Theorem sticksstones12a

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	sticksstones12a.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	sticksstones12a.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ )
	sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) )
	sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
	sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) }
	sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) }
Assertion	sticksstones12a	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑑 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones12a.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
2		sticksstones12a.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ )
3		sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) )
4		sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
5		sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) }
6		sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) }
7	4	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) ) )
8		0red	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ )
9	2	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝐾 )
10	8 9	ltned	⊢ ( 𝜑 → 0 ≠ 𝐾 )
11	10	necomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
12	11	neneqd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐾 = 0 )
13	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ¬ 𝐾 = 0 )
14	13	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
15		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
16	15	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
17		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
18	17	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) )
19		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
20		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
21	19 20	oveq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
22	21	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
23	18 22	ifeq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
24	16 23	ifeq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
25	24	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
26	25	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
27	26	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
28	14 27	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
29		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 ∈ 𝐵 )
30		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∈ Fin )
31	30	mptexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ V )
32	7 28 29 31	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
33	32	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
34	3	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) ) )
35		simpll	⊢ ( ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
36	35	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
37	36	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
38	37	oveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) )
39	38	mpteq2dva	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
40	39	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
41		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) )
42		eleq1	⊢ ( if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → ( if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) )
43	6	eleq2i	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ↔ 𝑑 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) } )
44		vex	⊢ 𝑑 ∈ V
45		feq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↔ 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
46		fveq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) )
47		fveq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) )
48	46 47	breq12d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
49	48	imbi2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
50	49	2ralbidv	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
51	45 50	anbi12d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) ) )
52	44 51	elab	⊢ ( 𝑑 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) } ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
53	43 52	bitri	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
54	53	biimpi	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 → ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
55	54	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
56	55	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
57		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
58	57	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
59	2	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0 )
60	59	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
61	60	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
62	2	nnge1d	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝐾 )
63	62	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ≤ 𝐾 )
64	2	nnred	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ )
65	64	leidd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐾 )
66	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ≤ 𝐾 )
67	58 61 61 63 66	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
68	56 67	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
69		elfzle2	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
70	68 69	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
71	70	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
72	71	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
73		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ )
74	73	nnnn0d	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
75	68 74	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
76	75	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
77	76	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
78	1	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
79	59	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℕ0 )
80	78 79	nn0addcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
81		nn0sub	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ) )
82	77 80 81	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ) )
83	72 82	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 )
84		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) )
85		eleq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) )
86		1le1	⊢ 1 ≤ 1
87	86	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ≤ 1 )
88	58 61 58 87 63	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
89	56 88	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
90		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
91	89 90	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
92		nnm1nn0	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
93	91 92	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
94	93	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
95	94	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
96	95	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
97	56	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
98		1zzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
99	61	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
100		elfznn	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
101	100	nnzd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
102	101	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
103		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑘 )
104	103	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
105		neqne	⊢ ( ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
106	105	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
107	106	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ≠ 𝑘 )
108	100	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
109	108	nnred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
110	64	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
111		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
112	110 111	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
113		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
114	113	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
115	109 112 114	leltned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ↔ ( 𝐾 + 1 ) ≠ 𝑘 ) )
116	107 115	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) )
117	101	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
118	61	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
119		zleltp1	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ) )
120	117 118 119	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ) )
121	116 120	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
122	121	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
123	98 99 102 104 122	elfzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
124	97 123	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
125		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ )
126	125	nnzd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
127	124 126	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
128		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
129	60	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
130	129	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
131	101	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
132	131	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
133	132	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
134	133 128	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
135		neqne	⊢ ( ¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1 )
136	135	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≠ 1 )
137		1red	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ )
138	137	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
139	133	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
140		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
141	140 103	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
142	138 139 141	leltned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 1 ) )
143	136 142	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 < 𝑘 )
144	128 133	zltp1led	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ) )
145	143 144	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
146		leaddsub	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
147	138 138 139 146	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
148	145 147	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
149	134	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
150	64	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
151		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
152	150 151	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
153	152 151	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ∈ ℝ )
154	113	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
155	139 152 151 154	lesub1dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) )
156	64	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ )
157	156	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
158		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℂ )
159	157 158	pncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) = 𝐾 )
160	65	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ≤ 𝐾 )
161	159 160	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ≤ 𝐾 )
162	149 153 150 155 161	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝐾 )
163	128 130 134 148 162	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
164	163	ad5ant135	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
165	97 164	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
166		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
167	165 166	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
168	167	nnzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℤ )
169	127 168	zsubcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
170	169 98	zsubcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
171	108	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
172	171	nnred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
173	172	ltm1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 )
174	164 123	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) )
175	55	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
176	175	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
177		breq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑥 < 𝑦 ↔ ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 ) )
178		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
179	178	breq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
180	177 179	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
181		breq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 ↔ ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 ) )
182		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
183	182	breq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
184	181 183	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) ) )
185	180 184	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
186	174 176 185	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
187	173 186	mpd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
188	167	nnred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℝ )
189	127	zred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
190	188 189	posdifd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ↔ 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
191	187 190	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
192		0zd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 ∈ ℤ )
193	192 169	zltlem1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ↔ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
194	191 193	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
195	170 194	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
196		elnn0z	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
197	195 196	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
198	84 85 96 197	ifbothda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
199	41 42 83 198	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 )
200		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
201	199 200	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 )
202		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
203		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → 𝑘 = 𝑖 )
204	203	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
205	203	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1 ) )
206	203	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) )
207	203	fvoveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) )
208	206 207	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) )
209	208	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) )
210	205 209	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
211	204 210	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
212		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
213		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ V )
214		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ V )
215		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ V )
216	214 215	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ V )
217	213 216	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ V )
218	202 211 212 217	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
219	218	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
220		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
221		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1 ) )
222		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
223		fvoveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
224	222 223	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
225	224	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
226	221 225	ifbieq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
227	220 226	ifbieq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
228		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
229		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑖 if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
230	227 228 229	cbvsum	⊢ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
231	230	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
232		eqid	⊢ 1 = 1
233		1p0e1	⊢ ( 1 + 0 ) = 1
234	232 233	eqtr4i	⊢ 1 = ( 1 + 0 )
235	234	a1i	⊢ ( 𝜑 → 1 = ( 1 + 0 ) )
236		0le1	⊢ 0 ≤ 1
237	236	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 1 )
238	137 8 64 137 62 237	le2addd	⊢ ( 𝜑 → ( 1 + 0 ) ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
239	235 238	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
240	60	peano2zd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ )
241		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) ) )
242	57 240 241	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) ) )
243	239 242	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
244	243	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
245	199	nn0cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
246		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) ) )
247		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ ( 𝐾 + 1 ) = 1 ) )
248		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) )
249		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) )
250	248 249	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) )
251	250	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) )
252	247 251	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
253	246 252	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
254	244 245 253	fsumm1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
255	156	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
256		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℂ )
257	255 256	pncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) = 𝐾 )
258	257	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
259	258	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
260		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) )
261	260	iftrued	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
262	259 261	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
263		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
264	263	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
265	264	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
266	64	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
267		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
268	266 267	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
269		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
270	269	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
271	266	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 < ( 𝐾 + 1 ) )
272	265 266 268 270 271	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) )
273	265 272	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
274	273	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) )
275	274	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
276	275	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
277		eqeq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ) )
278		eqeq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ) )
279		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 = 1 )
280	279	iftrued	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
281	280	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
282	281	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
283		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ¬ 𝑘 = 1 )
284	283	iffalsed	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
285	284	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
286	285	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
287	277 278 282 286	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
288	287	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
289		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... 𝐾 ) ∈ Fin )
290		eleq1	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ ) )
291		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ ) )
292	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
293	88	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
294	292 293	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
295	90	nnzd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
296	294 295	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
297	296	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
298		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
299	292 298	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
300	299 126	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
301	300	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
302	292	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
303		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
304	61	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
305	304	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
306	264	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
307	306	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
308	307 303	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
309		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 1 ≤ 𝑘 )
310	298 309	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝑘 )
311	310	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
312	135	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≠ 1 )
313	311 312	jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1 ) )
314		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
315	307	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
316	314 315	ltlend	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1 ) ) )
317	313 316	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 < 𝑘 )
318	303 307	zltlem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
319	317 318	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
320	308	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
321	305	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
322	315	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝑘 )
323	298 269	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
324	323	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
325	320 315 321 322 324	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝐾 )
326	303 305 308 319 325	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
327	302 326	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
328	327 166	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
329	328	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℤ )
330	301 329	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
331	290 291 297 330	ifbothda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ )
332	331	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ )
333	332	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
334	256	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℂ )
335	289 333 334	fsumsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 ) )
336		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → 1 = 𝐾 )
337	336	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 1 ... 1 ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
338	337	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 1 ... 𝐾 ) = ( 1 ... 1 ) )
339	338	sumeq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
340		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
341	232	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 = 1 )
342	341	iftrued	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
343	91	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
344	342 343	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
345		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑘 = 1 ↔ 1 = 1 ) )
346		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
347		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) )
348	346 347	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) )
349	345 348	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = 1 → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
350	349	fsum1	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
351	340 344 350	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
352	351 342	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
353	352	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
354		fveq2	⊢ ( 1 = 𝐾 → ( 𝑑 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
355	354	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
356	339 353 355	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
357	2	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℕ )
358		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
359	358	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
360	357 359	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
361	333	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
362		iftrue	⊢ ( 𝑘 = 1 → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
363	360 361 362	fsum1p	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) )
364		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
365		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
366	365	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
367		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
368		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
369	368	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
370	367 369	zltp1led	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ) )
371	366 370	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 < 𝑘 )
372	364 371	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ≠ 𝑘 )
373	372	necomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≠ 1 )
374	373	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ¬ 𝑘 = 1 )
375	374	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
376	375	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
377	376	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
378	255	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
379		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 1 ∈ ℂ )
380	378 379	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) = 𝐾 )
381	380	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 = ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) )
382	381	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) = ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) )
383	382	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
384	383	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
385		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
386	385	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
387	386	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
388		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
389	387 388	npcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) = 𝑘 )
390	389	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 = ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) )
391	390	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) )
392	391	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
393	392	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
394	393	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
395	58	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 1 ∈ ℤ )
396	61	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
397	396 395	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℤ )
398	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
399	398	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
400		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
401	396	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
402		elfznn	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) → 𝑠 ∈ ℕ )
403	402	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℕ )
404	403	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℤ )
405	404	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℤ )
406		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
407	403	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
408	405	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℝ )
409	403	nnge1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑠 )
410	407	lep1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝑠 + 1 ) )
411	406 407 408 409 410	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ≤ ( 𝑠 + 1 ) )
412		elfzle2	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
413	412	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
414	401	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
415		leaddsub	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
416	407 406 414 415	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
417	413 416	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 )
418	400 401 405 411 417	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
419	399 418	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
420		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℕ )
421	419 420	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℕ )
422	421	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℤ )
423	414 406	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ )
424	414	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ≤ 𝐾 )
425	407 423 414 413 424	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ 𝐾 )
426	400 401 404 409 425	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
427	399	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
428	426 427	mpdan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
429		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℕ )
430	428 429	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℕ )
431	430	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℤ )
432	422 431	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℤ )
433	432	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
434		fvoveq1	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) )
435		fveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
436	434 435	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
437	395 395 397 433 436	fsumshft	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
438	437	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) )
439	438	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) )
440		fveq2	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) )
441		fveq2	⊢ ( 𝑜 = ( 𝑠 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) )
442		fveq2	⊢ ( 𝑜 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
443		fveq2	⊢ ( 𝑜 = ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) )
444	380 360	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
445	56	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
446	445	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
447	446	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
448	447	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
449	380	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
450	449	eleq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ↔ 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) )
451	450	imbi1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ↔ ( 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ) )
452	448 451	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
453	452	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
454		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℕ )
455	453 454	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℕ )
456	455	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℂ )
457	440 441 442 443 397 444 456	telfsum2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
458	457	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
459	380	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
460	459	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
461	460	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
462	343	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
463	68 73	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ )
464	463	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℂ )
465	464	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℂ )
466	462 465	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
467		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
468	466 467	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
469	461 468	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
470	458 469	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
471	439 470	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
472	394 471	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
473	384 472	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
474	377 473	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
475	363 474	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
476	475	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
477	137	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℝ )
478	64	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
479	477 478	leloed	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ≤ 𝐾 ↔ ( 1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾 ) ) )
480	63 479	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾 ) )
481	480	orcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾 ) )
482	356 476 481	mpjaodan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
483		fsumconst	⊢ ( ( ( 1 ... 𝐾 ) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) )
484	289 256 483	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) )
485	59	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℕ0 )
486		hashfz1	⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) = 𝐾 )
487	485 486	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) = 𝐾 )
488	487	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) = ( 𝐾 · 1 ) )
489	255	mulridd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 · 1 ) = 𝐾 )
490	488 489	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) = 𝐾 )
491	484 490	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = 𝐾 )
492	482 491	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
493	335 492	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
494	288 493	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
495	464 255	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ∈ ℂ )
496	495	addridd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
497	496	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) )
498		0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 0 ∈ ℂ )
499	495 498	addcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
500	497 499	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
501	494 500	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
502	498 255 464	subsub2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
503	502	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) = ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
504	501 503	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
505	1	nn0cnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
506	505	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 ∈ ℂ )
507	506	subidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 − 𝑁 ) = 0 )
508	507	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 0 = ( 𝑁 − 𝑁 ) )
509	508	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
510	504 509	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
511	255 464	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℂ )
512	506 506 511	subsub4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) )
513	510 512	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) )
514	506 255 464	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
515	514	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
516	515	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
517	513 516	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
518	276 517	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
519		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ ) )
520		eleq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ ) )
521		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
522	296 521	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ )
523	522	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ )
524	521	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
525	330 524	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
526	519 520 523 525	ifbothda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ )
527	526	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ )
528	275	eleq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ ) )
529	527 528	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
530	289 529	fsumzcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
531	530	zcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
532	506 255	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℂ )
533	532 464	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℂ )
534	531 533 506	addlsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = 𝑁 ↔ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) )
535	518 534	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = 𝑁 )
536		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 = 𝑁 )
537	535 536	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = 𝑁 )
538	262 537	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = 𝑁 )
539	254 538	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = 𝑁 )
540	231 539	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = 𝑁 )
541	219 540	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 )
542	201 541	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
543		ovex	⊢ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∈ V
544	543	mptex	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ V
545		feq1	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ↔ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ) )
546		simpl	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
547	546	fveq1d	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
548	547	sumeq2dv	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
549	548	eqeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
550	545 549	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ) )
551	544 550	elab	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
552	551	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ) )
553	542 552	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } )
554	5	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } )
555	554	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } = 𝐴 )
556	553 555	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ 𝐴 )
557	289	mptexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) ∈ V )
558	34 40 556 557	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
559		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
560		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → 𝑘 = 𝑙 )
561	560	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
562	560	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1 ) )
563	560	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
564	560	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 − 1 ) = ( 𝑙 − 1 ) )
565	564	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
566	563 565	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
567	566	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
568	562 567	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
569	561 568	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
570		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℤ )
571	60	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
572	571	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
573	572	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ )
574		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
575	574	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
576		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 1 ≤ 𝑙 )
577	576	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
578	575	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
579		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
580		elfznn	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑗 ∈ ℕ )
581	579 580	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
582	581	nnred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
583	582	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
584	573	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
585		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
586	585	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
587	64	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
588		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
589	587 588	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
590		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
591	579 590	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
592	587	lep1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
593	582 587 589 591 592	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
594	593	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
595	578 583 584 586 594	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
596	570 573 575 577 595	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
597		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ V )
598		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ V )
599		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ V )
600	598 599	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ V )
601	597 600	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ V )
602	559 569 596 601	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
603	602	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
604	603	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
605		elfznn	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℕ )
606	605	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℕ )
607	606	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
608	587	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
609		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℝ )
610	608 609	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
611	581	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
612	611	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
613	591	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
614	607 612 608 586 613	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
615	608	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 < ( 𝐾 + 1 ) )
616	607 608 610 614 615	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 < ( 𝐾 + 1 ) )
617	607 616	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
618	617	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ¬ 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) )
619	618	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
620	619	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
621	620	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
622	581	nnge1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
623	57	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
624	581	nnzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
625		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝑗 ) )
626	623 624 625	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝑗 ) )
627	622 626	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
628		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ ↔ if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) )
629		eleq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ ↔ if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) )
630	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
631		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝜑 )
632	631 62	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝐾 )
633	631 60	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
634		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) )
635	623 633 634	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) )
636	632 635	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
637		eluzfz1	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
638	636 637	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
639	630 638	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
640	639 90	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
641	640	nnzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
642	641 623	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ )
643	642	zcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
644	643	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
645	644	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑙 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
646	630	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
647	633	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
648	606	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
649	606	nnge1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
650	570 647 648 649 614	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
651	646 650	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
652		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
653	651 652	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
654	653	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
655	646	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
656		1zzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
657	647	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
658	648	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
659	658 656	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℤ )
660		neqne	⊢ ( ¬ 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1 )
661	660	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ≠ 1 )
662	609	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
663	607	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ∈ ℝ )
664	649	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ≤ 𝑙 )
665	662 663 664	leltned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 1 < 𝑙 ↔ 𝑙 ≠ 1 ) )
666	661 665	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 < 𝑙 )
667	656 658	zltlem1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
668	666 667	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) )
669	659	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℝ )
670	608	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
671	663	lem1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝑙 )
672	614	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
673	669 663 670 671 672	letrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝐾 )
674	656 657 659 668 673	elfzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
675	655 674	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
676		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℤ )
677	675 676	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℤ )
678	654 677	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
679	678 656	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
680	679	zcnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
681	628 629 645 680	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
682		iftrue	⊢ ( 𝑙 = 1 → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) )
683	627 681 682	fsum1p	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
684	683	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
685	631 137	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
686	685	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℝ )
687	686 686	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 1 + 1 ) ∈ ℝ )
688		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
689	688	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
690	689	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
691	686	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 < ( 1 + 1 ) )
692		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 )
693	692	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 )
694	686 687 690 691 693	ltletrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 < 𝑙 )
695	686 694	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≠ 𝑙 )
696	695	necomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≠ 1 )
697	696	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ¬ 𝑙 = 1 )
698	697	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
699	698	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
700	699	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
701	700	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
702		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ∈ Fin )
703	630	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
704		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℤ )
705	633	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
706	686 687 691	ltled	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ ( 1 + 1 ) )
707	686 687 690 706 693	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
708	582	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
709	587	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
710		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
711	710	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
712	591	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
713	690 708 709 711 712	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
714	704 705 689 707 713	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
715	703 714	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
716	715 652	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
717	716	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℂ )
718	689 704	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℤ )
719		leaddsub	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
720	686 686 690 719	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
721	693 720	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) )
722	690 686	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℝ )
723	690	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝑙 )
724	722 690 709 723 713	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝐾 )
725	704 705 718 721 724	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
726	703 725	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
727	676	zcnd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℂ )
728	726 727	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℂ )
729	717 728	subcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
730		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℂ )
731	702 729 730	fsumsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) )
732	731	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) )
733	732	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) )
734		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℂ )
735		fsumconst	⊢ ( ( ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) )
736	702 734 735	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) )
737		hashfzp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) = ( 𝑗 − 1 ) )
738	627 737	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) = ( 𝑗 − 1 ) )
739	738	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 1 ) )
740	581	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
741	740 734	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ )
742	741	mulridd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 1 ) = ( 𝑗 − 1 ) )
743	739 742	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) = ( 𝑗 − 1 ) )
744	736 743	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( 𝑗 − 1 ) )
745	744	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) = ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
746	745	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
747	746	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) )
748	702 729	fsumcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
749	643 748 741	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
750	749	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
751	750	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
752	643 748	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
753	740 752 741	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
754	753	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
755	740 752 741	addsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) )
756	740 734	nncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) = 1 )
757		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
758	624 623	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
759	630	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
760		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
761	633	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
762		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
763	762	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
764	763	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ℤ )
765		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
766	763	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
767	766 765	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ℝ )
768		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
769	768	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
770	766	lep1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑙 + 1 ) )
771	765 766 767 769 770	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ≤ ( 𝑙 + 1 ) )
772	582	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
773	772 765	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
774	587	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
775	774 765	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ )
776		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
777	776	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
778	591	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
779	772 774 765 778	lesub1dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
780	766 773 775 777 779	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
781		leaddsub	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
782	766 765 774 781	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
783	780 782	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 )
784	760 761 764 771 783	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
785	759 784	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
786		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ℤ )
787	785 786	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ℤ )
788	582 685	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
789	582	lem1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑗 )
790	788 582 587 789 591	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝐾 )
791	790	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝐾 )
792	766 773 774 777 791	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
793	760 761 763 769 792	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
794	759 793	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
795	794 652	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
796	787 795	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ∈ ℤ )
797	796	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ∈ ℂ )
798		fvoveq1	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) )
799		fveq2	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) )
800	798 799	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) )
801	757 757 758 797 800	fsumshft	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) )
802		oveq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑤 − 1 ) = ( 𝑙 − 1 ) )
803	802	fvoveq1d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) )
804	802	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
805	803 804	oveq12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
806		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑙 ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) )
807		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑤 ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
808	805 806 807	cbvsum	⊢ Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
809	808	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
810	801 809	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
811	740 734	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
812	811	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) )
813	812	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
814	690	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℂ )
815	814 730	npcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) = 𝑙 )
816	815	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
817	816	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
818	817	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
819	813 818	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
820	810 819	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
821	820	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) )
822	821	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) )
823	756 822	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) )
824		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
825		fveq2	⊢ ( 𝑟 = ( 𝑙 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) )
826		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
827		fveq2	⊢ ( 𝑟 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
828	811 627	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
829	630	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
830		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
831	633	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
832		elfzelz	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑟 ∈ ℤ )
833	832	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ℤ )
834		elfzle1	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑟 )
835	834	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑟 )
836	833	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
837	582	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
838		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
839	837 838	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
840	839 838	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
841	587	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
842		elfzle2	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑟 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
843	842	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
844	811 591	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ≤ 𝐾 )
845	844	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ≤ 𝐾 )
846	836 840 841 843 845	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ≤ 𝐾 )
847	830 831 833 835 846	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
848	829 847	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
849		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℤ )
850	848 849	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℤ )
851	850	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℂ )
852	824 825 826 827 758 828 851	telfsum2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
853	852	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
854	853	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) )
855	811	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
856	630 579	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
857		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ℤ )
858	856 857	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ℤ )
859	855 858	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
860	859	zcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ∈ ℂ )
861	640	nnred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
862	861	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
863	860 862	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ∈ ℂ )
864	734 643 863	addassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) )
865	864	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
866	734 862	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
867	866	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
868	862 860	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
869	868 855	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
870	867 869	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
871	865 870	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
872	854 871	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
873	823 872	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
874	755 873	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
875	754 874	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
876	751 875	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
877	747 876	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
878	733 877	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
879	701 878	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
880	684 879	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
881	621 880	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
882	604 881	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
883	882	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
884	883	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) )
885		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑞 ( 𝑑 ‘ 𝑗 )
886		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑑 ‘ 𝑞 )
887		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑞 → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) )
888	885 886 887	cbvmpt	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) )
889	888	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
890	884 889	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
891	558 890	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
892	33 891	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
893	56	ffnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) )
894		dffn5	⊢ ( 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) ↔ 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
895	894	biimpi	⊢ ( 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
896	893 895	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
897	896	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) = 𝑑 )
898	892 897	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )
899	898	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑑 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )