Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
basel.n |
⊢ 𝑁 = ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) |
2 |
|
basel.p |
⊢ 𝑃 = ( 𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( 𝑡 ↑ 𝑗 ) ) ) |
3 |
|
tanrpcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
4 |
3
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
5 |
4
|
rpreccld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ+ ) |
6 |
5
|
rpcnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
7 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
8 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → i ∈ ℂ ) |
9 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
10 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
11 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
12 |
9 10 11
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
13 |
12
|
peano2nnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
14 |
1 13
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
15 |
14
|
nnnn0d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
16 |
|
binom |
⊢ ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
17 |
6 8 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
18 |
|
elioore |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
20 |
19
|
recoscld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
22 |
19
|
resincld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
23 |
22
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
24 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
25 |
7 23 24
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
26 |
21 25
|
addcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
27 |
|
sincosq1sgn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 0 < ( sin ‘ 𝐴 ) ∧ 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 0 < ( sin ‘ 𝐴 ) ∧ 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
29 |
28
|
simpld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( sin ‘ 𝐴 ) ) |
30 |
29
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
31 |
26 23 30 15
|
expdivd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 𝑁 ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
32 |
21 25 23 30
|
divdird |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) + ( ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
33 |
19
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
34 |
28
|
simprd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) |
35 |
34
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
36 |
|
tanval |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( cos ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
37 |
33 35 36
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
38 |
37
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) = ( 1 / ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
39 |
23 21 30 35
|
recdivd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( cos ‘ 𝐴 ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) |
40 |
38 39
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) = ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ) |
41 |
8 23 30
|
divcan4d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) = i ) |
42 |
40 41
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) + ( ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ) |
43 |
32 42
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ) |
44 |
43
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) ) |
45 |
14
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
46 |
|
demoivre |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) ) |
47 |
33 45 46
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) ) |
48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 𝑁 ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
49 |
31 44 48
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
50 |
14
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
51 |
50 19
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑁 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
52 |
51
|
recoscld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
53 |
52
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
54 |
51
|
resincld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
55 |
54
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
56 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
57 |
7 55 56
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
58 |
22 29
|
elrpd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
59 |
58 45
|
rpexpcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
60 |
59
|
rpcnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
61 |
59
|
rpne0d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
62 |
53 57 60 61
|
divdird |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
63 |
8 55 60 61
|
divassd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
64 |
63
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
65 |
49 62 64
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
66 |
17 65
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
67 |
66
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
68 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
69 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
70 |
69
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) |
71 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) = ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
72 |
70 71
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) = ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) |
73 |
68 72
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
74 |
73
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
75 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin ) |
76 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
77 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
78 |
77
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
79 |
|
nn0mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
80 |
76 78 79
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
81 |
80
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
82 |
12
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
83 |
82
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
84 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
85 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑘 ≤ 𝑀 ) |
86 |
85
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑀 ) |
87 |
78
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
88 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ ) |
89 |
88
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
90 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
91 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
92 |
90 91
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) |
93 |
92
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
94 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( 𝑘 ≤ 𝑀 ↔ ( 2 · 𝑘 ) ≤ ( 2 · 𝑀 ) ) ) |
95 |
87 89 93 94
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑘 ≤ 𝑀 ↔ ( 2 · 𝑘 ) ≤ ( 2 · 𝑀 ) ) ) |
96 |
86 95
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ≤ ( 2 · 𝑀 ) ) |
97 |
83
|
lep1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ≤ ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) ) |
98 |
97 1
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ≤ 𝑁 ) |
99 |
81 83 84 96 98
|
letrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) |
100 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
101 |
80 100
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
102 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
103 |
|
elfz5 |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 2 · 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) |
104 |
101 102 103
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 2 · 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) |
105 |
99 104
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
106 |
|
fznn0sub2 |
⊢ ( ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
107 |
105 106
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
108 |
107
|
ex |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) |
109 |
14
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
110 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
111 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
112 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
113 |
112
|
zcnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
114 |
113
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
115 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
116 |
111 114 115
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
117 |
113
|
ssriv |
⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ⊆ ℂ |
118 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
119 |
117 118
|
sseldi |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
120 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) → ( 2 · 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
121 |
111 119 120
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( 2 · 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
122 |
110 116 121
|
subcanad |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑚 ) ) ↔ ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑚 ) ) ) |
123 |
|
2cnne0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) |
124 |
123
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
125 |
|
mulcan |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑚 ) ↔ 𝑘 = 𝑚 ) ) |
126 |
114 119 124 125
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑚 ) ↔ 𝑘 = 𝑚 ) ) |
127 |
122 126
|
bitrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑚 ) ) ↔ 𝑘 = 𝑚 ) ) |
128 |
127
|
ex |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑚 ) ) ↔ 𝑘 = 𝑚 ) ) ) |
129 |
108 128
|
dom2lem |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) –1-1→ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
130 |
|
f1f1orn |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) –1-1→ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) –1-1-onto→ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
131 |
129 130
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) –1-1-onto→ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
132 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑗 ) ) |
133 |
132
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
134 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) |
135 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ V |
136 |
133 134 135
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
137 |
136
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
138 |
107
|
fmpttd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
139 |
138
|
frnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
140 |
139
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
141 |
|
bccl2 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℕ ) |
142 |
141
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℕ ) |
143 |
142
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
144 |
4
|
rprecred |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
145 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 ) |
146 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
147 |
144 145 146
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
148 |
147
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∈ ℂ ) |
149 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
150 |
149
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
151 |
|
expcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
152 |
7 150 151
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
153 |
148 152
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℂ ) |
154 |
143 153
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℂ ) |
155 |
140 154
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℂ ) |
156 |
155
|
imcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
157 |
156
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
158 |
74 75 131 137 157
|
fsumf1o |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
159 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
160 |
142
|
nnred |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
161 |
159 160
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
162 |
159 147
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
163 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) |
164 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
165 |
164
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
166 |
|
zeo |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℤ → ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
167 |
165 166
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
168 |
|
i2 |
⊢ ( i ↑ 2 ) = - 1 |
169 |
168
|
oveq1i |
⊢ ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) = ( - 1 ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) |
170 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) |
171 |
149
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
172 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ ) |
173 |
|
nn0ge0 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚 ) |
174 |
|
divge0 |
⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) |
175 |
90 91 174
|
mpanr12 |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 ) → 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) |
176 |
172 173 175
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) |
177 |
171 176
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) |
178 |
|
elnn0z |
⊢ ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) ) |
179 |
170 177 178
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℕ0 ) |
180 |
|
expmul |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) ) = ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) ) |
181 |
7 76 179 180
|
mp3an12i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) ) = ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) ) |
182 |
171
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
183 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
184 |
|
divcan2 |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) = 𝑚 ) |
185 |
111 183 184
|
mp3an23 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℂ → ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) = 𝑚 ) |
186 |
182 185
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) = 𝑚 ) |
187 |
186
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) ) = ( i ↑ 𝑚 ) ) |
188 |
181 187
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) = ( i ↑ 𝑚 ) ) |
189 |
169 188
|
syl5eqr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) = ( i ↑ 𝑚 ) ) |
190 |
|
neg1rr |
⊢ - 1 ∈ ℝ |
191 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℝ ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( - 1 ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
192 |
190 179 191
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
193 |
189 192
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
194 |
193
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) ) |
195 |
145
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 ) |
196 |
|
nn0re |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
197 |
|
nn0ge0 |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) |
198 |
|
divge0 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) |
199 |
90 91 198
|
mpanr12 |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) |
200 |
196 197 199
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) |
201 |
195 200
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) |
202 |
195
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
203 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
204 |
|
peano2re |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
205 |
203 204
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
206 |
149
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
207 |
206 173
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 0 ≤ 𝑚 ) |
208 |
206
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ ) |
209 |
203 208
|
subge02d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 0 ≤ 𝑚 ↔ ( 𝑁 − 𝑚 ) ≤ 𝑁 ) ) |
210 |
207 209
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ≤ 𝑁 ) |
211 |
203
|
ltp1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
212 |
202 203 205 210 211
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) < ( 𝑁 + 1 ) ) |
213 |
|
2t1e2 |
⊢ ( 2 · 1 ) = 2 |
214 |
|
df-2 |
⊢ 2 = ( 1 + 1 ) |
215 |
213 214
|
eqtr2i |
⊢ ( 1 + 1 ) = ( 2 · 1 ) |
216 |
215
|
oveq2i |
⊢ ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 2 · 1 ) ) |
217 |
1
|
oveq1i |
⊢ ( 𝑁 + 1 ) = ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) + 1 ) |
218 |
12
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
219 |
218
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
220 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
221 |
219 220 220
|
addassd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 1 + 1 ) ) ) |
222 |
217 221
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 + 1 ) = ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 1 + 1 ) ) ) |
223 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
224 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
225 |
224
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
226 |
223 225 220
|
adddid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 2 · 1 ) ) ) |
227 |
216 222 226
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 + 1 ) = ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
228 |
212 227
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) < ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
229 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ ) |
230 |
229
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
231 |
230
|
peano2zd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℤ ) |
232 |
231
|
zred |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℝ ) |
233 |
92
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
234 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ↔ ( 𝑁 − 𝑚 ) < ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
235 |
202 232 233 234
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ↔ ( 𝑁 − 𝑚 ) < ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
236 |
228 235
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ) |
237 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
238 |
206
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
239 |
237 238 220
|
pnpcan2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑚 + 1 ) ) = ( 𝑁 − 𝑚 ) ) |
240 |
227
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑚 + 1 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) ) |
241 |
239 240
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) = ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) ) |
242 |
241
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) = ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) / 2 ) ) |
243 |
231
|
zcnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℂ ) |
244 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
245 |
111 243 244
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
246 |
|
peano2cn |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℂ → ( 𝑚 + 1 ) ∈ ℂ ) |
247 |
238 246
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑚 + 1 ) ∈ ℂ ) |
248 |
123
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
249 |
|
divsubdir |
⊢ ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑚 + 1 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) / 2 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ) |
250 |
245 247 248 249
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) / 2 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ) |
251 |
183
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 2 ≠ 0 ) |
252 |
243 223 251
|
divcan3d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) / 2 ) = ( 𝑀 + 1 ) ) |
253 |
252
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) / 2 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑀 + 1 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ) |
254 |
242 250 253
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) = ( ( 𝑀 + 1 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ) |
255 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
256 |
231 255
|
zsubcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑀 + 1 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) |
257 |
254 256
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
258 |
|
zleltp1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ≤ 𝑀 ↔ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
259 |
257 230 258
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ≤ 𝑀 ↔ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
260 |
236 259
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ≤ 𝑀 ) |
261 |
|
0zd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 0 ∈ ℤ ) |
262 |
|
elfz |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↔ ( 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∧ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ≤ 𝑀 ) ) ) |
263 |
257 261 230 262
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↔ ( 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∧ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ≤ 𝑀 ) ) ) |
264 |
201 260 263
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
265 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) → ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) |
266 |
265
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) ) |
267 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) ∈ V |
268 |
266 134 267
|
fvmpt |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) ) |
269 |
264 268
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) ) |
270 |
195
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
271 |
270 223 251
|
divcan2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) = ( 𝑁 − 𝑚 ) ) |
272 |
271
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ) |
273 |
237 238
|
nncand |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝑚 ) ) = 𝑚 ) |
274 |
269 272 273
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) = 𝑚 ) |
275 |
138
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) Fn ( 0 ... 𝑀 ) ) |
276 |
|
fnfvelrn |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) Fn ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
277 |
275 264 276
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
278 |
274 277
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
279 |
278
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) |
280 |
194 279
|
orim12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ∨ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
281 |
167 280
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ∨ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) |
282 |
281
|
orcomd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ∨ ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) ) |
283 |
282
|
ord |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ¬ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) ) |
284 |
283
|
impr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
285 |
163 284
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
286 |
162 285
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
287 |
161 286
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℝ ) |
288 |
287
|
reim0d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = 0 ) |
289 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
290 |
139 157 288 289
|
fsumss |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
291 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 ) |
292 |
291
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ0 ) |
293 |
|
nn0mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ) → ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
294 |
76 292 293
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
295 |
294
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℤ ) |
296 |
|
bccl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) |
297 |
15 295 296
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) |
298 |
297
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
299 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑀 − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
300 |
299
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑀 − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
301 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℝ ∧ ( 𝑀 − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) → ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
302 |
190 300 301
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
303 |
298 302
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ∈ ℝ ) |
304 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
305 |
|
znegcl |
⊢ ( 2 ∈ ℤ → - 2 ∈ ℤ ) |
306 |
304 305
|
ax-mp |
⊢ - 2 ∈ ℤ |
307 |
|
rpexpcl |
⊢ ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ∧ - 2 ∈ ℤ ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℝ+ ) |
308 |
4 306 307
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℝ+ ) |
309 |
308
|
rpred |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℝ ) |
310 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
311 |
309 291 310
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
312 |
303 311
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
313 |
312
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
314 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ∈ ℂ ) |
315 |
7 313 314
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ∈ ℂ ) |
316 |
315
|
addid2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) = ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) |
317 |
297
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
318 |
302
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
319 |
311
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
320 |
317 318 319
|
mulassd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) |
321 |
320
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) = ( i · ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) |
322 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → i ∈ ℂ ) |
323 |
318 319
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
324 |
322 317 323
|
mul12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) |
325 |
321 324
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) |
326 |
|
bccmpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
327 |
15 295 326
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
328 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
329 |
294
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
330 |
328 329
|
nncand |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) = ( 2 · 𝑗 ) ) |
331 |
330
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
332 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
333 |
332
|
rpcnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
334 |
|
expneg |
⊢ ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 1 / ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
335 |
333 294 334
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 1 / ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
336 |
292
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
337 |
|
mulneg1 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ ) → ( - 2 · 𝑗 ) = - ( 2 · 𝑗 ) ) |
338 |
111 336 337
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( - 2 · 𝑗 ) = - ( 2 · 𝑗 ) ) |
339 |
338
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( - 2 · 𝑗 ) ) = ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
340 |
332
|
rpne0d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
341 |
333 340 295
|
exprecd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 1 / ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
342 |
335 339 341
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( - 2 · 𝑗 ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
343 |
306
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → - 2 ∈ ℤ ) |
344 |
292
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
345 |
|
expmulz |
⊢ ( ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( tan ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( - 2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( - 2 · 𝑗 ) ) = ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) |
346 |
333 340 343 344 345
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( - 2 · 𝑗 ) ) = ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) |
347 |
331 342 346
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) |
348 |
1
|
oveq1i |
⊢ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) = ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) |
349 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
350 |
349
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
351 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
352 |
350 351 329
|
addsubd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) = ( ( ( 2 · 𝑀 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) + 1 ) ) |
353 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
354 |
224
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
355 |
353 354 336
|
subdid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) = ( ( 2 · 𝑀 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
356 |
355
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 · 𝑀 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) + 1 ) ) |
357 |
352 356
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) |
358 |
348 357
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) |
359 |
358
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) = ( i ↑ ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) ) |
360 |
|
nn0mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑀 − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) → ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) |
361 |
76 300 360
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) |
362 |
|
expp1 |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) → ( i ↑ ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) = ( ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · i ) ) |
363 |
7 361 362
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) = ( ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · i ) ) |
364 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 2 ∈ ℕ0 ) |
365 |
322 300 364
|
expmuld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) = ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) |
366 |
168
|
oveq1i |
⊢ ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) = ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) |
367 |
365 366
|
syl6eq |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) |
368 |
367
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · i ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · i ) ) |
369 |
359 363 368
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · i ) ) |
370 |
|
mulcom |
⊢ ( ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · i ) = ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) |
371 |
318 7 370
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · i ) = ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) |
372 |
369 371
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) = ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) |
373 |
347 372
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) · ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) ) |
374 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ∈ ℂ ) |
375 |
7 318 374
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ∈ ℂ ) |
376 |
375 319
|
mulcomd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) = ( ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) · ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) ) |
377 |
322 318 319
|
mulassd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) = ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) |
378 |
373 376 377
|
3eqtr2rd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) |
379 |
327 378
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
380 |
316 325 379
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
381 |
380
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ℑ ‘ ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
382 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
383 |
|
crim |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) → ( ℑ ‘ ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
384 |
382 312 383
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ℑ ‘ ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
385 |
381 384
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
386 |
385
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
387 |
158 290 386
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
388 |
289 154
|
fsumim |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
389 |
308
|
rpcnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℂ ) |
390 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) → ( 𝑡 ↑ 𝑗 ) = ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) |
391 |
390
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) → ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( 𝑡 ↑ 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
392 |
391
|
sumeq2sdv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( 𝑡 ↑ 𝑗 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
393 |
|
sumex |
⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ V |
394 |
392 2 393
|
fvmpt |
⊢ ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℂ → ( 𝑃 ‘ ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
395 |
389 394
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑃 ‘ ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
396 |
387 388 395
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ) ) |
397 |
52 59
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
398 |
54 59
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
399 |
397 398
|
crimd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
400 |
67 396 399
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑃 ‘ ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ) = ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |