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Theorem fourierdlem68

Description: The derivative of O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem68.f 
|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre 
|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem68.a 
|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem68.b 
|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem68.altb 
|- ( ph -> A < B )
fourierdlem68.ab 
|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
fourierdlem68.n0 
|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv 
|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem68.d 
|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem68.fbd 
|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
fourierdlem68.e 
|- ( ph -> E e. RR )
fourierdlem68.fdvbd 
|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
fourierdlem68.c 
|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem68.o 
|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
Assertion fourierdlem68 
|- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem68.f 
 |-  ( ph -> F : RR --> RR )
2 fourierdlem68.xre 
 |-  ( ph -> X e. RR )
3 fourierdlem68.a 
 |-  ( ph -> A e. RR )
4 fourierdlem68.b 
 |-  ( ph -> B e. RR )
5 fourierdlem68.altb 
 |-  ( ph -> A < B )
6 fourierdlem68.ab 
 |-  ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
7 fourierdlem68.n0 
 |-  ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
8 fourierdlem68.fdv 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
9 fourierdlem68.d 
 |-  ( ph -> D e. RR )
10 fourierdlem68.fbd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
11 fourierdlem68.e 
 |-  ( ph -> E e. RR )
12 fourierdlem68.fdvbd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
13 fourierdlem68.c 
 |-  ( ph -> C e. RR )
14 fourierdlem68.o 
 |-  O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
15 ioossicc 
 |-  ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
16 15 6 sstrid 
 |-  ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
17 15 sseli 
 |-  ( 0 e. ( A (,) B ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
18 7 17 nsyl 
 |-  ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
19 1 2 3 4 8 16 18 13 14 fourierdlem57 
 |-  ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
20 19 simpli 
 |-  ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
21 20 simpld 
 |-  ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
22 21 fdmd 
 |-  ( ph -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
23 eqid 
 |-  ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) )
24 3 4 5 ltled 
 |-  ( ph -> A <_ B )
25 2re 
 |-  2 e. RR
26 25 a1i 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. RR )
27 3 4 iccssred 
 |-  ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
28 27 sselda 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. RR )
29 28 rehalfcld 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t / 2 ) e. RR )
30 29 resincld 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. RR )
31 26 30 remulcld 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR )
32 2cnd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. CC )
33 30 recnd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. CC )
34 2ne0 
 |-  2 =/= 0
35 34 a1i 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 =/= 0 )
36 6 sselda 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( -u _pi [,] _pi ) )
37 eqcom 
 |-  ( t = 0 <-> 0 = t )
38 37 biimpi 
 |-  ( t = 0 -> 0 = t )
39 38 adantl 
 |-  ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 = t )
40 simpl 
 |-  ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> t e. ( A [,] B ) )
41 39 40 eqeltrd 
 |-  ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
42 41 adantll 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
43 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
44 42 43 pm2.65da 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> -. t = 0 )
45 44 neqned 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t =/= 0 )
46 fourierdlem44 
 |-  ( ( t e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ t =/= 0 ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
47 36 45 46 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
48 32 33 35 47 mulne0d 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 )
49 eldifsn 
 |-  ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
50 31 48 49 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) )
51 50 23 fmptd 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) )
52 difss 
 |-  ( RR \ { 0 } ) C_ RR
53 ax-resscn 
 |-  RR C_ CC
54 52 53 sstri 
 |-  ( RR \ { 0 } ) C_ CC
55 54 a1i 
 |-  ( ph -> ( RR \ { 0 } ) C_ CC )
56 27 53 sstrdi 
 |-  ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
57 2cnd 
 |-  ( ph -> 2 e. CC )
58 ssid 
 |-  CC C_ CC
59 58 a1i 
 |-  ( ph -> CC C_ CC )
60 56 57 59 constcncfg 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
61 sincn 
 |-  sin e. ( CC -cn-> CC )
62 61 a1i 
 |-  ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
63 56 59 idcncfg 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> t ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
64 eldifsn 
 |-  ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
65 32 35 64 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
66 eqid 
 |-  ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 )
67 65 66 fmptd 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
68 difssd 
 |-  ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
69 cncfcdm 
 |-  ( ( ( CC \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
70 68 60 69 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
71 67 70 mpbird 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
72 63 71 divcncf 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t / 2 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
73 62 72 cncfmpt1f 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
74 60 73 mulcncf 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
75 cncfcdm 
 |-  ( ( ( RR \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
76 55 74 75 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
77 51 76 mpbird 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) )
78 23 3 4 24 77 cncficcgt0 
 |-  ( ph -> E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) )
79 reelprrecn 
 |-  RR e. { RR , CC }
80 79 a1i 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> RR e. { RR , CC } )
81 1 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
82 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
83 elioore 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
84 83 adantl 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
85 82 84 readdcld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
86 81 85 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
87 13 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
88 86 87 resubcld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
89 88 recnd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
90 89 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
91 79 a1i 
 |-  ( ph -> RR e. { RR , CC } )
92 86 recnd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
93 8 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
94 2 3 readdcld 
 |-  ( ph -> ( X + A ) e. RR )
95 94 rexrd 
 |-  ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
96 95 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
97 2 4 readdcld 
 |-  ( ph -> ( X + B ) e. RR )
98 97 rexrd 
 |-  ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
99 98 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
100 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
101 100 rexrd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
102 4 rexrd 
 |-  ( ph -> B e. RR* )
103 102 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
104 simpr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
105 ioogtlb 
 |-  ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
106 101 103 104 105 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
107 100 84 82 106 ltadd2dd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
108 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
109 iooltub 
 |-  ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
110 101 103 104 109 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
111 84 108 82 110 ltadd2dd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
112 96 99 85 107 111 eliood 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
113 93 112 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
114 eqid 
 |-  ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
115 1 2 3 4 114 8 fourierdlem28 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
116 87 recnd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
117 0red 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
118 iooretop 
 |-  ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
119 tgioo4 
 |-  ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )
120 118 119 eleqtri 
 |-  ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )
121 120 a1i 
 |-  ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR ) )
122 13 recnd 
 |-  ( ph -> C e. CC )
123 91 121 122 dvmptconst 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
124 91 92 113 115 116 117 123 dvmptsub 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
125 113 recnd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
126 125 subid1d 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
127 126 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
128 124 127 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
129 128 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
130 125 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
131 2cnd 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. CC )
132 83 recnd 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> s e. CC )
133 132 halfcld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. CC )
134 133 sincld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
135 131 134 mulcld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
136 135 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
137 11 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E e. RR )
138 1re 
 |-  1 e. RR
139 25 138 remulcli 
 |-  ( 2 x. 1 ) e. RR
140 139 a1i 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
141 1red 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> 1 e. RR )
142 122 abscld 
 |-  ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
143 9 142 readdcld 
 |-  ( ph -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
144 143 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
145 simpl 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ph )
146 145 112 jca 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
147 eleq1 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) <-> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
148 147 anbi2d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) <-> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) )
149 fveq2 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
150 149 fveq2d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
151 150 breq1d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
152 148 151 imbi12d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) ) )
153 152 12 vtoclg 
 |-  ( ( X + s ) e. RR -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
154 85 146 153 sylc 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
155 154 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
156 131 134 absmuld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
157 0le2 
 |-  0 <_ 2
158 absid 
 |-  ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
159 25 157 158 mp2an 
 |-  ( abs ` 2 ) = 2
160 159 oveq1i 
 |-  ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
161 134 abscld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
162 1red 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> 1 e. RR )
163 25 a1i 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. RR )
164 157 a1i 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> 0 <_ 2 )
165 83 rehalfcld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. RR )
166 abssinbd 
 |-  ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
167 165 166 syl 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
168 161 162 163 164 167 lemul2ad 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
169 160 168 eqbrtrid 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
170 156 169 eqbrtrd 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
171 170 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
172 abscosbd 
 |-  ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
173 104 165 172 3syl 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
174 173 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
175 89 abscld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
176 92 abscld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) e. RR )
177 116 abscld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
178 176 177 readdcld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
179 9 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> D e. RR )
180 179 177 readdcld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
181 92 116 abs2dif2d 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) )
182 fveq2 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( F ` t ) = ( F ` ( X + s ) ) )
183 182 fveq2d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) = ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) )
184 183 breq1d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D <-> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
185 148 184 imbi12d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) ) )
186 185 10 vtoclg 
 |-  ( ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
187 112 146 186 sylc 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D )
188 176 179 177 187 leadd1dd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
189 175 178 180 181 188 letrd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
190 189 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
191 19 simpri 
 |-  ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
192 191 a1i 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
193 133 coscld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
194 193 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
195 simp2 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> c e. RR+ )
196 oveq1 
 |-  ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
197 196 fveq2d 
 |-  ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
198 197 oveq2d 
 |-  ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
199 198 fveq2d 
 |-  ( t = s -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
200 199 breq2d 
 |-  ( t = s -> ( c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
201 200 cbvralvw 
 |-  ( A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
202 nfv 
 |-  F/ s ph
203 nfra1 
 |-  F/ s A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
204 202 203 nfan 
 |-  F/ s ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
205 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
206 15 104 sselid 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
207 206 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
208 rspa 
 |-  ( ( A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
209 205 207 208 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
210 209 ex 
 |-  ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> ( s e. ( A (,) B ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
211 204 210 ralrimi 
 |-  ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
212 201 211 sylan2b 
 |-  ( ( ph /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
213 212 3adant2 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
214 eqid 
 |-  ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
215 80 90 129 130 136 137 140 141 144 155 171 174 190 192 194 195 213 214 dvdivbd 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
216 215 rexlimdv3a 
 |-  ( ph -> ( E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
217 78 216 mpd 
 |-  ( ph -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
218 nfcv 
 |-  F/_ s RR
219 nfcv 
 |-  F/_ s _D
220 nfmpt1 
 |-  F/_ s ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
221 14 220 nfcxfr 
 |-  F/_ s O
222 218 219 221 nfov 
 |-  F/_ s ( RR _D O )
223 222 nfdm 
 |-  F/_ s dom ( RR _D O )
224 nfcv 
 |-  F/_ s ( A (,) B )
225 223 224 raleqf 
 |-  ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
226 22 225 syl 
 |-  ( ph -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
227 226 rexbidv 
 |-  ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
228 217 227 mpbird 
 |-  ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
229 14 a1i 
 |-  ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
230 229 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
231 230 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
232 231 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
233 232 breq1d 
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
234 233 rexralbidv 
 |-  ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
235 228 234 mpbird 
 |-  ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
236 22 235 jca 
 |-  ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )