Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nn0ex |
|- NN0 e. _V |
2 |
|
simpr |
|- ( ( M e. NN0 /\ R e. Fin ) -> R e. Fin ) |
3 |
|
elmapg |
|- ( ( NN0 e. _V /\ R e. Fin ) -> ( F e. ( NN0 ^m R ) <-> F : R --> NN0 ) ) |
4 |
1 2 3
|
sylancr |
|- ( ( M e. NN0 /\ R e. Fin ) -> ( F e. ( NN0 ^m R ) <-> F : R --> NN0 ) ) |
5 |
|
oveq1 |
|- ( x = 0 -> ( x Ramsey f ) = ( 0 Ramsey f ) ) |
6 |
5
|
eleq1d |
|- ( x = 0 -> ( ( x Ramsey f ) e. NN0 <-> ( 0 Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
7 |
6
|
ralbidv |
|- ( x = 0 -> ( A. f e. ( NN0 ^m R ) ( x Ramsey f ) e. NN0 <-> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( 0 Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
8 |
7
|
imbi2d |
|- ( x = 0 -> ( ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( x Ramsey f ) e. NN0 ) <-> ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( 0 Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
9 |
|
oveq1 |
|- ( x = m -> ( x Ramsey f ) = ( m Ramsey f ) ) |
10 |
9
|
eleq1d |
|- ( x = m -> ( ( x Ramsey f ) e. NN0 <-> ( m Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
11 |
10
|
ralbidv |
|- ( x = m -> ( A. f e. ( NN0 ^m R ) ( x Ramsey f ) e. NN0 <-> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
12 |
11
|
imbi2d |
|- ( x = m -> ( ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( x Ramsey f ) e. NN0 ) <-> ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
13 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( m + 1 ) -> ( x Ramsey f ) = ( ( m + 1 ) Ramsey f ) ) |
14 |
13
|
eleq1d |
|- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( x Ramsey f ) e. NN0 <-> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
15 |
14
|
ralbidv |
|- ( x = ( m + 1 ) -> ( A. f e. ( NN0 ^m R ) ( x Ramsey f ) e. NN0 <-> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
16 |
15
|
imbi2d |
|- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( x Ramsey f ) e. NN0 ) <-> ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
17 |
|
oveq1 |
|- ( x = M -> ( x Ramsey f ) = ( M Ramsey f ) ) |
18 |
17
|
eleq1d |
|- ( x = M -> ( ( x Ramsey f ) e. NN0 <-> ( M Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
19 |
18
|
ralbidv |
|- ( x = M -> ( A. f e. ( NN0 ^m R ) ( x Ramsey f ) e. NN0 <-> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( M Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
20 |
19
|
imbi2d |
|- ( x = M -> ( ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( x Ramsey f ) e. NN0 ) <-> ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( M Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
21 |
|
elmapi |
|- ( f e. ( NN0 ^m R ) -> f : R --> NN0 ) |
22 |
|
0ramcl |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN0 ) -> ( 0 Ramsey f ) e. NN0 ) |
23 |
21 22
|
sylan2 |
|- ( ( R e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m R ) ) -> ( 0 Ramsey f ) e. NN0 ) |
24 |
23
|
ralrimiva |
|- ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( 0 Ramsey f ) e. NN0 ) |
25 |
|
oveq2 |
|- ( f = g -> ( m Ramsey f ) = ( m Ramsey g ) ) |
26 |
25
|
eleq1d |
|- ( f = g -> ( ( m Ramsey f ) e. NN0 <-> ( m Ramsey g ) e. NN0 ) ) |
27 |
26
|
cbvralvw |
|- ( A. f e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey f ) e. NN0 <-> A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) |
28 |
|
simpll |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( f e. ( NN0 ^m R ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) ) -> R e. Fin ) |
29 |
21
|
ad2antrl |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( f e. ( NN0 ^m R ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) ) -> f : R --> NN0 ) |
30 |
29
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( f e. ( NN0 ^m R ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) ) /\ k e. R ) -> ( f ` k ) e. NN0 ) |
31 |
28 30
|
fsumnn0cl |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( f e. ( NN0 ^m R ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) ) -> sum_ k e. R ( f ` k ) e. NN0 ) |
32 |
|
eqeq2 |
|- ( x = 0 -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = x <-> sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 ) ) |
33 |
32
|
anbi2d |
|- ( x = 0 -> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) <-> ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 ) ) ) |
34 |
33
|
imbi1d |
|- ( x = 0 -> ( ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
35 |
34
|
albidv |
|- ( x = 0 -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
36 |
35
|
imbi2d |
|- ( x = 0 -> ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) <-> ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) ) |
37 |
|
eqeq2 |
|- ( x = n -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = x <-> sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) ) |
38 |
37
|
anbi2d |
|- ( x = n -> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) <-> ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) ) ) |
39 |
38
|
imbi1d |
|- ( x = n -> ( ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
40 |
39
|
albidv |
|- ( x = n -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
41 |
40
|
imbi2d |
|- ( x = n -> ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) <-> ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) ) |
42 |
|
eqeq2 |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = x <-> sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) ) |
43 |
42
|
anbi2d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) <-> ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) ) ) |
44 |
43
|
imbi1d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
45 |
44
|
albidv |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
46 |
45
|
imbi2d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) <-> ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) ) |
47 |
|
eqeq2 |
|- ( x = sum_ k e. R ( f ` k ) -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = x <-> sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) ) |
48 |
47
|
anbi2d |
|- ( x = sum_ k e. R ( f ` k ) -> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) <-> ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) ) ) |
49 |
48
|
imbi1d |
|- ( x = sum_ k e. R ( f ` k ) -> ( ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
50 |
49
|
albidv |
|- ( x = sum_ k e. R ( f ` k ) -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
51 |
50
|
imbi2d |
|- ( x = sum_ k e. R ( f ` k ) -> ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = x ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) <-> ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) ) |
52 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> R e. Fin ) |
53 |
|
ffvelrn |
|- ( ( h : R --> NN0 /\ k e. R ) -> ( h ` k ) e. NN0 ) |
54 |
53
|
adantll |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ k e. R ) -> ( h ` k ) e. NN0 ) |
55 |
54
|
nn0red |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ k e. R ) -> ( h ` k ) e. RR ) |
56 |
54
|
nn0ge0d |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ k e. R ) -> 0 <_ ( h ` k ) ) |
57 |
52 55 56
|
fsum00 |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 <-> A. k e. R ( h ` k ) = 0 ) ) |
58 |
|
fvex |
|- ( h ` k ) e. _V |
59 |
58
|
rgenw |
|- A. k e. R ( h ` k ) e. _V |
60 |
|
mpteqb |
|- ( A. k e. R ( h ` k ) e. _V -> ( ( k e. R |-> ( h ` k ) ) = ( k e. R |-> 0 ) <-> A. k e. R ( h ` k ) = 0 ) ) |
61 |
59 60
|
ax-mp |
|- ( ( k e. R |-> ( h ` k ) ) = ( k e. R |-> 0 ) <-> A. k e. R ( h ` k ) = 0 ) |
62 |
57 61
|
bitr4di |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 <-> ( k e. R |-> ( h ` k ) ) = ( k e. R |-> 0 ) ) ) |
63 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> h : R --> NN0 ) |
64 |
63
|
feqmptd |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> h = ( k e. R |-> ( h ` k ) ) ) |
65 |
|
fconstmpt |
|- ( R X. { 0 } ) = ( k e. R |-> 0 ) |
66 |
65
|
a1i |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( R X. { 0 } ) = ( k e. R |-> 0 ) ) |
67 |
64 66
|
eqeq12d |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( h = ( R X. { 0 } ) <-> ( k e. R |-> ( h ` k ) ) = ( k e. R |-> 0 ) ) ) |
68 |
62 67
|
bitr4d |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 <-> h = ( R X. { 0 } ) ) ) |
69 |
|
xpeq1 |
|- ( R = (/) -> ( R X. { 0 } ) = ( (/) X. { 0 } ) ) |
70 |
|
0xp |
|- ( (/) X. { 0 } ) = (/) |
71 |
69 70
|
eqtrdi |
|- ( R = (/) -> ( R X. { 0 } ) = (/) ) |
72 |
71
|
oveq2d |
|- ( R = (/) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) = ( ( m + 1 ) Ramsey (/) ) ) |
73 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> m e. NN0 ) |
74 |
|
peano2nn0 |
|- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 ) |
75 |
73 74
|
syl |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( m + 1 ) e. NN0 ) |
76 |
|
ram0 |
|- ( ( m + 1 ) e. NN0 -> ( ( m + 1 ) Ramsey (/) ) = ( m + 1 ) ) |
77 |
75 76
|
syl |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey (/) ) = ( m + 1 ) ) |
78 |
72 77
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ R = (/) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) = ( m + 1 ) ) |
79 |
75
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ R = (/) ) -> ( m + 1 ) e. NN0 ) |
80 |
78 79
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ R = (/) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) e. NN0 ) |
81 |
75
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ R =/= (/) ) -> ( m + 1 ) e. NN0 ) |
82 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ R =/= (/) ) -> R e. Fin ) |
83 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ R =/= (/) ) -> R =/= (/) ) |
84 |
|
ramz |
|- ( ( ( m + 1 ) e. NN0 /\ R e. Fin /\ R =/= (/) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) = 0 ) |
85 |
81 82 83 84
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ R =/= (/) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) = 0 ) |
86 |
|
0nn0 |
|- 0 e. NN0 |
87 |
85 86
|
eqeltrdi |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) /\ R =/= (/) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) e. NN0 ) |
88 |
80 87
|
pm2.61dane |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) e. NN0 ) |
89 |
|
oveq2 |
|- ( h = ( R X. { 0 } ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) = ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) ) |
90 |
89
|
eleq1d |
|- ( h = ( R X. { 0 } ) -> ( ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 <-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( R X. { 0 } ) ) e. NN0 ) ) |
91 |
88 90
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( h = ( R X. { 0 } ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) |
92 |
68 91
|
sylbid |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ h : R --> NN0 ) -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) |
93 |
92
|
expimpd |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) |
94 |
93
|
alrimiv |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = 0 ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) |
95 |
|
ffn |
|- ( f : R --> NN0 -> f Fn R ) |
96 |
95
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> f Fn R ) |
97 |
|
ffnfv |
|- ( f : R --> NN <-> ( f Fn R /\ A. x e. R ( f ` x ) e. NN ) ) |
98 |
97
|
baib |
|- ( f Fn R -> ( f : R --> NN <-> A. x e. R ( f ` x ) e. NN ) ) |
99 |
96 98
|
syl |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> ( f : R --> NN <-> A. x e. R ( f ` x ) e. NN ) ) |
100 |
|
simplr |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> m e. NN0 ) |
101 |
100
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> m e. NN0 ) |
102 |
101 74
|
syl |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( m + 1 ) e. NN0 ) |
103 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> R e. Fin ) |
104 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> f : R --> NN ) |
105 |
|
nnssnn0 |
|- NN C_ NN0 |
106 |
|
fss |
|- ( ( f : R --> NN /\ NN C_ NN0 ) -> f : R --> NN0 ) |
107 |
104 105 106
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> f : R --> NN0 ) |
108 |
101
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> m e. CC ) |
109 |
|
ax-1cn |
|- 1 e. CC |
110 |
|
pncan |
|- ( ( m e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m ) |
111 |
108 109 110
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m ) |
112 |
111
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( ( ( m + 1 ) - 1 ) Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) = ( m Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) ) |
113 |
|
oveq2 |
|- ( g = ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) -> ( m Ramsey g ) = ( m Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) ) |
114 |
113
|
eleq1d |
|- ( g = ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) -> ( ( m Ramsey g ) e. NN0 <-> ( m Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) e. NN0 ) ) |
115 |
|
simprl |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) |
116 |
115
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) |
117 |
103
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> R e. Fin ) |
118 |
117
|
mptexd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) e. _V ) |
119 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) |
120 |
104
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> ( f ` x ) e. NN ) |
121 |
|
nnm1nn0 |
|- ( ( f ` x ) e. NN -> ( ( f ` x ) - 1 ) e. NN0 ) |
122 |
120 121
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> ( ( f ` x ) - 1 ) e. NN0 ) |
123 |
122
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) /\ y e. R ) -> ( ( f ` x ) - 1 ) e. NN0 ) |
124 |
107
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> f : R --> NN0 ) |
125 |
124
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) /\ y e. R ) -> ( f ` y ) e. NN0 ) |
126 |
123 125
|
ifcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) /\ y e. R ) -> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) e. NN0 ) |
127 |
126
|
fmpttd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) : R --> NN0 ) |
128 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> f : R --> NN ) |
129 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> x e. R ) |
130 |
|
ffvelrn |
|- ( ( f : R --> NN /\ k e. R ) -> ( f ` k ) e. NN ) |
131 |
130
|
3ad2antl2 |
|- ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) -> ( f ` k ) e. NN ) |
132 |
131
|
nncnd |
|- ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) -> ( f ` k ) e. CC ) |
133 |
132
|
subid1d |
|- ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) -> ( ( f ` k ) - 0 ) = ( f ` k ) ) |
134 |
133
|
ifeq2d |
|- ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) -> if ( k = x , ( ( f ` k ) - 1 ) , ( ( f ` k ) - 0 ) ) = if ( k = x , ( ( f ` k ) - 1 ) , ( f ` k ) ) ) |
135 |
|
fveq2 |
|- ( k = x -> ( f ` k ) = ( f ` x ) ) |
136 |
135
|
adantl |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) /\ k = x ) -> ( f ` k ) = ( f ` x ) ) |
137 |
136
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) /\ k = x ) -> ( ( f ` k ) - 1 ) = ( ( f ` x ) - 1 ) ) |
138 |
137
|
ifeq1da |
|- ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) -> if ( k = x , ( ( f ` k ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) ) |
139 |
134 138
|
eqtr2d |
|- ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) -> if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = if ( k = x , ( ( f ` k ) - 1 ) , ( ( f ` k ) - 0 ) ) ) |
140 |
|
ovif2 |
|- ( ( f ` k ) - if ( k = x , 1 , 0 ) ) = if ( k = x , ( ( f ` k ) - 1 ) , ( ( f ` k ) - 0 ) ) |
141 |
139 140
|
eqtr4di |
|- ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) -> if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = ( ( f ` k ) - if ( k = x , 1 , 0 ) ) ) |
142 |
141
|
sumeq2dv |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = sum_ k e. R ( ( f ` k ) - if ( k = x , 1 , 0 ) ) ) |
143 |
|
simp1 |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> R e. Fin ) |
144 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
145 |
109 144
|
ifcli |
|- if ( k = x , 1 , 0 ) e. CC |
146 |
145
|
a1i |
|- ( ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) /\ k e. R ) -> if ( k = x , 1 , 0 ) e. CC ) |
147 |
143 132 146
|
fsumsub |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> sum_ k e. R ( ( f ` k ) - if ( k = x , 1 , 0 ) ) = ( sum_ k e. R ( f ` k ) - sum_ k e. R if ( k = x , 1 , 0 ) ) ) |
148 |
|
elsng |
|- ( k e. R -> ( k e. { x } <-> k = x ) ) |
149 |
148
|
ifbid |
|- ( k e. R -> if ( k e. { x } , 1 , 0 ) = if ( k = x , 1 , 0 ) ) |
150 |
149
|
sumeq2i |
|- sum_ k e. R if ( k e. { x } , 1 , 0 ) = sum_ k e. R if ( k = x , 1 , 0 ) |
151 |
|
simp3 |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> x e. R ) |
152 |
151
|
snssd |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> { x } C_ R ) |
153 |
|
sumhash |
|- ( ( R e. Fin /\ { x } C_ R ) -> sum_ k e. R if ( k e. { x } , 1 , 0 ) = ( # ` { x } ) ) |
154 |
143 152 153
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> sum_ k e. R if ( k e. { x } , 1 , 0 ) = ( # ` { x } ) ) |
155 |
|
hashsng |
|- ( x e. R -> ( # ` { x } ) = 1 ) |
156 |
151 155
|
syl |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> ( # ` { x } ) = 1 ) |
157 |
154 156
|
eqtrd |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> sum_ k e. R if ( k e. { x } , 1 , 0 ) = 1 ) |
158 |
150 157
|
syl5eqr |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> sum_ k e. R if ( k = x , 1 , 0 ) = 1 ) |
159 |
158
|
oveq2d |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> ( sum_ k e. R ( f ` k ) - sum_ k e. R if ( k = x , 1 , 0 ) ) = ( sum_ k e. R ( f ` k ) - 1 ) ) |
160 |
142 147 159
|
3eqtrd |
|- ( ( R e. Fin /\ f : R --> NN /\ x e. R ) -> sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = ( sum_ k e. R ( f ` k ) - 1 ) ) |
161 |
117 128 129 160
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = ( sum_ k e. R ( f ` k ) - 1 ) ) |
162 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) |
163 |
162
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> ( sum_ k e. R ( f ` k ) - 1 ) = ( ( n + 1 ) - 1 ) ) |
164 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) -> n e. NN0 ) |
165 |
164
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> n e. NN0 ) |
166 |
165
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> n e. CC ) |
167 |
|
pncan |
|- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n ) |
168 |
166 109 167
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n ) |
169 |
161 163 168
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = n ) |
170 |
127 169
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> ( ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) : R --> NN0 /\ sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = n ) ) |
171 |
|
feq1 |
|- ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) -> ( h : R --> NN0 <-> ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) : R --> NN0 ) ) |
172 |
|
fveq1 |
|- ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) -> ( h ` k ) = ( ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ` k ) ) |
173 |
|
equequ1 |
|- ( y = k -> ( y = x <-> k = x ) ) |
174 |
|
fveq2 |
|- ( y = k -> ( f ` y ) = ( f ` k ) ) |
175 |
173 174
|
ifbieq2d |
|- ( y = k -> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) = if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) ) |
176 |
|
eqid |
|- ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) |
177 |
|
ovex |
|- ( ( f ` x ) - 1 ) e. _V |
178 |
|
fvex |
|- ( f ` k ) e. _V |
179 |
177 178
|
ifex |
|- if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) e. _V |
180 |
175 176 179
|
fvmpt |
|- ( k e. R -> ( ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ` k ) = if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) ) |
181 |
172 180
|
sylan9eq |
|- ( ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) /\ k e. R ) -> ( h ` k ) = if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) ) |
182 |
181
|
sumeq2dv |
|- ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) -> sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) ) |
183 |
182
|
eqeq1d |
|- ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = n <-> sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = n ) ) |
184 |
171 183
|
anbi12d |
|- ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) -> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) <-> ( ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) : R --> NN0 /\ sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = n ) ) ) |
185 |
|
oveq2 |
|- ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) = ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) |
186 |
185
|
eleq1d |
|- ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) -> ( ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 <-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) e. NN0 ) ) |
187 |
184 186
|
imbi12d |
|- ( h = ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) -> ( ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> ( ( ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) : R --> NN0 /\ sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) e. NN0 ) ) ) |
188 |
187
|
spcgv |
|- ( ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) e. _V -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) -> ( ( ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) : R --> NN0 /\ sum_ k e. R if ( k = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` k ) ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) e. NN0 ) ) ) |
189 |
118 119 170 188
|
syl3c |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) /\ x e. R ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) e. NN0 ) |
190 |
189
|
fmpttd |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) : R --> NN0 ) |
191 |
|
elmapg |
|- ( ( NN0 e. _V /\ R e. Fin ) -> ( ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) e. ( NN0 ^m R ) <-> ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) : R --> NN0 ) ) |
192 |
1 103 191
|
sylancr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) e. ( NN0 ^m R ) <-> ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) : R --> NN0 ) ) |
193 |
190 192
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) e. ( NN0 ^m R ) ) |
194 |
114 116 193
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( m Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) e. NN0 ) |
195 |
112 194
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( ( ( m + 1 ) - 1 ) Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) e. NN0 ) |
196 |
|
peano2nn0 |
|- ( ( ( ( m + 1 ) - 1 ) Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) e. NN0 -> ( ( ( ( m + 1 ) - 1 ) Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) + 1 ) e. NN0 ) |
197 |
195 196
|
syl |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( ( ( ( m + 1 ) - 1 ) Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) + 1 ) e. NN0 ) |
198 |
|
nn0p1nn |
|- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN ) |
199 |
100 198
|
syl |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + 1 ) e. NN ) |
200 |
199
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( m + 1 ) e. NN ) |
201 |
|
equequ1 |
|- ( y = w -> ( y = x <-> w = x ) ) |
202 |
|
fveq2 |
|- ( y = w -> ( f ` y ) = ( f ` w ) ) |
203 |
201 202
|
ifbieq2d |
|- ( y = w -> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) = if ( w = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` w ) ) ) |
204 |
203
|
cbvmptv |
|- ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) = ( w e. R |-> if ( w = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` w ) ) ) |
205 |
|
eqeq2 |
|- ( x = z -> ( w = x <-> w = z ) ) |
206 |
|
fveq2 |
|- ( x = z -> ( f ` x ) = ( f ` z ) ) |
207 |
206
|
oveq1d |
|- ( x = z -> ( ( f ` x ) - 1 ) = ( ( f ` z ) - 1 ) ) |
208 |
205 207
|
ifbieq1d |
|- ( x = z -> if ( w = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` w ) ) = if ( w = z , ( ( f ` z ) - 1 ) , ( f ` w ) ) ) |
209 |
208
|
mpteq2dv |
|- ( x = z -> ( w e. R |-> if ( w = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` w ) ) ) = ( w e. R |-> if ( w = z , ( ( f ` z ) - 1 ) , ( f ` w ) ) ) ) |
210 |
204 209
|
syl5eq |
|- ( x = z -> ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) = ( w e. R |-> if ( w = z , ( ( f ` z ) - 1 ) , ( f ` w ) ) ) ) |
211 |
210
|
oveq2d |
|- ( x = z -> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) = ( ( m + 1 ) Ramsey ( w e. R |-> if ( w = z , ( ( f ` z ) - 1 ) , ( f ` w ) ) ) ) ) |
212 |
211
|
cbvmptv |
|- ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) = ( z e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( w e. R |-> if ( w = z , ( ( f ` z ) - 1 ) , ( f ` w ) ) ) ) ) |
213 |
200 103 104 212 190 195
|
ramub1 |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) <_ ( ( ( ( m + 1 ) - 1 ) Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) + 1 ) ) |
214 |
|
ramubcl |
|- ( ( ( ( m + 1 ) e. NN0 /\ R e. Fin /\ f : R --> NN0 ) /\ ( ( ( ( ( m + 1 ) - 1 ) Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) + 1 ) e. NN0 /\ ( ( m + 1 ) Ramsey f ) <_ ( ( ( ( m + 1 ) - 1 ) Ramsey ( x e. R |-> ( ( m + 1 ) Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( f ` x ) - 1 ) , ( f ` y ) ) ) ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) |
215 |
102 103 107 197 213 214
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) /\ f : R --> NN ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) |
216 |
215
|
expr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( f : R --> NN -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
217 |
216
|
adantrl |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> ( f : R --> NN -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
218 |
99 217
|
sylbird |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> ( A. x e. R ( f ` x ) e. NN -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
219 |
|
rexnal |
|- ( E. x e. R -. ( f ` x ) e. NN <-> -. A. x e. R ( f ` x ) e. NN ) |
220 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> f : R --> NN0 ) |
221 |
220
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) /\ x e. R ) -> ( f ` x ) e. NN0 ) |
222 |
|
elnn0 |
|- ( ( f ` x ) e. NN0 <-> ( ( f ` x ) e. NN \/ ( f ` x ) = 0 ) ) |
223 |
221 222
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) /\ x e. R ) -> ( ( f ` x ) e. NN \/ ( f ` x ) = 0 ) ) |
224 |
223
|
ord |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) /\ x e. R ) -> ( -. ( f ` x ) e. NN -> ( f ` x ) = 0 ) ) |
225 |
199
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) e. NN ) |
226 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> R e. Fin ) |
227 |
225 226 220
|
3jca |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) e. NN /\ R e. Fin /\ f : R --> NN0 ) ) |
228 |
|
ramz2 |
|- ( ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ R e. Fin /\ f : R --> NN0 ) /\ ( x e. R /\ ( f ` x ) = 0 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) = 0 ) |
229 |
227 228
|
sylan |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) /\ ( x e. R /\ ( f ` x ) = 0 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) = 0 ) |
230 |
229 86
|
eqeltrdi |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) /\ ( x e. R /\ ( f ` x ) = 0 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) |
231 |
230
|
expr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) /\ x e. R ) -> ( ( f ` x ) = 0 -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
232 |
224 231
|
syld |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) /\ x e. R ) -> ( -. ( f ` x ) e. NN -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
233 |
232
|
rexlimdva |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> ( E. x e. R -. ( f ` x ) e. NN -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
234 |
219 233
|
syl5bir |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> ( -. A. x e. R ( f ` x ) e. NN -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
235 |
218 234
|
pm2.61d |
|- ( ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) /\ ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) |
236 |
235
|
exp31 |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) -> ( ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
237 |
236
|
alrimdv |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) -> A. f ( ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
238 |
|
feq1 |
|- ( h = f -> ( h : R --> NN0 <-> f : R --> NN0 ) ) |
239 |
|
fveq1 |
|- ( h = f -> ( h ` k ) = ( f ` k ) ) |
240 |
239
|
sumeq2sdv |
|- ( h = f -> sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) |
241 |
240
|
eqeq1d |
|- ( h = f -> ( sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) <-> sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) |
242 |
238 241
|
anbi12d |
|- ( h = f -> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) <-> ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) ) ) |
243 |
|
oveq2 |
|- ( h = f -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) = ( ( m + 1 ) Ramsey f ) ) |
244 |
243
|
eleq1d |
|- ( h = f -> ( ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 <-> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
245 |
242 244
|
imbi12d |
|- ( h = f -> ( ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> ( ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
246 |
245
|
cbvalvw |
|- ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> A. f ( ( f : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( f ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
247 |
237 246
|
syl6ibr |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
248 |
247
|
anassrs |
|- ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
249 |
248
|
expcom |
|- ( n e. NN0 -> ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) ) |
250 |
249
|
a2d |
|- ( n e. NN0 -> ( ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = n ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) -> ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = ( n + 1 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) ) |
251 |
36 41 46 51 94 250
|
nn0ind |
|- ( sum_ k e. R ( f ` k ) e. NN0 -> ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
252 |
251
|
com12 |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) -> ( sum_ k e. R ( f ` k ) e. NN0 -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
253 |
252
|
adantrl |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( f e. ( NN0 ^m R ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) ) -> ( sum_ k e. R ( f ` k ) e. NN0 -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) ) |
254 |
31 253
|
mpd |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( f e. ( NN0 ^m R ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) ) -> A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) ) |
255 |
240
|
biantrud |
|- ( h = f -> ( h : R --> NN0 <-> ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) ) ) |
256 |
255 238
|
bitr3d |
|- ( h = f -> ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) <-> f : R --> NN0 ) ) |
257 |
256 244
|
imbi12d |
|- ( h = f -> ( ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) <-> ( f : R --> NN0 -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
258 |
257
|
spvv |
|- ( A. h ( ( h : R --> NN0 /\ sum_ k e. R ( h ` k ) = sum_ k e. R ( f ` k ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey h ) e. NN0 ) -> ( f : R --> NN0 -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
259 |
254 29 258
|
sylc |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ ( f e. ( NN0 ^m R ) /\ A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 ) ) -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) |
260 |
259
|
expr |
|- ( ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) /\ f e. ( NN0 ^m R ) ) -> ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 -> ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
261 |
260
|
ralrimdva |
|- ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) -> ( A. g e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey g ) e. NN0 -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
262 |
27 261
|
syl5bi |
|- ( ( R e. Fin /\ m e. NN0 ) -> ( A. f e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey f ) e. NN0 -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
263 |
262
|
expcom |
|- ( m e. NN0 -> ( R e. Fin -> ( A. f e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey f ) e. NN0 -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
264 |
263
|
a2d |
|- ( m e. NN0 -> ( ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( m Ramsey f ) e. NN0 ) -> ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( ( m + 1 ) Ramsey f ) e. NN0 ) ) ) |
265 |
8 12 16 20 24 264
|
nn0ind |
|- ( M e. NN0 -> ( R e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( M Ramsey f ) e. NN0 ) ) |
266 |
265
|
imp |
|- ( ( M e. NN0 /\ R e. Fin ) -> A. f e. ( NN0 ^m R ) ( M Ramsey f ) e. NN0 ) |
267 |
|
oveq2 |
|- ( f = F -> ( M Ramsey f ) = ( M Ramsey F ) ) |
268 |
267
|
eleq1d |
|- ( f = F -> ( ( M Ramsey f ) e. NN0 <-> ( M Ramsey F ) e. NN0 ) ) |
269 |
268
|
rspccv |
|- ( A. f e. ( NN0 ^m R ) ( M Ramsey f ) e. NN0 -> ( F e. ( NN0 ^m R ) -> ( M Ramsey F ) e. NN0 ) ) |
270 |
266 269
|
syl |
|- ( ( M e. NN0 /\ R e. Fin ) -> ( F e. ( NN0 ^m R ) -> ( M Ramsey F ) e. NN0 ) ) |
271 |
4 270
|
sylbird |
|- ( ( M e. NN0 /\ R e. Fin ) -> ( F : R --> NN0 -> ( M Ramsey F ) e. NN0 ) ) |
272 |
271
|
3impia |
|- ( ( M e. NN0 /\ R e. Fin /\ F : R --> NN0 ) -> ( M Ramsey F ) e. NN0 ) |