Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem39.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem39.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
fourierdlem39.aleb |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
4 |
|
fourierdlem39.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
5 |
|
fourierdlem39.g |
⊢ 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 ) |
6 |
|
fourierdlem39.gcn |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
7 |
|
fourierdlem39.gbd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) |
8 |
|
fourierdlem39.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+ ) |
9 |
|
cncff |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
10 |
4 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
11 |
10
|
feqmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
12 |
11
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐹 ) |
13 |
12 4
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
14 |
|
coscn |
⊢ cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
15 |
14
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
16 |
1 2
|
iccssred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
17 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
18 |
16 17
|
sstrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
19 |
8
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ ) |
20 |
19
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ ) |
21 |
|
ssid |
⊢ ℂ ⊆ ℂ |
22 |
21
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ ) |
23 |
18 20 22
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
24 |
18 22
|
idcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
25 |
23 24
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
26 |
15 25
|
cncfmpt1f |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
27 |
8
|
rpcnne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ) |
28 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑅 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( 𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ) |
29 |
27 28
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
30 |
|
difssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℂ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ ) |
31 |
18 29 30
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ) |
32 |
26 31
|
divcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
33 |
32
|
negcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
34 |
|
cncff |
⊢ ( 𝐺 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) → 𝐺 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
35 |
6 34
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
36 |
35
|
feqmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ) |
37 |
36
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = 𝐺 ) |
38 |
37 6
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
39 |
|
sincn |
⊢ sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
40 |
39
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
41 |
|
ioosscn |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ |
42 |
41
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
43 |
42 20 22
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
44 |
42 22
|
idcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
45 |
43 44
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
46 |
40 45
|
cncfmpt1f |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
47 |
|
ioombl |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ dom vol |
48 |
47
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ dom vol ) |
49 |
|
volioo |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( vol ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
50 |
1 2 3 49
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( vol ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
51 |
2 1
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
52 |
50 51
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( vol ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
53 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) |
54 |
|
ioossicc |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) |
55 |
54
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
56 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
57 |
55
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
58 |
56 57
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
59 |
53 13 55 22 58
|
cncfmptssg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
60 |
59 46
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
61 |
|
cniccbdd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
62 |
1 2 4 61
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
63 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑧 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 |
64 |
54
|
sseli |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
65 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
66 |
64 65
|
sylan2 |
⊢ ( ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
67 |
66
|
ex |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
68 |
63 67
|
ralrimi |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
69 |
68
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
70 |
69
|
reximdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
71 |
62 70
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
72 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) |
73 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑧 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 |
74 |
72 73
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑧 ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
75 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ) |
76 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
77 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
78 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
79 |
78
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
80 |
77 79
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑅 · 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
81 |
80
|
resincld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
82 |
81
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
83 |
58 82
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
84 |
83
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
85 |
|
dmmptg |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
86 |
84 85
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
87 |
86
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
88 |
76 87
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
89 |
88
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
90 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
91 |
88
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
92 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
93 |
90 91 92
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
94 |
93
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
95 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
96 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) |
97 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑅 · 𝑥 ) = ( 𝑅 · 𝑧 ) ) |
98 |
97
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) |
99 |
96 98
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) |
100 |
99
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) |
101 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
102 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
103 |
54 101
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
104 |
102 103
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
105 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
106 |
41 101
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
107 |
105 106
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑅 · 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
108 |
107
|
sincld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
109 |
104 108
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℂ ) |
110 |
95 100 101 109
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) |
111 |
110
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
112 |
104 108
|
absmuld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
113 |
111 112
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
114 |
113
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
115 |
114
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ) |
116 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → 𝜑 ) |
117 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
118 |
116 117 104
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
119 |
118
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
120 |
20
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
121 |
41 117
|
sseldi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
122 |
120 121
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑅 · 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
123 |
122
|
sincld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
124 |
123
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
125 |
119 124
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
126 |
|
1red |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → 1 ∈ ℝ ) |
127 |
119 126
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) ∈ ℝ ) |
128 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
129 |
128 126
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 · 1 ) ∈ ℝ ) |
130 |
108
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
131 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
132 |
104
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
133 |
104
|
absge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) |
134 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
135 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
136 |
135
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
137 |
134 136
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑅 · 𝑧 ) ∈ ℝ ) |
138 |
|
abssinbd |
⊢ ( ( 𝑅 · 𝑧 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 ) |
139 |
137 138
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 ) |
140 |
130 131 132 133 139
|
lemul2ad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) ) |
141 |
140
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) ) |
142 |
141
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) ) |
143 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
144 |
143
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → 0 ≤ 1 ) |
145 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
146 |
119 128 126 144 145
|
lemul1ad |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · 1 ) ≤ ( 𝑦 · 1 ) ) |
147 |
125 127 129 142 146
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( 𝑦 · 1 ) ) |
148 |
115 147
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑦 · 1 ) ) |
149 |
128
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
150 |
149
|
mulid1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 · 1 ) = 𝑦 ) |
151 |
148 150
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
152 |
75 89 94 151
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
153 |
152
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
154 |
74 153
|
ralrimi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
155 |
154
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
156 |
155
|
reximdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
157 |
71 156
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
158 |
48 52 60 157
|
cnbdibl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
159 |
15 45
|
cncfmpt1f |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
160 |
42 29 30
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ) |
161 |
159 160
|
divcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
162 |
161
|
negcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
163 |
38 162
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
164 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
165 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
166 |
8
|
rpne0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ≠ 0 ) |
167 |
166
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → 𝑅 ≠ 0 ) |
168 |
164 165 167
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑦 / 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
169 |
168
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 / 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
170 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) |
171 |
35
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
172 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
173 |
78
|
recnd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
174 |
173
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
175 |
172 174
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑅 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
176 |
175
|
coscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
177 |
166
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ≠ 0 ) |
178 |
176 172 177
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
179 |
178
|
negcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
180 |
171 179
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ℂ ) |
181 |
180
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ℂ ) |
182 |
181
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ℂ ) |
183 |
|
dmmptg |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
184 |
182 183
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) → dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
185 |
170 184
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
186 |
185
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
187 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) |
188 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) |
189 |
97
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) |
190 |
189
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) = ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) |
191 |
190
|
negeqd |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) = - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) |
192 |
188 191
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
193 |
192
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
194 |
35
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
195 |
107
|
coscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
196 |
166
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ≠ 0 ) |
197 |
195 105 196
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
198 |
197
|
negcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
199 |
194 198
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ℂ ) |
200 |
187 193 101 199
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
201 |
200
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) |
202 |
201
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) |
203 |
35
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → 𝐺 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
204 |
203
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
205 |
204
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
206 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
207 |
20
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
208 |
106
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
209 |
207 208
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑅 · 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
210 |
209
|
coscld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
211 |
166
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ≠ 0 ) |
212 |
210 207 211
|
divcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
213 |
212
|
negcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
214 |
213
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ∈ ℝ ) |
215 |
8
|
rprecred |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
216 |
215
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 1 / 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
217 |
204
|
absge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) |
218 |
213
|
absge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
219 |
188
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) |
220 |
219
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
221 |
220
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
222 |
221
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) |
223 |
197
|
absnegd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) = ( abs ‘ ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
224 |
195 105 196
|
absdivd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) = ( ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) / ( abs ‘ 𝑅 ) ) ) |
225 |
8
|
rpge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑅 ) |
226 |
19 225
|
absidd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ 𝑅 ) = 𝑅 ) |
227 |
226
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) / ( abs ‘ 𝑅 ) ) = ( ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) / 𝑅 ) ) |
228 |
227
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) / ( abs ‘ 𝑅 ) ) = ( ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) / 𝑅 ) ) |
229 |
223 224 228
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) = ( ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) / 𝑅 ) ) |
230 |
195
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ ) |
231 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑅 ∈ ℝ+ ) |
232 |
|
abscosbd |
⊢ ( ( 𝑅 · 𝑧 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 ) |
233 |
137 232
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 ) |
234 |
230 131 231 233
|
lediv1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) ) / 𝑅 ) ≤ ( 1 / 𝑅 ) ) |
235 |
229 234
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ≤ ( 1 / 𝑅 ) ) |
236 |
235
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ≤ ( 1 / 𝑅 ) ) |
237 |
205 206 214 216 217 218 222 236
|
lemul12ad |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) ≤ ( 𝑦 · ( 1 / 𝑅 ) ) ) |
238 |
194 198
|
absmuld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) |
239 |
238
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) |
240 |
206
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
241 |
240 207 211
|
divrecd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑦 / 𝑅 ) = ( 𝑦 · ( 1 / 𝑅 ) ) ) |
242 |
237 239 241
|
3brtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑧 ) ) / 𝑅 ) ) ) ≤ ( 𝑦 / 𝑅 ) ) |
243 |
202 242
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑦 / 𝑅 ) ) |
244 |
186 243
|
syldan |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑦 / 𝑅 ) ) |
245 |
244
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑦 / 𝑅 ) ) |
246 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑤 = ( 𝑦 / 𝑅 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑦 / 𝑅 ) ) ) |
247 |
246
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑤 = ( 𝑦 / 𝑅 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑦 / 𝑅 ) ) ) |
248 |
247
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑦 / 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝑦 / 𝑅 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑤 ) |
249 |
169 245 248
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑤 ) |
250 |
249 7
|
r19.29a |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑤 ) |
251 |
48 52 163 250
|
cnbdibl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
252 |
12
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ℝ D 𝐹 ) ) |
253 |
5
|
eqcomi |
⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺 |
254 |
253
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺 ) |
255 |
252 254 36
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ) |
256 |
|
reelprrecn |
⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ } |
257 |
256
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
258 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
259 |
|
recn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ ) |
260 |
259
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
261 |
258 260
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
262 |
261
|
coscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
263 |
166
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑅 ≠ 0 ) |
264 |
262 258 263
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
265 |
264
|
negcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
266 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
267 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
268 |
266 267
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 · 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
269 |
268
|
resincld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
270 |
269
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
271 |
270 266
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
272 |
271 266 263
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
273 |
272
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → - ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
274 |
|
recoscl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( cos ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
275 |
274
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( cos ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
276 |
275
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( cos ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
277 |
|
resincl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
278 |
277
|
renegcld |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → - ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
279 |
278
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → - ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
280 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ ) |
281 |
257
|
dvmptid |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ 1 ) ) |
282 |
257 260 280 281 20
|
dvmptcmul |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑅 · 1 ) ) ) |
283 |
258
|
mulid1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 · 1 ) = 𝑅 ) |
284 |
283
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑅 · 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅 ) ) |
285 |
282 284
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅 ) ) |
286 |
|
dvcosre |
⊢ ( ℝ D ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( cos ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ - ( sin ‘ 𝑦 ) ) |
287 |
286
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( cos ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ - ( sin ‘ 𝑦 ) ) ) |
288 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑅 · 𝑥 ) → ( cos ‘ 𝑦 ) = ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) |
289 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑅 · 𝑥 ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) |
290 |
289
|
negeqd |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑅 · 𝑥 ) → - ( sin ‘ 𝑦 ) = - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) |
291 |
257 257 268 266 276 279 285 287 288 290
|
dvmptco |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) ) ) |
292 |
257 262 271 291 20 166
|
dvmptdivc |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) ) |
293 |
257 264 272 292
|
dvmptneg |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ - ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) ) |
294 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
295 |
294
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
296 |
|
iccntr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
297 |
1 2 296
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
298 |
257 265 273 293 16 295 294 297
|
dvmptres2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) ) |
299 |
82 172
|
mulneg1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) = - ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) ) |
300 |
299
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) = ( - ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) |
301 |
82 172
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
302 |
301 172 177
|
divnegd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - ( ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) = ( - ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) |
303 |
300 302
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) = - ( ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) |
304 |
303
|
negeqd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) = - - ( ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) |
305 |
301 172 177
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ∈ ℂ ) |
306 |
305
|
negnegd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - - ( ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) = ( ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) |
307 |
82 172 177
|
divcan4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) = ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) |
308 |
304 306 307
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → - ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) = ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) |
309 |
308
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ - ( ( - ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) · 𝑅 ) / 𝑅 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) |
310 |
298 309
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) ) |
311 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) |
312 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝑅 · 𝑥 ) = ( 𝑅 · 𝐴 ) ) |
313 |
312
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐴 ) ) ) |
314 |
313
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) = ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐴 ) ) / 𝑅 ) ) |
315 |
314
|
negeqd |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) = - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐴 ) ) / 𝑅 ) ) |
316 |
311 315
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐴 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
317 |
316
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐴 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
318 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) ) |
319 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑅 · 𝑥 ) = ( 𝑅 · 𝐵 ) ) |
320 |
319
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐵 ) ) ) |
321 |
320
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) = ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐵 ) ) / 𝑅 ) ) |
322 |
321
|
negeqd |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) = - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐵 ) ) / 𝑅 ) ) |
323 |
318 322
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐵 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
324 |
323
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐵 ) ) / 𝑅 ) ) ) |
325 |
1 2 3 13 33 38 46 158 251 255 310 317 324
|
itgparts |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐵 ) ) / 𝑅 ) ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝐴 ) ) / 𝑅 ) ) ) − ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑅 · 𝑥 ) ) / 𝑅 ) ) d 𝑥 ) ) |