Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rpvmasum.z |
⊢ 𝑍 = ( ℤ/nℤ ‘ 𝑁 ) |
2 |
|
rpvmasum.l |
⊢ 𝐿 = ( ℤRHom ‘ 𝑍 ) |
3 |
|
rpvmasum.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
rpvmasum.g |
⊢ 𝐺 = ( DChr ‘ 𝑁 ) |
5 |
|
rpvmasum.d |
⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
6 |
|
rpvmasum.1 |
⊢ 1 = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
7 |
|
dchrisum.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷 ) |
8 |
|
dchrisum.n1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 1 ) |
9 |
|
dchrisum.2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵 ) |
10 |
|
dchrisum.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ ) |
11 |
|
dchrisum.4 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
12 |
|
dchrisum.5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) |
13 |
|
dchrisum.6 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴 ) ⇝𝑟 0 ) |
14 |
|
dchrisum.7 |
⊢ 𝐹 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · 𝐴 ) ) |
15 |
|
dchrisum.9 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ ) |
16 |
|
dchrisum.10 |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑢 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑢 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ≤ 𝑅 ) |
17 |
|
dchrisumlem2.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+ ) |
18 |
|
dchrisumlem2.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑈 ) |
19 |
|
dchrisumlem2.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ≤ ( 𝐼 + 1 ) ) |
20 |
|
dchrisumlem2.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ ) |
21 |
|
dchrisumlem2.5 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐼 ) ) |
22 |
|
fzodisj |
⊢ ( ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ∩ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) = ∅ |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ∩ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) = ∅ ) |
24 |
20
|
peano2nnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℕ ) |
25 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
26 |
24 25
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
27 |
|
eluzp1p1 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐼 ) → ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
28 |
21 27
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
29 |
|
elfzuzb |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝐽 + 1 ) ) ↔ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∧ ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ) ) |
30 |
26 28 29
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝐽 + 1 ) ) ) |
31 |
|
fzosplit |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝐽 + 1 ) ) → ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) = ( ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ∪ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) ) |
32 |
30 31
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) = ( ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ∪ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) ) |
33 |
|
fzofi |
⊢ ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ∈ Fin |
34 |
33
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ∈ Fin ) |
35 |
|
elfzouz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
36 |
35 25
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
37 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ 𝐷 ) |
38 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ ) |
39 |
38
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
40 |
4 1 5 2 37 39
|
dchrzrhcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
41 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
dchrisumlema |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ ℝ+ → ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑖 ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) → 0 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
42 |
41
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ ℝ+ → ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ) |
43 |
|
nnrp |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+ ) |
44 |
42 43
|
impel |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
45 |
44
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) |
46 |
40 45
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
47 |
36 46
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
48 |
23 32 34 47
|
fsumsplit |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
49 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐼 ) → 𝐽 ∈ ℤ ) |
50 |
|
fzval3 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ℤ → ( 1 ... 𝐽 ) = ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) |
51 |
21 49 50
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝐽 ) = ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) |
52 |
51
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐽 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
53 |
20
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ ) |
54 |
|
fzval3 |
⊢ ( 𝐼 ∈ ℤ → ( 1 ... 𝐼 ) = ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
55 |
53 54
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝐼 ) = ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
56 |
55
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
57 |
56
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
58 |
48 52 57
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐽 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
59 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐽 ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
60 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
61 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑛 𝑖 |
62 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) |
63 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑛 · |
64 |
|
nfcsb1v |
⊢ Ⅎ 𝑛 ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 |
65 |
62 63 64
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
66 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) ) |
67 |
|
csbeq1a |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
68 |
66 67
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · 𝐴 ) = ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
69 |
61 65 68 14
|
fvmptf |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
70 |
60 46 69
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
71 |
59 70
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
72 |
20 25
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
73 |
|
uztrn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐼 ) ∧ 𝐼 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
74 |
21 72 73
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
75 |
59 46
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
76 |
71 74 75
|
fsumser |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐽 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐽 ) ) |
77 |
58 76
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) = ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐽 ) ) |
78 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
79 |
78 70
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
80 |
78 46
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
81 |
79 72 80
|
fsumser |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ) |
82 |
77 81
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) − Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) = ( ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐽 ) − ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ) ) |
83 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝐼 ) ∈ Fin ) |
84 |
83 80
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
85 |
|
fzofi |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ∈ Fin |
86 |
85
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ∈ Fin ) |
87 |
|
ssun2 |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ⊆ ( ( 1 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ∪ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) |
88 |
87 32
|
sseqtrrid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ⊆ ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) |
89 |
88
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) |
90 |
89 47
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
91 |
86 90
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
92 |
84 91
|
pncan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) − Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
93 |
82 92
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐽 ) − ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
94 |
93
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐽 ) − ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ) ) = ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
95 |
91
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
96 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
97 |
96
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℝ ) |
98 |
97 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
99 |
44
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ℕ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
100 |
|
csbeq1 |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
101 |
100
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ) |
102 |
101
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℕ → ( ∀ 𝑖 ∈ ℕ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ) |
103 |
24 99 102
|
sylc |
⊢ ( 𝜑 → ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
104 |
98 103
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
105 |
11
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ ) |
106 |
|
nfcsb1v |
⊢ Ⅎ 𝑛 ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 |
107 |
106
|
nfel1 |
⊢ Ⅎ 𝑛 ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ |
108 |
|
csbeq1a |
⊢ ( 𝑛 = 𝑈 → 𝐴 = ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
109 |
108
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑈 → ( 𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ) |
110 |
107 109
|
rspc |
⊢ ( 𝑈 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ) |
111 |
17 105 110
|
sylc |
⊢ ( 𝜑 → ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
112 |
98 111
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
113 |
74 25
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ ) |
114 |
113
|
peano2nnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 + 1 ) ∈ ℕ ) |
115 |
114
|
nnrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
116 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
dchrisumlema |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 + 1 ) ∈ ℝ+ → ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) → 0 ≤ ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
117 |
116
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 + 1 ) ∈ ℝ+ → ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ) |
118 |
115 117
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
119 |
118
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) |
120 |
|
fzofi |
⊢ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ∈ Fin |
121 |
120
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ∈ Fin ) |
122 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
123 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ 𝐷 ) |
124 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
125 |
4 1 5 2 123 124
|
dchrzrhcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
126 |
122 125
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
127 |
121 126
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
128 |
119 127
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
129 |
103
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) |
130 |
|
fzofi |
⊢ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ∈ Fin |
131 |
130
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ∈ Fin ) |
132 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
133 |
132 125
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
134 |
131 133
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
135 |
129 134
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
136 |
128 135
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
137 |
136
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
138 |
89 36
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
139 |
|
peano2nn |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ ) |
140 |
139
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
141 |
|
nfcsb1v |
⊢ Ⅎ 𝑛 ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 |
142 |
141
|
nfel1 |
⊢ Ⅎ 𝑛 ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ |
143 |
|
csbeq1a |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑖 + 1 ) → 𝐴 = ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
144 |
143
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ) |
145 |
142 144
|
rspc |
⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ) |
146 |
145
|
impcom |
⊢ ( ( ∀ 𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ+ ) → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
147 |
105 140 146
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
148 |
147 44
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
149 |
148
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
150 |
|
fzofi |
⊢ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin |
151 |
150
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin ) |
152 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
153 |
152 125
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
154 |
151 153
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
155 |
154
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
156 |
149 155
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
157 |
138 156
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
158 |
86 157
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
159 |
158
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
160 |
137 159
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) + ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
161 |
40 45
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
162 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
163 |
162
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
164 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
165 |
163 164
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
166 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
167 |
125
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
168 |
166 167
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
169 |
165 168 66
|
fzosump1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) + ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
170 |
169
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) + ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
171 |
|
fzofi |
⊢ ( 0 ..^ 𝑖 ) ∈ Fin |
172 |
171
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( 0 ..^ 𝑖 ) ∈ Fin ) |
173 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
174 |
173 167
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
175 |
172 174
|
fsumcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
176 |
175 40
|
pncan2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) + ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) ) |
177 |
170 176
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
178 |
177
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
179 |
161 178
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
180 |
138 179
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
181 |
180
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
182 |
|
csbeq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
183 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 0 ..^ 𝑘 ) = ( 0 ..^ 𝑖 ) ) |
184 |
183
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) |
185 |
182 184
|
jca |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∧ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
186 |
|
csbeq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
187 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 0 ..^ 𝑘 ) = ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
188 |
187
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) |
189 |
186 188
|
jca |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∧ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
190 |
|
csbeq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐼 + 1 ) → ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
191 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐼 + 1 ) → ( 0 ..^ 𝑘 ) = ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
192 |
191
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐼 + 1 ) → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) |
193 |
190 192
|
jca |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∧ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
194 |
|
csbeq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐽 + 1 ) → ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
195 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐽 + 1 ) → ( 0 ..^ 𝑘 ) = ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) |
196 |
195
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐽 + 1 ) → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) |
197 |
194 196
|
jca |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐽 + 1 ) → ( ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∧ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
198 |
45
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ℕ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) |
199 |
|
elfzuz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐽 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
200 |
|
eluznn |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
201 |
24 199 200
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐽 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
202 |
|
csbeq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 = ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
203 |
202
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) ) |
204 |
203
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ℕ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) |
205 |
198 201 204
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ⦋ 𝑘 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℂ ) |
206 |
|
fzofi |
⊢ ( 0 ..^ 𝑘 ) ∈ Fin |
207 |
206
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ 𝑘 ) ∈ Fin ) |
208 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
209 |
208 125
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ) → ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
210 |
207 209
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
211 |
210
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐽 + 1 ) ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑘 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
212 |
185 189 193 197 28 205 211
|
fsumparts |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ 𝑖 ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) − Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
213 |
181 212
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) − Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
214 |
213
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) − Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) |
215 |
136 158
|
abs2dif2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) − Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) + ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) |
216 |
214 215
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) + ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) |
217 |
118 103
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
218 |
217 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
219 |
182 186 190 194 28 205
|
telfsumo |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
220 |
138 44
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
221 |
138 147
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) |
222 |
220 221
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
223 |
86 222
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
224 |
219 223
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
225 |
224 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
226 |
128
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
227 |
135
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
228 |
226 227
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
229 |
128 135
|
abs2dif2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) |
230 |
118 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
231 |
103 15
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
232 |
119 127
|
absmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
233 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
234 |
233
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
235 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ≤ 𝑖 ) |
236 |
235
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑀 ≤ 𝑖 ) |
237 |
10
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ ) |
238 |
237
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
239 |
|
elicopnf |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℝ → ( 𝑖 ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ) ) ) |
240 |
238 239
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ) ) ) |
241 |
234 236 240
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) ) |
242 |
241
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) ) ) |
243 |
242
|
ssrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⊆ ( 𝑀 [,) +∞ ) ) |
244 |
10
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
245 |
53
|
peano2zd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ) |
246 |
17
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ ) |
247 |
24
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ ) |
248 |
237 246 247 18 19
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≤ ( 𝐼 + 1 ) ) |
249 |
|
eluz2 |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
250 |
244 245 248 249
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
251 |
|
uztrn |
⊢ ( ( ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ∧ ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
252 |
28 250 251
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
253 |
243 252
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) ) |
254 |
116
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 + 1 ) ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) → 0 ≤ ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
255 |
253 254
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
256 |
118 255
|
absidd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
257 |
256
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
258 |
232 257
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
259 |
127
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
260 |
114
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
261 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|
dchrisumlem1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ≤ 𝑅 ) |
262 |
260 261
|
mpdan |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ≤ 𝑅 ) |
263 |
259 15 118 255 262
|
lemul2ad |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) ) |
264 |
258 263
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) ) |
265 |
129 134
|
absmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
266 |
243 250
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) ) |
267 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
dchrisumlema |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ+ → ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) → 0 ≤ ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
268 |
267
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( 𝑀 [,) +∞ ) → 0 ≤ ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
269 |
266 268
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
270 |
103 269
|
absidd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
271 |
270
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
272 |
265 271
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
273 |
134
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
274 |
24
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
275 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|
dchrisumlem1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ≤ 𝑅 ) |
276 |
274 275
|
mpdan |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ≤ 𝑅 ) |
277 |
273 15 103 269 276
|
lemul2ad |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) ) |
278 |
272 277
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) ) |
279 |
226 227 230 231 264 278
|
le2addd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) + ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) ) ) |
280 |
15
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ ) |
281 |
119 129 280
|
adddird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) = ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) + ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · 𝑅 ) ) ) |
282 |
279 281
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
283 |
137 228 218 229 282
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
284 |
157
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
285 |
86 284
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
286 |
86 157
|
fsumabs |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
287 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
288 |
222 287
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
289 |
138 149
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
290 |
154
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
291 |
289 290
|
absmuld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
292 |
|
elfzouz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
293 |
|
uztrn |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ∧ ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
294 |
292 250 293
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
295 |
|
eluznn |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
296 |
10 295
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
297 |
296 140
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
298 |
296
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ+ ) |
299 |
12
|
3expia |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) |
300 |
299
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑛 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) |
301 |
300
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) |
302 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑛 ℝ+ |
303 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) |
304 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑛 𝐵 |
305 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑛 ≤ |
306 |
304 305 64
|
nfbr |
⊢ Ⅎ 𝑛 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 |
307 |
303 306
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
308 |
302 307
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑛 ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
309 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( 𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 ≤ 𝑖 ) ) |
310 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( 𝑛 ≤ 𝑥 ↔ 𝑖 ≤ 𝑥 ) ) |
311 |
309 310
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) ) ) |
312 |
67
|
breq2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( 𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
313 |
311 312
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
314 |
313
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
315 |
308 314
|
rspc |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑛 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
316 |
298 301 315
|
sylc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
317 |
234
|
lep1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑖 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) |
318 |
236 317
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
319 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑖 ≤ 𝑥 ↔ 𝑖 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
320 |
319
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
321 |
|
eqvisset |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ V ) |
322 |
|
eqtr3 |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑥 = 𝑛 ) |
323 |
9
|
equcoms |
⊢ ( 𝑥 = 𝑛 → 𝐴 = 𝐵 ) |
324 |
322 323
|
syl |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝐴 = 𝐵 ) |
325 |
321 324
|
csbied |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 = 𝐵 ) |
326 |
325
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) → 𝐵 = ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
327 |
326
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ↔ ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
328 |
320 327
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
329 |
328
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
330 |
297 316 318 329
|
syl3c |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
331 |
294 330
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
332 |
221 220 331
|
abssuble0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) = ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
333 |
332
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
334 |
291 333
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
335 |
290
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
336 |
220 221
|
subge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ↔ ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
337 |
331 336
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
338 |
138
|
peano2nnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ ) |
339 |
338
|
nnnn0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
340 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|
dchrisumlem1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ≤ 𝑅 ) |
341 |
339 340
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ≤ 𝑅 ) |
342 |
335 287 222 337 341
|
lemul2ad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
343 |
334 342
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
344 |
86 284 288 343
|
fsumle |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
345 |
222
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ) → ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
346 |
86 280 345
|
fsummulc1 |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
347 |
219
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) = ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
348 |
346 347
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) = ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
349 |
344 348
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
350 |
159 285 225 286 349
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ≤ ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) |
351 |
137 159 218 225 283 350
|
le2addd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) + ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) + ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) ) |
352 |
129
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
353 |
129 119 129
|
ppncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) = ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
354 |
129 119
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
355 |
354
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) = ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
356 |
352 353 355
|
3eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
357 |
356
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) = ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) · 𝑅 ) ) |
358 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ ) |
359 |
358 129 280
|
mul32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) = ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
360 |
217
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
361 |
224
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
362 |
360 361 280
|
adddird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) + ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) · 𝑅 ) = ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) + ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) ) |
363 |
357 359 362
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) = ( ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 + ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) + ( ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · 𝑅 ) ) ) |
364 |
351 363
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ⦋ ( 𝐽 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) − ( ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐼 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) + ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( ⦋ ( 𝑖 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 − ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) · Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑖 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ≤ ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
365 |
95 160 104 216 364
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ≤ ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
366 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
367 |
|
nn0ge0 |
⊢ ( 2 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2 ) |
368 |
366 367
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 2 ) |
369 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
370 |
127
|
absge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
371 |
369 259 15 370 262
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑅 ) |
372 |
97 15 368 371
|
mulge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 2 · 𝑅 ) ) |
373 |
24
|
nnrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
374 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) |
375 |
304 305 106
|
nfbr |
⊢ Ⅎ 𝑛 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 |
376 |
374 375
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
377 |
302 376
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑛 ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
378 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑈 → ( 𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 ≤ 𝑈 ) ) |
379 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑈 → ( 𝑛 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ 𝑥 ) ) |
380 |
378 379
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑈 → ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) ) ) |
381 |
108
|
breq2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑈 → ( 𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
382 |
380 381
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑈 → ( ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
383 |
382
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑛 = 𝑈 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
384 |
377 383
|
rspc |
⊢ ( 𝑈 ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑛 ∈ ℝ+ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
385 |
17 300 384
|
sylc |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
386 |
18 19
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
387 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) → ( 𝑈 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
388 |
387
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝐼 + 1 ) ) ) ) |
389 |
|
eqvisset |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ V ) |
390 |
|
eqtr3 |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) ∧ 𝑛 = ( 𝐼 + 1 ) ) → 𝑥 = 𝑛 ) |
391 |
390 323
|
syl |
⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) ∧ 𝑛 = ( 𝐼 + 1 ) ) → 𝐴 = 𝐵 ) |
392 |
389 391
|
csbied |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) → ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 = 𝐵 ) |
393 |
392
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) → 𝐵 = ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
394 |
393
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) → ( 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ↔ ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
395 |
388 394
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝐼 + 1 ) ) → ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
396 |
395
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ+ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ 𝑥 ) → 𝐵 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ ( 𝐼 + 1 ) ) → ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ) |
397 |
373 385 386 396
|
syl3c |
⊢ ( 𝜑 → ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ≤ ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) |
398 |
103 111 98 372 397
|
lemul2ad |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ ( 𝐼 + 1 ) / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ≤ ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
399 |
95 104 112 365 398
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ..^ ( 𝐽 + 1 ) ) ( ( 𝑋 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑖 ) ) · ⦋ 𝑖 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) ≤ ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |
400 |
94 399
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐽 ) − ( seq 1 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ) ) ≤ ( ( 2 · 𝑅 ) · ⦋ 𝑈 / 𝑛 ⦌ 𝐴 ) ) |