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Theorem rlimcnp

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function S ( y ) = R ( 1 / y ) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses rlimcnp.a
|- ( ph -> A C_ ( 0 [,) +oo ) )
rlimcnp.0
|- ( ph -> 0 e. A )
rlimcnp.b
|- ( ph -> B C_ RR+ )
rlimcnp.r
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
rlimcnp.d
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
rlimcnp.c
|- ( x = 0 -> R = C )
rlimcnp.s
|- ( x = ( 1 / y ) -> R = S )
rlimcnp.j
|- J = ( TopOpen ` CCfld )
rlimcnp.k
|- K = ( J |`t A )
Assertion rlimcnp
|- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` 0 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rlimcnp.a
 |-  ( ph -> A C_ ( 0 [,) +oo ) )
2 rlimcnp.0
 |-  ( ph -> 0 e. A )
3 rlimcnp.b
 |-  ( ph -> B C_ RR+ )
4 rlimcnp.r
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
5 rlimcnp.d
 |-  ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
6 rlimcnp.c
 |-  ( x = 0 -> R = C )
7 rlimcnp.s
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> R = S )
8 rlimcnp.j
 |-  J = ( TopOpen ` CCfld )
9 rlimcnp.k
 |-  K = ( J |`t A )
10 rpreccl
 |-  ( r e. RR+ -> ( 1 / r ) e. RR+ )
11 10 adantl
 |-  ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( 1 / r ) e. RR+ )
12 rpreccl
 |-  ( t e. RR+ -> ( 1 / t ) e. RR+ )
13 rpcnne0
 |-  ( t e. RR+ -> ( t e. CC /\ t =/= 0 ) )
14 13 adantl
 |-  ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( t e. CC /\ t =/= 0 ) )
15 recrec
 |-  ( ( t e. CC /\ t =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / t ) ) = t )
16 14 15 syl
 |-  ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 1 / ( 1 / t ) ) = t )
17 16 eqcomd
 |-  ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> t = ( 1 / ( 1 / t ) ) )
18 oveq2
 |-  ( r = ( 1 / t ) -> ( 1 / r ) = ( 1 / ( 1 / t ) ) )
19 18 rspceeqv
 |-  ( ( ( 1 / t ) e. RR+ /\ t = ( 1 / ( 1 / t ) ) ) -> E. r e. RR+ t = ( 1 / r ) )
20 12 17 19 syl2an2
 |-  ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> E. r e. RR+ t = ( 1 / r ) )
21 simpr
 |-  ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> t = ( 1 / r ) )
22 21 breq1d
 |-  ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( t < y <-> ( 1 / r ) < y ) )
23 22 imbi1d
 |-  ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
24 23 ralbidv
 |-  ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
25 11 20 24 rexxfrd
 |-  ( ph -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
26 25 adantr
 |-  ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
27 simplr
 |-  ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> r e. RR+ )
28 3 sselda
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. RR+ )
29 28 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> y e. RR+ )
30 elrp
 |-  ( r e. RR+ <-> ( r e. RR /\ 0 < r ) )
31 elrp
 |-  ( y e. RR+ <-> ( y e. RR /\ 0 < y ) )
32 ltrec1
 |-  ( ( ( r e. RR /\ 0 < r ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) )
33 30 31 32 syl2anb
 |-  ( ( r e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) )
34 27 29 33 syl2anc
 |-  ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) )
35 34 imbi1d
 |-  ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
36 35 ralbidva
 |-  ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
37 36 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
38 rpcn
 |-  ( y e. RR+ -> y e. CC )
39 rpne0
 |-  ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
40 38 39 recrecd
 |-  ( y e. RR+ -> ( 1 / ( 1 / y ) ) = y )
41 28 40 syl
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / ( 1 / y ) ) = y )
42 simpr
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B )
43 41 42 eqeltrd
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B )
44 eleq1
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( x e. A <-> ( 1 / y ) e. A ) )
45 oveq2
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( 1 / x ) = ( 1 / ( 1 / y ) ) )
46 45 eleq1d
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( ( 1 / x ) e. B <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) )
47 44 46 bibi12d
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) <-> ( ( 1 / y ) e. A <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) ) )
48 5 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. x e. RR+ ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
49 48 adantr
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> A. x e. RR+ ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
50 28 rpreccld
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. RR+ )
51 47 49 50 rspcdva
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( 1 / y ) e. A <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) )
52 43 51 mpbird
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. A )
53 50 rpne0d
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) =/= 0 )
54 eldifsn
 |-  ( ( 1 / y ) e. ( A \ { 0 } ) <-> ( ( 1 / y ) e. A /\ ( 1 / y ) =/= 0 ) )
55 52 53 54 sylanbrc
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. ( A \ { 0 } ) )
56 eldifi
 |-  ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x e. A )
57 56 adantl
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. A )
58 rge0ssre
 |-  ( 0 [,) +oo ) C_ RR
59 1 ssdifssd
 |-  ( ph -> ( A \ { 0 } ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
60 59 sselda
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
61 58 60 sselid
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. RR )
62 0re
 |-  0 e. RR
63 pnfxr
 |-  +oo e. RR*
64 elico2
 |-  ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) ) )
65 62 63 64 mp2an
 |-  ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) )
66 65 simp2bi
 |-  ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ x )
67 60 66 syl
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> 0 <_ x )
68 eldifsni
 |-  ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x =/= 0 )
69 68 adantl
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x =/= 0 )
70 61 67 69 ne0gt0d
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> 0 < x )
71 61 70 elrpd
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. RR+ )
72 71 5 syldan
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
73 57 72 mpbid
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( 1 / x ) e. B )
74 rpcn
 |-  ( x e. RR+ -> x e. CC )
75 rpne0
 |-  ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
76 74 75 recrecd
 |-  ( x e. RR+ -> ( 1 / ( 1 / x ) ) = x )
77 71 76 syl
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( 1 / ( 1 / x ) ) = x )
78 77 eqcomd
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x = ( 1 / ( 1 / x ) ) )
79 oveq2
 |-  ( y = ( 1 / x ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 / x ) ) )
80 79 rspceeqv
 |-  ( ( ( 1 / x ) e. B /\ x = ( 1 / ( 1 / x ) ) ) -> E. y e. B x = ( 1 / y ) )
81 73 78 80 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> E. y e. B x = ( 1 / y ) )
82 breq1
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( x < r <-> ( 1 / y ) < r ) )
83 7 fvoveq1d
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( abs ` ( R - C ) ) = ( abs ` ( S - C ) ) )
84 83 breq1d
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( ( abs ` ( R - C ) ) < z <-> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) )
85 82 84 imbi12d
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
86 85 adantl
 |-  ( ( ph /\ x = ( 1 / y ) ) -> ( ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
87 55 81 86 ralxfrd
 |-  ( ph -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
88 87 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
89 37 88 bitr4d
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
90 elsni
 |-  ( x e. { 0 } -> x = 0 )
91 90 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> x = 0 )
92 91 6 syl
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> R = C )
93 92 oveq1d
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( R - C ) = ( C - C ) )
94 6 eleq1d
 |-  ( x = 0 -> ( R e. CC <-> C e. CC ) )
95 4 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. x e. A R e. CC )
96 94 95 2 rspcdva
 |-  ( ph -> C e. CC )
97 96 subidd
 |-  ( ph -> ( C - C ) = 0 )
98 97 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( C - C ) = 0 )
99 93 98 eqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( R - C ) = 0 )
100 99 abs00bd
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( abs ` ( R - C ) ) = 0 )
101 rpgt0
 |-  ( z e. RR+ -> 0 < z )
102 101 ad2antlr
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> 0 < z )
103 100 102 eqbrtrd
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < z )
104 103 a1d
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) )
105 104 ralrimiva
 |-  ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) )
106 105 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) )
107 106 biantrud
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) /\ A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) )
108 ralunb
 |-  ( A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) /\ A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
109 107 108 bitr4di
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
110 undif1
 |-  ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) = ( A u. { 0 } )
111 2 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> 0 e. A )
112 111 snssd
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> { 0 } C_ A )
113 ssequn2
 |-  ( { 0 } C_ A <-> ( A u. { 0 } ) = A )
114 112 113 sylib
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A u. { 0 } ) = A )
115 110 114 syl5eq
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) = A )
116 115 raleqdv
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
117 89 109 116 3bitrd
 |-  ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
118 117 rexbidva
 |-  ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
119 26 118 bitrd
 |-  ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
120 119 ralbidva
 |-  ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
121 nfv
 |-  F/ x ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r
122 nffvmpt1
 |-  F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` w )
123 nfcv
 |-  F/_ x ( abs o. - )
124 nffvmpt1
 |-  F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` 0 )
125 122 123 124 nfov
 |-  F/_ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) )
126 nfcv
 |-  F/_ x <
127 nfcv
 |-  F/_ x z
128 125 126 127 nfbr
 |-  F/ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z
129 121 128 nfim
 |-  F/ x ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z )
130 nfv
 |-  F/ w ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z )
131 oveq1
 |-  ( w = x -> ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) )
132 131 breq1d
 |-  ( w = x -> ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r <-> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r ) )
133 fveq2
 |-  ( w = x -> ( ( x e. A |-> R ) ` w ) = ( ( x e. A |-> R ) ` x ) )
134 133 oveq1d
 |-  ( w = x -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) )
135 134 breq1d
 |-  ( w = x -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z <-> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) )
136 132 135 imbi12d
 |-  ( w = x -> ( ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) )
137 129 130 136 cbvralw
 |-  ( A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) )
138 simpr
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
139 2 adantr
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. A )
140 138 139 ovresd
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( x ( abs o. - ) 0 ) )
141 1 58 sstrdi
 |-  ( ph -> A C_ RR )
142 ax-resscn
 |-  RR C_ CC
143 141 142 sstrdi
 |-  ( ph -> A C_ CC )
144 143 sselda
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. CC )
145 0cnd
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. CC )
146 eqid
 |-  ( abs o. - ) = ( abs o. - )
147 146 cnmetdval
 |-  ( ( x e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( x - 0 ) ) )
148 144 145 147 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( x - 0 ) ) )
149 144 subid1d
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x - 0 ) = x )
150 149 fveq2d
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( x - 0 ) ) = ( abs ` x ) )
151 140 148 150 3eqtrd
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( abs ` x ) )
152 141 sselda
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR )
153 1 sselda
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
154 153 66 syl
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ x )
155 152 154 absidd
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` x ) = x )
156 151 155 eqtrd
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = x )
157 156 breq1d
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r <-> x < r ) )
158 eqid
 |-  ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
159 158 fvmpt2
 |-  ( ( x e. A /\ R e. CC ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
160 138 4 159 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
161 96 adantr
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
162 158 6 139 161 fvmptd3
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) = C )
163 160 162 oveq12d
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( R ( abs o. - ) C ) )
164 146 cnmetdval
 |-  ( ( R e. CC /\ C e. CC ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
165 4 161 164 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
166 163 165 eqtrd
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
167 166 breq1d
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z <-> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) )
168 157 167 imbi12d
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
169 168 ralbidva
 |-  ( ph -> ( A. x e. A ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
170 137 169 syl5bb
 |-  ( ph -> ( A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
171 170 rexbidv
 |-  ( ph -> ( E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
172 171 ralbidv
 |-  ( ph -> ( A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
173 4 fmpttd
 |-  ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> CC )
174 173 biantrurd
 |-  ( ph -> ( A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) )
175 120 172 174 3bitr2d
 |-  ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) )
176 7 eleq1d
 |-  ( x = ( 1 / y ) -> ( R e. CC <-> S e. CC ) )
177 95 adantr
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> A. x e. A R e. CC )
178 176 177 52 rspcdva
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> S e. CC )
179 178 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. y e. B S e. CC )
180 rpssre
 |-  RR+ C_ RR
181 3 180 sstrdi
 |-  ( ph -> B C_ RR )
182 1red
 |-  ( ph -> 1 e. RR )
183 179 181 96 182 rlim3
 |-  ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> A. z e. RR+ E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
184 0xr
 |-  0 e. RR*
185 0lt1
 |-  0 < 1
186 df-ioo
 |-  (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
187 df-ico
 |-  [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
188 xrltletr
 |-  ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ w ) -> 0 < w ) )
189 186 187 188 ixxss1
 |-  ( ( 0 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) )
190 184 185 189 mp2an
 |-  ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo )
191 ioorp
 |-  ( 0 (,) +oo ) = RR+
192 190 191 sseqtri
 |-  ( 1 [,) +oo ) C_ RR+
193 ssrexv
 |-  ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
194 192 193 ax-mp
 |-  ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) )
195 simplr
 |-  ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> t e. RR+ )
196 180 195 sselid
 |-  ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> t e. RR )
197 181 adantr
 |-  ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> B C_ RR )
198 197 sselda
 |-  ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> y e. RR )
199 ltle
 |-  ( ( t e. RR /\ y e. RR ) -> ( t < y -> t <_ y ) )
200 196 198 199 syl2anc
 |-  ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( t < y -> t <_ y ) )
201 200 imim1d
 |-  ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
202 201 ralimdva
 |-  ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
203 202 reximdva
 |-  ( ph -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
204 194 203 syl5
 |-  ( ph -> ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
205 204 ralimdv
 |-  ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
206 183 205 sylbid
 |-  ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C -> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
207 ssrexv
 |-  ( RR+ C_ RR -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
208 180 207 ax-mp
 |-  ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) )
209 208 ralimi
 |-  ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. z e. RR+ E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) )
210 179 181 96 rlim2lt
 |-  ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> A. z e. RR+ E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
211 209 210 syl5ibr
 |-  ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> ( y e. B |-> S ) ~~>r C ) )
212 206 211 impbid
 |-  ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
213 cnxmet
 |-  ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
214 xmetres2
 |-  ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
215 213 143 214 sylancr
 |-  ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
216 213 a1i
 |-  ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
217 eqid
 |-  ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
218 8 cnfldtopn
 |-  J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
219 217 218 metcnp2
 |-  ( ( ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) )
220 215 216 2 219 syl3anc
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) )
221 175 212 220 3bitr4d
 |-  ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) ) )
222 eqid
 |-  ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
223 222 218 217 metrest
 |-  ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( J |`t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
224 213 143 223 sylancr
 |-  ( ph -> ( J |`t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
225 9 224 syl5eq
 |-  ( ph -> K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
226 225 oveq1d
 |-  ( ph -> ( K CnP J ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) )
227 226 fveq1d
 |-  ( ph -> ( ( K CnP J ) ` 0 ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) )
228 227 eleq2d
 |-  ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` 0 ) <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) ) )
229 221 228 bitr4d
 |-  ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~>r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` 0 ) ) )