Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ulmdv.z |
⊢ 𝑍 = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) |
2 |
|
ulmdv.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } ) |
3 |
|
ulmdv.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
4 |
|
ulmdv.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
5 |
|
ulmdv.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
6 |
|
ulmdv.l |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ⇝ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) |
7 |
|
ulmdv.u |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) 𝐻 ) |
8 |
|
biidd |
⊢ ( 𝑘 = 𝑀 → ( 𝑋 ⊆ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑋 ⊆ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ) ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7
|
ulmdvlem2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) = 𝑋 ) |
10 |
|
recnprss |
⊢ ( 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
11 |
2 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
13 |
4
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
14 |
|
elmapi |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
16 |
|
dvbsss |
⊢ dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ⊆ 𝑆 |
17 |
9 16
|
eqsstrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑋 ⊆ 𝑆 ) |
18 |
|
eqid |
⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
20 |
12 15 17 18 19
|
dvbssntr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ⊆ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ) |
21 |
9 20
|
eqsstrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑋 ⊆ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ) |
22 |
21
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 𝑋 ⊆ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ) |
23 |
|
uzid |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
24 |
3 23
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
25 |
24 1
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍 ) |
26 |
8 22 25
|
rspcdva |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ) |
27 |
26
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝑧 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ) |
28 |
|
ulmcl |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) 𝐻 → 𝐻 : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
29 |
7 28
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
30 |
29
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
31 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
32 |
31
|
2ralbidv |
⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
33 |
32
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ↔ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
34 |
|
ulmrel |
⊢ Rel ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) |
35 |
|
releldm |
⊢ ( ( Rel ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) 𝐻 ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ dom ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) ) |
36 |
34 7 35
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ dom ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) ) |
37 |
|
ulmscl |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) 𝐻 → 𝑋 ∈ V ) |
38 |
7 37
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ V ) |
39 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ∈ V |
40 |
39
|
rgenw |
⊢ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ∈ V |
41 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) |
42 |
41
|
fnmpt |
⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ∈ V → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) Fn 𝑍 ) |
43 |
40 42
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) Fn 𝑍 ) |
44 |
|
ulmf2 |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) Fn 𝑍 ∧ ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) 𝐻 ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
45 |
43 7 44
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
46 |
1 3 38 45
|
ulmcau2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ dom ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) ) |
47 |
36 46
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) |
48 |
1
|
uztrn2 |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑛 ∈ 𝑍 ) |
49 |
48
|
ad2ant2lr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → 𝑛 ∈ 𝑍 ) |
50 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) |
51 |
50
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ) |
52 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ∈ V |
53 |
51 41 52
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑛 ∈ 𝑍 → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ) |
54 |
49 53
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ) |
55 |
54
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) ) |
56 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) |
57 |
1
|
uztrn2 |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) → 𝑚 ∈ 𝑍 ) |
58 |
49 56 57
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → 𝑚 ∈ 𝑍 ) |
59 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) |
60 |
59
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ) |
61 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ∈ V |
62 |
60 41 61
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑚 ∈ 𝑍 → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ) |
63 |
58 62
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ) |
64 |
63
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) |
65 |
55 64
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
66 |
65
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
67 |
66
|
breq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ↔ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) ) |
68 |
67
|
ralbidv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) ) |
69 |
68
|
2ralbidva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) ) |
70 |
69
|
rexbidva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ↔ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) ) |
71 |
70
|
ralbidv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) ) |
72 |
47 71
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) |
73 |
72
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < 𝑠 ) |
74 |
|
rphalfcl |
⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → ( 𝑟 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
75 |
74
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑟 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
76 |
|
rphalfcl |
⊢ ( ( 𝑟 / 2 ) ∈ ℝ+ → ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
77 |
75 76
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
78 |
33 73 77
|
rspcdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) |
79 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
80 |
51
|
fveq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) |
81 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) |
82 |
|
fvex |
⊢ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ V |
83 |
80 81 82
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑛 ∈ 𝑍 → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) |
84 |
83
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) |
85 |
45
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
86 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑧 ∈ 𝑋 ) |
87 |
1
|
fvexi |
⊢ 𝑍 ∈ V |
88 |
87
|
mptex |
⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ V |
89 |
88
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ V ) |
90 |
53
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ) |
91 |
90
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) |
92 |
91 84
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ‘ 𝑛 ) ) |
93 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ( ⇝𝑢 ‘ 𝑋 ) 𝐻 ) |
94 |
1 79 85 86 89 92 93
|
ulmclm |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ⇝ ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) |
95 |
1 79 75 84 94
|
climi2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) |
96 |
1
|
rexanuz2 |
⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ↔ ( ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) |
97 |
1
|
r19.2uz |
⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) |
98 |
96 97
|
sylbir |
⊢ ( ( ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) |
99 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) ) |
100 |
99
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
101 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) |
102 |
100 101
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ) |
103 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
104 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∈ V |
105 |
102 103 104
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ) |
106 |
105
|
fvoveq1d |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
107 |
|
id |
⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) → 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) |
108 |
106 107
|
breqan12rd |
⊢ ( ( 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑠 ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
109 |
108
|
imbi2d |
⊢ ( ( 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) → ( ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑠 ) ↔ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) |
110 |
109
|
ralbidva |
⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑠 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) |
111 |
110
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑠 ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) |
112 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → 𝑧 ∈ 𝑋 ) |
113 |
85
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
114 |
90 113
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
115 |
|
elmapi |
⊢ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑋 ) → ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
116 |
|
fdm |
⊢ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ → dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) = 𝑋 ) |
117 |
114 115 116
|
3syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) = 𝑋 ) |
118 |
112 117
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → 𝑧 ∈ dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ) |
119 |
2
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } ) |
120 |
|
dvfg |
⊢ ( 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } → ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) : dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ⟶ ℂ ) |
121 |
|
ffun |
⊢ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) : dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ⟶ ℂ → Fun ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ) |
122 |
|
funfvbrb |
⊢ ( Fun ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝑧 ∈ dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ↔ 𝑧 ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
123 |
119 120 121 122
|
4syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑧 ∈ dom ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ↔ 𝑧 ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) |
124 |
118 123
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → 𝑧 ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) |
125 |
119 10
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
126 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐹 : 𝑍 ⟶ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
127 |
126
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑋 ) ) |
128 |
|
elmapi |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ↑m 𝑋 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
129 |
127 128
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
130 |
|
biidd |
⊢ ( 𝑘 = 𝑀 → ( 𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ 𝑋 ⊆ 𝑆 ) ) |
131 |
17
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 𝑋 ⊆ 𝑆 ) |
132 |
130 131 25
|
rspcdva |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆 ) |
133 |
132
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → 𝑋 ⊆ 𝑆 ) |
134 |
18 19 103 125 129 133
|
eldv |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑧 ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) limℂ 𝑧 ) ) ) ) |
135 |
124 134
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑧 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) limℂ 𝑧 ) ) ) |
136 |
135
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) limℂ 𝑧 ) ) |
137 |
132
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝑋 ⊆ 𝑆 ) |
138 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
139 |
137 138
|
sstrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝑋 ⊆ ℂ ) |
140 |
139
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → 𝑋 ⊆ ℂ ) |
141 |
129 140 112
|
dvlem |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
142 |
141
|
fmpttd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) : ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ⟶ ℂ ) |
143 |
140
|
ssdifssd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ⊆ ℂ ) |
144 |
140 112
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
145 |
142 143 144
|
ellimc3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) limℂ 𝑧 ) ↔ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ∧ ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑠 ) ) ) ) |
146 |
136 145
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ∧ ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑠 ) ) ) |
147 |
146
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ∀ 𝑠 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑦 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑠 ) ) |
148 |
77
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
149 |
111 147 148
|
rspcdva |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
150 |
149
|
adantrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
151 |
|
anass |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ) |
152 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) |
153 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ) ) |
154 |
6
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ⇝ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) |
155 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑠 ) ) |
156 |
155
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
157 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) |
158 |
156 157
|
breq12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑠 → ( ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ⇝ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑠 ) ) ⇝ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ) |
159 |
158
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑧 ) ) ⇝ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑠 ) ) ⇝ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) |
160 |
154 159
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑠 ) ) ⇝ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) |
161 |
|
simprll |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑋 ) |
162 |
|
simprlr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ ) |
163 |
|
simprr3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) |
164 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) → 𝑢 ∈ ℝ+ ) |
165 |
163 164
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑢 ∈ ℝ+ ) |
166 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ+ ) |
167 |
163 166
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ+ ) |
168 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) → ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) |
169 |
163 168
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) |
170 |
169
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑢 < 𝑤 ) |
171 |
169
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) |
172 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) → ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) |
173 |
163 172
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) |
174 |
173
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) |
175 |
|
simprr1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑛 ∈ 𝑍 ) |
176 |
|
simprr2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) |
177 |
176
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) |
178 |
176
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) |
179 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) |
180 |
163 179
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) |
181 |
180
|
eldifad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝑋 ) |
182 |
173
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → 𝑣 ≠ 𝑧 ) |
183 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) → ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
184 |
163 183
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
185 |
182 184
|
mpand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) |
186 |
1 2 3 4 5 160 7 161 162 165 167 170 171 174 175 177 178 181 182 185
|
ulmdvlem1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) |
187 |
186
|
anassrs |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) |
188 |
153 187
|
sylanb |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) |
189 |
152 188
|
sylan2br |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) |
190 |
189
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) |
191 |
190
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) |
192 |
151 191
|
sylanb |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) |
193 |
192
|
3exp2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) → ( ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) → ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) ) |
194 |
193
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) → ( ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) → ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) |
195 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) |
196 |
195
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) |
197 |
196 101
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ) |
198 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
199 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∈ V |
200 |
197 198 199
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ) |
201 |
200
|
fvoveq1d |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
202 |
201
|
breq1d |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) → ( ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) |
203 |
202
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) → ( ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) |
204 |
203
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) → ( ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) |
205 |
194 204
|
sylibrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) → ( ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) → ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) |
206 |
205
|
ralimdva |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) → ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) |
207 |
206
|
impr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) → ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) |
208 |
207
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ+ ∧ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) ) → ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) |
209 |
|
cnxmet |
⊢ ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) |
210 |
|
xmetres2 |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ) → ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ∈ ( ∞Met ‘ 𝑆 ) ) |
211 |
209 138 210
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ∈ ( ∞Met ‘ 𝑆 ) ) |
212 |
211
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) → ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ∈ ( ∞Met ‘ 𝑆 ) ) |
213 |
19
|
cnfldtop |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top |
214 |
|
resttop |
⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ Top ) |
215 |
213 2 214
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ Top ) |
216 |
19
|
cnfldtopon |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) |
217 |
|
resttopon |
⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) ) |
218 |
216 11 217
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) ) |
219 |
|
toponuni |
⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) → 𝑆 = ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) |
220 |
218 219
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 = ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) |
221 |
132 220
|
sseqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) |
222 |
|
eqid |
⊢ ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) |
223 |
222
|
ntrss2 |
⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝑋 ) |
224 |
215 221 223
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ⊆ 𝑋 ) |
225 |
224 26
|
eqssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) = 𝑋 ) |
226 |
222
|
isopn3 |
⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) → ( 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ↔ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) = 𝑋 ) ) |
227 |
215 221 226
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ↔ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) = 𝑋 ) ) |
228 |
225 227
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) |
229 |
|
eqid |
⊢ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) |
230 |
19
|
cnfldtopn |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( MetOpen ‘ ( abs ∘ − ) ) |
231 |
|
eqid |
⊢ ( MetOpen ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) = ( MetOpen ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) |
232 |
229 230 231
|
metrest |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ( MetOpen ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) ) |
233 |
209 11 232
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ( MetOpen ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) ) |
234 |
228 233
|
eleqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( MetOpen ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) ) |
235 |
234
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ( MetOpen ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) ) |
236 |
235
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( MetOpen ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) ) |
237 |
86
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑋 ) |
238 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ+ ) |
239 |
231
|
mopni3 |
⊢ ( ( ( ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ∈ ( ∞Met ‘ 𝑆 ) ∧ 𝑋 ∈ ( MetOpen ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) |
240 |
212 236 237 238 239
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ( 𝑢 < 𝑤 ∧ ( 𝑧 ( ball ‘ ( ( abs ∘ − ) ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) ) ) 𝑢 ) ⊆ 𝑋 ) ) |
241 |
208 240
|
reximddv |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑣 ) − ( ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑣 − 𝑧 ) ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) |
242 |
150 241
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) |
243 |
242
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑛 ∈ 𝑍 ( ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) |
244 |
98 243
|
syl5 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ∀ 𝑚 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑛 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) < ( ( 𝑟 / 2 ) / 2 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ( ( ( 𝑆 D ( 𝐹 ‘ 𝑛 ) ) ‘ 𝑧 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < ( 𝑟 / 2 ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) |
245 |
78 95 244
|
mp2and |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) |
246 |
245
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ∀ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) |
247 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝐺 : 𝑋 ⟶ ℂ ) |
248 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝑧 ∈ 𝑋 ) |
249 |
247 139 248
|
dvlem |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℂ ) |
250 |
249
|
fmpttd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) : ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ⟶ ℂ ) |
251 |
139
|
ssdifssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ⊆ ℂ ) |
252 |
139 248
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
253 |
250 251 252
|
ellimc3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) limℂ 𝑧 ) ↔ ( ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑢 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ( ( 𝑣 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑧 ) ) < 𝑢 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ‘ 𝑣 ) − ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) ) < 𝑟 ) ) ) ) |
254 |
30 246 253
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) limℂ 𝑧 ) ) |
255 |
18 19 198 138 247 137
|
eldv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑧 ( 𝑆 D 𝐺 ) ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 ∖ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑦 ) − ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) / ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) limℂ 𝑧 ) ) ) ) |
256 |
27 254 255
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → 𝑧 ( 𝑆 D 𝐺 ) ( 𝐻 ‘ 𝑧 ) ) |