Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nllytop |
|- ( R e. N-Locally Comp -> R e. Top ) |
2 |
|
elinel1 |
|- ( S e. ( ran kGen i^i Haus ) -> S e. ran kGen ) |
3 |
|
kgentop |
|- ( S e. ran kGen -> S e. Top ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( S e. ( ran kGen i^i Haus ) -> S e. Top ) |
5 |
|
txtop |
|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top ) |
6 |
1 4 5
|
syl2an |
|- ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) -> ( R tX S ) e. Top ) |
7 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> R e. N-Locally Comp ) |
8 |
|
eqid |
|- ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) = ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) |
9 |
8
|
mptpreima |
|- ( `' ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) " x ) = { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } |
10 |
1
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> R e. Top ) |
11 |
|
toptopon2 |
|- ( R e. Top <-> R e. ( TopOn ` U. R ) ) |
12 |
10 11
|
sylib |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> R e. ( TopOn ` U. R ) ) |
13 |
|
idcn |
|- ( R e. ( TopOn ` U. R ) -> ( _I |` U. R ) e. ( R Cn R ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( _I |` U. R ) e. ( R Cn R ) ) |
15 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) |
16 |
15 4
|
syl |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> S e. Top ) |
17 |
|
toptopon2 |
|- ( S e. Top <-> S e. ( TopOn ` U. S ) ) |
18 |
16 17
|
sylib |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> S e. ( TopOn ` U. S ) ) |
19 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> y e. x ) |
20 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) |
21 |
|
elunii |
|- ( ( y e. x /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) -> y e. U. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) |
22 |
19 20 21
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> y e. U. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) |
23 |
|
eqid |
|- U. R = U. R |
24 |
|
eqid |
|- U. S = U. S |
25 |
23 24
|
txuni |
|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) ) |
26 |
10 16 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) ) |
27 |
10 16 5
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( R tX S ) e. Top ) |
28 |
|
eqid |
|- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S ) |
29 |
28
|
kgenuni |
|- ( ( R tX S ) e. Top -> U. ( R tX S ) = U. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) |
30 |
27 29
|
syl |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> U. ( R tX S ) = U. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) |
31 |
26 30
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) |
32 |
22 31
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> y e. ( U. R X. U. S ) ) |
33 |
|
xp2nd |
|- ( y e. ( U. R X. U. S ) -> ( 2nd ` y ) e. U. S ) |
34 |
32 33
|
syl |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( 2nd ` y ) e. U. S ) |
35 |
|
cnconst2 |
|- ( ( R e. ( TopOn ` U. R ) /\ S e. ( TopOn ` U. S ) /\ ( 2nd ` y ) e. U. S ) -> ( U. R X. { ( 2nd ` y ) } ) e. ( R Cn S ) ) |
36 |
12 18 34 35
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( U. R X. { ( 2nd ` y ) } ) e. ( R Cn S ) ) |
37 |
|
fvresi |
|- ( t e. U. R -> ( ( _I |` U. R ) ` t ) = t ) |
38 |
|
fvex |
|- ( 2nd ` y ) e. _V |
39 |
38
|
fvconst2 |
|- ( t e. U. R -> ( ( U. R X. { ( 2nd ` y ) } ) ` t ) = ( 2nd ` y ) ) |
40 |
37 39
|
opeq12d |
|- ( t e. U. R -> <. ( ( _I |` U. R ) ` t ) , ( ( U. R X. { ( 2nd ` y ) } ) ` t ) >. = <. t , ( 2nd ` y ) >. ) |
41 |
40
|
mpteq2ia |
|- ( t e. U. R |-> <. ( ( _I |` U. R ) ` t ) , ( ( U. R X. { ( 2nd ` y ) } ) ` t ) >. ) = ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) |
42 |
41
|
eqcomi |
|- ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) = ( t e. U. R |-> <. ( ( _I |` U. R ) ` t ) , ( ( U. R X. { ( 2nd ` y ) } ) ` t ) >. ) |
43 |
23 42
|
txcnmpt |
|- ( ( ( _I |` U. R ) e. ( R Cn R ) /\ ( U. R X. { ( 2nd ` y ) } ) e. ( R Cn S ) ) -> ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) e. ( R Cn ( R tX S ) ) ) |
44 |
14 36 43
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) e. ( R Cn ( R tX S ) ) ) |
45 |
|
llycmpkgen |
|- ( R e. N-Locally Comp -> R e. ran kGen ) |
46 |
45
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> R e. ran kGen ) |
47 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( R tX S ) e. Top ) |
48 |
|
kgencn3 |
|- ( ( R e. ran kGen /\ ( R tX S ) e. Top ) -> ( R Cn ( R tX S ) ) = ( R Cn ( kGen ` ( R tX S ) ) ) ) |
49 |
46 47 48
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( R Cn ( R tX S ) ) = ( R Cn ( kGen ` ( R tX S ) ) ) ) |
50 |
44 49
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) e. ( R Cn ( kGen ` ( R tX S ) ) ) ) |
51 |
|
cnima |
|- ( ( ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) e. ( R Cn ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) -> ( `' ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) " x ) e. R ) |
52 |
50 20 51
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( `' ( t e. U. R |-> <. t , ( 2nd ` y ) >. ) " x ) e. R ) |
53 |
9 52
|
eqeltrrid |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } e. R ) |
54 |
|
opeq1 |
|- ( t = ( 1st ` y ) -> <. t , ( 2nd ` y ) >. = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. ) |
55 |
54
|
eleq1d |
|- ( t = ( 1st ` y ) -> ( <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x <-> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. e. x ) ) |
56 |
|
xp1st |
|- ( y e. ( U. R X. U. S ) -> ( 1st ` y ) e. U. R ) |
57 |
32 56
|
syl |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( 1st ` y ) e. U. R ) |
58 |
|
1st2nd2 |
|- ( y e. ( U. R X. U. S ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. ) |
59 |
32 58
|
syl |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. ) |
60 |
59 19
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. e. x ) |
61 |
55 57 60
|
elrabd |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( 1st ` y ) e. { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } ) |
62 |
|
nlly2i |
|- ( ( R e. N-Locally Comp /\ { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } e. R /\ ( 1st ` y ) e. { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } ) -> E. s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } E. u e. R ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) |
63 |
7 53 61 62
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> E. s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } E. u e. R ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) |
64 |
10
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> R e. Top ) |
65 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> S e. Top ) |
66 |
|
simprlr |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> u e. R ) |
67 |
|
ssrab2 |
|- { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } C_ U. S |
68 |
67
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } C_ U. S ) |
69 |
|
incom |
|- ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } i^i k ) = ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) |
70 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } ) |
71 |
70
|
elpwid |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } ) |
72 |
|
ssrab2 |
|- { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } C_ U. R |
73 |
71 72
|
sstrdi |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> s C_ U. R ) |
74 |
73
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> s C_ U. R ) |
75 |
|
elpwi |
|- ( k e. ~P U. S -> k C_ U. S ) |
76 |
75
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> k C_ U. S ) |
77 |
|
eldif |
|- ( t e. ( ( s X. k ) \ x ) <-> ( t e. ( s X. k ) /\ -. t e. x ) ) |
78 |
77
|
anbi1i |
|- ( ( t e. ( ( s X. k ) \ x ) /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) <-> ( ( t e. ( s X. k ) /\ -. t e. x ) /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) ) |
79 |
|
anass |
|- ( ( ( t e. ( s X. k ) /\ -. t e. x ) /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) <-> ( t e. ( s X. k ) /\ ( -. t e. x /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) ) ) |
80 |
78 79
|
bitri |
|- ( ( t e. ( ( s X. k ) \ x ) /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) <-> ( t e. ( s X. k ) /\ ( -. t e. x /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) ) ) |
81 |
80
|
rexbii2 |
|- ( E. t e. ( ( s X. k ) \ x ) ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b <-> E. t e. ( s X. k ) ( -. t e. x /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) ) |
82 |
|
ancom |
|- ( ( -. t e. x /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) <-> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b /\ -. t e. x ) ) |
83 |
|
fveqeq2 |
|- ( t = <. a , u >. -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b <-> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b ) ) |
84 |
|
eleq1 |
|- ( t = <. a , u >. -> ( t e. x <-> <. a , u >. e. x ) ) |
85 |
84
|
notbid |
|- ( t = <. a , u >. -> ( -. t e. x <-> -. <. a , u >. e. x ) ) |
86 |
83 85
|
anbi12d |
|- ( t = <. a , u >. -> ( ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b /\ -. t e. x ) <-> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) ) ) |
87 |
82 86
|
syl5bb |
|- ( t = <. a , u >. -> ( ( -. t e. x /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) <-> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) ) ) |
88 |
87
|
rexxp |
|- ( E. t e. ( s X. k ) ( -. t e. x /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) <-> E. a e. s E. u e. k ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) ) |
89 |
81 88
|
bitri |
|- ( E. t e. ( ( s X. k ) \ x ) ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b <-> E. a e. s E. u e. k ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) ) |
90 |
|
simpl |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> s C_ U. R ) |
91 |
90
|
sselda |
|- ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) -> a e. U. R ) |
92 |
91
|
adantr |
|- ( ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) /\ u e. k ) -> a e. U. R ) |
93 |
|
simplr |
|- ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) -> k C_ U. S ) |
94 |
93
|
sselda |
|- ( ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) /\ u e. k ) -> u e. U. S ) |
95 |
92 94
|
opelxpd |
|- ( ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) /\ u e. k ) -> <. a , u >. e. ( U. R X. U. S ) ) |
96 |
95
|
fvresd |
|- ( ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) /\ u e. k ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = ( 2nd ` <. a , u >. ) ) |
97 |
|
vex |
|- a e. _V |
98 |
|
vex |
|- u e. _V |
99 |
97 98
|
op2nd |
|- ( 2nd ` <. a , u >. ) = u |
100 |
96 99
|
eqtrdi |
|- ( ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) /\ u e. k ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = u ) |
101 |
100
|
eqeq1d |
|- ( ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) /\ u e. k ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b <-> u = b ) ) |
102 |
101
|
anbi1d |
|- ( ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) /\ u e. k ) -> ( ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) <-> ( u = b /\ -. <. a , u >. e. x ) ) ) |
103 |
102
|
rexbidva |
|- ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) -> ( E. u e. k ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) <-> E. u e. k ( u = b /\ -. <. a , u >. e. x ) ) ) |
104 |
|
opeq2 |
|- ( u = b -> <. a , u >. = <. a , b >. ) |
105 |
104
|
eleq1d |
|- ( u = b -> ( <. a , u >. e. x <-> <. a , b >. e. x ) ) |
106 |
105
|
notbid |
|- ( u = b -> ( -. <. a , u >. e. x <-> -. <. a , b >. e. x ) ) |
107 |
106
|
ceqsrexbv |
|- ( E. u e. k ( u = b /\ -. <. a , u >. e. x ) <-> ( b e. k /\ -. <. a , b >. e. x ) ) |
108 |
103 107
|
bitrdi |
|- ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ a e. s ) -> ( E. u e. k ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) <-> ( b e. k /\ -. <. a , b >. e. x ) ) ) |
109 |
108
|
rexbidva |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( E. a e. s E. u e. k ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) <-> E. a e. s ( b e. k /\ -. <. a , b >. e. x ) ) ) |
110 |
|
r19.42v |
|- ( E. a e. s ( b e. k /\ -. <. a , b >. e. x ) <-> ( b e. k /\ E. a e. s -. <. a , b >. e. x ) ) |
111 |
109 110
|
bitrdi |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( E. a e. s E. u e. k ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` <. a , u >. ) = b /\ -. <. a , u >. e. x ) <-> ( b e. k /\ E. a e. s -. <. a , b >. e. x ) ) ) |
112 |
89 111
|
syl5bb |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( E. t e. ( ( s X. k ) \ x ) ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b <-> ( b e. k /\ E. a e. s -. <. a , b >. e. x ) ) ) |
113 |
|
f2ndres |
|- ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) : ( U. R X. U. S ) --> U. S |
114 |
|
ffn |
|- ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) : ( U. R X. U. S ) --> U. S -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) Fn ( U. R X. U. S ) ) |
115 |
113 114
|
ax-mp |
|- ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) Fn ( U. R X. U. S ) |
116 |
|
difss |
|- ( ( s X. k ) \ x ) C_ ( s X. k ) |
117 |
|
xpss12 |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( s X. k ) C_ ( U. R X. U. S ) ) |
118 |
116 117
|
sstrid |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( ( s X. k ) \ x ) C_ ( U. R X. U. S ) ) |
119 |
|
fvelimab |
|- ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) Fn ( U. R X. U. S ) /\ ( ( s X. k ) \ x ) C_ ( U. R X. U. S ) ) -> ( b e. ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) <-> E. t e. ( ( s X. k ) \ x ) ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) ) |
120 |
115 118 119
|
sylancr |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( b e. ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) <-> E. t e. ( ( s X. k ) \ x ) ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` t ) = b ) ) |
121 |
|
eldif |
|- ( b e. ( k \ { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) <-> ( b e. k /\ -. b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) |
122 |
|
simpr |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> k C_ U. S ) |
123 |
122
|
sselda |
|- ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ b e. k ) -> b e. U. S ) |
124 |
|
sneq |
|- ( v = b -> { v } = { b } ) |
125 |
124
|
xpeq2d |
|- ( v = b -> ( s X. { v } ) = ( s X. { b } ) ) |
126 |
125
|
sseq1d |
|- ( v = b -> ( ( s X. { v } ) C_ x <-> ( s X. { b } ) C_ x ) ) |
127 |
|
dfss3 |
|- ( ( s X. { b } ) C_ x <-> A. k e. ( s X. { b } ) k e. x ) |
128 |
|
eleq1 |
|- ( k = <. a , t >. -> ( k e. x <-> <. a , t >. e. x ) ) |
129 |
128
|
ralxp |
|- ( A. k e. ( s X. { b } ) k e. x <-> A. a e. s A. t e. { b } <. a , t >. e. x ) |
130 |
|
vex |
|- b e. _V |
131 |
|
opeq2 |
|- ( t = b -> <. a , t >. = <. a , b >. ) |
132 |
131
|
eleq1d |
|- ( t = b -> ( <. a , t >. e. x <-> <. a , b >. e. x ) ) |
133 |
130 132
|
ralsn |
|- ( A. t e. { b } <. a , t >. e. x <-> <. a , b >. e. x ) |
134 |
133
|
ralbii |
|- ( A. a e. s A. t e. { b } <. a , t >. e. x <-> A. a e. s <. a , b >. e. x ) |
135 |
127 129 134
|
3bitri |
|- ( ( s X. { b } ) C_ x <-> A. a e. s <. a , b >. e. x ) |
136 |
126 135
|
bitrdi |
|- ( v = b -> ( ( s X. { v } ) C_ x <-> A. a e. s <. a , b >. e. x ) ) |
137 |
136
|
elrab3 |
|- ( b e. U. S -> ( b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } <-> A. a e. s <. a , b >. e. x ) ) |
138 |
123 137
|
syl |
|- ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ b e. k ) -> ( b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } <-> A. a e. s <. a , b >. e. x ) ) |
139 |
138
|
notbid |
|- ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ b e. k ) -> ( -. b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } <-> -. A. a e. s <. a , b >. e. x ) ) |
140 |
|
rexnal |
|- ( E. a e. s -. <. a , b >. e. x <-> -. A. a e. s <. a , b >. e. x ) |
141 |
139 140
|
bitr4di |
|- ( ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) /\ b e. k ) -> ( -. b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } <-> E. a e. s -. <. a , b >. e. x ) ) |
142 |
141
|
pm5.32da |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( ( b e. k /\ -. b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) <-> ( b e. k /\ E. a e. s -. <. a , b >. e. x ) ) ) |
143 |
121 142
|
syl5bb |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( b e. ( k \ { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) <-> ( b e. k /\ E. a e. s -. <. a , b >. e. x ) ) ) |
144 |
112 120 143
|
3bitr4d |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( b e. ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) <-> b e. ( k \ { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) ) |
145 |
144
|
eqrdv |
|- ( ( s C_ U. R /\ k C_ U. S ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) = ( k \ { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) |
146 |
74 76 145
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) = ( k \ { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) |
147 |
|
difin |
|- ( k \ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) = ( k \ { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) |
148 |
65
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> S e. Top ) |
149 |
24
|
restuni |
|- ( ( S e. Top /\ k C_ U. S ) -> k = U. ( S |`t k ) ) |
150 |
148 76 149
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> k = U. ( S |`t k ) ) |
151 |
150
|
difeq1d |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( k \ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) = ( U. ( S |`t k ) \ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) ) |
152 |
147 151
|
eqtr3id |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( k \ { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) = ( U. ( S |`t k ) \ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) ) |
153 |
146 152
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) = ( U. ( S |`t k ) \ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) ) |
154 |
15
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) |
155 |
154
|
elin2d |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> S e. Haus ) |
156 |
|
df-ima |
|- ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) = ran ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) |` ( ( s X. k ) \ x ) ) |
157 |
|
resres |
|- ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) |` ( ( s X. k ) \ x ) ) = ( 2nd |` ( ( U. R X. U. S ) i^i ( ( s X. k ) \ x ) ) ) |
158 |
|
inss2 |
|- ( ( U. R X. U. S ) i^i ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ ( ( s X. k ) \ x ) |
159 |
158 116
|
sstri |
|- ( ( U. R X. U. S ) i^i ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ ( s X. k ) |
160 |
|
ssres2 |
|- ( ( ( U. R X. U. S ) i^i ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ ( s X. k ) -> ( 2nd |` ( ( U. R X. U. S ) i^i ( ( s X. k ) \ x ) ) ) C_ ( 2nd |` ( s X. k ) ) ) |
161 |
159 160
|
ax-mp |
|- ( 2nd |` ( ( U. R X. U. S ) i^i ( ( s X. k ) \ x ) ) ) C_ ( 2nd |` ( s X. k ) ) |
162 |
157 161
|
eqsstri |
|- ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) |` ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ ( 2nd |` ( s X. k ) ) |
163 |
162
|
rnssi |
|- ran ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) |` ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ ran ( 2nd |` ( s X. k ) ) |
164 |
156 163
|
eqsstri |
|- ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ ran ( 2nd |` ( s X. k ) ) |
165 |
|
f2ndres |
|- ( 2nd |` ( s X. k ) ) : ( s X. k ) --> k |
166 |
|
frn |
|- ( ( 2nd |` ( s X. k ) ) : ( s X. k ) --> k -> ran ( 2nd |` ( s X. k ) ) C_ k ) |
167 |
165 166
|
ax-mp |
|- ran ( 2nd |` ( s X. k ) ) C_ k |
168 |
164 167
|
sstri |
|- ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ k |
169 |
168 76
|
sstrid |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ U. S ) |
170 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> R e. ( TopOn ` U. R ) ) |
171 |
148 17
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> S e. ( TopOn ` U. S ) ) |
172 |
|
tx2cn |
|- ( ( R e. ( TopOn ` U. R ) /\ S e. ( TopOn ` U. S ) ) -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) |
173 |
170 171 172
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) |
174 |
27
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( R tX S ) e. Top ) |
175 |
116
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( s X. k ) \ x ) C_ ( s X. k ) ) |
176 |
|
vex |
|- s e. _V |
177 |
|
vex |
|- k e. _V |
178 |
176 177
|
xpex |
|- ( s X. k ) e. _V |
179 |
178
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( s X. k ) e. _V ) |
180 |
|
restabs |
|- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ( ( s X. k ) \ x ) C_ ( s X. k ) /\ ( s X. k ) e. _V ) -> ( ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) |`t ( ( s X. k ) \ x ) ) = ( ( R tX S ) |`t ( ( s X. k ) \ x ) ) ) |
181 |
174 175 179 180
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) |`t ( ( s X. k ) \ x ) ) = ( ( R tX S ) |`t ( ( s X. k ) \ x ) ) ) |
182 |
64
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> R e. Top ) |
183 |
154 4
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> S e. Top ) |
184 |
176
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> s e. _V ) |
185 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> k e. ~P U. S ) |
186 |
|
txrest |
|- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( s e. _V /\ k e. ~P U. S ) ) -> ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) = ( ( R |`t s ) tX ( S |`t k ) ) ) |
187 |
182 183 184 185 186
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) = ( ( R |`t s ) tX ( S |`t k ) ) ) |
188 |
|
simprr3 |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( R |`t s ) e. Comp ) |
189 |
188
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( R |`t s ) e. Comp ) |
190 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( S |`t k ) e. Comp ) |
191 |
|
txcmp |
|- ( ( ( R |`t s ) e. Comp /\ ( S |`t k ) e. Comp ) -> ( ( R |`t s ) tX ( S |`t k ) ) e. Comp ) |
192 |
189 190 191
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( R |`t s ) tX ( S |`t k ) ) e. Comp ) |
193 |
187 192
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) e. Comp ) |
194 |
|
difin |
|- ( ( s X. k ) \ ( ( s X. k ) i^i x ) ) = ( ( s X. k ) \ x ) |
195 |
74 76 117
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( s X. k ) C_ ( U. R X. U. S ) ) |
196 |
182 148 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) ) |
197 |
195 196
|
sseqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( s X. k ) C_ U. ( R tX S ) ) |
198 |
28
|
restuni |
|- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ( s X. k ) C_ U. ( R tX S ) ) -> ( s X. k ) = U. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) |
199 |
174 197 198
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( s X. k ) = U. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) |
200 |
199
|
difeq1d |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( s X. k ) \ ( ( s X. k ) i^i x ) ) = ( U. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) \ ( ( s X. k ) i^i x ) ) ) |
201 |
194 200
|
eqtr3id |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( s X. k ) \ x ) = ( U. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) \ ( ( s X. k ) i^i x ) ) ) |
202 |
|
resttop |
|- ( ( ( R tX S ) e. Top /\ ( s X. k ) e. _V ) -> ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) e. Top ) |
203 |
174 178 202
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) e. Top ) |
204 |
|
incom |
|- ( ( s X. k ) i^i x ) = ( x i^i ( s X. k ) ) |
205 |
20
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) |
206 |
|
kgeni |
|- ( ( x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) /\ ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) e. Comp ) -> ( x i^i ( s X. k ) ) e. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) |
207 |
205 193 206
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( x i^i ( s X. k ) ) e. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) |
208 |
204 207
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( s X. k ) i^i x ) e. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) |
209 |
|
eqid |
|- U. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) = U. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) |
210 |
209
|
opncld |
|- ( ( ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) e. Top /\ ( ( s X. k ) i^i x ) e. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) -> ( U. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) \ ( ( s X. k ) i^i x ) ) e. ( Clsd ` ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) ) |
211 |
203 208 210
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( U. ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) \ ( ( s X. k ) i^i x ) ) e. ( Clsd ` ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) ) |
212 |
201 211
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( s X. k ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) ) |
213 |
|
cmpcld |
|- ( ( ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) e. Comp /\ ( ( s X. k ) \ x ) e. ( Clsd ` ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) ) ) -> ( ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) |`t ( ( s X. k ) \ x ) ) e. Comp ) |
214 |
193 212 213
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( R tX S ) |`t ( s X. k ) ) |`t ( ( s X. k ) \ x ) ) e. Comp ) |
215 |
181 214
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( R tX S ) |`t ( ( s X. k ) \ x ) ) e. Comp ) |
216 |
|
imacmp |
|- ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) /\ ( ( R tX S ) |`t ( ( s X. k ) \ x ) ) e. Comp ) -> ( S |`t ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) ) e. Comp ) |
217 |
173 215 216
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( S |`t ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) ) e. Comp ) |
218 |
24
|
hauscmp |
|- ( ( S e. Haus /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ U. S /\ ( S |`t ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) ) e. Comp ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) e. ( Clsd ` S ) ) |
219 |
155 169 217 218
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) e. ( Clsd ` S ) ) |
220 |
168
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ k ) |
221 |
24
|
restcldi |
|- ( ( k C_ U. S /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) e. ( Clsd ` S ) /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) C_ k ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) e. ( Clsd ` ( S |`t k ) ) ) |
222 |
76 219 220 221
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) " ( ( s X. k ) \ x ) ) e. ( Clsd ` ( S |`t k ) ) ) |
223 |
153 222
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( U. ( S |`t k ) \ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) e. ( Clsd ` ( S |`t k ) ) ) |
224 |
|
resttop |
|- ( ( S e. Top /\ k e. ~P U. S ) -> ( S |`t k ) e. Top ) |
225 |
148 185 224
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( S |`t k ) e. Top ) |
226 |
|
inss1 |
|- ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) C_ k |
227 |
226 150
|
sseqtrid |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) C_ U. ( S |`t k ) ) |
228 |
|
eqid |
|- U. ( S |`t k ) = U. ( S |`t k ) |
229 |
228
|
isopn2 |
|- ( ( ( S |`t k ) e. Top /\ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) C_ U. ( S |`t k ) ) -> ( ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) e. ( S |`t k ) <-> ( U. ( S |`t k ) \ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) e. ( Clsd ` ( S |`t k ) ) ) ) |
230 |
225 227 229
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) e. ( S |`t k ) <-> ( U. ( S |`t k ) \ ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) e. ( Clsd ` ( S |`t k ) ) ) ) |
231 |
223 230
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( k i^i { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) e. ( S |`t k ) ) |
232 |
69 231
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ ( k e. ~P U. S /\ ( S |`t k ) e. Comp ) ) -> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } i^i k ) e. ( S |`t k ) ) |
233 |
232
|
expr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ k e. ~P U. S ) -> ( ( S |`t k ) e. Comp -> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } i^i k ) e. ( S |`t k ) ) ) |
234 |
233
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> A. k e. ~P U. S ( ( S |`t k ) e. Comp -> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } i^i k ) e. ( S |`t k ) ) ) |
235 |
65 17
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> S e. ( TopOn ` U. S ) ) |
236 |
|
elkgen |
|- ( S e. ( TopOn ` U. S ) -> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } e. ( kGen ` S ) <-> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } C_ U. S /\ A. k e. ~P U. S ( ( S |`t k ) e. Comp -> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } i^i k ) e. ( S |`t k ) ) ) ) ) |
237 |
235 236
|
syl |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } e. ( kGen ` S ) <-> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } C_ U. S /\ A. k e. ~P U. S ( ( S |`t k ) e. Comp -> ( { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } i^i k ) e. ( S |`t k ) ) ) ) ) |
238 |
68 234 237
|
mpbir2and |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } e. ( kGen ` S ) ) |
239 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) |
240 |
239 2
|
syl |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> S e. ran kGen ) |
241 |
|
kgenidm |
|- ( S e. ran kGen -> ( kGen ` S ) = S ) |
242 |
240 241
|
syl |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( kGen ` S ) = S ) |
243 |
238 242
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } e. S ) |
244 |
|
txopn |
|- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( u e. R /\ { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } e. S ) ) -> ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) e. ( R tX S ) ) |
245 |
64 65 66 243 244
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) e. ( R tX S ) ) |
246 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. ) |
247 |
|
simprr1 |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( 1st ` y ) e. u ) |
248 |
|
sneq |
|- ( v = ( 2nd ` y ) -> { v } = { ( 2nd ` y ) } ) |
249 |
248
|
xpeq2d |
|- ( v = ( 2nd ` y ) -> ( s X. { v } ) = ( s X. { ( 2nd ` y ) } ) ) |
250 |
249
|
sseq1d |
|- ( v = ( 2nd ` y ) -> ( ( s X. { v } ) C_ x <-> ( s X. { ( 2nd ` y ) } ) C_ x ) ) |
251 |
34
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( 2nd ` y ) e. U. S ) |
252 |
|
relxp |
|- Rel ( s X. { ( 2nd ` y ) } ) |
253 |
252
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> Rel ( s X. { ( 2nd ` y ) } ) ) |
254 |
|
opelxp |
|- ( <. a , b >. e. ( s X. { ( 2nd ` y ) } ) <-> ( a e. s /\ b e. { ( 2nd ` y ) } ) ) |
255 |
71
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ a e. s ) -> a e. { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } ) |
256 |
|
opeq1 |
|- ( t = a -> <. t , ( 2nd ` y ) >. = <. a , ( 2nd ` y ) >. ) |
257 |
256
|
eleq1d |
|- ( t = a -> ( <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x <-> <. a , ( 2nd ` y ) >. e. x ) ) |
258 |
257
|
elrab |
|- ( a e. { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } <-> ( a e. U. R /\ <. a , ( 2nd ` y ) >. e. x ) ) |
259 |
258
|
simprbi |
|- ( a e. { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } -> <. a , ( 2nd ` y ) >. e. x ) |
260 |
255 259
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ a e. s ) -> <. a , ( 2nd ` y ) >. e. x ) |
261 |
|
elsni |
|- ( b e. { ( 2nd ` y ) } -> b = ( 2nd ` y ) ) |
262 |
261
|
opeq2d |
|- ( b e. { ( 2nd ` y ) } -> <. a , b >. = <. a , ( 2nd ` y ) >. ) |
263 |
262
|
eleq1d |
|- ( b e. { ( 2nd ` y ) } -> ( <. a , b >. e. x <-> <. a , ( 2nd ` y ) >. e. x ) ) |
264 |
260 263
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ a e. s ) -> ( b e. { ( 2nd ` y ) } -> <. a , b >. e. x ) ) |
265 |
264
|
expimpd |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( a e. s /\ b e. { ( 2nd ` y ) } ) -> <. a , b >. e. x ) ) |
266 |
254 265
|
syl5bi |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( <. a , b >. e. ( s X. { ( 2nd ` y ) } ) -> <. a , b >. e. x ) ) |
267 |
253 266
|
relssdv |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( s X. { ( 2nd ` y ) } ) C_ x ) |
268 |
250 251 267
|
elrabd |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( 2nd ` y ) e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) |
269 |
247 268
|
opelxpd |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. e. ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) |
270 |
246 269
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> y e. ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) |
271 |
|
relxp |
|- Rel ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) |
272 |
271
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> Rel ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) |
273 |
|
opelxp |
|- ( <. a , b >. e. ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) <-> ( a e. u /\ b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) |
274 |
126
|
elrab |
|- ( b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } <-> ( b e. U. S /\ ( s X. { b } ) C_ x ) ) |
275 |
274
|
simprbi |
|- ( b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } -> ( s X. { b } ) C_ x ) |
276 |
|
simprr2 |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> u C_ s ) |
277 |
276
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ a e. u ) -> a e. s ) |
278 |
|
vsnid |
|- b e. { b } |
279 |
|
opelxpi |
|- ( ( a e. s /\ b e. { b } ) -> <. a , b >. e. ( s X. { b } ) ) |
280 |
277 278 279
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ a e. u ) -> <. a , b >. e. ( s X. { b } ) ) |
281 |
|
ssel |
|- ( ( s X. { b } ) C_ x -> ( <. a , b >. e. ( s X. { b } ) -> <. a , b >. e. x ) ) |
282 |
275 280 281
|
syl2imc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) /\ a e. u ) -> ( b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } -> <. a , b >. e. x ) ) |
283 |
282
|
expimpd |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( ( a e. u /\ b e. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) -> <. a , b >. e. x ) ) |
284 |
273 283
|
syl5bi |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( <. a , b >. e. ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) -> <. a , b >. e. x ) ) |
285 |
272 284
|
relssdv |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) C_ x ) |
286 |
|
eleq2 |
|- ( t = ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) -> ( y e. t <-> y e. ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) ) ) |
287 |
|
sseq1 |
|- ( t = ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) -> ( t C_ x <-> ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) C_ x ) ) |
288 |
286 287
|
anbi12d |
|- ( t = ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) -> ( ( y e. t /\ t C_ x ) <-> ( y e. ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) /\ ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) C_ x ) ) ) |
289 |
288
|
rspcev |
|- ( ( ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) e. ( R tX S ) /\ ( y e. ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) /\ ( u X. { v e. U. S | ( s X. { v } ) C_ x } ) C_ x ) ) -> E. t e. ( R tX S ) ( y e. t /\ t C_ x ) ) |
290 |
245 270 285 289
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) /\ ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) ) ) -> E. t e. ( R tX S ) ( y e. t /\ t C_ x ) ) |
291 |
290
|
expr |
|- ( ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) /\ ( s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } /\ u e. R ) ) -> ( ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) -> E. t e. ( R tX S ) ( y e. t /\ t C_ x ) ) ) |
292 |
291
|
rexlimdvva |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> ( E. s e. ~P { t e. U. R | <. t , ( 2nd ` y ) >. e. x } E. u e. R ( ( 1st ` y ) e. u /\ u C_ s /\ ( R |`t s ) e. Comp ) -> E. t e. ( R tX S ) ( y e. t /\ t C_ x ) ) ) |
293 |
63 292
|
mpd |
|- ( ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) /\ y e. x ) -> E. t e. ( R tX S ) ( y e. t /\ t C_ x ) ) |
294 |
293
|
ralrimiva |
|- ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) -> A. y e. x E. t e. ( R tX S ) ( y e. t /\ t C_ x ) ) |
295 |
6
|
adantr |
|- ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) -> ( R tX S ) e. Top ) |
296 |
|
eltop2 |
|- ( ( R tX S ) e. Top -> ( x e. ( R tX S ) <-> A. y e. x E. t e. ( R tX S ) ( y e. t /\ t C_ x ) ) ) |
297 |
295 296
|
syl |
|- ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) -> ( x e. ( R tX S ) <-> A. y e. x E. t e. ( R tX S ) ( y e. t /\ t C_ x ) ) ) |
298 |
294 297
|
mpbird |
|- ( ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) /\ x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) ) -> x e. ( R tX S ) ) |
299 |
298
|
ex |
|- ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) -> ( x e. ( kGen ` ( R tX S ) ) -> x e. ( R tX S ) ) ) |
300 |
299
|
ssrdv |
|- ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) -> ( kGen ` ( R tX S ) ) C_ ( R tX S ) ) |
301 |
|
iskgen2 |
|- ( ( R tX S ) e. ran kGen <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ ( kGen ` ( R tX S ) ) C_ ( R tX S ) ) ) |
302 |
6 300 301
|
sylanbrc |
|- ( ( R e. N-Locally Comp /\ S e. ( ran kGen i^i Haus ) ) -> ( R tX S ) e. ran kGen ) |