Metamath Proof Explorer


Theorem cvmlift2lem9

Description: Lemma for cvmlift2 . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f ( 𝜑𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) )
cvmlift2.g ( 𝜑𝐺 ∈ ( ( II ×t II ) Cn 𝐽 ) )
cvmlift2.p ( 𝜑𝑃𝐵 )
cvmlift2.i ( 𝜑 → ( 𝐹𝑃 ) = ( 0 𝐺 0 ) )
cvmlift2.h 𝐻 = ( 𝑓 ∈ ( II Cn 𝐶 ) ( ( 𝐹𝑓 ) = ( 𝑧 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ ( 𝑧 𝐺 0 ) ) ∧ ( 𝑓 ‘ 0 ) = 𝑃 ) )
cvmlift2.k 𝐾 = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) , 𝑦 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ ( ( 𝑓 ∈ ( II Cn 𝐶 ) ( ( 𝐹𝑓 ) = ( 𝑧 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ ( 𝑥 𝐺 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑓 ‘ 0 ) = ( 𝐻𝑥 ) ) ) ‘ 𝑦 ) )
cvmlift2lem10.s 𝑆 = ( 𝑘𝐽 ↦ { 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∖ { ∅ } ) ∣ ( 𝑠 = ( 𝐹𝑘 ) ∧ ∀ 𝑐𝑠 ( ∀ 𝑑 ∈ ( 𝑠 ∖ { 𝑐 } ) ( 𝑐𝑑 ) = ∅ ∧ ( 𝐹𝑐 ) ∈ ( ( 𝐶t 𝑐 ) Homeo ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) } )
cvmlift2lem9.1 ( 𝜑 → ( 𝑋 𝐺 𝑌 ) ∈ 𝑀 )
cvmlift2lem9.2 ( 𝜑𝑇 ∈ ( 𝑆𝑀 ) )
cvmlift2lem9.3 ( 𝜑𝑈 ∈ II )
cvmlift2lem9.4 ( 𝜑𝑉 ∈ II )
cvmlift2lem9.5 ( 𝜑 → ( II ↾t 𝑈 ) ∈ Conn )
cvmlift2lem9.6 ( 𝜑 → ( II ↾t 𝑉 ) ∈ Conn )
cvmlift2lem9.7 ( 𝜑𝑋𝑈 )
cvmlift2lem9.8 ( 𝜑𝑌𝑉 )
cvmlift2lem9.9 ( 𝜑 → ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ ( 𝐺𝑀 ) )
cvmlift2lem9.10 ( 𝜑𝑍𝑉 )
cvmlift2lem9.11 ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) Cn 𝐶 ) )
cvmlift2lem9.w 𝑊 = ( 𝑏𝑇 ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝑏 )
Assertion cvmlift2lem9 ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2.f ( 𝜑𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) )
3 cvmlift2.g ( 𝜑𝐺 ∈ ( ( II ×t II ) Cn 𝐽 ) )
4 cvmlift2.p ( 𝜑𝑃𝐵 )
5 cvmlift2.i ( 𝜑 → ( 𝐹𝑃 ) = ( 0 𝐺 0 ) )
6 cvmlift2.h 𝐻 = ( 𝑓 ∈ ( II Cn 𝐶 ) ( ( 𝐹𝑓 ) = ( 𝑧 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ ( 𝑧 𝐺 0 ) ) ∧ ( 𝑓 ‘ 0 ) = 𝑃 ) )
7 cvmlift2.k 𝐾 = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) , 𝑦 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ ( ( 𝑓 ∈ ( II Cn 𝐶 ) ( ( 𝐹𝑓 ) = ( 𝑧 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↦ ( 𝑥 𝐺 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑓 ‘ 0 ) = ( 𝐻𝑥 ) ) ) ‘ 𝑦 ) )
8 cvmlift2lem10.s 𝑆 = ( 𝑘𝐽 ↦ { 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∖ { ∅ } ) ∣ ( 𝑠 = ( 𝐹𝑘 ) ∧ ∀ 𝑐𝑠 ( ∀ 𝑑 ∈ ( 𝑠 ∖ { 𝑐 } ) ( 𝑐𝑑 ) = ∅ ∧ ( 𝐹𝑐 ) ∈ ( ( 𝐶t 𝑐 ) Homeo ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) } )
9 cvmlift2lem9.1 ( 𝜑 → ( 𝑋 𝐺 𝑌 ) ∈ 𝑀 )
10 cvmlift2lem9.2 ( 𝜑𝑇 ∈ ( 𝑆𝑀 ) )
11 cvmlift2lem9.3 ( 𝜑𝑈 ∈ II )
12 cvmlift2lem9.4 ( 𝜑𝑉 ∈ II )
13 cvmlift2lem9.5 ( 𝜑 → ( II ↾t 𝑈 ) ∈ Conn )
14 cvmlift2lem9.6 ( 𝜑 → ( II ↾t 𝑉 ) ∈ Conn )
15 cvmlift2lem9.7 ( 𝜑𝑋𝑈 )
16 cvmlift2lem9.8 ( 𝜑𝑌𝑉 )
17 cvmlift2lem9.9 ( 𝜑 → ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ ( 𝐺𝑀 ) )
18 cvmlift2lem9.10 ( 𝜑𝑍𝑉 )
19 cvmlift2lem9.11 ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) Cn 𝐶 ) )
20 cvmlift2lem9.w 𝑊 = ( 𝑏𝑇 ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝑏 )
21 iitop II ∈ Top
22 iiuni ( 0 [,] 1 ) = II
23 21 21 22 22 txunii ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) = ( II ×t II )
24 1 2 3 4 5 6 7 cvmlift2lem5 ( 𝜑𝐾 : ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) ⟶ 𝐵 )
25 1 2 3 4 5 6 7 cvmlift2lem7 ( 𝜑 → ( 𝐹𝐾 ) = 𝐺 )
26 25 3 eqeltrd ( 𝜑 → ( 𝐹𝐾 ) ∈ ( ( II ×t II ) Cn 𝐽 ) )
27 21 21 txtopi ( II ×t II ) ∈ Top
28 27 a1i ( 𝜑 → ( II ×t II ) ∈ Top )
29 elssuni ( 𝑈 ∈ II → 𝑈 II )
30 29 22 sseqtrrdi ( 𝑈 ∈ II → 𝑈 ⊆ ( 0 [,] 1 ) )
31 11 30 syl ( 𝜑𝑈 ⊆ ( 0 [,] 1 ) )
32 31 15 sseldd ( 𝜑𝑋 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
33 elssuni ( 𝑉 ∈ II → 𝑉 II )
34 33 22 sseqtrrdi ( 𝑉 ∈ II → 𝑉 ⊆ ( 0 [,] 1 ) )
35 12 34 syl ( 𝜑𝑉 ⊆ ( 0 [,] 1 ) )
36 35 16 sseldd ( 𝜑𝑌 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
37 opelxpi ( ( 𝑋 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ∈ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
38 32 36 37 syl2anc ( 𝜑 → ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ∈ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
39 24 32 36 fovrnd ( 𝜑 → ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
40 fvco3 ( ( 𝐾 : ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) ⟶ 𝐵 ∧ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ∈ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( ( 𝐹𝐾 ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝐾 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) ) )
41 24 38 40 syl2anc ( 𝜑 → ( ( 𝐹𝐾 ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝐾 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) ) )
42 25 fveq1d ( 𝜑 → ( ( 𝐹𝐾 ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) = ( 𝐺 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) )
43 41 42 eqtr3d ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( 𝐾 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) ) = ( 𝐺 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) )
44 df-ov ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) = ( 𝐾 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ )
45 44 fveq2i ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝐾 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) )
46 df-ov ( 𝑋 𝐺 𝑌 ) = ( 𝐺 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ )
47 43 45 46 3eqtr4g ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ) = ( 𝑋 𝐺 𝑌 ) )
48 47 9 eqeltrd ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ) ∈ 𝑀 )
49 8 1 20 cvmsiota ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 𝑆𝑀 ) ∧ ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ) ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝑊𝑇 ∧ ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝑊 ) )
50 2 10 39 48 49 syl13anc ( 𝜑 → ( 𝑊𝑇 ∧ ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝑊 ) )
51 44 eleq1i ( ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝑊 ↔ ( 𝐾 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) ∈ 𝑊 )
52 51 anbi2i ( ( 𝑊𝑇 ∧ ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝑊 ) ↔ ( 𝑊𝑇 ∧ ( 𝐾 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) ∈ 𝑊 ) )
53 50 52 sylib ( 𝜑 → ( 𝑊𝑇 ∧ ( 𝐾 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) ∈ 𝑊 ) )
54 xpss12 ( ( 𝑈 ⊆ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑉 ⊆ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
55 31 35 54 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
56 snidg ( 𝑚𝑈𝑚 ∈ { 𝑚 } )
57 56 ad2antrl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑚 ∈ { 𝑚 } )
58 simprr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑛𝑉 )
59 ovres ( ( 𝑚 ∈ { 𝑚 } ∧ 𝑛𝑉 ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) 𝑛 ) = ( 𝑚 𝐾 𝑛 ) )
60 57 58 59 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) 𝑛 ) = ( 𝑚 𝐾 𝑛 ) )
61 eqid ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) )
62 21 a1i ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → II ∈ Top )
63 snex { 𝑚 } ∈ V
64 63 a1i ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → { 𝑚 } ∈ V )
65 12 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑉 ∈ II )
66 txrest ( ( ( II ∈ Top ∧ II ∈ Top ) ∧ ( { 𝑚 } ∈ V ∧ 𝑉 ∈ II ) ) → ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ↾t { 𝑚 } ) ×t ( II ↾t 𝑉 ) ) )
67 62 62 64 65 66 syl22anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ↾t { 𝑚 } ) ×t ( II ↾t 𝑉 ) ) )
68 iitopon II ∈ ( TopOn ‘ ( 0 [,] 1 ) )
69 31 sselda ( ( 𝜑𝑚𝑈 ) → 𝑚 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
70 69 adantrr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑚 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
71 restsn2 ( ( II ∈ ( TopOn ‘ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( II ↾t { 𝑚 } ) = 𝒫 { 𝑚 } )
72 68 70 71 sylancr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( II ↾t { 𝑚 } ) = 𝒫 { 𝑚 } )
73 pwsn 𝒫 { 𝑚 } = { ∅ , { 𝑚 } }
74 indisconn { ∅ , { 𝑚 } } ∈ Conn
75 73 74 eqeltri 𝒫 { 𝑚 } ∈ Conn
76 72 75 eqeltrdi ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( II ↾t { 𝑚 } ) ∈ Conn )
77 14 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( II ↾t 𝑉 ) ∈ Conn )
78 txconn ( ( ( II ↾t { 𝑚 } ) ∈ Conn ∧ ( II ↾t 𝑉 ) ∈ Conn ) → ( ( II ↾t { 𝑚 } ) ×t ( II ↾t 𝑉 ) ) ∈ Conn )
79 76 77 78 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( II ↾t { 𝑚 } ) ×t ( II ↾t 𝑉 ) ) ∈ Conn )
80 67 79 eqeltrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ Conn )
81 1 2 3 4 5 6 7 cvmlift2lem6 ( ( 𝜑𝑚 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn 𝐶 ) )
82 70 81 syldan ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn 𝐶 ) )
83 35 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑉 ⊆ ( 0 [,] 1 ) )
84 xpss2 ( 𝑉 ⊆ ( 0 [,] 1 ) → ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) )
85 83 84 syl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) )
86 70 snssd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → { 𝑚 } ⊆ ( 0 [,] 1 ) )
87 xpss1 ( { 𝑚 } ⊆ ( 0 [,] 1 ) → ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
88 86 87 syl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
89 23 restuni ( ( ( II ×t II ) ∈ Top ∧ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) )
90 27 88 89 sylancr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) )
91 85 90 sseqtrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) )
92 eqid ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) )
93 92 cnrest ( ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn 𝐶 ) ∧ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )
94 82 91 93 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )
95 85 resabs1d ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) = ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) )
96 27 a1i ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( II ×t II ) ∈ Top )
97 ovex ( 0 [,] 1 ) ∈ V
98 63 97 xpex ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ∈ V
99 98 a1i ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ∈ V )
100 restabs ( ( ( II ×t II ) ∈ Top ∧ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ∈ V ) → ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) )
101 96 85 99 100 syl3anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) )
102 101 oveq1d ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) = ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )
103 94 95 102 3eltr3d ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )
104 cvmtop1 ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) → 𝐶 ∈ Top )
105 2 104 syl ( 𝜑𝐶 ∈ Top )
106 105 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝐶 ∈ Top )
107 1 toptopon ( 𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) )
108 106 107 sylib ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝐶 ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) )
109 df-ima ( 𝐾 “ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) = ran ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) )
110 simprl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑚𝑈 )
111 110 snssd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → { 𝑚 } ⊆ 𝑈 )
112 xpss1 ( { 𝑚 } ⊆ 𝑈 → ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( 𝑈 × 𝑉 ) )
113 imass2 ( ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( 𝑈 × 𝑉 ) → ( 𝐾 “ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) )
114 111 112 113 3syl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 “ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) )
115 imaco ( ( 𝐾 𝐹 ) “ 𝑀 ) = ( 𝐾 “ ( 𝐹𝑀 ) )
116 cnvco ( 𝐹𝐾 ) = ( 𝐾 𝐹 )
117 25 cnveqd ( 𝜑 ( 𝐹𝐾 ) = 𝐺 )
118 116 117 eqtr3id ( 𝜑 → ( 𝐾 𝐹 ) = 𝐺 )
119 118 imaeq1d ( 𝜑 → ( ( 𝐾 𝐹 ) “ 𝑀 ) = ( 𝐺𝑀 ) )
120 115 119 eqtr3id ( 𝜑 → ( 𝐾 “ ( 𝐹𝑀 ) ) = ( 𝐺𝑀 ) )
121 17 120 sseqtrrd ( 𝜑 → ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝐹𝑀 ) ) )
122 24 ffund ( 𝜑 → Fun 𝐾 )
123 24 fdmd ( 𝜑 → dom 𝐾 = ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
124 55 123 sseqtrrd ( 𝜑 → ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ dom 𝐾 )
125 funimass3 ( ( Fun 𝐾 ∧ ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ dom 𝐾 ) → ( ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) ↔ ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
126 122 124 125 syl2anc ( 𝜑 → ( ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) ↔ ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
127 121 126 mpbird ( 𝜑 → ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
128 127 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
129 114 128 sstrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 “ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
130 109 129 eqsstrrid ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ran ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
131 cnvimass ( 𝐹𝑀 ) ⊆ dom 𝐹
132 cvmcn ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) → 𝐹 ∈ ( 𝐶 Cn 𝐽 ) )
133 2 132 syl ( 𝜑𝐹 ∈ ( 𝐶 Cn 𝐽 ) )
134 eqid 𝐽 = 𝐽
135 1 134 cnf ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 Cn 𝐽 ) → 𝐹 : 𝐵 𝐽 )
136 fdm ( 𝐹 : 𝐵 𝐽 → dom 𝐹 = 𝐵 )
137 133 135 136 3syl ( 𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵 )
138 131 137 sseqtrid ( 𝜑 → ( 𝐹𝑀 ) ⊆ 𝐵 )
139 138 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐹𝑀 ) ⊆ 𝐵 )
140 cnrest2 ( ( 𝐶 ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ∧ ran ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) ∧ ( 𝐹𝑀 ) ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) ↔ ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) ) )
141 108 130 139 140 syl3anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) ↔ ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) ) )
142 103 141 mpbid ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
143 8 cvmsss ( 𝑇 ∈ ( 𝑆𝑀 ) → 𝑇𝐶 )
144 10 143 syl ( 𝜑𝑇𝐶 )
145 50 simpld ( 𝜑𝑊𝑇 )
146 144 145 sseldd ( 𝜑𝑊𝐶 )
147 elssuni ( 𝑊𝑇𝑊 𝑇 )
148 145 147 syl ( 𝜑𝑊 𝑇 )
149 8 cvmsuni ( 𝑇 ∈ ( 𝑆𝑀 ) → 𝑇 = ( 𝐹𝑀 ) )
150 10 149 syl ( 𝜑 𝑇 = ( 𝐹𝑀 ) )
151 148 150 sseqtrd ( 𝜑𝑊 ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
152 8 cvmsrcl ( 𝑇 ∈ ( 𝑆𝑀 ) → 𝑀𝐽 )
153 10 152 syl ( 𝜑𝑀𝐽 )
154 cnima ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 Cn 𝐽 ) ∧ 𝑀𝐽 ) → ( 𝐹𝑀 ) ∈ 𝐶 )
155 133 153 154 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐹𝑀 ) ∈ 𝐶 )
156 restopn2 ( ( 𝐶 ∈ Top ∧ ( 𝐹𝑀 ) ∈ 𝐶 ) → ( 𝑊 ∈ ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ↔ ( 𝑊𝐶𝑊 ⊆ ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
157 105 155 156 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑊 ∈ ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ↔ ( 𝑊𝐶𝑊 ⊆ ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
158 146 151 157 mpbir2and ( 𝜑𝑊 ∈ ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) )
159 158 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑊 ∈ ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) )
160 8 cvmscld ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) ∧ 𝑇 ∈ ( 𝑆𝑀 ) ∧ 𝑊𝑇 ) → 𝑊 ∈ ( Clsd ‘ ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
161 2 10 145 160 syl3anc ( 𝜑𝑊 ∈ ( Clsd ‘ ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
162 161 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑊 ∈ ( Clsd ‘ ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
163 18 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑍𝑉 )
164 opelxpi ( ( 𝑚 ∈ { 𝑚 } ∧ 𝑍𝑉 ) → ⟨ 𝑚 , 𝑍 ⟩ ∈ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) )
165 57 163 164 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ⟨ 𝑚 , 𝑍 ⟩ ∈ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) )
166 85 88 sstrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
167 23 restuni ( ( ( II ×t II ) ∈ Top ∧ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( { 𝑚 } × 𝑉 ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) )
168 27 166 167 sylancr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( { 𝑚 } × 𝑉 ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) )
169 165 168 eleqtrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ⟨ 𝑚 , 𝑍 ⟩ ∈ ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) )
170 df-ov ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) = ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ‘ ⟨ 𝑚 , 𝑍 ⟩ )
171 ovres ( ( 𝑚 ∈ { 𝑚 } ∧ 𝑍𝑉 ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) = ( 𝑚 𝐾 𝑍 ) )
172 57 163 171 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) = ( 𝑚 𝐾 𝑍 ) )
173 snidg ( 𝑍𝑉𝑍 ∈ { 𝑍 } )
174 18 173 syl ( 𝜑𝑍 ∈ { 𝑍 } )
175 174 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
176 ovres ( ( 𝑚𝑈𝑍 ∈ { 𝑍 } ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) = ( 𝑚 𝐾 𝑍 ) )
177 110 175 176 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) = ( 𝑚 𝐾 𝑍 ) )
178 172 177 eqtr4d ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) = ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) )
179 170 178 eqtr3id ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ‘ ⟨ 𝑚 , 𝑍 ⟩ ) = ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) )
180 eqid ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) )
181 21 a1i ( 𝜑 → II ∈ Top )
182 snex { 𝑍 } ∈ V
183 182 a1i ( 𝜑 → { 𝑍 } ∈ V )
184 txrest ( ( ( II ∈ Top ∧ II ∈ Top ) ∧ ( 𝑈 ∈ II ∧ { 𝑍 } ∈ V ) ) → ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) = ( ( II ↾t 𝑈 ) ×t ( II ↾t { 𝑍 } ) ) )
185 181 181 11 183 184 syl22anc ( 𝜑 → ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) = ( ( II ↾t 𝑈 ) ×t ( II ↾t { 𝑍 } ) ) )
186 35 18 sseldd ( 𝜑𝑍 ∈ ( 0 [,] 1 ) )
187 restsn2 ( ( II ∈ ( TopOn ‘ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑍 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( II ↾t { 𝑍 } ) = 𝒫 { 𝑍 } )
188 68 186 187 sylancr ( 𝜑 → ( II ↾t { 𝑍 } ) = 𝒫 { 𝑍 } )
189 pwsn 𝒫 { 𝑍 } = { ∅ , { 𝑍 } }
190 indisconn { ∅ , { 𝑍 } } ∈ Conn
191 189 190 eqeltri 𝒫 { 𝑍 } ∈ Conn
192 188 191 eqeltrdi ( 𝜑 → ( II ↾t { 𝑍 } ) ∈ Conn )
193 txconn ( ( ( II ↾t 𝑈 ) ∈ Conn ∧ ( II ↾t { 𝑍 } ) ∈ Conn ) → ( ( II ↾t 𝑈 ) ×t ( II ↾t { 𝑍 } ) ) ∈ Conn )
194 13 192 193 syl2anc ( 𝜑 → ( ( II ↾t 𝑈 ) ×t ( II ↾t { 𝑍 } ) ) ∈ Conn )
195 185 194 eqeltrd ( 𝜑 → ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ∈ Conn )
196 105 107 sylib ( 𝜑𝐶 ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) )
197 df-ima ( 𝐾 “ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) = ran ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) )
198 18 snssd ( 𝜑 → { 𝑍 } ⊆ 𝑉 )
199 xpss2 ( { 𝑍 } ⊆ 𝑉 → ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ⊆ ( 𝑈 × 𝑉 ) )
200 imass2 ( ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ⊆ ( 𝑈 × 𝑉 ) → ( 𝐾 “ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) )
201 198 199 200 3syl ( 𝜑 → ( 𝐾 “ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) )
202 201 127 sstrd ( 𝜑 → ( 𝐾 “ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
203 197 202 eqsstrrid ( 𝜑 → ran ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
204 cnrest2 ( ( 𝐶 ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ∧ ran ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) ∧ ( 𝐹𝑀 ) ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) Cn 𝐶 ) ↔ ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) ) )
205 196 203 138 204 syl3anc ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) Cn 𝐶 ) ↔ ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) ) )
206 19 205 mpbid ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
207 opelxpi ( ( 𝑋𝑈𝑍 ∈ { 𝑍 } ) → ⟨ 𝑋 , 𝑍 ⟩ ∈ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) )
208 15 174 207 syl2anc ( 𝜑 → ⟨ 𝑋 , 𝑍 ⟩ ∈ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) )
209 186 snssd ( 𝜑 → { 𝑍 } ⊆ ( 0 [,] 1 ) )
210 xpss12 ( ( 𝑈 ⊆ ( 0 [,] 1 ) ∧ { 𝑍 } ⊆ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
211 31 209 210 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
212 23 restuni ( ( ( II ×t II ) ∈ Top ∧ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( 𝑈 × { 𝑍 } ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) )
213 27 211 212 sylancr ( 𝜑 → ( 𝑈 × { 𝑍 } ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) )
214 208 213 eleqtrd ( 𝜑 → ⟨ 𝑋 , 𝑍 ⟩ ∈ ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) )
215 df-ov ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) = ( ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑍 ⟩ )
216 ovres ( ( 𝑋𝑈𝑍 ∈ { 𝑍 } ) → ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) = ( 𝑋 𝐾 𝑍 ) )
217 15 174 216 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) = ( 𝑋 𝐾 𝑍 ) )
218 snidg ( 𝑋𝑈𝑋 ∈ { 𝑋 } )
219 15 218 syl ( 𝜑𝑋 ∈ { 𝑋 } )
220 ovres ( ( 𝑋 ∈ { 𝑋 } ∧ 𝑍𝑉 ) → ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) = ( 𝑋 𝐾 𝑍 ) )
221 219 18 220 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) = ( 𝑋 𝐾 𝑍 ) )
222 217 221 eqtr4d ( 𝜑 → ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) = ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) )
223 215 222 eqtr3id ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑍 ⟩ ) = ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) )
224 eqid ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) )
225 snex { 𝑋 } ∈ V
226 225 a1i ( 𝜑 → { 𝑋 } ∈ V )
227 txrest ( ( ( II ∈ Top ∧ II ∈ Top ) ∧ ( { 𝑋 } ∈ V ∧ 𝑉 ∈ II ) ) → ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ↾t { 𝑋 } ) ×t ( II ↾t 𝑉 ) ) )
228 181 181 226 12 227 syl22anc ( 𝜑 → ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ↾t { 𝑋 } ) ×t ( II ↾t 𝑉 ) ) )
229 restsn2 ( ( II ∈ ( TopOn ‘ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( II ↾t { 𝑋 } ) = 𝒫 { 𝑋 } )
230 68 32 229 sylancr ( 𝜑 → ( II ↾t { 𝑋 } ) = 𝒫 { 𝑋 } )
231 pwsn 𝒫 { 𝑋 } = { ∅ , { 𝑋 } }
232 indisconn { ∅ , { 𝑋 } } ∈ Conn
233 231 232 eqeltri 𝒫 { 𝑋 } ∈ Conn
234 230 233 eqeltrdi ( 𝜑 → ( II ↾t { 𝑋 } ) ∈ Conn )
235 txconn ( ( ( II ↾t { 𝑋 } ) ∈ Conn ∧ ( II ↾t 𝑉 ) ∈ Conn ) → ( ( II ↾t { 𝑋 } ) ×t ( II ↾t 𝑉 ) ) ∈ Conn )
236 234 14 235 syl2anc ( 𝜑 → ( ( II ↾t { 𝑋 } ) ×t ( II ↾t 𝑉 ) ) ∈ Conn )
237 228 236 eqeltrd ( 𝜑 → ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ Conn )
238 1 2 3 4 5 6 7 cvmlift2lem6 ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn 𝐶 ) )
239 32 238 mpdan ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn 𝐶 ) )
240 xpss2 ( 𝑉 ⊆ ( 0 [,] 1 ) → ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) )
241 12 34 240 3syl ( 𝜑 → ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) )
242 32 snssd ( 𝜑 → { 𝑋 } ⊆ ( 0 [,] 1 ) )
243 xpss1 ( { 𝑋 } ⊆ ( 0 [,] 1 ) → ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
244 242 243 syl ( 𝜑 → ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
245 23 restuni ( ( ( II ×t II ) ∈ Top ∧ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) )
246 27 244 245 sylancr ( 𝜑 → ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) )
247 241 246 sseqtrd ( 𝜑 → ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) )
248 eqid ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) )
249 248 cnrest ( ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn 𝐶 ) ∧ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )
250 239 247 249 syl2anc ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )
251 241 resabs1d ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) = ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) )
252 225 97 xpex ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ∈ V
253 252 a1i ( 𝜑 → ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ∈ V )
254 restabs ( ( ( II ×t II ) ∈ Top ∧ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ∈ V ) → ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) )
255 28 241 253 254 syl3anc ( 𝜑 → ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) )
256 255 oveq1d ( 𝜑 → ( ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) = ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )
257 250 251 256 3eltr3d ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )
258 df-ima ( 𝐾 “ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) = ran ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) )
259 15 snssd ( 𝜑 → { 𝑋 } ⊆ 𝑈 )
260 xpss1 ( { 𝑋 } ⊆ 𝑈 → ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( 𝑈 × 𝑉 ) )
261 imass2 ( ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( 𝑈 × 𝑉 ) → ( 𝐾 “ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) )
262 259 260 261 3syl ( 𝜑 → ( 𝐾 “ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) )
263 262 127 sstrd ( 𝜑 → ( 𝐾 “ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
264 258 263 eqsstrrid ( 𝜑 → ran ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) )
265 cnrest2 ( ( 𝐶 ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ∧ ran ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ⊆ ( 𝐹𝑀 ) ∧ ( 𝐹𝑀 ) ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) ↔ ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) ) )
266 196 264 138 265 syl3anc ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) ↔ ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) ) )
267 257 266 mpbid ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) Cn ( 𝐶t ( 𝐹𝑀 ) ) ) )
268 opelxpi ( ( 𝑋 ∈ { 𝑋 } ∧ 𝑌𝑉 ) → ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ∈ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) )
269 219 16 268 syl2anc ( 𝜑 → ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ∈ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) )
270 259 260 syl ( 𝜑 → ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( 𝑈 × 𝑉 ) )
271 270 55 sstrd ( 𝜑 → ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) )
272 23 restuni ( ( ( II ×t II ) ∈ Top ∧ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⊆ ( ( 0 [,] 1 ) × ( 0 [,] 1 ) ) ) → ( { 𝑋 } × 𝑉 ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) )
273 27 271 272 sylancr ( 𝜑 → ( { 𝑋 } × 𝑉 ) = ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) )
274 269 273 eleqtrd ( 𝜑 → ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ∈ ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) )
275 df-ov ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) 𝑌 ) = ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ )
276 ovres ( ( 𝑋 ∈ { 𝑋 } ∧ 𝑌𝑉 ) → ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) 𝑌 ) = ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) )
277 219 16 276 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) 𝑌 ) = ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) )
278 275 277 eqtr3id ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) = ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) )
279 50 simprd ( 𝜑 → ( 𝑋 𝐾 𝑌 ) ∈ 𝑊 )
280 278 279 eqeltrd ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑌 ⟩ ) ∈ 𝑊 )
281 224 237 267 158 161 274 280 conncn ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) : ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ⟶ 𝑊 )
282 273 feq2d ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) : ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⟶ 𝑊 ↔ ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) : ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) ⟶ 𝑊 ) )
283 281 282 mpbird ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) : ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ⟶ 𝑊 )
284 283 219 18 fovrnd ( 𝜑 → ( 𝑋 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑋 } × 𝑉 ) ) 𝑍 ) ∈ 𝑊 )
285 223 284 eqeltrd ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ‘ ⟨ 𝑋 , 𝑍 ⟩ ) ∈ 𝑊 )
286 180 195 206 158 161 214 285 conncn ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) : ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ⟶ 𝑊 )
287 213 feq2d ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) : ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ⟶ 𝑊 ↔ ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) : ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) ⟶ 𝑊 ) )
288 286 287 mpbird ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) : ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ⟶ 𝑊 )
289 288 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) : ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ⟶ 𝑊 )
290 289 110 175 fovrnd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × { 𝑍 } ) ) 𝑍 ) ∈ 𝑊 )
291 179 290 eqeltrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ‘ ⟨ 𝑚 , 𝑍 ⟩ ) ∈ 𝑊 )
292 61 80 142 159 162 169 291 conncn ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) : ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ⟶ 𝑊 )
293 168 feq2d ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) : ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⟶ 𝑊 ↔ ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) : ( ( II ×t II ) ↾t ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) ⟶ 𝑊 ) )
294 292 293 mpbird ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) : ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ⟶ 𝑊 )
295 294 57 58 fovrnd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝑚 ( 𝐾 ↾ ( { 𝑚 } × 𝑉 ) ) 𝑛 ) ∈ 𝑊 )
296 60 295 eqeltrrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚𝑈𝑛𝑉 ) ) → ( 𝑚 𝐾 𝑛 ) ∈ 𝑊 )
297 296 ralrimivva ( 𝜑 → ∀ 𝑚𝑈𝑛𝑉 ( 𝑚 𝐾 𝑛 ) ∈ 𝑊 )
298 funimassov ( ( Fun 𝐾 ∧ ( 𝑈 × 𝑉 ) ⊆ dom 𝐾 ) → ( ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ⊆ 𝑊 ↔ ∀ 𝑚𝑈𝑛𝑉 ( 𝑚 𝐾 𝑛 ) ∈ 𝑊 ) )
299 122 124 298 syl2anc ( 𝜑 → ( ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ⊆ 𝑊 ↔ ∀ 𝑚𝑈𝑛𝑉 ( 𝑚 𝐾 𝑛 ) ∈ 𝑊 ) )
300 297 299 mpbird ( 𝜑 → ( 𝐾 “ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ⊆ 𝑊 )
301 1 23 8 2 24 26 28 38 10 53 55 300 cvmlift2lem9a ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾ ( 𝑈 × 𝑉 ) ) ∈ ( ( ( II ×t II ) ↾t ( 𝑈 × 𝑉 ) ) Cn 𝐶 ) )