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Theorem dvnmul

Description: Function-builder for the N -th derivative, product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

Ref Expression
Hypotheses dvnmul.s ( 𝜑𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
dvnmul.x ( 𝜑𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
dvnmul.a ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
dvnmul.cc ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
dvnmul.n ( 𝜑𝑁 ∈ ℕ0 )
dvnmulf 𝐹 = ( 𝑥𝑋𝐴 )
dvnmul.f 𝐺 = ( 𝑥𝑋𝐵 )
dvnmul.dvnf ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
dvnmul.dvng ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
dvnmul.c 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
dvnmul.d 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
Assertion dvnmul ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvnmul.s ( 𝜑𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2 dvnmul.x ( 𝜑𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
3 dvnmul.a ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
4 dvnmul.cc ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
5 dvnmul.n ( 𝜑𝑁 ∈ ℕ0 )
6 dvnmulf 𝐹 = ( 𝑥𝑋𝐴 )
7 dvnmul.f 𝐺 = ( 𝑥𝑋𝐵 )
8 dvnmul.dvnf ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
9 dvnmul.dvng ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
10 dvnmul.c 𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
11 dvnmul.d 𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
12 id ( 𝜑𝜑 )
13 nn0uz 0 = ( ℤ ‘ 0 )
14 5 13 eleqtrdi ( 𝜑𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
15 eluzfz2 ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
16 14 15 syl ( 𝜑𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
17 eleq1 ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
18 fveq2 ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) )
19 oveq2 ( 𝑛 = 𝑁 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝑁 ) )
20 19 sumeq1d ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
21 oveq1 ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 C 𝑘 ) = ( 𝑁 C 𝑘 ) )
22 fvoveq1 ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) )
23 22 fveq1d ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
24 23 oveq2d ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
25 21 24 oveq12d ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
26 25 sumeq2sdv ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
27 20 26 eqtrd ( 𝑛 = 𝑁 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
28 27 mpteq2dv ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
29 18 28 eqeq12d ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
30 29 imbi2d ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
31 17 30 imbi12d ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
32 fveq2 ( 𝑚 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) )
33 simpl ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) → 𝑚 = 0 )
34 33 oveq2d ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 0 ) )
35 simpll ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → 𝑚 = 0 )
36 35 oveq1d ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 0 C 𝑘 ) )
37 35 fvoveq1d ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) )
38 37 fveq1d ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
39 38 oveq2d ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
40 36 39 oveq12d ( ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
41 34 40 sumeq12rdv ( ( 𝑚 = 0 ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
42 41 mpteq2dva ( 𝑚 = 0 → ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
43 32 42 eqeq12d ( 𝑚 = 0 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
44 43 imbi2d ( 𝑚 = 0 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
45 fveq2 ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) )
46 simpl ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) → 𝑚 = 𝑖 )
47 46 oveq2d ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑖 ) )
48 simpll ( ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑚 = 𝑖 )
49 48 oveq1d ( ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C 𝑘 ) )
50 48 fvoveq1d ( ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) )
51 50 fveq1d ( ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
52 51 oveq2d ( ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
53 49 52 oveq12d ( ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
54 47 53 sumeq12rdv ( ( 𝑚 = 𝑖𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
55 54 mpteq2dva ( 𝑚 = 𝑖 → ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
56 45 55 eqeq12d ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
57 56 imbi2d ( 𝑚 = 𝑖 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
58 fveq2 ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
59 simpl ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) )
60 59 oveq2d ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
61 simpll ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) )
62 61 oveq1d ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
63 61 fvoveq1d ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
64 63 fveq1d ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
65 64 oveq2d ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
66 62 65 oveq12d ( ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
67 60 66 sumeq12rdv ( ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
68 67 mpteq2dva ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
69 58 68 eqeq12d ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
70 69 imbi2d ( 𝑚 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
71 fveq2 ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) )
72 simpl ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) → 𝑚 = 𝑛 )
73 72 oveq2d ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑛 ) )
74 simpll ( ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → 𝑚 = 𝑛 )
75 74 oveq1d ( ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑚 C 𝑘 ) = ( 𝑛 C 𝑘 ) )
76 74 fvoveq1d ( ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) )
77 76 fveq1d ( ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
78 77 oveq2d ( ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
79 75 78 oveq12d ( ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ) → ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
80 73 79 sumeq12rdv ( ( 𝑚 = 𝑛𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
81 80 mpteq2dva ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
82 71 81 eqeq12d ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
83 82 imbi2d ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑚 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑚 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑚𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
84 recnprss ( 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } → 𝑆 ⊆ ℂ )
85 1 84 syl ( 𝜑𝑆 ⊆ ℂ )
86 3 4 mulcld ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
87 restsspw ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ⊆ 𝒫 𝑆
88 87 2 sseldi ( 𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 )
89 elpwi ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆𝑋𝑆 )
90 88 89 syl ( 𝜑𝑋𝑆 )
91 cnex ℂ ∈ V
92 91 a1i ( 𝜑 → ℂ ∈ V )
93 86 90 92 1 mptelpm ( 𝜑 → ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
94 dvn0 ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
95 85 93 94 syl2anc ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
96 0z 0 ∈ ℤ
97 fzsn ( 0 ∈ ℤ → ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
98 96 97 ax-mp ( 0 ... 0 ) = { 0 }
99 98 sumeq1i Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
100 99 a1i ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
101 nfcvd ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → 𝑘 ( 𝐴 · 𝐵 ) )
102 nfv 𝑘 ( 𝜑𝑥𝑋 )
103 oveq2 ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = ( 0 C 0 ) )
104 0nn0 0 ∈ ℕ0
105 bcn0 ( 0 ∈ ℕ0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
106 104 105 ax-mp ( 0 C 0 ) = 1
107 106 a1i ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 0 ) = 1 )
108 103 107 eqtrd ( 𝑘 = 0 → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
109 108 adantl ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 0 C 𝑘 ) = 1 )
110 fveq2 ( 𝑘 = 0 → ( 𝐶𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) )
111 110 adantl ( ( 𝜑𝑘 = 0 ) → ( 𝐶𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) )
112 fveq2 ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
113 112 cbvmptv ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
114 10 113 eqtri 𝐶 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) )
115 fveq2 ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
116 eluzfz1 ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
117 14 116 syl ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
118 fvexd ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) ∈ V )
119 114 115 117 118 fvmptd3 ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
120 119 adantr ( ( 𝜑𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
121 111 120 eqtrd ( ( 𝜑𝑘 = 0 ) → ( 𝐶𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) )
122 3 90 92 1 mptelpm ( 𝜑 → ( 𝑥𝑋𝐴 ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
123 6 122 eqeltrid ( 𝜑𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
124 dvn0 ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
125 85 123 124 syl2anc ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
126 125 adantr ( ( 𝜑𝑘 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 0 ) = 𝐹 )
127 121 126 eqtrd ( ( 𝜑𝑘 = 0 ) → ( 𝐶𝑘 ) = 𝐹 )
128 127 fveq1d ( ( 𝜑𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹𝑥 ) )
129 128 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹𝑥 ) )
130 simpr ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → 𝑥𝑋 )
131 6 fvmpt2 ( ( 𝑥𝑋𝐴 ∈ ℂ ) → ( 𝐹𝑥 ) = 𝐴 )
132 130 3 131 syl2anc ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → ( 𝐹𝑥 ) = 𝐴 )
133 132 adantr ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐹𝑥 ) = 𝐴 )
134 129 133 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = 𝐴 )
135 oveq2 ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = ( 0 − 0 ) )
136 0m0e0 ( 0 − 0 ) = 0
137 136 a1i ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 0 ) = 0 )
138 135 137 eqtrd ( 𝑘 = 0 → ( 0 − 𝑘 ) = 0 )
139 138 fveq2d ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
140 139 fveq1d ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
141 140 adantl ( ( 𝜑𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
142 141 adantlr ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
143 fveq2 ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
144 143 cbvmptv ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
145 11 144 eqtri 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) )
146 145 fveq1i ( 𝐷 ‘ 0 ) = ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 )
147 146 a1i ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) = ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 ) )
148 eqidd ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) )
149 fveq2 ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) )
150 149 adantl ( ( 𝜑𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) )
151 4 90 92 1 mptelpm ( 𝜑 → ( 𝑥𝑋𝐵 ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
152 7 151 eqeltrid ( 𝜑𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
153 dvn0 ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
154 85 152 153 syl2anc ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
155 154 adantr ( ( 𝜑𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
156 150 155 eqtrd ( ( 𝜑𝑛 = 0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = 𝐺 )
157 7 a1i ( 𝜑𝐺 = ( 𝑥𝑋𝐵 ) )
158 mptexg ( 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → ( 𝑥𝑋𝐵 ) ∈ V )
159 88 158 syl ( 𝜑 → ( 𝑥𝑋𝐵 ) ∈ V )
160 157 159 eqeltrd ( 𝜑𝐺 ∈ V )
161 148 156 117 160 fvmptd ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) ‘ 0 ) = 𝐺 )
162 147 161 eqtrd ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) = 𝐺 )
163 162 fveq1d ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺𝑥 ) )
164 163 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺𝑥 ) )
165 157 4 fvmpt2d ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → ( 𝐺𝑥 ) = 𝐵 )
166 165 adantr ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐺𝑥 ) = 𝐵 )
167 142 164 166 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = 𝐵 )
168 134 167 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
169 109 168 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
170 86 mulid2d ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
171 170 adantr ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 1 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
172 169 171 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
173 0re 0 ∈ ℝ
174 173 a1i ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
175 101 102 172 174 86 sumsnd ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
176 100 175 eqtr2d ( ( 𝜑𝑥𝑋 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
177 176 mpteq2dva ( 𝜑 → ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
178 95 177 eqtrd ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
179 178 a1i ( 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 0 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 0 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
180 simp3 ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝜑 )
181 simp1 ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
182 simp2 ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
183 pm3.35 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
184 180 182 183 syl2anc ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
185 85 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
186 93 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
187 elfzonn0 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
188 187 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
189 dvnp1 ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
190 185 186 188 189 syl3anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
191 190 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) )
192 simpr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
193 192 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
194 eqid ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 )
195 eqid ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
196 1 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
197 2 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
198 fzfid ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 0 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
199 187 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
200 elfzelz ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
201 200 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
202 199 201 bccld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
203 202 nn0cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
204 203 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
205 204 3adant3 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
206 simpll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝜑 )
207 0zd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ∈ ℤ )
208 elfzoel2 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
209 208 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
210 elfzle1 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ 𝑘 )
211 210 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
212 201 zred ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
213 208 zred ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℝ )
214 213 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
215 187 nn0red ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
216 215 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
217 elfzle2 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘𝑖 )
218 217 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘𝑖 )
219 elfzolt2 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 < 𝑁 )
220 219 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 < 𝑁 )
221 212 216 214 218 220 lelttrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 < 𝑁 )
222 212 214 221 ltled ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘𝑁 )
223 207 209 201 211 222 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
224 223 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
225 10 a1i ( 𝜑𝐶 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
226 fvexd ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
227 225 226 fvmpt2d ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
228 227 feq1d ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
229 8 228 mpbird ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
230 206 224 229 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
231 230 3adant3 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
232 simp3 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → 𝑥𝑋 )
233 231 232 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
234 187 nn0zd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
235 234 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
236 235 201 zsubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) ∈ ℤ )
237 elfzel2 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
238 237 zred ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℝ )
239 200 zred ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
240 238 239 subge0d ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 0 ≤ ( 𝑖𝑘 ) ↔ 𝑘𝑖 ) )
241 217 240 mpbird ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ ( 𝑖𝑘 ) )
242 241 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( 𝑖𝑘 ) )
243 216 212 resubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) ∈ ℝ )
244 214 212 resubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁𝑘 ) ∈ ℝ )
245 173 a1i ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ∈ ℝ )
246 214 245 jca ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) )
247 resubcl ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
248 246 247 syl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
249 216 214 212 220 ltsub1dd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) < ( 𝑁𝑘 ) )
250 245 212 214 211 lesub2dd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
251 243 244 248 249 250 ltletrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) < ( 𝑁 − 0 ) )
252 213 recnd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℂ )
253 252 subid1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
254 253 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
255 251 254 breqtrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) < 𝑁 )
256 243 214 255 ltled ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) ≤ 𝑁 )
257 207 209 236 242 256 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
258 257 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
259 ovex ( 𝑖𝑘 ) ∈ V
260 eleq1 ( 𝑗 = ( 𝑖𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑖𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
261 260 anbi2d ( 𝑗 = ( 𝑖𝑘 ) → ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑖𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
262 fveq2 ( 𝑗 = ( 𝑖𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) )
263 262 feq1d ( 𝑗 = ( 𝑖𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
264 261 263 imbi12d ( 𝑗 = ( 𝑖𝑘 ) → ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
265 nfv 𝑘 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
266 eleq1 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
267 266 anbi2d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
268 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) )
269 268 feq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
270 267 269 imbi12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
271 265 270 9 chvarfv ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
272 259 264 271 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
273 206 258 272 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
274 fveq2 ( 𝑛 = ( 𝑖𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) )
275 fvexd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ∈ V )
276 145 274 257 275 fvmptd3 ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) )
277 276 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) )
278 277 feq1d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
279 273 278 mpbird ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
280 279 3adant3 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
281 280 232 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
282 233 281 mulcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
283 205 282 mulcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
284 205 3expa ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
285 235 peano2zd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
286 285 201 zsubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ )
287 peano2re ( 𝑖 ∈ ℝ → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
288 238 287 syl ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
289 peano2re ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
290 239 289 syl ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
291 239 ltp1d ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
292 1red ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 1 ∈ ℝ )
293 239 238 292 217 leadd1dd ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
294 239 290 288 291 293 ltletrd ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 < ( 𝑖 + 1 ) )
295 239 288 294 ltled ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
296 295 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
297 216 287 syl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
298 297 212 subge0d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
299 296 298 mpbird ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
300 297 212 resubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
301 elfzop1le2 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
302 301 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
303 297 214 212 302 lesub1dd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁𝑘 ) )
304 250 254 breqtrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑁𝑘 ) ≤ 𝑁 )
305 300 244 214 303 304 letrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
306 207 209 286 299 305 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
307 306 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
308 ovex ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ V
309 eleq1 ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
310 309 anbi2d ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
311 fveq2 ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
312 311 feq1d ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
313 310 312 imbi12d ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
314 308 313 271 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
315 206 307 314 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
316 145 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) ) )
317 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) → 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
318 317 fveq2d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑛 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
319 fvexd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ∈ V )
320 316 318 307 319 fvmptd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
321 320 feq1d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
322 315 321 mpbird ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
323 322 ffvelrnda ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
324 233 3expa ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
325 323 324 mulcomd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
326 325 oveq2d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
327 201 peano2zd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ )
328 173 a1i ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℝ )
329 328 239 290 210 291 lelttrd ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 < ( 𝑘 + 1 ) )
330 328 290 329 ltled ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) )
331 330 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 0 ≤ ( 𝑘 + 1 ) )
332 212 289 syl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℝ )
333 293 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
334 332 297 214 333 302 letrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑁 )
335 207 209 327 331 334 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
336 335 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
337 ovex ( 𝑘 + 1 ) ∈ V
338 eleq1 ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
339 338 anbi2d ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
340 fveq2 ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝐶𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
341 340 feq1d ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
342 339 341 imbi12d ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
343 nfv 𝑘 ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
344 nfmpt1 𝑘 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
345 10 344 nfcxfr 𝑘 𝐶
346 nfcv 𝑘 𝑗
347 345 346 nffv 𝑘 ( 𝐶𝑗 )
348 nfcv 𝑘 𝑋
349 nfcv 𝑘
350 347 348 349 nff 𝑘 ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
351 343 350 nfim 𝑘 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
352 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐶𝑘 ) = ( 𝐶𝑗 ) )
353 352 feq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
354 267 353 imbi12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
355 351 354 229 chvarfv ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
356 337 342 355 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
357 206 336 356 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
358 357 ffvelrnda ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
359 281 3expa ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
360 358 359 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
361 323 324 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
362 360 361 addcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
363 326 362 eqeltrrd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
364 284 363 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ )
365 364 3impa ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ℂ )
366 206 1 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
367 173 a1i ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → 0 ∈ ℝ )
368 206 2 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
369 366 368 204 dvmptconst ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ 0 ) )
370 282 3expa ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
371 206 224 227 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
372 371 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶𝑘 ) )
373 230 feqmptd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶𝑘 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) )
374 372 373 eqtr2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) )
375 374 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
376 366 84 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑆 ⊆ ℂ )
377 206 123 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
378 elfznn0 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
379 378 adantl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
380 dvnp1 ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
381 376 377 379 380 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) )
382 381 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
383 fveq2 ( 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
384 fvexd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ V )
385 114 383 336 384 fvmptd3 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
386 385 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
387 357 feqmptd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
388 386 387 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
389 375 382 388 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
390 277 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) )
391 279 feqmptd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
392 390 391 eqtr2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) )
393 392 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ) )
394 206 152 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) )
395 fznn0sub ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → ( 𝑖𝑘 ) ∈ ℕ0 )
396 395 adantl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖𝑘 ) ∈ ℕ0 )
397 dvnp1 ( ( 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ( ℂ ↑pm 𝑆 ) ∧ ( 𝑖𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ) )
398 376 394 396 397 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ) )
399 398 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖𝑘 ) + 1 ) ) )
400 216 recnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℂ )
401 1cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 1 ∈ ℂ )
402 212 recnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
403 400 401 402 addsubd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖𝑘 ) + 1 ) )
404 403 eqcomd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖𝑘 ) + 1 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
405 404 fveq2d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
406 405 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
407 320 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
408 322 feqmptd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
409 406 407 408 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ ( ( 𝑖𝑘 ) + 1 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
410 393 399 409 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
411 366 324 358 389 359 323 410 dvmptmul ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
412 366 284 367 369 370 362 411 dvmptmul ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 0 · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) ) )
413 370 mul02d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 0 · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = 0 )
414 326 oveq1d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) )
415 363 284 mulcomd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
416 414 415 eqtrd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
417 413 416 oveq12d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 0 · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
418 364 addid2d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 0 + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
419 417 418 eqtrd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 0 · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
420 419 mpteq2dva ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 0 · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ) ) · ( 𝑖 C 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
421 412 420 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
422 194 195 196 197 198 283 365 421 dvmptfsum ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
423 204 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
424 360 an32s ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
425 anass ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ↔ ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ) )
426 ancom ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ↔ ( 𝑥𝑋𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
427 426 anbi2i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥𝑋𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
428 anass ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥𝑋𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
429 428 bicomi ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥𝑋𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
430 427 429 bitri ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ∧ 𝑥𝑋 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
431 425 430 bitri ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ↔ ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
432 431 imbi1i ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) )
433 324 432 mpbi ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
434 431 imbi1i ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) )
435 323 434 mpbi ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
436 433 435 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
437 423 424 436 adddid ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
438 437 sumeq2dv ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
439 198 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 0 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
440 423 424 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
441 423 436 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
442 439 440 441 fsumadd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
443 oveq2 ( 𝑘 = → ( 𝑖 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C ) )
444 fvoveq1 ( 𝑘 = → ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) )
445 444 fveq1d ( 𝑘 = → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
446 oveq2 ( 𝑘 = → ( 𝑖𝑘 ) = ( 𝑖 ) )
447 446 fveq2d ( 𝑘 = → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) )
448 447 fveq1d ( 𝑘 = → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) )
449 445 448 oveq12d ( 𝑘 = → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
450 443 449 oveq12d ( 𝑘 = → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
451 nfcv ( 0 ... 𝑖 )
452 nfcv 𝑘 ( 0 ... 𝑖 )
453 nfcv ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
454 nfcv 𝑘 ( 𝑖 C )
455 nfcv 𝑘 ·
456 nfcv 𝑘 ( + 1 )
457 345 456 nffv 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) )
458 nfcv 𝑘 𝑥
459 457 458 nffv 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 )
460 nfmpt1 𝑘 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
461 11 460 nfcxfr 𝑘 𝐷
462 nfcv 𝑘 ( 𝑖 )
463 461 462 nffv 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) )
464 463 458 nffv 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 )
465 459 455 464 nfov 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) )
466 454 455 465 nfov 𝑘 ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
467 450 451 452 453 466 cbvsum Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
468 467 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
469 1zzd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → 1 ∈ ℤ )
470 96 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → 0 ∈ ℤ )
471 234 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
472 nfv 𝑘 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 )
473 nfcv 𝑘
474 473 452 nfel 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 )
475 472 474 nfan 𝑘 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
476 466 349 nfel 𝑘 ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ
477 475 476 nfim 𝑘 ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
478 eleq1 ( 𝑘 = → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ↔ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) )
479 478 anbi2d ( 𝑘 = → ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) ) )
480 450 eleq1d ( 𝑘 = → ( ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ↔ ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) )
481 479 480 imbi12d ( 𝑘 = → ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) ) )
482 477 481 440 chvarfv ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
483 oveq2 ( = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 C ) = ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) )
484 fvoveq1 ( = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
485 484 fveq1d ( = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
486 oveq2 ( = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 ) = ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) )
487 486 fveq2d ( = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) )
488 487 fveq1d ( = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
489 485 488 oveq12d ( = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
490 483 489 oveq12d ( = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
491 469 470 471 482 490 fsumshft ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
492 468 491 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
493 0p1e1 ( 0 + 1 ) = 1
494 493 oveq1i ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) )
495 494 sumeq1i Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
496 495 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
497 elfzelz ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
498 497 zcnd ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
499 1cnd ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ∈ ℂ )
500 498 499 npcand ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
501 500 fveq2d ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝐶𝑗 ) )
502 501 fveq1d ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) )
503 502 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) )
504 215 recnd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ℂ )
505 504 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℂ )
506 498 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
507 499 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
508 505 506 507 subsub3d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
509 508 fveq2d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) )
510 509 fveq1d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) )
511 503 510 oveq12d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
512 511 oveq2d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
513 512 sumeq2dv ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
514 513 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
515 nfv 𝑗 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 )
516 nfcv 𝑗 ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
517 fzfid ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin )
518 187 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
519 497 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
520 1zzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
521 519 520 zsubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
522 518 521 bccld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
523 522 nn0cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
524 523 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
525 524 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
526 12 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
527 0zd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℤ )
528 208 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
529 173 a1i ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ∈ ℝ )
530 497 zred ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
531 1red ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
532 0lt1 0 < 1
533 532 a1i ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 < 1 )
534 elfzle1 ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
535 529 531 530 533 534 ltletrd ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 < 𝑗 )
536 529 530 535 ltled ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
537 536 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
538 530 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
539 215 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℝ )
540 1red ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
541 539 540 readdcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
542 213 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
543 elfzle2 ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
544 543 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
545 301 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
546 538 541 542 544 545 letrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗𝑁 )
547 527 528 519 537 546 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
548 547 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
549 526 548 355 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
550 549 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
551 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥𝑋 )
552 550 551 ffvelrnd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
553 234 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
554 553 peano2zd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
555 554 519 zsubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℤ )
556 541 538 subge0d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
557 544 556 mpbird ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
558 541 538 resubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ℝ )
559 558 leidd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
560 530 535 elrpd ( 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ+ )
561 560 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ+ )
562 541 561 ltsubrpd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < ( 𝑖 + 1 ) )
563 558 541 542 562 545 ltletrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < 𝑁 )
564 558 558 542 559 563 lelttrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) < 𝑁 )
565 558 542 564 ltled ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ≤ 𝑁 )
566 527 528 555 557 565 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
567 566 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
568 nfv 𝑘 ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
569 nfcv 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 )
570 461 569 nffv 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) )
571 570 348 349 nff 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
572 568 571 nfim 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
573 ovex ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ V
574 eleq1 ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
575 574 anbi2d ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
576 fveq2 ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( 𝐷𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) )
577 576 feq1d ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
578 575 577 imbi12d ( 𝑘 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) → ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
579 11 a1i ( 𝜑𝐷 = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ) )
580 fvexd ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
581 579 580 fvmpt2d ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) )
582 581 feq1d ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 𝐺 ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
583 9 582 mpbird ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
584 572 573 578 583 vtoclf ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
585 526 567 584 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
586 585 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
587 586 551 ffvelrnd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
588 552 587 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
589 525 588 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
590 1zzd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℤ )
591 234 peano2zd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
592 493 eqcomi 1 = ( 0 + 1 )
593 592 a1i ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 = ( 0 + 1 ) )
594 173 a1i ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ∈ ℝ )
595 1red ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℝ )
596 187 nn0ge0d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ≤ 𝑖 )
597 594 215 595 596 leadd1dd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 0 + 1 ) ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
598 593 597 eqbrtrd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
599 590 591 598 3jca ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
600 eluz2 ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
601 599 600 sylibr ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) )
602 eluzfz2 ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
603 601 602 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
604 603 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
605 oveq1 ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑗 − 1 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) )
606 605 oveq2d ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) )
607 fveq2 ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐶𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
608 607 fveq1d ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
609 oveq2 ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
610 609 fveq2d ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
611 610 fveq1d ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
612 608 611 oveq12d ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
613 606 612 oveq12d ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
614 515 516 517 589 604 613 fsumsplit1 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
615 1cnd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 1 ∈ ℂ )
616 504 615 pncand ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) = 𝑖 )
617 616 oveq2d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑖 C 𝑖 ) )
618 bcnn ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 C 𝑖 ) = 1 )
619 187 618 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C 𝑖 ) = 1 )
620 617 619 eqtrd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) = 1 )
621 504 615 addcld ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℂ )
622 621 subidd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) = 0 )
623 622 fveq2d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
624 623 fveq1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
625 624 oveq2d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
626 620 625 oveq12d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
627 626 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
628 simpl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 )
629 fzofzp1 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
630 629 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
631 nfv 𝑘 ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
632 nfcv 𝑘 ( 𝑖 + 1 )
633 345 632 nffv 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) )
634 633 348 349 nff 𝑘 ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
635 631 634 nfim 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
636 ovex ( 𝑖 + 1 ) ∈ V
637 eleq1 ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
638 637 anbi2d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
639 fveq2 ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐶𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
640 639 feq1d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
641 638 640 imbi12d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
642 635 636 641 229 vtoclf ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
643 628 630 642 syl2anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
644 643 ffvelrnda ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
645 nfv 𝑘 ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
646 nfcv 𝑘 0
647 461 646 nffv 𝑘 ( 𝐷 ‘ 0 )
648 647 348 349 nff 𝑘 ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
649 645 648 nfim 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
650 c0ex 0 ∈ V
651 eleq1 ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
652 651 anbi2d ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
653 fveq2 ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
654 653 feq1d ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
655 652 654 imbi12d ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
656 649 650 655 583 vtoclf ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
657 12 117 656 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
658 657 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
659 658 ffvelrnda ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
660 644 659 mulcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
661 660 mulid2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
662 627 661 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
663 1m1e0 ( 1 − 1 ) = 0
664 663 fveq2i ( ℤ ‘ ( 1 − 1 ) ) = ( ℤ ‘ 0 )
665 13 eqcomi ( ℤ ‘ 0 ) = ℕ0
666 664 665 eqtr2i 0 = ( ℤ ‘ ( 1 − 1 ) )
667 666 a1i ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ℕ0 = ( ℤ ‘ ( 1 − 1 ) ) )
668 187 667 eleqtrd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( ℤ ‘ ( 1 − 1 ) ) )
669 fzdifsuc2 ( 𝑖 ∈ ( ℤ ‘ ( 1 − 1 ) ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
670 668 669 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
671 670 eqcomd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
672 671 sumeq1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
673 672 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
674 662 673 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C ( ( 𝑖 + 1 ) − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
675 514 614 674 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
676 492 496 675 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
677 nfcv 𝑘 ( 𝑖 C 0 )
678 345 646 nffv 𝑘 ( 𝐶 ‘ 0 )
679 678 458 nffv 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 )
680 nfcv 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 )
681 461 680 nffv 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) )
682 681 458 nffv 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 )
683 679 455 682 nfov 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) )
684 677 455 683 nfov 𝑘 ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
685 665 a1i ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ℤ ‘ 0 ) = ℕ0 )
686 187 685 eleqtrrd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
687 eluzfz1 ( 𝑖 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
688 686 687 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
689 688 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
690 oveq2 ( 𝑘 = 0 → ( 𝑖 C 𝑘 ) = ( 𝑖 C 0 ) )
691 110 fveq1d ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) )
692 oveq2 ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) )
693 692 fveq2d ( 𝑘 = 0 → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) )
694 693 fveq1d ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) )
695 691 694 oveq12d ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
696 690 695 oveq12d ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
697 472 684 439 441 689 696 fsumsplit1 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
698 621 subid1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
699 698 fveq2d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
700 699 fveq1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
701 700 oveq2d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
702 701 oveq2d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
703 702 oveq1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
704 703 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
705 bcn0 ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 C 0 ) = 1 )
706 187 705 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 C 0 ) = 1 )
707 706 oveq1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
708 707 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
709 678 348 349 nff 𝑘 ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
710 645 709 nfim 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
711 110 feq1d ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
712 652 711 imbi12d ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
713 710 650 712 229 vtoclf ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
714 12 117 713 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
715 714 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
716 715 ffvelrnda ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
717 461 632 nffv 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) )
718 717 348 349 nff 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ
719 631 718 nfim 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
720 fveq2 ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷𝑘 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
721 720 feq1d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
722 638 721 imbi12d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
723 719 636 722 583 vtoclf ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
724 628 630 723 syl2anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
725 724 ffvelrnda ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
726 716 725 mulcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
727 726 mulid2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
728 708 727 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
729 nfv 𝑗 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 )
730 1zzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 1 ∈ ℤ )
731 234 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑖 ∈ ℤ )
732 eldifi ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
733 elfzelz ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
734 732 733 syl ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℤ )
735 734 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
736 elfznn0 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
737 732 736 syl ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
738 eldifsni ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ≠ 0 )
739 737 738 jca ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → ( 𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ≠ 0 ) )
740 elnnne0 ( 𝑗 ∈ ℕ ↔ ( 𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ≠ 0 ) )
741 739 740 sylibr ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ℕ )
742 nnge1 ( 𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗 )
743 741 742 syl ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 1 ≤ 𝑗 )
744 743 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
745 elfzle2 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) → 𝑗𝑖 )
746 732 745 syl ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗𝑖 )
747 746 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗𝑖 )
748 730 731 735 744 747 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) )
749 748 ex ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
750 0zd ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℤ )
751 elfzel2 ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑖 ∈ ℤ )
752 elfzelz ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
753 173 a1i ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ∈ ℝ )
754 752 zred ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
755 1red ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 1 ∈ ℝ )
756 532 a1i ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 < 1 )
757 elfzle1 ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 1 ≤ 𝑗 )
758 753 755 754 756 757 ltletrd ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 < 𝑗 )
759 753 754 758 ltled ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 0 ≤ 𝑗 )
760 elfzle2 ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗𝑖 )
761 750 751 752 759 760 elfzd ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
762 753 758 gtned ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ≠ 0 )
763 nelsn ( 𝑗 ≠ 0 → ¬ 𝑗 ∈ { 0 } )
764 762 763 syl ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → ¬ 𝑗 ∈ { 0 } )
765 761 764 eldifd ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
766 765 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
767 766 ex ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ) )
768 749 767 impbid ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
769 729 768 alrimi ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ∀ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
770 dfcleq ( ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ↔ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
771 769 770 sylibr ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
772 771 sumeq1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
773 772 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
774 728 773 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
775 697 704 774 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
776 676 775 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
777 fzfid ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 1 ... 𝑖 ) ∈ Fin )
778 187 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
779 766 734 syl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
780 1zzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 1 ∈ ℤ )
781 779 780 zsubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
782 778 781 bccld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
783 782 nn0cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
784 783 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
785 784 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℂ )
786 simpl ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) )
787 fzelp1 ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
788 787 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
789 786 788 552 syl2anc ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
790 788 587 syldan ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
791 789 790 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
792 785 791 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
793 777 792 fsumcl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
794 187 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
795 elfzelz ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
796 795 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
797 794 796 bccld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
798 797 nn0cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
799 798 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
800 799 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
801 simpll ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) )
802 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑥𝑋 )
803 761 ssriv ( 1 ... 𝑖 ) ⊆ ( 0 ... 𝑖 )
804 id ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) )
805 803 804 sseldi ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
806 805 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) )
807 801 802 806 433 syl21anc ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
808 806 435 syldan ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
809 807 808 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
810 800 809 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
811 777 810 fsumcl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
812 660 793 726 811 add4d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
813 oveq1 ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 − 1 ) = ( 𝑘 − 1 ) )
814 813 oveq2d ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) )
815 fveq2 ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶𝑗 ) = ( 𝐶𝑘 ) )
816 815 fveq1d ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) )
817 oveq2 ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
818 817 fveq2d ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
819 818 fveq1d ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
820 816 819 oveq12d ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
821 814 820 oveq12d ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
822 nfcv 𝑘 ( 1 ... 𝑖 )
823 nfcv 𝑗 ( 1 ... 𝑖 )
824 nfcv 𝑘 ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) )
825 347 458 nffv 𝑘 ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 )
826 570 458 nffv 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 )
827 825 455 826 nfov 𝑘 ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) )
828 824 455 827 nfov 𝑘 ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
829 nfcv 𝑗 ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
830 821 822 823 828 829 cbvsum Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
831 830 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
832 831 oveq1d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
833 peano2zm ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
834 796 833 syl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
835 794 834 bccld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
836 835 nn0cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
837 836 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
838 837 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
839 838 809 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
840 777 839 810 fsumadd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
841 840 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
842 836 798 addcomd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
843 bcpasc ( ( 𝑖 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
844 794 796 843 syl2anc ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 C 𝑘 ) + ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) )
845 842 844 eqtr2d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) )
846 845 oveq1d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
847 846 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
848 847 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
849 838 800 809 adddird ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) + ( 𝑖 C 𝑘 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
850 848 849 eqtr2d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
851 850 sumeq2dv ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
852 832 841 851 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
853 852 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
854 peano2nn0 ( 𝑖 ∈ ℕ0 → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
855 794 854 syl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
856 855 796 bccld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
857 856 nn0cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
858 857 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
859 858 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
860 859 809 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
861 777 860 fsumcl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
862 660 726 861 addassd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
863 187 854 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
864 bcn0 ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) = 1 )
865 863 864 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) = 1 )
866 865 701 oveq12d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
867 866 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
868 867 727 eqtr2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
869 771 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
870 869 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 1 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) )
871 870 sumeq1d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
872 868 871 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
873 nfcv 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 )
874 873 455 683 nfov 𝑘 ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
875 199 854 syl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
876 875 201 bccld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
877 876 nn0cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
878 877 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
879 878 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
880 879 436 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
881 oveq2 ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) )
882 881 695 oveq12d ( 𝑘 = 0 → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
883 472 874 439 880 689 882 fsumsplit1 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
884 883 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 0 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 0 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑖 ) ∖ { 0 } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
885 872 884 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
886 885 oveq2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
887 bcnn ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
888 863 887 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
889 888 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) = 1 )
890 889 oveq1d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
891 623 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ 0 ) )
892 891 feq1d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ 0 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
893 658 892 mpbird ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
894 893 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
895 simpr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → 𝑥𝑋 )
896 894 895 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
897 644 896 mulcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
898 897 mulid2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 1 · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
899 625 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) )
900 890 898 899 3eqtrrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
901 fzdifsuc ( 𝑖 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) → ( 0 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
902 686 901 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 0 ... 𝑖 ) = ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) )
903 902 sumeq1d ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
904 903 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
905 900 904 oveq12d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
906 nfcv 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) )
907 633 458 nffv 𝑘 ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 )
908 nfcv 𝑘 ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) )
909 461 908 nffv 𝑘 ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
910 909 458 nffv 𝑘 ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 )
911 907 455 910 nfov 𝑘 ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
912 906 455 911 nfov 𝑘 ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
913 fzfid ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ Fin )
914 863 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℕ0 )
915 elfzelz ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
916 915 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
917 914 916 bccld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
918 917 nn0cnd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
919 918 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
920 919 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
921 628 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
922 96 a1i ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℤ )
923 208 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
924 elfzle1 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
925 924 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
926 916 zred ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
927 914 nn0red ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℝ )
928 213 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
929 elfzle2 ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
930 929 adantl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) )
931 301 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ≤ 𝑁 )
932 926 927 928 930 931 letrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘𝑁 )
933 922 923 916 925 932 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
934 933 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
935 921 934 229 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
936 935 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐶𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
937 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥𝑋 )
938 936 937 ffvelrnd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
939 921 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
940 591 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ℤ )
941 940 916 zsubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℤ )
942 927 926 subge0d ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ ( 𝑖 + 1 ) ) )
943 930 942 mpbird ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) )
944 927 926 resubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
945 928 926 resubcld ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁𝑘 ) ∈ ℝ )
946 928 173 247 sylancl ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 0 ) ∈ ℝ )
947 927 928 926 931 lesub1dd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁𝑘 ) )
948 173 a1i ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 0 ∈ ℝ )
949 948 926 928 925 lesub2dd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
950 944 945 946 947 949 letrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ ( 𝑁 − 0 ) )
951 253 adantr ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 0 ) = 𝑁 )
952 950 951 breqtrd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ≤ 𝑁 )
953 922 923 941 943 952 elfzd ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
954 953 adantll ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
955 954 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
956 fveq2 ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( 𝐷𝑗 ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
957 956 feq1d ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( 𝐷𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
958 310 957 imbi12d ( 𝑗 = ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
959 461 346 nffv 𝑘 ( 𝐷𝑗 )
960 959 348 349 nff 𝑘 ( 𝐷𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ
961 343 960 nfim 𝑘 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
962 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐷𝑘 ) = ( 𝐷𝑗 ) )
963 962 feq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐷𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
964 267 963 imbi12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
965 961 964 583 chvarfv ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
966 308 958 965 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
967 939 955 966 syl2anc ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
968 967 937 ffvelrnd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
969 938 968 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
970 920 969 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
971 863 685 eleqtrrd ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
972 eluzfz2 ( ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
973 971 972 syl ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
974 973 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) )
975 oveq2 ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) )
976 639 fveq1d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) )
977 oveq2 ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) )
978 977 fveq2d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
979 978 fveq1d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
980 976 979 oveq12d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
981 975 980 oveq12d ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
982 472 912 913 970 974 981 fsumsplit1 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
983 982 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑖 + 1 ) C ( 𝑖 + 1 ) ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − ( 𝑖 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ∖ { ( 𝑖 + 1 ) } ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
984 886 905 983 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
985 853 862 984 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 0 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C ( 𝑗 − 1 ) ) · ( ( ( 𝐶𝑗 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑗 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
986 776 812 985 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
987 438 442 986 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑥𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
988 987 mpteq2dva ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) + ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
989 422 988 eqtrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
990 989 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑆 D ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
991 191 193 990 3eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
992 180 181 184 991 syl21anc ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
993 992 3exp ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑖 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑖 ) ( ( 𝑖 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑖𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑖 + 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( ( 𝑖 + 1 ) − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
994 44 57 70 83 179 993 fzind2 ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ( ( 𝑛 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑛𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
995 31 994 vtoclg ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
996 5 16 995 sylc ( 𝜑 → ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
997 12 996 mpd ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥𝑋 ↦ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ‘ 𝑁 ) = ( 𝑥𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐶𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑁𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )