| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
basel.n |
⊢ 𝑁 = ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) |
| 2 |
|
basel.p |
⊢ 𝑃 = ( 𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( 𝑡 ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 3 |
|
tanrpcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
| 4 |
3
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
| 5 |
4
|
rpreccld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 6 |
5
|
rpcnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 7 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
| 8 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → i ∈ ℂ ) |
| 9 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
| 10 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
| 11 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
| 12 |
9 10 11
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
| 13 |
12
|
peano2nnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
| 14 |
1 13
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
| 15 |
14
|
nnnn0d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
| 16 |
|
binom |
⊢ ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
| 17 |
6 8 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) = Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
| 18 |
|
elioore |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
| 19 |
18
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
| 20 |
19
|
recoscld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 21 |
20
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 22 |
19
|
resincld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 23 |
22
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 24 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 25 |
7 23 24
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 26 |
21 25
|
addcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 27 |
|
sincosq1sgn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 0 < ( sin ‘ 𝐴 ) ∧ 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 0 < ( sin ‘ 𝐴 ) ∧ 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 29 |
28
|
simpld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( sin ‘ 𝐴 ) ) |
| 30 |
29
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
| 31 |
26 23 30 15
|
expdivd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 𝑁 ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
| 32 |
21 25 23 30
|
divdird |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) + ( ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 33 |
19
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
| 34 |
28
|
simprd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) |
| 35 |
34
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
| 36 |
|
tanval |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( cos ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 37 |
33 35 36
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 38 |
37
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) = ( 1 / ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 39 |
23 21 30 35
|
recdivd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( cos ‘ 𝐴 ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 40 |
38 39
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) = ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 41 |
8 23 30
|
divcan4d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) = i ) |
| 42 |
40 41
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) + ( ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ) |
| 43 |
32 42
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ) |
| 44 |
43
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) / ( sin ‘ 𝐴 ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) ) |
| 45 |
14
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
| 46 |
|
demoivre |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 47 |
33 45 46
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 𝑁 ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
| 49 |
31 44 48
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
| 50 |
14
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
| 51 |
50 19
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑁 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 52 |
51
|
recoscld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 53 |
52
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 54 |
51
|
resincld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 55 |
54
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 56 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 57 |
7 55 56
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 58 |
22 29
|
elrpd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
| 59 |
58 45
|
rpexpcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
| 60 |
59
|
rpcnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
| 61 |
59
|
rpne0d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
| 62 |
53 57 60 61
|
divdird |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
| 63 |
8 55 60 61
|
divassd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
| 64 |
63
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
| 65 |
49 62 64
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) + i ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
| 66 |
17 65
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
| 67 |
66
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
| 68 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
| 69 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
| 70 |
69
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) |
| 71 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) = ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
| 72 |
70 71
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) = ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) |
| 73 |
68 72
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
| 74 |
73
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
| 75 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin ) |
| 76 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
| 77 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
| 78 |
77
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
| 79 |
|
nn0mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
| 80 |
76 78 79
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
| 81 |
80
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
| 82 |
12
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
| 83 |
82
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
| 84 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
| 85 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑘 ≤ 𝑀 ) |
| 86 |
85
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑀 ) |
| 87 |
78
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
| 88 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ ) |
| 89 |
88
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
| 90 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
| 91 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
| 92 |
90 91
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) |
| 93 |
92
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
| 94 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( 𝑘 ≤ 𝑀 ↔ ( 2 · 𝑘 ) ≤ ( 2 · 𝑀 ) ) ) |
| 95 |
87 89 93 94
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑘 ≤ 𝑀 ↔ ( 2 · 𝑘 ) ≤ ( 2 · 𝑀 ) ) ) |
| 96 |
86 95
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ≤ ( 2 · 𝑀 ) ) |
| 97 |
83
|
lep1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ≤ ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) ) |
| 98 |
97 1
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ≤ 𝑁 ) |
| 99 |
81 83 84 96 98
|
letrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) |
| 100 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
| 101 |
80 100
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
| 102 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
| 103 |
|
elfz5 |
⊢ ( ( ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 2 · 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) |
| 104 |
101 102 103
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 2 · 𝑘 ) ≤ 𝑁 ) ) |
| 105 |
99 104
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
| 106 |
|
fznn0sub2 |
⊢ ( ( 2 · 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
| 107 |
105 106
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
| 108 |
107
|
ex |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) |
| 109 |
14
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
| 110 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
| 111 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
| 112 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
| 113 |
112
|
zcnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
| 114 |
113
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
| 115 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
| 116 |
111 114 115
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( 2 · 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
| 117 |
113
|
ssriv |
⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ⊆ ℂ |
| 118 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
| 119 |
117 118
|
sselid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
| 120 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) → ( 2 · 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
| 121 |
111 119 120
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( 2 · 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
| 122 |
110 116 121
|
subcanad |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑚 ) ) ↔ ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑚 ) ) ) |
| 123 |
|
2cnne0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) |
| 124 |
123
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
| 125 |
|
mulcan |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑚 ) ↔ 𝑘 = 𝑚 ) ) |
| 126 |
114 119 124 125
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑚 ) ↔ 𝑘 = 𝑚 ) ) |
| 127 |
122 126
|
bitrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑚 ) ) ↔ 𝑘 = 𝑚 ) ) |
| 128 |
127
|
ex |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑚 ) ) ↔ 𝑘 = 𝑚 ) ) ) |
| 129 |
108 128
|
dom2lem |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) –1-1→ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
| 130 |
|
f1f1orn |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) –1-1→ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) –1-1-onto→ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
| 131 |
129 130
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) –1-1-onto→ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
| 132 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑗 ) ) |
| 133 |
132
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
| 134 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) |
| 135 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ V |
| 136 |
133 134 135
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
| 137 |
136
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
| 138 |
107
|
fmpttd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
| 139 |
138
|
frnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
| 140 |
139
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
| 141 |
|
bccl2 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℕ ) |
| 142 |
141
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℕ ) |
| 143 |
142
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
| 144 |
4
|
rprecred |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 145 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 ) |
| 146 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
| 147 |
144 145 146
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
| 148 |
147
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∈ ℂ ) |
| 149 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
| 150 |
149
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
| 151 |
|
expcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
| 152 |
7 150 151
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
| 153 |
148 152
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℂ ) |
| 154 |
143 153
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 155 |
140 154
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 156 |
155
|
imcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 157 |
156
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 158 |
74 75 131 137 157
|
fsumf1o |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
| 159 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
| 160 |
142
|
nnred |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
| 161 |
159 160
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( 𝑁 C 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
| 162 |
159 147
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
| 163 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) |
| 164 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
| 165 |
164
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
| 166 |
|
zeo |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℤ → ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
| 167 |
165 166
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
| 168 |
|
i2 |
⊢ ( i ↑ 2 ) = - 1 |
| 169 |
168
|
oveq1i |
⊢ ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) = ( - 1 ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) |
| 170 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) |
| 171 |
149
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
| 172 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ ) |
| 173 |
|
nn0ge0 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚 ) |
| 174 |
|
divge0 |
⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) |
| 175 |
90 91 174
|
mpanr12 |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 ) → 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) |
| 176 |
172 173 175
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) |
| 177 |
171 176
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) |
| 178 |
|
elnn0z |
⊢ ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( 𝑚 / 2 ) ) ) |
| 179 |
170 177 178
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℕ0 ) |
| 180 |
|
expmul |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) ) = ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) ) |
| 181 |
7 76 179 180
|
mp3an12i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) ) = ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) ) |
| 182 |
171
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
| 183 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
| 184 |
|
divcan2 |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) = 𝑚 ) |
| 185 |
111 183 184
|
mp3an23 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℂ → ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) = 𝑚 ) |
| 186 |
182 185
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) = 𝑚 ) |
| 187 |
186
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑚 / 2 ) ) ) = ( i ↑ 𝑚 ) ) |
| 188 |
181 187
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) = ( i ↑ 𝑚 ) ) |
| 189 |
169 188
|
eqtr3id |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) = ( i ↑ 𝑚 ) ) |
| 190 |
|
neg1rr |
⊢ - 1 ∈ ℝ |
| 191 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℝ ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( - 1 ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 192 |
190 179 191
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑚 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 193 |
189 192
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
| 194 |
193
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) ) |
| 195 |
|
0zd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 0 ∈ ℤ ) |
| 196 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ ) |
| 197 |
196
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
| 198 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
| 199 |
149
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
| 200 |
199
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
| 201 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 202 |
198 200 201
|
pnpcan2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑚 + 1 ) ) = ( 𝑁 − 𝑚 ) ) |
| 203 |
|
2t1e2 |
⊢ ( 2 · 1 ) = 2 |
| 204 |
|
df-2 |
⊢ 2 = ( 1 + 1 ) |
| 205 |
203 204
|
eqtr2i |
⊢ ( 1 + 1 ) = ( 2 · 1 ) |
| 206 |
205
|
oveq2i |
⊢ ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 2 · 1 ) ) |
| 207 |
1
|
oveq1i |
⊢ ( 𝑁 + 1 ) = ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) + 1 ) |
| 208 |
12
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
| 209 |
208
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
| 210 |
209 201 201
|
addassd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 1 + 1 ) ) ) |
| 211 |
207 210
|
eqtrid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 + 1 ) = ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 1 + 1 ) ) ) |
| 212 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
| 213 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
| 214 |
213
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
| 215 |
212 214 201
|
adddid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑀 ) + ( 2 · 1 ) ) ) |
| 216 |
206 211 215
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 + 1 ) = ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
| 217 |
216
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑚 + 1 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) ) |
| 218 |
202 217
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) = ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) ) |
| 219 |
218
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) = ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) / 2 ) ) |
| 220 |
197
|
peano2zd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℤ ) |
| 221 |
220
|
zcnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 222 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
| 223 |
111 221 222
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
| 224 |
|
peano2cn |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℂ → ( 𝑚 + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 225 |
200 224
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑚 + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 226 |
123
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
| 227 |
|
divsubdir |
⊢ ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑚 + 1 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) / 2 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ) |
| 228 |
223 225 226 227
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) − ( 𝑚 + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) / 2 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ) |
| 229 |
183
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 2 ≠ 0 ) |
| 230 |
221 212 229
|
divcan3d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) / 2 ) = ( 𝑀 + 1 ) ) |
| 231 |
230
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) / 2 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑀 + 1 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ) |
| 232 |
219 228 231
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) = ( ( 𝑀 + 1 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ) |
| 233 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
| 234 |
220 233
|
zsubcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑀 + 1 ) − ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) |
| 235 |
232 234
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
| 236 |
145
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 ) |
| 237 |
|
nn0re |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
| 238 |
|
nn0ge0 |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) |
| 239 |
|
divge0 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) |
| 240 |
90 91 239
|
mpanr12 |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) |
| 241 |
237 238 240
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) |
| 242 |
236 241
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) |
| 243 |
236
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
| 244 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
| 245 |
|
peano2re |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
| 246 |
244 245
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
| 247 |
199 173
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 0 ≤ 𝑚 ) |
| 248 |
199
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ ) |
| 249 |
244 248
|
subge02d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 0 ≤ 𝑚 ↔ ( 𝑁 − 𝑚 ) ≤ 𝑁 ) ) |
| 250 |
247 249
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ≤ 𝑁 ) |
| 251 |
244
|
ltp1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
| 252 |
243 244 246 250 251
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) < ( 𝑁 + 1 ) ) |
| 253 |
252 216
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) < ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
| 254 |
220
|
zred |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℝ ) |
| 255 |
92
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) |
| 256 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ↔ ( 𝑁 − 𝑚 ) < ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
| 257 |
243 254 255 256
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ↔ ( 𝑁 − 𝑚 ) < ( 2 · ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
| 258 |
253 257
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ) |
| 259 |
|
zleltp1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ≤ 𝑀 ↔ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
| 260 |
235 197 259
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ≤ 𝑀 ↔ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) < ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
| 261 |
258 260
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ≤ 𝑀 ) |
| 262 |
195 197 235 242 261
|
elfzd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
| 263 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) → ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) |
| 264 |
263
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) ) |
| 265 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) ∈ V |
| 266 |
264 134 265
|
fvmpt |
⊢ ( ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) ) |
| 267 |
262 266
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) = ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) ) |
| 268 |
236
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
| 269 |
268 212 229
|
divcan2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) = ( 𝑁 − 𝑚 ) ) |
| 270 |
269
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − ( 2 · ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ) |
| 271 |
198 200
|
nncand |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝑚 ) ) = 𝑚 ) |
| 272 |
267 270 271
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) = 𝑚 ) |
| 273 |
138
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) Fn ( 0 ... 𝑀 ) ) |
| 274 |
|
fnfvelrn |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) Fn ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
| 275 |
273 262 274
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ‘ ( ( 𝑁 − 𝑚 ) / 2 ) ) ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
| 276 |
272 275
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) → 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) |
| 277 |
276
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) |
| 278 |
194 277
|
orim12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑚 / 2 ) ∈ ℤ ∨ ( ( 𝑚 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ∨ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
| 279 |
167 278
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ∨ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) |
| 280 |
279
|
orcomd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ∨ ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) ) |
| 281 |
280
|
ord |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ¬ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) ) |
| 282 |
281
|
impr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
| 283 |
163 282
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( i ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ ) |
| 284 |
162 283
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
| 285 |
161 284
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 286 |
285
|
reim0d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = 0 ) |
| 287 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
| 288 |
139 157 286 287
|
fsumss |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ ran ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑘 ) ) ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
| 289 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 ) |
| 290 |
289
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ0 ) |
| 291 |
|
nn0mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ) → ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
| 292 |
76 290 291
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
| 293 |
292
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℤ ) |
| 294 |
|
bccl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 295 |
15 293 294
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 296 |
295
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
| 297 |
|
fznn0sub |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑀 − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
| 298 |
297
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑀 − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) |
| 299 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℝ ∧ ( 𝑀 − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) → ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
| 300 |
190 298 299
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
| 301 |
296 300
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 302 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
| 303 |
|
znegcl |
⊢ ( 2 ∈ ℤ → - 2 ∈ ℤ ) |
| 304 |
302 303
|
ax-mp |
⊢ - 2 ∈ ℤ |
| 305 |
|
rpexpcl |
⊢ ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ∧ - 2 ∈ ℤ ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℝ+ ) |
| 306 |
4 304 305
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℝ+ ) |
| 307 |
306
|
rpred |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℝ ) |
| 308 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
| 309 |
307 289 308
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
| 310 |
301 309
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
| 311 |
310
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
| 312 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 313 |
7 311 312
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 314 |
313
|
addid2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) = ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) |
| 315 |
295
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
| 316 |
300
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
| 317 |
309
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
| 318 |
315 316 317
|
mulassd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) |
| 319 |
318
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) = ( i · ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) |
| 320 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → i ∈ ℂ ) |
| 321 |
316 317
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
| 322 |
320 315 321
|
mul12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) |
| 323 |
319 322
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) |
| 324 |
|
bccmpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
| 325 |
15 293 324
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
| 326 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
| 327 |
292
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
| 328 |
326 327
|
nncand |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) = ( 2 · 𝑗 ) ) |
| 329 |
328
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
| 330 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
| 331 |
330
|
rpcnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 332 |
|
expneg |
⊢ ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 1 / ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
| 333 |
331 292 332
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 1 / ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
| 334 |
290
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
| 335 |
|
mulneg1 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ ) → ( - 2 · 𝑗 ) = - ( 2 · 𝑗 ) ) |
| 336 |
111 334 335
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( - 2 · 𝑗 ) = - ( 2 · 𝑗 ) ) |
| 337 |
336
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( - 2 · 𝑗 ) ) = ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
| 338 |
330
|
rpne0d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
| 339 |
331 338 293
|
exprecd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) = ( 1 / ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) |
| 340 |
333 337 339
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( - 2 · 𝑗 ) ) = ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
| 341 |
304
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → - 2 ∈ ℤ ) |
| 342 |
290
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
| 343 |
|
expmulz |
⊢ ( ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( tan ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( - 2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( - 2 · 𝑗 ) ) = ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) |
| 344 |
331 338 341 342 343
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ ( - 2 · 𝑗 ) ) = ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) |
| 345 |
329 340 344
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) |
| 346 |
1
|
oveq1i |
⊢ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) = ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) |
| 347 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
| 348 |
347
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
| 349 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 350 |
348 349 327
|
addsubd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) = ( ( ( 2 · 𝑀 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) + 1 ) ) |
| 351 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
| 352 |
213
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
| 353 |
351 352 334
|
subdid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) = ( ( 2 · 𝑀 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) ) |
| 354 |
353
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 · 𝑀 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) + 1 ) ) |
| 355 |
350 354
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 2 · 𝑀 ) + 1 ) − ( 2 · 𝑗 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) |
| 356 |
346 355
|
eqtrid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) = ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) |
| 357 |
356
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) = ( i ↑ ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) ) |
| 358 |
|
nn0mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑀 − 𝑗 ) ∈ ℕ0 ) → ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 359 |
76 298 358
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 360 |
|
expp1 |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℕ0 ) → ( i ↑ ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) = ( ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · i ) ) |
| 361 |
7 359 360
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) + 1 ) ) = ( ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · i ) ) |
| 362 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 2 ∈ ℕ0 ) |
| 363 |
320 298 362
|
expmuld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) = ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) |
| 364 |
168
|
oveq1i |
⊢ ( ( i ↑ 2 ) ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) = ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) |
| 365 |
363 364
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) |
| 366 |
365
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( i ↑ ( 2 · ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · i ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · i ) ) |
| 367 |
357 361 366
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) = ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · i ) ) |
| 368 |
|
mulcom |
⊢ ( ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · i ) = ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) |
| 369 |
316 7 368
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · i ) = ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) |
| 370 |
367 369
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) = ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) |
| 371 |
345 370
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) · ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) ) |
| 372 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 373 |
7 316 372
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 374 |
373 317
|
mulcomd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) = ( ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) · ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) ) ) |
| 375 |
320 316 317
|
mulassd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( i · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) = ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) |
| 376 |
371 374 375
|
3eqtr2rd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) |
| 377 |
325 376
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( i · ( ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
| 378 |
314 323 377
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
| 379 |
378
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ℑ ‘ ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
| 380 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
| 381 |
|
crim |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) → ( ℑ ‘ ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 382 |
380 310 381
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ℑ ‘ ( 0 + ( i · ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 383 |
379 382
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 384 |
383
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) · ( i ↑ ( 𝑁 − ( 2 · 𝑗 ) ) ) ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 385 |
158 288 384
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 386 |
287 154
|
fsumim |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ℑ ‘ ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
| 387 |
306
|
rpcnd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℂ ) |
| 388 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) → ( 𝑡 ↑ 𝑗 ) = ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) |
| 389 |
388
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑡 = ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) → ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( 𝑡 ↑ 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 390 |
389
|
sumeq2sdv |
⊢ ( 𝑡 = ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( 𝑡 ↑ 𝑗 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 391 |
|
sumex |
⊢ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ∈ V |
| 392 |
390 2 391
|
fvmpt |
⊢ ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ∈ ℂ → ( 𝑃 ‘ ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 393 |
387 392
|
syl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑃 ‘ ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( ( 𝑁 C ( 2 · 𝑗 ) ) · ( - 1 ↑ ( 𝑀 − 𝑗 ) ) ) · ( ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ↑ 𝑗 ) ) ) |
| 394 |
385 386 393
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ Σ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑚 ) · ( ( ( 1 / ( tan ‘ 𝐴 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) · ( i ↑ 𝑚 ) ) ) ) = ( 𝑃 ‘ ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ) ) |
| 395 |
52 59
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
| 396 |
54 59
|
rerpdivcld |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
| 397 |
395 396
|
crimd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( ( cos ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) + ( i · ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
| 398 |
67 394 397
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑃 ‘ ( ( tan ‘ 𝐴 ) ↑ - 2 ) ) = ( ( sin ‘ ( 𝑁 · 𝐴 ) ) / ( ( sin ‘ 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |