Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
radcnvrat.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
2 |
|
radcnvrat.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ ) |
3 |
|
radcnvrat.r |
⊢ 𝑅 = sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < ) |
4 |
|
radcnvrat.rat |
⊢ 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
5 |
|
radcnvrat.z |
⊢ 𝑍 = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) |
6 |
|
radcnvrat.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
7 |
|
radcnvrat.n0 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ≠ 0 ) |
8 |
|
radcnvrat.l |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ⇝ 𝐿 ) |
9 |
|
radcnvrat.ln0 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ≠ 0 ) |
10 |
|
xrltso |
⊢ < Or ℝ* |
11 |
10
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → < Or ℝ* ) |
12 |
6
|
nn0zd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
13 |
5
|
reseq2i |
⊢ ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) = ( 𝐷 ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
14 |
|
nn0ex |
⊢ ℕ0 ∈ V |
15 |
14
|
mptex |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ V |
16 |
4 15
|
eqeltri |
⊢ 𝐷 ∈ V |
17 |
|
climres |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ V ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ⇝ 𝐿 ↔ 𝐷 ⇝ 𝐿 ) ) |
18 |
12 16 17
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ⇝ 𝐿 ↔ 𝐷 ⇝ 𝐿 ) ) |
19 |
8 18
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ⇝ 𝐿 ) |
20 |
13 19
|
eqbrtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) ⇝ 𝐿 ) |
21 |
4
|
reseq1i |
⊢ ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ↾ 𝑍 ) |
22 |
|
eluznn0 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
23 |
6 22
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
24 |
23
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) ) |
25 |
24
|
ssrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⊆ ℕ0 ) |
26 |
5 25
|
eqsstrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⊆ ℕ0 ) |
27 |
26
|
resmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ↾ 𝑍 ) = ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
28 |
21 27
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) = ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
29 |
|
fvexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ V ) |
30 |
28 29
|
fvmpt2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
31 |
5
|
peano2uzs |
⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 → ( 𝑘 + 1 ) ∈ 𝑍 ) |
32 |
26
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ 𝑍 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
33 |
2
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
32 33
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ 𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
35 |
31 34
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
36 |
26
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
37 |
2
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
38 |
36 37
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
39 |
35 38 7
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
40 |
39
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
30 40
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
42 |
5 12 20 41
|
climrecl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ ) |
43 |
42 9
|
rereccld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ ) |
44 |
43
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) |
45 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
46 |
|
elrabi |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 ∈ ℝ ) |
47 |
43
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ ) |
48 |
|
recn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ ) |
49 |
48
|
abscld |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
50 |
49
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
51 |
47 50
|
ltlend |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) |
52 |
51
|
simplbda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) |
53 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) |
54 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) |
55 |
54
|
biantrud |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) |
56 |
47 50
|
lenltd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
57 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
58 |
53 55 57
|
3bitr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
59 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℂ ) |
60 |
50
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
61 |
42
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ ) |
62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐿 ∈ ℂ ) |
63 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐿 ≠ 0 ) |
64 |
59 60 62 63
|
divmul3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) = ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ 1 = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) ) |
65 |
|
eqcom |
⊢ ( ( 1 / 𝐿 ) = ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( abs ‘ 𝑥 ) = ( 1 / 𝐿 ) ) |
66 |
|
eqcom |
⊢ ( 1 = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) = 1 ) |
67 |
64 65 66
|
3bitr3g |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) = ( 1 / 𝐿 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) = 1 ) ) |
68 |
67
|
necon3bid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ) |
69 |
68
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) |
70 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ ) |
71 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 → ( ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) |
72 |
71
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) |
73 |
72 41
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
74 |
39
|
absge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
75 |
74 30
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝑍 ) ‘ 𝑘 ) ) |
76 |
75 72
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 0 ≤ ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) |
77 |
5 12 8 73 76
|
climge0 |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝐿 ) |
78 |
42 77 9
|
ne0gt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝐿 ) |
79 |
42 78
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+ ) |
80 |
79
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐿 ∈ ℝ+ ) |
81 |
50 70 80
|
ltmuldivd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
82 |
81
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
83 |
|
elun |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ℝ ∩ { 0 } ) ∪ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ∨ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ) |
84 |
|
inundif |
⊢ ( ( ℝ ∩ { 0 } ) ∪ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) = ℝ |
85 |
84
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ℝ ∩ { 0 } ) ∪ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑥 ∈ ℝ ) |
86 |
83 85
|
bitr3i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ∨ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑥 ∈ ℝ ) |
87 |
|
elin |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ { 0 } ) ) |
88 |
87
|
simprbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) → 𝑥 ∈ { 0 } ) |
89 |
|
elsni |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 = 0 ) |
90 |
88 89
|
syl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) → 𝑥 = 0 ) |
91 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( abs ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ 0 ) ) |
92 |
|
abs0 |
⊢ ( abs ‘ 0 ) = 0 |
93 |
91 92
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( abs ‘ 𝑥 ) = 0 ) |
94 |
93
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) = ( 0 · 𝐿 ) ) |
95 |
61
|
mul02d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 · 𝐿 ) = 0 ) |
96 |
94 95
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) = 0 ) |
97 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
98 |
96 97
|
eqbrtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ) |
99 |
1 2
|
radcnv0 |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
100 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ↔ 0 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
101 |
99 100
|
syl5ibrcom |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
102 |
101
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
103 |
98 102
|
2thd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
104 |
90 103
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
105 |
104
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
106 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
107 |
|
ssdif |
⊢ ( ℝ ⊆ ℂ → ( ℝ ∖ { 0 } ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
108 |
106 107
|
ax-mp |
⊢ ( ℝ ∖ { 0 } ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } ) |
109 |
108
|
sseli |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) → 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
110 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
111 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
112 |
|
fvexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ∈ V ) |
113 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
114 |
1
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) ) ) ) |
115 |
14
|
mptex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) ) ∈ V |
116 |
115
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) ) ∈ V ) |
117 |
114 116
|
fvmpt2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
118 |
117
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
119 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) |
120 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) = ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) |
121 |
119 120
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
122 |
121
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
123 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
124 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ∈ V ) |
125 |
118 122 123 124
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
126 |
37
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
127 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
128 |
127 123
|
expcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
129 |
126 128
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
130 |
125 129
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
131 |
113 130
|
sylanl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
132 |
131
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
133 |
36
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
134 |
133 125
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
135 |
113 134
|
sylanl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
136 |
38
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
137 |
113
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
138 |
137
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
139 |
36
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
140 |
138 139
|
expcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
141 |
7
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ≠ 0 ) |
142 |
|
eldifsni |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) → 𝑥 ≠ 0 ) |
143 |
142
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑥 ≠ 0 ) |
144 |
139
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
145 |
138 143 144
|
expne0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ≠ 0 ) |
146 |
136 140 141 145
|
mulne0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ≠ 0 ) |
147 |
135 146
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ≠ 0 ) |
148 |
147
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ≠ 0 ) |
149 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
150 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) |
151 |
149 150
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) |
152 |
151
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
153 |
152
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
154 |
5
|
reseq2i |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ 𝑍 ) = ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
155 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → 𝑍 ⊆ ℕ0 ) |
156 |
155
|
resmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ 𝑍 ) = ( 𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
157 |
154 156
|
eqtr3id |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
158 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
159 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → 𝐷 ⇝ 𝐿 ) |
160 |
137
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
161 |
160
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
162 |
14
|
mptex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ V |
163 |
162
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ V ) |
164 |
73
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
165 |
164
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
166 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) |
167 |
152
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
168 |
|
fvexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ V ) |
169 |
166 167 139 168
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
170 |
117
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
171 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) → 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) |
172 |
171
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
173 |
171
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) → ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) = ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
174 |
172 173
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
175 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
176 |
175
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 1 ∈ ℕ0 ) |
177 |
133 176
|
nn0addcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
178 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ V ) |
179 |
170 174 177 178
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
180 |
121
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑛 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
181 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ∈ V ) |
182 |
170 180 133 181
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
183 |
179 182
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) / ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
184 |
113 183
|
sylanl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) / ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
185 |
35
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
186 |
113 177
|
sylanl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
187 |
138 186
|
expcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
188 |
185 136 187 140 141 145
|
divmuldivd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) / ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
189 |
139
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
190 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 1 ∈ ℂ ) |
191 |
189 190
|
pncan2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) − 𝑘 ) = 1 ) |
192 |
191
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑘 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ↑ 1 ) ) |
193 |
186
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ ) |
194 |
138 143 144 193
|
expsubd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑘 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
195 |
138
|
exp1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ 1 ) = 𝑥 ) |
196 |
192 194 195
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) = 𝑥 ) |
197 |
196
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · 𝑥 ) ) |
198 |
184 188 197
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · 𝑥 ) ) |
199 |
198
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · 𝑥 ) ) ) |
200 |
39
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
201 |
200 138
|
absmuld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
202 |
169 199 201
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
203 |
72 30
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
204 |
203
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
205 |
204
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) |
206 |
205
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
207 |
161
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
208 |
165 207
|
mulcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) |
209 |
202 206 208
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑘 ) ) ) |
210 |
5 158 159 161 163 165 209
|
climmulc2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) |
211 |
|
climres |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ V ) → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) ) |
212 |
158 162 211
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) ) |
213 |
210 212
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) |
214 |
157 213
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) |
215 |
214
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( 𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) |
216 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) |
217 |
110 5 111 112 132 148 153 215 216
|
cvgdvgrat |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) |
218 |
109 217
|
sylanl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) |
219 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
220 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑥 → ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) |
221 |
220
|
seqeq3d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑥 → seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) = seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ) |
222 |
221
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑥 → ( seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) |
223 |
222
|
elrab3 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) |
224 |
219 223
|
syl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) |
225 |
224
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) |
226 |
218 225
|
bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
227 |
226
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
228 |
105 227
|
jaodan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ∨ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
229 |
86 228
|
sylan2br |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
230 |
229
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
231 |
82 230
|
bitr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
232 |
69 231
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
233 |
232
|
notbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ¬ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
234 |
58 233
|
bitrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
235 |
234
|
biimpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
236 |
235
|
impancom |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
237 |
52 236
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
238 |
237
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
239 |
238
|
con2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → ¬ ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
240 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ ) |
241 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
242 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
243 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) |
244 |
241
|
leabsd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → 𝑥 ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
245 |
240 241 242 243 244
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
246 |
245
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 → ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
247 |
239 246
|
nsyld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → ¬ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) ) |
248 |
46 247
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → ¬ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) ) |
249 |
45 248
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) → ¬ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) |
250 |
43
|
renegcld |
⊢ ( 𝜑 → - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ ) |
251 |
250
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) |
252 |
|
iooss1 |
⊢ ( ( - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
253 |
251 252
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
254 |
253
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
255 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) → ( 𝑥 < 𝑘 ∧ 𝑘 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
256 |
255
|
simpld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) → 𝑥 < 𝑘 ) |
257 |
256
|
rgen |
⊢ ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 |
258 |
|
ioon0 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
259 |
44 258
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
260 |
259
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
261 |
260
|
biimpar |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ) |
262 |
|
r19.2zb |
⊢ ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ ( ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) ) |
263 |
261 262
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) ) |
264 |
257 263
|
mpi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) |
265 |
264
|
anasss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) |
266 |
265
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) |
267 |
|
ssrexv |
⊢ ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) ) |
268 |
254 266 267
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) |
269 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) |
270 |
|
xrltnle |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 < - ( 1 / 𝐿 ) ↔ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) ) |
271 |
|
xrltle |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 < - ( 1 / 𝐿 ) → 𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
272 |
270 271
|
sylbird |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 → 𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
273 |
251 272
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝜑 ) → ( ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 → 𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
274 |
273
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) → ( ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 → 𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
275 |
274
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) |
276 |
|
iooss1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) → ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
277 |
269 275 276
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
278 |
277
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
279 |
278 256
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) → 𝑥 < 𝑘 ) |
280 |
279
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) |
281 |
42 78
|
recgt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 1 / 𝐿 ) ) |
282 |
43 43 281 281
|
addgt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( ( 1 / 𝐿 ) + ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
283 |
43
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℂ ) |
284 |
283 283
|
subnegd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 𝐿 ) − - ( 1 / 𝐿 ) ) = ( ( 1 / 𝐿 ) + ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
285 |
282 284
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( ( 1 / 𝐿 ) − - ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
286 |
250 43
|
posdifd |
⊢ ( 𝜑 → ( - ( 1 / 𝐿 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ 0 < ( ( 1 / 𝐿 ) − - ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) |
287 |
285 286
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → - ( 1 / 𝐿 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) |
288 |
|
ioon0 |
⊢ ( ( - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ∧ ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ - ( 1 / 𝐿 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
289 |
251 44 288
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ - ( 1 / 𝐿 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
290 |
287 289
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ) |
291 |
|
r19.2zb |
⊢ ( ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ ( ∀ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) ) |
292 |
290 291
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) ) |
293 |
292
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) ) |
294 |
280 293
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) |
295 |
294
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) |
296 |
268 295
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) |
297 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ∧ ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) |
298 |
251 44 297
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) |
299 |
298
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) |
300 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
301 |
300 47
|
absltd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ ( - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) |
302 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
303 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) |
304 |
302 303
|
ltned |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) |
305 |
232
|
biimpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
306 |
305
|
impancom |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
307 |
304 306
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
308 |
307
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
309 |
301 308
|
sylbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
310 |
309
|
impr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
311 |
310
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ( 𝜑 → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
312 |
311
|
3impb |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( 𝜑 → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
313 |
312
|
impcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
314 |
299 313
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
315 |
314
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) ) |
316 |
315
|
ssrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) |
317 |
|
ssrexv |
⊢ ( ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → ( ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } 𝑥 < 𝑘 ) ) |
318 |
316 317
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } 𝑥 < 𝑘 ) ) |
319 |
318
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } 𝑥 < 𝑘 ) ) |
320 |
296 319
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } 𝑥 < 𝑘 ) |
321 |
11 44 249 320
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eqsupd |
⊢ ( 𝜑 → sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < ) = ( 1 / 𝐿 ) ) |
322 |
3 321
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syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ( 1 / 𝐿 ) ) |