Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cxpcn3.d |
|- D = ( `' Re " RR+ ) |
2 |
|
cxpcn3.j |
|- J = ( TopOpen ` CCfld ) |
3 |
|
cxpcn3.k |
|- K = ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) |
4 |
|
cxpcn3.l |
|- L = ( J |`t D ) |
5 |
|
rge0ssre |
|- ( 0 [,) +oo ) C_ RR |
6 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
7 |
5 6
|
sstri |
|- ( 0 [,) +oo ) C_ CC |
8 |
7
|
sseli |
|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. CC ) |
9 |
|
cnvimass |
|- ( `' Re " RR+ ) C_ dom Re |
10 |
|
ref |
|- Re : CC --> RR |
11 |
10
|
fdmi |
|- dom Re = CC |
12 |
9 11
|
sseqtri |
|- ( `' Re " RR+ ) C_ CC |
13 |
1 12
|
eqsstri |
|- D C_ CC |
14 |
13
|
sseli |
|- ( y e. D -> y e. CC ) |
15 |
|
cxpcl |
|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ^c y ) e. CC ) |
16 |
8 14 15
|
syl2an |
|- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. D ) -> ( x ^c y ) e. CC ) |
17 |
16
|
rgen2 |
|- A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC |
18 |
|
eqid |
|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) = ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |
19 |
18
|
fmpo |
|- ( A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC ) |
20 |
17 19
|
mpbi |
|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC |
21 |
2
|
cnfldtopon |
|- J e. ( TopOn ` CC ) |
22 |
|
rpre |
|- ( x e. RR+ -> x e. RR ) |
23 |
|
rpge0 |
|- ( x e. RR+ -> 0 <_ x ) |
24 |
|
elrege0 |
|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) |
25 |
22 23 24
|
sylanbrc |
|- ( x e. RR+ -> x e. ( 0 [,) +oo ) ) |
26 |
25
|
ssriv |
|- RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) |
27 |
26 7
|
sstri |
|- RR+ C_ CC |
28 |
|
resttopon |
|- ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ CC ) -> ( J |`t RR+ ) e. ( TopOn ` RR+ ) ) |
29 |
21 27 28
|
mp2an |
|- ( J |`t RR+ ) e. ( TopOn ` RR+ ) |
30 |
29
|
toponrestid |
|- ( J |`t RR+ ) = ( ( J |`t RR+ ) |`t RR+ ) |
31 |
29
|
a1i |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( J |`t RR+ ) e. ( TopOn ` RR+ ) ) |
32 |
|
ssid |
|- RR+ C_ RR+ |
33 |
32
|
a1i |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> RR+ C_ RR+ ) |
34 |
21
|
a1i |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> J e. ( TopOn ` CC ) ) |
35 |
13
|
a1i |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> D C_ CC ) |
36 |
|
eqid |
|- ( J |`t RR+ ) = ( J |`t RR+ ) |
37 |
2 36
|
cxpcn2 |
|- ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J |`t RR+ ) tX J ) Cn J ) |
38 |
37
|
a1i |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J |`t RR+ ) tX J ) Cn J ) ) |
39 |
30 31 33 4 34 35 38
|
cnmpt2res |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J |`t RR+ ) tX L ) Cn J ) ) |
40 |
|
elrege0 |
|- ( u e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( u e. RR /\ 0 <_ u ) ) |
41 |
40
|
simplbi |
|- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> u e. RR ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> u e. RR ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR ) |
44 |
|
simpr |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> 0 < u ) |
45 |
43 44
|
elrpd |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR+ ) |
46 |
|
simplr |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> v e. D ) |
47 |
45 46
|
opelxpd |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) ) |
48 |
|
resttopon |
|- ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J |`t D ) e. ( TopOn ` D ) ) |
49 |
21 13 48
|
mp2an |
|- ( J |`t D ) e. ( TopOn ` D ) |
50 |
4 49
|
eqeltri |
|- L e. ( TopOn ` D ) |
51 |
|
txtopon |
|- ( ( ( J |`t RR+ ) e. ( TopOn ` RR+ ) /\ L e. ( TopOn ` D ) ) -> ( ( J |`t RR+ ) tX L ) e. ( TopOn ` ( RR+ X. D ) ) ) |
52 |
29 50 51
|
mp2an |
|- ( ( J |`t RR+ ) tX L ) e. ( TopOn ` ( RR+ X. D ) ) |
53 |
52
|
toponunii |
|- ( RR+ X. D ) = U. ( ( J |`t RR+ ) tX L ) |
54 |
53
|
cncnpi |
|- ( ( ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J |`t RR+ ) tX L ) Cn J ) /\ <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J |`t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
55 |
39 47 54
|
syl2anc |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J |`t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
56 |
|
ssid |
|- D C_ D |
57 |
|
resmpo |
|- ( ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ D C_ D ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) ) |
58 |
26 56 57
|
mp2an |
|- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |
59 |
|
resttopon |
|- ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) e. ( TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) ) |
60 |
21 7 59
|
mp2an |
|- ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) e. ( TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) |
61 |
3 60
|
eqeltri |
|- K e. ( TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) |
62 |
|
ioorp |
|- ( 0 (,) +oo ) = RR+ |
63 |
|
iooretop |
|- ( 0 (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) |
64 |
62 63
|
eqeltrri |
|- RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) |
65 |
|
retop |
|- ( topGen ` ran (,) ) e. Top |
66 |
|
ovex |
|- ( 0 [,) +oo ) e. _V |
67 |
|
restopnb |
|- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) /\ ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,) +oo ) ) ) ) |
68 |
65 66 67
|
mpanl12 |
|- ( ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,) +oo ) ) ) ) |
69 |
64 26 32 68
|
mp3an |
|- ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,) +oo ) ) ) |
70 |
64 69
|
mpbi |
|- RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,) +oo ) ) |
71 |
|
eqid |
|- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) ) |
72 |
2 71
|
rerest |
|- ( ( 0 [,) +oo ) C_ RR -> ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,) +oo ) ) ) |
73 |
5 72
|
ax-mp |
|- ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,) +oo ) ) |
74 |
3 73
|
eqtri |
|- K = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,) +oo ) ) |
75 |
70 74
|
eleqtrri |
|- RR+ e. K |
76 |
|
toponmax |
|- ( L e. ( TopOn ` D ) -> D e. L ) |
77 |
50 76
|
ax-mp |
|- D e. L |
78 |
|
txrest |
|- ( ( ( K e. ( TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. ( TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( ( K tX L ) |`t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K |`t RR+ ) tX ( L |`t D ) ) ) |
79 |
61 50 75 77 78
|
mp4an |
|- ( ( K tX L ) |`t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K |`t RR+ ) tX ( L |`t D ) ) |
80 |
3
|
oveq1i |
|- ( K |`t RR+ ) = ( ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) |`t RR+ ) |
81 |
|
restabs |
|- ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) -> ( ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) |`t RR+ ) = ( J |`t RR+ ) ) |
82 |
21 26 66 81
|
mp3an |
|- ( ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) |`t RR+ ) = ( J |`t RR+ ) |
83 |
80 82
|
eqtri |
|- ( K |`t RR+ ) = ( J |`t RR+ ) |
84 |
50
|
toponunii |
|- D = U. L |
85 |
84
|
restid |
|- ( L e. ( TopOn ` D ) -> ( L |`t D ) = L ) |
86 |
50 85
|
ax-mp |
|- ( L |`t D ) = L |
87 |
83 86
|
oveq12i |
|- ( ( K |`t RR+ ) tX ( L |`t D ) ) = ( ( J |`t RR+ ) tX L ) |
88 |
79 87
|
eqtri |
|- ( ( K tX L ) |`t ( RR+ X. D ) ) = ( ( J |`t RR+ ) tX L ) |
89 |
88
|
oveq1i |
|- ( ( ( K tX L ) |`t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) = ( ( ( J |`t RR+ ) tX L ) CnP J ) |
90 |
89
|
fveq1i |
|- ( ( ( ( K tX L ) |`t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) = ( ( ( ( J |`t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) |
91 |
55 58 90
|
3eltr4g |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) |`t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
92 |
|
txtopon |
|- ( ( K e. ( TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. ( TopOn ` D ) ) -> ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) ) |
93 |
61 50 92
|
mp2an |
|- ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) |
94 |
93
|
topontopi |
|- ( K tX L ) e. Top |
95 |
94
|
a1i |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( K tX L ) e. Top ) |
96 |
|
xpss1 |
|- ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) |
97 |
26 96
|
mp1i |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) |
98 |
|
txopn |
|- ( ( ( K e. ( TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. ( TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) ) |
99 |
61 50 75 77 98
|
mp4an |
|- ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) |
100 |
|
isopn3i |
|- ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) ) -> ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D ) ) |
101 |
94 99 100
|
mp2an |
|- ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D ) |
102 |
47 101
|
eleqtrrdi |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) ) |
103 |
20
|
a1i |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC ) |
104 |
61
|
topontopi |
|- K e. Top |
105 |
50
|
topontopi |
|- L e. Top |
106 |
61
|
toponunii |
|- ( 0 [,) +oo ) = U. K |
107 |
104 105 106 84
|
txunii |
|- ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) = U. ( K tX L ) |
108 |
21
|
toponunii |
|- CC = U. J |
109 |
107 108
|
cnprest |
|- ( ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) |`t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) ) |
110 |
95 97 102 103 109
|
syl22anc |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) |`t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) ) |
111 |
91 110
|
mpbird |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
112 |
20
|
a1i |
|- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC ) |
113 |
|
eqid |
|- ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) = ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) |
114 |
|
eqid |
|- if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) ) = if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) ) |
115 |
1 2 3 4 113 114
|
cxpcn3lem |
|- ( ( v e. D /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) |
116 |
115
|
ralrimiva |
|- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) |
117 |
|
0e0icopnf |
|- 0 e. ( 0 [,) +oo ) |
118 |
117
|
a1i |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) ) |
119 |
|
simprl |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. ( 0 [,) +oo ) ) |
120 |
118 119
|
ovresd |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( 0 ( abs o. - ) a ) ) |
121 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
122 |
7 119
|
sselid |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. CC ) |
123 |
|
eqid |
|- ( abs o. - ) = ( abs o. - ) |
124 |
123
|
cnmetdval |
|- ( ( 0 e. CC /\ a e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) ) |
125 |
121 122 124
|
sylancr |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) ) |
126 |
|
df-neg |
|- -u a = ( 0 - a ) |
127 |
126
|
fveq2i |
|- ( abs ` -u a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) |
128 |
122
|
absnegd |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u a ) = ( abs ` a ) ) |
129 |
127 128
|
eqtr3id |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - a ) ) = ( abs ` a ) ) |
130 |
120 125 129
|
3eqtrd |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( abs ` a ) ) |
131 |
130
|
breq1d |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d <-> ( abs ` a ) < d ) ) |
132 |
|
simpl |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. D ) |
133 |
|
simprr |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. D ) |
134 |
132 133
|
ovresd |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( v ( abs o. - ) b ) ) |
135 |
13 132
|
sselid |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. CC ) |
136 |
13 133
|
sselid |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. CC ) |
137 |
123
|
cnmetdval |
|- ( ( v e. CC /\ b e. CC ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) ) |
138 |
135 136 137
|
syl2anc |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) ) |
139 |
134 138
|
eqtrd |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) ) |
140 |
139
|
breq1d |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d <-> ( abs ` ( v - b ) ) < d ) ) |
141 |
131 140
|
anbi12d |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) <-> ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) ) ) |
142 |
|
oveq12 |
|- ( ( x = 0 /\ y = v ) -> ( x ^c y ) = ( 0 ^c v ) ) |
143 |
|
ovex |
|- ( 0 ^c v ) e. _V |
144 |
142 18 143
|
ovmpoa |
|- ( ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) ) |
145 |
117 132 144
|
sylancr |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) ) |
146 |
1
|
eleq2i |
|- ( v e. D <-> v e. ( `' Re " RR+ ) ) |
147 |
|
ffn |
|- ( Re : CC --> RR -> Re Fn CC ) |
148 |
|
elpreima |
|- ( Re Fn CC -> ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) ) ) |
149 |
10 147 148
|
mp2b |
|- ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) ) |
150 |
146 149
|
bitri |
|- ( v e. D <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) ) |
151 |
150
|
simplbi |
|- ( v e. D -> v e. CC ) |
152 |
150
|
simprbi |
|- ( v e. D -> ( Re ` v ) e. RR+ ) |
153 |
152
|
rpne0d |
|- ( v e. D -> ( Re ` v ) =/= 0 ) |
154 |
|
fveq2 |
|- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = ( Re ` 0 ) ) |
155 |
|
re0 |
|- ( Re ` 0 ) = 0 |
156 |
154 155
|
eqtrdi |
|- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = 0 ) |
157 |
156
|
necon3i |
|- ( ( Re ` v ) =/= 0 -> v =/= 0 ) |
158 |
153 157
|
syl |
|- ( v e. D -> v =/= 0 ) |
159 |
151 158
|
0cxpd |
|- ( v e. D -> ( 0 ^c v ) = 0 ) |
160 |
159
|
adantr |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ^c v ) = 0 ) |
161 |
145 160
|
eqtrd |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = 0 ) |
162 |
|
oveq12 |
|- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x ^c y ) = ( a ^c b ) ) |
163 |
|
ovex |
|- ( a ^c b ) e. _V |
164 |
162 18 163
|
ovmpoa |
|- ( ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) ) |
165 |
164
|
adantl |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) ) |
166 |
161 165
|
oveq12d |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) ) |
167 |
122 136
|
cxpcld |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ^c b ) e. CC ) |
168 |
123
|
cnmetdval |
|- ( ( 0 e. CC /\ ( a ^c b ) e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) ) |
169 |
121 167 168
|
sylancr |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) ) |
170 |
|
df-neg |
|- -u ( a ^c b ) = ( 0 - ( a ^c b ) ) |
171 |
170
|
fveq2i |
|- ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) |
172 |
167
|
absnegd |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) ) |
173 |
171 172
|
eqtr3id |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) ) |
174 |
166 169 173
|
3eqtrd |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) ) |
175 |
174
|
breq1d |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e <-> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) |
176 |
141 175
|
imbi12d |
|- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) ) |
177 |
176
|
2ralbidva |
|- ( v e. D -> ( A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) ) |
178 |
177
|
rexbidv |
|- ( v e. D -> ( E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) ) |
179 |
178
|
ralbidv |
|- ( v e. D -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) ) |
180 |
116 179
|
mpbird |
|- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) |
181 |
|
cnxmet |
|- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) |
182 |
181
|
a1i |
|- ( v e. D -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) |
183 |
|
xmetres2 |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) ) |
184 |
182 7 183
|
sylancl |
|- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) ) |
185 |
|
xmetres2 |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) ) |
186 |
182 13 185
|
sylancl |
|- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) ) |
187 |
117
|
a1i |
|- ( v e. D -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) ) |
188 |
|
id |
|- ( v e. D -> v e. D ) |
189 |
|
eqid |
|- ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) |
190 |
2
|
cnfldtopn |
|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) |
191 |
|
eqid |
|- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) |
192 |
189 190 191
|
metrest |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) ) |
193 |
181 7 192
|
mp2an |
|- ( J |`t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) |
194 |
3 193
|
eqtri |
|- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) |
195 |
|
eqid |
|- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) |
196 |
|
eqid |
|- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) |
197 |
195 190 196
|
metrest |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J |`t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) ) |
198 |
181 13 197
|
mp2an |
|- ( J |`t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) |
199 |
4 198
|
eqtri |
|- L = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) |
200 |
194 199 190
|
txmetcnp |
|- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) ) |
201 |
184 186 182 187 188 200
|
syl32anc |
|- ( v e. D -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) ) |
202 |
112 180 201
|
mpbir2and |
|- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) ) |
203 |
202
|
ad2antlr |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) ) |
204 |
|
simpr |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> 0 = u ) |
205 |
204
|
opeq1d |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> <. 0 , v >. = <. u , v >. ) |
206 |
205
|
fveq2d |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
207 |
203 206
|
eleqtrd |
|- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
208 |
40
|
simprbi |
|- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ u ) |
209 |
208
|
adantr |
|- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> 0 <_ u ) |
210 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
211 |
|
leloe |
|- ( ( 0 e. RR /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) ) |
212 |
210 42 211
|
sylancr |
|- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) ) |
213 |
209 212
|
mpbid |
|- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) |
214 |
111 207 213
|
mpjaodan |
|- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
215 |
214
|
rgen2 |
|- A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) |
216 |
|
fveq2 |
|- ( z = <. u , v >. -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
217 |
216
|
eleq2d |
|- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) ) |
218 |
217
|
ralxp |
|- ( A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) |
219 |
215 218
|
mpbir |
|- A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) |
220 |
|
cncnp |
|- ( ( ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ J e. ( TopOn ` CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) ) ) |
221 |
93 21 220
|
mp2an |
|- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) ) |
222 |
20 219 221
|
mpbir2an |
|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) |