Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ptcmp.1 |
|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) |
2 |
|
ptcmp.2 |
|- X = X_ n e. A U. ( F ` n ) |
3 |
|
ptcmp.3 |
|- ( ph -> A e. V ) |
4 |
|
ptcmp.4 |
|- ( ph -> F : A --> Comp ) |
5 |
|
ptcmp.5 |
|- ( ph -> X e. ( UFL i^i dom card ) ) |
6 |
|
ptcmplem2.5 |
|- ( ph -> U C_ ran S ) |
7 |
|
ptcmplem2.6 |
|- ( ph -> X = U. U ) |
8 |
|
ptcmplem2.7 |
|- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) |
9 |
|
ptcmplem3.8 |
|- K = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U } |
10 |
|
rabexg |
|- ( A e. V -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V ) |
11 |
3 10
|
syl |
|- ( ph -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V ) |
12 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
ptcmplem2 |
|- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card ) |
13 |
|
eldifi |
|- ( y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> y e. U. ( F ` k ) ) |
14 |
13
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ph /\ y e. _V /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y e. U. ( F ` k ) ) |
15 |
14
|
rabssdv |
|- ( ph -> { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U. ( F ` k ) ) |
16 |
15
|
ralrimivw |
|- ( ph -> A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U. ( F ` k ) ) |
17 |
|
ss2iun |
|- ( A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U. ( F ` k ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ) |
19 |
|
ssnum |
|- ( ( U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card /\ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } C_ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } e. dom card ) |
20 |
12 18 19
|
syl2anc |
|- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } e. dom card ) |
21 |
|
elrabi |
|- ( k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } -> k e. A ) |
22 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) |
23 |
|
ssdif0 |
|- ( U. ( F ` k ) C_ U. K <-> ( U. ( F ` k ) \ U. K ) = (/) ) |
24 |
4
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. Comp ) |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> ( F ` k ) e. Comp ) |
26 |
9
|
ssrab3 |
|- K C_ ( F ` k ) |
27 |
26
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> K C_ ( F ` k ) ) |
28 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> U. ( F ` k ) C_ U. K ) |
29 |
|
uniss |
|- ( K C_ ( F ` k ) -> U. K C_ U. ( F ` k ) ) |
30 |
26 29
|
mp1i |
|- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> U. K C_ U. ( F ` k ) ) |
31 |
28 30
|
eqssd |
|- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> U. ( F ` k ) = U. K ) |
32 |
|
eqid |
|- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k ) |
33 |
32
|
cmpcov |
|- ( ( ( F ` k ) e. Comp /\ K C_ ( F ` k ) /\ U. ( F ` k ) = U. K ) -> E. t e. ( ~P K i^i Fin ) U. ( F ` k ) = U. t ) |
34 |
25 27 31 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> E. t e. ( ~P K i^i Fin ) U. ( F ` k ) = U. t ) |
35 |
|
elfpw |
|- ( t e. ( ~P K i^i Fin ) <-> ( t C_ K /\ t e. Fin ) ) |
36 |
35
|
simplbi |
|- ( t e. ( ~P K i^i Fin ) -> t C_ K ) |
37 |
36
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> t C_ K ) |
38 |
37
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ x e. t ) -> x e. K ) |
39 |
|
imaeq2 |
|- ( u = x -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) |
40 |
39
|
eleq1d |
|- ( u = x -> ( ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. U <-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U ) ) |
41 |
40 9
|
elrab2 |
|- ( x e. K <-> ( x e. ( F ` k ) /\ ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U ) ) |
42 |
41
|
simprbi |
|- ( x e. K -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U ) |
43 |
38 42
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ x e. t ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U ) |
44 |
43
|
fmpttd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) : t --> U ) |
45 |
44
|
frnd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ U ) |
46 |
35
|
simprbi |
|- ( t e. ( ~P K i^i Fin ) -> t e. Fin ) |
47 |
46
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> t e. Fin ) |
48 |
|
eqid |
|- ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) = ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) |
49 |
48
|
rnmpt |
|- ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) = { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) } |
50 |
|
abrexfi |
|- ( t e. Fin -> { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) } e. Fin ) |
51 |
49 50
|
eqeltrid |
|- ( t e. Fin -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. Fin ) |
52 |
47 51
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. Fin ) |
53 |
|
elfpw |
|- ( ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. ( ~P U i^i Fin ) <-> ( ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ U /\ ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. Fin ) ) |
54 |
45 52 53
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. ( ~P U i^i Fin ) ) |
55 |
|
fveq2 |
|- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) ) |
56 |
|
fveq2 |
|- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) ) |
57 |
56
|
unieqd |
|- ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) ) |
58 |
55 57
|
eleq12d |
|- ( n = k -> ( ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) <-> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) ) |
59 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> f e. X ) |
60 |
59 2
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) ) |
61 |
|
vex |
|- f e. _V |
62 |
61
|
elixp |
|- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> ( f Fn A /\ A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) ) |
63 |
62
|
simprbi |
|- ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) |
64 |
60 63
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) |
65 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> k e. A ) |
66 |
58 64 65
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) |
67 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> U. ( F ` k ) = U. t ) |
68 |
66 67
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> ( f ` k ) e. U. t ) |
69 |
|
eluni2 |
|- ( ( f ` k ) e. U. t <-> E. x e. t ( f ` k ) e. x ) |
70 |
68 69
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> E. x e. t ( f ` k ) e. x ) |
71 |
|
fveq1 |
|- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) ) |
72 |
71
|
eleq1d |
|- ( w = f -> ( ( w ` k ) e. x <-> ( f ` k ) e. x ) ) |
73 |
|
eqid |
|- ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` k ) ) |
74 |
73
|
mptpreima |
|- ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) = { w e. X | ( w ` k ) e. x } |
75 |
72 74
|
elrab2 |
|- ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> ( f e. X /\ ( f ` k ) e. x ) ) |
76 |
75
|
baib |
|- ( f e. X -> ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> ( f ` k ) e. x ) ) |
77 |
76
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) /\ x e. t ) -> ( f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> ( f ` k ) e. x ) ) |
78 |
77
|
rexbidva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> ( E. x e. t f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> E. x e. t ( f ` k ) e. x ) ) |
79 |
70 78
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> E. x e. t f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) |
80 |
|
eliun |
|- ( f e. U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) <-> E. x e. t f e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) |
81 |
79 80
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) /\ f e. X ) -> f e. U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) |
82 |
81
|
ex |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> ( f e. X -> f e. U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) ) |
83 |
82
|
ssrdv |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> X C_ U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) |
84 |
43
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> A. x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U ) |
85 |
|
dfiun2g |
|- ( A. x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) e. U -> U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) = U. { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) } ) |
86 |
84 85
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) = U. { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) } ) |
87 |
49
|
unieqi |
|- U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) = U. { f | E. x e. t f = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) } |
88 |
86 87
|
eqtr4di |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> U_ x e. t ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) ) |
89 |
83 88
|
sseqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> X C_ U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) ) |
90 |
45
|
unissd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ U. U ) |
91 |
7
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> X = U. U ) |
92 |
90 91
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) C_ X ) |
93 |
89 92
|
eqssd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> X = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) ) |
94 |
|
unieq |
|- ( z = ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) -> U. z = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) ) |
95 |
94
|
rspceeqv |
|- ( ( ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) e. ( ~P U i^i Fin ) /\ X = U. ran ( x e. t |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " x ) ) ) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) |
96 |
54 93 95
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) /\ ( t e. ( ~P K i^i Fin ) /\ U. ( F ` k ) = U. t ) ) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) |
97 |
34 96
|
rexlimddv |
|- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ U. K ) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) |
98 |
97
|
ex |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( U. ( F ` k ) C_ U. K -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) ) |
99 |
23 98
|
syl5bir |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( U. ( F ` k ) \ U. K ) = (/) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z ) ) |
100 |
22 99
|
mtod |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) = (/) ) |
101 |
|
neq0 |
|- ( -. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) = (/) <-> E. y y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
102 |
100 101
|
sylib |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> E. y y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
103 |
|
rexv |
|- ( E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> E. y y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
104 |
102 103
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
105 |
21 104
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) -> E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
106 |
105
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
107 |
|
eleq1 |
|- ( y = ( g ` k ) -> ( y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
108 |
107
|
ac6num |
|- ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V /\ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } { y e. _V | y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) } e. dom card /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } E. y e. _V y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> E. g ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
109 |
11 20 106 108
|
syl3anc |
|- ( ph -> E. g ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
110 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A e. V ) |
111 |
110
|
mptexd |
|- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) e. _V ) |
112 |
|
fvex |
|- ( F ` m ) e. _V |
113 |
112
|
uniex |
|- U. ( F ` m ) e. _V |
114 |
113
|
uniex |
|- U. U. ( F ` m ) e. _V |
115 |
|
fvex |
|- ( g ` m ) e. _V |
116 |
114 115
|
ifex |
|- if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) e. _V |
117 |
116
|
rgenw |
|- A. m e. A if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) e. _V |
118 |
|
eqid |
|- ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) |
119 |
118
|
fnmpt |
|- ( A. m e. A if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) e. _V -> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A ) |
120 |
117 119
|
mp1i |
|- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A ) |
121 |
57
|
breq1d |
|- ( n = k -> ( U. ( F ` n ) ~~ 1o <-> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) |
122 |
121
|
notbid |
|- ( n = k -> ( -. U. ( F ` n ) ~~ 1o <-> -. U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) |
123 |
122
|
ralrab |
|- ( A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> A. k e. A ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
124 |
|
iftrue |
|- ( U. ( F ` k ) ~~ 1o -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) = U. U. ( F ` k ) ) |
125 |
124
|
ad2antll |
|- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) = U. U. ( F ` k ) ) |
126 |
102
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> E. y y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
127 |
13
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y e. U. ( F ` k ) ) |
128 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) |
129 |
|
en1b |
|- ( U. ( F ` k ) ~~ 1o <-> U. ( F ` k ) = { U. U. ( F ` k ) } ) |
130 |
128 129
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> U. ( F ` k ) = { U. U. ( F ` k ) } ) |
131 |
127 130
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y e. { U. U. ( F ` k ) } ) |
132 |
|
elsni |
|- ( y e. { U. U. ( F ` k ) } -> y = U. U. ( F ` k ) ) |
133 |
131 132
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y = U. U. ( F ` k ) ) |
134 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
135 |
133 134
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) /\ y e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> U. U. ( F ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
136 |
126 135
|
exlimddv |
|- ( ( ph /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> U. U. ( F ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
137 |
136
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> U. U. ( F ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
138 |
125 137
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
139 |
138
|
a1d |
|- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ ( k e. A /\ U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
140 |
139
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ k e. A ) -> ( U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) ) |
141 |
|
pm2.27 |
|- ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
142 |
|
iffalse |
|- ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) = ( g ` k ) ) |
143 |
142
|
eleq1d |
|- ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
144 |
141 143
|
sylibrd |
|- ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
145 |
140 144
|
pm2.61d1 |
|- ( ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) /\ k e. A ) -> ( ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
146 |
145
|
ralimdva |
|- ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) -> ( A. k e. A ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
147 |
123 146
|
syl5bi |
|- ( ( ph /\ g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V ) -> ( A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) -> A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
148 |
147
|
impr |
|- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) |
149 |
|
fneq1 |
|- ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) -> ( f Fn A <-> ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A ) ) |
150 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) -> ( f ` k ) = ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) ` k ) ) |
151 |
|
fveq2 |
|- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) ) |
152 |
151
|
unieqd |
|- ( m = k -> U. ( F ` m ) = U. ( F ` k ) ) |
153 |
152
|
breq1d |
|- ( m = k -> ( U. ( F ` m ) ~~ 1o <-> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) ) |
154 |
152
|
unieqd |
|- ( m = k -> U. U. ( F ` m ) = U. U. ( F ` k ) ) |
155 |
|
fveq2 |
|- ( m = k -> ( g ` m ) = ( g ` k ) ) |
156 |
153 154 155
|
ifbieq12d |
|- ( m = k -> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) = if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) ) |
157 |
|
fvex |
|- ( F ` k ) e. _V |
158 |
157
|
uniex |
|- U. ( F ` k ) e. _V |
159 |
158
|
uniex |
|- U. U. ( F ` k ) e. _V |
160 |
|
fvex |
|- ( g ` k ) e. _V |
161 |
159 160
|
ifex |
|- if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. _V |
162 |
156 118 161
|
fvmpt |
|- ( k e. A -> ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) ` k ) = if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) ) |
163 |
150 162
|
sylan9eq |
|- ( ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) /\ k e. A ) -> ( f ` k ) = if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) ) |
164 |
163
|
eleq1d |
|- ( ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) /\ k e. A ) -> ( ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
165 |
164
|
ralbidva |
|- ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) -> ( A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) <-> A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
166 |
149 165
|
anbi12d |
|- ( f = ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) -> ( ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) <-> ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A /\ A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) ) |
167 |
166
|
spcegv |
|- ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) e. _V -> ( ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A /\ A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) ) |
168 |
167
|
3impib |
|- ( ( ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) e. _V /\ ( m e. A |-> if ( U. ( F ` m ) ~~ 1o , U. U. ( F ` m ) , ( g ` m ) ) ) Fn A /\ A. k e. A if ( U. ( F ` k ) ~~ 1o , U. U. ( F ` k ) , ( g ` k ) ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
169 |
111 120 148 168
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ ( g : { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } --> _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ( g ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |
170 |
109 169
|
exlimddv |
|- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. ( U. ( F ` k ) \ U. K ) ) ) |