Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bpos.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 5 ) ) |
2 |
|
bpos.2 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
3 |
|
bpos.3 |
⊢ 𝐹 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( 𝑛 ↑ ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) , 1 ) ) |
4 |
|
bpos.4 |
⊢ 𝐾 = ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
5 |
|
bpos.5 |
⊢ 𝑀 = ( ⌊ ‘ ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
6 |
|
4nn |
⊢ 4 ∈ ℕ |
7 |
|
5nn |
⊢ 5 ∈ ℕ |
8 |
|
eluznn |
⊢ ( ( 5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 5 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
9 |
7 1 8
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
10 |
9
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
11 |
|
nnexpcl |
⊢ ( ( 4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 4 ↑ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
12 |
6 10 11
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 ↑ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
13 |
12
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
14 |
13 9
|
nndivred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 4 ↑ 𝑁 ) / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
15 |
|
fzctr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
16 |
10 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
17 |
|
bccl2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
18 |
16 17
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
19 |
18
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
20 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
21 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
22 |
20 9 21
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
23 |
22
|
nnrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
24 |
22
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
25 |
23
|
rpge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) |
26 |
24 25
|
resqrtcld |
⊢ ( 𝜑 → ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
|
3nn |
⊢ 3 ∈ ℕ |
28 |
|
nndivre |
⊢ ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
29 |
26 27 28
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
30 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
31 |
|
readdcl |
⊢ ( ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ) → ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ∈ ℝ ) |
32 |
29 30 31
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ∈ ℝ ) |
33 |
23 32
|
rpcxpcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) ∈ ℝ+ ) |
34 |
33
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) ∈ ℝ ) |
35 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
36 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( 4 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 4 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
37 |
6 9 36
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
38 |
37
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
39 |
|
nndivre |
⊢ ( ( ( 4 · 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ ) → ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
40 |
38 27 39
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
41 |
|
5re |
⊢ 5 ∈ ℝ |
42 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ ) → ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ∈ ℝ ) |
43 |
40 41 42
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ∈ ℝ ) |
44 |
|
rpcxpcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ+ ∧ ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ∈ ℝ ) → ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ∈ ℝ+ ) |
45 |
35 43 44
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ∈ ℝ+ ) |
46 |
45
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ∈ ℝ ) |
47 |
34 46
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ) ∈ ℝ ) |
48 |
|
df-5 |
⊢ 5 = ( 4 + 1 ) |
49 |
|
4z |
⊢ 4 ∈ ℤ |
50 |
|
uzid |
⊢ ( 4 ∈ ℤ → 4 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ) |
51 |
|
peano2uz |
⊢ ( 4 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) → ( 4 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ) |
52 |
49 50 51
|
mp2b |
⊢ ( 4 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) |
53 |
48 52
|
eqeltri |
⊢ 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) |
54 |
|
eqid |
⊢ ( ℤ≥ ‘ 4 ) = ( ℤ≥ ‘ 4 ) |
55 |
54
|
uztrn2 |
⊢ ( ( 5 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 5 ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ) |
56 |
53 1 55
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) ) |
57 |
|
bclbnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 4 ) → ( ( 4 ↑ 𝑁 ) / 𝑁 ) < ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) |
58 |
56 57
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 4 ↑ 𝑁 ) / 𝑁 ) < ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) |
59 |
|
id |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ ) |
60 |
|
pccl |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℙ ∧ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
61 |
59 18 60
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ ) → ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
62 |
61
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑛 ∈ ℙ ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
63 |
3 62
|
pcmptcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 : ℕ ⟶ ℕ ∧ seq 1 ( · , 𝐹 ) : ℕ ⟶ ℕ ) ) |
64 |
63
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → seq 1 ( · , 𝐹 ) : ℕ ⟶ ℕ ) |
65 |
1 2 3 4 5
|
bposlem4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( 3 ... 𝐾 ) ) |
66 |
|
elfzuz |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( 3 ... 𝐾 ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
67 |
65 66
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
68 |
|
eluznn |
⊢ ( ( 3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
69 |
27 67 68
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ ) |
70 |
64 69
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
71 |
70
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
72 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
73 |
|
nndivre |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ ) → ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
74 |
24 27 73
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
75 |
74
|
flcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ∈ ℤ ) |
76 |
4 75
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ ) |
77 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
78 |
72 76 77
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
79 |
7
|
nnzi |
⊢ 5 ∈ ℤ |
80 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ∈ ℤ ) |
81 |
78 79 80
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ∈ ℤ ) |
82 |
81
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ∈ ℝ ) |
83 |
|
rpcxpcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ+ ∧ ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ∈ ℝ ) → ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ∈ ℝ+ ) |
84 |
35 82 83
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ∈ ℝ+ ) |
85 |
84
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ∈ ℝ ) |
86 |
71 85
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ∈ ℝ ) |
87 |
1 2 3 4
|
bposlem3 |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) = ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) |
88 |
|
elfzuz3 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( 3 ... 𝐾 ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
89 |
65 88
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
90 |
3 62 69 89
|
pcmptdvds |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∥ ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ) |
91 |
70
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
92 |
70
|
nnne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ≠ 0 ) |
93 |
|
uztrn |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
94 |
89 67 93
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
95 |
|
eluznn |
⊢ ( ( 3 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝐾 ∈ ℕ ) |
96 |
27 94 95
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ ) |
97 |
64 96
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ ) |
98 |
97
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
99 |
|
dvdsval2 |
⊢ ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ≠ 0 ∧ ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ∈ ℤ ) → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∥ ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ↔ ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ) |
100 |
91 92 98 99
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∥ ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ↔ ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ) |
101 |
90 100
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
102 |
101
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℝ ) |
103 |
69
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ ) |
104 |
76
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ ) |
105 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ≤ 𝐾 ) |
106 |
89 105
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾 ) |
107 |
|
efchtdvds |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ) |
108 |
103 104 106 107
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ) |
109 |
|
efchtcl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℝ → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℕ ) |
110 |
103 109
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℕ ) |
111 |
110
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
112 |
110
|
nnne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ≠ 0 ) |
113 |
|
efchtcl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ ) |
114 |
104 113
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℕ ) |
115 |
114
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℤ ) |
116 |
|
dvdsval2 |
⊢ ( ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ∧ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ≠ 0 ∧ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℤ ) ) |
117 |
111 112 115 116
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℤ ) ) |
118 |
108 117
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℤ ) |
119 |
118
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℝ ) |
120 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ ) |
121 |
|
fllt |
⊢ ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) < 𝑝 ↔ ( ⌊ ‘ ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) < 𝑝 ) ) |
122 |
26 120 121
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) < 𝑝 ↔ ( ⌊ ‘ ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) < 𝑝 ) ) |
123 |
5
|
breq1i |
⊢ ( 𝑀 < 𝑝 ↔ ( ⌊ ‘ ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) < 𝑝 ) |
124 |
122 123
|
bitr4di |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) < 𝑝 ↔ 𝑀 < 𝑝 ) ) |
125 |
120
|
zred |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ ) |
126 |
|
ltnle |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ) → ( 𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) ) |
127 |
103 125 126
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑀 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) ) |
128 |
124 127
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) ) |
129 |
|
bposlem1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) |
130 |
9 129
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) |
131 |
125
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℝ ) |
132 |
|
id |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ ) |
133 |
|
pccl |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
134 |
132 18 133
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
135 |
131 134
|
reexpcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ) |
136 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
137 |
131
|
resqcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
138 |
|
lelttr |
⊢ ( ( ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑝 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ∧ ( 2 · 𝑁 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) → ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) ) |
139 |
135 136 137 138
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) ≤ ( 2 · 𝑁 ) ∧ ( 2 · 𝑁 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) → ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) ) |
140 |
130 139
|
mpand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 2 · 𝑁 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) → ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) ) |
141 |
|
resqrtth |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ↑ 2 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
142 |
24 25 141
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ↑ 2 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
143 |
142
|
breq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ↑ 2 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ↔ ( 2 · 𝑁 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) ) |
144 |
143
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ↑ 2 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ↔ ( 2 · 𝑁 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) ) |
145 |
134
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
146 |
72
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 2 ∈ ℤ ) |
147 |
|
prmgt1 |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝 ) |
148 |
147
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 1 < 𝑝 ) |
149 |
131 145 146 148
|
ltexp2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) < 2 ↔ ( 𝑝 ↑ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) ) |
150 |
140 144 149
|
3imtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ↑ 2 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) < 2 ) ) |
151 |
|
df-2 |
⊢ 2 = ( 1 + 1 ) |
152 |
151
|
breq2i |
⊢ ( ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) < 2 ↔ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) < ( 1 + 1 ) ) |
153 |
150 152
|
syl6ib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ↑ 2 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) |
154 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
155 |
24 25
|
sqrtge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
156 |
155
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 0 ≤ ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
157 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ ) |
158 |
157
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+ ) |
159 |
158
|
rpge0d |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑝 ) |
160 |
159
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 0 ≤ 𝑝 ) |
161 |
154 131 156 160
|
lt2sqd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) < 𝑝 ↔ ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ↑ 2 ) < ( 𝑝 ↑ 2 ) ) ) |
162 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
163 |
|
zleltp1 |
⊢ ( ( ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ≤ 1 ↔ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) |
164 |
145 162 163
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ≤ 1 ↔ ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) |
165 |
153 161 164
|
3imtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) < 𝑝 → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ≤ 1 ) ) |
166 |
128 165
|
sylbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ≤ 1 ) ) |
167 |
166
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ≤ 1 ) |
168 |
167
|
adantrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) ) → ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ≤ 1 ) |
169 |
|
iftrue |
⊢ ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
170 |
169
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
171 |
|
iftrue |
⊢ ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) = 1 ) |
172 |
171
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) = 1 ) |
173 |
168 170 172
|
3brtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) ≤ if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) ) |
174 |
|
0le0 |
⊢ 0 ≤ 0 |
175 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) = 0 ) |
176 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) = 0 ) |
177 |
175 176
|
breq12d |
⊢ ( ¬ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) → ( if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) ≤ if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) ↔ 0 ≤ 0 ) ) |
178 |
174 177
|
mpbiri |
⊢ ( ¬ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) ≤ if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) ) |
179 |
178
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ ¬ ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) ≤ if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) ) |
180 |
173 179
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) ≤ if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) ) |
181 |
62
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ∀ 𝑛 ∈ ℙ ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
182 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
183 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
184 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑝 → ( 𝑛 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) = ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) ) |
185 |
89
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
186 |
3 181 182 183 184 185
|
pcmpt2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ) = if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , ( 𝑝 pCnt ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) ) , 0 ) ) |
187 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) |
188 |
187
|
prmorcht |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝐾 ) ) |
189 |
96 188
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝐾 ) ) |
190 |
187
|
prmorcht |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝑀 ) ) |
191 |
69 190
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝑀 ) ) |
192 |
189 191
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) = ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
193 |
192
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) = ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
194 |
193
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) = ( 𝑝 pCnt ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝑀 ) ) ) ) |
195 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ ) |
196 |
195
|
exp1d |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 ↑ 1 ) = 𝑛 ) |
197 |
196
|
ifeq1d |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( 𝑛 ↑ 1 ) , 1 ) = if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) |
198 |
197
|
mpteq2ia |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( 𝑛 ↑ 1 ) , 1 ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) |
199 |
198
|
eqcomi |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( 𝑛 ↑ 1 ) , 1 ) ) |
200 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
201 |
200
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ ) → 1 ∈ ℕ0 ) |
202 |
201
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ0 ) |
203 |
202
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ∀ 𝑛 ∈ ℙ 1 ∈ ℕ0 ) |
204 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝑛 = 𝑝 → 1 = 1 ) |
205 |
199 203 182 183 204 185
|
pcmpt2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , 𝑛 , 1 ) ) ) ‘ 𝑀 ) ) ) = if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) ) |
206 |
194 205
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) = if ( ( 𝑝 ≤ 𝐾 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑀 ) , 1 , 0 ) ) |
207 |
180 186 206
|
3brtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 pCnt ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ) ≤ ( 𝑝 pCnt ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) ) |
208 |
207
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑝 pCnt ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ) ≤ ( 𝑝 pCnt ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) ) |
209 |
|
pc2dvds |
⊢ ( ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑝 pCnt ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ) ≤ ( 𝑝 pCnt ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
210 |
101 118 209
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ ℙ ( 𝑝 pCnt ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ) ≤ ( 𝑝 pCnt ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
211 |
208 210
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) |
212 |
114
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℝ ) |
213 |
110
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℝ ) |
214 |
114
|
nngt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ) |
215 |
110
|
nngt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) |
216 |
212 213 214 215
|
divgt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) |
217 |
|
elnnz |
⊢ ( ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℕ ↔ ( ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) ) |
218 |
118 216 217
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℕ ) |
219 |
|
dvdsle |
⊢ ( ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ ℕ ) → ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ≤ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) ) |
220 |
101 218 219
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ∥ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ≤ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) ) |
221 |
211 220
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ≤ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) |
222 |
|
nndivre |
⊢ ( ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ ) → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / 4 ) ∈ ℝ ) |
223 |
212 6 222
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / 4 ) ∈ ℝ ) |
224 |
|
4re |
⊢ 4 ∈ ℝ |
225 |
224
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 4 ∈ ℝ ) |
226 |
|
6re |
⊢ 6 ∈ ℝ |
227 |
226
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 6 ∈ ℝ ) |
228 |
|
4lt6 |
⊢ 4 < 6 |
229 |
228
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 4 < 6 ) |
230 |
|
cht3 |
⊢ ( θ ‘ 3 ) = ( log ‘ 6 ) |
231 |
230
|
fveq2i |
⊢ ( exp ‘ ( θ ‘ 3 ) ) = ( exp ‘ ( log ‘ 6 ) ) |
232 |
|
6pos |
⊢ 0 < 6 |
233 |
226 232
|
elrpii |
⊢ 6 ∈ ℝ+ |
234 |
|
reeflog |
⊢ ( 6 ∈ ℝ+ → ( exp ‘ ( log ‘ 6 ) ) = 6 ) |
235 |
233 234
|
ax-mp |
⊢ ( exp ‘ ( log ‘ 6 ) ) = 6 |
236 |
231 235
|
eqtri |
⊢ ( exp ‘ ( θ ‘ 3 ) ) = 6 |
237 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
238 |
237
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℝ ) |
239 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 3 ≤ 𝑀 ) |
240 |
67 239
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 3 ≤ 𝑀 ) |
241 |
|
chtwordi |
⊢ ( ( 3 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑀 ) → ( θ ‘ 3 ) ≤ ( θ ‘ 𝑀 ) ) |
242 |
238 103 240 241
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( θ ‘ 3 ) ≤ ( θ ‘ 𝑀 ) ) |
243 |
|
chtcl |
⊢ ( 3 ∈ ℝ → ( θ ‘ 3 ) ∈ ℝ ) |
244 |
237 243
|
ax-mp |
⊢ ( θ ‘ 3 ) ∈ ℝ |
245 |
|
chtcl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℝ → ( θ ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
246 |
103 245
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( θ ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
247 |
|
efle |
⊢ ( ( ( θ ‘ 3 ) ∈ ℝ ∧ ( θ ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) → ( ( θ ‘ 3 ) ≤ ( θ ‘ 𝑀 ) ↔ ( exp ‘ ( θ ‘ 3 ) ) ≤ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) |
248 |
244 246 247
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( θ ‘ 3 ) ≤ ( θ ‘ 𝑀 ) ↔ ( exp ‘ ( θ ‘ 3 ) ) ≤ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ) |
249 |
242 248
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 3 ) ) ≤ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) |
250 |
236 249
|
eqbrtrrid |
⊢ ( 𝜑 → 6 ≤ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) |
251 |
225 227 213 229 250
|
ltletrd |
⊢ ( 𝜑 → 4 < ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) |
252 |
|
4pos |
⊢ 0 < 4 |
253 |
252
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 4 ) |
254 |
|
ltdiv2 |
⊢ ( ( ( 4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4 ) ∧ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) ∧ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ) ) → ( 4 < ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ↔ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) < ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / 4 ) ) ) |
255 |
225 253 213 215 212 214 254
|
syl222anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 < ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ↔ ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) < ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / 4 ) ) ) |
256 |
251 255
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) < ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / 4 ) ) |
257 |
30
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℝ ) |
258 |
|
2lt3 |
⊢ 2 < 3 |
259 |
258
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 < 3 ) |
260 |
238 103 104 240 106
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 3 ≤ 𝐾 ) |
261 |
257 238 104 259 260
|
ltletrd |
⊢ ( 𝜑 → 2 < 𝐾 ) |
262 |
|
chtub |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐾 ) → ( θ ‘ 𝐾 ) < ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) |
263 |
104 261 262
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( θ ‘ 𝐾 ) < ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) |
264 |
|
chtcl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( θ ‘ 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
265 |
104 264
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( θ ‘ 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
266 |
|
relogcl |
⊢ ( 2 ∈ ℝ+ → ( log ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
267 |
35 266
|
ax-mp |
⊢ ( log ‘ 2 ) ∈ ℝ |
268 |
|
3z |
⊢ 3 ∈ ℤ |
269 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ∈ ℤ ) |
270 |
78 268 269
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ∈ ℤ ) |
271 |
270
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ∈ ℝ ) |
272 |
|
remulcl |
⊢ ( ( ( log ‘ 2 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ∈ ℝ ) → ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ∈ ℝ ) |
273 |
267 271 272
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ∈ ℝ ) |
274 |
|
eflt |
⊢ ( ( ( θ ‘ 𝐾 ) ∈ ℝ ∧ ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( θ ‘ 𝐾 ) < ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ↔ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) < ( exp ‘ ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) ) ) |
275 |
265 273 274
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( θ ‘ 𝐾 ) < ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ↔ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) < ( exp ‘ ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) ) ) |
276 |
263 275
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) < ( exp ‘ ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) ) |
277 |
|
reexplog |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ+ ∧ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ∈ ℤ ) → ( 2 ↑ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) = ( exp ‘ ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) · ( log ‘ 2 ) ) ) ) |
278 |
35 270 277
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) = ( exp ‘ ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) · ( log ‘ 2 ) ) ) ) |
279 |
270
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ∈ ℂ ) |
280 |
267
|
recni |
⊢ ( log ‘ 2 ) ∈ ℂ |
281 |
|
mulcom |
⊢ ( ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ∈ ℂ ∧ ( log ‘ 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) · ( log ‘ 2 ) ) = ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) |
282 |
279 280 281
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) · ( log ‘ 2 ) ) = ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) |
283 |
282
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) · ( log ‘ 2 ) ) ) = ( exp ‘ ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) ) |
284 |
278 283
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) = ( exp ‘ ( ( log ‘ 2 ) · ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) ) |
285 |
276 284
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) < ( 2 ↑ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) |
286 |
|
3p2e5 |
⊢ ( 3 + 2 ) = 5 |
287 |
286
|
oveq1i |
⊢ ( ( 3 + 2 ) − 2 ) = ( 5 − 2 ) |
288 |
|
3cn |
⊢ 3 ∈ ℂ |
289 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
290 |
288 289
|
pncan3oi |
⊢ ( ( 3 + 2 ) − 2 ) = 3 |
291 |
287 290
|
eqtr3i |
⊢ ( 5 − 2 ) = 3 |
292 |
291
|
oveq2i |
⊢ ( ( 2 · 𝐾 ) − ( 5 − 2 ) ) = ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) |
293 |
78
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
294 |
|
5cn |
⊢ 5 ∈ ℂ |
295 |
|
subsub |
⊢ ( ( ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ) → ( ( 2 · 𝐾 ) − ( 5 − 2 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) + 2 ) ) |
296 |
294 289 295
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℂ → ( ( 2 · 𝐾 ) − ( 5 − 2 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) + 2 ) ) |
297 |
293 296
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − ( 5 − 2 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) + 2 ) ) |
298 |
292 297
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) = ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) + 2 ) ) |
299 |
298
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) = ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) + 2 ) ) ) |
300 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
301 |
|
cxpexpz |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ∈ ℤ ) → ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) = ( 2 ↑ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) |
302 |
289 300 270 301
|
mp3an12i |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) = ( 2 ↑ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) ) |
303 |
81
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ∈ ℂ ) |
304 |
|
2cnne0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) |
305 |
|
cxpadd |
⊢ ( ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ∧ ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ) → ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) + 2 ) ) = ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · ( 2 ↑𝑐 2 ) ) ) |
306 |
304 289 305
|
mp3an13 |
⊢ ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ∈ ℂ → ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) + 2 ) ) = ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · ( 2 ↑𝑐 2 ) ) ) |
307 |
303 306
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) + 2 ) ) = ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · ( 2 ↑𝑐 2 ) ) ) |
308 |
299 302 307
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) = ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · ( 2 ↑𝑐 2 ) ) ) |
309 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
310 |
|
cxpexp |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑𝑐 2 ) = ( 2 ↑ 2 ) ) |
311 |
289 309 310
|
mp2an |
⊢ ( 2 ↑𝑐 2 ) = ( 2 ↑ 2 ) |
312 |
|
sq2 |
⊢ ( 2 ↑ 2 ) = 4 |
313 |
311 312
|
eqtri |
⊢ ( 2 ↑𝑐 2 ) = 4 |
314 |
313
|
oveq2i |
⊢ ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · ( 2 ↑𝑐 2 ) ) = ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · 4 ) |
315 |
308 314
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑ ( ( 2 · 𝐾 ) − 3 ) ) = ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · 4 ) ) |
316 |
285 315
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) < ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · 4 ) ) |
317 |
224 252
|
pm3.2i |
⊢ ( 4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4 ) |
318 |
317
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4 ) ) |
319 |
|
ltdivmul2 |
⊢ ( ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4 ) ) → ( ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / 4 ) < ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ↔ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) < ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · 4 ) ) ) |
320 |
212 85 318 319
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / 4 ) < ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ↔ ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) < ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) · 4 ) ) ) |
321 |
316 320
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / 4 ) < ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) |
322 |
119 223 85 256 321
|
lttrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( exp ‘ ( θ ‘ 𝐾 ) ) / ( exp ‘ ( θ ‘ 𝑀 ) ) ) < ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) |
323 |
102 119 85 221 322
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) < ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) |
324 |
97
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
325 |
|
nnre |
⊢ ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
326 |
|
nngt0 |
⊢ ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ → 0 < ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) |
327 |
325 326
|
jca |
⊢ ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
328 |
70 327
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
329 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) < ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ↔ ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) < ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ) ) |
330 |
324 85 328 329
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) / ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ) < ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ↔ ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) < ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ) ) |
331 |
323 330
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) < ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ) |
332 |
87 331
|
eqbrtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) < ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ) |
333 |
34 85
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ∈ ℝ ) |
334 |
1 2 3 4 5
|
bposlem5 |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) ) |
335 |
71 34 84
|
lemul1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) ↔ ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ≤ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ) ) |
336 |
334 335
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ≤ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ) |
337 |
78
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
338 |
41
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 5 ∈ ℝ ) |
339 |
|
flle |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
340 |
74 339
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
341 |
4 340
|
eqbrtrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
342 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
343 |
30 342
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) |
344 |
343
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
345 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( 𝐾 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ↔ ( 2 · 𝐾 ) ≤ ( 2 · ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) ) |
346 |
104 74 344 345
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ≤ ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ↔ ( 2 · 𝐾 ) ≤ ( 2 · ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) ) |
347 |
341 346
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐾 ) ≤ ( 2 · ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) |
348 |
22
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
349 |
|
3ne0 |
⊢ 3 ≠ 0 |
350 |
288 349
|
pm3.2i |
⊢ ( 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) |
351 |
|
divass |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ ( 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) ) → ( ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) = ( 2 · ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) |
352 |
289 350 351
|
mp3an13 |
⊢ ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℂ → ( ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) = ( 2 · ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) |
353 |
348 352
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) = ( 2 · ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) ) |
354 |
9
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
355 |
|
mulass |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( 2 · 2 ) · 𝑁 ) = ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
356 |
289 289 354 355
|
mp3an12i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 2 ) · 𝑁 ) = ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
357 |
|
2t2e4 |
⊢ ( 2 · 2 ) = 4 |
358 |
357
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 · 2 ) · 𝑁 ) = ( 4 · 𝑁 ) |
359 |
356 358
|
eqtr3di |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) = ( 4 · 𝑁 ) ) |
360 |
359
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) = ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
361 |
353 360
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( ( 2 · 𝑁 ) / 3 ) ) = ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
362 |
347 361
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐾 ) ≤ ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) ) |
363 |
337 40 338 362
|
lesub1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ≤ ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) |
364 |
|
1lt2 |
⊢ 1 < 2 |
365 |
364
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 < 2 ) |
366 |
257 365 82 43
|
cxpled |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ≤ ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ↔ ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ≤ ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ) ) |
367 |
363 366
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ≤ ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ) |
368 |
85 46 33
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ≤ ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ↔ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ≤ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ) ) ) |
369 |
367 368
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ≤ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ) ) |
370 |
86 333 47 336 369
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( seq 1 ( · , 𝐹 ) ‘ 𝑀 ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( 2 · 𝐾 ) − 5 ) ) ) ≤ ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ) ) |
371 |
19 86 47 332 370
|
ltletrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) C 𝑁 ) < ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ) ) |
372 |
14 19 47 58 371
|
lttrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 4 ↑ 𝑁 ) / 𝑁 ) < ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑𝑐 ( ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) / 3 ) + 2 ) ) · ( 2 ↑𝑐 ( ( ( 4 · 𝑁 ) / 3 ) − 5 ) ) ) ) |