Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ftc1cnnc.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝑥 ) ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) d 𝑡 ) |
2 |
|
ftc1cnnc.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
3 |
|
ftc1cnnc.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
4 |
|
ftc1cnnc.le |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
5 |
|
ftc1cnnc.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
6 |
|
ftc1cnnc.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1 ) |
7 |
|
ftc1cnnclem.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝑐 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
8 |
|
ftc1cnnclem.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑧 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∖ { 𝑐 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑐 ) ) / ( 𝑧 − 𝑐 ) ) ) |
9 |
|
ftc1cnnclem.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
10 |
|
ftc1cnnclem.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+ ) |
11 |
|
ftc1cnnclem.fc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ) |
12 |
|
ftc1cnnclem.x1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
13 |
|
ftc1cnnclem.x2 |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) < 𝑅 ) |
14 |
|
ftc1cnnclem.y1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
15 |
|
ftc1cnnclem.y2 |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝑌 − 𝑐 ) ) < 𝑅 ) |
16 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ V ) |
17 |
2
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
18 |
3
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
19 |
|
elicc1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ) ) |
20 |
19
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ) |
21 |
20
|
simp2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ 𝑋 ) |
22 |
17 18 12 21
|
syl21anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋 ) |
23 |
|
iccleub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑌 ≤ 𝐵 ) |
24 |
17 18 14 23
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵 ) |
25 |
|
ioossioo |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
26 |
17 18 22 24 25
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
27 |
26
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
28 |
|
cncff |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) → 𝐹 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
29 |
5 28
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
30 |
29
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ∈ ℂ ) |
31 |
27 30
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ∈ ℂ ) |
32 |
|
ioombl |
⊢ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol |
33 |
32
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ) |
34 |
|
fvexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ∈ V ) |
35 |
29
|
feqmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ) |
36 |
35 6
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
37 |
26 33 34 36
|
iblss |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
38 |
29 7
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ ) |
39 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ ) |
40 |
|
fconstmpt |
⊢ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) } ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) |
41 |
|
mblvol |
⊢ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) |
42 |
32 41
|
ax-mp |
⊢ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) |
43 |
|
ioossicc |
⊢ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) |
44 |
43
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) |
45 |
|
iccssre |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
46 |
2 3 45
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
47 |
46 12
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
48 |
46 14
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
49 |
|
iccmbl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∈ dom vol ) |
50 |
47 48 49
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∈ dom vol ) |
51 |
|
mblss |
⊢ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∈ dom vol → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) |
52 |
50 51
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) |
53 |
|
mblvol |
⊢ ( ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
54 |
50 53
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( vol ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
55 |
|
iccvolcl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
56 |
47 48 55
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( vol ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
57 |
54 56
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( vol* ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
58 |
|
ovolsscl |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
59 |
44 52 57 58
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
60 |
42 59
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ) |
61 |
|
iblconst |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) } ) ∈ 𝐿1 ) |
62 |
33 60 38 61
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) } ) ∈ 𝐿1 ) |
63 |
40 62
|
eqeltrrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
64 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
65 |
64
|
subcn |
⊢ − ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
66 |
65
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → − ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
67 |
29 26
|
feqresmpt |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ) |
68 |
|
rescncf |
⊢ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) ) |
69 |
26 5 68
|
sylc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
70 |
67 69
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
71 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℝ |
72 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
73 |
71 72
|
sstri |
⊢ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℂ |
74 |
|
ssid |
⊢ ℂ ⊆ ℂ |
75 |
|
cncfmptc |
⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
76 |
73 74 75
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
77 |
38 76
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
78 |
64 66 70 77
|
cncfmpt2f |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
79 |
|
cnmbf |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ MblFn ) |
80 |
32 78 79
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ MblFn ) |
81 |
31 37 39 63 80
|
iblsubnc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
82 |
16 81
|
itgcl |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ∈ ℂ ) |
83 |
82
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ∈ ℂ ) |
84 |
48 47
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
85 |
84
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
86 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
87 |
47 48
|
posdifd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
88 |
87
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 0 < ( 𝑌 − 𝑋 ) ) |
89 |
88
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑌 − 𝑋 ) ≠ 0 ) |
90 |
83 86 89
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ∈ ℂ ) |
91 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ ) |
92 |
|
ltle |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) |
93 |
47 48 92
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) |
94 |
93
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 𝑋 ≤ 𝑌 ) |
95 |
|
ssidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
96 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ |
97 |
96
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
98 |
1 2 3 4 95 97 6 29 12 14
|
ftc1lem1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) = ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) d 𝑡 ) |
99 |
94 98
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) = ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) d 𝑡 ) |
100 |
31 39
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) |
101 |
100
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 = ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) d 𝑡 ) |
102 |
31 39
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ℂ ) |
103 |
100
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ) |
104 |
103 67
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) |
105 |
|
iblmbf |
⊢ ( 𝐹 ∈ 𝐿1 → 𝐹 ∈ MblFn ) |
106 |
6 105
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn ) |
107 |
|
mbfres |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ MblFn ∧ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ MblFn ) |
108 |
106 32 107
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ MblFn ) |
109 |
104 108
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ MblFn ) |
110 |
102 81 39 63 109
|
itgaddnc |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 + ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) d 𝑡 ) ) |
111 |
101 110
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 + ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) d 𝑡 ) ) |
112 |
111
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 + ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) d 𝑡 ) ) |
113 |
|
itgconst |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ℂ ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) d 𝑡 = ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) ) |
114 |
33 60 38 113
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) d 𝑡 = ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) ) |
115 |
114
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) d 𝑡 = ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) ) |
116 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
117 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
118 |
|
ovolioo |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌 ) → ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) ) |
119 |
116 117 94 118
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( vol* ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) ) |
120 |
42 119
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) ) |
121 |
120
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
122 |
115 121
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) d 𝑡 = ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
123 |
122
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 + ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) d 𝑡 ) = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 + ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) ) |
124 |
99 112 123
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 + ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) ) |
125 |
124
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) = ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 + ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
126 |
91 86
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ∈ ℂ ) |
127 |
83 126 86 89
|
divdird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 + ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) = ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) ) |
128 |
91 86 89
|
divcan4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) |
129 |
128
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) = ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) |
130 |
125 127 129
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) = ( ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) |
131 |
90 91 130
|
mvrraddd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
132 |
131
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) = ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) ) |
133 |
83 86 89
|
absdivd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) = ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( abs ‘ ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) ) |
134 |
84
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
135 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
136 |
|
ltle |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 0 < ( 𝑌 − 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
137 |
135 134 136
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 0 < ( 𝑌 − 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
138 |
88 137
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 0 ≤ ( 𝑌 − 𝑋 ) ) |
139 |
134 138
|
absidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( 𝑌 − 𝑋 ) ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) ) |
140 |
139
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( abs ‘ ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) = ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
141 |
132 133 140
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) = ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
142 |
83
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℝ ) |
143 |
102
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ ℝ ) |
144 |
|
cncfss |
⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( ℂ –cn→ ℝ ) ⊆ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
145 |
72 74 144
|
mp2an |
⊢ ( ℂ –cn→ ℝ ) ⊆ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
146 |
|
abscncf |
⊢ abs ∈ ( ℂ –cn→ ℝ ) |
147 |
145 146
|
sselii |
⊢ abs ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
148 |
147
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → abs ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
149 |
148 78
|
cncfmpt1f |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
150 |
|
cnmbf |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ MblFn ) |
151 |
32 149 150
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ MblFn ) |
152 |
16 81 151
|
iblabsnc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
153 |
143 152
|
itgrecl |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ∈ ℝ ) |
154 |
153
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ∈ ℝ ) |
155 |
9
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ ) |
156 |
84 155
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ∈ ℝ ) |
157 |
156
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ∈ ℝ ) |
158 |
82
|
cjcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℂ ) |
159 |
|
cncfmptc |
⊢ ( ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
160 |
73 74 159
|
mp3an23 |
⊢ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
161 |
158 160
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
162 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) |
163 |
|
nfcsb1v |
⊢ Ⅎ 𝑡 ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) |
164 |
|
csbeq1a |
⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) |
165 |
162 163 164
|
cbvmpt |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) |
166 |
165 78
|
eqeltrrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
167 |
161 166
|
mulcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) · ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
168 |
|
cnmbf |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) · ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) · ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ MblFn ) |
169 |
32 167 168
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( ( ∗ ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) · ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ MblFn ) |
170 |
102 81 151 169
|
itgabsnc |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ≤ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) |
171 |
170
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ≤ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) |
172 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 𝑋 < 𝑌 ) |
173 |
155
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
174 |
|
fconstmpt |
⊢ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { 𝐸 } ) = ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) |
175 |
9
|
rpcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ ) |
176 |
|
iblconst |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { 𝐸 } ) ∈ 𝐿1 ) |
177 |
33 60 175 176
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) × { 𝐸 } ) ∈ 𝐿1 ) |
178 |
174 177
|
eqeltrrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) ∈ 𝐿1 ) |
179 |
|
cncfmptc |
⊢ ( ( 𝐸 ∈ ℂ ∧ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
180 |
73 74 179
|
mp3an23 |
⊢ ( 𝐸 ∈ ℂ → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
181 |
175 180
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ 𝐸 ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
182 |
64 66 181 149
|
cncfmpt2f |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
183 |
|
cnmbf |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) ∈ MblFn ) |
184 |
32 182 183
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) ∈ MblFn ) |
185 |
173 178 143 152 184
|
iblsubnc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
186 |
185
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
187 |
11
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ) |
188 |
187
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ) |
189 |
96 7
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑐 ∈ ℝ ) |
190 |
10
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ ) |
191 |
189 190
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑐 − 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
192 |
191
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑐 − 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
193 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
194 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
195 |
194
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
196 |
47 189 190
|
absdifltd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝑋 − 𝑐 ) ) < 𝑅 ↔ ( ( 𝑐 − 𝑅 ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) ) ) |
197 |
13 196
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑐 − 𝑅 ) < 𝑋 ∧ 𝑋 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) ) |
198 |
197
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑐 − 𝑅 ) < 𝑋 ) |
199 |
198
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑐 − 𝑅 ) < 𝑋 ) |
200 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) → ( 𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌 ) ) |
201 |
200
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌 ) ) |
202 |
201
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑋 < 𝑡 ) |
203 |
192 193 195 199 202
|
lttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑐 − 𝑅 ) < 𝑡 ) |
204 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
205 |
189 190
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑐 + 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
206 |
205
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝑐 + 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
207 |
201
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑡 < 𝑌 ) |
208 |
48 189 190
|
absdifltd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝑌 − 𝑐 ) ) < 𝑅 ↔ ( ( 𝑐 − 𝑅 ) < 𝑌 ∧ 𝑌 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) ) ) |
209 |
15 208
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑐 − 𝑅 ) < 𝑌 ∧ 𝑌 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) ) |
210 |
209
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) |
211 |
210
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑌 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) |
212 |
195 204 206 207 211
|
lttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑡 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) |
213 |
189
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
214 |
190
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
215 |
195 213 214
|
absdifltd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑡 − 𝑐 ) ) < 𝑅 ↔ ( ( 𝑐 − 𝑅 ) < 𝑡 ∧ 𝑡 < ( 𝑐 + 𝑅 ) ) ) ) |
216 |
203 212 215
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑡 − 𝑐 ) ) < 𝑅 ) |
217 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑡 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑡 − 𝑐 ) ) ) |
218 |
217
|
breq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) < 𝑅 ↔ ( abs ‘ ( 𝑡 − 𝑐 ) ) < 𝑅 ) ) |
219 |
218
|
imbrov2fvoveq |
⊢ ( 𝑦 = 𝑡 → ( ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑡 − 𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ) ) |
220 |
219
|
rspcv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) → ( ( abs ‘ ( 𝑡 − 𝑐 ) ) < 𝑅 → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) ) ) |
221 |
27 188 216 220
|
syl3c |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) |
222 |
|
difrp |
⊢ ( ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ↔ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) ) |
223 |
143 173 222
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ↔ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) ) |
224 |
221 223
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
225 |
224
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) → ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
226 |
182
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ↦ ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) –cn→ ℂ ) ) |
227 |
172 186 225 226
|
itggt0cn |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 0 < ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) d 𝑡 ) |
228 |
173 178 143 152 184
|
itgsubnc |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) |
229 |
228
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) d 𝑡 = ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) |
230 |
|
itgconst |
⊢ ( ( ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ∈ dom vol ∧ ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 = ( 𝐸 · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) ) |
231 |
33 60 175 230
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 = ( 𝐸 · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) ) |
232 |
231
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 = ( 𝐸 · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) ) |
233 |
120
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝐸 · ( vol ‘ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ) ) = ( 𝐸 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) |
234 |
175 85
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ) |
235 |
234
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( 𝐸 · ( 𝑌 − 𝑋 ) ) = ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ) |
236 |
232 233 235
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 = ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ) |
237 |
236
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) 𝐸 d 𝑡 − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) = ( ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) |
238 |
229 237
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( 𝐸 − ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) ) d 𝑡 = ( ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) |
239 |
227 238
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 0 < ( ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) |
240 |
153 156
|
posdifd |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 < ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ↔ 0 < ( ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) ) |
241 |
240
|
biimpar |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 < ( ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) − ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 ) ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 < ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ) |
242 |
239 241
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) d 𝑡 < ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ) |
243 |
142 154 157 171 242
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) < ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ) |
244 |
155
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
245 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑌 − 𝑋 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝑌 − 𝑋 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) < 𝐸 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) < ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ) ) |
246 |
142 244 134 88 245
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) < 𝐸 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) < ( ( 𝑌 − 𝑋 ) · 𝐸 ) ) ) |
247 |
243 246
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑋 (,) 𝑌 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) d 𝑡 ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) < 𝐸 ) |
248 |
141 247
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑌 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑋 ) ) / ( 𝑌 − 𝑋 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) < 𝐸 ) |