Theorem sticksstones12a

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	sticksstones12a.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	sticksstones12a.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ )
	sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) )
	sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
	sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) }
	sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) }
Assertion	sticksstones12a	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑑 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones12a.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
2		sticksstones12a.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ )
3		sticksstones12a.3	⊢ 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) )
4		sticksstones12a.4	⊢ 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
5		sticksstones12a.5	⊢ 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) }
6		sticksstones12a.6	⊢ 𝐵 = { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) }
7	4	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐺 = ( 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) ) )
8		0red	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ )
9	2	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝐾 )
10	8 9	ltned	⊢ ( 𝜑 → 0 ≠ 𝐾 )
11	10	necomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≠ 0 )
12	11	neneqd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐾 = 0 )
13	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ¬ 𝐾 = 0 )
14	13	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
15		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
16	15	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
17		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
18	17	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) )
19		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
20		fveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
21	19 20	oveq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
22	21	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
23	18 22	ifeq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
24	16 23	ifeq12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
25	24	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
26	25	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
27	26	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
28	14 27	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → if ( 𝐾 = 0 , { ⟨ 1 , 𝑁 ⟩ } , ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑏 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑏 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑏 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
29		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 ∈ 𝐵 )
30		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∈ Fin )
31	30	mptexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ V )
32	7 28 29 31	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
33	32	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) )
34	3	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐹 = ( 𝑎 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) ) )
35		simpll	⊢ ( ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
36	35	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
37	36	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) )
38	37	oveq2d	⊢ ( ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) )
39	38	mpteq2dva	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
40	39	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( 𝑎 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
41		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) )
42		eleq1	⊢ ( if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) → ( if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) )
43	6	eleq2i	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ↔ 𝑑 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) } )
44		vex	⊢ 𝑑 ∈ V
45		feq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↔ 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
46		fveq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) )
47		fveq1	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) )
48	46 47	breq12d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
49	48	imbi2d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
50	49	2ralbidv	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
51	45 50	anbi12d	⊢ ( 𝑓 = 𝑑 → ( ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) ) )
52	44 51	elab	⊢ ( 𝑑 ∈ { 𝑓 ∣ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑓 ‘ 𝑦 ) ) ) } ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
53	43 52	bitri	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
54	53	biimpi	⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐵 → ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
55	54	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
56	55	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
57		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
58	57	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
59	2	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0 )
60	59	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
61	60	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
62	2	nnge1d	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝐾 )
63	62	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ≤ 𝐾 )
64	2	nnred	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ )
65	64	leidd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐾 )
66	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ≤ 𝐾 )
67	58 61 61 63 66	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
68	56 67	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
69		elfzle2	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
70	68 69	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
71	70	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
72	71	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) )
73		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ )
74	73	nnnn0d	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
75	68 74	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
76	75	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
77	76	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
78	1	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
79	59	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℕ0 )
80	78 79	nn0addcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 )
81		nn0sub	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ) )
82	77 80 81	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ≤ ( 𝑁 + 𝐾 ) ↔ ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 ) )
83	72 82	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ0 )
84		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) )
85		eleq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 ) )
86		1le1	⊢ 1 ≤ 1
87	86	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ≤ 1 )
88	58 61 58 87 63	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
89	56 88	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
90		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
91	89 90	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
92		nnm1nn0	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
93	91 92	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
94	93	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
95	94	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
96	95	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
97	56	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
98		1zzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
99	61	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
100		elfznn	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
101	100	nnzd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
102	101	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
103		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑘 )
104	103	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
105		neqne	⊢ ( ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
106	105	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
107	106	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ≠ 𝑘 )
108	100	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
109	108	nnred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
110	64	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
111		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
112	110 111	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
113		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
114	113	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
115	109 112 114	leltned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ↔ ( 𝐾 + 1 ) ≠ 𝑘 ) )
116	107 115	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) )
117	101	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
118	61	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
119		zleltp1	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ) )
120	117 118 119	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → ( 𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) ) )
121	116 120	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
122	121	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
123	98 99 102 104 122	elfzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
124	97 123	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
125		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ )
126	125	nnzd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
127	124 126	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
128		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
129	60	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
130	129	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
131	101	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
132	131	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
133	132	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
134	133 128	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
135		neqne	⊢ ( ¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1 )
136	135	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≠ 1 )
137		1red	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ )
138	137	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
139	133	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
140		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
141	140 103	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
142	138 139 141	leltned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 1 ) )
143	136 142	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 < 𝑘 )
144	128 133	zltp1led	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ) )
145	143 144	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
146		leaddsub	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
147	138 138 139 146	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
148	145 147	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
149	134	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
150	64	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
151		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
152	150 151	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
153	152 151	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ∈ ℝ )
154	113	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
155	139 152 151 154	lesub1dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) )
156	64	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ )
157	156	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
158		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℂ )
159	157 158	pncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) = 𝐾 )
160	65	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ≤ 𝐾 )
161	159 160	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ≤ 𝐾 )
162	149 153 150 155 161	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝐾 )
163	128 130 134 148 162	elfzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
164	163	ad5ant135	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
165	97 164	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
166		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
167	165 166	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
168	167	nnzd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℤ )
169	127 168	zsubcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
170	169 98	zsubcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
171	108	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
172	171	nnred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
173	172	ltm1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 )
174	164 123	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) )
175	55	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
176	175	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
177		breq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑥 < 𝑦 ↔ ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 ) )
178		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
179	178	breq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) )
180	177 179	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) )
181		breq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 ↔ ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 ) )
182		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
183	182	breq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ↔ ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
184	181 183	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑘 → ( ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) ) )
185	180 184	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( 𝑥 < 𝑦 → ( 𝑑 ‘ 𝑥 ) < ( 𝑑 ‘ 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
186	174 176 185	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑘 − 1 ) < 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ) )
187	173 186	mpd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
188	167	nnred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℝ )
189	127	zred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
190	188 189	posdifd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ↔ 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
191	187 190	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
192		0zd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 ∈ ℤ )
193	192 169	zltlem1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 0 < ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ↔ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
194	191 193	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
195	170 194	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
196		elnn0z	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
197	195 196	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
198	84 85 96 197	ifbothda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
199	41 42 83 198	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 )
200		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
201	199 200	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 )
202		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
203		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → 𝑘 = 𝑖 )
204	203	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
205	203	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1 ) )
206	203	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) )
207	203	fvoveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) )
208	206 207	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) )
209	208	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) )
210	205 209	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
211	204 210	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) ∧ 𝑘 = 𝑖 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
212		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
213		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ V )
214		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ V )
215		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ V )
216	214 215	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ V )
217	213 216	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ V )
218	202 211 212 217	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
219	218	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
220		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
221		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 = 1 ↔ 𝑘 = 1 ) )
222		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
223		fvoveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
224	222 223	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
225	224	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) )
226	221 225	ifbieq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
227	220 226	ifbieq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
228		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) )
229		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) )
230		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
231		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑖 if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
232	227 228 229 230 231	cbvsum	⊢ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
233	232	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
234		eqid	⊢ 1 = 1
235		1p0e1	⊢ ( 1 + 0 ) = 1
236	234 235	eqtr4i	⊢ 1 = ( 1 + 0 )
237	236	a1i	⊢ ( 𝜑 → 1 = ( 1 + 0 ) )
238		0le1	⊢ 0 ≤ 1
239	238	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 1 )
240	137 8 64 137 62 239	le2addd	⊢ ( 𝜑 → ( 1 + 0 ) ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
241	237 240	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
242	60	peano2zd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ )
243		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) ) )
244	57 242 243	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ ( 𝐾 + 1 ) ) )
245	241 244	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
246	245	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
247	199	nn0cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
248		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) ) )
249		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ ( 𝐾 + 1 ) = 1 ) )
250		fveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) )
251		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) )
252	250 251	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) )
253	252	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) )
254	249 253	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
255	248 254	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
256	246 247 255	fsumm1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
257	156	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
258		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℂ )
259	257 258	pncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) = 𝐾 )
260	259	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
261	260	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
262		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) )
263	262	iftrued	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
264	261 263	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
265		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
266	265	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
267	266	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
268	64	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
269		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
270	268 269	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
271		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
272	271	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
273	268	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 < ( 𝐾 + 1 ) )
274	267 268 270 272 273	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 < ( 𝐾 + 1 ) )
275	267 274	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
276	275	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ¬ 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) )
277	276	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
278	277	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
279		eqeq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ) )
280		eqeq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) ) )
281		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 = 1 )
282	281	iftrued	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
283	282	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
284	283	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
285		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ¬ 𝑘 = 1 )
286	285	iffalsed	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
287	286	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
288	287	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
289	279 280 284 288	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
290	289	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) )
291		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ... 𝐾 ) ∈ Fin )
292		eleq1	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ ) )
293		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ ) )
294	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
295	88	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
296	294 295	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
297	90	nnzd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
298	296 297	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
299	298	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
300		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
301	294 300	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
302	301 126	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
303	302	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ )
304	294	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
305		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
306	61	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
307	306	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
308	266	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
309	308	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
310	309 305	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
311		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 1 ≤ 𝑘 )
312	300 311	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝑘 )
313	312	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ 𝑘 )
314	135	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≠ 1 )
315	313 314	jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1 ) )
316		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
317	309	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
318	316 317	ltlend	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1 ) ) )
319	315 318	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 < 𝑘 )
320	305 309	zltlem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
321	319 320	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
322	310	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
323	307	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
324	317	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝑘 )
325	300 271	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
326	325	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 𝑘 ≤ 𝐾 )
327	322 317 323 324 326	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ≤ 𝐾 )
328	305 307 310 321 327	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
329	304 328	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
330	329 166	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ )
331	330	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℤ )
332	303 331	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
333	292 293 299 332	ifbothda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ )
334	333	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℤ )
335	334	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
336	258	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℂ )
337	291 335 336	fsumsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 ) )
338		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → 1 = 𝐾 )
339	338	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 1 ... 1 ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
340	339	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 1 ... 𝐾 ) = ( 1 ... 1 ) )
341	340	sumeq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
342		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
343	234	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 = 1 )
344	343	iftrued	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
345	91	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
346	344 345	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
347		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑘 = 1 ↔ 1 = 1 ) )
348		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
349		fvoveq1	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) )
350	348 349	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) )
351	347 350	ifbieq2d	⊢ ( 𝑘 = 1 → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
352	351	fsum1	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
353	342 346 352	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = if ( 1 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − ( 𝑑 ‘ ( 1 − 1 ) ) ) ) )
354	353 344	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
355	354	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 1 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
356		fveq2	⊢ ( 1 = 𝐾 → ( 𝑑 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
357	356	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
358	341 355 357	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 = 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
359	2	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℕ )
360		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
361	360	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
362	359 361	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
363	335	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
364		iftrue	⊢ ( 𝑘 = 1 → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
365	362 363 364	fsum1p	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) )
366		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
367		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
368	367	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 )
369		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
370		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
371	370	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
372	369 371	zltp1led	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ( 1 < 𝑘 ↔ ( 1 + 1 ) ≤ 𝑘 ) )
373	368 372	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 < 𝑘 )
374	366 373	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 1 ≠ 𝑘 )
375	374	necomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → 𝑘 ≠ 1 )
376	375	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → ¬ 𝑘 = 1 )
377	376	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
378	377	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
379	378	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
380	257	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℂ )
381		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 1 ∈ ℂ )
382	380 381	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) = 𝐾 )
383	382	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 = ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) )
384	383	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) = ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) )
385	384	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
386	385	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
387		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
388	387	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
389	388	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
390		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
391	389 390	npcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) = 𝑘 )
392	391	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑘 = ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) )
393	392	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) )
394	393	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
395	394	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
396	395	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
397	58	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 1 ∈ ℤ )
398	61	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
399	398 397	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℤ )
400	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
401	400	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
402		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
403	398	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
404		elfznn	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) → 𝑠 ∈ ℕ )
405	404	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℕ )
406	405	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℤ )
407	406	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℤ )
408		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
409	405	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
410	407	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ℝ )
411	405	nnge1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑠 )
412	409	lep1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝑠 + 1 ) )
413	408 409 410 411 412	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 1 ≤ ( 𝑠 + 1 ) )
414		elfzle2	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
415	414	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
416	403	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
417		leaddsub	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
418	409 408 416 417	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
419	415 418	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ≤ 𝐾 )
420	402 403 407 413 419	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑠 + 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
421	401 420	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
422		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℕ )
423	421 422	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℕ )
424	423	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) ∈ ℤ )
425	416 408	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ )
426	416	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ≤ 𝐾 )
427	409 425 416 415 426	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ≤ 𝐾 )
428	402 403 406 411 427	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
429	401	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
430	428 429	mpdan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
431		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℕ )
432	430 431	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℕ )
433	432	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ∈ ℤ )
434	424 433	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℤ )
435	434	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
436		fvoveq1	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) )
437		fveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) )
438	436 437	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
439	397 397 399 435 438	fsumshft	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
440	439	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) )
441	440	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) )
442		fveq2	⊢ ( 𝑜 = 𝑠 → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) )
443		fveq2	⊢ ( 𝑜 = ( 𝑠 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) )
444		fveq2	⊢ ( 𝑜 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
445		fveq2	⊢ ( 𝑜 = ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) )
446	382 362	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
447	56	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
448	447	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
449	448	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
450	449	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
451	382	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... 𝐾 ) )
452	451	eleq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ↔ 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) )
453	452	imbi1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ↔ ( 𝑜 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ) )
454	450 453	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) )
455	454	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
456		elfznn	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℕ )
457	455 456	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℕ )
458	457	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) ∧ 𝑜 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑜 ) ∈ ℂ )
459	442 443 444 445 399 446 458	telfsum2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
460	459	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
461	382	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
462	461	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
463	462	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
464	345	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
465	68 73	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ )
466	465	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℂ )
467	466	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ∈ ℂ )
468	464 467	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
469		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
470	468 469	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
471	463 470	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
472	460 471	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑠 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑠 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
473	441 472	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
474	396 473	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
475	386 474	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
476	379 475	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
477	365 476	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
478	477	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 1 < 𝐾 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
479	137	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ℝ )
480	64	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
481	479 480	leloed	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 ≤ 𝐾 ↔ ( 1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾 ) ) )
482	63 481	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 < 𝐾 ∨ 1 = 𝐾 ) )
483	482	orcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 1 = 𝐾 ∨ 1 < 𝐾 ) )
484	358 478 483	mpjaodan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) )
485		fsumconst	⊢ ( ( ( 1 ... 𝐾 ) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) )
486	291 258 485	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) )
487	59	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ ℕ0 )
488		hashfz1	⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) = 𝐾 )
489	487 488	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) = 𝐾 )
490	489	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) = ( 𝐾 · 1 ) )
491	257	mulid1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 · 1 ) = 𝐾 )
492	490 491	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝐾 ) ) · 1 ) = 𝐾 )
493	486 492	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 = 𝐾 )
494	484 493	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
495	337 494	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ( if ( 𝑘 = 1 , ( 𝑑 ‘ 1 ) , ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) − 1 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
496	290 495	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
497	466 257	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ∈ ℂ )
498	497	addid1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) )
499	498	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) )
500		0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 0 ∈ ℂ )
501	497 500	addcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) + 0 ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
502	499 501	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
503	496 502	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
504	500 257 466	subsub2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) )
505	504	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 + ( ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) − 𝐾 ) ) = ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
506	503 505	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
507	1	nn0cnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
508	507	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 ∈ ℂ )
509	508	subidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 − 𝑁 ) = 0 )
510	509	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 0 = ( 𝑁 − 𝑁 ) )
511	510	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 0 − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
512	506 511	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
513	257 466	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℂ )
514	508 508 513	subsub4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 − 𝑁 ) − ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) )
515	512 514	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) )
516	508 257 466	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) = ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
517	516	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) )
518	517	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 + ( 𝐾 − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
519	515 518	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
520	278 519	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) )
521		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ ) )
522		eleq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ ) )
523		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
524	298 523	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ )
525	524	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ )
526	523	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
527	332 526	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑘 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
528	521 522 525 527	ifbothda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ )
529	528	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ )
530	277	eleq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℤ ↔ if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℤ ) )
531	529 530	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
532	291 531	fsumzcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
533	532	zcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
534	508 257	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 + 𝐾 ) ∈ ℂ )
535	534 466	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℂ )
536	533 535 508	addlsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = 𝑁 ↔ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑁 − ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) ) )
537	520 536	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = 𝑁 )
538		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 = 𝑁 )
539	537 538	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ) = 𝑁 )
540	264 539	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) + if ( ( 𝐾 + 1 ) = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( ( 𝐾 + 1 ) = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ ( 𝐾 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( ( 𝐾 + 1 ) − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = 𝑁 )
541	256 540	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = 𝑁 )
542	233 541	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) if ( 𝑖 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑖 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = 𝑁 )
543	219 542	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 )
544	201 543	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
545		ovex	⊢ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ∈ V
546	545	mptex	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ V
547		feq1	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ↔ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ) )
548		simpl	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
549	548	fveq1d	⊢ ( ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ) → ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
550	549	sumeq2dv	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
551	550	eqeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
552	547 551	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ) )
553	546 552	elab	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) )
554	553	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) ) )
555	544 554	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } )
556	5	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 = { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } )
557	556	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → { 𝑔 ∣ ( 𝑔 : ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ⟶ ℕ0 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) = 𝑁 ) } = 𝐴 )
558	555 557	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ∈ 𝐴 )
559	291	mptexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) ∈ V )
560	34 40 558 559	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) )
561		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
562		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → 𝑘 = 𝑙 )
563	562	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) ↔ 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) ) )
564	562	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 = 1 ↔ 𝑙 = 1 ) )
565	562	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
566	562	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑘 − 1 ) = ( 𝑙 − 1 ) )
567	566	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
568	565 567	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
569	568	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
570	564 569	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
571	563 570	ifbieq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 = 𝑙 ) → if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
572		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℤ )
573	60	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
574	573	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
575	574	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℤ )
576		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
577	576	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
578		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 1 ≤ 𝑙 )
579	578	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
580	577	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
581		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
582		elfznn	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑗 ∈ ℕ )
583	581 582	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
584	583	nnred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
585	584	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
586	575	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
587		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
588	587	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
589	64	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
590		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
591	589 590	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
592		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
593	581 592	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
594	589	lep1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
595	584 589 591 593 594	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
596	595	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
597	580 585 586 588 596	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝐾 + 1 ) )
598	572 575 577 579 597	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) )
599		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) ∈ V )
600		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ V )
601		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ V )
602	600 601	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ V )
603	599 602	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ∈ V )
604	561 571 598 603	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
605	604	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
606	605	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
607		elfznn	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℕ )
608	607	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℕ )
609	608	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
610	589	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
611		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℝ )
612	610 611	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ )
613	583	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
614	613	nnred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
615	593	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
616	609 614 610 588 615	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
617	610	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 < ( 𝐾 + 1 ) )
618	609 610 612 616 617	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 < ( 𝐾 + 1 ) )
619	609 618	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≠ ( 𝐾 + 1 ) )
620	619	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ¬ 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) )
621	620	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
622	621	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
623	622	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
624	583	nnge1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
625	57	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
626	583	nnzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
627		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝑗 ) )
628	625 626 627	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝑗 ) )
629	624 628	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
630		eleq1	⊢ ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ ↔ if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) )
631		eleq1	⊢ ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) = if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ ↔ if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ ) )
632	56	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
633		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝜑 )
634	633 62	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝐾 )
635	633 60	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
636		eluz	⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) )
637	625 635 636	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) )
638	634 637	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
639		eluzfz1	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
640	638 639	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
641	632 640	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
642	641 90	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℕ )
643	642	nnzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℤ )
644	643 625	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℤ )
645	644	zcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
646	645	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
647	646	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ 𝑙 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ∈ ℂ )
648	632	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
649	635	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
650	608	nnzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
651	608	nnge1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
652	572 649 650 651 616	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
653	648 652	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
654		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
655	653 654	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
656	655	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
657	648	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
658		1zzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ∈ ℤ )
659	649	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℤ )
660	650	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
661	660 658	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℤ )
662		neqne	⊢ ( ¬ 𝑙 = 1 → 𝑙 ≠ 1 )
663	662	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ≠ 1 )
664	611	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ∈ ℝ )
665	609	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ∈ ℝ )
666	651	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ≤ 𝑙 )
667	664 665 666	leltned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 1 < 𝑙 ↔ 𝑙 ≠ 1 ) )
668	663 667	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 < 𝑙 )
669	658 660	zltlem1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 1 < 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
670	668 669	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) )
671	661	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℝ )
672	610	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝐾 ∈ ℝ )
673	665	lem1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝑙 )
674	616	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
675	671 665 672 673 674	letrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝐾 )
676	658 659 661 670 675	elfzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
677	657 676	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
678		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℤ )
679	677 678	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℤ )
680	656 679	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℤ )
681	680 658	zsubcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
682	681	zcnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) ∧ ¬ 𝑙 = 1 ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ∈ ℂ )
683	630 631 647 682	ifbothda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
684		iftrue	⊢ ( 𝑙 = 1 → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) )
685	629 683 684	fsum1p	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
686	685	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) )
687	633 137	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℝ )
688	687	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℝ )
689	688 688	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 1 + 1 ) ∈ ℝ )
690		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → 𝑙 ∈ ℤ )
691	690	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
692	691	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
693	688	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 < ( 1 + 1 ) )
694		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 )
695	694	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 )
696	688 689 692 693 695	ltletrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 < 𝑙 )
697	688 696	ltned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≠ 𝑙 )
698	697	necomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≠ 1 )
699	698	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ¬ 𝑙 = 1 )
700	699	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
701	700	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) )
702	701	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) )
703	702	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) )
704		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ∈ Fin )
705	632	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
706		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℤ )
707	635	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
708	688 689 693	ltled	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ ( 1 + 1 ) )
709	688 689 692 708 695	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
710	584	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
711	589	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
712		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
713	712	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝑗 )
714	593	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
715	692 710 711 713 714	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
716	706 707 691 709 715	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
717	705 716	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
718	717 654	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
719	718	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℂ )
720	691 706	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℤ )
721		leaddsub	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
722	688 688 692 721	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ≤ 𝑙 ↔ 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) ) )
723	695 722	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ≤ ( 𝑙 − 1 ) )
724	692 688	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ℝ )
725	692	lem1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝑙 )
726	724 692 711 725 715	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ≤ 𝐾 )
727	706 707 720 723 726	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑙 − 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
728	705 727	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
729	678	zcnd	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℂ )
730	728 729	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ∈ ℂ )
731	719 730	subcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
732		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 1 ∈ ℂ )
733	704 731 732	fsumsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) = ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) )
734	733	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) )
735	734	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) )
736		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℂ )
737		fsumconst	⊢ ( ( ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) )
738	704 736 737	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) )
739		hashfzp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) = ( 𝑗 − 1 ) )
740	629 739	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) = ( 𝑗 − 1 ) )
741	740	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 1 ) )
742	583	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
743	742 736	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ )
744	743	mulid1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 1 ) = ( 𝑗 − 1 ) )
745	741 744	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ♯ ‘ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) · 1 ) = ( 𝑗 − 1 ) )
746	738 745	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 = ( 𝑗 − 1 ) )
747	746	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) = ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
748	747	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
749	748	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) )
750	704 731	fsumcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
751	645 750 743	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
752	751	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
753	752	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
754	645 750	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
755	742 754 743	addsubassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
756	755	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) )
757	742 754 743	addsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) )
758	742 736	nncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) = 1 )
759		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → 1 ∈ ℤ )
760	626 625	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
761	632	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
762		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
763	635	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
764		elfzelz	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
765	764	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ℤ )
766	765	peano2zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ℤ )
767		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
768	765	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ℝ )
769	768 767	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ℝ )
770		elfzle1	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
771	770	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑙 )
772	768	lep1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑙 + 1 ) )
773	767 768 769 771 772	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ≤ ( 𝑙 + 1 ) )
774	584	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
775	774 767	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
776	589	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
777	776 767	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ )
778		elfzle2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
779	778	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
780	593	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ 𝐾 )
781	774 776 767 780	lesub1dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
782	768 775 777 779 781	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) )
783		leaddsub	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
784	768 767 776 783	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 ↔ 𝑙 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) )
785	782 784	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ≤ 𝐾 )
786	762 763 766 773 785	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑙 + 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
787	761 786	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
788		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ℤ )
789	787 788	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ∈ ℤ )
790	584 687	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
791	584	lem1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑗 )
792	790 584 589 791 593	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝐾 )
793	792	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝐾 )
794	768 775 776 779 793	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ≤ 𝐾 )
795	762 763 765 771 794	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
796	761 795	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
797	796 654	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ∈ ℤ )
798	789 797	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ∈ ℤ )
799	798	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ∈ ℂ )
800		fvoveq1	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) )
801		fveq2	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) )
802	800 801	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑤 − 1 ) → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) )
803	759 759 760 799 802	fsumshft	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) )
804		oveq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑤 − 1 ) = ( 𝑙 − 1 ) )
805	804	fvoveq1d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) )
806	804	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
807	805 806	oveq12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑙 → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
808		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑙 ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
809		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑤 ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
810		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑙 ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) )
811		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑤 ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
812	807 808 809 810 811	cbvsum	⊢ Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) )
813	812	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑤 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑤 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑤 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
814	803 813	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
815	742 736	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
816	815	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) )
817	816	sumeq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
818	692	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → 𝑙 ∈ ℂ )
819	818 732	npcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) = 𝑙 )
820	819	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
821	820	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
822	821	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
823	817 822	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑙 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
824	814 823	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) )
825	824	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) = Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) )
826	825	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) )
827	758 826	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) )
828		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑙 → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) )
829		fveq2	⊢ ( 𝑟 = ( 𝑙 + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) )
830		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 1 → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
831		fveq2	⊢ ( 𝑟 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
832	815 629	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
833	632	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑑 : ( 1 ... 𝐾 ) ⟶ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
834		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
835	635	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
836		elfzelz	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑟 ∈ ℤ )
837	836	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ℤ )
838		elfzle1	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑟 )
839	838	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ≤ 𝑟 )
840	837	zred	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
841	584	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
842		1red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
843	841 842	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
844	843 842	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ∈ ℝ )
845	589	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ )
846		elfzle2	⊢ ( 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) → 𝑟 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
847	846	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
848	815 593	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ≤ 𝐾 )
849	848	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ≤ 𝐾 )
850	840 844 845 847 849	letrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ≤ 𝐾 )
851	834 835 837 839 850	elfzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → 𝑟 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) )
852	833 851	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
853		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℤ )
854	852 853	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℤ )
855	854	zcnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 1 ... ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑟 ) ∈ ℂ )
856	828 829 830 831 760 832 855	telfsum2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) )
857	856	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
858	857	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) )
859	815	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
860	632 581	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) )
861		elfzelz	⊢ ( ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ℤ )
862	860 861	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ∈ ℤ )
863	859 862	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ∈ ℤ )
864	863	zcnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ∈ ℂ )
865	642	nnred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
866	865	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑑 ‘ 1 ) ∈ ℂ )
867	864 866	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ∈ ℂ )
868	736 645 867	addassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) )
869	868	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
870	736 866	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 1 ) )
871	870	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) )
872	866 864	pncan3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
873	872 859	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
874	871 873	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 1 + ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
875	869 874	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( ( 𝑑 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
876	858 875	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) − ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
877	827 876	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
878	757 877	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
879	756 878	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
880	753 879	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
881	749 880	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + ( Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
882	735 881	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
883	703 882	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + ( ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) + Σ 𝑙 ∈ ( ( 1 + 1 ) ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
884	686 883	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
885	623 884	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) if ( 𝑙 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑙 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑙 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑙 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
886	606 885	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
887	886	3expa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
888	887	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) )
889		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑞 ( 𝑑 ‘ 𝑗 )
890		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑑 ‘ 𝑞 )
891		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑞 → ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) )
892	889 890 891	cbvmpt	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) )
893	892	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
894	888 893	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑗 + Σ 𝑙 ∈ ( 1 ... 𝑗 ) ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
895	560 894	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝐾 + 1 ) ) ↦ if ( 𝑘 = ( 𝐾 + 1 ) , ( ( 𝑁 + 𝐾 ) − ( 𝑑 ‘ 𝐾 ) ) , if ( 𝑘 = 1 , ( ( 𝑑 ‘ 1 ) − 1 ) , ( ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑑 ‘ ( 𝑘 − 1 ) ) ) − 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
896	33 895	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
897	56	ffnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) )
898		dffn5	⊢ ( 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) ↔ 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
899	898	biimpi	⊢ ( 𝑑 Fn ( 1 ... 𝐾 ) → 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
900	897 899	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → 𝑑 = ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) )
901	900	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑞 ∈ ( 1 ... 𝐾 ) ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑞 ) ) = 𝑑 )
902	896 901	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )
903	902	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑑 ∈ 𝐵 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑑 ) ) = 𝑑 )