Theorem iseralt 13507

Description: The alternating series test. If () is a decreasing sequence that converges to , then sum_e.(-u1)() is a convergent series. (Note that the first term is positive if is even, and negative if is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by using isermulc2 13480.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseralt.1
iseralt.2
iseralt.3
iseralt.4
iseralt.5
iseralt.6

Assertion

Ref	Expression
iseralt

Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,   ,

Proof of Theorem iseralt

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseralt.1	. 2
2		seqex 12109	. . 3
3	2	a1i 11	. 2
4		iseralt.5	. . . 4
5		iseralt.2	. . . . 5
6		climrel 13315	. . . . . . 7
7	6	brrelexi 5045	. . . . . 6
8	4, 7	syl 16	. . . . 5
9		eqidd 2458	. . . . 5
10		iseralt.3	. . . . . . 7
11	10	ffvelrnda 6031	. . . . . 6
12	11	recnd 9643	. . . . 5
13	1, 5, 8, 9, 12	clim0c 13330	. . . 4
14	4, 13	mpbid 210	. . 3
15		simpr 461	. . . . . . . . 9
16	15, 1	syl6eleq 2555	. . . . . . . 8
17		eluzelz 11119	. . . . . . . 8
18		uzid 11124	. . . . . . . 8
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . 7
20		peano2uz 11163	. . . . . . 7
21		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
22	21	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
23	22	breq1d 4462	. . . . . . . 8
24	23	rspcv 3206	. . . . . . 7
25	19, 20, 24	3syl 20	. . . . . 6
26		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27	26	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28	27	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	17, 1	eleq2s 2565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
31	30	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
32	28, 31	subcld 9954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33		2cnd 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
34		2ne0 10653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36	32, 33, 35	divcan2d 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37	36	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38	31, 28	pncan3d 9957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39	37, 38	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41	40	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	41	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	42	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14
44		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15
45		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46	45	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15
47		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	27, 30	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49	48	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50		eluzle 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51	50	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52	27	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
53	30	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54	52, 53	subge0d 10167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55	51, 54	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56		2re 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58		2pos 10652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60		divge0 10436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	49, 55, 57, 59, 60	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
62	61	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63		elnn0z 10902	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64	47, 62, 63	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15
65		iseralt.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66		iseralt.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	1, 5, 10, 65, 4, 66	iseraltlem3 13506	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	67	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	44, 46, 64, 68	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14
70	43, 69	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . . . . . 13
71		2div2e1 10683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
72	71	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
73		peano2cn 9773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
74	32, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
75	74, 33, 33, 35	divsubdird 10384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
76		df-2 10619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
77	76	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
78		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
80	32, 79, 79	pnpcan2d 9992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
81	77, 80	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
82	81	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
83	75, 82	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84	72, 83	syl5eqr 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
85	84	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
86		subcl 9842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
87	32, 78, 86	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
88	87, 33, 35	divcan2d 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
89	28, 31, 79	sub32d 9986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
90	85, 88, 89	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
91	90	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
92		subcl 9842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
93	28, 78, 92	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
94	31, 93	pncan3d 9957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95	91, 94	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96	95	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97		npcan 9852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98	28, 78, 97	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99	96, 98	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
100	99	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	100	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	101	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15
103	102	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14
104		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	45	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15
106		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
107		uznn0sub 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108	107	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
109		nn0p1nn 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110	108, 109	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111	110	nnrpd 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112	111	rphalfcld 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113	112	rpgt0d 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114	113	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115		elnnz 10899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
116	106, 114, 115	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16
117		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . . . . . . . . 16
118	116, 117	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
119	1, 5, 10, 65, 4, 66	iseraltlem3 13506	. . . . . . . . . . . . . . . 16
120	119	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15
121	104, 105, 118, 120	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14
122	103, 121	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . . . . . 13
123		zeo 10973	. . . . . . . . . . . . . 14
124	48, 123	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
125	70, 122, 124	mpjaodan 786	. . . . . . . . . . . 12
126	1	peano2uzs 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	126	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
128		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
129	10, 127, 128	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
130	1, 5, 10, 65, 4	iseraltlem1 13504	. . . . . . . . . . . . . 14
131	127, 130	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13
132	129, 131	absidd 13254	. . . . . . . . . . . 12
133	125, 132	breqtrrd 4478	. . . . . . . . . . 11
134	133	adantlr 714	. . . . . . . . . 10
135		neg1rr 10665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137		neg1ne0 10666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
140	139, 1	eleq2s 2565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	140	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142	136, 138, 141	reexpclzd 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	10	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144	142, 143	remulcld 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145	66, 144	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
146	1, 5, 145	serfre 12136	. . . . . . . . . . . . . . . 16
147	1	uztrn2 11127	. . . . . . . . . . . . . . . 16
148		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16
149	146, 147, 148	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15
150		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16
151	146, 45, 150	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15
152	149, 151	resubcld 10012	. . . . . . . . . . . . . 14
153	152	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . 13
154	153	abscld 13267	. . . . . . . . . . . 12
155	154	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
156	132, 129	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12
157	156	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
158		rpre 11255	. . . . . . . . . . . 12
159	158	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11
160		lelttr 9696	. . . . . . . . . . 11
161	155, 157, 159, 160	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
162	134, 161	mpand 675	. . . . . . . . 9
163	146	adantr 465	. . . . . . . . . 10
164	163, 147, 148	syl2an 477	. . . . . . . . 9
165	162, 164	jctild 543	. . . . . . . 8
166	165	anassrs 648	. . . . . . 7
167	166	ralrimdva 2875	. . . . . 6
168	25, 167	syld 44	. . . . 5
169	168	reximdva 2932	. . . 4
170	169	ralimdva 2865	. . 3
171	14, 170	mpd 15	. 2
172	1, 3, 171	caurcvg2 13500	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109   class class class wbr 4452  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  -ucneg 9829  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  seqcseq 12107  cexp 12166  cabs 13067  cli 13307

This theorem is referenced by:  leibpi  23273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312