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Theorem o1fsum

Description: If A ( k ) is O(1), then sum_ k <_ x , A ( k ) is O( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016)

Ref Expression
Hypotheses o1fsum.1
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
o1fsum.2
|- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )
Assertion o1fsum
|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 o1fsum.1
 |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
2 o1fsum.2
 |-  ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )
3 nnssre
 |-  NN C_ RR
4 3 a1i
 |-  ( ph -> NN C_ RR )
5 1 2 o1mptrcl
 |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
6 1red
 |-  ( ph -> 1 e. RR )
7 4 5 6 elo1mpt2
 |-  ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) <-> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) )
8 2 7 mpbid
 |-  ( ph -> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
9 rpssre
 |-  RR+ C_ RR
10 9 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> RR+ C_ RR )
11 nfcv
 |-  F/_ n A
12 nfcsb1v
 |-  F/_ k [_ n / k ]_ A
13 csbeq1a
 |-  ( k = n -> A = [_ n / k ]_ A )
14 11 12 13 cbvsumi
 |-  sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A
15 fzfid
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
16 o1f
 |-  ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
17 2 16 syl
 |-  ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
18 1 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. k e. NN A e. V )
19 dmmptg
 |-  ( A. k e. NN A e. V -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
20 18 19 syl
 |-  ( ph -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
21 20 feq2d
 |-  ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC ) )
22 17 21 mpbid
 |-  ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
23 eqid
 |-  ( k e. NN |-> A ) = ( k e. NN |-> A )
24 23 fmpt
 |-  ( A. k e. NN A e. CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
25 22 24 sylibr
 |-  ( ph -> A. k e. NN A e. CC )
26 25 ad3antrrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> A. k e. NN A e. CC )
27 elfznn
 |-  ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
28 12 nfel1
 |-  F/ k [_ n / k ]_ A e. CC
29 13 eleq1d
 |-  ( k = n -> ( A e. CC <-> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
30 28 29 rspc
 |-  ( n e. NN -> ( A. k e. NN A e. CC -> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
31 30 impcom
 |-  ( ( A. k e. NN A e. CC /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
32 26 27 31 syl2an
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
33 15 32 fsumcl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A e. CC )
34 14 33 eqeltrid
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
35 rpcn
 |-  ( x e. RR+ -> x e. CC )
36 35 adantl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
37 rpne0
 |-  ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
38 37 adantl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
39 34 36 38 divcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) e. CC )
40 simplrl
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. ( 1 [,) +oo ) )
41 1re
 |-  1 e. RR
42 elicopnf
 |-  ( 1 e. RR -> ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) ) )
43 41 42 ax-mp
 |-  ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
44 40 43 sylib
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
45 44 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. RR )
46 fzfid
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` c ) ) e. Fin )
47 25 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> A. k e. NN A e. CC )
48 elfznn
 |-  ( n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) -> n e. NN )
49 47 48 31 syl2an
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
50 49 abscld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
51 46 50 fsumrecl
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
52 simplrr
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> m e. RR )
53 51 52 readdcld
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
54 34 36 38 absdivd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
55 54 adantrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
56 rprege0
 |-  ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
57 56 ad2antrl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
58 absid
 |-  ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
59 57 58 syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` x ) = x )
60 59 oveq2d
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
61 55 60 eqtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
62 34 adantrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
63 62 abscld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR )
64 fzfid
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
65 47 27 31 syl2an
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
66 65 adantlr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
67 66 abscld
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
68 64 67 fsumrecl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
69 57 simpld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. RR )
70 51 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
71 52 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. RR )
72 70 71 readdcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
73 69 72 remulcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) e. RR )
74 14 fveq2i
 |-  ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) = ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A )
75 64 66 fsumabs
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
76 74 75 eqbrtrid
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
77 fzfid
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
78 ssun2
 |-  ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
79 flge1nn
 |-  ( ( c e. RR /\ 1 <_ c ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
80 44 79 syl
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
81 80 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
82 81 nnred
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. RR )
83 45 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c e. RR )
84 flle
 |-  ( c e. RR -> ( |_ ` c ) <_ c )
85 83 84 syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ c )
86 simprr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c <_ x )
87 82 83 69 85 86 letrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ x )
88 fznnfl
 |-  ( x e. RR -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
89 69 88 syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
90 81 87 89 mpbir2and
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
91 fzsplit
 |-  ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
92 90 91 syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
93 78 92 sseqtrrid
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
94 93 sselda
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
95 65 abscld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
96 95 adantlr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
97 94 96 syldan
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
98 77 97 fsumrecl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
99 69 70 remulcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) e. RR )
100 69 71 remulcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. m ) e. RR )
101 70 recnd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
102 101 mulid2d
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
103 1red
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 e. RR )
104 49 absge0d
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
105 46 50 104 fsumge0
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
106 51 105 jca
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
107 106 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
108 44 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 1 <_ c )
109 108 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ c )
110 103 83 69 109 86 letrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ x )
111 lemul1a
 |-  ( ( ( 1 e. RR /\ x e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) ) /\ 1 <_ x ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
112 103 69 107 110 111 syl31anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
113 102 112 eqbrtrrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
114 hashcl
 |-  ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 )
115 nn0re
 |-  ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
116 77 114 115 3syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
117 116 71 remulcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) e. RR )
118 71 adantr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR )
119 elfzuz
 |-  ( n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
120 81 peano2nnd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN )
121 eluznn
 |-  ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
122 120 121 sylan
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
123 simpllr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
124 83 adantr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c e. RR )
125 reflcl
 |-  ( c e. RR -> ( |_ ` c ) e. RR )
126 peano2re
 |-  ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
127 124 125 126 3syl
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
128 122 nnred
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
129 fllep1
 |-  ( c e. RR -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
130 124 129 syl
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
131 eluzle
 |-  ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
132 131 adantl
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
133 124 127 128 130 132 letrd
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ n )
134 nfv
 |-  F/ k c <_ n
135 nfcv
 |-  F/_ k abs
136 135 12 nffv
 |-  F/_ k ( abs ` [_ n / k ]_ A )
137 nfcv
 |-  F/_ k <_
138 nfcv
 |-  F/_ k m
139 136 137 138 nfbr
 |-  F/ k ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m
140 134 139 nfim
 |-  F/ k ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
141 breq2
 |-  ( k = n -> ( c <_ k <-> c <_ n ) )
142 13 fveq2d
 |-  ( k = n -> ( abs ` A ) = ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
143 142 breq1d
 |-  ( k = n -> ( ( abs ` A ) <_ m <-> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) )
144 141 143 imbi12d
 |-  ( k = n -> ( ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) <-> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
145 140 144 rspc
 |-  ( n e. NN -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
146 122 123 133 145 syl3c
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
147 119 146 sylan2
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
148 77 97 118 147 fsumle
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m )
149 71 recnd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. CC )
150 fsumconst
 |-  ( ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ m e. CC ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
151 77 149 150 syl2anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
152 148 151 breqtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
153 biidd
 |-  ( n = ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( 0 <_ m <-> 0 <_ m ) )
154 0red
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
155 47 30 mpan9
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
156 155 adantlr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
157 122 156 syldan
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
158 157 abscld
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
159 71 adantr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> m e. RR )
160 157 absge0d
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
161 154 158 159 160 146 letrd
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ m )
162 161 ralrimiva
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m )
163 120 nnzd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ )
164 uzid
 |-  ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
165 163 164 syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
166 153 162 165 rspcdva
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 0 <_ m )
167 reflcl
 |-  ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
168 69 167 syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
169 ssdomg
 |-  ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
170 64 93 169 sylc
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
171 hashdomi
 |-  ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
172 170 171 syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
173 flge0nn0
 |-  ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
174 hashfz1
 |-  ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
175 57 173 174 3syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
176 172 175 breqtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( |_ ` x ) )
177 flle
 |-  ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
178 69 177 syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
179 116 168 69 176 178 letrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ x )
180 116 69 71 166 179 lemul1ad
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) <_ ( x x. m ) )
181 98 117 100 152 180 letrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. m ) )
182 70 98 99 100 113 181 le2addd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
183 ltp1
 |-  ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
184 fzdisj
 |-  ( ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
185 82 183 184 3syl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
186 96 recnd
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
187 185 92 64 186 fsumsplit
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
188 36 adantrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. CC )
189 188 101 149 adddid
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) = ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
190 182 187 189 3brtr4d
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
191 63 68 73 76 190 letrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
192 rpregt0
 |-  ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
193 192 ad2antrl
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
194 ledivmul
 |-  ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
195 63 72 193 194 syl3anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
196 191 195 mpbird
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
197 61 196 eqbrtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
198 10 39 45 53 197 elo1d
 |-  ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )
199 198 ex
 |-  ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
200 199 rexlimdvva
 |-  ( ph -> ( E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
201 8 200 mpd
 |-  ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )