Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
stoweidlem59.1 |
|- F/_ t F |
2 |
|
stoweidlem59.2 |
|- F/ t ph |
3 |
|
stoweidlem59.3 |
|- K = ( topGen ` ran (,) ) |
4 |
|
stoweidlem59.4 |
|- T = U. J |
5 |
|
stoweidlem59.5 |
|- C = ( J Cn K ) |
6 |
|
stoweidlem59.6 |
|- D = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } ) |
7 |
|
stoweidlem59.7 |
|- B = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } ) |
8 |
|
stoweidlem59.8 |
|- Y = { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } |
9 |
|
stoweidlem59.9 |
|- H = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
10 |
|
stoweidlem59.10 |
|- ( ph -> J e. Comp ) |
11 |
|
stoweidlem59.11 |
|- ( ph -> A C_ C ) |
12 |
|
stoweidlem59.12 |
|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) |
13 |
|
stoweidlem59.13 |
|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) |
14 |
|
stoweidlem59.14 |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A ) |
15 |
|
stoweidlem59.15 |
|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) ) |
16 |
|
stoweidlem59.16 |
|- ( ph -> F e. C ) |
17 |
|
stoweidlem59.17 |
|- ( ph -> E e. RR+ ) |
18 |
|
stoweidlem59.18 |
|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) ) |
19 |
|
stoweidlem59.19 |
|- ( ph -> N e. NN ) |
20 |
|
nfrab1 |
|- F/_ y { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } |
21 |
8 20
|
nfcxfr |
|- F/_ y Y |
22 |
|
nfcv |
|- F/_ z Y |
23 |
|
nfv |
|- F/ z ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) |
24 |
|
nfv |
|- F/ y ( A. t e. ( D ` j ) ( z ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) |
25 |
|
fveq1 |
|- ( y = z -> ( y ` t ) = ( z ` t ) ) |
26 |
25
|
breq1d |
|- ( y = z -> ( ( y ` t ) < ( E / N ) <-> ( z ` t ) < ( E / N ) ) ) |
27 |
26
|
ralbidv |
|- ( y = z -> ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) <-> A. t e. ( D ` j ) ( z ` t ) < ( E / N ) ) ) |
28 |
25
|
breq2d |
|- ( y = z -> ( ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) ) |
29 |
28
|
ralbidv |
|- ( y = z -> ( A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) ) |
30 |
27 29
|
anbi12d |
|- ( y = z -> ( ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) <-> ( A. t e. ( D ` j ) ( z ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) ) ) |
31 |
21 22 23 24 30
|
cbvrabw |
|- { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } = { z e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( z ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) } |
32 |
|
ovexd |
|- ( ph -> ( J Cn K ) e. _V ) |
33 |
11 5
|
sseqtrdi |
|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) ) |
34 |
32 33
|
ssexd |
|- ( ph -> A e. _V ) |
35 |
8 34
|
rabexd |
|- ( ph -> Y e. _V ) |
36 |
31 35
|
rabexd |
|- ( ph -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V ) |
37 |
36
|
ralrimivw |
|- ( ph -> A. j e. ( 0 ... N ) { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V ) |
38 |
9
|
fnmpt |
|- ( A. j e. ( 0 ... N ) { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V -> H Fn ( 0 ... N ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( ph -> H Fn ( 0 ... N ) ) |
40 |
|
fzfi |
|- ( 0 ... N ) e. Fin |
41 |
|
fnfi |
|- ( ( H Fn ( 0 ... N ) /\ ( 0 ... N ) e. Fin ) -> H e. Fin ) |
42 |
39 40 41
|
sylancl |
|- ( ph -> H e. Fin ) |
43 |
|
rnfi |
|- ( H e. Fin -> ran H e. Fin ) |
44 |
42 43
|
syl |
|- ( ph -> ran H e. Fin ) |
45 |
|
fnchoice |
|- ( ran H e. Fin -> E. h ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) |
46 |
44 45
|
syl |
|- ( ph -> E. h ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) |
47 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> h Fn ran H ) |
48 |
|
ovex |
|- ( 0 ... N ) e. _V |
49 |
48
|
mptex |
|- ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) e. _V |
50 |
9 49
|
eqeltri |
|- H e. _V |
51 |
50
|
rnex |
|- ran H e. _V |
52 |
|
fnex |
|- ( ( h Fn ran H /\ ran H e. _V ) -> h e. _V ) |
53 |
47 51 52
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> h e. _V ) |
54 |
|
coexg |
|- ( ( h e. _V /\ H e. _V ) -> ( h o. H ) e. _V ) |
55 |
53 50 54
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( h o. H ) e. _V ) |
56 |
|
dffn3 |
|- ( h Fn ran H <-> h : ran H --> ran h ) |
57 |
47 56
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> h : ran H --> ran h ) |
58 |
|
nfv |
|- F/ w ph |
59 |
|
nfv |
|- F/ w h Fn ran H |
60 |
|
nfra1 |
|- F/ w A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) |
61 |
59 60
|
nfan |
|- F/ w ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) |
62 |
58 61
|
nfan |
|- F/ w ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) |
63 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ w e. ran H ) -> A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) |
64 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ w e. ran H ) -> w e. ran H ) |
65 |
|
fvelrnb |
|- ( H Fn ( 0 ... N ) -> ( w e. ran H <-> E. a e. ( 0 ... N ) ( H ` a ) = w ) ) |
66 |
|
nfv |
|- F/ a ( H ` j ) = w |
67 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ j ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
68 |
9 67
|
nfcxfr |
|- F/_ j H |
69 |
|
nfcv |
|- F/_ j a |
70 |
68 69
|
nffv |
|- F/_ j ( H ` a ) |
71 |
|
nfcv |
|- F/_ j w |
72 |
70 71
|
nfeq |
|- F/ j ( H ` a ) = w |
73 |
|
fveq2 |
|- ( j = a -> ( H ` j ) = ( H ` a ) ) |
74 |
73
|
eqeq1d |
|- ( j = a -> ( ( H ` j ) = w <-> ( H ` a ) = w ) ) |
75 |
66 72 74
|
cbvrexw |
|- ( E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w <-> E. a e. ( 0 ... N ) ( H ` a ) = w ) |
76 |
65 75
|
bitr4di |
|- ( H Fn ( 0 ... N ) -> ( w e. ran H <-> E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w ) ) |
77 |
39 76
|
syl |
|- ( ph -> ( w e. ran H <-> E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w ) ) |
78 |
77
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ w e. ran H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w ) |
79 |
|
simp3 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) /\ ( H ` j ) = w ) -> ( H ` j ) = w ) |
80 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ( 0 ... N ) ) |
81 |
36
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V ) |
82 |
9
|
fvmpt2 |
|- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V ) -> ( H ` j ) = { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
83 |
80 81 82
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( H ` j ) = { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
84 |
|
nfcv |
|- F/_ t ( 0 ... N ) |
85 |
|
nfrab1 |
|- F/_ t { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } |
86 |
84 85
|
nfmpt |
|- F/_ t ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } ) |
87 |
6 86
|
nfcxfr |
|- F/_ t D |
88 |
|
nfcv |
|- F/_ t j |
89 |
87 88
|
nffv |
|- F/_ t ( D ` j ) |
90 |
|
nfcv |
|- F/_ t T |
91 |
|
nfrab1 |
|- F/_ t { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } |
92 |
84 91
|
nfmpt |
|- F/_ t ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } ) |
93 |
7 92
|
nfcxfr |
|- F/_ t B |
94 |
93 88
|
nffv |
|- F/_ t ( B ` j ) |
95 |
90 94
|
nfdif |
|- F/_ t ( T \ ( B ` j ) ) |
96 |
|
nfv |
|- F/ t j e. ( 0 ... N ) |
97 |
2 96
|
nfan |
|- F/ t ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) |
98 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> J e. Comp ) |
99 |
11
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A C_ C ) |
100 |
12
|
3adant1r |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) |
101 |
13
|
3adant1r |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) |
102 |
14
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A ) |
103 |
15
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) ) |
104 |
10
|
uniexd |
|- ( ph -> U. J e. _V ) |
105 |
4 104
|
eqeltrid |
|- ( ph -> T e. _V ) |
106 |
105
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> T e. _V ) |
107 |
|
rabexg |
|- ( T e. _V -> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } e. _V ) |
108 |
106 107
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } e. _V ) |
109 |
7
|
fvmpt2 |
|- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } e. _V ) -> ( B ` j ) = { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } ) |
110 |
80 108 109
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` j ) = { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } ) |
111 |
|
eqid |
|- { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } = { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } |
112 |
|
elfzelz |
|- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ ) |
113 |
112
|
zred |
|- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. RR ) |
114 |
|
3re |
|- 3 e. RR |
115 |
|
3ne0 |
|- 3 =/= 0 |
116 |
114 115
|
rereccli |
|- ( 1 / 3 ) e. RR |
117 |
|
readdcl |
|- ( ( j e. RR /\ ( 1 / 3 ) e. RR ) -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR ) |
118 |
113 116 117
|
sylancl |
|- ( j e. ( 0 ... N ) -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR ) |
119 |
118
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR ) |
120 |
17
|
rpred |
|- ( ph -> E e. RR ) |
121 |
120
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR ) |
122 |
119 121
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR ) |
123 |
16 5
|
eleqtrdi |
|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) ) |
124 |
123
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> F e. ( J Cn K ) ) |
125 |
1 3 4 111 122 124
|
rfcnpre3 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } e. ( Clsd ` J ) ) |
126 |
110 125
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` j ) e. ( Clsd ` J ) ) |
127 |
|
rabexg |
|- ( T e. _V -> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } e. _V ) |
128 |
106 127
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } e. _V ) |
129 |
6
|
fvmpt2 |
|- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } e. _V ) -> ( D ` j ) = { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } ) |
130 |
80 128 129
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( D ` j ) = { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } ) |
131 |
|
eqid |
|- { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } = { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } |
132 |
|
resubcl |
|- ( ( j e. RR /\ ( 1 / 3 ) e. RR ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR ) |
133 |
113 116 132
|
sylancl |
|- ( j e. ( 0 ... N ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR ) |
134 |
133
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR ) |
135 |
134 121
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR ) |
136 |
1 3 4 131 135 124
|
rfcnpre4 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } e. ( Clsd ` J ) ) |
137 |
130 136
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( D ` j ) e. ( Clsd ` J ) ) |
138 |
135
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR ) |
139 |
122
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR ) |
140 |
3 4 5 16
|
fcnre |
|- ( ph -> F : T --> RR ) |
141 |
140
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> F : T --> RR ) |
142 |
|
ssrab2 |
|- { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } C_ T |
143 |
110 142
|
eqsstrdi |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` j ) C_ T ) |
144 |
143
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> t e. T ) |
145 |
141 144
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( F ` t ) e. RR ) |
146 |
116 132
|
mpan2 |
|- ( j e. RR -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR ) |
147 |
|
id |
|- ( j e. RR -> j e. RR ) |
148 |
116 117
|
mpan2 |
|- ( j e. RR -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR ) |
149 |
|
3pos |
|- 0 < 3 |
150 |
114 149
|
recgt0ii |
|- 0 < ( 1 / 3 ) |
151 |
116 150
|
elrpii |
|- ( 1 / 3 ) e. RR+ |
152 |
|
ltsubrp |
|- ( ( j e. RR /\ ( 1 / 3 ) e. RR+ ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < j ) |
153 |
151 152
|
mpan2 |
|- ( j e. RR -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < j ) |
154 |
|
ltaddrp |
|- ( ( j e. RR /\ ( 1 / 3 ) e. RR+ ) -> j < ( j + ( 1 / 3 ) ) ) |
155 |
151 154
|
mpan2 |
|- ( j e. RR -> j < ( j + ( 1 / 3 ) ) ) |
156 |
146 147 148 153 155
|
lttrd |
|- ( j e. RR -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) ) |
157 |
113 156
|
syl |
|- ( j e. ( 0 ... N ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) ) |
158 |
157
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) ) |
159 |
17
|
rpregt0d |
|- ( ph -> ( E e. RR /\ 0 < E ) ) |
160 |
159
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( E e. RR /\ 0 < E ) ) |
161 |
|
ltmul1 |
|- ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR /\ ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) <-> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) ) |
162 |
134 119 160 161
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) <-> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) ) |
163 |
158 162
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) |
164 |
163
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) |
165 |
110
|
eleq2d |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. ( B ` j ) <-> t e. { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } ) ) |
166 |
165
|
biimpa |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> t e. { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } ) |
167 |
|
rabid |
|- ( t e. { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } <-> ( t e. T /\ ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) ) ) |
168 |
166 167
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( t e. T /\ ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) ) ) |
169 |
168
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) ) |
170 |
138 139 145 164 169
|
ltletrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) ) |
171 |
138 145
|
ltnled |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) <-> -. ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) ) |
172 |
170 171
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> -. ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) |
173 |
172
|
intnand |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> -. ( t e. T /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) ) |
174 |
|
rabid |
|- ( t e. { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } <-> ( t e. T /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) ) |
175 |
173 174
|
sylnibr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> -. t e. { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } ) |
176 |
130
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( D ` j ) = { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } ) |
177 |
175 176
|
neleqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> -. t e. ( D ` j ) ) |
178 |
177
|
ex |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. ( B ` j ) -> -. t e. ( D ` j ) ) ) |
179 |
97 178
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. t e. ( B ` j ) -. t e. ( D ` j ) ) |
180 |
|
disj |
|- ( ( ( B ` j ) i^i ( D ` j ) ) = (/) <-> A. a e. ( B ` j ) -. a e. ( D ` j ) ) |
181 |
|
nfcv |
|- F/_ a ( B ` j ) |
182 |
89
|
nfcri |
|- F/ t a e. ( D ` j ) |
183 |
182
|
nfn |
|- F/ t -. a e. ( D ` j ) |
184 |
|
nfv |
|- F/ a -. t e. ( D ` j ) |
185 |
|
eleq1 |
|- ( a = t -> ( a e. ( D ` j ) <-> t e. ( D ` j ) ) ) |
186 |
185
|
notbid |
|- ( a = t -> ( -. a e. ( D ` j ) <-> -. t e. ( D ` j ) ) ) |
187 |
181 94 183 184 186
|
cbvralfw |
|- ( A. a e. ( B ` j ) -. a e. ( D ` j ) <-> A. t e. ( B ` j ) -. t e. ( D ` j ) ) |
188 |
180 187
|
bitri |
|- ( ( ( B ` j ) i^i ( D ` j ) ) = (/) <-> A. t e. ( B ` j ) -. t e. ( D ` j ) ) |
189 |
179 188
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` j ) i^i ( D ` j ) ) = (/) ) |
190 |
|
eqid |
|- ( T \ ( B ` j ) ) = ( T \ ( B ` j ) ) |
191 |
19
|
nnrpd |
|- ( ph -> N e. RR+ ) |
192 |
17 191
|
rpdivcld |
|- ( ph -> ( E / N ) e. RR+ ) |
193 |
192
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( E / N ) e. RR+ ) |
194 |
120 19
|
nndivred |
|- ( ph -> ( E / N ) e. RR ) |
195 |
116
|
a1i |
|- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR ) |
196 |
19
|
nnge1d |
|- ( ph -> 1 <_ N ) |
197 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
198 |
|
0lt1 |
|- 0 < 1 |
199 |
197 198
|
pm3.2i |
|- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) |
200 |
199
|
a1i |
|- ( ph -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) |
201 |
19
|
nnred |
|- ( ph -> N e. RR ) |
202 |
19
|
nngt0d |
|- ( ph -> 0 < N ) |
203 |
|
lediv2 |
|- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( 1 <_ N <-> ( E / N ) <_ ( E / 1 ) ) ) |
204 |
200 201 202 159 203
|
syl121anc |
|- ( ph -> ( 1 <_ N <-> ( E / N ) <_ ( E / 1 ) ) ) |
205 |
196 204
|
mpbid |
|- ( ph -> ( E / N ) <_ ( E / 1 ) ) |
206 |
17
|
rpcnd |
|- ( ph -> E e. CC ) |
207 |
206
|
div1d |
|- ( ph -> ( E / 1 ) = E ) |
208 |
205 207
|
breqtrd |
|- ( ph -> ( E / N ) <_ E ) |
209 |
194 120 195 208 18
|
lelttrd |
|- ( ph -> ( E / N ) < ( 1 / 3 ) ) |
210 |
209
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( E / N ) < ( 1 / 3 ) ) |
211 |
89 95 97 3 4 5 98 99 100 101 102 103 126 137 189 190 193 210
|
stoweidlem58 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) |
212 |
|
df-rex |
|- ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) <-> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) |
213 |
211 212
|
sylib |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) |
214 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> x e. A ) |
215 |
|
simprr1 |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) ) |
216 |
|
fveq1 |
|- ( y = x -> ( y ` t ) = ( x ` t ) ) |
217 |
216
|
breq2d |
|- ( y = x -> ( 0 <_ ( y ` t ) <-> 0 <_ ( x ` t ) ) ) |
218 |
216
|
breq1d |
|- ( y = x -> ( ( y ` t ) <_ 1 <-> ( x ` t ) <_ 1 ) ) |
219 |
217 218
|
anbi12d |
|- ( y = x -> ( ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) ) ) |
220 |
219
|
ralbidv |
|- ( y = x -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) ) ) |
221 |
220 8
|
elrab2 |
|- ( x e. Y <-> ( x e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) ) ) |
222 |
214 215 221
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> x e. Y ) |
223 |
|
simprr2 |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) ) |
224 |
|
simprr3 |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) |
225 |
223 224
|
jca |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> ( A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) |
226 |
|
nfcv |
|- F/_ y x |
227 |
|
nfv |
|- F/ y ( A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) |
228 |
216
|
breq1d |
|- ( y = x -> ( ( y ` t ) < ( E / N ) <-> ( x ` t ) < ( E / N ) ) ) |
229 |
228
|
ralbidv |
|- ( y = x -> ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) <-> A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) ) ) |
230 |
216
|
breq2d |
|- ( y = x -> ( ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) |
231 |
230
|
ralbidv |
|- ( y = x -> ( A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) |
232 |
229 231
|
anbi12d |
|- ( y = x -> ( ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) <-> ( A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) |
233 |
226 21 227 232
|
elrabf |
|- ( x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } <-> ( x e. Y /\ ( A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) |
234 |
222 225 233
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
235 |
234
|
ex |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) -> x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) ) |
236 |
235
|
eximdv |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) -> E. x x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) ) |
237 |
213 236
|
mpd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> E. x x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
238 |
|
ne0i |
|- ( x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } =/= (/) ) |
239 |
238
|
exlimiv |
|- ( E. x x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } =/= (/) ) |
240 |
237 239
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } =/= (/) ) |
241 |
83 240
|
eqnetrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( H ` j ) =/= (/) ) |
242 |
241
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) /\ ( H ` j ) = w ) -> ( H ` j ) =/= (/) ) |
243 |
79 242
|
eqnetrrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) /\ ( H ` j ) = w ) -> w =/= (/) ) |
244 |
243
|
3exp |
|- ( ph -> ( j e. ( 0 ... N ) -> ( ( H ` j ) = w -> w =/= (/) ) ) ) |
245 |
244
|
rexlimdv |
|- ( ph -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w -> w =/= (/) ) ) |
246 |
245
|
adantr |
|- ( ( ph /\ w e. ran H ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w -> w =/= (/) ) ) |
247 |
78 246
|
mpd |
|- ( ( ph /\ w e. ran H ) -> w =/= (/) ) |
248 |
247
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ w e. ran H ) -> w =/= (/) ) |
249 |
|
rsp |
|- ( A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) -> ( w e. ran H -> ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) |
250 |
63 64 248 249
|
syl3c |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ w e. ran H ) -> ( h ` w ) e. w ) |
251 |
250
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( w e. ran H -> ( h ` w ) e. w ) ) |
252 |
62 251
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> A. w e. ran H ( h ` w ) e. w ) |
253 |
|
chfnrn |
|- ( ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( h ` w ) e. w ) -> ran h C_ U. ran H ) |
254 |
47 252 253
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ran h C_ U. ran H ) |
255 |
|
nfv |
|- F/ y ph |
256 |
|
nfcv |
|- F/_ y h |
257 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( 0 ... N ) |
258 |
|
nfrab1 |
|- F/_ y { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } |
259 |
257 258
|
nfmpt |
|- F/_ y ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
260 |
9 259
|
nfcxfr |
|- F/_ y H |
261 |
260
|
nfrn |
|- F/_ y ran H |
262 |
256 261
|
nffn |
|- F/ y h Fn ran H |
263 |
|
nfv |
|- F/ y ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) |
264 |
261 263
|
nfralw |
|- F/ y A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) |
265 |
262 264
|
nfan |
|- F/ y ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) |
266 |
255 265
|
nfan |
|- F/ y ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) |
267 |
261
|
nfuni |
|- F/_ y U. ran H |
268 |
|
fnunirn |
|- ( H Fn ( 0 ... N ) -> ( y e. U. ran H <-> E. z e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` z ) ) ) |
269 |
|
nfcv |
|- F/_ j z |
270 |
68 269
|
nffv |
|- F/_ j ( H ` z ) |
271 |
270
|
nfcri |
|- F/ j y e. ( H ` z ) |
272 |
|
nfv |
|- F/ z y e. ( H ` j ) |
273 |
|
fveq2 |
|- ( z = j -> ( H ` z ) = ( H ` j ) ) |
274 |
273
|
eleq2d |
|- ( z = j -> ( y e. ( H ` z ) <-> y e. ( H ` j ) ) ) |
275 |
271 272 274
|
cbvrexw |
|- ( E. z e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` z ) <-> E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) ) |
276 |
268 275
|
bitrdi |
|- ( H Fn ( 0 ... N ) -> ( y e. U. ran H <-> E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) ) ) |
277 |
39 276
|
syl |
|- ( ph -> ( y e. U. ran H <-> E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) ) ) |
278 |
277
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ y e. U. ran H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) ) |
279 |
|
nfv |
|- F/ j ph |
280 |
68
|
nfrn |
|- F/_ j ran H |
281 |
280
|
nfuni |
|- F/_ j U. ran H |
282 |
281
|
nfcri |
|- F/ j y e. U. ran H |
283 |
279 282
|
nfan |
|- F/ j ( ph /\ y e. U. ran H ) |
284 |
|
nfv |
|- F/ j y e. Y |
285 |
|
simp1l |
|- ( ( ( ph /\ y e. U. ran H ) /\ j e. ( 0 ... N ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> ph ) |
286 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ph /\ y e. U. ran H ) /\ j e. ( 0 ... N ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> j e. ( 0 ... N ) ) |
287 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ph /\ y e. U. ran H ) /\ j e. ( 0 ... N ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. ( H ` j ) ) |
288 |
83
|
eleq2d |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( y e. ( H ` j ) <-> y e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) ) |
289 |
288
|
biimpa |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
290 |
|
rabid |
|- ( y e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } <-> ( y e. Y /\ ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) ) ) |
291 |
289 290
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> ( y e. Y /\ ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) ) ) |
292 |
291
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. Y ) |
293 |
285 286 287 292
|
syl21anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. U. ran H ) /\ j e. ( 0 ... N ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. Y ) |
294 |
293
|
3exp |
|- ( ( ph /\ y e. U. ran H ) -> ( j e. ( 0 ... N ) -> ( y e. ( H ` j ) -> y e. Y ) ) ) |
295 |
283 284 294
|
rexlimd |
|- ( ( ph /\ y e. U. ran H ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) -> y e. Y ) ) |
296 |
278 295
|
mpd |
|- ( ( ph /\ y e. U. ran H ) -> y e. Y ) |
297 |
296
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ y e. U. ran H ) -> y e. Y ) |
298 |
297
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( y e. U. ran H -> y e. Y ) ) |
299 |
266 267 21 298
|
ssrd |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> U. ran H C_ Y ) |
300 |
|
ssrab2 |
|- { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } C_ A |
301 |
8 300
|
eqsstri |
|- Y C_ A |
302 |
299 301
|
sstrdi |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> U. ran H C_ A ) |
303 |
254 302
|
sstrd |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ran h C_ A ) |
304 |
57 303
|
fssd |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> h : ran H --> A ) |
305 |
|
dffn3 |
|- ( H Fn ( 0 ... N ) <-> H : ( 0 ... N ) --> ran H ) |
306 |
39 305
|
sylib |
|- ( ph -> H : ( 0 ... N ) --> ran H ) |
307 |
306
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> H : ( 0 ... N ) --> ran H ) |
308 |
|
fco |
|- ( ( h : ran H --> A /\ H : ( 0 ... N ) --> ran H ) -> ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A ) |
309 |
304 307 308
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A ) |
310 |
|
nfcv |
|- F/_ j h |
311 |
310 280
|
nffn |
|- F/ j h Fn ran H |
312 |
|
nfv |
|- F/ j ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) |
313 |
280 312
|
nfralw |
|- F/ j A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) |
314 |
311 313
|
nfan |
|- F/ j ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) |
315 |
279 314
|
nfan |
|- F/ j ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) |
316 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ph ) |
317 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ( 0 ... N ) ) |
318 |
39
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> H Fn ( 0 ... N ) ) |
319 |
|
fvco2 |
|- ( ( H Fn ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) = ( h ` ( H ` j ) ) ) |
320 |
318 319
|
sylancom |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) = ( h ` ( H ` j ) ) ) |
321 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) |
322 |
|
fnfun |
|- ( H Fn ( 0 ... N ) -> Fun H ) |
323 |
39 322
|
syl |
|- ( ph -> Fun H ) |
324 |
323
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> Fun H ) |
325 |
39
|
fndmd |
|- ( ph -> dom H = ( 0 ... N ) ) |
326 |
325
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> dom H = ( 0 ... N ) ) |
327 |
80 326
|
eleqtrrd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. dom H ) |
328 |
327
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. dom H ) |
329 |
|
fvelrn |
|- ( ( Fun H /\ j e. dom H ) -> ( H ` j ) e. ran H ) |
330 |
324 328 329
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( H ` j ) e. ran H ) |
331 |
321 330
|
jca |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) /\ ( H ` j ) e. ran H ) ) |
332 |
241
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( H ` j ) =/= (/) ) |
333 |
|
neeq1 |
|- ( w = ( H ` j ) -> ( w =/= (/) <-> ( H ` j ) =/= (/) ) ) |
334 |
|
fveq2 |
|- ( w = ( H ` j ) -> ( h ` w ) = ( h ` ( H ` j ) ) ) |
335 |
|
id |
|- ( w = ( H ` j ) -> w = ( H ` j ) ) |
336 |
334 335
|
eleq12d |
|- ( w = ( H ` j ) -> ( ( h ` w ) e. w <-> ( h ` ( H ` j ) ) e. ( H ` j ) ) ) |
337 |
333 336
|
imbi12d |
|- ( w = ( H ` j ) -> ( ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) <-> ( ( H ` j ) =/= (/) -> ( h ` ( H ` j ) ) e. ( H ` j ) ) ) ) |
338 |
337
|
rspccva |
|- ( ( A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) /\ ( H ` j ) e. ran H ) -> ( ( H ` j ) =/= (/) -> ( h ` ( H ` j ) ) e. ( H ` j ) ) ) |
339 |
331 332 338
|
sylc |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( h ` ( H ` j ) ) e. ( H ` j ) ) |
340 |
320 339
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) |
341 |
256 260
|
nfco |
|- F/_ y ( h o. H ) |
342 |
|
nfcv |
|- F/_ y j |
343 |
341 342
|
nffv |
|- F/_ y ( ( h o. H ) ` j ) |
344 |
|
nfv |
|- F/ y ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) |
345 |
260 342
|
nffv |
|- F/_ y ( H ` j ) |
346 |
343 345
|
nfel |
|- F/ y ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) |
347 |
344 346
|
nfan |
|- F/ y ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) |
348 |
343 21
|
nfel |
|- F/ y ( ( h o. H ) ` j ) e. Y |
349 |
347 348
|
nfim |
|- F/ y ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) |
350 |
|
eleq1 |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( y e. ( H ` j ) <-> ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) ) |
351 |
350
|
anbi2d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) ) ) |
352 |
|
eleq1 |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( y e. Y <-> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) ) |
353 |
351 352
|
imbi12d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. Y ) <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) ) ) |
354 |
343 349 353 292
|
vtoclgf |
|- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) ) |
355 |
354
|
anabsi7 |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) |
356 |
316 317 340 355
|
syl21anc |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) |
357 |
8
|
eleq2i |
|- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. Y <-> ( ( h o. H ) ` j ) e. { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } ) |
358 |
|
nfcv |
|- F/_ y A |
359 |
|
nfcv |
|- F/_ y T |
360 |
|
nfcv |
|- F/_ y 0 |
361 |
|
nfcv |
|- F/_ y <_ |
362 |
|
nfcv |
|- F/_ y t |
363 |
343 362
|
nffv |
|- F/_ y ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) |
364 |
360 361 363
|
nfbr |
|- F/ y 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) |
365 |
|
nfcv |
|- F/_ y 1 |
366 |
363 361 365
|
nfbr |
|- F/ y ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 |
367 |
364 366
|
nfan |
|- F/ y ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) |
368 |
359 367
|
nfralw |
|- F/ y A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) |
369 |
|
nfcv |
|- F/_ t y |
370 |
|
nfcv |
|- F/_ t h |
371 |
|
nfra1 |
|- F/ t A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) |
372 |
|
nfra1 |
|- F/ t A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) |
373 |
371 372
|
nfan |
|- F/ t ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) |
374 |
|
nfra1 |
|- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) |
375 |
|
nfcv |
|- F/_ t A |
376 |
374 375
|
nfrabw |
|- F/_ t { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } |
377 |
8 376
|
nfcxfr |
|- F/_ t Y |
378 |
373 377
|
nfrabw |
|- F/_ t { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } |
379 |
84 378
|
nfmpt |
|- F/_ t ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) |
380 |
9 379
|
nfcxfr |
|- F/_ t H |
381 |
370 380
|
nfco |
|- F/_ t ( h o. H ) |
382 |
381 88
|
nffv |
|- F/_ t ( ( h o. H ) ` j ) |
383 |
369 382
|
nfeq |
|- F/ t y = ( ( h o. H ) ` j ) |
384 |
|
fveq1 |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( y ` t ) = ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) |
385 |
384
|
breq2d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( 0 <_ ( y ` t ) <-> 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
386 |
384
|
breq1d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( y ` t ) <_ 1 <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) |
387 |
385 386
|
anbi12d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) ) |
388 |
383 387
|
ralbid |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) ) |
389 |
343 358 368 388
|
elrabf |
|- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) ) |
390 |
357 389
|
bitri |
|- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. Y <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) ) |
391 |
356 390
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( h o. H ) ` j ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) ) |
392 |
391
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) |
393 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( D ` j ) |
394 |
|
nfcv |
|- F/_ y < |
395 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( E / N ) |
396 |
363 394 395
|
nfbr |
|- F/ y ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) |
397 |
393 396
|
nfralw |
|- F/ y A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) |
398 |
347 397
|
nfim |
|- F/ y ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) |
399 |
384
|
breq1d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( y ` t ) < ( E / N ) <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) ) |
400 |
383 399
|
ralbid |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) <-> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) ) |
401 |
351 400
|
imbi12d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) ) <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) ) ) |
402 |
291
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) ) |
403 |
402
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) ) |
404 |
343 398 401 403
|
vtoclgf |
|- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) ) |
405 |
404
|
anabsi7 |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) |
406 |
316 317 340 405
|
syl21anc |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) |
407 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( B ` j ) |
408 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( 1 - ( E / N ) ) |
409 |
408 394 363
|
nfbr |
|- F/ y ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) |
410 |
407 409
|
nfralw |
|- F/ y A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) |
411 |
347 410
|
nfim |
|- F/ y ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) |
412 |
384
|
breq2d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
413 |
383 412
|
ralbid |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
414 |
351 413
|
imbi12d |
|- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) ) |
415 |
402
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) |
416 |
343 411 414 415
|
vtoclgf |
|- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
417 |
416
|
anabsi7 |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) |
418 |
316 317 340 417
|
syl21anc |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) |
419 |
392 406 418
|
3jca |
|- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
420 |
419
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( j e. ( 0 ... N ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) ) |
421 |
315 420
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
422 |
309 421
|
jca |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) ) |
423 |
|
feq1 |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( x : ( 0 ... N ) --> A <-> ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A ) ) |
424 |
|
nfcv |
|- F/_ j x |
425 |
310 68
|
nfco |
|- F/_ j ( h o. H ) |
426 |
424 425
|
nfeq |
|- F/ j x = ( h o. H ) |
427 |
|
nfcv |
|- F/_ t x |
428 |
427 381
|
nfeq |
|- F/ t x = ( h o. H ) |
429 |
|
fveq1 |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( x ` j ) = ( ( h o. H ) ` j ) ) |
430 |
429
|
fveq1d |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( ( x ` j ) ` t ) = ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) |
431 |
430
|
breq2d |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) <-> 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
432 |
430
|
breq1d |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) |
433 |
431 432
|
anbi12d |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) ) |
434 |
428 433
|
ralbid |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) ) |
435 |
430
|
breq1d |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) ) |
436 |
428 435
|
ralbid |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) <-> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) ) |
437 |
430
|
breq2d |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) <-> ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
438 |
428 437
|
ralbid |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) <-> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) |
439 |
434 436 438
|
3anbi123d |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) ) |
440 |
426 439
|
ralbid |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) <-> A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) ) |
441 |
423 440
|
anbi12d |
|- ( x = ( h o. H ) -> ( ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) <-> ( ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) ) ) |
442 |
441
|
spcegv |
|- ( ( h o. H ) e. _V -> ( ( ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) -> E. x ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) ) |
443 |
55 422 442
|
sylc |
|- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> E. x ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) |
444 |
46 443
|
exlimddv |
|- ( ph -> E. x ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) |