Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cpmadugsum.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
2 |
|
cpmadugsum.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
3 |
|
cpmadugsum.p |
⊢ 𝑃 = ( Poly1 ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
cpmadugsum.y |
⊢ 𝑌 = ( 𝑁 Mat 𝑃 ) |
5 |
|
cpmadugsum.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) |
6 |
|
cpmadugsum.x |
⊢ 𝑋 = ( var1 ‘ 𝑅 ) |
7 |
|
cpmadugsum.e |
⊢ ↑ = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) |
8 |
|
cpmadugsum.m |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) |
9 |
|
cpmadugsum.r |
⊢ × = ( .r ‘ 𝑌 ) |
10 |
|
cpmadugsum.1 |
⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑌 ) |
11 |
|
cpmadugsum.g |
⊢ + = ( +g ‘ 𝑌 ) |
12 |
|
cpmadugsum.s |
⊢ − = ( -g ‘ 𝑌 ) |
13 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0 ) |
14 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cpmadugsumlemB |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 · 1 ) × ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
15 |
13 14
|
sylanr1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 · 1 ) × ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
16 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cpmadugsumlemC |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
17 |
13 16
|
sylanr1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
18 |
15 17
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 · 1 ) × ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) |
19 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ ) |
20 |
|
npcan1 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) = 𝑠 ) |
21 |
20
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 = ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) |
22 |
19 21
|
syl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 = ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) |
23 |
22
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 0 ... 𝑠 ) = ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) |
24 |
23
|
mpteq1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
25 |
24
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
26 |
25
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
27 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑌 ) = ( Base ‘ 𝑌 ) |
28 |
|
crngring |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
29 |
28
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) |
30 |
29
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) |
31 |
3 4
|
pmatring |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑌 ∈ Ring ) |
32 |
30 31
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ Ring ) |
33 |
|
ringcmn |
⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd ) |
34 |
32 33
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ CMnd ) |
35 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ CMnd ) |
36 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑠 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
37 |
36
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑠 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
38 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
39 |
28
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
42 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ) |
43 |
23
|
feq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ↔ 𝑏 : ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) ) |
44 |
42 43
|
syl5ibcom |
⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑠 ∈ ℕ → 𝑏 : ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) ) |
45 |
44
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → 𝑏 : ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
46 |
45
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑏 : ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
47 |
46
|
ffvelcdmda |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ) |
48 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
49 |
48
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
50 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
51 |
50
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℕ0 ) |
52 |
49 51
|
nn0addcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
53 |
1 2 5 3 4 27 8 7 6
|
mat2pmatscmxcl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
54 |
38 41 47 52 53
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
55 |
27 11 35 37 54
|
gsummptfzsplit |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ { ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) } ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
56 |
|
ringmnd |
⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd ) |
57 |
32 56
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ Mnd ) |
58 |
57
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ Mnd ) |
59 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ∈ V ) |
60 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
61 |
|
nn0fz0 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ0 ↔ 𝑠 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
62 |
13 61
|
sylib |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
63 |
|
ffvelcdm |
⊢ ( ( 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐵 ) |
64 |
42 62 63
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐵 ) |
65 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℕ0 ) |
66 |
50
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → 1 ∈ ℕ0 ) |
67 |
65 66
|
nn0addcld |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
68 |
64 67
|
jca |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℕ0 ) ) |
69 |
68
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℕ0 ) ) |
70 |
1 2 5 3 4 27 8 7 6
|
mat2pmatscmxcl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
71 |
60 40 69 70
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
72 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) + 1 ) ) |
73 |
72
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) ) |
74 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
75 |
73 74
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) ) ) |
76 |
19 20
|
syl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) = 𝑠 ) |
77 |
76
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) + 1 ) = ( 𝑠 + 1 ) ) |
78 |
77
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) = ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) ) |
79 |
76
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑏 ‘ ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) |
80 |
79
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) |
81 |
78 80
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( ( ( ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
82 |
81
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
83 |
75 82
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 = ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
84 |
27 58 59 71 83
|
gsumsnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ { ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) } ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
85 |
84
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ { ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) } ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) ) |
86 |
26 55 85
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) ) |
87 |
13
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℕ0 ) |
88 |
3 4
|
pmatlmod |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑌 ∈ LMod ) |
89 |
29 88
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → 𝑌 ∈ LMod ) |
90 |
89
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ LMod ) |
91 |
90
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ LMod ) |
92 |
91
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑌 ∈ LMod ) |
93 |
|
eqid |
⊢ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) = ( mulGrp ‘ 𝑃 ) |
94 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ 𝑃 ) |
95 |
93 94
|
mgpbas |
⊢ ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) |
96 |
3
|
ply1ring |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring ) |
97 |
28 96
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring ) |
98 |
97
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑃 ∈ Ring ) |
99 |
93
|
ringmgp |
⊢ ( 𝑃 ∈ Ring → ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ∈ Mnd ) |
100 |
98 99
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ∈ Mnd ) |
101 |
100
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ∈ Mnd ) |
102 |
101
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ∈ Mnd ) |
103 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
104 |
103
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
105 |
6 3 94
|
vr1cl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
106 |
28 105
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
107 |
106
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
108 |
107
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
109 |
108
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
110 |
95 7 102 104 109
|
mulgnn0cld |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
111 |
3
|
ply1crng |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing ) |
112 |
111
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing ) ) |
113 |
112
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing ) ) |
114 |
4
|
matsca2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing ) → 𝑃 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
115 |
113 114
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑃 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
116 |
115
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( Scalar ‘ 𝑌 ) = 𝑃 ) |
117 |
116
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) = ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
118 |
117
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) ) |
119 |
118
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) ) |
120 |
119
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) ) |
121 |
110 120
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
122 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ Ring ) |
123 |
122
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑌 ∈ Ring ) |
124 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
125 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
126 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑀 ∈ 𝐵 ) |
127 |
5 1 2 3 4
|
mat2pmatbas |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
128 |
124 125 126 127
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
129 |
87
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → 𝑠 ∈ ℕ0 ) |
130 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
131 |
130
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
132 |
1 2 3 4 5
|
m2pmfzmap |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
133 |
124 125 129 131 132
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
134 |
27 9
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ Ring ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
135 |
123 128 133 134
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
136 |
|
eqid |
⊢ ( Scalar ‘ 𝑌 ) = ( Scalar ‘ 𝑌 ) |
137 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
138 |
27 136 8 137
|
lmodvscl |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ LMod ∧ ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
139 |
92 121 135 138
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
140 |
27 11 35 87 139
|
gsummptfzsplitl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) |
141 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
142 |
141
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 0 ∈ ℕ0 ) |
143 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) |
144 |
95 143 7
|
mulg0 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) → ( 0 ↑ 𝑋 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) ) |
145 |
107 144
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 0 ↑ 𝑋 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) ) |
146 |
145
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 0 ↑ 𝑋 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) ) |
147 |
146
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 0 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
148 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ 𝑃 ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) |
149 |
93 148
|
ringidval |
⊢ ( 1r ‘ 𝑃 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) |
150 |
149
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 1r ‘ 𝑃 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) ) |
151 |
150
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) ) |
152 |
151
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑃 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
153 |
115
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑃 = ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
154 |
153
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 1r ‘ 𝑃 ) = ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
155 |
154
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑃 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
156 |
28 127
|
syl3an2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
157 |
156
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
158 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ) |
159 |
|
elnn0uz |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ0 ↔ 𝑠 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
160 |
13 159
|
sylib |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
161 |
|
eluzfz1 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
162 |
160 161
|
syl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → 0 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
163 |
162
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
164 |
158 163
|
ffvelcdmd |
⊢ ( ( 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 ‘ 0 ) ∈ 𝐵 ) |
165 |
164
|
ex |
⊢ ( 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 → ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑏 ‘ 0 ) ∈ 𝐵 ) ) |
166 |
42 165
|
syl |
⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑏 ‘ 0 ) ∈ 𝐵 ) ) |
167 |
166
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 0 ) ∈ 𝐵 ) |
168 |
167
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 0 ) ∈ 𝐵 ) |
169 |
5 1 2 3 4
|
mat2pmatbas |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ 0 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
170 |
60 40 168 169
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
171 |
27 9
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ Ring ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
172 |
122 157 170 171
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
173 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) = ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) |
174 |
27 136 8 173
|
lmodvs1 |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ LMod ∧ ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) |
175 |
91 172 174
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) |
176 |
155 175
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑃 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) |
177 |
147 152 176
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 0 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) |
178 |
177 172
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 0 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
179 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) = ( 0 ↑ 𝑋 ) ) |
180 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) |
181 |
180
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) |
182 |
179 181
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 0 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
183 |
182
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 0 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
184 |
27 58 142 178 183
|
gsumsnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( ( 0 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
185 |
95 149 7
|
mulg0 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) → ( 0 ↑ 𝑋 ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) ) |
186 |
107 185
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 0 ↑ 𝑋 ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) ) |
187 |
186
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 0 ↑ 𝑋 ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) ) |
188 |
187
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 0 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑃 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
189 |
184 188 176
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) |
190 |
189
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ { 0 } ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
191 |
140 190
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
192 |
86 191
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) − ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |
193 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ∈ Fin ) |
194 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
195 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
196 |
42
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ) |
197 |
196
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ) |
198 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ ) |
199 |
|
fzoval |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℤ → ( 0 ..^ 𝑠 ) = ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) |
200 |
198 199
|
syl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 0 ..^ 𝑠 ) = ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) |
201 |
200
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) = ( 0 ..^ 𝑠 ) ) |
202 |
201
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↔ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑠 ) ) ) |
203 |
|
elfzofz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑠 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
204 |
202 203
|
syl6bi |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
205 |
204
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
206 |
205
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
207 |
197 206
|
ffvelcdmd |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ) |
208 |
207
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ) |
209 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
210 |
209
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
211 |
50
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℕ0 ) |
212 |
210 211
|
nn0addcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
213 |
194 195 208 212 53
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
214 |
213
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
215 |
27 35 193 214
|
gsummptcl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
216 |
27 11
|
cmncom |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ CMnd ∧ ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
217 |
35 215 71 216
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
218 |
217
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) − ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |
219 |
|
ringgrp |
⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp ) |
220 |
32 219
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ Grp ) |
221 |
220
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ Grp ) |
222 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 1 ... 𝑠 ) ∈ Fin ) |
223 |
91
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑌 ∈ LMod ) |
224 |
101
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑃 ) ∈ Mnd ) |
225 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
226 |
225
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
227 |
226
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
228 |
108
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
229 |
95 7 224 227 228
|
mulgnn0cld |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
230 |
115
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
231 |
230
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
232 |
231
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
233 |
229 232
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑌 ) ) ) |
234 |
122
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑌 ∈ Ring ) |
235 |
157
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
236 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
237 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
238 |
196
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ) |
239 |
238
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑏 : ( 0 ... 𝑠 ) ⟶ 𝐵 ) |
240 |
|
1eluzge0 |
⊢ 1 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
241 |
|
fzss1 |
⊢ ( 1 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 1 ... 𝑠 ) ⊆ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
242 |
240 241
|
mp1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 1 ... 𝑠 ) ⊆ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
243 |
242
|
sseld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
244 |
243
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
245 |
244
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
246 |
239 245
|
ffvelcdmd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ) |
247 |
5 1 2 3 4
|
mat2pmatbas |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
248 |
236 237 246 247
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
249 |
234 235 248 134
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
250 |
223 233 249 138
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
251 |
250
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
252 |
27 35 222 251
|
gsummptcl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
253 |
27 11 12
|
grpaddsubass |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ Grp ∧ ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
254 |
221 71 215 252 253
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
255 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑖 → ( 𝑥 − 1 ) = ( 𝑖 − 1 ) ) |
256 |
255
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑖 → ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) = ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) ) |
257 |
256
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑖 → ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) = ( ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) ) |
258 |
255
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑖 → ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) = ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) |
259 |
258
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑖 → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) |
260 |
257 259
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑖 → ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) |
261 |
260
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) |
262 |
225
|
nncnd |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) → 𝑖 ∈ ℂ ) |
263 |
262
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑖 ∈ ℂ ) |
264 |
|
npcan1 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℂ → ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) = 𝑖 ) |
265 |
263 264
|
syl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) = 𝑖 ) |
266 |
265
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) = ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) ) |
267 |
266
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) |
268 |
267
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑖 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) ) |
269 |
261 268
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) ) |
270 |
269
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑌 Σg ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) ) ) |
271 |
270
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) ) ) |
272 |
271
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) |
273 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑌 ) |
274 |
|
1zzd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 1 ∈ ℤ ) |
275 |
|
0zd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 0 ∈ ℤ ) |
276 |
37
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑠 − 1 ) ∈ ℤ ) |
277 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑥 − 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ) |
278 |
277
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑥 − 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) = ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) ) |
279 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑥 − 1 ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) |
280 |
278 279
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝑥 − 1 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) |
281 |
27 273 35 274 275 276 213 280
|
gsummptshft |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑥 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) ) |
282 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
283 |
282
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 0 + 1 ) = 1 ) |
284 |
76
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) = 𝑠 ) |
285 |
283 284
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... 𝑠 ) ) |
286 |
285
|
mpteq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) |
287 |
286
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑥 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑠 − 1 ) + 1 ) ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) ) |
288 |
281 287
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) ) |
289 |
288
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( ( 𝑥 − 1 ) + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑥 − 1 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) |
290 |
|
ringabl |
⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel ) |
291 |
32 290
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ Abel ) |
292 |
291
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ Abel ) |
293 |
225
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
294 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ ) |
295 |
|
elfzm1b |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ ) → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↔ ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) ) |
296 |
294 198 295
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↔ ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) ) |
297 |
200
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → ( 0 ..^ 𝑠 ) = ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ) |
298 |
297
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) = ( 0 ..^ 𝑠 ) ) |
299 |
298
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↔ ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑠 ) ) ) |
300 |
|
elfzofz |
⊢ ( ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑠 ) → ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
301 |
299 300
|
syl6bi |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) → ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
302 |
296 301
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ ) → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) → ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
303 |
302
|
expimpd |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ → ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
304 |
293 303
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
305 |
304
|
ex |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℕ → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) → ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
306 |
305
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) → ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) ) |
307 |
306
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑖 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ) |
308 |
239 307
|
ffvelcdmd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ∈ 𝐵 ) |
309 |
1 2 5 3 4 27 8 7 6
|
mat2pmatscmxcl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
310 |
236 237 308 227 309
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
311 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) |
312 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
313 |
27 12 292 222 310 250 311 312
|
gsummptfidmsub |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) |
314 |
272 289 313
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) |
315 |
314
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
316 |
221
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → 𝑌 ∈ Grp ) |
317 |
27 12
|
grpsubcl |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
318 |
316 310 250 317
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
319 |
318
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
320 |
27 35 222 319
|
gsummptcl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
321 |
27 11
|
cmncom |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ CMnd ∧ ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) ) |
322 |
35 71 320 321
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) ) |
323 |
254 315 322
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) ) |
324 |
323
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
325 |
27 11
|
mndcl |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ Mnd ∧ ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
326 |
58 71 215 325
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
327 |
27 11 12 292 326 252 172
|
ablsubsub4 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |
328 |
27 11 12
|
grpaddsubass |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) ) → ( ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |
329 |
221 320 71 172 328
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |
330 |
324 327 329
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) + ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |
331 |
5 1 2 3 4
|
mat2pmatbas |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
332 |
236 237 308 331
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
333 |
27 8 136 137 12 223 233 332 249
|
lmodsubdi |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
334 |
333
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ) → ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
335 |
334
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) |
336 |
335
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) ) |
337 |
336
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) ) − ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |
338 |
218 330 337
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑠 − 1 ) ) ↦ ( ( ( 𝑖 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) + ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) ) − ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) + ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |
339 |
18 192 338
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 0 ... 𝑠 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑋 · 1 ) × ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑌 Σg ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑠 ) ↦ ( ( 𝑖 ↑ 𝑋 ) · ( ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝑠 + 1 ) ↑ 𝑋 ) · ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 𝑠 ) ) ) − ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) × ( 𝑇 ‘ ( 𝑏 ‘ 0 ) ) ) ) ) ) |