Theorem sticksstones12a

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	sticksstones12a.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	sticksstones12a.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ )
	sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) )
	sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
	sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) }
	sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) }
Assertion	sticksstones12a	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑑 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones12a.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
2		sticksstones12a.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ )
3		sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) )
4		sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
5		sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) }
6		sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) }
7	4	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) ) )
8		0red	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ )
9	2	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝐾 )
10	8 9	ltned	⊢ ( 𝜑 → 0 ≠ 𝐾 )
11	10	necomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
12	11	neneqd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐾 = 0 )
13	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ¬ 𝐾 = 0 )
14	13	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
15		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
16	15	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
17		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
18	17	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) )
19		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
20		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
21	19 20	oveq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
22	21	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
23	18 22	ifeq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
24	16 23	ifeq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
25	24	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
26	25	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
27	26	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
28	14 27	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
29		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 ∈ 𝐵 )
30		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∈ Fin )
31	30	mptexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ V )
32	7 28 29 31	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
33	32	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
34	3	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) ) )
35		simpll	⊢ ( ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
36	35	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
37	36	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
38	37	oveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) )
39	38	mpteq2dva	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
40	39	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
41		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) )
42		eleq1	⊢ ( if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → ( if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) )
43	6	eleq2i	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ↔ 𝑑 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) } )
44		vex	⊢ 𝑑 ∈ V
45		feq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↔ 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
46		fveq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) )
47		fveq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) )
48	46 47	breq12d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
49	48	imbi2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
50	49	2ralbidv	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
51	45 50	anbi12d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) ) )
52	44 51	elab	⊢ ( 𝑑 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) } ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
53	43 52	bitri	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
54	53	biimpi	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 → ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
55	54	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
56	55	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
57		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
58	57	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
59	2	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0 )
60	59	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
61	60	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
62	2	nnge1d	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝐾 )
63	62	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ≤ 𝐾 )
64	2	nnred	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ )
65	64	leidd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐾 )
66	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ≤ 𝐾 )
67	58 61 61 63 66	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
68	56 67	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
69		elfzle2	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
70	68 69	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
71	70	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
72	71	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
73		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ )
74	73	nnnn0d	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
75	68 74	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
76	75	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
77	76	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
78	1	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
79	59	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℕ0 )
80	78 79	nn0addcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
81		nn0sub	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ) )
82	77 80 81	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ) )
83	72 82	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 )
84		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) )
85		eleq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) )
86		1le1	⊢ 1 ≤ 1
87	86	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ≤ 1 )
88	58 61 58 87 63	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
89	56 88	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
90		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
91	89 90	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
92		nnm1nn0	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
93	91 92	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
94	93	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
95	94	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
96	95	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
97	56	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
98		1zzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
99	61	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
100		elfznn	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
101	100	nnzd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
102	101	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
103		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑘 )
104	103	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
105		neqne	⊢ ( ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
106	105	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
107	106	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ≠ 𝑘 )
108	100	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
109	108	nnred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
110	64	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
111		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
112	110 111	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
113		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
114	113	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
115	109 112 114	leltned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ↔ ( 𝐾 + 1 ) ≠ 𝑘 ) )
116	107 115	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) )
117	101	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
118	61	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
119		zleltp1	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ) )
120	117 118 119	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ) )
121	116 120	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
122	121	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
123	98 99 102 104 122	elfzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
124	97 123	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
125		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ )
126	125	nnzd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
127	124 126	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
128		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
129	60	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
130	129	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
131	101	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
132	131	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
133	132	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
134	133 128	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
135		neqne	⊢ ( ¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1 )
136	135	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≠ 1 )
137		1red	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ )
138	137	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
139	133	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
140		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
141	140 103	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
142	138 139 141	leltned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 1 ) )
143	136 142	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 < 𝑘 )
144	128 133	zltp1led	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ) )
145	143 144	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
146		leaddsub	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
147	138 138 139 146	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
148	145 147	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
149	134	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
150	64	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
151		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
152	150 151	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
153	152 151	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ∈ ℝ )
154	113	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
155	139 152 151 154	lesub1dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) )
156	64	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ )
157	156	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
158		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℂ )
159	157 158	pncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) = 𝐾 )
160	65	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ≤ 𝐾 )
161	159 160	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ≤ 𝐾 )
162	149 153 150 155 161	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝐾 )
163	128 130 134 148 162	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
164	163	ad5ant135	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
165	97 164	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
166		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
167	165 166	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
168	167	nnzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℤ )
169	127 168	zsubcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
170	169 98	zsubcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
171	108	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
172	171	nnred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
173	172	ltm1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 )
174	164 123	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) )
175	55	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
176	175	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
177		breq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑥 < 𝑦 ↔ ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 ) )
178		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
179	178	breq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
180	177 179	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
181		breq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 ↔ ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 ) )
182		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
183	182	breq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
184	181 183	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) ) )
185	180 184	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
186	174 176 185	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
187	173 186	mpd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
188	167	nnred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℝ )
189	127	zred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
190	188 189	posdifd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ↔ 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
191	187 190	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
192		0zd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 ∈ ℤ )
193	192 169	zltlem1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ↔ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
194	191 193	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
195	170 194	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
196		elnn0z	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
197	195 196	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
198	84 85 96 197	ifbothda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
199	41 42 83 198	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 )
200		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
201	199 200	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 )
202		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
203		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → 𝑘 = 𝑖 )
204	203	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
205	203	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1 ) )
206	203	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) )
207	203	fvoveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) )
208	206 207	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) )
209	208	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) )
210	205 209	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
211	204 210	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
212		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
213		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ V )
214		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ V )
215		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ V )
216	214 215	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ V )
217	213 216	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ V )
218	202 211 212 217	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
219	218	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
220		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
221		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1 ) )
222		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
223		fvoveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
224	222 223	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
225	224	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
226	221 225	ifbieq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
227	220 226	ifbieq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
228		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
229		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑖 if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
230	227 228 229	cbvsum	⊢ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
231	230	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
232		eqid	⊢ 1 = 1
233		1p0e1	⊢ ( 1 + 0 ) = 1
234	232 233	eqtr4i	⊢ 1 = ( 1 + 0 )
235	234	a1i	⊢ ( 𝜑 → 1 = ( 1 + 0 ) )
236		0le1	⊢ 0 ≤ 1
237	236	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 1 )
238	137 8 64 137 62 237	le2addd	⊢ ( 𝜑 → ( 1 + 0 ) ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
239	235 238	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
240	60	peano2zd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ )
241		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) ) )
242	57 240 241	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) ) )
243	239 242	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
244	243	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
245	199	nn0cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
246		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) ) )
247		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ ( 𝐾 + 1 ) = 1 ) )
248		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) )
249		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) )
250	248 249	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) )
251	250	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) )
252	247 251	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
253	246 252	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
254	244 245 253	fsumm1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
255	156	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
256		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℂ )
257	255 256	pncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) = 𝐾 )
258	257	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
259	258	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
260		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) )
261	260	iftrued	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
262	259 261	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
263	1	nn0cnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
264	263	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 ∈ ℂ )
265	264 255	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℂ )
266	68 73	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ )
267	266	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℂ )
268	265 267	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℂ )
269		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
270	269	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
271	270	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
272	64	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
273		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
274	272 273	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
275		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
276	275	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
277	272	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 < ( 𝐾 + 1 ) )
278	271 272 274 276 277	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) )
279	271 278	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
280	279	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) )
281	280	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
282	281	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
283		eqeq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ) )
284		eqeq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ) )
285		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 = 1 )
286	285	iftrued	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
287	286	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
288	287	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
289		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ¬ 𝑘 = 1 )
290	289	iffalsed	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
291	290	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
292	291	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
293	283 284 288 292	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
294	293	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
295		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... 𝐾 ) ∈ Fin )
296		eleq1	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ ) )
297		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ ) )
298	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
299	88	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
300	298 299	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
301	90	nnzd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
302	300 301	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
303	302	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
304		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
305	298 304	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
306	305 126	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
307	306	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
308	298	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
309		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
310	61	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
311	310	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
312	270	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
313	312	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
314	313 309	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
315		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 1 ≤ 𝑘 )
316	304 315	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝑘 )
317	316	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
318	135	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≠ 1 )
319	317 318	jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1 ) )
320		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
321	313	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
322	320 321	ltlend	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1 ) ) )
323	319 322	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 < 𝑘 )
324	309 313	zltlem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
325	323 324	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
326	314	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
327	311	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
328	321	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝑘 )
329	304 275	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
330	329	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
331	326 321 327 328 330	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝐾 )
332	309 311 314 325 331	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
333	308 332	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
334	333 166	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
335	334	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℤ )
336	307 335	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
337	296 297 303 336	ifbothda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ )
338	337	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ )
339	338	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
340	256	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℂ )
341	295 339 340	fsumsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 ) )
342		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → 1 = 𝐾 )
343	342	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 1 ... 1 ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
344	343	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 1 ... 𝐾 ) = ( 1 ... 1 ) )
345	344	sumeq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
346		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
347	232	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 = 1 )
348	347	iftrued	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
349	91	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
350	348 349	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
351		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑘 = 1 ↔ 1 = 1 ) )
352		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
353		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) )
354	352 353	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) )
355	351 354	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = 1 → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
356	355	fsum1	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
357	346 350 356	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
358	357 348	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
359	358	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
360		fveq2	⊢ ( 1 = 𝐾 → ( 𝑑 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
361	360	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
362	345 359 361	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
363	2	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℕ )
364		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
365	364	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
366	363 365	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
367	339	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
368		iftrue	⊢ ( 𝑘 = 1 → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
369	366 367 368	fsum1p	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) )
370		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
371		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
372	371	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
373		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
374		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
375	374	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
376	373 375	zltp1led	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ) )
377	372 376	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 < 𝑘 )
378	370 377	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ≠ 𝑘 )
379	378	necomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≠ 1 )
380	379	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ¬ 𝑘 = 1 )
381	380	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
382	381	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
383	382	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
384	255	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
385		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 1 ∈ ℂ )
386	384 385	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) = 𝐾 )
387	386	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 = ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) )
388	387	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) = ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) )
389	388	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
390	389	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
391		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
392	391	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
393	392	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
394		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
395	393 394	npcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) = 𝑘 )
396	395	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 = ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) )
397	396	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) )
398	397	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
399	398	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
400	399	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
401	58	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 1 ∈ ℤ )
402	61	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
403	402 401	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℤ )
404	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
405	404	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
406		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
407	402	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
408		elfznn	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) → 𝑠 ∈ ℕ )
409	408	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℕ )
410	409	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℤ )
411	410	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℤ )
412		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
413	409	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
414	411	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℝ )
415	409	nnge1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑠 )
416	413	lep1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝑠 + 1 ) )
417	412 413 414 415 416	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ≤ ( 𝑠 + 1 ) )
418		elfzle2	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
419	418	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
420	407	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
421		leaddsub	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
422	413 412 420 421	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
423	419 422	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 )
424	406 407 411 417 423	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
425	405 424	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
426		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℕ )
427	425 426	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℕ )
428	427	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℤ )
429	420 412	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ )
430	420	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ≤ 𝐾 )
431	413 429 420 419 430	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ 𝐾 )
432	406 407 410 415 431	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
433	405	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
434	432 433	mpdan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
435		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℕ )
436	434 435	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℕ )
437	436	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℤ )
438	428 437	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℤ )
439	438	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
440		fvoveq1	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) )
441		fveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
442	440 441	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
443	401 401 403 439 442	fsumshft	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
444	443	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) )
445	444	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) )
446		fveq2	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) )
447		fveq2	⊢ ( 𝑜 = ( 𝑠 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) )
448		fveq2	⊢ ( 𝑜 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
449		fveq2	⊢ ( 𝑜 = ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) )
450	386 366	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
451	56	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
452	451	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
453	452	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
454	453	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
455	386	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
456	455	eleq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ↔ 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) )
457	456	imbi1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ↔ ( 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ) )
458	454 457	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
459	458	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
460		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℕ )
461	459 460	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℕ )
462	461	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℂ )
463	446 447 448 449 403 450 462	telfsum2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
464	463	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
465	386	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
466	465	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
467	466	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
468	349	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
469	267	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℂ )
470	468 469	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
471		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
472	470 471	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
473	467 472	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
474	464 473	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
475	445 474	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
476	400 475	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
477	390 476	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
478	383 477	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
479	369 478	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
480	479	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
481	137	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℝ )
482	64	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
483	481 482	leloed	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ≤ 𝐾 ↔ ( 1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾 ) ) )
484	63 483	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾 ) )
485	484	orcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾 ) )
486	362 480 485	mpjaodan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
487		fsumconst	⊢ ( ( ( 1 ... 𝐾 ) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) )
488	295 256 487	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) )
489	59	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℕ0 )
490		hashfz1	⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) = 𝐾 )
491	489 490	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) = 𝐾 )
492	491	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) = ( 𝐾 · 1 ) )
493	255	mulridd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 · 1 ) = 𝐾 )
494	492 493	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) = 𝐾 )
495	488 494	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = 𝐾 )
496	486 495	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
497	341 496	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
498	294 497	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
499	267 255	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ∈ ℂ )
500	499	addridd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
501	500	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) )
502		0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 0 ∈ ℂ )
503	499 502	addcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
504	501 503	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
505	498 504	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
506	502 255 267	subsub2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
507	506	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) = ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
508	505 507	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
509	264	subidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 − 𝑁 ) = 0 )
510	509	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 0 = ( 𝑁 − 𝑁 ) )
511	510	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
512	508 511	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
513	255 267	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℂ )
514	264 264 513	subsub4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) )
515	512 514	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) )
516	264 255 267	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
517	516	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
518	517	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
519	515 518	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
520	282 519	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
521	264 268 520	mvrrsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = 𝑁 )
522	262 521	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = 𝑁 )
523	254 522	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = 𝑁 )
524	231 523	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = 𝑁 )
525	219 524	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 )
526	201 525	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
527		ovex	⊢ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∈ V
528	527	mptex	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ V
529		feq1	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ↔ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ) )
530		simpl	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
531	530	fveq1d	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
532	531	sumeq2dv	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
533	532	eqeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
534	529 533	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ) )
535	528 534	elab	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
536	535	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ) )
537	526 536	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } )
538	5	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } )
539	538	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } = 𝐴 )
540	537 539	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ 𝐴 )
541	295	mptexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) ∈ V )
542	34 40 540 541	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
543		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
544		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → 𝑘 = 𝑙 )
545	544	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
546	544	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1 ) )
547	544	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
548	544	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 − 1 ) = ( 𝑙 − 1 ) )
549	548	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
550	547 549	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
551	550	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
552	546 551	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
553	545 552	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
554		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℤ )
555	60	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
556	555	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
557	556	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ )
558		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
559	558	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
560		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 1 ≤ 𝑙 )
561	560	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
562	559	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
563		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
564		elfznn	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑗 ∈ ℕ )
565	563 564	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
566	565	nnred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
567	566	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
568	557	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
569		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
570	569	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
571	64	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
572		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
573	571 572	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
574		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
575	563 574	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
576	571	lep1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
577	566 571 573 575 576	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
578	577	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
579	562 567 568 570 578	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
580	554 557 559 561 579	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
581		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ V )
582		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ V )
583		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ V )
584	582 583	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ V )
585	581 584	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ V )
586	543 553 580 585	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
587	586	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
588	587	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
589		elfznn	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℕ )
590	589	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℕ )
591	590	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
592	571	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
593		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℝ )
594	592 593	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
595	565	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
596	595	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
597	575	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
598	591 596 592 570 597	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
599	592	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 < ( 𝐾 + 1 ) )
600	591 592 594 598 599	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 < ( 𝐾 + 1 ) )
601	591 600	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
602	601	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ¬ 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) )
603	602	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
604	603	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
605	604	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
606	565	nnge1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
607	57	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
608	565	nnzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
609		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝑗 ) )
610	607 608 609	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝑗 ) )
611	606 610	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
612		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ ↔ if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) )
613		eleq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ ↔ if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) )
614	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
615		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝜑 )
616	615 62	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝐾 )
617	615 60	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
618		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) )
619	607 617 618	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) )
620	616 619	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
621		eluzfz1	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
622	620 621	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
623	614 622	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
624	623 90	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
625	624	nnzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
626	625 607	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ )
627	626	zcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
628	627	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
629	628	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑙 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
630	614	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
631	617	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
632	590	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
633	590	nnge1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
634	554 631 632 633 598	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
635	630 634	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
636		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
637	635 636	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
638	637	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
639	630	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
640		1zzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
641	631	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
642	632	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
643	642 640	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℤ )
644		neqne	⊢ ( ¬ 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1 )
645	644	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ≠ 1 )
646	593	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
647	591	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ∈ ℝ )
648	633	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ≤ 𝑙 )
649	646 647 648	leltned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 1 < 𝑙 ↔ 𝑙 ≠ 1 ) )
650	645 649	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 < 𝑙 )
651	640 642	zltlem1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
652	650 651	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) )
653	643	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℝ )
654	592	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
655	647	lem1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝑙 )
656	598	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
657	653 647 654 655 656	letrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝐾 )
658	640 641 643 652 657	elfzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
659	639 658	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
660		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℤ )
661	659 660	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℤ )
662	638 661	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
663	662 640	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
664	663	zcnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
665	612 613 629 664	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
666		iftrue	⊢ ( 𝑙 = 1 → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) )
667	611 665 666	fsum1p	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
668	667	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
669	615 137	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
670	669	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℝ )
671	670 670	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 1 + 1 ) ∈ ℝ )
672		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
673	672	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
674	673	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
675	670	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 < ( 1 + 1 ) )
676		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 )
677	676	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 )
678	670 671 674 675 677	ltletrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 < 𝑙 )
679	670 678	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≠ 𝑙 )
680	679	necomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≠ 1 )
681	680	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ¬ 𝑙 = 1 )
682	681	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
683	682	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
684	683	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
685	684	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
686		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ∈ Fin )
687	614	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
688		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℤ )
689	617	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
690	670 671 675	ltled	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ ( 1 + 1 ) )
691	670 671 674 690 677	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
692	566	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
693	571	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
694		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
695	694	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
696	575	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
697	674 692 693 695 696	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
698	688 689 673 691 697	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
699	687 698	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
700	699 636	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
701	700	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℂ )
702	673 688	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℤ )
703		leaddsub	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
704	670 670 674 703	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
705	677 704	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) )
706	674 670	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℝ )
707	674	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝑙 )
708	706 674 693 707 697	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝐾 )
709	688 689 702 705 708	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
710	687 709	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
711	660	zcnd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℂ )
712	710 711	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℂ )
713	701 712	subcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
714		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℂ )
715	686 713 714	fsumsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) )
716	715	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) )
717	716	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) )
718		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℂ )
719		fsumconst	⊢ ( ( ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) )
720	686 718 719	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) )
721		hashfzp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) = ( 𝑗 − 1 ) )
722	611 721	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) = ( 𝑗 − 1 ) )
723	722	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 1 ) )
724	565	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
725	724 718	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ )
726	725	mulridd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 1 ) = ( 𝑗 − 1 ) )
727	723 726	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) = ( 𝑗 − 1 ) )
728	720 727	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( 𝑗 − 1 ) )
729	728	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) = ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
730	729	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
731	730	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) )
732	686 713	fsumcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
733	627 732 725	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
734	733	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
735	734	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
736	627 732	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
737	724 736 725	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
738	737	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
739	724 736 725	addsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) )
740	724 718	nncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) = 1 )
741		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
742	608 607	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
743	614	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
744		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
745	617	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
746		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
747	746	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
748	747	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ℤ )
749		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
750	747	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
751	750 749	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ℝ )
752		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
753	752	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
754	750	lep1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑙 + 1 ) )
755	749 750 751 753 754	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ≤ ( 𝑙 + 1 ) )
756	566	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
757	756 749	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
758	571	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
759	758 749	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ )
760		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
761	760	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
762	575	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
763	756 758 749 762	lesub1dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
764	750 757 759 761 763	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
765		leaddsub	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
766	750 749 758 765	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
767	764 766	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 )
768	744 745 748 755 767	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
769	743 768	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
770		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ℤ )
771	769 770	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ℤ )
772	566 669	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
773	566	lem1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑗 )
774	772 566 571 773 575	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝐾 )
775	774	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝐾 )
776	750 757 758 761 775	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
777	744 745 747 753 776	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
778	743 777	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
779	778 636	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
780	771 779	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ∈ ℤ )
781	780	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ∈ ℂ )
782		fvoveq1	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) )
783		fveq2	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) )
784	782 783	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) )
785	741 741 742 781 784	fsumshft	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) )
786		oveq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑤 − 1 ) = ( 𝑙 − 1 ) )
787	786	fvoveq1d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) )
788	786	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
789	787 788	oveq12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
790		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑙 ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) )
791		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑤 ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
792	789 790 791	cbvsum	⊢ Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
793	792	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
794	785 793	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
795	724 718	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
796	795	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) )
797	796	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
798	674	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℂ )
799	798 714	npcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) = 𝑙 )
800	799	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
801	800	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
802	801	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
803	797 802	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
804	794 803	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
805	804	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) )
806	805	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) )
807	740 806	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) )
808		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
809		fveq2	⊢ ( 𝑟 = ( 𝑙 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) )
810		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
811		fveq2	⊢ ( 𝑟 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
812	795 611	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
813	614	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
814		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
815	617	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
816		elfzelz	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑟 ∈ ℤ )
817	816	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ℤ )
818		elfzle1	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑟 )
819	818	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑟 )
820	817	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
821	566	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
822		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
823	821 822	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
824	823 822	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
825	571	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
826		elfzle2	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑟 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
827	826	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
828	795 575	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ≤ 𝐾 )
829	828	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ≤ 𝐾 )
830	820 824 825 827 829	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ≤ 𝐾 )
831	814 815 817 819 830	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
832	813 831	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
833		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℤ )
834	832 833	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℤ )
835	834	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℂ )
836	808 809 810 811 742 812 835	telfsum2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
837	836	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
838	837	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) )
839	795	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
840	614 563	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
841		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ℤ )
842	840 841	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ℤ )
843	839 842	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
844	843	zcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ∈ ℂ )
845	624	nnred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
846	845	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
847	844 846	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ∈ ℂ )
848	718 627 847	addassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) )
849	848	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
850	718 846	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
851	850	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
852	846 844	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
853	852 839	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
854	851 853	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
855	849 854	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
856	838 855	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
857	807 856	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
858	739 857	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
859	738 858	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
860	735 859	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
861	731 860	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
862	717 861	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
863	685 862	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
864	668 863	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
865	605 864	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
866	588 865	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
867	866	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
868	867	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) )
869		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑞 ( 𝑑 ‘ 𝑗 )
870		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑑 ‘ 𝑞 )
871		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑞 → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) )
872	869 870 871	cbvmpt	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) )
873	872	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
874	868 873	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
875	542 874	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
876	33 875	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
877	56	ffnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) )
878		dffn5	⊢ ( 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) ↔ 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
879	878	biimpi	⊢ ( 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
880	877 879	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
881	880	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) = 𝑑 )
882	876 881	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )
883	882	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑑 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )