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Theorem ddemeas

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018)

Ref Expression
Assertion ddemeas δ measures 𝒫

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 1xr 1 *
2 0le1 0 1
3 pnfge 1 * 1 +∞
4 1 3 ax-mp 1 +∞
5 0xr 0 *
6 pnfxr +∞ *
7 elicc1 0 * +∞ * 1 0 +∞ 1 * 0 1 1 +∞
8 5 6 7 mp2an 1 0 +∞ 1 * 0 1 1 +∞
9 1 2 4 8 mpbir3an 1 0 +∞
10 0e0iccpnf 0 0 +∞
11 9 10 ifcli if 0 a 1 0 0 +∞
12 11 rgenw a 𝒫 if 0 a 1 0 0 +∞
13 df-dde δ = a 𝒫 if 0 a 1 0
14 13 fmpt a 𝒫 if 0 a 1 0 0 +∞ δ : 𝒫 0 +∞
15 12 14 mpbi δ : 𝒫 0 +∞
16 0ss
17 noel ¬ 0
18 ddeval0 ¬ 0 δ = 0
19 16 17 18 mp2an δ = 0
20 rabxm x = a x | 0 a a x | ¬ 0 a
21 esumeq1 x = a x | 0 a a x | ¬ 0 a * y x δ y = * y a x | 0 a a x | ¬ 0 a δ y
22 20 21 ax-mp * y x δ y = * y a x | 0 a a x | ¬ 0 a δ y
23 nfv y x 𝒫 𝒫
24 nfcv _ y a x | 0 a
25 nfcv _ y a x | ¬ 0 a
26 rabexg x 𝒫 𝒫 a x | 0 a V
27 rabexg x 𝒫 𝒫 a x | ¬ 0 a V
28 rabnc a x | 0 a a x | ¬ 0 a =
29 28 a1i x 𝒫 𝒫 a x | 0 a a x | ¬ 0 a =
30 elrabi y a x | 0 a y x
31 30 adantl x 𝒫 𝒫 y a x | 0 a y x
32 simpl x 𝒫 𝒫 y a x | 0 a x 𝒫 𝒫
33 elelpwi y x x 𝒫 𝒫 y 𝒫
34 31 32 33 syl2anc x 𝒫 𝒫 y a x | 0 a y 𝒫
35 15 ffvelrni y 𝒫 δ y 0 +∞
36 34 35 syl x 𝒫 𝒫 y a x | 0 a δ y 0 +∞
37 elrabi y a x | ¬ 0 a y x
38 37 adantl x 𝒫 𝒫 y a x | ¬ 0 a y x
39 simpl x 𝒫 𝒫 y a x | ¬ 0 a x 𝒫 𝒫
40 38 39 33 syl2anc x 𝒫 𝒫 y a x | ¬ 0 a y 𝒫
41 40 35 syl x 𝒫 𝒫 y a x | ¬ 0 a δ y 0 +∞
42 23 24 25 26 27 29 36 41 esumsplit x 𝒫 𝒫 * y a x | 0 a a x | ¬ 0 a δ y = * y a x | 0 a δ y + 𝑒 * y a x | ¬ 0 a δ y
43 22 42 syl5eq x 𝒫 𝒫 * y x δ y = * y a x | 0 a δ y + 𝑒 * y a x | ¬ 0 a δ y
44 43 adantr x 𝒫 𝒫 Disj y x y * y x δ y = * y a x | 0 a δ y + 𝑒 * y a x | ¬ 0 a δ y
45 esumeq1 a x | 0 a = k * y a x | 0 a δ y = * y k δ y
46 45 adantl x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y k x a x | 0 a = k * y a x | 0 a δ y = * y k δ y
47 simp-4l x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y k x a x | 0 a = k x 𝒫 𝒫
48 vex k V
49 48 rabsnel a x | 0 a = k k x
50 49 adantl x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y k x a x | 0 a = k k x
51 eleq2w a = k 0 a 0 k
52 48 51 rabsnt a x | 0 a = k 0 k
53 52 adantl x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y k x a x | 0 a = k 0 k
54 elelpwi k x x 𝒫 𝒫 k 𝒫
55 54 ancoms x 𝒫 𝒫 k x k 𝒫
56 55 adantrr x 𝒫 𝒫 k x 0 k k 𝒫
57 simpr k 𝒫 y = k y = k
58 57 fveq2d k 𝒫 y = k δ y = δ k
59 48 a1i k 𝒫 k V
60 15 ffvelrni k 𝒫 δ k 0 +∞
61 58 59 60 esumsn k 𝒫 * y k δ y = δ k
62 56 61 syl x 𝒫 𝒫 k x 0 k * y k δ y = δ k
63 56 elpwid x 𝒫 𝒫 k x 0 k k
64 simprr x 𝒫 𝒫 k x 0 k 0 k
65 ddeval1 k 0 k δ k = 1
66 63 64 65 syl2anc x 𝒫 𝒫 k x 0 k δ k = 1
67 62 66 eqtrd x 𝒫 𝒫 k x 0 k * y k δ y = 1
68 47 50 53 67 syl12anc x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y k x a x | 0 a = k * y k δ y = 1
69 46 68 eqtrd x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y k x a x | 0 a = k * y a x | 0 a δ y = 1
70 df-disj Disj y x y k * y x k y
71 c0ex 0 V
72 eleq1 k = 0 k y 0 y
73 72 rmobidv k = 0 * y x k y * y x 0 y
74 71 73 spcv k * y x k y * y x 0 y
75 70 74 sylbi Disj y x y * y x 0 y
76 rmo5 * y x 0 y y x 0 y ∃! y x 0 y
77 76 biimpi * y x 0 y y x 0 y ∃! y x 0 y
78 77 imp * y x 0 y y x 0 y ∃! y x 0 y
79 75 78 sylan Disj y x y y x 0 y ∃! y x 0 y
80 reusn ∃! y x 0 y k y x | 0 y = k
81 79 80 sylib Disj y x y y x 0 y k y x | 0 y = k
82 eleq2w a = y 0 a 0 y
83 82 cbvrabv a x | 0 a = y x | 0 y
84 83 eqeq1i a x | 0 a = k y x | 0 y = k
85 49 ancri a x | 0 a = k k x a x | 0 a = k
86 84 85 sylbir y x | 0 y = k k x a x | 0 a = k
87 86 eximi k y x | 0 y = k k k x a x | 0 a = k
88 df-rex k x a x | 0 a = k k k x a x | 0 a = k
89 87 88 sylibr k y x | 0 y = k k x a x | 0 a = k
90 81 89 syl Disj y x y y x 0 y k x a x | 0 a = k
91 90 adantll x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y k x a x | 0 a = k
92 69 91 r19.29a x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y * y a x | 0 a δ y = 1
93 elpwi x 𝒫 𝒫 x 𝒫
94 sspwuni x 𝒫 x
95 93 94 sylib x 𝒫 𝒫 x
96 eluni2 0 x y x 0 y
97 96 biimpri y x 0 y 0 x
98 ddeval1 x 0 x δ x = 1
99 95 97 98 syl2an x 𝒫 𝒫 y x 0 y δ x = 1
100 99 adantlr x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y δ x = 1
101 92 100 eqtr4d x 𝒫 𝒫 Disj y x y y x 0 y * y a x | 0 a δ y = δ x
102 nfre1 y y x 0 y
103 102 nfn y ¬ y x 0 y
104 82 elrab y a x | 0 a y x 0 y
105 104 exbii y y a x | 0 a y y x 0 y
106 neq0 ¬ a x | 0 a = y y a x | 0 a
107 df-rex y x 0 y y y x 0 y
108 105 106 107 3bitr4i ¬ a x | 0 a = y x 0 y
109 108 biimpi ¬ a x | 0 a = y x 0 y
110 109 con1i ¬ y x 0 y a x | 0 a =
111 103 110 esumeq1d ¬ y x 0 y * y a x | 0 a δ y = * y δ y
112 esumnul * y δ y = 0
113 111 112 eqtrdi ¬ y x 0 y * y a x | 0 a δ y = 0
114 113 adantl x 𝒫 𝒫 Disj y x y ¬ y x 0 y * y a x | 0 a δ y = 0
115 96 biimpi 0 x y x 0 y
116 115 con3i ¬ y x 0 y ¬ 0 x
117 ddeval0 x ¬ 0 x δ x = 0
118 95 116 117 syl2an x 𝒫 𝒫 ¬ y x 0 y δ x = 0
119 118 adantlr x 𝒫 𝒫 Disj y x y ¬ y x 0 y δ x = 0
120 114 119 eqtr4d x 𝒫 𝒫 Disj y x y ¬ y x 0 y * y a x | 0 a δ y = δ x
121 101 120 pm2.61dan x 𝒫 𝒫 Disj y x y * y a x | 0 a δ y = δ x
122 40 elpwid x 𝒫 𝒫 y a x | ¬ 0 a y
123 82 notbid a = y ¬ 0 a ¬ 0 y
124 123 elrab y a x | ¬ 0 a y x ¬ 0 y
125 124 simprbi y a x | ¬ 0 a ¬ 0 y
126 125 adantl x 𝒫 𝒫 y a x | ¬ 0 a ¬ 0 y
127 ddeval0 y ¬ 0 y δ y = 0
128 122 126 127 syl2anc x 𝒫 𝒫 y a x | ¬ 0 a δ y = 0
129 128 esumeq2dv x 𝒫 𝒫 * y a x | ¬ 0 a δ y = * y a x | ¬ 0 a 0
130 vex x V
131 130 rabex a x | ¬ 0 a V
132 25 esum0 a x | ¬ 0 a V * y a x | ¬ 0 a 0 = 0
133 131 132 ax-mp * y a x | ¬ 0 a 0 = 0
134 129 133 eqtrdi x 𝒫 𝒫 * y a x | ¬ 0 a δ y = 0
135 134 adantr x 𝒫 𝒫 Disj y x y * y a x | ¬ 0 a δ y = 0
136 121 135 oveq12d x 𝒫 𝒫 Disj y x y * y a x | 0 a δ y + 𝑒 * y a x | ¬ 0 a δ y = δ x + 𝑒 0
137 vuniex x V
138 137 elpw x 𝒫 x
139 138 biimpri x x 𝒫
140 iccssxr 0 +∞ *
141 15 ffvelrni x 𝒫 δ x 0 +∞
142 140 141 sselid x 𝒫 δ x *
143 xaddid1 δ x * δ x + 𝑒 0 = δ x
144 95 139 142 143 4syl x 𝒫 𝒫 δ x + 𝑒 0 = δ x
145 144 adantr x 𝒫 𝒫 Disj y x y δ x + 𝑒 0 = δ x
146 44 136 145 3eqtrrd x 𝒫 𝒫 Disj y x y δ x = * y x δ y
147 146 adantrl x 𝒫 𝒫 x ω Disj y x y δ x = * y x δ y
148 147 ex x 𝒫 𝒫 x ω Disj y x y δ x = * y x δ y
149 148 rgen x 𝒫 𝒫 x ω Disj y x y δ x = * y x δ y
150 reex V
151 pwsiga V 𝒫 sigAlgebra
152 150 151 ax-mp 𝒫 sigAlgebra
153 elrnsiga 𝒫 sigAlgebra 𝒫 ran sigAlgebra
154 ismeas 𝒫 ran sigAlgebra δ measures 𝒫 δ : 𝒫 0 +∞ δ = 0 x 𝒫 𝒫 x ω Disj y x y δ x = * y x δ y
155 152 153 154 mp2b δ measures 𝒫 δ : 𝒫 0 +∞ δ = 0 x 𝒫 𝒫 x ω Disj y x y δ x = * y x δ y
156 15 19 149 155 mpbir3an δ measures 𝒫