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Theorem ptcmplem2

Description: Lemma for ptcmp . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015)

Ref Expression
Hypotheses ptcmp.1 
|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2 
|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3 
|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4 
|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5 
|- ( ph -> X e. ( UFL i^i dom card ) )
ptcmplem2.5 
|- ( ph -> U C_ ran S )
ptcmplem2.6 
|- ( ph -> X = U. U )
ptcmplem2.7 
|- ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
Assertion ptcmplem2 
|- ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ptcmp.1 
 |-  S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
2 ptcmp.2 
 |-  X = X_ n e. A U. ( F ` n )
3 ptcmp.3 
 |-  ( ph -> A e. V )
4 ptcmp.4 
 |-  ( ph -> F : A --> Comp )
5 ptcmp.5 
 |-  ( ph -> X e. ( UFL i^i dom card ) )
6 ptcmplem2.5 
 |-  ( ph -> U C_ ran S )
7 ptcmplem2.6 
 |-  ( ph -> X = U. U )
8 ptcmplem2.7 
 |-  ( ph -> -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
9 0ss 
 |-  (/) C_ U
10 0fin 
 |-  (/) e. Fin
11 elfpw 
 |-  ( (/) e. ( ~P U i^i Fin ) <-> ( (/) C_ U /\ (/) e. Fin ) )
12 9 10 11 mpbir2an 
 |-  (/) e. ( ~P U i^i Fin )
13 unieq 
 |-  ( z = (/) -> U. z = U. (/) )
14 uni0 
 |-  U. (/) = (/)
15 13 14 eqtrdi 
 |-  ( z = (/) -> U. z = (/) )
16 15 rspceeqv 
 |-  ( ( (/) e. ( ~P U i^i Fin ) /\ X = (/) ) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
17 12 16 mpan 
 |-  ( X = (/) -> E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z )
18 17 necon3bi 
 |-  ( -. E. z e. ( ~P U i^i Fin ) X = U. z -> X =/= (/) )
19 8 18 syl 
 |-  ( ph -> X =/= (/) )
20 n0 
 |-  ( X =/= (/) <-> E. f f e. X )
21 19 20 sylib 
 |-  ( ph -> E. f f e. X )
22 fveq2 
 |-  ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
23 22 unieqd 
 |-  ( n = k -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` k ) )
24 23 cbvixpv 
 |-  X_ n e. A U. ( F ` n ) = X_ k e. A U. ( F ` k )
25 2 24 eqtri 
 |-  X = X_ k e. A U. ( F ` k )
26 5 elin2d 
 |-  ( ph -> X e. dom card )
27 26 adantr 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> X e. dom card )
28 25 27 eqeltrrid 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. dom card )
29 ssrab2 
 |-  { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ A
30 19 adantr 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> X =/= (/) )
31 25 30 eqnetrrid 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) =/= (/) )
32 eqid 
 |-  ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) = ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) )
33 32 resixpfo 
 |-  ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ A /\ X_ k e. A U. ( F ` k ) =/= (/) ) -> ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) -onto-> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
34 29 31 33 sylancr 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) -onto-> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
35 fonum 
 |-  ( ( X_ k e. A U. ( F ` k ) e. dom card /\ ( g e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( g |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) -onto-> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ) -> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
36 28 34 35 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
37 vex 
 |-  g e. _V
38 difexg 
 |-  ( g e. _V -> ( g \ f ) e. _V )
39 37 38 mp1i 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ( g \ f ) e. _V )
40 dmexg 
 |-  ( ( g \ f ) e. _V -> dom ( g \ f ) e. _V )
41 uniexg 
 |-  ( dom ( g \ f ) e. _V -> U. dom ( g \ f ) e. _V )
42 39 40 41 3syl 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> U. dom ( g \ f ) e. _V )
43 42 ralrimivw 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> A. g e. X U. dom ( g \ f ) e. _V )
44 eqid 
 |-  ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) = ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) )
45 44 fnmpt 
 |-  ( A. g e. X U. dom ( g \ f ) e. _V -> ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) Fn X )
46 43 45 syl 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) Fn X )
47 dffn4 
 |-  ( ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) Fn X <-> ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) : X -onto-> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) )
48 46 47 sylib 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) : X -onto-> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) )
49 fonum 
 |-  ( ( X e. dom card /\ ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) : X -onto-> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) ) -> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) e. dom card )
50 27 48 49 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) e. dom card )
51 ssdif0 
 |-  ( U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } <-> ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) = (/) )
52 simpr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } ) -> U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } )
53 simpr 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. X )
54 53 25 eleqtrdi 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
55 vex 
 |-  f e. _V
56 55 elixp 
 |-  ( f e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( f Fn A /\ A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
57 56 simprbi 
 |-  ( f e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
58 54 57 syl 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> A. k e. A ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
59 58 r19.21bi 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( f ` k ) e. U. ( F ` k ) )
60 59 snssd 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> { ( f ` k ) } C_ U. ( F ` k ) )
61 60 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } ) -> { ( f ` k ) } C_ U. ( F ` k ) )
62 52 61 eqssd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } ) -> U. ( F ` k ) = { ( f ` k ) } )
63 fvex 
 |-  ( f ` k ) e. _V
64 63 ensn1 
 |-  { ( f ` k ) } ~~ 1o
65 62 64 eqbrtrdi 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } ) -> U. ( F ` k ) ~~ 1o )
66 65 ex 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( U. ( F ` k ) C_ { ( f ` k ) } -> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
67 51 66 syl5bir 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) = (/) -> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
68 67 con3d 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> -. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) = (/) ) )
69 neq0 
 |-  ( -. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) = (/) <-> E. x x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) )
70 68 69 syl6ib 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> E. x x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) )
71 eldifi 
 |-  ( x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) -> x e. U. ( F ` k ) )
72 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> x e. U. ( F ` k ) )
73 iftrue 
 |-  ( n = k -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) = x )
74 73 23 eleq12d 
 |-  ( n = k -> ( if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) <-> x e. U. ( F ` k ) ) )
75 72 74 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> ( n = k -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) ) )
76 53 2 eleqtrdi 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
77 55 elixp 
 |-  ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> ( f Fn A /\ A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
78 77 simprbi 
 |-  ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
79 76 78 syl 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
80 79 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> A. n e. A ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
81 80 r19.21bi 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) )
82 iffalse 
 |-  ( -. n = k -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) = ( f ` n ) )
83 82 eleq1d 
 |-  ( -. n = k -> ( if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) <-> ( f ` n ) e. U. ( F ` n ) ) )
84 81 83 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> ( -. n = k -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) ) )
85 75 84 pm2.61d 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) /\ n e. A ) -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) )
86 85 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) )
87 3 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> A e. V )
88 mptelixpg 
 |-  ( A e. V -> ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) ) )
89 87 88 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) <-> A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. U. ( F ` n ) ) )
90 86 89 mpbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X_ n e. A U. ( F ` n ) )
91 90 2 eleqtrrdi 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. U. ( F ` k ) ) -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X )
92 71 91 sylan2 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X )
93 vex 
 |-  k e. _V
94 93 unisn 
 |-  U. { k } = k
95 simplr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> k e. A )
96 eleq1w 
 |-  ( m = k -> ( m e. A <-> k e. A ) )
97 95 96 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( m = k -> m e. A ) )
98 97 pm4.71rd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( m = k <-> ( m e. A /\ m = k ) ) )
99 equequ1 
 |-  ( n = m -> ( n = k <-> m = k ) )
100 fveq2 
 |-  ( n = m -> ( f ` n ) = ( f ` m ) )
101 99 100 ifbieq2d 
 |-  ( n = m -> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) = if ( m = k , x , ( f ` m ) ) )
102 eqid 
 |-  ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) )
103 vex 
 |-  x e. _V
104 fvex 
 |-  ( f ` m ) e. _V
105 103 104 ifex 
 |-  if ( m = k , x , ( f ` m ) ) e. _V
106 101 102 105 fvmpt 
 |-  ( m e. A -> ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) = if ( m = k , x , ( f ` m ) ) )
107 106 neeq1d 
 |-  ( m e. A -> ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) <-> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) ) )
108 107 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) <-> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) ) )
109 iffalse 
 |-  ( -. m = k -> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) = ( f ` m ) )
110 109 necon1ai 
 |-  ( if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) -> m = k )
111 eldifsni 
 |-  ( x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) -> x =/= ( f ` k ) )
112 111 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> x =/= ( f ` k ) )
113 iftrue 
 |-  ( m = k -> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) = x )
114 fveq2 
 |-  ( m = k -> ( f ` m ) = ( f ` k ) )
115 113 114 neeq12d 
 |-  ( m = k -> ( if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) <-> x =/= ( f ` k ) ) )
116 112 115 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> ( m = k -> if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) ) )
117 110 116 impbid2 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> ( if ( m = k , x , ( f ` m ) ) =/= ( f ` m ) <-> m = k ) )
118 108 117 bitrd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) <-> m = k ) )
119 118 pm5.32da 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( ( m e. A /\ ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) ) <-> ( m e. A /\ m = k ) ) )
120 98 119 bitr4d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( m = k <-> ( m e. A /\ ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) ) ) )
121 120 abbidv 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> { m | m = k } = { m | ( m e. A /\ ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) ) } )
122 df-sn 
 |-  { k } = { m | m = k }
123 df-rab 
 |-  { m e. A | ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) } = { m | ( m e. A /\ ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) ) }
124 121 122 123 3eqtr4g 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> { k } = { m e. A | ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) } )
125 fvex 
 |-  ( f ` n ) e. _V
126 103 125 ifex 
 |-  if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. _V
127 126 rgenw 
 |-  A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. _V
128 102 fnmpt 
 |-  ( A. n e. A if ( n = k , x , ( f ` n ) ) e. _V -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) Fn A )
129 127 128 mp1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) Fn A )
130 ixpfn 
 |-  ( f e. X_ n e. A U. ( F ` n ) -> f Fn A )
131 76 130 syl 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> f Fn A )
132 131 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> f Fn A )
133 fndmdif 
 |-  ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) Fn A /\ f Fn A ) -> dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) = { m e. A | ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) } )
134 129 132 133 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) = { m e. A | ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) ` m ) =/= ( f ` m ) } )
135 124 134 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> { k } = dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
136 135 unieqd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> U. { k } = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
137 94 136 syl5eqr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> k = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
138 difeq1 
 |-  ( g = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) -> ( g \ f ) = ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
139 138 dmeqd 
 |-  ( g = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) -> dom ( g \ f ) = dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
140 139 unieqd 
 |-  ( g = ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) -> U. dom ( g \ f ) = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) )
141 140 rspceeqv 
 |-  ( ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) e. X /\ k = U. dom ( ( n e. A |-> if ( n = k , x , ( f ` n ) ) ) \ f ) ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) )
142 92 137 141 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) /\ x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) )
143 142 ex 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
144 143 exlimdv 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( E. x x e. ( U. ( F ` k ) \ { ( f ` k ) } ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
145 70 144 syld 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. X ) /\ k e. A ) -> ( -. U. ( F ` k ) ~~ 1o -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
146 145 expimpd 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ( ( k e. A /\ -. U. ( F ` k ) ~~ 1o ) -> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
147 23 breq1d 
 |-  ( n = k -> ( U. ( F ` n ) ~~ 1o <-> U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
148 147 notbid 
 |-  ( n = k -> ( -. U. ( F ` n ) ~~ 1o <-> -. U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
149 148 elrab 
 |-  ( k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } <-> ( k e. A /\ -. U. ( F ` k ) ~~ 1o ) )
150 44 elrnmpt 
 |-  ( k e. _V -> ( k e. ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) <-> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) ) )
151 150 elv 
 |-  ( k e. ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) <-> E. g e. X k = U. dom ( g \ f ) )
152 146 149 151 3imtr4g 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ( k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } -> k e. ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) ) )
153 152 ssrdv 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) )
154 ssnum 
 |-  ( ( ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) e. dom card /\ { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ ran ( g e. X |-> U. dom ( g \ f ) ) ) -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. dom card )
155 50 153 154 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. dom card )
156 xpnum 
 |-  ( ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card /\ { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. dom card ) -> ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. dom card )
157 36 155 156 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. dom card )
158 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> A e. V )
159 rabexg 
 |-  ( A e. V -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V )
160 158 159 syl 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V )
161 fvex 
 |-  ( F ` k ) e. _V
162 161 uniex 
 |-  U. ( F ` k ) e. _V
163 162 rgenw 
 |-  A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V
164 iunexg 
 |-  ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V /\ A. k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V )
165 160 163 164 sylancl 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V )
166 resixp 
 |-  ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } C_ A /\ f e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( f |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
167 29 54 166 sylancr 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> ( f |` { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) )
168 167 ne0d 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) =/= (/) )
169 ixpiunwdom 
 |-  ( ( { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } e. _V /\ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. _V /\ X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) =/= (/) ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ~<_* ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) )
170 160 165 168 169 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ~<_* ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) )
171 numwdom 
 |-  ( ( ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) e. dom card /\ U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) ~<_* ( X_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) X. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } ) ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
172 157 170 171 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ f e. X ) -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )
173 21 172 exlimddv 
 |-  ( ph -> U_ k e. { n e. A | -. U. ( F ` n ) ~~ 1o } U. ( F ` k ) e. dom card )