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Theorem fourierdlem68

Description: The derivative of O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem68.f 
|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre 
|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem68.a 
|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem68.b 
|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem68.altb 
|- ( ph -> A < B )
fourierdlem68.ab 
|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
fourierdlem68.n0 
|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv 
|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem68.d 
|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem68.fbd 
|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
fourierdlem68.e 
|- ( ph -> E e. RR )
fourierdlem68.fdvbd 
|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
fourierdlem68.c 
|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem68.o 
|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
Assertion fourierdlem68 
|- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem68.f 
 |-  ( ph -> F : RR --> RR )
2 fourierdlem68.xre 
 |-  ( ph -> X e. RR )
3 fourierdlem68.a 
 |-  ( ph -> A e. RR )
4 fourierdlem68.b 
 |-  ( ph -> B e. RR )
5 fourierdlem68.altb 
 |-  ( ph -> A < B )
6 fourierdlem68.ab 
 |-  ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
7 fourierdlem68.n0 
 |-  ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
8 fourierdlem68.fdv 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
9 fourierdlem68.d 
 |-  ( ph -> D e. RR )
10 fourierdlem68.fbd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
11 fourierdlem68.e 
 |-  ( ph -> E e. RR )
12 fourierdlem68.fdvbd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
13 fourierdlem68.c 
 |-  ( ph -> C e. RR )
14 fourierdlem68.o 
 |-  O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
15 ioossicc 
 |-  ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
16 15 6 sstrid 
 |-  ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
17 15 sseli 
 |-  ( 0 e. ( A (,) B ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
18 7 17 nsyl 
 |-  ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
19 1 2 3 4 8 16 18 13 14 fourierdlem57 
 |-  ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
20 19 simpli 
 |-  ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
21 20 simpld 
 |-  ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
22 21 fdmd 
 |-  ( ph -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
23 eqid 
 |-  ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) )
24 3 4 5 ltled 
 |-  ( ph -> A <_ B )
25 2re 
 |-  2 e. RR
26 25 a1i 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. RR )
27 3 4 iccssred 
 |-  ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
28 27 sselda 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. RR )
29 28 rehalfcld 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t / 2 ) e. RR )
30 29 resincld 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. RR )
31 26 30 remulcld 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR )
32 2cnd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. CC )
33 30 recnd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. CC )
34 2ne0 
 |-  2 =/= 0
35 34 a1i 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 =/= 0 )
36 6 sselda 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( -u _pi [,] _pi ) )
37 eqcom 
 |-  ( t = 0 <-> 0 = t )
38 37 bilani 
 |-  ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 = t )
39 simpl 
 |-  ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> t e. ( A [,] B ) )
40 38 39 eqeltrd 
 |-  ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
41 40 adantll 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
42 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
43 41 42 pm2.65da 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> -. t = 0 )
44 43 neqned 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t =/= 0 )
45 fourierdlem44 
 |-  ( ( t e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ t =/= 0 ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
46 36 44 45 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
47 32 33 35 46 mulne0d 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 )
48 eldifsn 
 |-  ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
49 31 47 48 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) )
50 49 23 fmptd 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) )
51 difss 
 |-  ( RR \ { 0 } ) C_ RR
52 ax-resscn 
 |-  RR C_ CC
53 51 52 sstri 
 |-  ( RR \ { 0 } ) C_ CC
54 53 a1i 
 |-  ( ph -> ( RR \ { 0 } ) C_ CC )
55 27 52 sstrdi 
 |-  ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
56 2cnd 
 |-  ( ph -> 2 e. CC )
57 ssid 
 |-  CC C_ CC
58 57 a1i 
 |-  ( ph -> CC C_ CC )
59 55 56 58 constcncfg 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
60 sincn 
 |-  sin e. ( CC -cn-> CC )
61 60 a1i 
 |-  ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
62 55 58 idcncfg 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> t ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
63 eldifsn 
 |-  ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
64 32 35 63 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
65 eqid 
 |-  ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 )
66 64 65 fmptd 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
67 difssd 
 |-  ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
68 cncfcdm 
 |-  ( ( ( CC \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
69 67 59 68 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
70 66 69 mpbird 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
71 62 70 divcncf 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t / 2 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
72 61 71 cncfmpt1f 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
73 59 72 mulcncf 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
74 cncfcdm 
 |-  ( ( ( RR \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
75 54 73 74 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
76 50 75 mpbird 
 |-  ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) )
77 23 3 4 24 76 cncficcgt0 
 |-  ( ph -> E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) )
78 reelprrecn 
 |-  RR e. { RR , CC }
79 78 a1i 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> RR e. { RR , CC } )
80 1 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
81 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
82 elioore 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
83 82 adantl 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
84 81 83 readdcld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
85 80 84 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
86 13 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
87 85 86 resubcld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
88 87 recnd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
89 88 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
90 78 a1i 
 |-  ( ph -> RR e. { RR , CC } )
91 85 recnd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
92 8 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
93 2 3 readdcld 
 |-  ( ph -> ( X + A ) e. RR )
94 93 rexrd 
 |-  ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
95 94 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
96 2 4 readdcld 
 |-  ( ph -> ( X + B ) e. RR )
97 96 rexrd 
 |-  ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
98 97 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
99 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
100 99 rexrd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
101 4 rexrd 
 |-  ( ph -> B e. RR* )
102 101 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
103 simpr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
104 ioogtlb 
 |-  ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
105 100 102 103 104 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
106 99 83 81 105 ltadd2dd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
107 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
108 iooltub 
 |-  ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
109 100 102 103 108 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
110 83 107 81 109 ltadd2dd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
111 95 98 84 106 110 eliood 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
112 92 111 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
113 eqid 
 |-  ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
114 1 2 3 4 113 8 fourierdlem28 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
115 86 recnd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
116 0red 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
117 iooretop 
 |-  ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
118 tgioo4 
 |-  ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )
119 117 118 eleqtri 
 |-  ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )
120 119 a1i 
 |-  ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR ) )
121 13 recnd 
 |-  ( ph -> C e. CC )
122 90 120 121 dvmptconst 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
123 90 91 112 114 115 116 122 dvmptsub 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
124 112 recnd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
125 124 subid1d 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
126 125 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
127 123 126 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
128 127 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
129 124 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
130 2cnd 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. CC )
131 82 recnd 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> s e. CC )
132 131 halfcld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. CC )
133 132 sincld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
134 130 133 mulcld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
135 134 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
136 11 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E e. RR )
137 1re 
 |-  1 e. RR
138 25 137 remulcli 
 |-  ( 2 x. 1 ) e. RR
139 138 a1i 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
140 1red 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> 1 e. RR )
141 121 abscld 
 |-  ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
142 9 141 readdcld 
 |-  ( ph -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
143 142 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
144 simpl 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ph )
145 144 111 jca 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
146 eleq1 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) <-> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
147 146 anbi2d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) <-> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) )
148 fveq2 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
149 148 fveq2d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
150 149 breq1d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
151 147 150 imbi12d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) ) )
152 151 12 vtoclg 
 |-  ( ( X + s ) e. RR -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
153 84 145 152 sylc 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
154 153 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
155 130 133 absmuld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
156 0le2 
 |-  0 <_ 2
157 absid 
 |-  ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
158 25 156 157 mp2an 
 |-  ( abs ` 2 ) = 2
159 158 oveq1i 
 |-  ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
160 133 abscld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
161 1red 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> 1 e. RR )
162 25 a1i 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. RR )
163 156 a1i 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> 0 <_ 2 )
164 82 rehalfcld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. RR )
165 abssinbd 
 |-  ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
166 164 165 syl 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
167 160 161 162 163 166 lemul2ad 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
168 159 167 eqbrtrid 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
169 155 168 eqbrtrd 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
170 169 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
171 abscosbd 
 |-  ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
172 103 164 171 3syl 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
173 172 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
174 88 abscld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
175 91 abscld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) e. RR )
176 115 abscld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
177 175 176 readdcld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
178 9 adantr 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> D e. RR )
179 178 176 readdcld 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
180 91 115 abs2dif2d 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) )
181 fveq2 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( F ` t ) = ( F ` ( X + s ) ) )
182 181 fveq2d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) = ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) )
183 182 breq1d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D <-> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
184 147 183 imbi12d 
 |-  ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) ) )
185 184 10 vtoclg 
 |-  ( ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
186 111 145 185 sylc 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D )
187 175 178 176 186 leadd1dd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
188 174 177 179 180 187 letrd 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
189 188 3ad2antl1 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
190 19 simpri 
 |-  ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
191 190 a1i 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
192 132 coscld 
 |-  ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
193 192 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
194 simp2 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> c e. RR+ )
195 oveq1 
 |-  ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
196 195 fveq2d 
 |-  ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
197 196 oveq2d 
 |-  ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
198 197 fveq2d 
 |-  ( t = s -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
199 198 breq2d 
 |-  ( t = s -> ( c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
200 199 cbvralvw 
 |-  ( A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
201 nfv 
 |-  F/ s ph
202 nfra1 
 |-  F/ s A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
203 201 202 nfan 
 |-  F/ s ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
204 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
205 15 103 sselid 
 |-  ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
206 205 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
207 rspa 
 |-  ( ( A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
208 204 206 207 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
209 208 ex 
 |-  ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> ( s e. ( A (,) B ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
210 203 209 ralrimi 
 |-  ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
211 200 210 sylan2b 
 |-  ( ( ph /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
212 211 3adant2 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
213 eqid 
 |-  ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
214 79 89 128 129 135 136 139 140 143 154 170 173 189 191 193 194 212 213 dvdivbd 
 |-  ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
215 214 rexlimdv3a 
 |-  ( ph -> ( E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
216 77 215 mpd 
 |-  ( ph -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
217 nfcv 
 |-  F/_ s RR
218 nfcv 
 |-  F/_ s _D
219 nfmpt1 
 |-  F/_ s ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
220 14 219 nfcxfr 
 |-  F/_ s O
221 217 218 220 nfov 
 |-  F/_ s ( RR _D O )
222 221 nfdm 
 |-  F/_ s dom ( RR _D O )
223 nfcv 
 |-  F/_ s ( A (,) B )
224 222 223 raleqf 
 |-  ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
225 22 224 syl 
 |-  ( ph -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
226 225 rexbidv 
 |-  ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
227 216 226 mpbird 
 |-  ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
228 14 a1i 
 |-  ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
229 228 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
230 229 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
231 230 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
232 231 breq1d 
 |-  ( ph -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
233 232 rexralbidv 
 |-  ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
234 227 233 mpbird 
 |-  ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
235 22 234 jca 
 |-  ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )