Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cfsmolem.2 |
|- F = ( z e. _V |-> ( ( g ` dom z ) u. U_ t e. dom z suc ( z ` t ) ) ) |
2 |
|
cfsmolem.3 |
|- G = ( recs ( F ) |` ( cf ` A ) ) |
3 |
|
cff1 |
|- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) ) ) |
4 |
|
cfon |
|- ( cf ` A ) e. On |
5 |
4
|
oneli |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> x e. On ) |
6 |
5
|
3ad2ant3 |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> x e. On ) |
7 |
|
eleq1w |
|- ( x = y -> ( x e. ( cf ` A ) <-> y e. ( cf ` A ) ) ) |
8 |
7
|
3anbi3d |
|- ( x = y -> ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) <-> ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ y e. ( cf ` A ) ) ) ) |
9 |
|
fveq2 |
|- ( x = y -> ( G ` x ) = ( G ` y ) ) |
10 |
9
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( ( G ` x ) e. A <-> ( G ` y ) e. A ) ) |
11 |
8 10
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` x ) e. A ) <-> ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ y e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` y ) e. A ) ) ) |
12 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> g : ( cf ` A ) -1-1-> A ) |
13 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> A e. On ) |
14 |
|
ontr1 |
|- ( ( cf ` A ) e. On -> ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> y e. ( cf ` A ) ) ) |
15 |
4 14
|
ax-mp |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> y e. ( cf ` A ) ) |
16 |
15
|
ancoms |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ y e. x ) -> y e. ( cf ` A ) ) |
17 |
16
|
3ad2antl3 |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> y e. ( cf ` A ) ) |
18 |
|
pm2.27 |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ y e. ( cf ` A ) ) -> ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ y e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` y ) e. A ) -> ( G ` y ) e. A ) ) |
19 |
12 13 17 18
|
syl3anc |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ y e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` y ) e. A ) -> ( G ` y ) e. A ) ) |
20 |
19
|
ralimdva |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( A. y e. x ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ y e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` y ) e. A ) -> A. y e. x ( G ` y ) e. A ) ) |
21 |
2
|
fveq1i |
|- ( G ` x ) = ( ( recs ( F ) |` ( cf ` A ) ) ` x ) |
22 |
|
fvres |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( ( recs ( F ) |` ( cf ` A ) ) ` x ) = ( recs ( F ) ` x ) ) |
23 |
21 22
|
eqtrid |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( G ` x ) = ( recs ( F ) ` x ) ) |
24 |
|
recsval |
|- ( x e. On -> ( recs ( F ) ` x ) = ( F ` ( recs ( F ) |` x ) ) ) |
25 |
|
recsfnon |
|- recs ( F ) Fn On |
26 |
|
fnfun |
|- ( recs ( F ) Fn On -> Fun recs ( F ) ) |
27 |
25 26
|
ax-mp |
|- Fun recs ( F ) |
28 |
|
vex |
|- x e. _V |
29 |
|
resfunexg |
|- ( ( Fun recs ( F ) /\ x e. _V ) -> ( recs ( F ) |` x ) e. _V ) |
30 |
27 28 29
|
mp2an |
|- ( recs ( F ) |` x ) e. _V |
31 |
|
dmeq |
|- ( z = ( recs ( F ) |` x ) -> dom z = dom ( recs ( F ) |` x ) ) |
32 |
31
|
fveq2d |
|- ( z = ( recs ( F ) |` x ) -> ( g ` dom z ) = ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) ) |
33 |
|
fveq1 |
|- ( z = ( recs ( F ) |` x ) -> ( z ` t ) = ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) |
34 |
|
suceq |
|- ( ( z ` t ) = ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) -> suc ( z ` t ) = suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) |
35 |
33 34
|
syl |
|- ( z = ( recs ( F ) |` x ) -> suc ( z ` t ) = suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) |
36 |
31 35
|
iuneq12d |
|- ( z = ( recs ( F ) |` x ) -> U_ t e. dom z suc ( z ` t ) = U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) |
37 |
32 36
|
uneq12d |
|- ( z = ( recs ( F ) |` x ) -> ( ( g ` dom z ) u. U_ t e. dom z suc ( z ` t ) ) = ( ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) u. U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) ) |
38 |
|
fvex |
|- ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) e. _V |
39 |
30
|
dmex |
|- dom ( recs ( F ) |` x ) e. _V |
40 |
|
fvex |
|- ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) e. _V |
41 |
40
|
sucex |
|- suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) e. _V |
42 |
39 41
|
iunex |
|- U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) e. _V |
43 |
38 42
|
unex |
|- ( ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) u. U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) e. _V |
44 |
37 1 43
|
fvmpt |
|- ( ( recs ( F ) |` x ) e. _V -> ( F ` ( recs ( F ) |` x ) ) = ( ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) u. U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) ) |
45 |
30 44
|
ax-mp |
|- ( F ` ( recs ( F ) |` x ) ) = ( ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) u. U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) |
46 |
24 45
|
eqtrdi |
|- ( x e. On -> ( recs ( F ) ` x ) = ( ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) u. U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) ) |
47 |
|
onss |
|- ( x e. On -> x C_ On ) |
48 |
|
fnssres |
|- ( ( recs ( F ) Fn On /\ x C_ On ) -> ( recs ( F ) |` x ) Fn x ) |
49 |
25 47 48
|
sylancr |
|- ( x e. On -> ( recs ( F ) |` x ) Fn x ) |
50 |
|
fndm |
|- ( ( recs ( F ) |` x ) Fn x -> dom ( recs ( F ) |` x ) = x ) |
51 |
|
fveq2 |
|- ( dom ( recs ( F ) |` x ) = x -> ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) = ( g ` x ) ) |
52 |
|
iuneq1 |
|- ( dom ( recs ( F ) |` x ) = x -> U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) = U_ t e. x suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) |
53 |
|
fvres |
|- ( t e. x -> ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) = ( recs ( F ) ` t ) ) |
54 |
|
suceq |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) = ( recs ( F ) ` t ) -> suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) = suc ( recs ( F ) ` t ) ) |
55 |
53 54
|
syl |
|- ( t e. x -> suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) = suc ( recs ( F ) ` t ) ) |
56 |
55
|
iuneq2i |
|- U_ t e. x suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) = U_ t e. x suc ( recs ( F ) ` t ) |
57 |
|
fveq2 |
|- ( y = t -> ( recs ( F ) ` y ) = ( recs ( F ) ` t ) ) |
58 |
|
suceq |
|- ( ( recs ( F ) ` y ) = ( recs ( F ) ` t ) -> suc ( recs ( F ) ` y ) = suc ( recs ( F ) ` t ) ) |
59 |
57 58
|
syl |
|- ( y = t -> suc ( recs ( F ) ` y ) = suc ( recs ( F ) ` t ) ) |
60 |
59
|
cbviunv |
|- U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = U_ t e. x suc ( recs ( F ) ` t ) |
61 |
56 60
|
eqtr4i |
|- U_ t e. x suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) = U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) |
62 |
52 61
|
eqtrdi |
|- ( dom ( recs ( F ) |` x ) = x -> U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) = U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
63 |
51 62
|
uneq12d |
|- ( dom ( recs ( F ) |` x ) = x -> ( ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) u. U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) = ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
64 |
49 50 63
|
3syl |
|- ( x e. On -> ( ( g ` dom ( recs ( F ) |` x ) ) u. U_ t e. dom ( recs ( F ) |` x ) suc ( ( recs ( F ) |` x ) ` t ) ) = ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
65 |
46 64
|
eqtrd |
|- ( x e. On -> ( recs ( F ) ` x ) = ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
66 |
5 65
|
syl |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( recs ( F ) ` x ) = ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
67 |
23 66
|
eqtrd |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( G ` x ) = ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
68 |
67
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( G ` x ) = ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
69 |
|
eloni |
|- ( A e. On -> Ord A ) |
70 |
69
|
adantl |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) -> Ord A ) |
71 |
70
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> Ord A ) |
72 |
|
f1f |
|- ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A -> g : ( cf ` A ) --> A ) |
73 |
72
|
ffvelrnda |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( g ` x ) e. A ) |
74 |
73
|
adantlr |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( g ` x ) e. A ) |
75 |
74
|
3adant3 |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( g ` x ) e. A ) |
76 |
2
|
fveq1i |
|- ( G ` y ) = ( ( recs ( F ) |` ( cf ` A ) ) ` y ) |
77 |
15
|
fvresd |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( ( recs ( F ) |` ( cf ` A ) ) ` y ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
78 |
76 77
|
eqtrid |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` y ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
79 |
78
|
adantrl |
|- ( ( y e. x /\ ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) ) -> ( G ` y ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
80 |
79
|
ancoms |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> ( G ` y ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
81 |
80
|
eleq1d |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( G ` y ) e. A <-> ( recs ( F ) ` y ) e. A ) ) |
82 |
|
ordsucss |
|- ( Ord A -> ( ( recs ( F ) ` y ) e. A -> suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A ) ) |
83 |
69 82
|
syl |
|- ( A e. On -> ( ( recs ( F ) ` y ) e. A -> suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A ) ) |
84 |
83
|
ad2antrr |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( recs ( F ) ` y ) e. A -> suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A ) ) |
85 |
81 84
|
sylbid |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( G ` y ) e. A -> suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A ) ) |
86 |
85
|
ralimdva |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( A. y e. x ( G ` y ) e. A -> A. y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A ) ) |
87 |
|
iunss |
|- ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A <-> A. y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A ) |
88 |
86 87
|
syl6ibr |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( A. y e. x ( G ` y ) e. A -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A ) ) |
89 |
88
|
3impia |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A ) |
90 |
|
onelon |
|- ( ( A e. On /\ ( recs ( F ) ` y ) e. A ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. On ) |
91 |
90
|
ex |
|- ( A e. On -> ( ( recs ( F ) ` y ) e. A -> ( recs ( F ) ` y ) e. On ) ) |
92 |
91
|
ad2antrr |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( recs ( F ) ` y ) e. A -> ( recs ( F ) ` y ) e. On ) ) |
93 |
81 92
|
sylbid |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( G ` y ) e. A -> ( recs ( F ) ` y ) e. On ) ) |
94 |
|
suceloni |
|- ( ( recs ( F ) ` y ) e. On -> suc ( recs ( F ) ` y ) e. On ) |
95 |
93 94
|
syl6 |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( G ` y ) e. A -> suc ( recs ( F ) ` y ) e. On ) ) |
96 |
95
|
ralimdva |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( A. y e. x ( G ` y ) e. A -> A. y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. On ) ) |
97 |
96
|
3impia |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> A. y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. On ) |
98 |
|
iunon |
|- ( ( x e. _V /\ A. y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. On ) -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. On ) |
99 |
28 97 98
|
sylancr |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. On ) |
100 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> A e. On ) |
101 |
|
onsseleq |
|- ( ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. On /\ A e. On ) -> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A <-> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A \/ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A ) ) ) |
102 |
99 100 101
|
syl2anc |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A <-> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A \/ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A ) ) ) |
103 |
|
idd |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) ) |
104 |
|
simpll |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> x e. ( cf ` A ) ) |
105 |
|
simprr |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> A e. On ) |
106 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> x e. On ) |
107 |
5 49
|
syl |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( recs ( F ) |` x ) Fn x ) |
108 |
107
|
adantr |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( recs ( F ) |` x ) Fn x ) |
109 |
78
|
ancoms |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ y e. x ) -> ( G ` y ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
110 |
|
fvres |
|- ( y e. x -> ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
111 |
110
|
adantl |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ y e. x ) -> ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
112 |
109 111
|
eqtr4d |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ y e. x ) -> ( G ` y ) = ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) ) |
113 |
112
|
eleq1d |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ y e. x ) -> ( ( G ` y ) e. A <-> ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) e. A ) ) |
114 |
113
|
ralbidva |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( A. y e. x ( G ` y ) e. A <-> A. y e. x ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) e. A ) ) |
115 |
114
|
biimpa |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> A. y e. x ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) e. A ) |
116 |
|
ffnfv |
|- ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A <-> ( ( recs ( F ) |` x ) Fn x /\ A. y e. x ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) e. A ) ) |
117 |
108 115 116
|
sylanbrc |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( recs ( F ) |` x ) : x --> A ) |
118 |
|
eleq2 |
|- ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A -> ( t e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) <-> t e. A ) ) |
119 |
118
|
biimpar |
|- ( ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ t e. A ) -> t e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
120 |
119
|
adantrl |
|- ( ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ ( A e. On /\ t e. A ) ) -> t e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
121 |
120
|
3adant1 |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ ( A e. On /\ t e. A ) ) -> t e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
122 |
|
onelon |
|- ( ( A e. On /\ t e. A ) -> t e. On ) |
123 |
110
|
adantl |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ y e. x ) -> ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
124 |
|
ffvelrn |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ y e. x ) -> ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) e. A ) |
125 |
123 124
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ y e. x ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. A ) |
126 |
125 90
|
sylan2 |
|- ( ( A e. On /\ ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ y e. x ) ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. On ) |
127 |
126
|
adantlr |
|- ( ( ( A e. On /\ t e. A ) /\ ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ y e. x ) ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. On ) |
128 |
|
onsssuc |
|- ( ( t e. On /\ ( recs ( F ) ` y ) e. On ) -> ( t C_ ( recs ( F ) ` y ) <-> t e. suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
129 |
122 127 128
|
syl2an2r |
|- ( ( ( A e. On /\ t e. A ) /\ ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ y e. x ) ) -> ( t C_ ( recs ( F ) ` y ) <-> t e. suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
130 |
129
|
anassrs |
|- ( ( ( ( A e. On /\ t e. A ) /\ ( recs ( F ) |` x ) : x --> A ) /\ y e. x ) -> ( t C_ ( recs ( F ) ` y ) <-> t e. suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
131 |
130
|
rexbidva |
|- ( ( ( A e. On /\ t e. A ) /\ ( recs ( F ) |` x ) : x --> A ) -> ( E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) <-> E. y e. x t e. suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
132 |
|
eliun |
|- ( t e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) <-> E. y e. x t e. suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
133 |
131 132
|
bitr4di |
|- ( ( ( A e. On /\ t e. A ) /\ ( recs ( F ) |` x ) : x --> A ) -> ( E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) <-> t e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
134 |
133
|
ancoms |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ ( A e. On /\ t e. A ) ) -> ( E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) <-> t e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
135 |
134
|
3adant2 |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ ( A e. On /\ t e. A ) ) -> ( E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) <-> t e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
136 |
121 135
|
mpbird |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ ( A e. On /\ t e. A ) ) -> E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) |
137 |
136
|
3expa |
|- ( ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A ) /\ ( A e. On /\ t e. A ) ) -> E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) |
138 |
137
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A ) /\ A e. On ) /\ t e. A ) -> E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) |
139 |
138
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A ) /\ A e. On ) -> A. t e. A E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) |
140 |
139
|
expl |
|- ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A -> ( ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) -> A. t e. A E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
141 |
117 140
|
syl |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) -> A. t e. A E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
142 |
141
|
imp |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> A. t e. A E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) |
143 |
|
feq1 |
|- ( f = ( recs ( F ) |` x ) -> ( f : x --> A <-> ( recs ( F ) |` x ) : x --> A ) ) |
144 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( recs ( F ) |` x ) -> ( f ` y ) = ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) ) |
145 |
144
|
sseq2d |
|- ( f = ( recs ( F ) |` x ) -> ( t C_ ( f ` y ) <-> t C_ ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) ) ) |
146 |
145
|
rexbidv |
|- ( f = ( recs ( F ) |` x ) -> ( E. y e. x t C_ ( f ` y ) <-> E. y e. x t C_ ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) ) ) |
147 |
110
|
sseq2d |
|- ( y e. x -> ( t C_ ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) <-> t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
148 |
147
|
rexbiia |
|- ( E. y e. x t C_ ( ( recs ( F ) |` x ) ` y ) <-> E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) |
149 |
146 148
|
bitrdi |
|- ( f = ( recs ( F ) |` x ) -> ( E. y e. x t C_ ( f ` y ) <-> E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
150 |
149
|
ralbidv |
|- ( f = ( recs ( F ) |` x ) -> ( A. t e. A E. y e. x t C_ ( f ` y ) <-> A. t e. A E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
151 |
143 150
|
anbi12d |
|- ( f = ( recs ( F ) |` x ) -> ( ( f : x --> A /\ A. t e. A E. y e. x t C_ ( f ` y ) ) <-> ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ A. t e. A E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) ) ) |
152 |
30 151
|
spcev |
|- ( ( ( recs ( F ) |` x ) : x --> A /\ A. t e. A E. y e. x t C_ ( recs ( F ) ` y ) ) -> E. f ( f : x --> A /\ A. t e. A E. y e. x t C_ ( f ` y ) ) ) |
153 |
117 142 152
|
syl2an2r |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> E. f ( f : x --> A /\ A. t e. A E. y e. x t C_ ( f ` y ) ) ) |
154 |
|
cfflb |
|- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( E. f ( f : x --> A /\ A. t e. A E. y e. x t C_ ( f ` y ) ) -> ( cf ` A ) C_ x ) ) |
155 |
154
|
imp |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ E. f ( f : x --> A /\ A. t e. A E. y e. x t C_ ( f ` y ) ) ) -> ( cf ` A ) C_ x ) |
156 |
105 106 153 155
|
syl21anc |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> ( cf ` A ) C_ x ) |
157 |
|
ontri1 |
|- ( ( ( cf ` A ) e. On /\ x e. On ) -> ( ( cf ` A ) C_ x <-> -. x e. ( cf ` A ) ) ) |
158 |
4 5 157
|
sylancr |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( ( cf ` A ) C_ x <-> -. x e. ( cf ` A ) ) ) |
159 |
158
|
ad2antrr |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> ( ( cf ` A ) C_ x <-> -. x e. ( cf ` A ) ) ) |
160 |
156 159
|
mpbid |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> -. x e. ( cf ` A ) ) |
161 |
104 160
|
pm2.21dd |
|- ( ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) /\ ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) ) -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) |
162 |
161
|
ex |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A /\ A e. On ) -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) ) |
163 |
162
|
expcomd |
|- ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( A e. On -> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) ) ) |
164 |
163
|
com12 |
|- ( A e. On -> ( ( x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) ) ) |
165 |
164
|
3impib |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) ) |
166 |
103 165
|
jaod |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A \/ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) = A ) -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) ) |
167 |
102 166
|
sylbid |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) C_ A -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) ) |
168 |
89 167
|
mpd |
|- ( ( A e. On /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) |
169 |
168
|
3adant1l |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) |
170 |
|
ordunel |
|- ( ( Ord A /\ ( g ` x ) e. A /\ U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) e. A ) -> ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) e. A ) |
171 |
71 75 169 170
|
syl3anc |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) e. A ) |
172 |
68 171
|
eqeltrd |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) /\ x e. ( cf ` A ) /\ A. y e. x ( G ` y ) e. A ) -> ( G ` x ) e. A ) |
173 |
172
|
3expia |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( A. y e. x ( G ` y ) e. A -> ( G ` x ) e. A ) ) |
174 |
173
|
3impa |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( A. y e. x ( G ` y ) e. A -> ( G ` x ) e. A ) ) |
175 |
20 174
|
syldc |
|- ( A. y e. x ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ y e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` y ) e. A ) -> ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` x ) e. A ) ) |
176 |
175
|
a1i |
|- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ y e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` y ) e. A ) -> ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` x ) e. A ) ) ) |
177 |
11 176
|
tfis2 |
|- ( x e. On -> ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` x ) e. A ) ) |
178 |
6 177
|
mpcom |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` x ) e. A ) |
179 |
178
|
3expia |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) -> ( x e. ( cf ` A ) -> ( G ` x ) e. A ) ) |
180 |
179
|
ralrimiv |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) -> A. x e. ( cf ` A ) ( G ` x ) e. A ) |
181 |
4
|
onssi |
|- ( cf ` A ) C_ On |
182 |
|
fnssres |
|- ( ( recs ( F ) Fn On /\ ( cf ` A ) C_ On ) -> ( recs ( F ) |` ( cf ` A ) ) Fn ( cf ` A ) ) |
183 |
2
|
fneq1i |
|- ( G Fn ( cf ` A ) <-> ( recs ( F ) |` ( cf ` A ) ) Fn ( cf ` A ) ) |
184 |
182 183
|
sylibr |
|- ( ( recs ( F ) Fn On /\ ( cf ` A ) C_ On ) -> G Fn ( cf ` A ) ) |
185 |
25 181 184
|
mp2an |
|- G Fn ( cf ` A ) |
186 |
|
ffnfv |
|- ( G : ( cf ` A ) --> A <-> ( G Fn ( cf ` A ) /\ A. x e. ( cf ` A ) ( G ` x ) e. A ) ) |
187 |
185 186
|
mpbiran |
|- ( G : ( cf ` A ) --> A <-> A. x e. ( cf ` A ) ( G ` x ) e. A ) |
188 |
180 187
|
sylibr |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) -> G : ( cf ` A ) --> A ) |
189 |
188
|
adantlr |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) ) /\ A e. On ) -> G : ( cf ` A ) --> A ) |
190 |
|
onss |
|- ( A e. On -> A C_ On ) |
191 |
190
|
adantl |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) -> A C_ On ) |
192 |
4
|
onordi |
|- Ord ( cf ` A ) |
193 |
|
fvex |
|- ( recs ( F ) ` y ) e. _V |
194 |
193
|
sucid |
|- ( recs ( F ) ` y ) e. suc ( recs ( F ) ` y ) |
195 |
|
fveq2 |
|- ( t = y -> ( recs ( F ) ` t ) = ( recs ( F ) ` y ) ) |
196 |
|
suceq |
|- ( ( recs ( F ) ` t ) = ( recs ( F ) ` y ) -> suc ( recs ( F ) ` t ) = suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
197 |
195 196
|
syl |
|- ( t = y -> suc ( recs ( F ) ` t ) = suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
198 |
197
|
eliuni |
|- ( ( y e. x /\ ( recs ( F ) ` y ) e. suc ( recs ( F ) ` y ) ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. U_ t e. x suc ( recs ( F ) ` t ) ) |
199 |
198 60
|
eleqtrrdi |
|- ( ( y e. x /\ ( recs ( F ) ` y ) e. suc ( recs ( F ) ` y ) ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
200 |
194 199
|
mpan2 |
|- ( y e. x -> ( recs ( F ) ` y ) e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
201 |
|
elun2 |
|- ( ( recs ( F ) ` y ) e. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
202 |
200 201
|
syl |
|- ( y e. x -> ( recs ( F ) ` y ) e. ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
203 |
202
|
adantr |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
204 |
5
|
adantl |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> x e. On ) |
205 |
204 65
|
syl |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( recs ( F ) ` x ) = ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) ) |
206 |
203 205
|
eleqtrrd |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( recs ( F ) ` y ) e. ( recs ( F ) ` x ) ) |
207 |
23
|
adantl |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` x ) = ( recs ( F ) ` x ) ) |
208 |
206 78 207
|
3eltr4d |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( cf ` A ) ) -> ( G ` y ) e. ( G ` x ) ) |
209 |
208
|
expcom |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( y e. x -> ( G ` y ) e. ( G ` x ) ) ) |
210 |
209
|
ralrimiv |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> A. y e. x ( G ` y ) e. ( G ` x ) ) |
211 |
210
|
rgen |
|- A. x e. ( cf ` A ) A. y e. x ( G ` y ) e. ( G ` x ) |
212 |
|
issmo2 |
|- ( G : ( cf ` A ) --> A -> ( ( A C_ On /\ Ord ( cf ` A ) /\ A. x e. ( cf ` A ) A. y e. x ( G ` y ) e. ( G ` x ) ) -> Smo G ) ) |
213 |
212
|
com12 |
|- ( ( A C_ On /\ Ord ( cf ` A ) /\ A. x e. ( cf ` A ) A. y e. x ( G ` y ) e. ( G ` x ) ) -> ( G : ( cf ` A ) --> A -> Smo G ) ) |
214 |
192 211 213
|
mp3an23 |
|- ( A C_ On -> ( G : ( cf ` A ) --> A -> Smo G ) ) |
215 |
191 188 214
|
sylc |
|- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A e. On ) -> Smo G ) |
216 |
215
|
adantlr |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) ) /\ A e. On ) -> Smo G ) |
217 |
|
fveq2 |
|- ( x = w -> ( g ` x ) = ( g ` w ) ) |
218 |
|
fveq2 |
|- ( x = w -> ( G ` x ) = ( G ` w ) ) |
219 |
217 218
|
sseq12d |
|- ( x = w -> ( ( g ` x ) C_ ( G ` x ) <-> ( g ` w ) C_ ( G ` w ) ) ) |
220 |
|
ssun1 |
|- ( g ` x ) C_ ( ( g ` x ) u. U_ y e. x suc ( recs ( F ) ` y ) ) |
221 |
220 67
|
sseqtrrid |
|- ( x e. ( cf ` A ) -> ( g ` x ) C_ ( G ` x ) ) |
222 |
219 221
|
vtoclga |
|- ( w e. ( cf ` A ) -> ( g ` w ) C_ ( G ` w ) ) |
223 |
|
sstr |
|- ( ( z C_ ( g ` w ) /\ ( g ` w ) C_ ( G ` w ) ) -> z C_ ( G ` w ) ) |
224 |
223
|
expcom |
|- ( ( g ` w ) C_ ( G ` w ) -> ( z C_ ( g ` w ) -> z C_ ( G ` w ) ) ) |
225 |
222 224
|
syl |
|- ( w e. ( cf ` A ) -> ( z C_ ( g ` w ) -> z C_ ( G ` w ) ) ) |
226 |
225
|
reximia |
|- ( E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) -> E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( G ` w ) ) |
227 |
226
|
ralimi |
|- ( A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) -> A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( G ` w ) ) |
228 |
227
|
ad2antlr |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) ) /\ A e. On ) -> A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( G ` w ) ) |
229 |
|
fnex |
|- ( ( G Fn ( cf ` A ) /\ ( cf ` A ) e. On ) -> G e. _V ) |
230 |
185 4 229
|
mp2an |
|- G e. _V |
231 |
|
feq1 |
|- ( f = G -> ( f : ( cf ` A ) --> A <-> G : ( cf ` A ) --> A ) ) |
232 |
|
smoeq |
|- ( f = G -> ( Smo f <-> Smo G ) ) |
233 |
|
fveq1 |
|- ( f = G -> ( f ` w ) = ( G ` w ) ) |
234 |
233
|
sseq2d |
|- ( f = G -> ( z C_ ( f ` w ) <-> z C_ ( G ` w ) ) ) |
235 |
234
|
rexbidv |
|- ( f = G -> ( E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) <-> E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( G ` w ) ) ) |
236 |
235
|
ralbidv |
|- ( f = G -> ( A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) <-> A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( G ` w ) ) ) |
237 |
231 232 236
|
3anbi123d |
|- ( f = G -> ( ( f : ( cf ` A ) --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) <-> ( G : ( cf ` A ) --> A /\ Smo G /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( G ` w ) ) ) ) |
238 |
230 237
|
spcev |
|- ( ( G : ( cf ` A ) --> A /\ Smo G /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( G ` w ) ) -> E. f ( f : ( cf ` A ) --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) |
239 |
189 216 228 238
|
syl3anc |
|- ( ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) ) /\ A e. On ) -> E. f ( f : ( cf ` A ) --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) |
240 |
239
|
expcom |
|- ( A e. On -> ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) ) -> E. f ( f : ( cf ` A ) --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) ) |
241 |
240
|
exlimdv |
|- ( A e. On -> ( E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( g ` w ) ) -> E. f ( f : ( cf ` A ) --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) ) |
242 |
3 241
|
mpd |
|- ( A e. On -> E. f ( f : ( cf ` A ) --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) |