Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
axlowdimlem16.1 |
⊢ 𝑃 = ( { 〈 3 , - 1 〉 } ∪ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 3 } ) × { 0 } ) ) |
2 |
|
axlowdimlem16.2 |
⊢ 𝑄 = ( { 〈 ( 𝐼 + 1 ) , 1 〉 } ∪ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { ( 𝐼 + 1 ) } ) × { 0 } ) ) |
3 |
|
elfz1eq |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 2 ) → 𝐼 = 2 ) |
4 |
|
3z |
⊢ 3 ∈ ℤ |
5 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
6 |
5
|
sqcli |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) ∈ ℂ |
7 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 3 → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ 3 ) ) |
8 |
1
|
axlowdimlem8 |
⊢ ( 𝑃 ‘ 3 ) = - 1 |
9 |
7 8
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑖 = 3 → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = - 1 ) |
10 |
9
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = 3 → ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( - 1 ↑ 2 ) ) |
11 |
|
sqneg |
⊢ ( 1 ∈ ℂ → ( - 1 ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
12 |
5 11
|
ax-mp |
⊢ ( - 1 ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) |
13 |
10 12
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑖 = 3 → ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
14 |
13
|
fsum1 |
⊢ ( ( 3 ∈ ℤ ∧ ( 1 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
15 |
4 6 14
|
mp2an |
⊢ Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) |
16 |
|
df-3 |
⊢ 3 = ( 2 + 1 ) |
17 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐼 = 2 → ( 𝐼 + 1 ) = ( 2 + 1 ) ) |
18 |
16 17
|
eqtr4id |
⊢ ( 𝐼 = 2 → 3 = ( 𝐼 + 1 ) ) |
19 |
18 18
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐼 = 2 → ( 3 ... 3 ) = ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
20 |
19
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝐼 = 2 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
21 |
17 16
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝐼 = 2 → ( 𝐼 + 1 ) = 3 ) |
22 |
21 4
|
eqeltrdi |
⊢ ( 𝐼 = 2 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ) |
23 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
24 |
2
|
axlowdimlem11 |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) = 1 |
25 |
23 24
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = 1 ) |
26 |
25
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
27 |
26
|
fsum1 |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 1 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
28 |
22 6 27
|
sylancl |
⊢ ( 𝐼 = 2 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
29 |
20 28
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐼 = 2 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
30 |
15 29
|
eqtr4id |
⊢ ( 𝐼 = 2 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
31 |
3 30
|
syl |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 2 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
32 |
31
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 2 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
33 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( 𝑁 − 1 ) = ( 3 − 1 ) ) |
34 |
|
3m1e2 |
⊢ ( 3 − 1 ) = 2 |
35 |
33 34
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( 𝑁 − 1 ) = 2 ) |
36 |
35
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( 2 ... 2 ) ) |
37 |
36
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ 𝐼 ∈ ( 2 ... 2 ) ) ) |
38 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( 3 ... 𝑁 ) = ( 3 ... 3 ) ) |
39 |
38
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑁 = 3 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
40 |
38
|
sumeq1d |
⊢ ( 𝑁 = 3 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
41 |
39 40
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
42 |
32 37 41
|
3imtr4d |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
43 |
42
|
adantld |
⊢ ( 𝑁 = 3 → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
44 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
45 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 3 ≤ 𝑁 ) |
46 |
45
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 3 ≤ 𝑁 ) |
47 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑁 ≠ 3 ) |
48 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
49 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
50 |
49
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
51 |
|
ltlen |
⊢ ( ( 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 3 < 𝑁 ↔ ( 3 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 3 ) ) ) |
52 |
48 50 51
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 3 < 𝑁 ↔ ( 3 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 3 ) ) ) |
53 |
46 47 52
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 3 < 𝑁 ) |
54 |
53
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 3 < 𝑁 ) |
55 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
56 |
|
fzssp1 |
⊢ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 2 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) |
57 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
58 |
56 57
|
sselid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ) |
59 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
60 |
59
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
61 |
60
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
62 |
|
npcan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 ) |
63 |
61 5 62
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 ) |
64 |
63
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 2 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ... 𝑁 ) ) |
65 |
58 64
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ) |
66 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) → 𝐼 ∈ ℤ ) |
67 |
65 66
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ℤ ) |
68 |
67
|
zred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
69 |
68
|
ltp1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 < ( 𝐼 + 1 ) ) |
70 |
|
fzdisj |
⊢ ( 𝐼 < ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 2 ... 𝐼 ) ∩ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ∅ ) |
71 |
69 70
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 2 ... 𝐼 ) ∩ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ∅ ) |
72 |
|
fzsplit |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) → ( 2 ... 𝑁 ) = ( ( 2 ... 𝐼 ) ∪ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) ) |
73 |
65 72
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 2 ... 𝑁 ) = ( ( 2 ... 𝐼 ) ∪ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) ) |
74 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 2 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
75 |
|
eluzge3nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
76 |
|
2eluzge1 |
⊢ 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
77 |
|
fzss1 |
⊢ ( 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
78 |
76 77
|
ax-mp |
⊢ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) |
79 |
78
|
sseli |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
80 |
2
|
axlowdimlem10 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
81 |
75 79 80
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
82 |
|
fzss1 |
⊢ ( 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( 2 ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
83 |
76 82
|
ax-mp |
⊢ ( 2 ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) |
84 |
83
|
sseli |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
85 |
|
fveecn |
⊢ ( ( 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
86 |
81 84 85
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
87 |
86
|
sqcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
88 |
87
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
89 |
71 73 74 88
|
fsumsplit |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
90 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 ∈ ℤ ) |
91 |
90
|
zred |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
92 |
91
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
93 |
49
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
94 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ ) |
95 |
93 94
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ ) |
96 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) |
97 |
96
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) |
98 |
93
|
ltm1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 ) |
99 |
92 95 93 97 98
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 < 𝑁 ) |
100 |
92 93 99
|
ltled |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ≤ 𝑁 ) |
101 |
90
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ℤ ) |
102 |
|
eluz |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐼 ) ↔ 𝐼 ≤ 𝑁 ) ) |
103 |
101 60 102
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐼 ) ↔ 𝐼 ≤ 𝑁 ) ) |
104 |
100 103
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐼 ) ) |
105 |
|
fzss2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐼 ) → ( 1 ... 𝐼 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
106 |
104 105
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 1 ... 𝐼 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
107 |
106
|
sseld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) |
108 |
|
fzss1 |
⊢ ( 2 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( 2 ... 𝐼 ) ⊆ ( 1 ... 𝐼 ) ) |
109 |
76 108
|
ax-mp |
⊢ ( 2 ... 𝐼 ) ⊆ ( 1 ... 𝐼 ) |
110 |
109
|
sseli |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) ) |
111 |
107 110
|
impel |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
112 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
113 |
112
|
zred |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
114 |
113
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
115 |
92
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
116 |
|
peano2re |
⊢ ( 𝐼 ∈ ℝ → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ ) |
117 |
91 116
|
syl |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ ) |
118 |
117
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ ) |
119 |
118
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ ) |
120 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) → 𝑖 ≤ 𝐼 ) |
121 |
120
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 ≤ 𝐼 ) |
122 |
115
|
ltp1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝐼 < ( 𝐼 + 1 ) ) |
123 |
114 115 119 121 122
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 < ( 𝐼 + 1 ) ) |
124 |
114 123
|
ltned |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 ≠ ( 𝐼 + 1 ) ) |
125 |
2
|
axlowdimlem12 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑖 ≠ ( 𝐼 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = 0 ) |
126 |
111 124 125
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = 0 ) |
127 |
126
|
sq0id |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 ) |
128 |
127
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) 0 ) |
129 |
|
fzfi |
⊢ ( 2 ... 𝐼 ) ∈ Fin |
130 |
129
|
olci |
⊢ ( ( 2 ... 𝐼 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ( 2 ... 𝐼 ) ∈ Fin ) |
131 |
|
sumz |
⊢ ( ( ( 2 ... 𝐼 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ( 2 ... 𝐼 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) 0 = 0 ) |
132 |
130 131
|
ax-mp |
⊢ Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) 0 = 0 |
133 |
128 132
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 ) |
134 |
101
|
peano2zd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ) |
135 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
136 |
26 135
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
137 |
136
|
fsum1 |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
138 |
134 5 137
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
139 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) = 𝑁 → ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) = ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) |
140 |
139
|
sumeq1d |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) = 𝑁 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
141 |
140
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) = 𝑁 → ( Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ↔ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) ) |
142 |
138 141
|
syl5ib |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) = 𝑁 → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) ) |
143 |
101
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ℤ ) |
144 |
143
|
zred |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
145 |
60
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
146 |
145
|
zred |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
147 |
146 94
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ ) |
148 |
97
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) |
149 |
146
|
ltm1d |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 ) |
150 |
144 147 146 148 149
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 < 𝑁 ) |
151 |
|
1red |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
152 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
153 |
152
|
a1i |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
154 |
|
1le2 |
⊢ 1 ≤ 2 |
155 |
154
|
a1i |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 1 ≤ 2 ) |
156 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 2 ≤ 𝐼 ) |
157 |
151 153 91 155 156
|
letrd |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 1 ≤ 𝐼 ) |
158 |
157
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝐼 ) |
159 |
158
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 1 ≤ 𝐼 ) |
160 |
|
elnnz1 |
⊢ ( 𝐼 ∈ ℕ ↔ ( 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼 ) ) |
161 |
143 159 160
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ℕ ) |
162 |
75
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
163 |
162
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
164 |
|
nnltp1le |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐼 < 𝑁 ↔ ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
165 |
161 163 164
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 < 𝑁 ↔ ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
166 |
150 165
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) |
167 |
|
eluz |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↔ ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
168 |
134 145 167
|
syl2an2 |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↔ ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
169 |
166 168
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ) |
170 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
171 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
172 |
170 171 81
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
173 |
172
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
174 |
161
|
peano2nnd |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℕ ) |
175 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
176 |
174 175
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
177 |
|
fzss1 |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
178 |
176 177
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
179 |
178
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
180 |
173 179 85
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
181 |
180
|
sqcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
182 |
23
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↑ 2 ) ) |
183 |
24
|
oveq1i |
⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) |
184 |
183 135
|
eqtri |
⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↑ 2 ) = 1 |
185 |
182 184
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
186 |
169 181 185
|
fsum1p |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
187 |
174
|
peano2nnd |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
188 |
187 175
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
189 |
|
fzss1 |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
190 |
188 189
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
191 |
190
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
192 |
144 116
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ ) |
193 |
192
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ ) |
194 |
|
peano2re |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
195 |
193 194
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
196 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
197 |
196
|
zred |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
198 |
197
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
199 |
193
|
ltp1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) < ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ) |
200 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ≤ 𝑖 ) |
201 |
200
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ≤ 𝑖 ) |
202 |
193 195 198 199 201
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) < 𝑖 ) |
203 |
193 202
|
gtned |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ≠ ( 𝐼 + 1 ) ) |
204 |
191 203 125
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = 0 ) |
205 |
204
|
sq0id |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 ) |
206 |
205
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) 0 ) |
207 |
|
fzfi |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin |
208 |
207
|
olci |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
209 |
|
sumz |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) 0 = 0 ) |
210 |
208 209
|
ax-mp |
⊢ Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) 0 = 0 |
211 |
206 210
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 ) |
212 |
211
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 1 + 0 ) ) |
213 |
|
1p0e1 |
⊢ ( 1 + 0 ) = 1 |
214 |
212 213
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = 1 ) |
215 |
186 214
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
216 |
215
|
ex |
⊢ ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) ) |
217 |
142 216
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
218 |
133 217
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 0 + 1 ) ) |
219 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
220 |
218 219
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = 1 ) |
221 |
89 220
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
222 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
223 |
|
2lt3 |
⊢ 2 < 3 |
224 |
152 48 223
|
ltleii |
⊢ 2 ≤ 3 |
225 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
226 |
225
|
eluz1i |
⊢ ( 3 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3 ) ) |
227 |
4 224 226
|
mpbir2an |
⊢ 3 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) |
228 |
|
uztrn |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
229 |
222 227 228
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
230 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 2 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 2 ) ) |
231 |
230
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = 2 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) ) |
232 |
229 88 231
|
fsum1p |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
233 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
234 |
233
|
zred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
235 |
|
lttr |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ( 2 < 3 ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 < 𝑁 ) ) |
236 |
152 48 235
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( ( 2 < 3 ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 < 𝑁 ) ) |
237 |
223 236
|
mpani |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 3 < 𝑁 → 2 < 𝑁 ) ) |
238 |
49 237
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( 3 < 𝑁 → 2 < 𝑁 ) ) |
239 |
238
|
imp |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 < 𝑁 ) |
240 |
|
ltle |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁 ) ) |
241 |
152 240
|
mpan |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁 ) ) |
242 |
234 239 241
|
sylc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 ≤ 𝑁 ) |
243 |
242 154
|
jctil |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁 ) ) |
244 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
245 |
|
elfz |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁 ) ) ) |
246 |
225 244 233 245
|
mp3an12i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁 ) ) ) |
247 |
243 246
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
248 |
247
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
249 |
91
|
ltp1d |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 < ( 𝐼 + 1 ) ) |
250 |
153 91 117 156 249
|
lelttrd |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 2 < ( 𝐼 + 1 ) ) |
251 |
250
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 2 < ( 𝐼 + 1 ) ) |
252 |
|
ltne |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 2 < ( 𝐼 + 1 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ≠ 2 ) |
253 |
152 251 252
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ≠ 2 ) |
254 |
253
|
necomd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 2 ≠ ( 𝐼 + 1 ) ) |
255 |
2
|
axlowdimlem12 |
⊢ ( ( 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 2 ≠ ( 𝐼 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ 2 ) = 0 ) |
256 |
248 254 255
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 2 ) = 0 ) |
257 |
256
|
sq0id |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) = 0 ) |
258 |
257
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
259 |
16
|
oveq1i |
⊢ ( 3 ... 𝑁 ) = ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) |
260 |
259
|
sumeq1i |
⊢ Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) |
261 |
260
|
oveq2i |
⊢ ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
262 |
258 261
|
eqtr4di |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
263 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 3 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
264 |
|
3nn |
⊢ 3 ∈ ℕ |
265 |
264 175
|
eleqtri |
⊢ 3 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
266 |
|
fzss1 |
⊢ ( 3 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( 3 ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
267 |
265 266
|
ax-mp |
⊢ ( 3 ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) |
268 |
267
|
sseli |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
269 |
81 268 85
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
270 |
269
|
sqcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
271 |
270
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
272 |
263 271
|
fsumcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
273 |
272
|
addid2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
274 |
232 262 273
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
275 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
276 |
1
|
axlowdimlem7 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
277 |
276
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
278 |
268
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
279 |
|
fveecn |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
280 |
277 278 279
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
281 |
280
|
sqcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
282 |
|
neg1sqe1 |
⊢ ( - 1 ↑ 2 ) = 1 |
283 |
10 282
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑖 = 3 → ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
284 |
275 281 283
|
fsum1p |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
285 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
286 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( 3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( 3 + 1 ) ∈ ℤ ) |
287 |
4 244 286
|
mp2an |
⊢ ( 3 + 1 ) ∈ ℤ |
288 |
287
|
zrei |
⊢ ( 3 + 1 ) ∈ ℝ |
289 |
|
1lt3 |
⊢ 1 < 3 |
290 |
48
|
ltp1i |
⊢ 3 < ( 3 + 1 ) |
291 |
285 48 288
|
lttri |
⊢ ( ( 1 < 3 ∧ 3 < ( 3 + 1 ) ) → 1 < ( 3 + 1 ) ) |
292 |
289 290 291
|
mp2an |
⊢ 1 < ( 3 + 1 ) |
293 |
285 288 292
|
ltleii |
⊢ 1 ≤ ( 3 + 1 ) |
294 |
|
eluz |
⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 3 + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 3 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 3 + 1 ) ) ) |
295 |
244 287 294
|
mp2an |
⊢ ( ( 3 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 3 + 1 ) ) |
296 |
293 295
|
mpbir |
⊢ ( 3 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
297 |
|
fzss1 |
⊢ ( ( 3 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
298 |
296 297
|
ax-mp |
⊢ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) |
299 |
298
|
sseli |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
300 |
48 288
|
ltnlei |
⊢ ( 3 < ( 3 + 1 ) ↔ ¬ ( 3 + 1 ) ≤ 3 ) |
301 |
290 300
|
mpbi |
⊢ ¬ ( 3 + 1 ) ≤ 3 |
302 |
301
|
intnanr |
⊢ ¬ ( ( 3 + 1 ) ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁 ) |
303 |
|
elfz |
⊢ ( ( 3 ∈ ℤ ∧ ( 3 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ↔ ( ( 3 + 1 ) ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁 ) ) ) |
304 |
4 287 233 303
|
mp3an12i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ↔ ( ( 3 + 1 ) ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁 ) ) ) |
305 |
302 304
|
mtbiri |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ¬ 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) |
306 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑖 = 3 → ( 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ↔ 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) ) |
307 |
306
|
notbid |
⊢ ( 𝑖 = 3 → ( ¬ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ↔ ¬ 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) ) |
308 |
305 307
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 𝑖 = 3 → ¬ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) ) |
309 |
308
|
necon2ad |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) → 𝑖 ≠ 3 ) ) |
310 |
309
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ≠ 3 ) |
311 |
1
|
axlowdimlem9 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑖 ≠ 3 ) → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = 0 ) |
312 |
299 310 311
|
syl2an2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = 0 ) |
313 |
312
|
sq0id |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 ) |
314 |
313
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) 0 ) |
315 |
|
fzfi |
⊢ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin |
316 |
315
|
olci |
⊢ ( ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
317 |
|
sumz |
⊢ ( ( ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) 0 = 0 ) |
318 |
316 317
|
ax-mp |
⊢ Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) 0 = 0 |
319 |
314 318
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 ) |
320 |
319
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 1 + 0 ) ) |
321 |
284 320
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 + 0 ) ) |
322 |
321 213
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
323 |
322
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) |
324 |
221 274 323
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
325 |
44 54 55 324
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |
326 |
325
|
ex |
⊢ ( 𝑁 ≠ 3 → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) ) |
327 |
43 326
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ↑ 2 ) ) |