Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
alexsubALT.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
ralnex |
|- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b <-> -. E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) |
3 |
1
|
alexsubALTlem2 |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v ) |
4 |
|
elun |
|- ( u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( u e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ u e. { (/) } ) ) |
5 |
|
sseq2 |
|- ( z = u -> ( a C_ z <-> a C_ u ) ) |
6 |
|
pweq |
|- ( z = u -> ~P z = ~P u ) |
7 |
6
|
ineq1d |
|- ( z = u -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P u i^i Fin ) ) |
8 |
7
|
raleqdv |
|- ( z = u -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) |
9 |
5 8
|
anbi12d |
|- ( z = u -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) |
10 |
9
|
elrab |
|- ( u e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) |
11 |
|
velsn |
|- ( u e. { (/) } <-> u = (/) ) |
12 |
10 11
|
orbi12i |
|- ( ( u e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ u e. { (/) } ) <-> ( ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ u = (/) ) ) |
13 |
4 12
|
bitri |
|- ( u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ u = (/) ) ) |
14 |
|
ralnex |
|- ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v <-> -. E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) |
15 |
|
simprrl |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ u ) |
16 |
15
|
unissd |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> U. a C_ U. u ) |
17 |
|
sseq1 |
|- ( X = U. a -> ( X C_ U. u <-> U. a C_ U. u ) ) |
18 |
16 17
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( X = U. a -> X C_ U. u ) ) |
19 |
|
vex |
|- x e. _V |
20 |
|
inss1 |
|- ( x i^i u ) C_ x |
21 |
19 20
|
elpwi2 |
|- ( x i^i u ) e. ~P x |
22 |
|
unieq |
|- ( c = ( x i^i u ) -> U. c = U. ( x i^i u ) ) |
23 |
22
|
eqeq2d |
|- ( c = ( x i^i u ) -> ( X = U. c <-> X = U. ( x i^i u ) ) ) |
24 |
|
pweq |
|- ( c = ( x i^i u ) -> ~P c = ~P ( x i^i u ) ) |
25 |
24
|
ineq1d |
|- ( c = ( x i^i u ) -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) ) |
26 |
25
|
rexeqdv |
|- ( c = ( x i^i u ) -> ( E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d <-> E. d e. ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) X = U. d ) ) |
27 |
23 26
|
imbi12d |
|- ( c = ( x i^i u ) -> ( ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) <-> ( X = U. ( x i^i u ) -> E. d e. ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) X = U. d ) ) ) |
28 |
27
|
rspccv |
|- ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> ( ( x i^i u ) e. ~P x -> ( X = U. ( x i^i u ) -> E. d e. ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) X = U. d ) ) ) |
29 |
21 28
|
mpi |
|- ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> ( X = U. ( x i^i u ) -> E. d e. ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) X = U. d ) ) |
30 |
|
inss2 |
|- ( x i^i u ) C_ u |
31 |
|
sstr |
|- ( ( d C_ ( x i^i u ) /\ ( x i^i u ) C_ u ) -> d C_ u ) |
32 |
30 31
|
mpan2 |
|- ( d C_ ( x i^i u ) -> d C_ u ) |
33 |
32
|
anim1i |
|- ( ( d C_ ( x i^i u ) /\ d e. Fin ) -> ( d C_ u /\ d e. Fin ) ) |
34 |
|
elfpw |
|- ( d e. ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) <-> ( d C_ ( x i^i u ) /\ d e. Fin ) ) |
35 |
|
elfpw |
|- ( d e. ( ~P u i^i Fin ) <-> ( d C_ u /\ d e. Fin ) ) |
36 |
33 34 35
|
3imtr4i |
|- ( d e. ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) -> d e. ( ~P u i^i Fin ) ) |
37 |
36
|
anim1i |
|- ( ( d e. ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) /\ X = U. d ) -> ( d e. ( ~P u i^i Fin ) /\ X = U. d ) ) |
38 |
37
|
reximi2 |
|- ( E. d e. ( ~P ( x i^i u ) i^i Fin ) X = U. d -> E. d e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. d ) |
39 |
29 38
|
syl6 |
|- ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> ( X = U. ( x i^i u ) -> E. d e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. d ) ) |
40 |
|
unieq |
|- ( d = b -> U. d = U. b ) |
41 |
40
|
eqeq2d |
|- ( d = b -> ( X = U. d <-> X = U. b ) ) |
42 |
41
|
cbvrexvw |
|- ( E. d e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. d <-> E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b ) |
43 |
39 42
|
syl6ib |
|- ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> ( X = U. ( x i^i u ) -> E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b ) ) |
44 |
|
dfrex2 |
|- ( E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b <-> -. A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) |
45 |
43 44
|
syl6ib |
|- ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> ( X = U. ( x i^i u ) -> -. A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) |
46 |
45
|
con2d |
|- ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> ( A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. ( x i^i u ) ) ) |
47 |
46
|
a1d |
|- ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> ( a C_ u -> ( A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. ( x i^i u ) ) ) ) |
48 |
47
|
3ad2ant2 |
|- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> ( a C_ u -> ( A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. ( x i^i u ) ) ) ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ u e. ~P ( fi ` x ) ) -> ( a C_ u -> ( A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. ( x i^i u ) ) ) ) |
50 |
49
|
impd |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ u e. ~P ( fi ` x ) ) -> ( ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) -> -. X = U. ( x i^i u ) ) ) |
51 |
50
|
impr |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> -. X = U. ( x i^i u ) ) |
52 |
20
|
unissi |
|- U. ( x i^i u ) C_ U. x |
53 |
|
fiuni |
|- ( x e. _V -> U. x = U. ( fi ` x ) ) |
54 |
53
|
elv |
|- U. x = U. ( fi ` x ) |
55 |
|
fibas |
|- ( fi ` x ) e. TopBases |
56 |
|
unitg |
|- ( ( fi ` x ) e. TopBases -> U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) = U. ( fi ` x ) ) |
57 |
55 56
|
ax-mp |
|- U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) = U. ( fi ` x ) |
58 |
54 57
|
eqtr4i |
|- U. x = U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) |
59 |
|
unieq |
|- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> U. J = U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) ) |
60 |
58 59
|
eqtr4id |
|- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> U. x = U. J ) |
61 |
60 1
|
eqtr4di |
|- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> U. x = X ) |
62 |
61
|
3ad2ant1 |
|- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> U. x = X ) |
63 |
62
|
adantr |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> U. x = X ) |
64 |
52 63
|
sseqtrid |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> U. ( x i^i u ) C_ X ) |
65 |
|
eqcom |
|- ( X = U. ( x i^i u ) <-> U. ( x i^i u ) = X ) |
66 |
|
eqss |
|- ( U. ( x i^i u ) = X <-> ( U. ( x i^i u ) C_ X /\ X C_ U. ( x i^i u ) ) ) |
67 |
66
|
baib |
|- ( U. ( x i^i u ) C_ X -> ( U. ( x i^i u ) = X <-> X C_ U. ( x i^i u ) ) ) |
68 |
65 67
|
syl5bb |
|- ( U. ( x i^i u ) C_ X -> ( X = U. ( x i^i u ) <-> X C_ U. ( x i^i u ) ) ) |
69 |
64 68
|
syl |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( X = U. ( x i^i u ) <-> X C_ U. ( x i^i u ) ) ) |
70 |
51 69
|
mtbid |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> -. X C_ U. ( x i^i u ) ) |
71 |
|
sstr2 |
|- ( X C_ U. u -> ( U. u C_ U. ( x i^i u ) -> X C_ U. ( x i^i u ) ) ) |
72 |
71
|
con3rr3 |
|- ( -. X C_ U. ( x i^i u ) -> ( X C_ U. u -> -. U. u C_ U. ( x i^i u ) ) ) |
73 |
70 72
|
syl |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( X C_ U. u -> -. U. u C_ U. ( x i^i u ) ) ) |
74 |
|
nss |
|- ( -. U. u C_ U. ( x i^i u ) <-> E. y ( y e. U. u /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) |
75 |
|
df-rex |
|- ( E. y e. U. u -. y e. U. ( x i^i u ) <-> E. y ( y e. U. u /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) |
76 |
74 75
|
bitr4i |
|- ( -. U. u C_ U. ( x i^i u ) <-> E. y e. U. u -. y e. U. ( x i^i u ) ) |
77 |
|
eluni2 |
|- ( y e. U. u <-> E. w e. u y e. w ) |
78 |
|
elpwi |
|- ( u e. ~P ( fi ` x ) -> u C_ ( fi ` x ) ) |
79 |
78
|
sseld |
|- ( u e. ~P ( fi ` x ) -> ( w e. u -> w e. ( fi ` x ) ) ) |
80 |
79
|
ad2antrl |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( w e. u -> w e. ( fi ` x ) ) ) |
81 |
|
elfi |
|- ( ( w e. _V /\ x e. _V ) -> ( w e. ( fi ` x ) <-> E. t e. ( ~P x i^i Fin ) w = |^| t ) ) |
82 |
81
|
el2v |
|- ( w e. ( fi ` x ) <-> E. t e. ( ~P x i^i Fin ) w = |^| t ) |
83 |
80 82
|
syl6ib |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( w e. u -> E. t e. ( ~P x i^i Fin ) w = |^| t ) ) |
84 |
1
|
alexsubALTlem3 |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) -> E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) |
85 |
78
|
adantr |
|- ( ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> u C_ ( fi ` x ) ) |
86 |
85
|
ad4antlr |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> u C_ ( fi ` x ) ) |
87 |
|
ssfii |
|- ( x e. _V -> x C_ ( fi ` x ) ) |
88 |
87
|
elv |
|- x C_ ( fi ` x ) |
89 |
|
elinel1 |
|- ( t e. ( ~P x i^i Fin ) -> t e. ~P x ) |
90 |
89
|
elpwid |
|- ( t e. ( ~P x i^i Fin ) -> t C_ x ) |
91 |
90
|
ad2antrr |
|- ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) -> t C_ x ) |
92 |
91
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> t C_ x ) |
93 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> s e. t ) |
94 |
92 93
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> s e. x ) |
95 |
88 94
|
sselid |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> s e. ( fi ` x ) ) |
96 |
95
|
snssd |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> { s } C_ ( fi ` x ) ) |
97 |
86 96
|
unssd |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> ( u u. { s } ) C_ ( fi ` x ) ) |
98 |
|
fvex |
|- ( fi ` x ) e. _V |
99 |
98
|
elpw2 |
|- ( ( u u. { s } ) e. ~P ( fi ` x ) <-> ( u u. { s } ) C_ ( fi ` x ) ) |
100 |
97 99
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> ( u u. { s } ) e. ~P ( fi ` x ) ) |
101 |
|
simprl |
|- ( ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> a C_ u ) |
102 |
101
|
ad4antlr |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> a C_ u ) |
103 |
|
ssun1 |
|- u C_ ( u u. { s } ) |
104 |
102 103
|
sstrdi |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> a C_ ( u u. { s } ) ) |
105 |
|
unieq |
|- ( n = b -> U. n = U. b ) |
106 |
105
|
eqeq2d |
|- ( n = b -> ( X = U. n <-> X = U. b ) ) |
107 |
106
|
notbid |
|- ( n = b -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. b ) ) |
108 |
107
|
cbvralvw |
|- ( A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n <-> A. b e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. b ) |
109 |
108
|
biimpi |
|- ( A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n -> A. b e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. b ) |
110 |
109
|
ad2antll |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> A. b e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. b ) |
111 |
100 104 110
|
jca32 |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> ( ( u u. { s } ) e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ ( u u. { s } ) /\ A. b e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) |
112 |
|
sseq2 |
|- ( z = ( u u. { s } ) -> ( a C_ z <-> a C_ ( u u. { s } ) ) ) |
113 |
|
pweq |
|- ( z = ( u u. { s } ) -> ~P z = ~P ( u u. { s } ) ) |
114 |
113
|
ineq1d |
|- ( z = ( u u. { s } ) -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) ) |
115 |
114
|
raleqdv |
|- ( z = ( u u. { s } ) -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. b ) ) |
116 |
112 115
|
anbi12d |
|- ( z = ( u u. { s } ) -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ ( u u. { s } ) /\ A. b e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) |
117 |
116
|
elrab |
|- ( ( u u. { s } ) e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( ( u u. { s } ) e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ ( u u. { s } ) /\ A. b e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) |
118 |
111 117
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> ( u u. { s } ) e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) |
119 |
|
elun1 |
|- ( ( u u. { s } ) e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } -> ( u u. { s } ) e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) |
120 |
118 119
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> ( u u. { s } ) e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) |
121 |
|
vsnid |
|- s e. { s } |
122 |
|
elun2 |
|- ( s e. { s } -> s e. ( u u. { s } ) ) |
123 |
121 122
|
ax-mp |
|- s e. ( u u. { s } ) |
124 |
|
intss1 |
|- ( s e. t -> |^| t C_ s ) |
125 |
|
sseq1 |
|- ( w = |^| t -> ( w C_ s <-> |^| t C_ s ) ) |
126 |
124 125
|
syl5ibrcom |
|- ( s e. t -> ( w = |^| t -> w C_ s ) ) |
127 |
126
|
impcom |
|- ( ( w = |^| t /\ s e. t ) -> w C_ s ) |
128 |
127
|
ad4ant24 |
|- ( ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ s e. t ) -> w C_ s ) |
129 |
128
|
adantl |
|- ( ( w e. u /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ s e. t ) ) -> w C_ s ) |
130 |
129
|
adantrrr |
|- ( ( w e. u /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> w C_ s ) |
131 |
130
|
adantll |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> w C_ s ) |
132 |
|
simprlr |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> y e. w ) |
133 |
131 132
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> y e. s ) |
134 |
90
|
ad2antrr |
|- ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) -> t C_ x ) |
135 |
134
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> t C_ x ) |
136 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> s e. t ) |
137 |
135 136
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> s e. x ) |
138 |
|
elin |
|- ( s e. ( x i^i u ) <-> ( s e. x /\ s e. u ) ) |
139 |
|
elunii |
|- ( ( y e. s /\ s e. ( x i^i u ) ) -> y e. U. ( x i^i u ) ) |
140 |
139
|
ex |
|- ( y e. s -> ( s e. ( x i^i u ) -> y e. U. ( x i^i u ) ) ) |
141 |
138 140
|
syl5bir |
|- ( y e. s -> ( ( s e. x /\ s e. u ) -> y e. U. ( x i^i u ) ) ) |
142 |
141
|
expd |
|- ( y e. s -> ( s e. x -> ( s e. u -> y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) |
143 |
133 137 142
|
sylc |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> ( s e. u -> y e. U. ( x i^i u ) ) ) |
144 |
143
|
con3d |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> -. s e. u ) ) |
145 |
144
|
expr |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) ) -> ( ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> -. s e. u ) ) ) |
146 |
145
|
com23 |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ y e. w ) ) -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> ( ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) -> -. s e. u ) ) ) |
147 |
146
|
exp32 |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) -> ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) -> ( y e. w -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> ( ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) -> -. s e. u ) ) ) ) ) |
148 |
147
|
imp55 |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> -. s e. u ) |
149 |
|
vex |
|- s e. _V |
150 |
|
eleq1w |
|- ( v = s -> ( v e. ( u u. { s } ) <-> s e. ( u u. { s } ) ) ) |
151 |
|
elequ1 |
|- ( v = s -> ( v e. u <-> s e. u ) ) |
152 |
151
|
notbid |
|- ( v = s -> ( -. v e. u <-> -. s e. u ) ) |
153 |
150 152
|
anbi12d |
|- ( v = s -> ( ( v e. ( u u. { s } ) /\ -. v e. u ) <-> ( s e. ( u u. { s } ) /\ -. s e. u ) ) ) |
154 |
149 153
|
spcev |
|- ( ( s e. ( u u. { s } ) /\ -. s e. u ) -> E. v ( v e. ( u u. { s } ) /\ -. v e. u ) ) |
155 |
123 148 154
|
sylancr |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> E. v ( v e. ( u u. { s } ) /\ -. v e. u ) ) |
156 |
|
nss |
|- ( -. ( u u. { s } ) C_ u <-> E. v ( v e. ( u u. { s } ) /\ -. v e. u ) ) |
157 |
155 156
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> -. ( u u. { s } ) C_ u ) |
158 |
|
eqimss2 |
|- ( u = ( u u. { s } ) -> ( u u. { s } ) C_ u ) |
159 |
158
|
necon3bi |
|- ( -. ( u u. { s } ) C_ u -> u =/= ( u u. { s } ) ) |
160 |
157 159
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> u =/= ( u u. { s } ) ) |
161 |
160 103
|
jctil |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> ( u C_ ( u u. { s } ) /\ u =/= ( u u. { s } ) ) ) |
162 |
|
df-pss |
|- ( u C. ( u u. { s } ) <-> ( u C_ ( u u. { s } ) /\ u =/= ( u u. { s } ) ) ) |
163 |
161 162
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> u C. ( u u. { s } ) ) |
164 |
|
psseq2 |
|- ( v = ( u u. { s } ) -> ( u C. v <-> u C. ( u u. { s } ) ) ) |
165 |
164
|
rspcev |
|- ( ( ( u u. { s } ) e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ u C. ( u u. { s } ) ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) |
166 |
120 163 165
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) /\ ( s e. t /\ A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) |
167 |
84 166
|
rexlimddv |
|- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) |
168 |
167
|
exp45 |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) -> ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) -> ( y e. w -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) ) ) |
169 |
168
|
expd |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) -> ( t e. ( ~P x i^i Fin ) -> ( w = |^| t -> ( y e. w -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) ) ) ) |
170 |
169
|
rexlimdv |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) -> ( E. t e. ( ~P x i^i Fin ) w = |^| t -> ( y e. w -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) ) ) |
171 |
170
|
ex |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( w e. u -> ( E. t e. ( ~P x i^i Fin ) w = |^| t -> ( y e. w -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) ) ) ) |
172 |
83 171
|
mpdd |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( w e. u -> ( y e. w -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) ) ) |
173 |
172
|
rexlimdv |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( E. w e. u y e. w -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) ) |
174 |
77 173
|
syl5bi |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( y e. U. u -> ( -. y e. U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) ) |
175 |
174
|
rexlimdv |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( E. y e. U. u -. y e. U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) |
176 |
76 175
|
syl5bi |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( -. U. u C_ U. ( x i^i u ) -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) |
177 |
18 73 176
|
3syld |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( X = U. a -> E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v ) ) |
178 |
177
|
con3d |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( -. E. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) u C. v -> -. X = U. a ) ) |
179 |
14 178
|
syl5bi |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. X = U. a ) ) |
180 |
179
|
ex |
|- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> ( ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. X = U. a ) ) ) |
181 |
180
|
adantr |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. X = U. a ) ) ) |
182 |
|
ssun1 |
|- { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) |
183 |
|
eqimss2 |
|- ( z = a -> a C_ z ) |
184 |
183
|
biantrurd |
|- ( z = a -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) |
185 |
|
pweq |
|- ( z = a -> ~P z = ~P a ) |
186 |
185
|
ineq1d |
|- ( z = a -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P a i^i Fin ) ) |
187 |
186
|
raleqdv |
|- ( z = a -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) ) |
188 |
184 187
|
bitr3d |
|- ( z = a -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) ) |
189 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> a e. ~P ( fi ` x ) ) |
190 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) |
191 |
188 189 190
|
elrabd |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> a e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) |
192 |
182 191
|
sselid |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> a e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) |
193 |
|
psseq2 |
|- ( v = a -> ( u C. v <-> u C. a ) ) |
194 |
193
|
notbid |
|- ( v = a -> ( -. u C. v <-> -. u C. a ) ) |
195 |
194
|
rspcv |
|- ( a e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. u C. a ) ) |
196 |
192 195
|
syl |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. u C. a ) ) |
197 |
|
id |
|- ( a = (/) -> a = (/) ) |
198 |
|
0elpw |
|- (/) e. ~P a |
199 |
|
0fin |
|- (/) e. Fin |
200 |
198 199
|
elini |
|- (/) e. ( ~P a i^i Fin ) |
201 |
197 200
|
eqeltrdi |
|- ( a = (/) -> a e. ( ~P a i^i Fin ) ) |
202 |
|
unieq |
|- ( b = a -> U. b = U. a ) |
203 |
202
|
eqeq2d |
|- ( b = a -> ( X = U. b <-> X = U. a ) ) |
204 |
203
|
notbid |
|- ( b = a -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. a ) ) |
205 |
204
|
rspccv |
|- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> ( a e. ( ~P a i^i Fin ) -> -. X = U. a ) ) |
206 |
201 205
|
syl5 |
|- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> ( a = (/) -> -. X = U. a ) ) |
207 |
206
|
necon2ad |
|- ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> ( X = U. a -> a =/= (/) ) ) |
208 |
207
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> ( X = U. a -> a =/= (/) ) ) |
209 |
|
psseq1 |
|- ( u = (/) -> ( u C. a <-> (/) C. a ) ) |
210 |
209
|
adantl |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> ( u C. a <-> (/) C. a ) ) |
211 |
|
0pss |
|- ( (/) C. a <-> a =/= (/) ) |
212 |
210 211
|
bitrdi |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> ( u C. a <-> a =/= (/) ) ) |
213 |
208 212
|
sylibrd |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> ( X = U. a -> u C. a ) ) |
214 |
196 213
|
nsyld |
|- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ u = (/) ) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. X = U. a ) ) |
215 |
214
|
ex |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( u = (/) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. X = U. a ) ) ) |
216 |
181 215
|
jaod |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( ( ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ u = (/) ) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. X = U. a ) ) ) |
217 |
13 216
|
syl5bi |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. X = U. a ) ) ) |
218 |
217
|
rexlimdv |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v -> -. X = U. a ) ) |
219 |
3 218
|
mpd |
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> -. X = U. a ) |
220 |
219
|
ex |
|- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. a ) ) |
221 |
2 220
|
syl5bir |
|- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> ( -. E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b -> -. X = U. a ) ) |
222 |
221
|
con4d |
|- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) |
223 |
222
|
3exp |
|- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> ( a e. ~P ( fi ` x ) -> ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) ) ) |
224 |
223
|
ralrimdv |
|- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) -> A. a e. ~P ( fi ` x ) ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) ) |