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Theorem axlowdimlem16

Description: Lemma for axlowdim . Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses axlowdimlem16.1 𝑃 = ( { ⟨ 3 , - 1 ⟩ } ∪ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 3 } ) × { 0 } ) )
axlowdimlem16.2 𝑄 = ( { ⟨ ( 𝐼 + 1 ) , 1 ⟩ } ∪ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { ( 𝐼 + 1 ) } ) × { 0 } ) )
Assertion axlowdimlem16 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axlowdimlem16.1 𝑃 = ( { ⟨ 3 , - 1 ⟩ } ∪ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { 3 } ) × { 0 } ) )
2 axlowdimlem16.2 𝑄 = ( { ⟨ ( 𝐼 + 1 ) , 1 ⟩ } ∪ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ { ( 𝐼 + 1 ) } ) × { 0 } ) )
3 elfz1eq ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 2 ) → 𝐼 = 2 )
4 3z 3 ∈ ℤ
5 ax-1cn 1 ∈ ℂ
6 5 sqcli ( 1 ↑ 2 ) ∈ ℂ
7 fveq2 ( 𝑖 = 3 → ( 𝑃𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ 3 ) )
8 1 axlowdimlem8 ( 𝑃 ‘ 3 ) = - 1
9 7 8 eqtrdi ( 𝑖 = 3 → ( 𝑃𝑖 ) = - 1 )
10 9 oveq1d ( 𝑖 = 3 → ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = ( - 1 ↑ 2 ) )
11 sqneg ( 1 ∈ ℂ → ( - 1 ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) )
12 5 11 ax-mp ( - 1 ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 )
13 10 12 eqtrdi ( 𝑖 = 3 → ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) )
14 13 fsum1 ( ( 3 ∈ ℤ ∧ ( 1 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) )
15 4 6 14 mp2an Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 )
16 df-3 3 = ( 2 + 1 )
17 oveq1 ( 𝐼 = 2 → ( 𝐼 + 1 ) = ( 2 + 1 ) )
18 16 17 eqtr4id ( 𝐼 = 2 → 3 = ( 𝐼 + 1 ) )
19 18 18 oveq12d ( 𝐼 = 2 → ( 3 ... 3 ) = ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) )
20 19 sumeq1d ( 𝐼 = 2 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
21 17 16 eqtr4di ( 𝐼 = 2 → ( 𝐼 + 1 ) = 3 )
22 21 4 eqeltrdi ( 𝐼 = 2 → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ )
23 fveq2 ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) )
24 2 axlowdimlem11 ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) = 1
25 23 24 eqtrdi ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( 𝑄𝑖 ) = 1 )
26 25 oveq1d ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) )
27 26 fsum1 ( ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 1 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) )
28 22 6 27 sylancl ( 𝐼 = 2 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) )
29 20 28 eqtrd ( 𝐼 = 2 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) )
30 15 29 eqtr4id ( 𝐼 = 2 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
31 3 30 syl ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 2 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
32 31 a1i ( 𝑁 = 3 → ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 2 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
33 oveq1 ( 𝑁 = 3 → ( 𝑁 − 1 ) = ( 3 − 1 ) )
34 3m1e2 ( 3 − 1 ) = 2
35 33 34 eqtrdi ( 𝑁 = 3 → ( 𝑁 − 1 ) = 2 )
36 35 oveq2d ( 𝑁 = 3 → ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( 2 ... 2 ) )
37 36 eleq2d ( 𝑁 = 3 → ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ 𝐼 ∈ ( 2 ... 2 ) ) )
38 oveq2 ( 𝑁 = 3 → ( 3 ... 𝑁 ) = ( 3 ... 3 ) )
39 38 sumeq1d ( 𝑁 = 3 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) )
40 38 sumeq1d ( 𝑁 = 3 → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
41 39 40 eqeq12d ( 𝑁 = 3 → ( Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 3 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
42 32 37 41 3imtr4d ( 𝑁 = 3 → ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
43 42 adantld ( 𝑁 = 3 → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
44 simprl ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) )
45 eluzle ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) → 3 ≤ 𝑁 )
46 45 adantl ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ) → 3 ≤ 𝑁 )
47 simpl ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ) → 𝑁 ≠ 3 )
48 3re 3 ∈ ℝ
49 eluzelre ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℝ )
50 49 adantl ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
51 ltlen ( ( 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 3 < 𝑁 ↔ ( 3 ≤ 𝑁𝑁 ≠ 3 ) ) )
52 48 50 51 sylancr ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ) → ( 3 < 𝑁 ↔ ( 3 ≤ 𝑁𝑁 ≠ 3 ) ) )
53 46 47 52 mpbir2and ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ) → 3 < 𝑁 )
54 53 adantrr ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 3 < 𝑁 )
55 simprr ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
56 fzssp1 ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 2 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) )
57 simp3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
58 56 57 sselid ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) )
59 eluzelz ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
60 59 3ad2ant1 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
61 60 zcnd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ )
62 npcan ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
63 61 5 62 sylancl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
64 63 oveq2d ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 2 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ... 𝑁 ) )
65 58 64 eleqtrd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) )
66 elfzelz ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) → 𝐼 ∈ ℤ )
67 65 66 syl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ℤ )
68 67 zred ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ℝ )
69 68 ltp1d ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 < ( 𝐼 + 1 ) )
70 fzdisj ( 𝐼 < ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 2 ... 𝐼 ) ∩ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ∅ )
71 69 70 syl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 2 ... 𝐼 ) ∩ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ∅ )
72 fzsplit ( 𝐼 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) → ( 2 ... 𝑁 ) = ( ( 2 ... 𝐼 ) ∪ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
73 65 72 syl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 2 ... 𝑁 ) = ( ( 2 ... 𝐼 ) ∪ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
74 fzfid ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 2 ... 𝑁 ) ∈ Fin )
75 eluzge3nn ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℕ )
76 2eluzge1 2 ∈ ( ℤ ‘ 1 )
77 fzss1 ( 2 ∈ ( ℤ ‘ 1 ) → ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
78 76 77 ax-mp ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) )
79 78 sseli ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
80 2 axlowdimlem10 ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
81 75 79 80 syl2an ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
82 fzss1 ( 2 ∈ ( ℤ ‘ 1 ) → ( 2 ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
83 76 82 ax-mp ( 2 ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 )
84 83 sseli ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
85 fveecn ( ( 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℂ )
86 81 84 85 syl2an ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℂ )
87 86 sqcld ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
88 87 3adantl2 ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
89 71 73 74 88 fsumsplit ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
90 elfzelz ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 ∈ ℤ )
91 90 zred ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 ∈ ℝ )
92 91 3ad2ant3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ℝ )
93 49 3ad2ant1 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
94 peano2rem ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ )
95 93 94 syl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ )
96 elfzle2 ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 ≤ ( 𝑁 − 1 ) )
97 96 3ad2ant3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ≤ ( 𝑁 − 1 ) )
98 93 ltm1d ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 )
99 92 95 93 97 98 lelttrd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 < 𝑁 )
100 92 93 99 ltled ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼𝑁 )
101 90 3ad2ant3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐼 ∈ ℤ )
102 eluz ( ( 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ𝐼 ) ↔ 𝐼𝑁 ) )
103 101 60 102 syl2anc ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ𝐼 ) ↔ 𝐼𝑁 ) )
104 100 103 mpbird ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ𝐼 ) )
105 fzss2 ( 𝑁 ∈ ( ℤ𝐼 ) → ( 1 ... 𝐼 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
106 104 105 syl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 1 ... 𝐼 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
107 106 sseld ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) )
108 fzss1 ( 2 ∈ ( ℤ ‘ 1 ) → ( 2 ... 𝐼 ) ⊆ ( 1 ... 𝐼 ) )
109 76 108 ax-mp ( 2 ... 𝐼 ) ⊆ ( 1 ... 𝐼 )
110 109 sseli ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝐼 ) )
111 107 110 impel ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
112 elfzelz ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
113 112 zred ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
114 113 adantl ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
115 92 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝐼 ∈ ℝ )
116 peano2re ( 𝐼 ∈ ℝ → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ )
117 91 116 syl ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ )
118 117 3ad2ant3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ )
119 118 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ )
120 elfzle2 ( 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) → 𝑖𝐼 )
121 120 adantl ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖𝐼 )
122 115 ltp1d ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝐼 < ( 𝐼 + 1 ) )
123 114 115 119 121 122 lelttrd ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 < ( 𝐼 + 1 ) )
124 114 123 ltned ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → 𝑖 ≠ ( 𝐼 + 1 ) )
125 2 axlowdimlem12 ( ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑖 ≠ ( 𝐼 + 1 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) = 0 )
126 111 124 125 syl2anc ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) = 0 )
127 126 sq0id ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 )
128 127 sumeq2dv ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) 0 )
129 fzfi ( 2 ... 𝐼 ) ∈ Fin
130 129 olci ( ( 2 ... 𝐼 ) ⊆ ( ℤ ‘ 1 ) ∨ ( 2 ... 𝐼 ) ∈ Fin )
131 sumz ( ( ( 2 ... 𝐼 ) ⊆ ( ℤ ‘ 1 ) ∨ ( 2 ... 𝐼 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) 0 = 0 )
132 130 131 ax-mp Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) 0 = 0
133 128 132 eqtrdi ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 )
134 101 peano2zd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ )
135 sq1 ( 1 ↑ 2 ) = 1
136 26 135 eqtrdi ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
137 136 fsum1 ( ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
138 134 5 137 sylancl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
139 oveq2 ( ( 𝐼 + 1 ) = 𝑁 → ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) = ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) )
140 139 sumeq1d ( ( 𝐼 + 1 ) = 𝑁 → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
141 140 eqeq1d ( ( 𝐼 + 1 ) = 𝑁 → ( Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... ( 𝐼 + 1 ) ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ↔ Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) )
142 138 141 syl5ib ( ( 𝐼 + 1 ) = 𝑁 → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) )
143 101 adantl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ℤ )
144 143 zred ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ℝ )
145 60 adantl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
146 145 zred ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
147 146 94 syl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ )
148 97 adantl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ≤ ( 𝑁 − 1 ) )
149 146 ltm1d ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 )
150 144 147 146 148 149 lelttrd ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 < 𝑁 )
151 1red ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
152 2re 2 ∈ ℝ
153 152 a1i ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 2 ∈ ℝ )
154 1le2 1 ≤ 2
155 154 a1i ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 1 ≤ 2 )
156 elfzle1 ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 2 ≤ 𝐼 )
157 151 153 91 155 156 letrd ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 1 ≤ 𝐼 )
158 157 3ad2ant3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝐼 )
159 158 adantl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 1 ≤ 𝐼 )
160 elnnz1 ( 𝐼 ∈ ℕ ↔ ( 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼 ) )
161 143 159 160 sylanbrc ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ℕ )
162 75 3ad2ant1 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
163 162 adantl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
164 nnltp1le ( ( 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐼 < 𝑁 ↔ ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) )
165 161 163 164 syl2anc ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 < 𝑁 ↔ ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) )
166 150 165 mpbid ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 )
167 eluz ( ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↔ ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) )
168 134 145 167 syl2an2 ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↔ ( 𝐼 + 1 ) ≤ 𝑁 ) )
169 166 168 mpbird ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) )
170 simpr1 ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) )
171 simpr3 ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
172 170 171 81 syl2anc ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
173 172 adantr ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑄 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
174 161 peano2nnd ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℕ )
175 nnuz ℕ = ( ℤ ‘ 1 )
176 174 175 eleqtrdi ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) )
177 fzss1 ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) → ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
178 176 177 syl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
179 178 sselda ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
180 173 179 85 syl2anc ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℂ )
181 180 sqcld ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
182 23 oveq1d ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↑ 2 ) )
183 24 oveq1i ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 )
184 183 135 eqtri ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐼 + 1 ) ) ↑ 2 ) = 1
185 182 184 eqtrdi ( 𝑖 = ( 𝐼 + 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
186 169 181 185 fsum1p ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
187 174 peano2nnd ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ℕ )
188 187 175 eleqtrdi ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) )
189 fzss1 ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) → ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
190 188 189 syl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
191 190 sselda ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
192 144 116 syl ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ )
193 192 adantr ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ )
194 peano2re ( ( 𝐼 + 1 ) ∈ ℝ → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
195 193 194 syl ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
196 elfzelz ( 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
197 196 zred ( 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
198 197 adantl ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
199 193 ltp1d ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) < ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) )
200 elfzle1 ( 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ≤ 𝑖 )
201 200 adantl ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ≤ 𝑖 )
202 193 195 198 199 201 ltletrd ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) < 𝑖 )
203 193 202 gtned ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ≠ ( 𝐼 + 1 ) )
204 191 203 125 syl2anc ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) = 0 )
205 204 sq0id ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 )
206 205 sumeq2dv ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) 0 )
207 fzfi ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin
208 207 olci ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ ‘ 1 ) ∨ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin )
209 sumz ( ( ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ ‘ 1 ) ∨ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) 0 = 0 )
210 208 209 ax-mp Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) 0 = 0
211 206 210 eqtrdi ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 )
212 211 oveq2d ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 1 + 0 ) )
213 1p0e1 ( 1 + 0 ) = 1
214 212 213 eqtrdi ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 𝐼 + 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) = 1 )
215 186 214 eqtrd ( ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
216 215 ex ( ( 𝐼 + 1 ) ≠ 𝑁 → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 ) )
217 142 216 pm2.61ine ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
218 133 217 oveq12d ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 0 + 1 ) )
219 0p1e1 ( 0 + 1 ) = 1
220 218 219 eqtrdi ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝐼 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 𝐼 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) = 1 )
221 89 220 eqtrd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
222 simp1 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) )
223 2lt3 2 < 3
224 152 48 223 ltleii 2 ≤ 3
225 2z 2 ∈ ℤ
226 225 eluz1i ( 3 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ↔ ( 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3 ) )
227 4 224 226 mpbir2an 3 ∈ ( ℤ ‘ 2 )
228 uztrn ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) )
229 222 227 228 sylancl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) )
230 fveq2 ( 𝑖 = 2 → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 2 ) )
231 230 oveq1d ( 𝑖 = 2 → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) )
232 229 88 231 fsum1p ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
233 59 adantr ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
234 233 zred ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ )
235 lttr ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( ( 2 < 3 ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 < 𝑁 ) )
236 152 48 235 mp3an12 ( 𝑁 ∈ ℝ → ( ( 2 < 3 ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 < 𝑁 ) )
237 223 236 mpani ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 3 < 𝑁 → 2 < 𝑁 ) )
238 49 237 syl ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) → ( 3 < 𝑁 → 2 < 𝑁 ) )
239 238 imp ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 < 𝑁 )
240 ltle ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁 ) )
241 152 240 mpan ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁 ) )
242 234 239 241 sylc ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 ≤ 𝑁 )
243 242 154 jctil ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁 ) )
244 1z 1 ∈ ℤ
245 elfz ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁 ) ) )
246 225 244 233 245 mp3an12i ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁 ) ) )
247 243 246 mpbird ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
248 247 3adant3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
249 91 ltp1d ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝐼 < ( 𝐼 + 1 ) )
250 153 91 117 156 249 lelttrd ( 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 2 < ( 𝐼 + 1 ) )
251 250 3ad2ant3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 2 < ( 𝐼 + 1 ) )
252 ltne ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 2 < ( 𝐼 + 1 ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ≠ 2 )
253 152 251 252 sylancr ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐼 + 1 ) ≠ 2 )
254 253 necomd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 2 ≠ ( 𝐼 + 1 ) )
255 2 axlowdimlem12 ( ( 2 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 2 ≠ ( 𝐼 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ 2 ) = 0 )
256 248 254 255 syl2anc ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 2 ) = 0 )
257 256 sq0id ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) = 0 )
258 257 oveq1d ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
259 16 oveq1i ( 3 ... 𝑁 ) = ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 )
260 259 sumeq1i Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 )
261 260 oveq2i ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
262 258 261 eqtr4di ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 2 ) ↑ 2 ) + Σ 𝑖 ∈ ( ( 2 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
263 fzfid ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 3 ... 𝑁 ) ∈ Fin )
264 3nn 3 ∈ ℕ
265 264 175 eleqtri 3 ∈ ( ℤ ‘ 1 )
266 fzss1 ( 3 ∈ ( ℤ ‘ 1 ) → ( 3 ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
267 265 266 ax-mp ( 3 ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 )
268 267 sseli ( 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
269 81 268 85 syl2an ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℂ )
270 269 sqcld ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
271 270 3adantl2 ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
272 263 271 fsumcl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
273 272 addid2d ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 0 + Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
274 232 262 273 3eqtrrd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 2 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
275 simpl ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) )
276 1 axlowdimlem7 ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) → 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
277 276 ad2antrr ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
278 268 adantl ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
279 fveecn ( ( 𝑃 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑃𝑖 ) ∈ ℂ )
280 277 278 279 syl2anc ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑃𝑖 ) ∈ ℂ )
281 280 sqcld ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
282 neg1sqe1 ( - 1 ↑ 2 ) = 1
283 10 282 eqtrdi ( 𝑖 = 3 → ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
284 275 281 283 fsum1p ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
285 1re 1 ∈ ℝ
286 zaddcl ( ( 3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( 3 + 1 ) ∈ ℤ )
287 4 244 286 mp2an ( 3 + 1 ) ∈ ℤ
288 287 zrei ( 3 + 1 ) ∈ ℝ
289 1lt3 1 < 3
290 48 ltp1i 3 < ( 3 + 1 )
291 285 48 288 lttri ( ( 1 < 3 ∧ 3 < ( 3 + 1 ) ) → 1 < ( 3 + 1 ) )
292 289 290 291 mp2an 1 < ( 3 + 1 )
293 285 288 292 ltleii 1 ≤ ( 3 + 1 )
294 eluz ( ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 3 + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 3 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 3 + 1 ) ) )
295 244 287 294 mp2an ( ( 3 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 3 + 1 ) )
296 293 295 mpbir ( 3 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 )
297 fzss1 ( ( 3 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) → ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
298 296 297 ax-mp ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 )
299 298 sseli ( 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
300 48 288 ltnlei ( 3 < ( 3 + 1 ) ↔ ¬ ( 3 + 1 ) ≤ 3 )
301 290 300 mpbi ¬ ( 3 + 1 ) ≤ 3
302 301 intnanr ¬ ( ( 3 + 1 ) ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁 )
303 elfz ( ( 3 ∈ ℤ ∧ ( 3 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ↔ ( ( 3 + 1 ) ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁 ) ) )
304 4 287 233 303 mp3an12i ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ↔ ( ( 3 + 1 ) ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁 ) ) )
305 302 304 mtbiri ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ¬ 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) )
306 eleq1 ( 𝑖 = 3 → ( 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ↔ 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
307 306 notbid ( 𝑖 = 3 → ( ¬ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ↔ ¬ 3 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
308 305 307 syl5ibrcom ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 𝑖 = 3 → ¬ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
309 308 necon2ad ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) → 𝑖 ≠ 3 ) )
310 309 imp ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ≠ 3 )
311 1 axlowdimlem9 ( ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑖 ≠ 3 ) → ( 𝑃𝑖 ) = 0 )
312 299 310 311 syl2an2 ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( 𝑃𝑖 ) = 0 )
313 312 sq0id ( ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 )
314 313 sumeq2dv ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) 0 )
315 fzfi ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin
316 315 olci ( ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ ‘ 1 ) ∨ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin )
317 sumz ( ( ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ ‘ 1 ) ∨ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) 0 = 0 )
318 316 317 ax-mp Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) 0 = 0
319 314 318 eqtrdi ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = 0 )
320 319 oveq2d ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( 3 + 1 ) ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) ) = ( 1 + 0 ) )
321 284 320 eqtrd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = ( 1 + 0 ) )
322 321 213 eqtrdi ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
323 322 3adant3 ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = 1 )
324 221 274 323 3eqtr4rd ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 3 < 𝑁𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
325 44 54 55 324 syl3anc ( ( 𝑁 ≠ 3 ∧ ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )
326 325 ex ( 𝑁 ≠ 3 → ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) ) )
327 43 326 pm2.61ine ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 3 ) ∧ 𝐼 ∈ ( 2 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑃𝑖 ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 3 ... 𝑁 ) ( ( 𝑄𝑖 ) ↑ 2 ) )