) e. RR ) |
280 |
|
1red |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. RR ) |
281 |
257
|
dvmptid |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) ) |
282 |
257 260 280 281 20
|
dvmptcmul |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( R x. x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( R x. 1 ) ) ) |
283 |
258
|
mulid1d |
|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( R x. 1 ) = R ) |
284 |
283
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( x e. RR |-> ( R x. 1 ) ) = ( x e. RR |-> R ) ) |
285 |
282 284
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( R x. x ) ) ) = ( x e. RR |-> R ) ) |
286 |
|
dvcosre |
|- ( RR _D ( y e. RR |-> ( cos ` y ) ) ) = ( y e. RR |-> -u ( sin ` y ) ) |
287 |
286
|
a1i |
|- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( cos ` y ) ) ) = ( y e. RR |-> -u ( sin ` y ) ) ) |
288 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( R x. x ) -> ( cos ` y ) = ( cos ` ( R x. x ) ) ) |
289 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( R x. x ) -> ( sin ` y ) = ( sin ` ( R x. x ) ) ) |
290 |
289
|
negeqd |
|- ( y = ( R x. x ) -> -u ( sin ` y ) = -u ( sin ` ( R x. x ) ) ) |
291 |
257 257 268 266 276 279 285 287 288 290
|
dvmptco |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` ( R x. x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) ) ) |
292 |
257 262 271 291 20 166
|
dvmptdivc |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) ) |
293 |
257 264 272 292
|
dvmptneg |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) ) |
294 |
|
eqid |
|- ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld ) |
295 |
294
|
tgioo2 |
|- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR ) |
296 |
|
iccntr |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) ) |
297 |
1 2 296
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) ) |
298 |
257 265 273 293 16 295 294 297
|
dvmptres2 |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A [,] B ) |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) ) |
299 |
82 172
|
mulneg1d |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) = -u ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) ) |
300 |
299
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( -u ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) |
301 |
82 172
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) e. CC ) |
302 |
301 172 177
|
divnegd |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( -u ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) |
303 |
300 302
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = -u ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) |
304 |
303
|
negeqd |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = -u -u ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) |
305 |
301 172 177
|
divcld |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) e. CC ) |
306 |
305
|
negnegd |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u -u ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) |
307 |
82 172 177
|
divcan4d |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( sin ` ( R x. x ) ) ) |
308 |
304 306 307
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) = ( sin ` ( R x. x ) ) ) |
309 |
308
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> -u ( ( -u ( sin ` ( R x. x ) ) x. R ) / R ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) |
310 |
298 309
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A [,] B ) |-> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( R x. x ) ) ) ) |
311 |
|
fveq2 |
|- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) ) |
312 |
|
oveq2 |
|- ( x = A -> ( R x. x ) = ( R x. A ) ) |
313 |
312
|
fveq2d |
|- ( x = A -> ( cos ` ( R x. x ) ) = ( cos ` ( R x. A ) ) ) |
314 |
313
|
oveq1d |
|- ( x = A -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) |
315 |
314
|
negeqd |
|- ( x = A -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) |
316 |
311 315
|
oveq12d |
|- ( x = A -> ( ( F ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( F ` A ) x. -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) ) |
317 |
316
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ( F ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( F ` A ) x. -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) ) |
318 |
|
fveq2 |
|- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) ) |
319 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( R x. x ) = ( R x. B ) ) |
320 |
319
|
fveq2d |
|- ( x = B -> ( cos ` ( R x. x ) ) = ( cos ` ( R x. B ) ) ) |
321 |
320
|
oveq1d |
|- ( x = B -> ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) |
322 |
321
|
negeqd |
|- ( x = B -> -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) = -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) |
323 |
318 322
|
oveq12d |
|- ( x = B -> ( ( F ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( F ` B ) x. -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) ) |
324 |
323
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x = B ) -> ( ( F ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) = ( ( F ` B ) x. -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) ) |
325 |
1 2 3 13 33 38 46 158 251 255 310 317 324
|
itgparts |
|- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( R x. x ) ) ) _d x = ( ( ( ( F ` B ) x. -u ( ( cos ` ( R x. B ) ) / R ) ) - ( ( F ` A ) x. -u ( ( cos ` ( R x. A ) ) / R ) ) ) - S. ( A (,) B ) ( ( G ` x ) x. -u ( ( cos ` ( R x. x ) ) / R ) ) _d x ) ) |