Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rpvmasum.z |
⊢ 𝑍 = ( ℤ/nℤ ‘ 𝑁 ) |
2 |
|
rpvmasum.l |
⊢ 𝐿 = ( ℤRHom ‘ 𝑍 ) |
3 |
|
rpvmasum.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
rpvmasum.g |
⊢ 𝐺 = ( DChr ‘ 𝑁 ) |
5 |
|
rpvmasum.d |
⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
6 |
|
rpvmasum.1 |
⊢ 1 = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
7 |
|
reex |
⊢ ℝ ∈ V |
8 |
|
rpssre |
⊢ ℝ+ ⊆ ℝ |
9 |
7 8
|
ssexi |
⊢ ℝ+ ∈ V |
10 |
9
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ+ ∈ V ) |
11 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ Fin ) |
12 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
13 |
12
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
14 |
|
vmacl |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
16 |
15 13
|
nndivred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
17 |
16
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
18 |
11 17
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
20 |
|
relogcl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
23 |
19 22
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
24 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
25 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑍 ) = ( Base ‘ 𝑍 ) |
26 |
4 1 6 25 3
|
dchr1re |
⊢ ( 𝜑 → 1 : ( Base ‘ 𝑍 ) ⟶ ℝ ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 : ( Base ‘ 𝑍 ) ⟶ ℝ ) |
28 |
3
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
29 |
1 25 2
|
znzrhfo |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 : ℤ –onto→ ( Base ‘ 𝑍 ) ) |
30 |
|
fof |
⊢ ( 𝐿 : ℤ –onto→ ( Base ‘ 𝑍 ) → 𝐿 : ℤ ⟶ ( Base ‘ 𝑍 ) ) |
31 |
28 29 30
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 : ℤ ⟶ ( Base ‘ 𝑍 ) ) |
32 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
33 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝐿 : ℤ ⟶ ( Base ‘ 𝑍 ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ 𝑍 ) ) |
34 |
31 32 33
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ 𝑍 ) ) |
35 |
27 34
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
36 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
37 |
24 35 36
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
38 |
37 16
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
39 |
38
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
40 |
11 39
|
fsumcl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
42 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
43 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) |
44 |
10 23 41 42 43
|
offval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) ) |
45 |
19 22 41
|
sub32d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
46 |
11 17 39
|
fsumsub |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) |
47 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
48 |
37
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
49 |
47 48 17
|
subdird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) = ( ( 1 · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) − ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) |
50 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
51 |
35
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
52 |
|
nncan |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) |
53 |
50 51 52
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 − ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) |
54 |
53
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) = ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) |
55 |
17
|
mulid2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) = ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) |
56 |
55
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 1 · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) − ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) |
57 |
49 54 56
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) |
58 |
57
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) |
59 |
46 58
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) |
60 |
59
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
61 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
62 |
45 61
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
63 |
62
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
64 |
44 63
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
65 |
|
vmadivsum |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1) |
66 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ ) |
67 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
68 |
|
prmdvdsfi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ∈ Fin ) |
69 |
3 68
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ∈ Fin ) |
70 |
|
elrabi |
⊢ ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } → 𝑝 ∈ ℙ ) |
71 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ ) |
72 |
71
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℕ ) |
73 |
72
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℝ+ ) |
74 |
73
|
relogcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( log ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ ) |
75 |
|
prmuz2 |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
76 |
75
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
77 |
|
uz2m1nn |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ ) |
78 |
76 77
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ ) |
79 |
74 78
|
nndivred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
80 |
70 79
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
81 |
69 80
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
82 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ Fin ) |
83 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = 0 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = 0 ) |
84 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
85 |
83 84
|
eqeltrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = 0 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
86 |
|
eqid |
⊢ ( Unit ‘ 𝑍 ) = ( Unit ‘ 𝑍 ) |
87 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
88 |
4
|
dchrabl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel ) |
89 |
|
ablgrp |
⊢ ( 𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp ) |
90 |
5 6
|
grpidcl |
⊢ ( 𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ 𝐷 ) |
91 |
3 88 89 90
|
4syl |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ 𝐷 ) |
92 |
91
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 1 ∈ 𝐷 ) |
93 |
34
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ 𝑍 ) ) |
94 |
4 1 5 25 86 92 93
|
dchrn0 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≠ 0 ↔ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Unit ‘ 𝑍 ) ) ) |
95 |
94
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≠ 0 ) → ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Unit ‘ 𝑍 ) ) |
96 |
4 1 6 86 87 95
|
dchr1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≠ 0 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = 1 ) |
97 |
96 24
|
eqeltrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≠ 0 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
98 |
85 97
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
99 |
24 98 36
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℝ ) |
100 |
16
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
101 |
99 100
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
102 |
82 101
|
fsumrecl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) |
103 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
104 |
83 103
|
eqbrtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = 0 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≤ 1 ) |
105 |
24
|
leidi |
⊢ 1 ≤ 1 |
106 |
96 105
|
eqbrtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≠ 0 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≤ 1 ) |
107 |
104 106
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≤ 1 ) |
108 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ↔ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≤ 1 ) ) |
109 |
24 98 108
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 0 ≤ ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ↔ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ≤ 1 ) ) |
110 |
107 109
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
111 |
15
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ) |
112 |
12
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
113 |
|
vmage0 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑛 ) ) |
114 |
112 113
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑛 ) ) |
115 |
112
|
nnred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
116 |
112
|
nngt0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 < 𝑛 ) |
117 |
|
divge0 |
⊢ ( ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( Λ ‘ 𝑛 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛 ) ) → 0 ≤ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) |
118 |
111 114 115 116 117
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) |
119 |
99 100 110 118
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) |
120 |
82 101 119
|
fsumge0 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 0 ≤ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) |
121 |
102 120
|
absidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) |
122 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ∈ Fin ) |
123 |
|
inss2 |
⊢ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ⊆ ℙ |
124 |
|
rabss2 |
⊢ ( ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ⊆ ℙ → { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ⊆ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) |
125 |
123 124
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ⊆ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) |
126 |
122 125
|
ssfid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ∈ Fin ) |
127 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ⊆ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) |
128 |
127 123
|
sstri |
⊢ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ⊆ ℙ |
129 |
128
|
sseli |
⊢ ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } → 𝑝 ∈ ℙ ) |
130 |
79
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
131 |
129 130
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
132 |
126 131
|
fsumrecl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
133 |
81
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
134 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) = ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
135 |
134
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
136 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) = ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) |
137 |
|
id |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) → 𝑛 = ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) |
138 |
136 137
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) = ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) |
139 |
135 138
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) = ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
140 |
|
rpre |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ ) |
141 |
140
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
142 |
39
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
143 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) |
144 |
143
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) = ( 0 / 𝑛 ) ) |
145 |
12
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
146 |
145
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝑛 ∈ ℂ ) |
147 |
145
|
nnne0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝑛 ≠ 0 ) |
148 |
146 147
|
div0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( 0 / 𝑛 ) = 0 ) |
149 |
144 148
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) = 0 ) |
150 |
149
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) = ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · 0 ) ) |
151 |
48
|
ad2ant2r |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ℂ ) |
152 |
151
|
mul01d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · 0 ) = 0 ) |
153 |
150 152
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( Λ ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) = 0 ) |
154 |
139 141 142 153
|
fsumvma2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) = Σ 𝑝 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
155 |
127
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ⊆ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ) |
156 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ∈ Fin ) |
157 |
26
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 1 : ( Base ‘ 𝑍 ) ⟶ ℝ ) |
158 |
31
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 𝐿 : ℤ ⟶ ( Base ‘ 𝑍 ) ) |
159 |
71
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ℕ ) |
160 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
161 |
160
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
162 |
161
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
163 |
159 162
|
nnexpcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℕ ) |
164 |
163
|
nnzd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
165 |
158 164
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑍 ) ) |
166 |
157 165
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
167 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
168 |
24 166 167
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
169 |
|
vmacl |
⊢ ( ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℕ → ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
170 |
163 169
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
171 |
170 163
|
nndivred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
172 |
168 171
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
173 |
172
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
174 |
173
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ ) |
175 |
156 174
|
fsumcl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ ) |
176 |
129 175
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ ) |
177 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑞 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) |
178 |
177
|
notbid |
⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( ¬ 𝑞 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) |
179 |
|
notrab |
⊢ ( ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∖ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) = { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ ¬ 𝑞 ∥ 𝑁 } |
180 |
178 179
|
elrab2 |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∖ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) ↔ ( 𝑝 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) |
181 |
123
|
sseli |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
182 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
183 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) |
184 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
185 |
182
|
nnzd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
186 |
|
coprm |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ( 𝑝 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
187 |
184 185 186
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ( 𝑝 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
188 |
183 187
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( 𝑝 gcd 𝑁 ) = 1 ) |
189 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ ) |
190 |
184 189
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ℤ ) |
191 |
160
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
192 |
191
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
193 |
|
rpexp1i |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑝 gcd 𝑁 ) = 1 → ( ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
194 |
190 185 192 193
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑝 gcd 𝑁 ) = 1 → ( ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
195 |
188 194
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) gcd 𝑁 ) = 1 ) |
196 |
182
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
197 |
164
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
198 |
197
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
199 |
1 86 2
|
znunit |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ( Unit ‘ 𝑍 ) ↔ ( ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
200 |
196 198 199
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ( Unit ‘ 𝑍 ) ↔ ( ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
201 |
195 200
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ( Unit ‘ 𝑍 ) ) |
202 |
4 1 6 86 182 201
|
dchr1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 1 ) |
203 |
202
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) = ( 1 − 1 ) ) |
204 |
|
1m1e0 |
⊢ ( 1 − 1 ) = 0 |
205 |
203 204
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) = 0 ) |
206 |
205
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 0 · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
207 |
171
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
208 |
207
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
209 |
208
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
210 |
209
|
mul02d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( 0 · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
211 |
206 210
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
212 |
211
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) 0 ) |
213 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ∈ Fin ) |
214 |
213
|
olcd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) → ( ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ∈ Fin ) ) |
215 |
|
sumz |
⊢ ( ( ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) 0 = 0 ) |
216 |
214 215
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) 0 = 0 ) |
217 |
212 216
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
218 |
181 217
|
sylanr1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
219 |
180 218
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∖ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
220 |
|
ppifi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∈ Fin ) |
221 |
141 220
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∈ Fin ) |
222 |
155 176 219 221
|
fsumss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑝 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
223 |
154 222
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) = Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
224 |
156 173
|
fsumrecl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
225 |
129 224
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) |
226 |
74
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( log ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ ) |
227 |
71
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℕ ) |
228 |
227
|
nnrecred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 / 𝑝 ) ∈ ℝ ) |
229 |
227
|
nnrpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℝ+ ) |
230 |
229
|
rpreccld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 / 𝑝 ) ∈ ℝ+ ) |
231 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
232 |
231
|
relogcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
233 |
227
|
nnred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℝ ) |
234 |
75
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
235 |
|
eluz2gt1 |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 < 𝑝 ) |
236 |
234 235
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 1 < 𝑝 ) |
237 |
233 236
|
rplogcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( log ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ+ ) |
238 |
232 237
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ ) |
239 |
238
|
flcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ℤ ) |
240 |
239
|
peano2zd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) |
241 |
230 240
|
rpexpcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) |
242 |
241
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
243 |
228 242
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
244 |
234 77
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ ) |
245 |
244
|
nnrpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℝ+ ) |
246 |
245 229
|
rpdivcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ∈ ℝ+ ) |
247 |
243 246
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ∈ ℝ ) |
248 |
226 247
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) ∈ ℝ ) |
249 |
170
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
250 |
163
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
251 |
163
|
nnne0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ≠ 0 ) |
252 |
249 250 251
|
divrecd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) · ( 1 / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
253 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
254 |
|
vmappw |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) = ( log ‘ 𝑝 ) ) |
255 |
253 161 254
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) = ( log ‘ 𝑝 ) ) |
256 |
159
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ℂ ) |
257 |
159
|
nnne0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 𝑝 ≠ 0 ) |
258 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
259 |
258
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
260 |
256 257 259
|
exprecd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) = ( 1 / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) |
261 |
260
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 1 / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) |
262 |
255 261
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) · ( 1 / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
263 |
252 262
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
264 |
263 171
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
265 |
264
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
266 |
|
1red |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
267 |
|
vmage0 |
⊢ ( ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℕ → 0 ≤ ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) |
268 |
163 267
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 0 ≤ ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) |
269 |
163
|
nnred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
270 |
163
|
nngt0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 0 < ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) |
271 |
|
divge0 |
⊢ ( ( ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∧ ( ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) → 0 ≤ ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) |
272 |
170 268 269 270 271
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 0 ≤ ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) |
273 |
84
|
leidi |
⊢ 0 ≤ 0 |
274 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 0 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 0 ) |
275 |
273 274
|
breqtrrid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 0 ) → 0 ≤ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
276 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
277 |
91
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 1 ∈ 𝐷 ) |
278 |
4 1 5 25 86 277 165
|
dchrn0 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ( Unit ‘ 𝑍 ) ) ) |
279 |
278
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) → ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ( Unit ‘ 𝑍 ) ) |
280 |
4 1 6 86 276 279
|
dchr1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) → ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = 1 ) |
281 |
103 280
|
breqtrrid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≠ 0 ) → 0 ≤ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
282 |
275 281
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → 0 ≤ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
283 |
|
subge02 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ↔ ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ≤ 1 ) ) |
284 |
24 166 283
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 0 ≤ ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ↔ ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ≤ 1 ) ) |
285 |
282 284
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ≤ 1 ) |
286 |
168 266 171 272 285
|
lemul1ad |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( 1 · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
287 |
207
|
mulid2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 1 · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) |
288 |
287 263
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 1 · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
289 |
286 288
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
290 |
289
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
291 |
156 173 265 290
|
fsumle |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
292 |
226
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( log ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) |
293 |
159
|
nnrecred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( 1 / 𝑝 ) ∈ ℝ ) |
294 |
293 162
|
reexpcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
295 |
294
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) ) → ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
296 |
295
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ) → ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
297 |
156 292 296
|
fsummulc2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
298 |
|
fzval3 |
⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ℤ → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) = ( 1 ..^ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) |
299 |
239 298
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) = ( 1 ..^ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) |
300 |
299
|
sumeq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ..^ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) |
301 |
228
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 / 𝑝 ) ∈ ℂ ) |
302 |
227
|
nngt0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 0 < 𝑝 ) |
303 |
|
recgt1 |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑝 ) → ( 1 < 𝑝 ↔ ( 1 / 𝑝 ) < 1 ) ) |
304 |
233 302 303
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 < 𝑝 ↔ ( 1 / 𝑝 ) < 1 ) ) |
305 |
236 304
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 / 𝑝 ) < 1 ) |
306 |
228 305
|
ltned |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 / 𝑝 ) ≠ 1 ) |
307 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
308 |
307
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 1 ∈ ℕ0 ) |
309 |
|
log1 |
⊢ ( log ‘ 1 ) = 0 |
310 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 1 ≤ 𝑥 ) |
311 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
312 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) |
313 |
|
logleb |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ( 1 ≤ 𝑥 ↔ ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
314 |
311 312 313
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( 1 ≤ 𝑥 ↔ ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) ) |
315 |
310 314
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( log ‘ 1 ) ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) |
316 |
309 315
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → 0 ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) |
317 |
316
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 0 ≤ ( log ‘ 𝑥 ) ) |
318 |
232 237 317
|
divge0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 0 ≤ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) |
319 |
|
flge0nn0 |
⊢ ( ( ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ℕ0 ) |
320 |
238 318 319
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ℕ0 ) |
321 |
|
nn0p1nn |
⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ℕ0 → ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
322 |
320 321
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
323 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
324 |
322 323
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
325 |
301 306 308 324
|
geoserg |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ..^ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) = ( ( ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 1 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 − ( 1 / 𝑝 ) ) ) ) |
326 |
301
|
exp1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 1 ) = ( 1 / 𝑝 ) ) |
327 |
326
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 1 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
328 |
227
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℂ ) |
329 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 1 ∈ ℂ ) |
330 |
229
|
rpcnne0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0 ) ) |
331 |
|
divsubdir |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) = ( ( 𝑝 / 𝑝 ) − ( 1 / 𝑝 ) ) ) |
332 |
328 329 330 331
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) = ( ( 𝑝 / 𝑝 ) − ( 1 / 𝑝 ) ) ) |
333 |
|
divid |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0 ) → ( 𝑝 / 𝑝 ) = 1 ) |
334 |
330 333
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 / 𝑝 ) = 1 ) |
335 |
334
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 / 𝑝 ) − ( 1 / 𝑝 ) ) = ( 1 − ( 1 / 𝑝 ) ) ) |
336 |
332 335
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 − ( 1 / 𝑝 ) ) = ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) |
337 |
327 336
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 1 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 − ( 1 / 𝑝 ) ) ) = ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) |
338 |
300 325 337
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) = ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) |
339 |
338
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) · Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) = ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) ) |
340 |
297 339
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ 𝑘 ) ) = ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) ) |
341 |
291 340
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) ) |
342 |
241
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 0 ≤ ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) |
343 |
228 242
|
subge02d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 0 ≤ ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) ≤ ( 1 / 𝑝 ) ) ) |
344 |
342 343
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) ≤ ( 1 / 𝑝 ) ) |
345 |
245
|
rpcnne0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑝 − 1 ) ≠ 0 ) ) |
346 |
|
dmdcan |
⊢ ( ( ( ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑝 − 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ≠ 0 ) ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) · ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ) = ( 1 / 𝑝 ) ) |
347 |
345 330 329 346
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) · ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ) = ( 1 / 𝑝 ) ) |
348 |
344 347
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) · ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ) ) |
349 |
244
|
nnrecred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
350 |
243 349 246
|
ledivmuld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ≤ ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ↔ ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) · ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ) ) ) |
351 |
348 350
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ≤ ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
352 |
247 349 237
|
lemul2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ≤ ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ↔ ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ) ) ) |
353 |
351 352
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ) ) |
354 |
244
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℂ ) |
355 |
244
|
nnne0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( 𝑝 − 1 ) ≠ 0 ) |
356 |
292 354 355
|
divrecd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) = ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( 1 / ( 𝑝 − 1 ) ) ) ) |
357 |
353 356
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) · ( ( ( 1 / 𝑝 ) − ( ( 1 / 𝑝 ) ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) + 1 ) ) ) / ( ( 𝑝 − 1 ) / 𝑝 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
358 |
224 248 130 341 357
|
letrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
359 |
129 358
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
360 |
126 225 131 359
|
fsumle |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ ( ( log ‘ 𝑥 ) / ( log ‘ 𝑝 ) ) ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( Λ ‘ ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) / ( 𝑝 ↑ 𝑘 ) ) ) ≤ Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
361 |
223 360
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ≤ Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
362 |
80
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
363 |
237 245
|
rpdivcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℝ+ ) |
364 |
363
|
rpge0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ ) → 0 ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
365 |
70 364
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ) → 0 ≤ ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
366 |
122 362 365 125
|
fsumless |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ( ( 0 [,] 𝑥 ) ∩ ℙ ) ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ≤ Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
367 |
102 132 133 361 366
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ≤ Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
368 |
121 367
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥 ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ≤ Σ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 ∥ 𝑁 } ( ( log ‘ 𝑝 ) / ( 𝑝 − 1 ) ) ) |
369 |
66 41 67 81 368
|
elo1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) |
370 |
|
o1sub |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) |
371 |
65 369 370
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∘f − ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 − ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) |
372 |
64 371
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( 1 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑛 ) ) · ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) |