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Theorem ftc1cnnclem

Description: Lemma for ftc1cnnc ; cf. ftc1lem4 . The stronger assumptions of ftc1cn are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017)

Ref Expression
Hypotheses ftc1cnnc.g 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝑥 ) ( 𝐹𝑡 ) d 𝑡 )
ftc1cnnc.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
ftc1cnnc.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
ftc1cnnc.le ( 𝜑𝐴𝐵 )
ftc1cnnc.f ( 𝜑𝐹 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) )
ftc1cnnc.i ( 𝜑𝐹 ∈ 𝐿1 )
ftc1cnnclem.c ( 𝜑𝑐 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
ftc1cnnclem.h 𝐻 = ( 𝑧 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∖ { 𝑐 } ) ↦ ( ( ( 𝐺𝑧 ) − ( 𝐺𝑐 ) ) / ( 𝑧𝑐 ) ) )
ftc1cnnclem.e ( 𝜑𝐸 ∈ ℝ+ )
ftc1cnnclem.r ( 𝜑𝑅 ∈ ℝ+ )
ftc1cnnclem.fc ( ( 𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑦𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑦 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) )
ftc1cnnclem.x1 ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
ftc1cnnclem.x2 ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝑋𝑐 ) ) < 𝑅 )
ftc1cnnclem.y1 ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
ftc1cnnclem.y2 ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝑌𝑐 ) ) < 𝑅 )
Assertion ftc1cnnclem ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ftc1cnnc.g 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝑥 ) ( 𝐹𝑡 ) d 𝑡 )
2 ftc1cnnc.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
3 ftc1cnnc.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
4 ftc1cnnc.le ( 𝜑𝐴𝐵 )
5 ftc1cnnc.f ( 𝜑𝐹 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) )
6 ftc1cnnc.i ( 𝜑𝐹 ∈ 𝐿1 )
7 ftc1cnnclem.c ( 𝜑𝑐 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
8 ftc1cnnclem.h 𝐻 = ( 𝑧 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∖ { 𝑐 } ) ↦ ( ( ( 𝐺𝑧 ) − ( 𝐺𝑐 ) ) / ( 𝑧𝑐 ) ) )
9 ftc1cnnclem.e ( 𝜑𝐸 ∈ ℝ+ )
10 ftc1cnnclem.r ( 𝜑𝑅 ∈ ℝ+ )
11 ftc1cnnclem.fc ( ( 𝜑𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑦𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑦 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) )
12 ftc1cnnclem.x1 ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
13 ftc1cnnclem.x2 ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝑋𝑐 ) ) < 𝑅 )
14 ftc1cnnclem.y1 ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
15 ftc1cnnclem.y2 ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝑌𝑐 ) ) < 𝑅 )
16 ovexd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ∈ V )
17 2 rexrd ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ* )
18 3 rexrd ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ* )
19 elicc1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵 ) ) )
20 19 biimpa ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵 ) )
21 20 simp2d ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝐴𝑋 )
22 17 18 12 21 syl21anc ( 𝜑𝐴𝑋 )
23 iccleub ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑌𝐵 )
24 17 18 14 23 syl3anc ( 𝜑𝑌𝐵 )
25 ioossioo ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴𝑋𝑌𝐵 ) ) → ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
26 17 18 22 24 25 syl22anc ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
27 26 sselda ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
28 cncff ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) → 𝐹 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ )
29 5 28 syl ( 𝜑𝐹 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ )
30 29 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹𝑡 ) ∈ ℂ )
31 27 30 syldan ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝐹𝑡 ) ∈ ℂ )
32 ioombl ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol
33 32 a1i ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol )
34 fvexd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹𝑡 ) ∈ V )
35 29 feqmptd ( 𝜑𝐹 = ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹𝑡 ) ) )
36 35 6 eqeltrrd ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹𝑡 ) ) ∈ 𝐿1 )
37 26 33 34 36 iblss ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑡 ) ) ∈ 𝐿1 )
38 29 7 ffvelrnd ( 𝜑 → ( 𝐹𝑐 ) ∈ ℂ )
39 38 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝐹𝑐 ) ∈ ℂ )
40 fconstmpt ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { ( 𝐹𝑐 ) } ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑐 ) )
41 mblvol ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) )
42 32 41 ax-mp ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) )
43 ioossicc ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 )
44 43 a1i ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
45 iccssre ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
46 2 3 45 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
47 46 12 sseldd ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
48 46 14 sseldd ( 𝜑𝑌 ∈ ℝ )
49 iccmbl ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∈ dom vol )
50 47 48 49 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∈ dom vol )
51 mblss ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∈ dom vol → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
52 50 51 syl ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
53 mblvol ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
54 50 53 syl ( 𝜑 → ( vol ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
55 iccvolcl ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ∈ ℝ )
56 47 48 55 syl2anc ( 𝜑 → ( vol ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ∈ ℝ )
57 54 56 eqeltrrd ( 𝜑 → ( vol* ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ∈ ℝ )
58 ovolsscl ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ )
59 44 52 57 58 syl3anc ( 𝜑 → ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ )
60 42 59 eqeltrid ( 𝜑 → ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ )
61 iblconst ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹𝑐 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { ( 𝐹𝑐 ) } ) ∈ 𝐿1 )
62 33 60 38 61 syl3anc ( 𝜑 → ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { ( 𝐹𝑐 ) } ) ∈ 𝐿1 )
63 40 62 eqeltrrid ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑐 ) ) ∈ 𝐿1 )
64 eqid ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
65 64 subcn − ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) )
66 65 a1i ( 𝜑 → − ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) )
67 29 26 feqresmpt ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑡 ) ) )
68 rescncf ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) )
69 26 5 68 sylc ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
70 67 69 eqeltrrd ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑡 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
71 ioossre ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℝ
72 ax-resscn ℝ ⊆ ℂ
73 71 72 sstri ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℂ
74 ssid ℂ ⊆ ℂ
75 cncfmptc ( ( ( 𝐹𝑐 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
76 73 74 75 mp3an23 ( ( 𝐹𝑐 ) ∈ ℂ → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
77 38 76 syl ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
78 64 66 70 77 cncfmpt2f ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
79 cnmbf ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ MblFn )
80 32 78 79 sylancr ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ MblFn )
81 31 37 39 63 80 iblsubnc ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
82 16 81 itgcl ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ∈ ℂ )
83 82 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ∈ ℂ )
84 48 47 resubcld ( 𝜑 → ( 𝑌𝑋 ) ∈ ℝ )
85 84 recnd ( 𝜑 → ( 𝑌𝑋 ) ∈ ℂ )
86 85 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑌𝑋 ) ∈ ℂ )
87 47 48 posdifd ( 𝜑 → ( 𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < ( 𝑌𝑋 ) ) )
88 87 biimpa ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 0 < ( 𝑌𝑋 ) )
89 88 gt0ne0d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑌𝑋 ) ≠ 0 )
90 83 86 89 divcld ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌𝑋 ) ) ∈ ℂ )
91 38 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝐹𝑐 ) ∈ ℂ )
92 ltle ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 < 𝑌𝑋𝑌 ) )
93 47 48 92 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑋 < 𝑌𝑋𝑌 ) )
94 93 imp ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 𝑋𝑌 )
95 ssidd ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
96 ioossre ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ
97 96 a1i ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ )
98 1 2 3 4 95 97 6 29 12 14 ftc1lem1 ( ( 𝜑𝑋𝑌 ) → ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) = ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑡 ) d 𝑡 )
99 94 98 syldan ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) = ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑡 ) d 𝑡 )
100 31 39 npcand ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) + ( 𝐹𝑐 ) ) = ( 𝐹𝑡 ) )
101 100 itgeq2dv ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) + ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 = ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑡 ) d 𝑡 )
102 31 39 subcld ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ∈ ℂ )
103 100 mpteq2dva ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) + ( 𝐹𝑐 ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹𝑡 ) ) )
104 103 67 eqtr4d ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) + ( 𝐹𝑐 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) )
105 iblmbf ( 𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn )
106 6 105 syl ( 𝜑𝐹 ∈ MblFn )
107 mbfres ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ MblFn )
108 106 32 107 sylancl ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ MblFn )
109 104 108 eqeltrd ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) + ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ MblFn )
110 102 81 39 63 109 itgaddnc ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) + ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 + ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑐 ) d 𝑡 ) )
111 101 110 eqtr3d ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑡 ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 + ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑐 ) d 𝑡 ) )
112 111 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑡 ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 + ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑐 ) d 𝑡 ) )
113 itgconst ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹𝑐 ) ∈ ℂ ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑐 ) d 𝑡 = ( ( 𝐹𝑐 ) · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) )
114 33 60 38 113 syl3anc ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑐 ) d 𝑡 = ( ( 𝐹𝑐 ) · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) )
115 114 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑐 ) d 𝑡 = ( ( 𝐹𝑐 ) · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) )
116 47 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
117 48 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 𝑌 ∈ ℝ )
118 ovolioo ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌 ) → ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( 𝑌𝑋 ) )
119 116 117 94 118 syl3anc ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( 𝑌𝑋 ) )
120 42 119 syl5eq ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( 𝑌𝑋 ) )
121 120 oveq2d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝐹𝑐 ) · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) )
122 115 121 eqtrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑐 ) d 𝑡 = ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) )
123 122 oveq2d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 + ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹𝑐 ) d 𝑡 ) = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 + ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) ) )
124 99 112 123 3eqtrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 + ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) ) )
125 124 oveq1d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) = ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 + ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) )
126 91 86 mulcld ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) ∈ ℂ )
127 83 126 86 89 divdird ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 + ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) = ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌𝑋 ) ) + ( ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) ) )
128 91 86 89 divcan4d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) = ( 𝐹𝑐 ) )
129 128 oveq2d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌𝑋 ) ) + ( ( ( 𝐹𝑐 ) · ( 𝑌𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) ) = ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌𝑋 ) ) + ( 𝐹𝑐 ) ) )
130 125 127 129 3eqtrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) = ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌𝑋 ) ) + ( 𝐹𝑐 ) ) )
131 90 91 130 mvrraddd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) − ( 𝐹𝑐 ) ) = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌𝑋 ) ) )
132 131 fveq2d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌𝑋 ) ) ) )
133 83 86 89 absdivd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌𝑋 ) ) ) = ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( abs ‘ ( 𝑌𝑋 ) ) ) )
134 84 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑌𝑋 ) ∈ ℝ )
135 0re 0 ∈ ℝ
136 ltle ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( 𝑌𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 0 < ( 𝑌𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑌𝑋 ) ) )
137 135 134 136 sylancr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 0 < ( 𝑌𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑌𝑋 ) ) )
138 88 137 mpd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 0 ≤ ( 𝑌𝑋 ) )
139 134 138 absidd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( 𝑌𝑋 ) ) = ( 𝑌𝑋 ) )
140 139 oveq2d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( abs ‘ ( 𝑌𝑋 ) ) ) = ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌𝑋 ) ) )
141 132 133 140 3eqtrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) = ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌𝑋 ) ) )
142 83 abscld ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℝ )
143 102 abscld ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ ℝ )
144 cncfss ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( ℂ –cn→ ℝ ) ⊆ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
145 72 74 144 mp2an ( ℂ –cn→ ℝ ) ⊆ ( ℂ –cn→ ℂ )
146 abscncf abs ∈ ( ℂ –cn→ ℝ )
147 145 146 sselii abs ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
148 147 a1i ( 𝜑 → abs ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
149 148 78 cncfmpt1f ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
150 cnmbf ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ MblFn )
151 32 149 150 sylancr ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ MblFn )
152 16 81 151 iblabsnc ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
153 143 152 itgrecl ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ∈ ℝ )
154 153 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ∈ ℝ )
155 9 rpred ( 𝜑𝐸 ∈ ℝ )
156 84 155 remulcld ( 𝜑 → ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) ∈ ℝ )
157 156 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) ∈ ℝ )
158 82 cjcld ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℂ )
159 cncfmptc ( ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
160 73 74 159 mp3an23 ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
161 158 160 syl ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
162 nfcv 𝑥 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) )
163 nfcsb1v 𝑡 𝑥 / 𝑡 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) )
164 csbeq1a ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) = 𝑥 / 𝑡 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) )
165 162 163 164 cbvmpt ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝑥 / 𝑡 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) )
166 165 78 eqeltrrid ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝑥 / 𝑡 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
167 161 166 mulcncf ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) · 𝑥 / 𝑡 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
168 cnmbf ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) · 𝑥 / 𝑡 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) · 𝑥 / 𝑡 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ MblFn )
169 32 167 168 sylancr ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) · 𝑥 / 𝑡 ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ MblFn )
170 102 81 151 169 itgabsnc ( 𝜑 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ≤ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 )
171 170 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ≤ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 )
172 simpr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 𝑋 < 𝑌 )
173 155 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
174 fconstmpt ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { 𝐸 } ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 )
175 9 rpcnd ( 𝜑𝐸 ∈ ℂ )
176 iblconst ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { 𝐸 } ) ∈ 𝐿1 )
177 33 60 175 176 syl3anc ( 𝜑 → ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { 𝐸 } ) ∈ 𝐿1 )
178 174 177 eqeltrrid ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) ∈ 𝐿1 )
179 cncfmptc ( ( 𝐸 ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
180 73 74 179 mp3an23 ( 𝐸 ∈ ℂ → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
181 175 180 syl ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
182 64 66 181 149 cncfmpt2f ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
183 cnmbf ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ) ∈ MblFn )
184 32 182 183 sylancr ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ) ∈ MblFn )
185 173 178 143 152 184 iblsubnc ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
186 185 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
187 11 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( abs ‘ ( 𝑦𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑦 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) )
188 187 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( abs ‘ ( 𝑦𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑦 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) )
189 96 7 sseldi ( 𝜑𝑐 ∈ ℝ )
190 10 rpred ( 𝜑𝑅 ∈ ℝ )
191 189 190 resubcld ( 𝜑 → ( 𝑐𝑅 ) ∈ ℝ )
192 191 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑐𝑅 ) ∈ ℝ )
193 47 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
194 elioore ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) → 𝑡 ∈ ℝ )
195 194 adantl ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
196 47 189 190 absdifltd ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝑋𝑐 ) ) < 𝑅 ↔ ( ( 𝑐𝑅 ) < 𝑋𝑋 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) ) )
197 13 196 mpbid ( 𝜑 → ( ( 𝑐𝑅 ) < 𝑋𝑋 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) )
198 197 simpld ( 𝜑 → ( 𝑐𝑅 ) < 𝑋 )
199 198 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑐𝑅 ) < 𝑋 )
200 eliooord ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) → ( 𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌 ) )
201 200 adantl ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌 ) )
202 201 simpld ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑋 < 𝑡 )
203 192 193 195 199 202 lttrd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑐𝑅 ) < 𝑡 )
204 48 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
205 189 190 readdcld ( 𝜑 → ( 𝑐 + 𝑅 ) ∈ ℝ )
206 205 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑐 + 𝑅 ) ∈ ℝ )
207 201 simprd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑡 < 𝑌 )
208 48 189 190 absdifltd ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝑌𝑐 ) ) < 𝑅 ↔ ( ( 𝑐𝑅 ) < 𝑌𝑌 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) ) )
209 15 208 mpbid ( 𝜑 → ( ( 𝑐𝑅 ) < 𝑌𝑌 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) )
210 209 simprd ( 𝜑𝑌 < ( 𝑐 + 𝑅 ) )
211 210 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑌 < ( 𝑐 + 𝑅 ) )
212 195 204 206 207 211 lttrd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑡 < ( 𝑐 + 𝑅 ) )
213 189 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
214 190 adantr ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑅 ∈ ℝ )
215 195 213 214 absdifltd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑡𝑐 ) ) < 𝑅 ↔ ( ( 𝑐𝑅 ) < 𝑡𝑡 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) ) )
216 203 212 215 mpbir2and ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑡𝑐 ) ) < 𝑅 )
217 fvoveq1 ( 𝑦 = 𝑡 → ( abs ‘ ( 𝑦𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑡𝑐 ) ) )
218 217 breq1d ( 𝑦 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( 𝑦𝑐 ) ) < 𝑅 ↔ ( abs ‘ ( 𝑡𝑐 ) ) < 𝑅 ) )
219 218 imbrov2fvoveq ( 𝑦 = 𝑡 → ( ( ( abs ‘ ( 𝑦𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑦 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑡𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ) )
220 219 rspcv ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( abs ‘ ( 𝑦𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑦 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑡𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ) )
221 27 188 216 220 syl3c ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 )
222 difrp ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ↔ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) )
223 143 173 222 syl2anc ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 ↔ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) )
224 221 223 mpbid ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ ℝ+ )
225 224 adantlr ( ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ∈ ℝ+ )
226 182 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) )
227 172 186 225 226 itggt0cn ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 0 < ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) d 𝑡 )
228 173 178 143 152 184 itgsubnc ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) )
229 228 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) )
230 itgconst ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 = ( 𝐸 · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) )
231 33 60 175 230 syl3anc ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 = ( 𝐸 · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) )
232 231 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 = ( 𝐸 · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) )
233 120 oveq2d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝐸 · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) = ( 𝐸 · ( 𝑌𝑋 ) ) )
234 175 85 mulcomd ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( 𝑌𝑋 ) ) = ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) )
235 234 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝐸 · ( 𝑌𝑋 ) ) = ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) )
236 232 233 235 3eqtrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 = ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) )
237 236 oveq1d ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) = ( ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) )
238 229 237 eqtrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) ) d 𝑡 = ( ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) )
239 227 238 breqtrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 0 < ( ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) )
240 153 156 posdifd ( 𝜑 → ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 < ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) ↔ 0 < ( ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) )
241 240 biimpar ( ( 𝜑 ∧ 0 < ( ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 < ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) )
242 239 241 syldan ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) d 𝑡 < ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) )
243 142 154 157 171 242 lelttrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) < ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) )
244 155 adantr ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → 𝐸 ∈ ℝ )
245 ltdivmul ( ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑌𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝑌𝑋 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌𝑋 ) ) < 𝐸 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) < ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) ) )
246 142 244 134 88 245 syl112anc ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌𝑋 ) ) < 𝐸 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) < ( ( 𝑌𝑋 ) · 𝐸 ) ) )
247 243 246 mpbird ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹𝑡 ) − ( 𝐹𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌𝑋 ) ) < 𝐸 )
248 141 247 eqbrtrd ( ( 𝜑𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺𝑌 ) − ( 𝐺𝑋 ) ) / ( 𝑌𝑋 ) ) − ( 𝐹𝑐 ) ) ) < 𝐸 )