Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rlimcnp.a |
|- ( ph -> A C_ ( 0 [,) +oo ) ) |
2 |
|
rlimcnp.0 |
|- ( ph -> 0 e. A ) |
3 |
|
rlimcnp.b |
|- ( ph -> B C_ RR+ ) |
4 |
|
rlimcnp.r |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC ) |
5 |
|
rlimcnp.d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) ) |
6 |
|
rlimcnp.c |
|- ( x = 0 -> R = C ) |
7 |
|
rlimcnp.s |
|- ( x = ( 1 / y ) -> R = S ) |
8 |
|
rlimcnp.j |
|- J = ( TopOpen ` CCfld ) |
9 |
|
rlimcnp.k |
|- K = ( J |`t A ) |
10 |
|
rpreccl |
|- ( r e. RR+ -> ( 1 / r ) e. RR+ ) |
11 |
10
|
adantl |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( 1 / r ) e. RR+ ) |
12 |
|
rpreccl |
|- ( t e. RR+ -> ( 1 / t ) e. RR+ ) |
13 |
|
rpcnne0 |
|- ( t e. RR+ -> ( t e. CC /\ t =/= 0 ) ) |
14 |
13
|
adantl |
|- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( t e. CC /\ t =/= 0 ) ) |
15 |
|
recrec |
|- ( ( t e. CC /\ t =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / t ) ) = t ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 1 / ( 1 / t ) ) = t ) |
17 |
16
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> t = ( 1 / ( 1 / t ) ) ) |
18 |
|
oveq2 |
|- ( r = ( 1 / t ) -> ( 1 / r ) = ( 1 / ( 1 / t ) ) ) |
19 |
18
|
rspceeqv |
|- ( ( ( 1 / t ) e. RR+ /\ t = ( 1 / ( 1 / t ) ) ) -> E. r e. RR+ t = ( 1 / r ) ) |
20 |
12 17 19
|
syl2an2 |
|- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> E. r e. RR+ t = ( 1 / r ) ) |
21 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> t = ( 1 / r ) ) |
22 |
21
|
breq1d |
|- ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( t < y <-> ( 1 / r ) < y ) ) |
23 |
22
|
imbi1d |
|- ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
24 |
23
|
ralbidv |
|- ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
25 |
11 20 24
|
rexxfrd |
|- ( ph -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
27 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> r e. RR+ ) |
28 |
3
|
sselda |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. RR+ ) |
29 |
28
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> y e. RR+ ) |
30 |
|
elrp |
|- ( r e. RR+ <-> ( r e. RR /\ 0 < r ) ) |
31 |
|
elrp |
|- ( y e. RR+ <-> ( y e. RR /\ 0 < y ) ) |
32 |
|
ltrec1 |
|- ( ( ( r e. RR /\ 0 < r ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) ) |
33 |
30 31 32
|
syl2anb |
|- ( ( r e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) ) |
34 |
27 29 33
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) ) |
35 |
34
|
imbi1d |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
36 |
35
|
ralbidva |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
37 |
36
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
38 |
|
rpcn |
|- ( y e. RR+ -> y e. CC ) |
39 |
|
rpne0 |
|- ( y e. RR+ -> y =/= 0 ) |
40 |
38 39
|
recrecd |
|- ( y e. RR+ -> ( 1 / ( 1 / y ) ) = y ) |
41 |
28 40
|
syl |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / ( 1 / y ) ) = y ) |
42 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B ) |
43 |
41 42
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) |
44 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( x e. A <-> ( 1 / y ) e. A ) ) |
45 |
|
oveq2 |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( 1 / x ) = ( 1 / ( 1 / y ) ) ) |
46 |
45
|
eleq1d |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( 1 / x ) e. B <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) ) |
47 |
44 46
|
bibi12d |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) <-> ( ( 1 / y ) e. A <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) ) ) |
48 |
5
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. RR+ ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> A. x e. RR+ ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) ) |
50 |
28
|
rpreccld |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. RR+ ) |
51 |
47 49 50
|
rspcdva |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( 1 / y ) e. A <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) ) |
52 |
43 51
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. A ) |
53 |
50
|
rpne0d |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) =/= 0 ) |
54 |
|
eldifsn |
|- ( ( 1 / y ) e. ( A \ { 0 } ) <-> ( ( 1 / y ) e. A /\ ( 1 / y ) =/= 0 ) ) |
55 |
52 53 54
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. ( A \ { 0 } ) ) |
56 |
|
eldifi |
|- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x e. A ) |
57 |
56
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. A ) |
58 |
|
rge0ssre |
|- ( 0 [,) +oo ) C_ RR |
59 |
1
|
ssdifssd |
|- ( ph -> ( A \ { 0 } ) C_ ( 0 [,) +oo ) ) |
60 |
59
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) ) |
61 |
58 60
|
sselid |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. RR ) |
62 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
63 |
|
pnfxr |
|- +oo e. RR* |
64 |
|
elico2 |
|- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) ) ) |
65 |
62 63 64
|
mp2an |
|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) ) |
66 |
65
|
simp2bi |
|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ x ) |
67 |
60 66
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> 0 <_ x ) |
68 |
|
eldifsni |
|- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x =/= 0 ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x =/= 0 ) |
70 |
61 67 69
|
ne0gt0d |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> 0 < x ) |
71 |
61 70
|
elrpd |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. RR+ ) |
72 |
71 5
|
syldan |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) ) |
73 |
57 72
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( 1 / x ) e. B ) |
74 |
|
rpcn |
|- ( x e. RR+ -> x e. CC ) |
75 |
|
rpne0 |
|- ( x e. RR+ -> x =/= 0 ) |
76 |
74 75
|
recrecd |
|- ( x e. RR+ -> ( 1 / ( 1 / x ) ) = x ) |
77 |
71 76
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( 1 / ( 1 / x ) ) = x ) |
78 |
77
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x = ( 1 / ( 1 / x ) ) ) |
79 |
|
oveq2 |
|- ( y = ( 1 / x ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 / x ) ) ) |
80 |
79
|
rspceeqv |
|- ( ( ( 1 / x ) e. B /\ x = ( 1 / ( 1 / x ) ) ) -> E. y e. B x = ( 1 / y ) ) |
81 |
73 78 80
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> E. y e. B x = ( 1 / y ) ) |
82 |
|
breq1 |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( x < r <-> ( 1 / y ) < r ) ) |
83 |
7
|
fvoveq1d |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( abs ` ( R - C ) ) = ( abs ` ( S - C ) ) ) |
84 |
83
|
breq1d |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( abs ` ( R - C ) ) < z <-> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) |
85 |
82 84
|
imbi12d |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
86 |
85
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x = ( 1 / y ) ) -> ( ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
87 |
55 81 86
|
ralxfrd |
|- ( ph -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
88 |
87
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
89 |
37 88
|
bitr4d |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
90 |
|
elsni |
|- ( x e. { 0 } -> x = 0 ) |
91 |
90
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> x = 0 ) |
92 |
91 6
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> R = C ) |
93 |
92
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( R - C ) = ( C - C ) ) |
94 |
6
|
eleq1d |
|- ( x = 0 -> ( R e. CC <-> C e. CC ) ) |
95 |
4
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. A R e. CC ) |
96 |
94 95 2
|
rspcdva |
|- ( ph -> C e. CC ) |
97 |
96
|
subidd |
|- ( ph -> ( C - C ) = 0 ) |
98 |
97
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( C - C ) = 0 ) |
99 |
93 98
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( R - C ) = 0 ) |
100 |
99
|
abs00bd |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( abs ` ( R - C ) ) = 0 ) |
101 |
|
rpgt0 |
|- ( z e. RR+ -> 0 < z ) |
102 |
101
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> 0 < z ) |
103 |
100 102
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) |
104 |
103
|
a1d |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) |
105 |
104
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) |
106 |
105
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) |
107 |
106
|
biantrud |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) /\ A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) ) |
108 |
|
ralunb |
|- ( A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) /\ A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
109 |
107 108
|
bitr4di |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
110 |
|
undif1 |
|- ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) = ( A u. { 0 } ) |
111 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> 0 e. A ) |
112 |
111
|
snssd |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> { 0 } C_ A ) |
113 |
|
ssequn2 |
|- ( { 0 } C_ A <-> ( A u. { 0 } ) = A ) |
114 |
112 113
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A u. { 0 } ) = A ) |
115 |
110 114
|
syl5eq |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) = A ) |
116 |
115
|
raleqdv |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
117 |
89 109 116
|
3bitrd |
|- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
118 |
117
|
rexbidva |
|- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
119 |
26 118
|
bitrd |
|- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
120 |
119
|
ralbidva |
|- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
121 |
|
nfv |
|- F/ x ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r |
122 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` w ) |
123 |
|
nfcv |
|- F/_ x ( abs o. - ) |
124 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) |
125 |
122 123 124
|
nfov |
|- F/_ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) |
126 |
|
nfcv |
|- F/_ x < |
127 |
|
nfcv |
|- F/_ x z |
128 |
125 126 127
|
nfbr |
|- F/ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z |
129 |
121 128
|
nfim |
|- F/ x ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) |
130 |
|
nfv |
|- F/ w ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) |
131 |
|
oveq1 |
|- ( w = x -> ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) ) |
132 |
131
|
breq1d |
|- ( w = x -> ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r <-> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r ) ) |
133 |
|
fveq2 |
|- ( w = x -> ( ( x e. A |-> R ) ` w ) = ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ) |
134 |
133
|
oveq1d |
|- ( w = x -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) ) |
135 |
134
|
breq1d |
|- ( w = x -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z <-> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) |
136 |
132 135
|
imbi12d |
|- ( w = x -> ( ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) |
137 |
129 130 136
|
cbvralw |
|- ( A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) |
138 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A ) |
139 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. A ) |
140 |
138 139
|
ovresd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( x ( abs o. - ) 0 ) ) |
141 |
1 58
|
sstrdi |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
142 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
143 |
141 142
|
sstrdi |
|- ( ph -> A C_ CC ) |
144 |
143
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. CC ) |
145 |
|
0cnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. CC ) |
146 |
|
eqid |
|- ( abs o. - ) = ( abs o. - ) |
147 |
146
|
cnmetdval |
|- ( ( x e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( x - 0 ) ) ) |
148 |
144 145 147
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( x - 0 ) ) ) |
149 |
144
|
subid1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x - 0 ) = x ) |
150 |
149
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( x - 0 ) ) = ( abs ` x ) ) |
151 |
140 148 150
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( abs ` x ) ) |
152 |
141
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR ) |
153 |
1
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) ) |
154 |
153 66
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ x ) |
155 |
152 154
|
absidd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` x ) = x ) |
156 |
151 155
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = x ) |
157 |
156
|
breq1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r <-> x < r ) ) |
158 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R ) |
159 |
158
|
fvmpt2 |
|- ( ( x e. A /\ R e. CC ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R ) |
160 |
138 4 159
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R ) |
161 |
96
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC ) |
162 |
158 6 139 161
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) = C ) |
163 |
160 162
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( R ( abs o. - ) C ) ) |
164 |
146
|
cnmetdval |
|- ( ( R e. CC /\ C e. CC ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) ) |
165 |
4 161 164
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) ) |
166 |
163 165
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) ) |
167 |
166
|
breq1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z <-> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) |
168 |
157 167
|
imbi12d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
169 |
168
|
ralbidva |
|- ( ph -> ( A. x e. A ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
170 |
137 169
|
syl5bb |
|- ( ph -> ( A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
171 |
170
|
rexbidv |
|- ( ph -> ( E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
172 |
171
|
ralbidv |
|- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) |
173 |
4
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> CC ) |
174 |
173
|
biantrurd |
|- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) ) |
175 |
120 172 174
|
3bitr2d |
|- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) ) |
176 |
7
|
eleq1d |
|- ( x = ( 1 / y ) -> ( R e. CC <-> S e. CC ) ) |
177 |
95
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> A. x e. A R e. CC ) |
178 |
176 177 52
|
rspcdva |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> S e. CC ) |
179 |
178
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. y e. B S e. CC ) |
180 |
|
rpssre |
|- RR+ C_ RR |
181 |
3 180
|
sstrdi |
|- ( ph -> B C_ RR ) |
182 |
|
1red |
|- ( ph -> 1 e. RR ) |
183 |
179 181 96 182
|
rlim3 |
|- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> A. z e. RR+ E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
184 |
|
0xr |
|- 0 e. RR* |
185 |
|
0lt1 |
|- 0 < 1 |
186 |
|
df-ioo |
|- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } ) |
187 |
|
df-ico |
|- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } ) |
188 |
|
xrltletr |
|- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ w ) -> 0 < w ) ) |
189 |
186 187 188
|
ixxss1 |
|- ( ( 0 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) ) |
190 |
184 185 189
|
mp2an |
|- ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) |
191 |
|
ioorp |
|- ( 0 (,) +oo ) = RR+ |
192 |
190 191
|
sseqtri |
|- ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ |
193 |
|
ssrexv |
|- ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
194 |
192 193
|
ax-mp |
|- ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) |
195 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> t e. RR+ ) |
196 |
180 195
|
sselid |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> t e. RR ) |
197 |
181
|
adantr |
|- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> B C_ RR ) |
198 |
197
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> y e. RR ) |
199 |
|
ltle |
|- ( ( t e. RR /\ y e. RR ) -> ( t < y -> t <_ y ) ) |
200 |
196 198 199
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( t < y -> t <_ y ) ) |
201 |
200
|
imim1d |
|- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
202 |
201
|
ralimdva |
|- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
203 |
202
|
reximdva |
|- ( ph -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
204 |
194 203
|
syl5 |
|- ( ph -> ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
205 |
204
|
ralimdv |
|- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
206 |
183 205
|
sylbid |
|- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C -> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
207 |
|
ssrexv |
|- ( RR+ C_ RR -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
208 |
180 207
|
ax-mp |
|- ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) |
209 |
208
|
ralimi |
|- ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. z e. RR+ E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) |
210 |
179 181 96
|
rlim2lt |
|- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> A. z e. RR+ E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
211 |
209 210
|
syl5ibr |
|- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> ( y e. B |-> S ) ~~>r C ) ) |
212 |
206 211
|
impbid |
|- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) ) |
213 |
|
cnxmet |
|- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) |
214 |
|
xmetres2 |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) ) |
215 |
213 143 214
|
sylancr |
|- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) ) |
216 |
213
|
a1i |
|- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) |
217 |
|
eqid |
|- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) |
218 |
8
|
cnfldtopn |
|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) |
219 |
217 218
|
metcnp2 |
|- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) ) |
220 |
215 216 2 219
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) ) |
221 |
175 212 220
|
3bitr4d |
|- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) ) ) |
222 |
|
eqid |
|- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) |
223 |
222 218 217
|
metrest |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( J |`t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) ) |
224 |
213 143 223
|
sylancr |
|- ( ph -> ( J |`t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) ) |
225 |
9 224
|
syl5eq |
|- ( ph -> K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) ) |
226 |
225
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( K CnP J ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ) |
227 |
226
|
fveq1d |
|- ( ph -> ( ( K CnP J ) ` 0 ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) ) |
228 |
227
|
eleq2d |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` 0 ) <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) ) ) |
229 |
221 228
|
bitr4d |
|- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` 0 ) ) ) |