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Theorem radcnvrat

Description: Let L be the limit, if one exists, of the ratio ( abs( ( A( k + 1 ) ) / ( Ak ) ) ) (as in the ratio test cvgdvgrat ) as k increases. Then the radius of convergence of power series sum_ n e. NN0 ( ( An ) x. ( x ^ n ) ) is ( 1 / L ) if L is nonzero. Proof "The limit involved in the ratio test..." in https://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_convergence —a few lines that evidently hide quite an involved process to confirm. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Mar-2020)

Ref Expression
Hypotheses radcnvrat.g 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) ) )
radcnvrat.a ( 𝜑𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ )
radcnvrat.r 𝑅 = sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < )
radcnvrat.rat 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) )
radcnvrat.z 𝑍 = ( ℤ𝑀 )
radcnvrat.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ0 )
radcnvrat.n0 ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( 𝐴𝑘 ) ≠ 0 )
radcnvrat.l ( 𝜑𝐷𝐿 )
radcnvrat.ln0 ( 𝜑𝐿 ≠ 0 )
Assertion radcnvrat ( 𝜑𝑅 = ( 1 / 𝐿 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 radcnvrat.g 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) ) )
2 radcnvrat.a ( 𝜑𝐴 : ℕ0 ⟶ ℂ )
3 radcnvrat.r 𝑅 = sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < )
4 radcnvrat.rat 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) )
5 radcnvrat.z 𝑍 = ( ℤ𝑀 )
6 radcnvrat.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ0 )
7 radcnvrat.n0 ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( 𝐴𝑘 ) ≠ 0 )
8 radcnvrat.l ( 𝜑𝐷𝐿 )
9 radcnvrat.ln0 ( 𝜑𝐿 ≠ 0 )
10 xrltso < Or ℝ*
11 10 a1i ( 𝜑 → < Or ℝ* )
12 6 nn0zd ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
13 5 reseq2i ( 𝐷𝑍 ) = ( 𝐷 ↾ ( ℤ𝑀 ) )
14 nn0ex 0 ∈ V
15 14 mptex ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) ) ∈ V
16 4 15 eqeltri 𝐷 ∈ V
17 climres ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ V ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ℤ𝑀 ) ) ⇝ 𝐿𝐷𝐿 ) )
18 12 16 17 sylancl ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ ( ℤ𝑀 ) ) ⇝ 𝐿𝐷𝐿 ) )
19 8 18 mpbird ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ ( ℤ𝑀 ) ) ⇝ 𝐿 )
20 13 19 eqbrtrid ( 𝜑 → ( 𝐷𝑍 ) ⇝ 𝐿 )
21 4 reseq1i ( 𝐷𝑍 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) ) ↾ 𝑍 )
22 eluznn0 ( ( 𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ( ℤ𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
23 6 22 sylan ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( ℤ𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
24 23 ex ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( ℤ𝑀 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) )
25 24 ssrdv ( 𝜑 → ( ℤ𝑀 ) ⊆ ℕ0 )
26 5 25 eqsstrid ( 𝜑𝑍 ⊆ ℕ0 )
27 26 resmptd ( 𝜑 → ( ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) ) ↾ 𝑍 ) = ( 𝑘𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) ) )
28 21 27 syl5eq ( 𝜑 → ( 𝐷𝑍 ) = ( 𝑘𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) ) )
29 fvexd ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) ∈ V )
30 28 29 fvmpt2d ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐷𝑍 ) ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) )
31 5 peano2uzs ( 𝑘𝑍 → ( 𝑘 + 1 ) ∈ 𝑍 )
32 26 sselda ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ 𝑍 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 )
33 2 ffvelrnda ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ )
34 32 33 syldan ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ 𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ )
35 31 34 sylan2 ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ )
36 26 sselda ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
37 2 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℂ )
38 36 37 syldan ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℂ )
39 35 38 7 divcld ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ∈ ℂ )
40 39 abscld ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) ∈ ℝ )
41 30 40 eqeltrd ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐷𝑍 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
42 5 12 20 41 climrecl ( 𝜑𝐿 ∈ ℝ )
43 42 9 rereccld ( 𝜑 → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ )
44 43 rexrd ( 𝜑 → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* )
45 simpr ( ( 𝜑𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
46 elrabi ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 ∈ ℝ )
47 43 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ )
48 recn ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ )
49 48 abscld ( 𝑥 ∈ ℝ → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
50 49 adantl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
51 47 50 ltlend ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) ) )
52 51 simplbda ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) )
53 51 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) ) )
54 simpr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) )
55 54 biantrud ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) ) )
56 47 50 lenltd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) )
57 56 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) )
58 53 55 57 3bitr2d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) )
59 1cnd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℂ )
60 50 recnd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
61 42 recnd ( 𝜑𝐿 ∈ ℂ )
62 61 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐿 ∈ ℂ )
63 9 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐿 ≠ 0 )
64 59 60 62 63 divmul3d ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) = ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ 1 = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) )
65 eqcom ( ( 1 / 𝐿 ) = ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ( abs ‘ 𝑥 ) = ( 1 / 𝐿 ) )
66 eqcom ( 1 = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) = 1 )
67 64 65 66 3bitr3g ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) = ( 1 / 𝐿 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) = 1 ) )
68 67 necon3bid ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) )
69 68 biimpa ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 )
70 1red ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ )
71 fvres ( 𝑘𝑍 → ( ( 𝐷𝑍 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷𝑘 ) )
72 71 adantl ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐷𝑍 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐷𝑘 ) )
73 72 41 eqeltrrd ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( 𝐷𝑘 ) ∈ ℝ )
74 39 absge0d ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) )
75 74 30 breqtrrd ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷𝑍 ) ‘ 𝑘 ) )
76 75 72 breqtrd ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → 0 ≤ ( 𝐷𝑘 ) )
77 5 12 8 73 76 climge0 ( 𝜑 → 0 ≤ 𝐿 )
78 42 77 9 ne0gt0d ( 𝜑 → 0 < 𝐿 )
79 42 78 elrpd ( 𝜑𝐿 ∈ ℝ+ )
80 79 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐿 ∈ ℝ+ )
81 50 70 80 ltmuldivd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) )
82 81 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) )
83 elun ( 𝑥 ∈ ( ( ℝ ∩ { 0 } ) ∪ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ∨ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) )
84 inundif ( ( ℝ ∩ { 0 } ) ∪ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) = ℝ
85 84 eleq2i ( 𝑥 ∈ ( ( ℝ ∩ { 0 } ) ∪ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑥 ∈ ℝ )
86 83 85 bitr3i ( ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ∨ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ↔ 𝑥 ∈ ℝ )
87 elin ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ { 0 } ) )
88 87 simprbi ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) → 𝑥 ∈ { 0 } )
89 elsni ( 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 = 0 )
90 88 89 syl ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) → 𝑥 = 0 )
91 fveq2 ( 𝑥 = 0 → ( abs ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ 0 ) )
92 abs0 ( abs ‘ 0 ) = 0
93 91 92 eqtrdi ( 𝑥 = 0 → ( abs ‘ 𝑥 ) = 0 )
94 93 oveq1d ( 𝑥 = 0 → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) = ( 0 · 𝐿 ) )
95 61 mul02d ( 𝜑 → ( 0 · 𝐿 ) = 0 )
96 94 95 sylan9eqr ( ( 𝜑𝑥 = 0 ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) = 0 )
97 0lt1 0 < 1
98 96 97 eqbrtrdi ( ( 𝜑𝑥 = 0 ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 )
99 1 2 radcnv0 ( 𝜑 → 0 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
100 eleq1 ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ↔ 0 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
101 99 100 syl5ibrcom ( 𝜑 → ( 𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
102 101 imp ( ( 𝜑𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
103 98 102 2thd ( ( 𝜑𝑥 = 0 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
104 90 103 sylan2 ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
105 104 adantlr ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
106 ax-resscn ℝ ⊆ ℂ
107 ssdif ( ℝ ⊆ ℂ → ( ℝ ∖ { 0 } ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
108 106 107 ax-mp ( ℝ ∖ { 0 } ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } )
109 108 sseli ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) → 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
110 nn0uz 0 = ( ℤ ‘ 0 )
111 6 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → 𝑀 ∈ ℕ0 )
112 fvexd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( 𝐺𝑥 ) ∈ V )
113 eldifi ( 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) → 𝑥 ∈ ℂ )
114 1 a1i ( 𝜑𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) ) ) )
115 14 mptex ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) ) ∈ V
116 115 a1i ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) ) ∈ V )
117 114 116 fvmpt2d ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝐺𝑥 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) ) )
118 117 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐺𝑥 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) ) )
119 fveq2 ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐴𝑛 ) = ( 𝐴𝑘 ) )
120 oveq2 ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑥𝑛 ) = ( 𝑥𝑘 ) )
121 119 120 oveq12d ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) )
122 121 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) )
123 simpr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
124 ovexd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) ∈ V )
125 118 122 123 124 fvmptd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) )
126 37 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℂ )
127 simplr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
128 127 123 expcld ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ℂ )
129 126 128 mulcld ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) ∈ ℂ )
130 125 129 eqeltrd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
131 113 130 sylanl2 ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
132 131 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
133 36 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
134 133 125 syldan ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) )
135 113 134 sylanl2 ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) )
136 38 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℂ )
137 113 adantl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
138 137 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
139 36 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
140 138 139 expcld ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑥𝑘 ) ∈ ℂ )
141 7 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝐴𝑘 ) ≠ 0 )
142 eldifsni ( 𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) → 𝑥 ≠ 0 )
143 142 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑥 ≠ 0 )
144 139 nn0zd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
145 138 143 144 expne0d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑥𝑘 ) ≠ 0 )
146 136 140 141 145 mulne0d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) ≠ 0 )
147 135 146 eqnetrd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ≠ 0 )
148 147 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ≠ 0 )
149 fvoveq1 ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) = ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
150 fveq2 ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) )
151 149 150 oveq12d ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) )
152 151 fveq2d ( 𝑛 = 𝑘 → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
153 152 cbvmptv ( 𝑛𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑘𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
154 5 reseq2i ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ 𝑍 ) = ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ𝑀 ) )
155 26 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → 𝑍 ⊆ ℕ0 )
156 155 resmptd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ 𝑍 ) = ( 𝑛𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
157 154 156 eqtr3id ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ𝑀 ) ) = ( 𝑛𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
158 12 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
159 8 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → 𝐷𝐿 )
160 137 abscld ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
161 160 recnd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
162 14 mptex ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ V
163 162 a1i ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ V )
164 73 recnd ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( 𝐷𝑘 ) ∈ ℂ )
165 164 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝐷𝑘 ) ∈ ℂ )
166 eqidd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
167 152 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
168 fvexd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ V )
169 166 167 139 168 fvmptd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
170 117 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝐺𝑥 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) ) )
171 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) → 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) )
172 171 fveq2d ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) → ( 𝐴𝑛 ) = ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
173 171 oveq2d ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) → ( 𝑥𝑛 ) = ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) )
174 172 173 oveq12d ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) ∧ 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) ) → ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
175 1nn0 1 ∈ ℕ0
176 175 a1i ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 1 ∈ ℕ0 )
177 133 176 nn0addcld ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 )
178 ovexd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ V )
179 170 174 177 178 fvmptd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
180 121 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( ( 𝐴𝑛 ) · ( 𝑥𝑛 ) ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) )
181 ovexd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) ∈ V )
182 170 180 133 181 fvmptd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) )
183 179 182 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) / ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) ) )
184 113 183 sylanl2 ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) / ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) ) )
185 35 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ )
186 113 177 sylanl2 ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 )
187 138 186 expcld ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ )
188 185 136 187 140 141 145 divmuldivd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) · ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝑥𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) ) / ( ( 𝐴𝑘 ) · ( 𝑥𝑘 ) ) ) )
189 139 nn0cnd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
190 1cnd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → 1 ∈ ℂ )
191 189 190 pncan2d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) − 𝑘 ) = 1 )
192 191 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑘 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ↑ 1 ) )
193 186 nn0zd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ )
194 138 143 144 193 expsubd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑘 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝑥𝑘 ) ) )
195 138 exp1d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝑥 ↑ 1 ) = 𝑥 )
196 192 194 195 3eqtr3d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝑥𝑘 ) ) = 𝑥 )
197 196 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) · ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝑥𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) · 𝑥 ) )
198 184 188 197 3eqtr2d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) · 𝑥 ) )
199 198 fveq2d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) · 𝑥 ) ) )
200 39 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ∈ ℂ )
201 200 138 absmuld ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) )
202 169 199 201 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) )
203 72 30 eqtr3d ( ( 𝜑𝑘𝑍 ) → ( 𝐷𝑘 ) = ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) )
204 203 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( 𝐷𝑘 ) = ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) )
205 204 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) = ( 𝐷𝑘 ) )
206 205 oveq1d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐴 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 𝐴𝑘 ) ) ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐷𝑘 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) )
207 161 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
208 165 207 mulcomd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝐷𝑘 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · ( 𝐷𝑘 ) ) )
209 202 206 208 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑘𝑍 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( abs ‘ 𝑥 ) · ( 𝐷𝑘 ) ) )
210 5 158 159 161 163 165 209 climmulc2 ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) )
211 climres ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ∈ V ) → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ𝑀 ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) )
212 158 162 211 sylancl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ𝑀 ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ) )
213 210 212 mpbird ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ↾ ( ℤ𝑀 ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) )
214 157 213 eqbrtrrd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑛𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) )
215 214 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( 𝑛𝑍 ↦ ( abs ‘ ( ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ ( 𝑛 + 1 ) ) / ( ( 𝐺𝑥 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ⇝ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) )
216 simpr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 )
217 110 5 111 112 132 148 153 215 216 cvgdvgrat ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
218 109 217 sylanl2 ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
219 eldifi ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) → 𝑥 ∈ ℝ )
220 fveq2 ( 𝑟 = 𝑥 → ( 𝐺𝑟 ) = ( 𝐺𝑥 ) )
221 220 seqeq3d ( 𝑟 = 𝑥 → seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) = seq 0 ( + , ( 𝐺𝑥 ) ) )
222 221 eleq1d ( 𝑟 = 𝑥 → ( seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
223 222 elrab3 ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
224 219 223 syl ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
225 224 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ↔ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
226 218 225 bitr4d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
227 226 an32s ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
228 105 227 jaodan ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∩ { 0 } ) ∨ 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
229 86 228 sylan2br ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
230 229 an32s ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) < 1 ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
231 82 230 bitr3d ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( ( abs ‘ 𝑥 ) · 𝐿 ) ≠ 1 ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
232 69 231 syldan ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
233 232 notbid ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ¬ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
234 58 233 bitrd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ↔ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
235 234 biimpd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
236 235 impancom ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
237 52 236 mpd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
238 237 ex ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
239 238 con2d ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → ¬ ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) )
240 47 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ )
241 simplr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
242 50 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
243 simpr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 )
244 241 leabsd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → 𝑥 ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) )
245 240 241 242 243 244 ltletrd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) → ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) )
246 245 ex ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 → ( 1 / 𝐿 ) < ( abs ‘ 𝑥 ) ) )
247 239 246 nsyld ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → ¬ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) )
248 46 247 sylan2 ( ( 𝜑𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) → ( 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → ¬ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 ) )
249 45 248 mpd ( ( 𝜑𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) → ¬ ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥 )
250 43 renegcld ( 𝜑 → - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ )
251 250 rexrd ( 𝜑 → - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* )
252 iooss1 ( ( - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) )
253 251 252 sylan ( ( 𝜑 ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) )
254 253 adantlr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) )
255 eliooord ( 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) → ( 𝑥 < 𝑘𝑘 < ( 1 / 𝐿 ) ) )
256 255 simpld ( 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) → 𝑥 < 𝑘 )
257 256 rgen 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘
258 ioon0 ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) )
259 44 258 sylan2 ( ( 𝑥 ∈ ℝ*𝜑 ) → ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) )
260 259 ancoms ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) )
261 260 biimpar ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ )
262 r19.2zb ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ ( ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) )
263 261 262 sylib ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) )
264 257 263 mpi ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 )
265 264 anasss ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 )
266 265 adantr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 )
267 ssrexv ( ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) )
268 254 266 267 sylc ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 )
269 simplr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
270 xrltnle ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 < - ( 1 / 𝐿 ) ↔ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) )
271 xrltle ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 < - ( 1 / 𝐿 ) → 𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) )
272 270 271 sylbird ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) )
273 251 272 sylan2 ( ( 𝑥 ∈ ℝ*𝜑 ) → ( ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) )
274 273 ancoms ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) → ( ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) )
275 274 imp ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) )
276 iooss1 ( ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ - ( 1 / 𝐿 ) ) → ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) )
277 269 275 276 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) )
278 277 sselda ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑥 (,) ( 1 / 𝐿 ) ) )
279 278 256 syl ( ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) → 𝑥 < 𝑘 )
280 279 ralrimiva ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 )
281 42 78 recgt0d ( 𝜑 → 0 < ( 1 / 𝐿 ) )
282 43 43 281 281 addgt0d ( 𝜑 → 0 < ( ( 1 / 𝐿 ) + ( 1 / 𝐿 ) ) )
283 43 recnd ( 𝜑 → ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℂ )
284 283 283 subnegd ( 𝜑 → ( ( 1 / 𝐿 ) − - ( 1 / 𝐿 ) ) = ( ( 1 / 𝐿 ) + ( 1 / 𝐿 ) ) )
285 282 284 breqtrrd ( 𝜑 → 0 < ( ( 1 / 𝐿 ) − - ( 1 / 𝐿 ) ) )
286 250 43 posdifd ( 𝜑 → ( - ( 1 / 𝐿 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ 0 < ( ( 1 / 𝐿 ) − - ( 1 / 𝐿 ) ) ) )
287 285 286 mpbird ( 𝜑 → - ( 1 / 𝐿 ) < ( 1 / 𝐿 ) )
288 ioon0 ( ( - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ∧ ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ - ( 1 / 𝐿 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) )
289 251 44 288 syl2anc ( 𝜑 → ( ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ - ( 1 / 𝐿 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) )
290 287 289 mpbird ( 𝜑 → ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ )
291 r19.2zb ( ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ≠ ∅ ↔ ( ∀ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) )
292 290 291 sylib ( 𝜑 → ( ∀ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) )
293 292 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 ) )
294 280 293 mpd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ* ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 )
295 294 adantlrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ∧ ¬ - ( 1 / 𝐿 ) ≤ 𝑥 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 )
296 268 295 pm2.61dan ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 )
297 elioo2 ( ( - ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ∧ ( 1 / 𝐿 ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) )
298 251 44 297 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) )
299 298 biimpa ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) )
300 simpr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
301 300 47 absltd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ↔ ( - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) )
302 50 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
303 simpr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) )
304 302 303 ltned ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) )
305 232 biimpd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
306 305 impancom ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) ≠ ( 1 / 𝐿 ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
307 304 306 mpd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
308 307 ex ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / 𝐿 ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
309 301 308 sylbird ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
310 309 impr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
311 310 expcom ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ( 𝜑𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
312 311 3impb ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) → ( 𝜑𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
313 312 impcom ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ - ( 1 / 𝐿 ) < 𝑥𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
314 299 313 syldan ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
315 314 ex ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) → 𝑥 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ) )
316 315 ssrdv ( 𝜑 → ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } )
317 ssrexv ( ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) ⊆ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } → ( ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } 𝑥 < 𝑘 ) )
318 316 317 syl ( 𝜑 → ( ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } 𝑥 < 𝑘 ) )
319 318 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( - ( 1 / 𝐿 ) (,) ( 1 / 𝐿 ) ) 𝑥 < 𝑘 → ∃ 𝑘 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } 𝑥 < 𝑘 ) )
320 296 319 mpd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < ( 1 / 𝐿 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } 𝑥 < 𝑘 )
321 11 44 249 320 eqsupd ( 𝜑 → sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝐺𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < ) = ( 1 / 𝐿 ) )
322 3 321 syl5eq ( 𝜑𝑅 = ( 1 / 𝐿 ) )