Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ptbas.1 |
|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } |
2 |
|
ptbasfi.2 |
|- X = X_ n e. A U. ( F ` n ) |
3 |
1
|
elpt |
|- ( s e. B <-> E. h ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ s = X_ y e. A ( h ` y ) ) ) |
4 |
|
df-3an |
|- ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) <-> ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) |
5 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) |
6 |
|
disjdif2 |
|- ( ( A i^i m ) = (/) -> ( A \ m ) = A ) |
7 |
6
|
raleqdv |
|- ( ( A i^i m ) = (/) -> ( A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) <-> A. y e. A ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) |
8 |
7
|
biimpac |
|- ( ( A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) /\ ( A i^i m ) = (/) ) -> A. y e. A ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) |
9 |
|
ixpeq2 |
|- ( A. y e. A ( h ` y ) = U. ( F ` y ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = X_ y e. A U. ( F ` y ) ) |
10 |
8 9
|
syl |
|- ( ( A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) /\ ( A i^i m ) = (/) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = X_ y e. A U. ( F ` y ) ) |
11 |
|
fveq2 |
|- ( n = y -> ( F ` n ) = ( F ` y ) ) |
12 |
11
|
unieqd |
|- ( n = y -> U. ( F ` n ) = U. ( F ` y ) ) |
13 |
12
|
cbvixpv |
|- X_ n e. A U. ( F ` n ) = X_ y e. A U. ( F ` y ) |
14 |
2 13
|
eqtri |
|- X = X_ y e. A U. ( F ` y ) |
15 |
10 14
|
eqtr4di |
|- ( ( A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) /\ ( A i^i m ) = (/) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = X ) |
16 |
5 15
|
sylan |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) = (/) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = X ) |
17 |
|
ssv |
|- X C_ _V |
18 |
|
iineq1 |
|- ( ( A i^i m ) = (/) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = |^|_ n e. (/) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
19 |
|
0iin |
|- |^|_ n e. (/) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = _V |
20 |
18 19
|
eqtrdi |
|- ( ( A i^i m ) = (/) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = _V ) |
21 |
17 20
|
sseqtrrid |
|- ( ( A i^i m ) = (/) -> X C_ |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
22 |
21
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) = (/) ) -> X C_ |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
23 |
|
df-ss |
|- ( X C_ |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) <-> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) = X ) |
24 |
22 23
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) = (/) ) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) = X ) |
25 |
16 24
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) = (/) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) ) |
26 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( A e. V /\ F : A --> Top ) ) |
27 |
|
inss1 |
|- ( A i^i m ) C_ A |
28 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> n e. ( A i^i m ) ) |
29 |
27 28
|
sselid |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> n e. A ) |
30 |
|
fveq2 |
|- ( y = n -> ( h ` y ) = ( h ` n ) ) |
31 |
|
fveq2 |
|- ( y = n -> ( F ` y ) = ( F ` n ) ) |
32 |
30 31
|
eleq12d |
|- ( y = n -> ( ( h ` y ) e. ( F ` y ) <-> ( h ` n ) e. ( F ` n ) ) ) |
33 |
|
simprr |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) -> A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) |
34 |
33
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) |
35 |
32 34 29
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( h ` n ) e. ( F ` n ) ) |
36 |
14
|
ptpjpre1 |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( n e. A /\ ( h ` n ) e. ( F ` n ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = X_ y e. A if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
37 |
26 29 35 36
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = X_ y e. A if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
38 |
37
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = X_ y e. A if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
39 |
38
|
iineq2dv |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) X_ y e. A if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
40 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> ( A i^i m ) =/= (/) ) |
41 |
|
cnvimass |
|- ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ dom ( w e. X |-> ( w ` n ) ) |
42 |
|
eqid |
|- ( w e. X |-> ( w ` n ) ) = ( w e. X |-> ( w ` n ) ) |
43 |
42
|
dmmptss |
|- dom ( w e. X |-> ( w ` n ) ) C_ X |
44 |
41 43
|
sstri |
|- ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X |
45 |
44 14
|
sseqtri |
|- ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) |
46 |
45
|
rgenw |
|- A. n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) |
47 |
|
r19.2z |
|- ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ A. n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) ) -> E. n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) ) |
48 |
40 46 47
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> E. n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) ) |
49 |
|
iinss |
|- ( E. n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) ) |
50 |
48 49
|
syl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X_ y e. A U. ( F ` y ) ) |
51 |
50 14
|
sseqtrrdi |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X ) |
52 |
|
sseqin2 |
|- ( |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X <-> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
53 |
51 52
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
54 |
33
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) |
55 |
|
ssralv |
|- ( ( A i^i m ) C_ A -> ( A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. ( A i^i m ) ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) |
56 |
27 55
|
ax-mp |
|- ( A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. ( A i^i m ) ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) |
57 |
|
elssuni |
|- ( ( h ` y ) e. ( F ` y ) -> ( h ` y ) C_ U. ( F ` y ) ) |
58 |
|
iffalse |
|- ( -. y = n -> if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = U. ( F ` y ) ) |
59 |
58
|
sseq2d |
|- ( -. y = n -> ( ( h ` y ) C_ if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) <-> ( h ` y ) C_ U. ( F ` y ) ) ) |
60 |
57 59
|
syl5ibrcom |
|- ( ( h ` y ) e. ( F ` y ) -> ( -. y = n -> ( h ` y ) C_ if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) ) |
61 |
|
ssid |
|- ( h ` y ) C_ ( h ` y ) |
62 |
|
iftrue |
|- ( y = n -> if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = ( h ` n ) ) |
63 |
62 30
|
eqtr4d |
|- ( y = n -> if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = ( h ` y ) ) |
64 |
61 63
|
sseqtrrid |
|- ( y = n -> ( h ` y ) C_ if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
65 |
60 64
|
pm2.61d2 |
|- ( ( h ` y ) e. ( F ` y ) -> ( h ` y ) C_ if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
66 |
65
|
ralrimivw |
|- ( ( h ` y ) e. ( F ` y ) -> A. n e. ( A i^i m ) ( h ` y ) C_ if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
67 |
|
ssiin |
|- ( ( h ` y ) C_ |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) <-> A. n e. ( A i^i m ) ( h ` y ) C_ if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
68 |
66 67
|
sylibr |
|- ( ( h ` y ) e. ( F ` y ) -> ( h ` y ) C_ |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( y e. ( A i^i m ) /\ ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) -> ( h ` y ) C_ |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
70 |
62
|
equcoms |
|- ( n = y -> if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = ( h ` n ) ) |
71 |
|
fveq2 |
|- ( n = y -> ( h ` n ) = ( h ` y ) ) |
72 |
70 71
|
eqtrd |
|- ( n = y -> if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = ( h ` y ) ) |
73 |
72
|
sseq1d |
|- ( n = y -> ( if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) C_ ( h ` y ) <-> ( h ` y ) C_ ( h ` y ) ) ) |
74 |
73
|
rspcev |
|- ( ( y e. ( A i^i m ) /\ ( h ` y ) C_ ( h ` y ) ) -> E. n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) C_ ( h ` y ) ) |
75 |
61 74
|
mpan2 |
|- ( y e. ( A i^i m ) -> E. n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) C_ ( h ` y ) ) |
76 |
|
iinss |
|- ( E. n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) C_ ( h ` y ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) C_ ( h ` y ) ) |
77 |
75 76
|
syl |
|- ( y e. ( A i^i m ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) C_ ( h ` y ) ) |
78 |
77
|
adantr |
|- ( ( y e. ( A i^i m ) /\ ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) C_ ( h ` y ) ) |
79 |
69 78
|
eqssd |
|- ( ( y e. ( A i^i m ) /\ ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) -> ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
80 |
79
|
ralimiaa |
|- ( A. y e. ( A i^i m ) ( h ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. ( A i^i m ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
81 |
54 56 80
|
3syl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> A. y e. ( A i^i m ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
82 |
|
eldifn |
|- ( y e. ( A \ m ) -> -. y e. m ) |
83 |
82
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> -. y e. m ) |
84 |
|
inss2 |
|- ( A i^i m ) C_ m |
85 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> n e. ( A i^i m ) ) |
86 |
84 85
|
sselid |
|- ( ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> n e. m ) |
87 |
|
eleq1 |
|- ( y = n -> ( y e. m <-> n e. m ) ) |
88 |
86 87
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( y = n -> y e. m ) ) |
89 |
83 88
|
mtod |
|- ( ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> -. y = n ) |
90 |
89 58
|
syl |
|- ( ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = U. ( F ` y ) ) |
91 |
90
|
iineq2dv |
|- ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) U. ( F ` y ) ) |
92 |
|
iinconst |
|- ( ( A i^i m ) =/= (/) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) U. ( F ` y ) = U. ( F ` y ) ) |
93 |
92
|
adantr |
|- ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) U. ( F ` y ) = U. ( F ` y ) ) |
94 |
91 93
|
eqtr2d |
|- ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) -> U. ( F ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
95 |
|
eqeq1 |
|- ( ( h ` y ) = U. ( F ` y ) -> ( ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) <-> U. ( F ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) ) |
96 |
94 95
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( A i^i m ) =/= (/) /\ y e. ( A \ m ) ) -> ( ( h ` y ) = U. ( F ` y ) -> ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) ) |
97 |
96
|
ralimdva |
|- ( ( A i^i m ) =/= (/) -> ( A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) -> A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) ) |
98 |
5 97
|
mpan9 |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
99 |
|
inundif |
|- ( ( A i^i m ) u. ( A \ m ) ) = A |
100 |
99
|
raleqi |
|- ( A. y e. ( ( A i^i m ) u. ( A \ m ) ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) <-> A. y e. A ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
101 |
|
ralunb |
|- ( A. y e. ( ( A i^i m ) u. ( A \ m ) ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) <-> ( A. y e. ( A i^i m ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) ) |
102 |
100 101
|
bitr3i |
|- ( A. y e. A ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) <-> ( A. y e. ( A i^i m ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) ) |
103 |
81 98 102
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> A. y e. A ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
104 |
|
ixpeq2 |
|- ( A. y e. A ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = X_ y e. A |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
105 |
103 104
|
syl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = X_ y e. A |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
106 |
|
ixpiin |
|- ( ( A i^i m ) =/= (/) -> X_ y e. A |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) X_ y e. A if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
107 |
106
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> X_ y e. A |^|_ n e. ( A i^i m ) if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) X_ y e. A if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
108 |
105 107
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) X_ y e. A if ( y = n , ( h ` n ) , U. ( F ` y ) ) ) |
109 |
39 53 108
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( A i^i m ) =/= (/) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) ) |
110 |
25 109
|
pm2.61dane |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) = ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) ) |
111 |
|
ixpexg |
|- ( A. n e. A U. ( F ` n ) e. _V -> X_ n e. A U. ( F ` n ) e. _V ) |
112 |
|
fvex |
|- ( F ` n ) e. _V |
113 |
112
|
uniex |
|- U. ( F ` n ) e. _V |
114 |
113
|
a1i |
|- ( n e. A -> U. ( F ` n ) e. _V ) |
115 |
111 114
|
mprg |
|- X_ n e. A U. ( F ` n ) e. _V |
116 |
2 115
|
eqeltri |
|- X e. _V |
117 |
116
|
mptex |
|- ( w e. X |-> ( w ` n ) ) e. _V |
118 |
117
|
cnvex |
|- `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) e. _V |
119 |
118
|
imaex |
|- ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) e. _V |
120 |
119
|
dfiin2 |
|- |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = |^| { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } |
121 |
|
inteq |
|- ( { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = (/) -> |^| { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = |^| (/) ) |
122 |
120 121
|
syl5eq |
|- ( { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = (/) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = |^| (/) ) |
123 |
|
int0 |
|- |^| (/) = _V |
124 |
122 123
|
eqtrdi |
|- ( { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = (/) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) = _V ) |
125 |
124
|
ineq2d |
|- ( { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = (/) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) = ( X i^i _V ) ) |
126 |
|
inv1 |
|- ( X i^i _V ) = X |
127 |
125 126
|
eqtrdi |
|- ( { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = (/) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) = X ) |
128 |
127
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = (/) ) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) = X ) |
129 |
|
snex |
|- { X } e. _V |
130 |
1
|
ptbas |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B e. TopBases ) |
131 |
1 2
|
ptpjpre2 |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( k e. A /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. B ) |
132 |
131
|
ralrimivva |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> A. k e. A A. u e. ( F ` k ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. B ) |
133 |
|
eqid |
|- ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) |
134 |
133
|
fmpox |
|- ( A. k e. A A. u e. ( F ` k ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. B <-> ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) : U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) --> B ) |
135 |
132 134
|
sylib |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) : U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) --> B ) |
136 |
135
|
frnd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) C_ B ) |
137 |
130 136
|
ssexd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V ) |
138 |
|
unexg |
|- ( ( { X } e. _V /\ ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V ) -> ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V ) |
139 |
129 137 138
|
sylancr |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V ) |
140 |
|
ssfii |
|- ( ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V -> ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
141 |
139 140
|
syl |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
142 |
141
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
143 |
|
ssun1 |
|- { X } C_ ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |
144 |
116
|
snss |
|- ( X e. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) <-> { X } C_ ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
145 |
143 144
|
mpbir |
|- X e. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |
146 |
145
|
a1i |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X e. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
147 |
142 146
|
sseldd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
148 |
147
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = (/) ) -> X e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
149 |
128 148
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } = (/) ) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
150 |
139
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V ) |
151 |
|
nfv |
|- F/ n ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) |
152 |
|
nfcv |
|- F/_ n A |
153 |
|
nfcv |
|- F/_ n ( F ` k ) |
154 |
|
nfixp1 |
|- F/_ n X_ n e. A U. ( F ` n ) |
155 |
2 154
|
nfcxfr |
|- F/_ n X |
156 |
|
nfcv |
|- F/_ n ( w ` k ) |
157 |
155 156
|
nfmpt |
|- F/_ n ( w e. X |-> ( w ` k ) ) |
158 |
157
|
nfcnv |
|- F/_ n `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) |
159 |
|
nfcv |
|- F/_ n u |
160 |
158 159
|
nfima |
|- F/_ n ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) |
161 |
152 153 160
|
nfmpo |
|- F/_ n ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) |
162 |
161
|
nfrn |
|- F/_ n ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) |
163 |
162
|
nfcri |
|- F/ n z e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) |
164 |
|
df-ov |
|- ( n ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ( h ` n ) ) = ( ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ` <. n , ( h ` n ) >. ) |
165 |
119
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) e. _V ) |
166 |
|
fveq2 |
|- ( k = n -> ( w ` k ) = ( w ` n ) ) |
167 |
166
|
mpteq2dv |
|- ( k = n -> ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X |-> ( w ` n ) ) ) |
168 |
167
|
cnveqd |
|- ( k = n -> `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) ) |
169 |
168
|
imaeq1d |
|- ( k = n -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " u ) ) |
170 |
|
imaeq2 |
|- ( u = ( h ` n ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " u ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
171 |
169 170
|
sylan9eq |
|- ( ( k = n /\ u = ( h ` n ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
172 |
|
fveq2 |
|- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) ) |
173 |
171 172 133
|
ovmpox |
|- ( ( n e. A /\ ( h ` n ) e. ( F ` n ) /\ ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) e. _V ) -> ( n ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ( h ` n ) ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
174 |
29 35 165 173
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( n ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ( h ` n ) ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
175 |
164 174
|
eqtr3id |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ` <. n , ( h ` n ) >. ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
176 |
135
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) : U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) --> B ) |
177 |
176
|
ffnd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) Fn U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) ) |
178 |
|
opeliunxp |
|- ( <. n , ( h ` n ) >. e. U_ n e. A ( { n } X. ( F ` n ) ) <-> ( n e. A /\ ( h ` n ) e. ( F ` n ) ) ) |
179 |
29 35 178
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> <. n , ( h ` n ) >. e. U_ n e. A ( { n } X. ( F ` n ) ) ) |
180 |
|
sneq |
|- ( n = k -> { n } = { k } ) |
181 |
|
fveq2 |
|- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) ) |
182 |
180 181
|
xpeq12d |
|- ( n = k -> ( { n } X. ( F ` n ) ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) ) |
183 |
182
|
cbviunv |
|- U_ n e. A ( { n } X. ( F ` n ) ) = U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) |
184 |
179 183
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> <. n , ( h ` n ) >. e. U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) ) |
185 |
|
fnfvelrn |
|- ( ( ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) Fn U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) /\ <. n , ( h ` n ) >. e. U_ k e. A ( { k } X. ( F ` k ) ) ) -> ( ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ` <. n , ( h ` n ) >. ) e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |
186 |
177 184 185
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ` <. n , ( h ` n ) >. ) e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |
187 |
175 186
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |
188 |
|
eleq1 |
|- ( z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) -> ( z e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) <-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
189 |
187 188
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ n e. ( A i^i m ) ) -> ( z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) -> z e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
190 |
189
|
ex |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( n e. ( A i^i m ) -> ( z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) -> z e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
191 |
151 163 190
|
rexlimd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) -> z e. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
192 |
191
|
abssdv |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } C_ ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |
193 |
|
ssun2 |
|- ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) C_ ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |
194 |
192 193
|
sstrdi |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } C_ ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
195 |
194
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } C_ ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
196 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) |
197 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> m e. Fin ) |
198 |
|
ssfi |
|- ( ( m e. Fin /\ ( A i^i m ) C_ m ) -> ( A i^i m ) e. Fin ) |
199 |
197 84 198
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> ( A i^i m ) e. Fin ) |
200 |
|
abrexfi |
|- ( ( A i^i m ) e. Fin -> { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } e. Fin ) |
201 |
199 200
|
syl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } e. Fin ) |
202 |
|
elfir |
|- ( ( ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V /\ ( { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } C_ ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } e. Fin ) ) -> |^| { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
203 |
150 195 196 201 202
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> |^| { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
204 |
120 203
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
205 |
|
elssuni |
|- ( |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ U. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
206 |
204 205
|
syl |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ U. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
207 |
|
fiuni |
|- ( ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V -> U. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = U. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
208 |
139 207
|
syl |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = U. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
209 |
116
|
pwid |
|- X e. ~P X |
210 |
209
|
a1i |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X e. ~P X ) |
211 |
210
|
snssd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { X } C_ ~P X ) |
212 |
1
|
ptuni2 |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) = U. B ) |
213 |
2 212
|
syl5eq |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X = U. B ) |
214 |
|
eqimss2 |
|- ( X = U. B -> U. B C_ X ) |
215 |
213 214
|
syl |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B C_ X ) |
216 |
|
sspwuni |
|- ( B C_ ~P X <-> U. B C_ X ) |
217 |
215 216
|
sylibr |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B C_ ~P X ) |
218 |
136 217
|
sstrd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) C_ ~P X ) |
219 |
211 218
|
unssd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ ~P X ) |
220 |
|
sspwuni |
|- ( ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ ~P X <-> U. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ X ) |
221 |
219 220
|
sylib |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ X ) |
222 |
|
elssuni |
|- ( X e. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> X C_ U. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
223 |
145 222
|
mp1i |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X C_ U. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) |
224 |
221 223
|
eqssd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = X ) |
225 |
208 224
|
eqtr3d |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) = X ) |
226 |
225
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> U. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) = X ) |
227 |
206 226
|
sseqtrd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) C_ X ) |
228 |
227 52
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) = |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) |
229 |
228 204
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ { z | E. n e. ( A i^i m ) z = ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) } =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
230 |
149 229
|
pm2.61dane |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( X i^i |^|_ n e. ( A i^i m ) ( `' ( w e. X |-> ( w ` n ) ) " ( h ` n ) ) ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
231 |
110 230
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( m e. Fin /\ A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
232 |
231
|
rexlimdvaa |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) ) -> ( E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) -> X_ y e. A ( h ` y ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ) |
233 |
232
|
impr |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
234 |
4 233
|
sylan2b |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> X_ y e. A ( h ` y ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
235 |
|
eleq1 |
|- ( s = X_ y e. A ( h ` y ) -> ( s e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) <-> X_ y e. A ( h ` y ) e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ) |
236 |
234 235
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) -> ( s = X_ y e. A ( h ` y ) -> s e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ) |
237 |
236
|
expimpd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ s = X_ y e. A ( h ` y ) ) -> s e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ) |
238 |
237
|
exlimdv |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( E. h ( ( h Fn A /\ A. y e. A ( h ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. m e. Fin A. y e. ( A \ m ) ( h ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ s = X_ y e. A ( h ` y ) ) -> s e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ) |
239 |
3 238
|
syl5bi |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( s e. B -> s e. ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ) |
240 |
239
|
ssrdv |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B C_ ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |
241 |
1
|
ptbasid |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ n e. A U. ( F ` n ) e. B ) |
242 |
2 241
|
eqeltrid |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X e. B ) |
243 |
242
|
snssd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { X } C_ B ) |
244 |
243 136
|
unssd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ B ) |
245 |
|
fiss |
|- ( ( B e. TopBases /\ ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) C_ B ) -> ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) C_ ( fi ` B ) ) |
246 |
130 244 245
|
syl2anc |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) C_ ( fi ` B ) ) |
247 |
1
|
ptbasin2 |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B ) |
248 |
246 247
|
sseqtrd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) C_ B ) |
249 |
240 248
|
eqssd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B = ( fi ` ( { X } u. ran ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) |