Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hgt750leme.o |
⊢ 𝑂 = { 𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧 } |
2 |
|
hgt750leme.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
3 |
|
hgt750leme.0 |
⊢ ( 𝜑 → ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ≤ 𝑁 ) |
4 |
|
hgt750leme.h |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
5 |
|
hgt750leme.k |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
6 |
|
hgt750leme.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝐾 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ) |
7 |
|
hgt750leme.2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) |
8 |
2
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
9 |
|
3nn0 |
⊢ 3 ∈ ℕ0 |
10 |
9
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℕ0 ) |
11 |
|
ssidd |
⊢ ( 𝜑 → ℕ ⊆ ℕ ) |
12 |
8 10 11
|
reprfi2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∈ Fin ) |
13 |
|
diffi |
⊢ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∈ Fin → ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ∈ Fin ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ∈ Fin ) |
15 |
|
vmaf |
⊢ Λ : ℕ ⟶ ℝ |
16 |
15
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → Λ : ℕ ⟶ ℝ ) |
17 |
|
ssidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ℕ ⊆ ℕ ) |
18 |
2
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
20 |
9
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 3 ∈ ℕ0 ) |
21 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) |
22 |
21
|
eldifad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) |
23 |
17 19 20 22
|
reprf |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 𝑛 : ( 0 ..^ 3 ) ⟶ ℕ ) |
24 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
25 |
24
|
tpid1 |
⊢ 0 ∈ { 0 , 1 , 2 } |
26 |
|
fzo0to3tp |
⊢ ( 0 ..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 } |
27 |
25 26
|
eleqtrri |
⊢ 0 ∈ ( 0 ..^ 3 ) |
28 |
27
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 0 ∈ ( 0 ..^ 3 ) ) |
29 |
23 28
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝑛 ‘ 0 ) ∈ ℕ ) |
30 |
16 29
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ∈ ℝ ) |
31 |
|
rge0ssre |
⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ |
32 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 𝐻 : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
33 |
32 29
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
34 |
31 33
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ∈ ℝ ) |
35 |
30 34
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ) ∈ ℝ ) |
36 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
37 |
36
|
tpid2 |
⊢ 1 ∈ { 0 , 1 , 2 } |
38 |
37 26
|
eleqtrri |
⊢ 1 ∈ ( 0 ..^ 3 ) |
39 |
38
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 1 ∈ ( 0 ..^ 3 ) ) |
40 |
23 39
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝑛 ‘ 1 ) ∈ ℕ ) |
41 |
16 40
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ ) |
42 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 𝐾 : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
43 |
42 40
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
44 |
31 43
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ ) |
45 |
41 44
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
46 |
|
2ex |
⊢ 2 ∈ V |
47 |
46
|
tpid3 |
⊢ 2 ∈ { 0 , 1 , 2 } |
48 |
47 26
|
eleqtrri |
⊢ 2 ∈ ( 0 ..^ 3 ) |
49 |
48
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → 2 ∈ ( 0 ..^ 3 ) ) |
50 |
23 49
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝑛 ‘ 2 ) ∈ ℕ ) |
51 |
16 50
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
52 |
42 50
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
53 |
31 52
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
54 |
51 53
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
55 |
45 54
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
56 |
35 55
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ) · ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
57 |
14 56
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ) · ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
58 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
59 |
58
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℝ ) |
60 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
61 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
62 |
|
7nn0 |
⊢ 7 ∈ ℕ0 |
63 |
|
9nn0 |
⊢ 9 ∈ ℕ0 |
64 |
|
5nn0 |
⊢ 5 ∈ ℕ0 |
65 |
|
5nn |
⊢ 5 ∈ ℕ |
66 |
|
nnrp |
⊢ ( 5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℝ+ ) |
67 |
65 66
|
ax-mp |
⊢ 5 ∈ ℝ+ |
68 |
64 67
|
rpdp2cl |
⊢ _ 5 5 ∈ ℝ+ |
69 |
63 68
|
rpdp2cl |
⊢ _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ+ |
70 |
63 69
|
rpdp2cl |
⊢ _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ+ |
71 |
62 70
|
rpdp2cl |
⊢ _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ+ |
72 |
61 71
|
rpdp2cl |
⊢ _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ+ |
73 |
60 72
|
rpdpcl |
⊢ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∈ ℝ+ |
74 |
73
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∈ ℝ+ ) |
75 |
74
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∈ ℝ ) |
76 |
75
|
resqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
77 |
|
4nn0 |
⊢ 4 ∈ ℕ0 |
78 |
|
4nn |
⊢ 4 ∈ ℕ |
79 |
|
nnrp |
⊢ ( 4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+ ) |
80 |
78 79
|
ax-mp |
⊢ 4 ∈ ℝ+ |
81 |
60 80
|
rpdp2cl |
⊢ _ 1 4 ∈ ℝ+ |
82 |
77 81
|
rpdp2cl |
⊢ _ 4 _ 1 4 ∈ ℝ+ |
83 |
60 82
|
rpdpcl |
⊢ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∈ ℝ+ |
84 |
83
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∈ ℝ+ ) |
85 |
84
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∈ ℝ ) |
86 |
76 85
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) ∈ ℝ ) |
87 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑑 = 𝑐 → ( 𝑑 ‘ 0 ) = ( 𝑐 ‘ 0 ) ) |
88 |
87
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑑 = 𝑐 → ( ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) ↔ ( 𝑐 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) ) ) |
89 |
88
|
notbid |
⊢ ( 𝑑 = 𝑐 → ( ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) ↔ ¬ ( 𝑐 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) ) ) |
90 |
89
|
cbvrabv |
⊢ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } = { 𝑐 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑐 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } |
91 |
90
|
ssrab3 |
⊢ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ⊆ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) |
92 |
|
ssfi |
⊢ ( ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∈ Fin ∧ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ⊆ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) → { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ∈ Fin ) |
93 |
12 91 92
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ∈ Fin ) |
94 |
15
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → Λ : ℕ ⟶ ℝ ) |
95 |
|
ssidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ℕ ⊆ ℕ ) |
96 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
97 |
9
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → 3 ∈ ℕ0 ) |
98 |
91
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ⊆ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) |
99 |
98
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → 𝑛 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) |
100 |
95 96 97 99
|
reprf |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → 𝑛 : ( 0 ..^ 3 ) ⟶ ℕ ) |
101 |
27
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → 0 ∈ ( 0 ..^ 3 ) ) |
102 |
100 101
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ( 𝑛 ‘ 0 ) ∈ ℕ ) |
103 |
94 102
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ∈ ℝ ) |
104 |
38
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → 1 ∈ ( 0 ..^ 3 ) ) |
105 |
100 104
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ( 𝑛 ‘ 1 ) ∈ ℕ ) |
106 |
94 105
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ ) |
107 |
48
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → 2 ∈ ( 0 ..^ 3 ) ) |
108 |
100 107
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ( 𝑛 ‘ 2 ) ∈ ℕ ) |
109 |
94 108
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
110 |
106 109
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
111 |
103 110
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
112 |
93 111
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
113 |
86 112
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
114 |
59 113
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
115 |
|
4re |
⊢ 4 ∈ ℝ |
116 |
|
8re |
⊢ 8 ∈ ℝ |
117 |
115 116
|
pm3.2i |
⊢ ( 4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ ) |
118 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ ) → _ 4 8 ∈ ℝ ) |
119 |
117 118
|
ax-mp |
⊢ _ 4 8 ∈ ℝ |
120 |
58 119
|
pm3.2i |
⊢ ( 3 ∈ ℝ ∧ _ 4 8 ∈ ℝ ) |
121 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 3 ∈ ℝ ∧ _ 4 8 ∈ ℝ ) → _ 3 _ 4 8 ∈ ℝ ) |
122 |
120 121
|
ax-mp |
⊢ _ 3 _ 4 8 ∈ ℝ |
123 |
|
dpcl |
⊢ ( ( 7 ∈ ℕ0 ∧ _ 3 _ 4 8 ∈ ℝ ) → ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) ∈ ℝ ) |
124 |
62 122 123
|
mp2an |
⊢ ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) ∈ ℝ |
125 |
124
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) ∈ ℝ ) |
126 |
2
|
nnrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
127 |
126
|
relogcld |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
128 |
2
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ ) |
129 |
126
|
rpge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑁 ) |
130 |
128 129
|
resqrtcld |
⊢ ( 𝜑 → ( √ ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
131 |
126
|
rpsqrtcld |
⊢ ( 𝜑 → ( √ ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
132 |
131
|
rpne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( √ ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
133 |
127 130 132
|
redivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
134 |
125 133
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ) |
135 |
128
|
resqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
136 |
134 135
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
137 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
138 |
|
7re |
⊢ 7 ∈ ℝ |
139 |
|
9re |
⊢ 9 ∈ ℝ |
140 |
|
5re |
⊢ 5 ∈ ℝ |
141 |
140 140
|
pm3.2i |
⊢ ( 5 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ ) |
142 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 5 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ ) → _ 5 5 ∈ ℝ ) |
143 |
141 142
|
ax-mp |
⊢ _ 5 5 ∈ ℝ |
144 |
139 143
|
pm3.2i |
⊢ ( 9 ∈ ℝ ∧ _ 5 5 ∈ ℝ ) |
145 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 9 ∈ ℝ ∧ _ 5 5 ∈ ℝ ) → _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) |
146 |
144 145
|
ax-mp |
⊢ _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ |
147 |
139 146
|
pm3.2i |
⊢ ( 9 ∈ ℝ ∧ _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) |
148 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 9 ∈ ℝ ∧ _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) → _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) |
149 |
147 148
|
ax-mp |
⊢ _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ |
150 |
138 149
|
pm3.2i |
⊢ ( 7 ∈ ℝ ∧ _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) |
151 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 7 ∈ ℝ ∧ _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) → _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) |
152 |
150 151
|
ax-mp |
⊢ _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ |
153 |
137 152
|
pm3.2i |
⊢ ( 0 ∈ ℝ ∧ _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) |
154 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) → _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) |
155 |
153 154
|
ax-mp |
⊢ _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ |
156 |
|
dpcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℕ0 ∧ _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ∈ ℝ ) → ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∈ ℝ ) |
157 |
60 155 156
|
mp2an |
⊢ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∈ ℝ |
158 |
157
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∈ ℝ ) |
159 |
158
|
resqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
160 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
161 |
160 115
|
pm3.2i |
⊢ ( 1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ) |
162 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ) → _ 1 4 ∈ ℝ ) |
163 |
161 162
|
ax-mp |
⊢ _ 1 4 ∈ ℝ |
164 |
115 163
|
pm3.2i |
⊢ ( 4 ∈ ℝ ∧ _ 1 4 ∈ ℝ ) |
165 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 4 ∈ ℝ ∧ _ 1 4 ∈ ℝ ) → _ 4 _ 1 4 ∈ ℝ ) |
166 |
164 165
|
ax-mp |
⊢ _ 4 _ 1 4 ∈ ℝ |
167 |
|
dpcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℕ0 ∧ _ 4 _ 1 4 ∈ ℝ ) → ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∈ ℝ ) |
168 |
60 166 167
|
mp2an |
⊢ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∈ ℝ |
169 |
168
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∈ ℝ ) |
170 |
159 169
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) ∈ ℝ ) |
171 |
41 51
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
172 |
30 171
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
173 |
14 172
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
174 |
170 173
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
175 |
59 112
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
176 |
170 175
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( 3 · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
177 |
14 158 169 4 5 29 40 50 6 7
|
hgt750lemf |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ) · ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) |
178 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
179 |
178
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℝ ) |
180 |
|
10nn0 |
⊢ ; 1 0 ∈ ℕ0 |
181 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
182 |
181 62
|
deccl |
⊢ ; 2 7 ∈ ℕ0 |
183 |
180 182
|
nn0expcli |
⊢ ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ∈ ℕ0 |
184 |
183
|
nn0rei |
⊢ ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ∈ ℝ |
185 |
184
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ∈ ℝ ) |
186 |
180
|
numexp1 |
⊢ ( ; 1 0 ↑ 1 ) = ; 1 0 |
187 |
180
|
nn0rei |
⊢ ; 1 0 ∈ ℝ |
188 |
186 187
|
eqeltri |
⊢ ( ; 1 0 ↑ 1 ) ∈ ℝ |
189 |
188
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ; 1 0 ↑ 1 ) ∈ ℝ ) |
190 |
|
1nn |
⊢ 1 ∈ ℕ |
191 |
|
2lt9 |
⊢ 2 < 9 |
192 |
178 139 191
|
ltleii |
⊢ 2 ≤ 9 |
193 |
190 61 181 192
|
declei |
⊢ 2 ≤ ; 1 0 |
194 |
193 186
|
breqtrri |
⊢ 2 ≤ ( ; 1 0 ↑ 1 ) |
195 |
194
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≤ ( ; 1 0 ↑ 1 ) ) |
196 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
197 |
182
|
nn0zi |
⊢ ; 2 7 ∈ ℤ |
198 |
187 196 197
|
3pm3.2i |
⊢ ( ; 1 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ; 2 7 ∈ ℤ ) |
199 |
|
1lt10 |
⊢ 1 < ; 1 0 |
200 |
198 199
|
pm3.2i |
⊢ ( ( ; 1 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ; 2 7 ∈ ℤ ) ∧ 1 < ; 1 0 ) |
201 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
202 |
|
1lt9 |
⊢ 1 < 9 |
203 |
160 139 202
|
ltleii |
⊢ 1 ≤ 9 |
204 |
201 62 60 203
|
declei |
⊢ 1 ≤ ; 2 7 |
205 |
|
leexp2 |
⊢ ( ( ( ; 1 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ; 2 7 ∈ ℤ ) ∧ 1 < ; 1 0 ) → ( 1 ≤ ; 2 7 ↔ ( ; 1 0 ↑ 1 ) ≤ ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ) ) |
206 |
205
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( ; 1 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ; 2 7 ∈ ℤ ) ∧ 1 < ; 1 0 ) ∧ 1 ≤ ; 2 7 ) → ( ; 1 0 ↑ 1 ) ≤ ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ) |
207 |
200 204 206
|
mp2an |
⊢ ( ; 1 0 ↑ 1 ) ≤ ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) |
208 |
207
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ; 1 0 ↑ 1 ) ≤ ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ) |
209 |
179 189 185 195 208
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≤ ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ) |
210 |
179 185 128 209 3
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≤ 𝑁 ) |
211 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑒 ∈ { 𝑐 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑐 ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ↦ ( 𝑒 ∘ if ( 𝑎 = 0 , ( I ↾ ( 0 ..^ 3 ) ) , ( ( pmTrsp ‘ ( 0 ..^ 3 ) ) ‘ { 𝑎 , 0 } ) ) ) ) = ( 𝑒 ∈ { 𝑐 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑐 ‘ 𝑎 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ↦ ( 𝑒 ∘ if ( 𝑎 = 0 , ( I ↾ ( 0 ..^ 3 ) ) , ( ( pmTrsp ‘ ( 0 ..^ 3 ) ) ‘ { 𝑎 , 0 } ) ) ) ) |
212 |
1 2 210 90 211
|
hgt750lema |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ≤ ( 3 · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) |
213 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
214 |
213
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℤ ) |
215 |
74 214
|
rpexpcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ+ ) |
216 |
215 84
|
rpmulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) ∈ ℝ+ ) |
217 |
173 175 216
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ≤ ( 3 · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( 3 · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) |
218 |
212 217
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( 3 · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
219 |
57 174 176 177 218
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ) · ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( 3 · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
220 |
158
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∈ ℂ ) |
221 |
220
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
222 |
169
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∈ ℂ ) |
223 |
221 222
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) ∈ ℂ ) |
224 |
|
3cn |
⊢ 3 ∈ ℂ |
225 |
224
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℂ ) |
226 |
112
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
227 |
223 225 226
|
mul12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( 3 · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) = ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
228 |
219 227
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ) · ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ) |
229 |
|
fzfi |
⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin |
230 |
|
diffi |
⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin → ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∈ Fin ) |
231 |
229 230
|
ax-mp |
⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∈ Fin |
232 |
|
snfi |
⊢ { 2 } ∈ Fin |
233 |
|
unfi |
⊢ ( ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∈ Fin ∧ { 2 } ∈ Fin ) → ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ∈ Fin ) |
234 |
231 232 233
|
mp2an |
⊢ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ∈ Fin |
235 |
234
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ∈ Fin ) |
236 |
15
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ) → Λ : ℕ ⟶ ℝ ) |
237 |
|
fz1ssnn |
⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ⊆ ℕ |
238 |
237
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝑁 ) ⊆ ℕ ) |
239 |
238
|
ssdifssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ⊆ ℕ ) |
240 |
201
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℕ ) |
241 |
240
|
snssd |
⊢ ( 𝜑 → { 2 } ⊆ ℕ ) |
242 |
239 241
|
unssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ⊆ ℕ ) |
243 |
242
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ) → 𝑖 ∈ ℕ ) |
244 |
236 243
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ) → ( Λ ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
245 |
235 244
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
246 |
|
chpvalz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ψ ‘ 𝑁 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) |
247 |
18 246
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ψ ‘ 𝑁 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) |
248 |
|
chpf |
⊢ ψ : ℝ ⟶ ℝ |
249 |
248
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ψ : ℝ ⟶ ℝ ) |
250 |
249 128
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ψ ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
251 |
247 250
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
252 |
245 251
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
253 |
127 252
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ∈ ℝ ) |
254 |
86 253
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
255 |
59 254
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
256 |
1 2 210 90
|
hgt750lemb |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
257 |
112 253 216
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
258 |
256 257
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) |
259 |
|
3rp |
⊢ 3 ∈ ℝ+ |
260 |
259
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℝ+ ) |
261 |
113 254 260
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ↔ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
262 |
258 261
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
263 |
|
6re |
⊢ 6 ∈ ℝ |
264 |
263 58
|
pm3.2i |
⊢ ( 6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ) |
265 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ) → _ 6 3 ∈ ℝ ) |
266 |
264 265
|
ax-mp |
⊢ _ 6 3 ∈ ℝ |
267 |
178 266
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ _ 6 3 ∈ ℝ ) |
268 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ _ 6 3 ∈ ℝ ) → _ 2 _ 6 3 ∈ ℝ ) |
269 |
267 268
|
ax-mp |
⊢ _ 2 _ 6 3 ∈ ℝ |
270 |
115 269
|
pm3.2i |
⊢ ( 4 ∈ ℝ ∧ _ 2 _ 6 3 ∈ ℝ ) |
271 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 4 ∈ ℝ ∧ _ 2 _ 6 3 ∈ ℝ ) → _ 4 _ 2 _ 6 3 ∈ ℝ ) |
272 |
270 271
|
ax-mp |
⊢ _ 4 _ 2 _ 6 3 ∈ ℝ |
273 |
|
dpcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℕ0 ∧ _ 4 _ 2 _ 6 3 ∈ ℝ ) → ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) ∈ ℝ ) |
274 |
60 272 273
|
mp2an |
⊢ ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) ∈ ℝ |
275 |
274
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) ∈ ℝ ) |
276 |
275 130
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
277 |
116 58
|
pm3.2i |
⊢ ( 8 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ) |
278 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 8 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ) → _ 8 3 ∈ ℝ ) |
279 |
277 278
|
ax-mp |
⊢ _ 8 3 ∈ ℝ |
280 |
116 279
|
pm3.2i |
⊢ ( 8 ∈ ℝ ∧ _ 8 3 ∈ ℝ ) |
281 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 8 ∈ ℝ ∧ _ 8 3 ∈ ℝ ) → _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ ) |
282 |
280 281
|
ax-mp |
⊢ _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ |
283 |
58 282
|
pm3.2i |
⊢ ( 3 ∈ ℝ ∧ _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ ) |
284 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 3 ∈ ℝ ∧ _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ ) → _ 3 _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ ) |
285 |
283 284
|
ax-mp |
⊢ _ 3 _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ |
286 |
137 285
|
pm3.2i |
⊢ ( 0 ∈ ℝ ∧ _ 3 _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ ) |
287 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ _ 3 _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ ) → _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ ) |
288 |
286 287
|
ax-mp |
⊢ _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ |
289 |
|
dpcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℕ0 ∧ _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ∈ ℝ ) → ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ∈ ℝ ) |
290 |
60 288 289
|
mp2an |
⊢ ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ∈ ℝ |
291 |
290
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ∈ ℝ ) |
292 |
291 128
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
293 |
276 292
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
294 |
127 293
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ) |
295 |
86 294
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
296 |
59 295
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
297 |
|
vmage0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑖 ) ) |
298 |
243 297
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ) → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑖 ) ) |
299 |
235 244 298
|
fsumge0 |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) ) |
300 |
2 3
|
hgt750lemd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) < ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) |
301 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
302 |
15
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → Λ : ℕ ⟶ ℝ ) |
303 |
238
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ ) |
304 |
302 303
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( Λ ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
305 |
|
vmage0 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑗 ) ) |
306 |
303 305
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑗 ) ) |
307 |
301 304 306
|
fsumge0 |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) |
308 |
2
|
hgt750lemc |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) < ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) |
309 |
245 276 251 292 299 300 307 308
|
ltmul12ad |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) < ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) |
310 |
252 293 309
|
ltled |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ≤ ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) |
311 |
160
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
312 |
|
1lt2 |
⊢ 1 < 2 |
313 |
312
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 < 2 ) |
314 |
311 179 128 313 210
|
ltletrd |
⊢ ( 𝜑 → 1 < 𝑁 ) |
315 |
128 314
|
rplogcld |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
316 |
252 293 315
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ≤ ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ↔ ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) |
317 |
310 316
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) |
318 |
253 294 216
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
319 |
317 318
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) |
320 |
254 295 260
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ≤ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ↔ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ≤ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) ) ) |
321 |
319 320
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ≤ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
322 |
157
|
resqcli |
⊢ ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ |
323 |
322 168
|
remulcli |
⊢ ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) ∈ ℝ |
324 |
274 290
|
remulcli |
⊢ ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ∈ ℝ |
325 |
323 324
|
remulcli |
⊢ ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ∈ ℝ |
326 |
58 325
|
remulcli |
⊢ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) ∈ ℝ |
327 |
|
hgt750lem2 |
⊢ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) < ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) |
328 |
326 124 327
|
ltleii |
⊢ ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) ≤ ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) |
329 |
326
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
330 |
315 131
|
rpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℝ+ ) |
331 |
126 214
|
rpexpcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℝ+ ) |
332 |
330 331
|
rpmulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ+ ) |
333 |
329 125 332
|
lemul1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) ≤ ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) ↔ ( ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) · ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ≤ ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
334 |
328 333
|
mpbii |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) · ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ≤ ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ) |
335 |
275
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) ∈ ℂ ) |
336 |
130
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( √ ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
337 |
291
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ∈ ℂ ) |
338 |
128
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
339 |
335 336 337 338
|
mul4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) = ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) ) |
340 |
339
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) = ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) ) ) |
341 |
127
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( log ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
342 |
335 337
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ∈ ℂ ) |
343 |
336 338
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
344 |
342 343
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
345 |
341 344
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) ) = ( ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
346 |
340 345
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) = ( ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
347 |
342 343 341
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) = ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
348 |
346 347
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
349 |
348
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) ) |
350 |
86
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) ∈ ℂ ) |
351 |
343 341
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
352 |
350 342 351
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) ) |
353 |
349 352
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
354 |
353
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 3 · ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) ) |
355 |
59
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℂ ) |
356 |
350 342
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ∈ ℂ ) |
357 |
355 356 351
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) = ( 3 · ( ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) ) |
358 |
354 357
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) = ( ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
359 |
135
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
360 |
341 336 359 132
|
div32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) = ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 ↑ 2 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
361 |
359 336 132
|
divcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
362 |
341 361
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 ↑ 2 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 ↑ 2 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
363 |
338
|
sqvald |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ↑ 2 ) = ( 𝑁 · 𝑁 ) ) |
364 |
363
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) |
365 |
338 338 336 132
|
divassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 · 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑁 · ( 𝑁 / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
366 |
|
divsqrtid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ+ → ( 𝑁 / ( √ ‘ 𝑁 ) ) = ( √ ‘ 𝑁 ) ) |
367 |
126 366
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 / ( √ ‘ 𝑁 ) ) = ( √ ‘ 𝑁 ) ) |
368 |
367
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 · ( 𝑁 / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) = ( 𝑁 · ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) |
369 |
364 365 368
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑁 · ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) |
370 |
338 336
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 · ( √ ‘ 𝑁 ) ) = ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) |
371 |
369 370
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) = ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) ) |
372 |
371
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 ↑ 2 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) = ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) |
373 |
360 362 372
|
3eqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) = ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
374 |
373
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) · ( ( ( √ ‘ 𝑁 ) · 𝑁 ) · ( log ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) · ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ) |
375 |
358 374
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) = ( ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) ) ) ) · ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ) |
376 |
125
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) ∈ ℂ ) |
377 |
133
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
378 |
376 377 359
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) = ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ) |
379 |
334 375 378
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( ( ( 1 . _ 4 _ 2 _ 6 3 ) · ( √ ‘ 𝑁 ) ) · ( ( 1 . _ 0 _ 3 _ 8 _ 8 3 ) · 𝑁 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
380 |
255 296 136 321 379
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) · ( Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∖ ℙ ) ∪ { 2 } ) ( Λ ‘ 𝑖 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( Λ ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
381 |
114 255 136 262 380
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 · ( ( ( ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↑ 2 ) · ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) · Σ 𝑛 ∈ { 𝑑 ∈ ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∣ ¬ ( 𝑑 ‘ 0 ) ∈ ( 𝑂 ∩ ℙ ) } ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
382 |
57 114 136 228 381
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( ( ℕ ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ∖ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) · ( 𝐻 ‘ ( 𝑛 ‘ 0 ) ) ) · ( ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 1 ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) · ( 𝐾 ‘ ( 𝑛 ‘ 2 ) ) ) ) ) ≤ ( ( ( 7 . _ 3 _ 4 8 ) · ( ( log ‘ 𝑁 ) / ( √ ‘ 𝑁 ) ) ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |