Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itg2split.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol ) |
2 |
|
itg2split.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol ) |
3 |
|
itg2split.i |
⊢ ( 𝜑 → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) = 0 ) |
4 |
|
itg2split.u |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 = ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) |
5 |
|
itg2split.c |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ) → 𝐶 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
6 |
|
itg2split.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) |
7 |
|
itg2split.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) |
8 |
|
itg2split.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) |
9 |
|
itg2split.sf |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
10 |
|
itg2split.sg |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ∈ ℝ ) |
11 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝑓 ∈ dom ∫1 ) |
12 |
|
itg1cl |
⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ ) |
13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ∈ ℝ ) |
14 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝐴 ∈ dom vol ) |
15 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) |
16 |
15
|
i1fres |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ) |
17 |
11 14 16
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ) |
18 |
|
itg1cl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) |
19 |
17 18
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) |
20 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝐵 ∈ dom vol ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) |
22 |
21
|
i1fres |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐵 ∈ dom vol ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ) |
23 |
11 20 22
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ) |
24 |
|
itg1cl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) |
25 |
23 24
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) |
26 |
19 25
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
9 10
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ℝ ) |
28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ℝ ) |
29 |
|
inss1 |
⊢ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝐴 |
30 |
|
mblss |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
31 |
1 30
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
32 |
29 31
|
sstrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
33 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
34 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) = 0 ) |
35 |
|
reex |
⊢ ℝ ∈ V |
36 |
35
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ V ) |
37 |
|
fvex |
⊢ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ V |
38 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
39 |
37 38
|
ifex |
⊢ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ∈ V |
40 |
39
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ∈ V ) |
41 |
37 38
|
ifex |
⊢ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ∈ V |
42 |
41
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ∈ V ) |
43 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) |
44 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) |
45 |
36 40 42 43 44
|
offval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) |
46 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) |
47 |
17 23
|
i1fadd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 ) |
48 |
46 47
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ∈ dom ∫1 ) |
49 |
|
i1ff |
⊢ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ) |
50 |
11 49
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ) |
51 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
52 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
53 |
50 51 52
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
54 |
53
|
leidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
55 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
56 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐴 → if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
57 |
56
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
58 |
|
eldifn |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) |
59 |
58
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) |
60 |
|
elin |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) |
61 |
59 60
|
sylnib |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ¬ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) |
62 |
|
imnan |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) |
63 |
61 62
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) |
64 |
63
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) |
65 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = 0 ) |
66 |
64 65
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = 0 ) |
67 |
57 66
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) + 0 ) ) |
68 |
53
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
69 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
70 |
69
|
addid1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) + 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
71 |
67 70
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
72 |
55 71
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) ) |
73 |
54
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
74 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
75 |
74
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
76 |
73 75
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) |
77 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → 𝑈 = ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) |
78 |
77
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) ) |
79 |
|
elun |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) |
80 |
78 79
|
bitrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ) |
81 |
80
|
notbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( ¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ¬ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ) |
82 |
|
ioran |
⊢ ( ¬ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) |
83 |
81 82
|
bitrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( ¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ( ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ) |
84 |
83
|
biimpar |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ) |
85 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) |
86 |
50
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝑓 Fn ℝ ) |
87 |
5
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ) → 𝐶 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
88 |
|
0e0iccpnf |
⊢ 0 ∈ ( 0 [,] +∞ ) |
89 |
88
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈 ) → 0 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
90 |
87 89
|
ifclda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
91 |
90 8
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
92 |
91
|
ffnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 Fn ℝ ) |
93 |
92
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝐻 Fn ℝ ) |
94 |
35
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ℝ ∈ V ) |
95 |
|
inidm |
⊢ ( ℝ ∩ ℝ ) = ℝ |
96 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
97 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) |
98 |
86 93 94 94 95 96 97
|
ofrfval |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) ) |
99 |
85 98
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) |
100 |
99
|
r19.21bi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) |
101 |
51 100
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) |
102 |
101
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) ) |
103 |
51
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
104 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ 𝑈 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ) ) |
105 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑦 |
106 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) |
107 |
8 106
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝐻 |
108 |
107 105
|
nffv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) |
109 |
108
|
nfeq1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) = 0 |
110 |
|
fveqeq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = 0 ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) |
111 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝑈 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈 ) ) |
112 |
8
|
fvmpt2i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ( I ‘ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
113 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) = 0 ) |
114 |
113
|
fveq2d |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) = ( I ‘ 0 ) ) |
115 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
116 |
|
fvi |
⊢ ( 0 ∈ ℂ → ( I ‘ 0 ) = 0 ) |
117 |
115 116
|
ax-mp |
⊢ ( I ‘ 0 ) = 0 |
118 |
114 117
|
eqtrdi |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝑈 → ( I ‘ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) = 0 ) |
119 |
112 118
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑈 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = 0 ) |
120 |
111 119
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝑈 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = 0 ) |
121 |
105 109 110 120
|
vtoclgaf |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ 𝑈 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) = 0 ) |
122 |
104 121
|
sylbir |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) = 0 ) |
123 |
103 122
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑦 ) = 0 ) |
124 |
102 123
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑈 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ 0 ) |
125 |
84 124
|
syldan |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ 0 ) |
126 |
125
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ 0 ) |
127 |
65
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = 0 ) |
128 |
126 127
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) |
129 |
76 128
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) |
130 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = 0 ) |
131 |
130
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) = 0 ) |
132 |
131
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) = ( 0 + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) ) |
133 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
134 |
|
ifcl |
⊢ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ∈ ℝ ) |
135 |
53 133 134
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ∈ ℝ ) |
136 |
135
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ∈ ℂ ) |
137 |
136
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ∈ ℂ ) |
138 |
137
|
addid2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 0 + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) = if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) |
139 |
132 138
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) = if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) |
140 |
129 139
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) ) |
141 |
72 140
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) ) |
142 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴 ) ) |
143 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) |
144 |
142 143
|
ifbieq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) = if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) |
145 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) |
146 |
145 143
|
ifbieq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) = if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) |
147 |
144 146
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) = ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) ) |
148 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) |
149 |
|
ovex |
⊢ ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) ∈ V |
150 |
147 148 149
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ‘ 𝑦 ) = ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) ) |
151 |
103 150
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ‘ 𝑦 ) = ( if ( 𝑦 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) + if ( 𝑦 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) , 0 ) ) ) |
152 |
141 151
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℝ ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) |
153 |
11 33 34 48 152
|
itg1lea |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) ) |
154 |
46
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) = ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) ) |
155 |
17 23
|
itg1add |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) ) |
156 |
154 155
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) + if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) = ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) ) |
157 |
153 156
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) ) |
158 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫2 ‘ 𝐹 ) ∈ ℝ ) |
159 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ∈ ℝ ) |
160 |
|
ssun1 |
⊢ 𝐴 ⊆ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) |
161 |
160 4
|
sseqtrrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑈 ) |
162 |
161
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝑥 ∈ 𝑈 ) |
163 |
162
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝑥 ∈ 𝑈 ) |
164 |
163 87
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
165 |
88
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
166 |
164 165
|
ifclda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
167 |
166 6
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
168 |
167
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
169 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝜑 |
170 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1 |
171 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑓 |
172 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∘r ≤ |
173 |
171 172 107
|
nfbr |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 |
174 |
170 173
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) |
175 |
169 174
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) |
176 |
14 30
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
177 |
176
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
178 |
35
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → ℝ ∈ V ) |
179 |
37
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ V ) |
180 |
90
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
181 |
49
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → 𝑓 : ℝ ⟶ ℝ ) |
182 |
181
|
feqmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → 𝑓 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ) |
183 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → 𝐻 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
184 |
178 179 180 182 183
|
ofrfval2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
185 |
184
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
186 |
185
|
impr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) |
187 |
186
|
r19.21bi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) |
188 |
177 187
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) |
189 |
162
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝑥 ∈ 𝑈 ) |
190 |
189
|
iftrued |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) = 𝐶 ) |
191 |
188 190
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ≤ 𝐶 ) |
192 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) |
193 |
192
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) |
194 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) = 𝐶 ) |
195 |
194
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) = 𝐶 ) |
196 |
191 193 195
|
3brtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) |
197 |
|
0le0 |
⊢ 0 ≤ 0 |
198 |
197
|
a1i |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 0 ) |
199 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) = 0 ) |
200 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) = 0 ) |
201 |
198 199 200
|
3brtr4d |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) |
202 |
201
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) |
203 |
196 202
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) |
204 |
203
|
a1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
205 |
175 204
|
ralrimi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) |
206 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
207 |
36 40 166 43 206
|
ofrfval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
208 |
207
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
209 |
205 208
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) |
210 |
|
itg2ub |
⊢ ( ( 𝐹 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘r ≤ 𝐹 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ≤ ( ∫2 ‘ 𝐹 ) ) |
211 |
168 17 209 210
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ≤ ( ∫2 ‘ 𝐹 ) ) |
212 |
|
ssun2 |
⊢ 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) |
213 |
212 4
|
sseqtrrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈 ) |
214 |
213
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝑈 ) |
215 |
214
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝑈 ) |
216 |
215 87
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
217 |
88
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 0 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
218 |
216 217
|
ifclda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
219 |
218 7
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
220 |
219
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
221 |
|
mblss |
⊢ ( 𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ ) |
222 |
20 221
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → 𝐵 ⊆ ℝ ) |
223 |
222
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
224 |
223 187
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) ) |
225 |
214
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝑈 ) |
226 |
225
|
iftrued |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝑈 , 𝐶 , 0 ) = 𝐶 ) |
227 |
224 226
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ≤ 𝐶 ) |
228 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) |
229 |
228
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) |
230 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) = 𝐶 ) |
231 |
230
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) = 𝐶 ) |
232 |
227 229 231
|
3brtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) |
233 |
197
|
a1i |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 0 ) |
234 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) = 0 ) |
235 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) = 0 ) |
236 |
233 234 235
|
3brtr4d |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) |
237 |
236
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) |
238 |
232 237
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) |
239 |
238
|
a1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ → if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
240 |
175 239
|
ralrimi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) |
241 |
7
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
242 |
36 42 218 44 241
|
ofrfval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
243 |
242
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘r ≤ 𝐺 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ≤ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝐶 , 0 ) ) ) |
244 |
240 243
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) |
245 |
|
itg2ub |
⊢ ( ( 𝐺 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ∘r ≤ 𝐺 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ≤ ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) |
246 |
220 23 244 245
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ≤ ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) |
247 |
19 25 158 159 211 246
|
le2addd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) + ( ∫1 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐵 , ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) , 0 ) ) ) ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ) |
248 |
13 26 28 157 247
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 ) ) → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ) |
249 |
248
|
expr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
250 |
249
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
251 |
27
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ℝ* ) |
252 |
|
itg2leub |
⊢ ( ( 𝐻 : ℝ ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( ∫2 ‘ 𝐻 ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ) |
253 |
91 251 252
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ∫2 ‘ 𝐻 ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ dom ∫1 ( 𝑓 ∘r ≤ 𝐻 → ( ∫1 ‘ 𝑓 ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ) |
254 |
250 253
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ 𝐻 ) ≤ ( ( ∫2 ‘ 𝐹 ) + ( ∫2 ‘ 𝐺 ) ) ) |