Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rpvmasum.z |
|- Z = ( Z/nZ ` N ) |
2 |
|
rpvmasum.l |
|- L = ( ZRHom ` Z ) |
3 |
|
rpvmasum.a |
|- ( ph -> N e. NN ) |
4 |
|
rpvmasum.g |
|- G = ( DChr ` N ) |
5 |
|
rpvmasum.d |
|- D = ( Base ` G ) |
6 |
|
rpvmasum.1 |
|- .1. = ( 0g ` G ) |
7 |
|
dchrisum.b |
|- ( ph -> X e. D ) |
8 |
|
dchrisum.n1 |
|- ( ph -> X =/= .1. ) |
9 |
|
dchrisum.2 |
|- ( n = x -> A = B ) |
10 |
|
dchrisum.3 |
|- ( ph -> M e. NN ) |
11 |
|
dchrisum.4 |
|- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR ) |
12 |
|
dchrisum.5 |
|- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A ) |
13 |
|
dchrisum.6 |
|- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~>r 0 ) |
14 |
|
dchrisum.7 |
|- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) ) |
15 |
|
dchrisum.9 |
|- ( ph -> R e. RR ) |
16 |
|
dchrisum.10 |
|- ( ph -> A. u e. ( 0 ..^ N ) ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ u ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ R ) |
17 |
|
dchrisumlem2.1 |
|- ( ph -> U e. RR+ ) |
18 |
|
dchrisumlem2.2 |
|- ( ph -> M <_ U ) |
19 |
|
dchrisumlem2.3 |
|- ( ph -> U <_ ( I + 1 ) ) |
20 |
|
dchrisumlem2.4 |
|- ( ph -> I e. NN ) |
21 |
|
dchrisumlem2.5 |
|- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` I ) ) |
22 |
|
fzodisj |
|- ( ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) i^i ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) = (/) |
23 |
22
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) i^i ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) = (/) ) |
24 |
20
|
peano2nnd |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. NN ) |
25 |
|
nnuz |
|- NN = ( ZZ>= ` 1 ) |
26 |
24 25
|
eleqtrdi |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
27 |
|
eluzp1p1 |
|- ( J e. ( ZZ>= ` I ) -> ( J + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) ) |
28 |
21 27
|
syl |
|- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) ) |
29 |
|
elfzuzb |
|- ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... ( J + 1 ) ) <-> ( ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( J + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) ) ) |
30 |
26 28 29
|
sylanbrc |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 1 ... ( J + 1 ) ) ) |
31 |
|
fzosplit |
|- ( ( I + 1 ) e. ( 1 ... ( J + 1 ) ) -> ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) = ( ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) u. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( ph -> ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) = ( ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) u. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) ) |
33 |
|
fzofi |
|- ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) e. Fin |
34 |
33
|
a1i |
|- ( ph -> ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) e. Fin ) |
35 |
|
elfzouz |
|- ( i e. ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
36 |
35 25
|
eleqtrrdi |
|- ( i e. ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) -> i e. NN ) |
37 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> X e. D ) |
38 |
|
nnz |
|- ( i e. NN -> i e. ZZ ) |
39 |
38
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. ZZ ) |
40 |
4 1 5 2 37 39
|
dchrzrhcl |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( X ` ( L ` i ) ) e. CC ) |
41 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
dchrisumlema |
|- ( ph -> ( ( i e. RR+ -> [_ i / n ]_ A e. RR ) /\ ( i e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ i / n ]_ A ) ) ) |
42 |
41
|
simpld |
|- ( ph -> ( i e. RR+ -> [_ i / n ]_ A e. RR ) ) |
43 |
|
nnrp |
|- ( i e. NN -> i e. RR+ ) |
44 |
42 43
|
impel |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> [_ i / n ]_ A e. RR ) |
45 |
44
|
recnd |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> [_ i / n ]_ A e. CC ) |
46 |
40 45
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
47 |
36 46
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
48 |
23 32 34 47
|
fsumsplit |
|- ( ph -> sum_ i e. ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = ( sum_ i e. ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) + sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) ) |
49 |
|
eluzelz |
|- ( J e. ( ZZ>= ` I ) -> J e. ZZ ) |
50 |
|
fzval3 |
|- ( J e. ZZ -> ( 1 ... J ) = ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) ) |
51 |
21 49 50
|
3syl |
|- ( ph -> ( 1 ... J ) = ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) ) |
52 |
51
|
sumeq1d |
|- ( ph -> sum_ i e. ( 1 ... J ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = sum_ i e. ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
53 |
20
|
nnzd |
|- ( ph -> I e. ZZ ) |
54 |
|
fzval3 |
|- ( I e. ZZ -> ( 1 ... I ) = ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) ) |
55 |
53 54
|
syl |
|- ( ph -> ( 1 ... I ) = ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) ) |
56 |
55
|
sumeq1d |
|- ( ph -> sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = sum_ i e. ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
57 |
56
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) + sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) + sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) ) |
58 |
48 52 57
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> sum_ i e. ( 1 ... J ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = ( sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) + sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) ) |
59 |
|
elfznn |
|- ( i e. ( 1 ... J ) -> i e. NN ) |
60 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN ) |
61 |
|
nfcv |
|- F/_ n i |
62 |
|
nfcv |
|- F/_ n ( X ` ( L ` i ) ) |
63 |
|
nfcv |
|- F/_ n x. |
64 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ n [_ i / n ]_ A |
65 |
62 63 64
|
nfov |
|- F/_ n ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) |
66 |
|
2fveq3 |
|- ( n = i -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` i ) ) ) |
67 |
|
csbeq1a |
|- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A ) |
68 |
66 67
|
oveq12d |
|- ( n = i -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) = ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
69 |
61 65 68 14
|
fvmptf |
|- ( ( i e. NN /\ ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) e. CC ) -> ( F ` i ) = ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
70 |
60 46 69
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
71 |
59 70
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> ( F ` i ) = ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
72 |
20 25
|
eleqtrdi |
|- ( ph -> I e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
73 |
|
uztrn |
|- ( ( J e. ( ZZ>= ` I ) /\ I e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
74 |
21 72 73
|
syl2anc |
|- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
75 |
59 46
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
76 |
71 74 75
|
fsumser |
|- ( ph -> sum_ i e. ( 1 ... J ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = ( seq 1 ( + , F ) ` J ) ) |
77 |
58 76
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) + sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` J ) ) |
78 |
|
elfznn |
|- ( i e. ( 1 ... I ) -> i e. NN ) |
79 |
78 70
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... I ) ) -> ( F ` i ) = ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
80 |
78 46
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... I ) ) -> ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
81 |
79 72 80
|
fsumser |
|- ( ph -> sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = ( seq 1 ( + , F ) ` I ) ) |
82 |
77 81
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( ( sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) + sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) - sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` J ) - ( seq 1 ( + , F ) ` I ) ) ) |
83 |
|
fzfid |
|- ( ph -> ( 1 ... I ) e. Fin ) |
84 |
83 80
|
fsumcl |
|- ( ph -> sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
85 |
|
fzofi |
|- ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) e. Fin |
86 |
85
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) e. Fin ) |
87 |
|
ssun2 |
|- ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) C_ ( ( 1 ..^ ( I + 1 ) ) u. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) |
88 |
87 32
|
sseqtrrid |
|- ( ph -> ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) C_ ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) ) |
89 |
88
|
sselda |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> i e. ( 1 ..^ ( J + 1 ) ) ) |
90 |
89 47
|
syldan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
91 |
86 90
|
fsumcl |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
92 |
84 91
|
pncan2d |
|- ( ph -> ( ( sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) + sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) - sum_ i e. ( 1 ... I ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) = sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
93 |
82 92
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` J ) - ( seq 1 ( + , F ) ` I ) ) = sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) |
94 |
93
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` J ) - ( seq 1 ( + , F ) ` I ) ) ) = ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) ) |
95 |
91
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) e. RR ) |
96 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
97 |
96
|
a1i |
|- ( ph -> 2 e. RR ) |
98 |
97 15
|
remulcld |
|- ( ph -> ( 2 x. R ) e. RR ) |
99 |
44
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. i e. NN [_ i / n ]_ A e. RR ) |
100 |
|
csbeq1 |
|- ( i = ( I + 1 ) -> [_ i / n ]_ A = [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) |
101 |
100
|
eleq1d |
|- ( i = ( I + 1 ) -> ( [_ i / n ]_ A e. RR <-> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A e. RR ) ) |
102 |
101
|
rspcv |
|- ( ( I + 1 ) e. NN -> ( A. i e. NN [_ i / n ]_ A e. RR -> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A e. RR ) ) |
103 |
24 99 102
|
sylc |
|- ( ph -> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A e. RR ) |
104 |
98 103
|
remulcld |
|- ( ph -> ( ( 2 x. R ) x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) e. RR ) |
105 |
11
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. n e. RR+ A e. RR ) |
106 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ n [_ U / n ]_ A |
107 |
106
|
nfel1 |
|- F/ n [_ U / n ]_ A e. RR |
108 |
|
csbeq1a |
|- ( n = U -> A = [_ U / n ]_ A ) |
109 |
108
|
eleq1d |
|- ( n = U -> ( A e. RR <-> [_ U / n ]_ A e. RR ) ) |
110 |
107 109
|
rspc |
|- ( U e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ U / n ]_ A e. RR ) ) |
111 |
17 105 110
|
sylc |
|- ( ph -> [_ U / n ]_ A e. RR ) |
112 |
98 111
|
remulcld |
|- ( ph -> ( ( 2 x. R ) x. [_ U / n ]_ A ) e. RR ) |
113 |
74 25
|
eleqtrrdi |
|- ( ph -> J e. NN ) |
114 |
113
|
peano2nnd |
|- ( ph -> ( J + 1 ) e. NN ) |
115 |
114
|
nnrpd |
|- ( ph -> ( J + 1 ) e. RR+ ) |
116 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
dchrisumlema |
|- ( ph -> ( ( ( J + 1 ) e. RR+ -> [_ ( J + 1 ) / n ]_ A e. RR ) /\ ( ( J + 1 ) e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) ) |
117 |
116
|
simpld |
|- ( ph -> ( ( J + 1 ) e. RR+ -> [_ ( J + 1 ) / n ]_ A e. RR ) ) |
118 |
115 117
|
mpd |
|- ( ph -> [_ ( J + 1 ) / n ]_ A e. RR ) |
119 |
118
|
recnd |
|- ( ph -> [_ ( J + 1 ) / n ]_ A e. CC ) |
120 |
|
fzofi |
|- ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) e. Fin |
121 |
120
|
a1i |
|- ( ph -> ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) e. Fin ) |
122 |
|
elfzoelz |
|- ( n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) -> n e. ZZ ) |
123 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> X e. D ) |
124 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ ) |
125 |
4 1 5 2 123 124
|
dchrzrhcl |
|- ( ( ph /\ n e. ZZ ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
126 |
122 125
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
127 |
121 126
|
fsumcl |
|- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
128 |
119 127
|
mulcld |
|- ( ph -> ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) e. CC ) |
129 |
103
|
recnd |
|- ( ph -> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A e. CC ) |
130 |
|
fzofi |
|- ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) e. Fin |
131 |
130
|
a1i |
|- ( ph -> ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) e. Fin ) |
132 |
|
elfzoelz |
|- ( n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) -> n e. ZZ ) |
133 |
132 125
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
134 |
131 133
|
fsumcl |
|- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
135 |
129 134
|
mulcld |
|- ( ph -> ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) e. CC ) |
136 |
128 135
|
subcld |
|- ( ph -> ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) e. CC ) |
137 |
136
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) e. RR ) |
138 |
89 36
|
syl |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> i e. NN ) |
139 |
|
peano2nn |
|- ( i e. NN -> ( i + 1 ) e. NN ) |
140 |
139
|
nnrpd |
|- ( i e. NN -> ( i + 1 ) e. RR+ ) |
141 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ n [_ ( i + 1 ) / n ]_ A |
142 |
141
|
nfel1 |
|- F/ n [_ ( i + 1 ) / n ]_ A e. RR |
143 |
|
csbeq1a |
|- ( n = ( i + 1 ) -> A = [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) |
144 |
143
|
eleq1d |
|- ( n = ( i + 1 ) -> ( A e. RR <-> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A e. RR ) ) |
145 |
142 144
|
rspc |
|- ( ( i + 1 ) e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A e. RR ) ) |
146 |
145
|
impcom |
|- ( ( A. n e. RR+ A e. RR /\ ( i + 1 ) e. RR+ ) -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A e. RR ) |
147 |
105 140 146
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A e. RR ) |
148 |
147 44
|
resubcld |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) e. RR ) |
149 |
148
|
recnd |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
150 |
|
fzofi |
|- ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) e. Fin |
151 |
150
|
a1i |
|- ( ph -> ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) e. Fin ) |
152 |
|
elfzoelz |
|- ( n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) -> n e. ZZ ) |
153 |
152 125
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
154 |
151 153
|
fsumcl |
|- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
155 |
154
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
156 |
149 155
|
mulcld |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) e. CC ) |
157 |
138 156
|
syldan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) e. CC ) |
158 |
86 157
|
fsumcl |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) e. CC ) |
159 |
158
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) e. RR ) |
160 |
137 159
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( abs ` ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) + ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) e. RR ) |
161 |
40 45
|
mulcomd |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = ( [_ i / n ]_ A x. ( X ` ( L ` i ) ) ) ) |
162 |
|
nnnn0 |
|- ( i e. NN -> i e. NN0 ) |
163 |
162
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN0 ) |
164 |
|
nn0uz |
|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) |
165 |
163 164
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
166 |
|
elfzelz |
|- ( n e. ( 0 ... i ) -> n e. ZZ ) |
167 |
125
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ n e. ZZ ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
168 |
166 167
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ n e. ( 0 ... i ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
169 |
165 168 66
|
fzosump1 |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) + ( X ` ( L ` i ) ) ) ) |
170 |
169
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) + ( X ` ( L ` i ) ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) |
171 |
|
fzofi |
|- ( 0 ..^ i ) e. Fin |
172 |
171
|
a1i |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 0 ..^ i ) e. Fin ) |
173 |
|
elfzoelz |
|- ( n e. ( 0 ..^ i ) -> n e. ZZ ) |
174 |
173 167
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ n e. ( 0 ..^ i ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
175 |
172 174
|
fsumcl |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
176 |
175 40
|
pncan2d |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) + ( X ` ( L ` i ) ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) = ( X ` ( L ` i ) ) ) |
177 |
170 176
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( X ` ( L ` i ) ) = ( sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) |
178 |
177
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( [_ i / n ]_ A x. ( X ` ( L ` i ) ) ) = ( [_ i / n ]_ A x. ( sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
179 |
161 178
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = ( [_ i / n ]_ A x. ( sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
180 |
138 179
|
syldan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = ( [_ i / n ]_ A x. ( sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
181 |
180
|
sumeq2dv |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( [_ i / n ]_ A x. ( sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
182 |
|
csbeq1 |
|- ( k = i -> [_ k / n ]_ A = [_ i / n ]_ A ) |
183 |
|
oveq2 |
|- ( k = i -> ( 0 ..^ k ) = ( 0 ..^ i ) ) |
184 |
183
|
sumeq1d |
|- ( k = i -> sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) |
185 |
182 184
|
jca |
|- ( k = i -> ( [_ k / n ]_ A = [_ i / n ]_ A /\ sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) |
186 |
|
csbeq1 |
|- ( k = ( i + 1 ) -> [_ k / n ]_ A = [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) |
187 |
|
oveq2 |
|- ( k = ( i + 1 ) -> ( 0 ..^ k ) = ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ) |
188 |
187
|
sumeq1d |
|- ( k = ( i + 1 ) -> sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) |
189 |
186 188
|
jca |
|- ( k = ( i + 1 ) -> ( [_ k / n ]_ A = [_ ( i + 1 ) / n ]_ A /\ sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) |
190 |
|
csbeq1 |
|- ( k = ( I + 1 ) -> [_ k / n ]_ A = [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) |
191 |
|
oveq2 |
|- ( k = ( I + 1 ) -> ( 0 ..^ k ) = ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ) |
192 |
191
|
sumeq1d |
|- ( k = ( I + 1 ) -> sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) |
193 |
190 192
|
jca |
|- ( k = ( I + 1 ) -> ( [_ k / n ]_ A = [_ ( I + 1 ) / n ]_ A /\ sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) |
194 |
|
csbeq1 |
|- ( k = ( J + 1 ) -> [_ k / n ]_ A = [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) |
195 |
|
oveq2 |
|- ( k = ( J + 1 ) -> ( 0 ..^ k ) = ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ) |
196 |
195
|
sumeq1d |
|- ( k = ( J + 1 ) -> sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) |
197 |
194 196
|
jca |
|- ( k = ( J + 1 ) -> ( [_ k / n ]_ A = [_ ( J + 1 ) / n ]_ A /\ sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) |
198 |
45
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. i e. NN [_ i / n ]_ A e. CC ) |
199 |
|
elfzuz |
|- ( k e. ( ( I + 1 ) ... ( J + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) ) |
200 |
|
eluznn |
|- ( ( ( I + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) ) -> k e. NN ) |
201 |
24 199 200
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J + 1 ) ) ) -> k e. NN ) |
202 |
|
csbeq1 |
|- ( i = k -> [_ i / n ]_ A = [_ k / n ]_ A ) |
203 |
202
|
eleq1d |
|- ( i = k -> ( [_ i / n ]_ A e. CC <-> [_ k / n ]_ A e. CC ) ) |
204 |
203
|
rspccva |
|- ( ( A. i e. NN [_ i / n ]_ A e. CC /\ k e. NN ) -> [_ k / n ]_ A e. CC ) |
205 |
198 201 204
|
syl2an2r |
|- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J + 1 ) ) ) -> [_ k / n ]_ A e. CC ) |
206 |
|
fzofi |
|- ( 0 ..^ k ) e. Fin |
207 |
206
|
a1i |
|- ( ph -> ( 0 ..^ k ) e. Fin ) |
208 |
|
elfzoelz |
|- ( n e. ( 0 ..^ k ) -> n e. ZZ ) |
209 |
208 125
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ..^ k ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
210 |
207 209
|
fsumcl |
|- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
211 |
210
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J + 1 ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ..^ k ) ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
212 |
185 189 193 197 28 205 211
|
fsumparts |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( [_ i / n ]_ A x. ( sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) - sum_ n e. ( 0 ..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) - sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
213 |
181 212
|
eqtrd |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) = ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) - sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
214 |
213
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) = ( abs ` ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) - sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) ) |
215 |
136 158
|
abs2dif2d |
|- ( ph -> ( abs ` ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) - sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) + ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) ) |
216 |
214 215
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) <_ ( ( abs ` ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) + ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) ) |
217 |
118 103
|
readdcld |
|- ( ph -> ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) e. RR ) |
218 |
217 15
|
remulcld |
|- ( ph -> ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) e. RR ) |
219 |
182 186 190 194 28 205
|
telfsumo |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) = ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) |
220 |
138 44
|
syldan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A e. RR ) |
221 |
138 147
|
syldan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A e. RR ) |
222 |
220 221
|
resubcld |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) e. RR ) |
223 |
86 222
|
fsumrecl |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) e. RR ) |
224 |
219 223
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) e. RR ) |
225 |
224 15
|
remulcld |
|- ( ph -> ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) e. RR ) |
226 |
128
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) e. RR ) |
227 |
135
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) e. RR ) |
228 |
226 227
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( abs ` ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) + ( abs ` ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) e. RR ) |
229 |
128 135
|
abs2dif2d |
|- ( ph -> ( abs ` ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) + ( abs ` ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) ) |
230 |
118 15
|
remulcld |
|- ( ph -> ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. R ) e. RR ) |
231 |
103 15
|
remulcld |
|- ( ph -> ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. R ) e. RR ) |
232 |
119 127
|
absmuld |
|- ( ph -> ( abs ` ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( ( abs ` [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
233 |
|
eluzelre |
|- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. RR ) |
234 |
233
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. RR ) |
235 |
|
eluzle |
|- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ i ) |
236 |
235
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ i ) |
237 |
10
|
nnred |
|- ( ph -> M e. RR ) |
238 |
237
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR ) |
239 |
|
elicopnf |
|- ( M e. RR -> ( i e. ( M [,) +oo ) <-> ( i e. RR /\ M <_ i ) ) ) |
240 |
238 239
|
syl |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( i e. ( M [,) +oo ) <-> ( i e. RR /\ M <_ i ) ) ) |
241 |
234 236 240
|
mpbir2and |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. ( M [,) +oo ) ) |
242 |
241
|
ex |
|- ( ph -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ( M [,) +oo ) ) ) |
243 |
242
|
ssrdv |
|- ( ph -> ( ZZ>= ` M ) C_ ( M [,) +oo ) ) |
244 |
10
|
nnzd |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
245 |
53
|
peano2zd |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. ZZ ) |
246 |
17
|
rpred |
|- ( ph -> U e. RR ) |
247 |
24
|
nnred |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR ) |
248 |
237 246 247 18 19
|
letrd |
|- ( ph -> M <_ ( I + 1 ) ) |
249 |
|
eluz2 |
|- ( ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( I + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( I + 1 ) ) ) |
250 |
244 245 248 249
|
syl3anbrc |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
251 |
|
uztrn |
|- ( ( ( J + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( J + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
252 |
28 250 251
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
253 |
243 252
|
sseldd |
|- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( M [,) +oo ) ) |
254 |
116
|
simprd |
|- ( ph -> ( ( J + 1 ) e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) |
255 |
253 254
|
mpd |
|- ( ph -> 0 <_ [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) |
256 |
118 255
|
absidd |
|- ( ph -> ( abs ` [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) = [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) |
257 |
256
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( abs ` [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
258 |
232 257
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( abs ` ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
259 |
127
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) e. RR ) |
260 |
114
|
nnnn0d |
|- ( ph -> ( J + 1 ) e. NN0 ) |
261 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|
dchrisumlem1 |
|- ( ( ph /\ ( J + 1 ) e. NN0 ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ R ) |
262 |
260 261
|
mpdan |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ R ) |
263 |
259 15 118 255 262
|
lemul2ad |
|- ( ph -> ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. R ) ) |
264 |
258 263
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> ( abs ` ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. R ) ) |
265 |
129 134
|
absmuld |
|- ( ph -> ( abs ` ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( ( abs ` [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
266 |
243 250
|
sseldd |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( M [,) +oo ) ) |
267 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
dchrisumlema |
|- ( ph -> ( ( ( I + 1 ) e. RR+ -> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A e. RR ) /\ ( ( I + 1 ) e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) ) ) |
268 |
267
|
simprd |
|- ( ph -> ( ( I + 1 ) e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) ) |
269 |
266 268
|
mpd |
|- ( ph -> 0 <_ [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) |
270 |
103 269
|
absidd |
|- ( ph -> ( abs ` [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) = [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) |
271 |
270
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( abs ` [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
272 |
265 271
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( abs ` ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
273 |
134
|
abscld |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) e. RR ) |
274 |
24
|
nnnn0d |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. NN0 ) |
275 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|
dchrisumlem1 |
|- ( ( ph /\ ( I + 1 ) e. NN0 ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ R ) |
276 |
274 275
|
mpdan |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ R ) |
277 |
273 15 103 269 276
|
lemul2ad |
|- ( ph -> ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. R ) ) |
278 |
272 277
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> ( abs ` ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. R ) ) |
279 |
226 227 230 231 264 278
|
le2addd |
|- ( ph -> ( ( abs ` ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) + ( abs ` ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. R ) + ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. R ) ) ) |
280 |
15
|
recnd |
|- ( ph -> R e. CC ) |
281 |
119 129 280
|
adddird |
|- ( ph -> ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) = ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. R ) + ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. R ) ) ) |
282 |
279 281
|
breqtrrd |
|- ( ph -> ( ( abs ` ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) + ( abs ` ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
283 |
137 228 218 229 282
|
letrd |
|- ( ph -> ( abs ` ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
284 |
157
|
abscld |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) e. RR ) |
285 |
86 284
|
fsumrecl |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( abs ` ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) e. RR ) |
286 |
86 157
|
fsumabs |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( abs ` ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
287 |
15
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> R e. RR ) |
288 |
222 287
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) e. RR ) |
289 |
138 149
|
syldan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) e. CC ) |
290 |
154
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) e. CC ) |
291 |
289 290
|
absmuld |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( ( abs ` ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
292 |
|
elfzouz |
|- ( i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) -> i e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) ) |
293 |
|
uztrn |
|- ( ( i e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) /\ ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) ) |
294 |
292 250 293
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) ) |
295 |
|
eluznn |
|- ( ( M e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. NN ) |
296 |
10 295
|
sylan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. NN ) |
297 |
296 140
|
syl |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( i + 1 ) e. RR+ ) |
298 |
296
|
nnrpd |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. RR+ ) |
299 |
12
|
3expia |
|- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) ) |
300 |
299
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) ) |
301 |
300
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) ) |
302 |
|
nfcv |
|- F/_ n RR+ |
303 |
|
nfv |
|- F/ n ( M <_ i /\ i <_ x ) |
304 |
|
nfcv |
|- F/_ n B |
305 |
|
nfcv |
|- F/_ n <_ |
306 |
304 305 64
|
nfbr |
|- F/ n B <_ [_ i / n ]_ A |
307 |
303 306
|
nfim |
|- F/ n ( ( M <_ i /\ i <_ x ) -> B <_ [_ i / n ]_ A ) |
308 |
302 307
|
nfralw |
|- F/ n A. x e. RR+ ( ( M <_ i /\ i <_ x ) -> B <_ [_ i / n ]_ A ) |
309 |
|
breq2 |
|- ( n = i -> ( M <_ n <-> M <_ i ) ) |
310 |
|
breq1 |
|- ( n = i -> ( n <_ x <-> i <_ x ) ) |
311 |
309 310
|
anbi12d |
|- ( n = i -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) <-> ( M <_ i /\ i <_ x ) ) ) |
312 |
67
|
breq2d |
|- ( n = i -> ( B <_ A <-> B <_ [_ i / n ]_ A ) ) |
313 |
311 312
|
imbi12d |
|- ( n = i -> ( ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> ( ( M <_ i /\ i <_ x ) -> B <_ [_ i / n ]_ A ) ) ) |
314 |
313
|
ralbidv |
|- ( n = i -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> A. x e. RR+ ( ( M <_ i /\ i <_ x ) -> B <_ [_ i / n ]_ A ) ) ) |
315 |
308 314
|
rspc |
|- ( i e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ i /\ i <_ x ) -> B <_ [_ i / n ]_ A ) ) ) |
316 |
298 301 315
|
sylc |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ i /\ i <_ x ) -> B <_ [_ i / n ]_ A ) ) |
317 |
234
|
lep1d |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i <_ ( i + 1 ) ) |
318 |
236 317
|
jca |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M <_ i /\ i <_ ( i + 1 ) ) ) |
319 |
|
breq2 |
|- ( x = ( i + 1 ) -> ( i <_ x <-> i <_ ( i + 1 ) ) ) |
320 |
319
|
anbi2d |
|- ( x = ( i + 1 ) -> ( ( M <_ i /\ i <_ x ) <-> ( M <_ i /\ i <_ ( i + 1 ) ) ) ) |
321 |
|
eqvisset |
|- ( x = ( i + 1 ) -> ( i + 1 ) e. _V ) |
322 |
|
eqtr3 |
|- ( ( x = ( i + 1 ) /\ n = ( i + 1 ) ) -> x = n ) |
323 |
9
|
equcoms |
|- ( x = n -> A = B ) |
324 |
322 323
|
syl |
|- ( ( x = ( i + 1 ) /\ n = ( i + 1 ) ) -> A = B ) |
325 |
321 324
|
csbied |
|- ( x = ( i + 1 ) -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A = B ) |
326 |
325
|
eqcomd |
|- ( x = ( i + 1 ) -> B = [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) |
327 |
326
|
breq1d |
|- ( x = ( i + 1 ) -> ( B <_ [_ i / n ]_ A <-> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A <_ [_ i / n ]_ A ) ) |
328 |
320 327
|
imbi12d |
|- ( x = ( i + 1 ) -> ( ( ( M <_ i /\ i <_ x ) -> B <_ [_ i / n ]_ A ) <-> ( ( M <_ i /\ i <_ ( i + 1 ) ) -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A <_ [_ i / n ]_ A ) ) ) |
329 |
328
|
rspcv |
|- ( ( i + 1 ) e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ i /\ i <_ x ) -> B <_ [_ i / n ]_ A ) -> ( ( M <_ i /\ i <_ ( i + 1 ) ) -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A <_ [_ i / n ]_ A ) ) ) |
330 |
297 316 318 329
|
syl3c |
|- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A <_ [_ i / n ]_ A ) |
331 |
294 330
|
syldan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A <_ [_ i / n ]_ A ) |
332 |
221 220 331
|
abssuble0d |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) ) = ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) ) |
333 |
332
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
334 |
291 333
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) = ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) |
335 |
290
|
abscld |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) e. RR ) |
336 |
220 221
|
subge0d |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) <-> [_ ( i + 1 ) / n ]_ A <_ [_ i / n ]_ A ) ) |
337 |
331 336
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) ) |
338 |
138
|
peano2nnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. NN ) |
339 |
338
|
nnnn0d |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. NN0 ) |
340 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|
dchrisumlem1 |
|- ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ R ) |
341 |
339 340
|
syldan |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ R ) |
342 |
335 287 222 337 341
|
lemul2ad |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
343 |
334 342
|
eqbrtrd |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
344 |
86 284 288 343
|
fsumle |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( abs ` ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
345 |
222
|
recnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ) -> ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) e. CC ) |
346 |
86 280 345
|
fsummulc1 |
|- ( ph -> ( sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) = sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
347 |
219
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) = ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
348 |
346 347
|
eqtr3d |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ i / n ]_ A - [_ ( i + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) = ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
349 |
344 348
|
breqtrd |
|- ( ph -> sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( abs ` ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
350 |
159 285 225 286 349
|
letrd |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) <_ ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) |
351 |
137 159 218 225 283 350
|
le2addd |
|- ( ph -> ( ( abs ` ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) + ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) + ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) ) |
352 |
129
|
2timesd |
|- ( ph -> ( 2 x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) = ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) ) |
353 |
129 119 129
|
ppncand |
|- ( ph -> ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A + [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) + ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) = ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) ) |
354 |
129 119
|
addcomd |
|- ( ph -> ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A + [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) = ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) ) |
355 |
354
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A + [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) + ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) = ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) + ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) ) |
356 |
352 353 355
|
3eqtr2d |
|- ( ph -> ( 2 x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) = ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) + ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) ) |
357 |
356
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( 2 x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) = ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) + ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) x. R ) ) |
358 |
|
2cnd |
|- ( ph -> 2 e. CC ) |
359 |
358 129 280
|
mul32d |
|- ( ph -> ( ( 2 x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) = ( ( 2 x. R ) x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) ) |
360 |
217
|
recnd |
|- ( ph -> ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) e. CC ) |
361 |
224
|
recnd |
|- ( ph -> ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) e. CC ) |
362 |
360 361 280
|
adddird |
|- ( ph -> ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) + ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) ) x. R ) = ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) + ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) ) |
363 |
357 359 362
|
3eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( 2 x. R ) x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) = ( ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A + [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) + ( ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A - [_ ( J + 1 ) / n ]_ A ) x. R ) ) ) |
364 |
351 363
|
breqtrrd |
|- ( ph -> ( ( abs ` ( ( [_ ( J + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) - ( [_ ( I + 1 ) / n ]_ A x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( I + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) + ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( [_ ( i + 1 ) / n ]_ A - [_ i / n ]_ A ) x. sum_ n e. ( 0 ..^ ( i + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( 2 x. R ) x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) ) |
365 |
95 160 104 216 364
|
letrd |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) <_ ( ( 2 x. R ) x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) ) |
366 |
|
2nn0 |
|- 2 e. NN0 |
367 |
|
nn0ge0 |
|- ( 2 e. NN0 -> 0 <_ 2 ) |
368 |
366 367
|
mp1i |
|- ( ph -> 0 <_ 2 ) |
369 |
|
0red |
|- ( ph -> 0 e. RR ) |
370 |
127
|
absge0d |
|- ( ph -> 0 <_ ( abs ` sum_ n e. ( 0 ..^ ( J + 1 ) ) ( X ` ( L ` n ) ) ) ) |
371 |
369 259 15 370 262
|
letrd |
|- ( ph -> 0 <_ R ) |
372 |
97 15 368 371
|
mulge0d |
|- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. R ) ) |
373 |
24
|
nnrpd |
|- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR+ ) |
374 |
|
nfv |
|- F/ n ( M <_ U /\ U <_ x ) |
375 |
304 305 106
|
nfbr |
|- F/ n B <_ [_ U / n ]_ A |
376 |
374 375
|
nfim |
|- F/ n ( ( M <_ U /\ U <_ x ) -> B <_ [_ U / n ]_ A ) |
377 |
302 376
|
nfralw |
|- F/ n A. x e. RR+ ( ( M <_ U /\ U <_ x ) -> B <_ [_ U / n ]_ A ) |
378 |
|
breq2 |
|- ( n = U -> ( M <_ n <-> M <_ U ) ) |
379 |
|
breq1 |
|- ( n = U -> ( n <_ x <-> U <_ x ) ) |
380 |
378 379
|
anbi12d |
|- ( n = U -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) <-> ( M <_ U /\ U <_ x ) ) ) |
381 |
108
|
breq2d |
|- ( n = U -> ( B <_ A <-> B <_ [_ U / n ]_ A ) ) |
382 |
380 381
|
imbi12d |
|- ( n = U -> ( ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> ( ( M <_ U /\ U <_ x ) -> B <_ [_ U / n ]_ A ) ) ) |
383 |
382
|
ralbidv |
|- ( n = U -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> A. x e. RR+ ( ( M <_ U /\ U <_ x ) -> B <_ [_ U / n ]_ A ) ) ) |
384 |
377 383
|
rspc |
|- ( U e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ U /\ U <_ x ) -> B <_ [_ U / n ]_ A ) ) ) |
385 |
17 300 384
|
sylc |
|- ( ph -> A. x e. RR+ ( ( M <_ U /\ U <_ x ) -> B <_ [_ U / n ]_ A ) ) |
386 |
18 19
|
jca |
|- ( ph -> ( M <_ U /\ U <_ ( I + 1 ) ) ) |
387 |
|
breq2 |
|- ( x = ( I + 1 ) -> ( U <_ x <-> U <_ ( I + 1 ) ) ) |
388 |
387
|
anbi2d |
|- ( x = ( I + 1 ) -> ( ( M <_ U /\ U <_ x ) <-> ( M <_ U /\ U <_ ( I + 1 ) ) ) ) |
389 |
|
eqvisset |
|- ( x = ( I + 1 ) -> ( I + 1 ) e. _V ) |
390 |
|
eqtr3 |
|- ( ( x = ( I + 1 ) /\ n = ( I + 1 ) ) -> x = n ) |
391 |
390 323
|
syl |
|- ( ( x = ( I + 1 ) /\ n = ( I + 1 ) ) -> A = B ) |
392 |
389 391
|
csbied |
|- ( x = ( I + 1 ) -> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A = B ) |
393 |
392
|
eqcomd |
|- ( x = ( I + 1 ) -> B = [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) |
394 |
393
|
breq1d |
|- ( x = ( I + 1 ) -> ( B <_ [_ U / n ]_ A <-> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A <_ [_ U / n ]_ A ) ) |
395 |
388 394
|
imbi12d |
|- ( x = ( I + 1 ) -> ( ( ( M <_ U /\ U <_ x ) -> B <_ [_ U / n ]_ A ) <-> ( ( M <_ U /\ U <_ ( I + 1 ) ) -> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A <_ [_ U / n ]_ A ) ) ) |
396 |
395
|
rspcv |
|- ( ( I + 1 ) e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ U /\ U <_ x ) -> B <_ [_ U / n ]_ A ) -> ( ( M <_ U /\ U <_ ( I + 1 ) ) -> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A <_ [_ U / n ]_ A ) ) ) |
397 |
373 385 386 396
|
syl3c |
|- ( ph -> [_ ( I + 1 ) / n ]_ A <_ [_ U / n ]_ A ) |
398 |
103 111 98 372 397
|
lemul2ad |
|- ( ph -> ( ( 2 x. R ) x. [_ ( I + 1 ) / n ]_ A ) <_ ( ( 2 x. R ) x. [_ U / n ]_ A ) ) |
399 |
95 104 112 365 398
|
letrd |
|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( I + 1 ) ..^ ( J + 1 ) ) ( ( X ` ( L ` i ) ) x. [_ i / n ]_ A ) ) <_ ( ( 2 x. R ) x. [_ U / n ]_ A ) ) |
400 |
94 399
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` J ) - ( seq 1 ( + , F ) ` I ) ) ) <_ ( ( 2 x. R ) x. [_ U / n ]_ A ) ) |