Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xrge0tsms.g |
⊢ 𝐺 = ( ℝ*𝑠 ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) |
2 |
|
xrge0tsms.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
3 |
|
xrge0tsms.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
4 |
|
xrge0tsms.s |
⊢ 𝑆 = sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) |
5 |
|
iccssxr |
⊢ ( 0 [,] +∞ ) ⊆ ℝ* |
6 |
|
xrsbas |
⊢ ℝ* = ( Base ‘ ℝ*𝑠 ) |
7 |
1 6
|
ressbas2 |
⊢ ( ( 0 [,] +∞ ) ⊆ ℝ* → ( 0 [,] +∞ ) = ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
8 |
5 7
|
ax-mp |
⊢ ( 0 [,] +∞ ) = ( Base ‘ 𝐺 ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( ℝ*𝑠 ↾s ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) = ( ℝ*𝑠 ↾s ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) |
10 |
9
|
xrge0subm |
⊢ ( 0 [,] +∞ ) ∈ ( SubMnd ‘ ( ℝ*𝑠 ↾s ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) ) |
11 |
|
xrex |
⊢ ℝ* ∈ V |
12 |
11
|
difexi |
⊢ ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ∈ V |
13 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) |
14 |
|
ge0nemnf |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ) → 𝑥 ≠ -∞ ) |
15 |
13 14
|
jca |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ) → ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞ ) ) |
16 |
|
elxrge0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ) ) |
17 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞ ) ) |
18 |
15 16 17
|
3imtr4i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] +∞ ) → 𝑥 ∈ ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) |
19 |
18
|
ssriv |
⊢ ( 0 [,] +∞ ) ⊆ ( ℝ* ∖ { -∞ } ) |
20 |
|
ressabs |
⊢ ( ( ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ∈ V ∧ ( 0 [,] +∞ ) ⊆ ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) → ( ( ℝ*𝑠 ↾s ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) = ( ℝ*𝑠 ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) ) |
21 |
12 19 20
|
mp2an |
⊢ ( ( ℝ*𝑠 ↾s ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) = ( ℝ*𝑠 ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) |
22 |
1 21
|
eqtr4i |
⊢ 𝐺 = ( ( ℝ*𝑠 ↾s ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) |
23 |
9
|
xrs10 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ ( ℝ*𝑠 ↾s ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) ) |
24 |
22 23
|
subm0 |
⊢ ( ( 0 [,] +∞ ) ∈ ( SubMnd ‘ ( ℝ*𝑠 ↾s ( ℝ* ∖ { -∞ } ) ) ) → 0 = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
25 |
10 24
|
ax-mp |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
26 |
|
xrge0cmn |
⊢ ( ℝ*𝑠 ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) ∈ CMnd |
27 |
1 26
|
eqeltri |
⊢ 𝐺 ∈ CMnd |
28 |
27
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → 𝐺 ∈ CMnd ) |
29 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑠 ∈ Fin ) |
30 |
29
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → 𝑠 ∈ Fin ) |
31 |
|
elfpw |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ) |
32 |
31
|
simplbi |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑠 ⊆ 𝐴 ) |
33 |
|
fssres |
⊢ ( ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) : 𝑠 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
34 |
3 32 33
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) : 𝑠 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
35 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
36 |
35
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → 0 ∈ V ) |
37 |
34 30 36
|
fdmfifsupp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) finSupp 0 ) |
38 |
8 25 28 30 34 37
|
gsumcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
39 |
5 38
|
sselid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ∈ ℝ* ) |
40 |
39
|
fmpttd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) : ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ⟶ ℝ* ) |
41 |
40
|
frnd |
⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ⊆ ℝ* ) |
42 |
|
supxrcl |
⊢ ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ⊆ ℝ* → sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
43 |
41 42
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ) |
44 |
4 43
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ* ) |
45 |
|
0ss |
⊢ ∅ ⊆ 𝐴 |
46 |
|
0fin |
⊢ ∅ ∈ Fin |
47 |
|
elfpw |
⊢ ( ∅ ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( ∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin ) ) |
48 |
45 46 47
|
mpbir2an |
⊢ ∅ ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) |
49 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
50 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) |
51 |
|
reseq2 |
⊢ ( 𝑠 = ∅ → ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) = ( 𝐹 ↾ ∅ ) ) |
52 |
|
res0 |
⊢ ( 𝐹 ↾ ∅ ) = ∅ |
53 |
51 52
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑠 = ∅ → ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) = ∅ ) |
54 |
53
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 = ∅ → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 Σg ∅ ) ) |
55 |
25
|
gsum0 |
⊢ ( 𝐺 Σg ∅ ) = 0 |
56 |
54 55
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑠 = ∅ → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) = 0 ) |
57 |
50 56
|
elrnmpt1s |
⊢ ( ( ∅ ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 0 ∈ ℂ ) → 0 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ) |
58 |
48 49 57
|
mp2an |
⊢ 0 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) |
59 |
|
supxrub |
⊢ ( ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ) → 0 ≤ sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ) |
60 |
41 58 59
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ) |
61 |
60 4
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑆 ) |
62 |
|
elxrge0 |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ↔ ( 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆 ) ) |
63 |
44 61 62
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
64 |
|
letop |
⊢ ( ordTop ‘ ≤ ) ∈ Top |
65 |
|
ovex |
⊢ ( 0 [,] +∞ ) ∈ V |
66 |
|
elrest |
⊢ ( ( ( ordTop ‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ( 0 [,] +∞ ) ∈ V ) → ( 𝑢 ∈ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ( 0 [,] +∞ ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
67 |
64 65 66
|
mp2an |
⊢ ( 𝑢 ∈ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ( 0 [,] +∞ ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) |
68 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → 𝑆 ∈ 𝑣 ) |
69 |
|
reex |
⊢ ℝ ∈ V |
70 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ) |
71 |
|
elrestr |
⊢ ( ( ( ordTop ‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ) → ( 𝑣 ∩ ℝ ) ∈ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ℝ ) ) |
72 |
64 69 70 71
|
mp3an12i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 ∩ ℝ ) ∈ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ℝ ) ) |
73 |
|
eqid |
⊢ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ℝ ) = ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ℝ ) |
74 |
73
|
xrtgioo |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ℝ ) |
75 |
72 74
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ( 𝑣 ∩ ℝ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) |
76 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → 𝑆 ∈ 𝑣 ) |
77 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
78 |
76 77
|
elind |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → 𝑆 ∈ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) |
79 |
|
tg2 |
⊢ ( ( ( 𝑣 ∩ ℝ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ∧ 𝑆 ∈ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ran (,) ( 𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) |
80 |
75 78 79
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑢 ∈ ran (,) ( 𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) |
81 |
|
ioof |
⊢ (,) : ( ℝ* × ℝ* ) ⟶ 𝒫 ℝ |
82 |
|
ffn |
⊢ ( (,) : ( ℝ* × ℝ* ) ⟶ 𝒫 ℝ → (,) Fn ( ℝ* × ℝ* ) ) |
83 |
|
ovelrn |
⊢ ( (,) Fn ( ℝ* × ℝ* ) → ( 𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ* ∃ 𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ) ) |
84 |
81 82 83
|
mp2b |
⊢ ( 𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃ 𝑟 ∈ ℝ* ∃ 𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ) |
85 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) |
86 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) |
87 |
|
inss1 |
⊢ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ⊆ 𝑣 |
88 |
86 87
|
sstrdi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) |
89 |
27
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝐺 ∈ CMnd ) |
90 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) |
91 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑦 ∈ Fin ) |
92 |
90 91
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑦 ∈ Fin ) |
93 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝜑 ) |
94 |
93 3
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
95 |
|
elfpw |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↔ ( 𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin ) ) |
96 |
95
|
simplbi |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑦 ⊆ 𝐴 ) |
97 |
90 96
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑦 ⊆ 𝐴 ) |
98 |
94 97
|
fssresd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) : 𝑦 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
99 |
35
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 0 ∈ V ) |
100 |
98 92 99
|
fdmfifsupp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) finSupp 0 ) |
101 |
8 25 89 92 98 100
|
gsumcl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
102 |
5 101
|
sselid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ℝ* ) |
103 |
|
simprll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
104 |
103
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
105 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑧 ⊆ 𝑦 ) |
106 |
92 105
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑧 ∈ Fin ) |
107 |
105 97
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑧 ⊆ 𝐴 ) |
108 |
94 107
|
fssresd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) : 𝑧 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
109 |
108 106 99
|
fdmfifsupp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) finSupp 0 ) |
110 |
8 25 89 106 108 109
|
gsumcl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
111 |
5 110
|
sselid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ ℝ* ) |
112 |
|
simprlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) |
113 |
93 2
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
114 |
1 113 94 90 105
|
xrge0gsumle |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ) |
115 |
104 111 102 112 114
|
xrltletrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ) |
116 |
93 44
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑆 ∈ ℝ* ) |
117 |
|
simprlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ* ) |
118 |
117
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ* ) |
119 |
93 41
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ⊆ ℝ* ) |
120 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ V |
121 |
|
reseq2 |
⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) = ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) |
122 |
121
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 = 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ) |
123 |
50 122
|
elrnmpt1s |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ V ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ) |
124 |
90 120 123
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ) |
125 |
|
supxrub |
⊢ ( ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ⊆ ℝ* ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ≤ sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ) |
126 |
119 124 125
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ≤ sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ) |
127 |
126 4
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ≤ 𝑆 ) |
128 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ) |
129 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) → ( 𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤 ) ) |
130 |
128 129
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → ( 𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤 ) ) |
131 |
130
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → 𝑆 < 𝑤 ) |
132 |
131
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → 𝑆 < 𝑤 ) |
133 |
102 116 118 127 132
|
xrlelttrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) < 𝑤 ) |
134 |
|
elioo1 |
⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ↔ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) < 𝑤 ) ) ) |
135 |
104 118 134
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ↔ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) < 𝑤 ) ) ) |
136 |
102 115 133 135
|
mpbir3and |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ) |
137 |
88 136
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑣 ) |
138 |
137 101
|
elind |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) |
139 |
138
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) |
140 |
139
|
expr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
141 |
140
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
142 |
130
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → 𝑟 < 𝑆 ) |
143 |
142 4
|
breqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → 𝑟 < sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ) |
144 |
41
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ⊆ ℝ* ) |
145 |
|
supxrlub |
⊢ ( ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ⊆ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) → ( 𝑟 < sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) 𝑟 < 𝑤 ) ) |
146 |
144 103 145
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → ( 𝑟 < sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) 𝑟 < 𝑤 ) ) |
147 |
143 146
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) 𝑟 < 𝑤 ) |
148 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ V |
149 |
148
|
rgenw |
⊢ ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ V |
150 |
|
reseq2 |
⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) = ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) |
151 |
150
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) |
152 |
151
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) |
153 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑤 = ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) → ( 𝑟 < 𝑤 ↔ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) |
154 |
152 153
|
rexrnmptw |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ V → ( ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) 𝑟 < 𝑤 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) |
155 |
149 154
|
ax-mp |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) 𝑟 < 𝑤 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) |
156 |
147 155
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) |
157 |
141 156
|
reximddv |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
158 |
157
|
expr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ) → ( ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) |
159 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑟 (,) 𝑤 ) → ( 𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ) ) |
160 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑟 (,) 𝑤 ) → ( 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ↔ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) |
161 |
159 160
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑟 (,) 𝑤 ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) ) ) |
162 |
161
|
imbi1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑟 (,) 𝑤 ) → ( ( ( 𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 ∈ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ∧ ( 𝑟 (,) 𝑤 ) ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) ) |
163 |
158 162
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) ) → ( 𝑢 = ( 𝑟 (,) 𝑤 ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) ) |
164 |
163
|
rexlimdvva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ* ∃ 𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = ( 𝑟 (,) 𝑤 ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) ) |
165 |
84 164
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 ∈ ran (,) → ( ( 𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) ) |
166 |
165
|
rexlimdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ran (,) ( 𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ ( 𝑣 ∩ ℝ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) |
167 |
80 166
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
168 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) → 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ) |
169 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) → 𝑆 = +∞ ) |
170 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) → 𝑆 ∈ 𝑣 ) |
171 |
169 170
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) → +∞ ∈ 𝑣 ) |
172 |
|
pnfnei |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣 ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) |
173 |
168 171 172
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) |
174 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) |
175 |
174
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) |
176 |
27
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝐺 ∈ CMnd ) |
177 |
91
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ Fin ) |
178 |
|
simp-5l |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝜑 ) |
179 |
178 3
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
180 |
96
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑦 ⊆ 𝐴 ) |
181 |
179 180
|
fssresd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) : 𝑦 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
182 |
35
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 0 ∈ V ) |
183 |
181 177 182
|
fdmfifsupp |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) finSupp 0 ) |
184 |
8 25 176 177 181 183
|
gsumcl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
185 |
5 184
|
sselid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ℝ* ) |
186 |
|
rexr |
⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
187 |
186
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
188 |
187
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
189 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑧 ⊆ 𝑦 ) |
190 |
177 189
|
ssfid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑧 ∈ Fin ) |
191 |
189 180
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑧 ⊆ 𝐴 ) |
192 |
179 191
|
fssresd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) : 𝑧 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
193 |
192 190 182
|
fdmfifsupp |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) finSupp 0 ) |
194 |
8 25 176 190 192 193
|
gsumcl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
195 |
5 194
|
sselid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ∈ ℝ* ) |
196 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) |
197 |
178 2
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
198 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) |
199 |
1 197 179 198 189
|
xrge0gsumle |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ≤ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ) |
200 |
188 195 185 196 199
|
xrltletrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ) |
201 |
|
pnfge |
⊢ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ℝ* → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ≤ +∞ ) |
202 |
185 201
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ≤ +∞ ) |
203 |
|
pnfxr |
⊢ +∞ ∈ ℝ* |
204 |
|
elioc1 |
⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑟 (,] +∞ ) ↔ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ≤ +∞ ) ) ) |
205 |
188 203 204
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑟 (,] +∞ ) ↔ ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∧ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ≤ +∞ ) ) ) |
206 |
185 200 202 205
|
mpbir3and |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑟 (,] +∞ ) ) |
207 |
175 206
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑣 ) |
208 |
207 184
|
elind |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦 ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) |
209 |
208
|
expr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
210 |
209
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
211 |
|
ltpnf |
⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞ ) |
212 |
211
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑟 < +∞ ) |
213 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑆 = +∞ ) |
214 |
212 213
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑟 < 𝑆 ) |
215 |
214 4
|
breqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → 𝑟 < sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ) |
216 |
41
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) ⊆ ℝ* ) |
217 |
216 187 145
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → ( 𝑟 < sup ( ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) , ℝ* , < ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) 𝑟 < 𝑤 ) ) |
218 |
215 217
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ran ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ↦ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑠 ) ) ) 𝑟 < 𝑤 ) |
219 |
218 155
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑟 < ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑧 ) ) ) |
220 |
210 219
|
reximddv |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ ( 𝑟 (,] +∞ ) ⊆ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
221 |
173 220
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) ∧ 𝑆 = +∞ ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
222 |
|
ge0nemnf |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆 ) → 𝑆 ≠ -∞ ) |
223 |
44 61 222
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ≠ -∞ ) |
224 |
44 223
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞ ) ) |
225 |
224
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) → ( 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞ ) ) |
226 |
|
xrnemnf |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞ ) ↔ ( 𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞ ) ) |
227 |
225 226
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) → ( 𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞ ) ) |
228 |
167 221 227
|
mpjaodan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
229 |
228
|
expr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝑣 → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) |
230 |
68 229
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ) → ( 𝑆 ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) |
231 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
232 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ( ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ↔ ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) |
233 |
232
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ( ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) |
234 |
233
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) |
235 |
231 234
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) ) ) ) ) |
236 |
230 235
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) ) → ( 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
237 |
236
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑣 ∈ ( ordTop ‘ ≤ ) 𝑢 = ( 𝑣 ∩ ( 0 [,] +∞ ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
238 |
67 237
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑢 ∈ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ( 0 [,] +∞ ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) |
239 |
238
|
ralrimiv |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑢 ∈ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ( 0 [,] +∞ ) ) ( 𝑆 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) |
240 |
|
xrstset |
⊢ ( ordTop ‘ ≤ ) = ( TopSet ‘ ℝ*𝑠 ) |
241 |
1 240
|
resstset |
⊢ ( ( 0 [,] +∞ ) ∈ V → ( ordTop ‘ ≤ ) = ( TopSet ‘ 𝐺 ) ) |
242 |
65 241
|
ax-mp |
⊢ ( ordTop ‘ ≤ ) = ( TopSet ‘ 𝐺 ) |
243 |
8 242
|
topnval |
⊢ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ( 0 [,] +∞ ) ) = ( TopOpen ‘ 𝐺 ) |
244 |
|
eqid |
⊢ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) = ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) |
245 |
27
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd ) |
246 |
|
xrstps |
⊢ ℝ*𝑠 ∈ TopSp |
247 |
|
resstps |
⊢ ( ( ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ ( 0 [,] +∞ ) ∈ V ) → ( ℝ*𝑠 ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) ∈ TopSp ) |
248 |
246 65 247
|
mp2an |
⊢ ( ℝ*𝑠 ↾s ( 0 [,] +∞ ) ) ∈ TopSp |
249 |
1 248
|
eqeltri |
⊢ 𝐺 ∈ TopSp |
250 |
249
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp ) |
251 |
8 243 244 245 250 2 3
|
eltsms |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ( 0 [,] +∞ ) ) ( 𝑆 ∈ 𝑢 → ∃ 𝑧 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ( 𝑧 ⊆ 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝐹 ↾ 𝑦 ) ) ∈ 𝑢 ) ) ) ) ) |
252 |
63 239 251
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) ) |
253 |
|
letsr |
⊢ ≤ ∈ TosetRel |
254 |
|
ordthaus |
⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ( ordTop ‘ ≤ ) ∈ Haus ) |
255 |
253 254
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ordTop ‘ ≤ ) ∈ Haus ) |
256 |
|
resthaus |
⊢ ( ( ( ordTop ‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ ( 0 [,] +∞ ) ∈ V ) → ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ( 0 [,] +∞ ) ) ∈ Haus ) |
257 |
255 65 256
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ordTop ‘ ≤ ) ↾t ( 0 [,] +∞ ) ) ∈ Haus ) |
258 |
8 245 250 2 3 243 257
|
haustsms2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∈ ( 𝐺 tsums 𝐹 ) → ( 𝐺 tsums 𝐹 ) = { 𝑆 } ) ) |
259 |
252 258
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 tsums 𝐹 ) = { 𝑆 } ) |