Theorem brbtwn2

Description: Alternate characterization of betweenness, with no existential quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013)

	Ref	Expression
Assertion	brbtwn2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brbtwn	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
2		fveere	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
3	2	3ad2antl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
4		fveere	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
5	4	3ad2antl3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
6	3 5	jca	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) )
7		resubcl	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
8	7	3adant3	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
9	8	recnd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
10	9	sqvald	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
11	10	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝑡 · - ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑡 · - ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
12		elicc01	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( 𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1 ) )
13	12	simp1bi	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑡 ∈ ℝ )
14	13	recnd	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑡 ∈ ℂ )
15	14	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 𝑡 ∈ ℂ )
16		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
17		resubcl	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℝ )
18	16 13 17	sylancr	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℝ )
19	18	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℝ )
20	19	recnd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℂ )
21	20	negcld	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → - ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℂ )
22	15 9 21 9	mul4d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( - ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 𝑡 · - ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
23		recn	⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
24	23	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
25		recn	⊢ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
26	25	3ad2ant2	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
27	15 24 26	subdid	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
28		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
29		subdir	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
30	28 20 24 29	mp3an2i	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
31		nncan	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) = 𝑡 )
32	28 15 31	sylancr	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) = 𝑡 )
33	32	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) )
34	24	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) )
35	34	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
36	30 33 35	3eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
37	36	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
38		simp1	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
39	19 38	remulcld	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
40	39	recnd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
41	13	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
42		simp2	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
43	41 42	remulcld	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ )
44	43	recnd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
45	24 40 44	subsub4d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
46	27 37 45	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
47	20 9	mulneg1d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( - ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = - ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
48	20 24 26	subdid	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
49		subdir	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
50	28 15 26 49	mp3an2i	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
51	26	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) )
52	51	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
53	50 52	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
54	53	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
55	40 26 44	subsub3d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) )
56	48 54 55	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) )
57	56	negeqd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → - ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = - ( ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) )
58	39 43	readdcld	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℝ )
59	58	recnd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ )
60	59 26	negsubdi2d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → - ( ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
61	47 57 60	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( - ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
62	46 61	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( - ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
63	11 22 62	3eqtr2rd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑡 · - ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
64	15 20	mulneg2d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑡 · - ( 1 − 𝑡 ) ) = - ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) )
65	64	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝑡 · - ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) = ( - ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
66	41 19	remulcld	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) ∈ ℝ )
67	66	recnd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
68	8	resqcld	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ )
69	68	recnd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
70	67 69	mulneg1d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( - ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) = - ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
71	65 70	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝑡 · - ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) = - ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
72	12	simp2bi	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 0 ≤ 𝑡 )
73	12	simp3bi	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑡 ≤ 1 )
74		subge0	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝑡 ) ↔ 𝑡 ≤ 1 ) )
75	16 13 74	sylancr	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝑡 ) ↔ 𝑡 ≤ 1 ) )
76	73 75	mpbird	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 0 ≤ ( 1 − 𝑡 ) )
77	13 18 72 76	mulge0d	⊢ ( 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 0 ≤ ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) )
78	77	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 0 ≤ ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) )
79	8	sqge0d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 0 ≤ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) )
80	66 68 78 79	mulge0d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
81	66 68	remulcld	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ )
82	81	le0neg2d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ - ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) )
83	80 82	mpbid	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → - ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ≤ 0 )
84	71 83	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 𝑡 · - ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ≤ 0 )
85	63 84	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 )
86	85	3expa	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 )
87	6 86	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 )
88	87	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 )
89	88	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 )
90		fveecn	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
91		fveecn	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
92	90 91	anim12i	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) )
93	92	anandirs	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) )
94		fveecn	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ )
95		fveecn	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ )
96	94 95	anim12i	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) )
97	96	anandirs	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) )
98	93 97	anim12dan	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ) )
99	98	3adantl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ) )
100		subcl	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
101	100	3ad2ant1	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
102		subcl	⊢ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ )
103	102	ancoms	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ )
104	103	3ad2ant2	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ )
105	101 104	mulcomd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
106		simp2r	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ )
107		simp2l	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ )
108		simp1l	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
109		simp1r	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
110		mulsub2	⊢ ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
111	106 107 108 109 110	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
112	105 111	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
113	112	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
114		simp3	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → 𝑡 ∈ ℂ )
115		subcl	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℂ )
116	28 115	mpan	⊢ ( 𝑡 ∈ ℂ → ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℂ )
117	116	3ad2ant3	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℂ )
118	114 117 101 104	mul4d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
119	114 108 109	subdid	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
120	28 117 108 29	mp3an2i	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
121	28 31	mpan	⊢ ( 𝑡 ∈ ℂ → ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) = 𝑡 )
122	121	3ad2ant3	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) = 𝑡 )
123	122	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) )
124	108	mulid2d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) )
125	124	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
126	120 123 125	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
127	126	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
128	117 108	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
129	114 109	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
130	108 128 129	subsub4d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
131	119 127 130	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
132	117 106 107	subdid	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) )
133		subdir	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
134	28 114 106 133	mp3an2i	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
135	106	mulid2d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) )
136	135	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
137	134 136	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
138	137	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) )
139	132 138	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) )
140	114 106	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ )
141	117 107	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ )
142	106 140 141	sub32d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
143	106 141 140	subsub4d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
144	139 142 143	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
145	131 144	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
146	118 145	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
147		subcl	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ )
148	147	3ad2ant2	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ )
149		subcl	⊢ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
150	149	ancoms	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
151	150	3ad2ant1	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ )
152	114 117 148 151	mul4d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
153	114 107 106	subdid	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
154		subdir	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 1 − 𝑡 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) )
155	28 117 107 154	mp3an2i	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) )
156	122	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( 1 − 𝑡 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) )
157	107	mulid2d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) )
158	157	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) )
159	155 156 158	3eqtr3rd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) )
160	159	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑡 · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
161	107 141 140	subsub4d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
162	153 160 161	3eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
163	117 109 108	subdid	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
164	28 114 109 49	mp3an2i	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
165	109	mulid2d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) )
166	165	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
167	164 166	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
168	167	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
169	109 129 128	sub32d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
170	109 128 129	subsub4d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
171	169 170	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
172	163 168 171	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
173	162 172	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑡 · ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( ( 1 − 𝑡 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
174	152 173	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑡 · ( 1 − 𝑡 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
175	113 146 174	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
176	175	3expa	⊢ ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) ) ∧ 𝑡 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
177	99 14 176	syl2an	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
178	177	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
179	178	ralrimivva	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
180		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) )
181		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) )
182	181	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) )
183		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) )
184	183	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) )
185	182 184	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
186	180 185	eqeq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
187	186	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
188		oveq2	⊢ ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
189		oveq2	⊢ ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
190	188 189	oveq12d	⊢ ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
191	190	breq1d	⊢ ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 ) )
192	187 191	syl	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 ) )
193	192	ralbidva	⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 ) )
194		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) )
195		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) )
196	195	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) )
197		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) )
198	197	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) )
199	196 198	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
200	194 199	eqeq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
201	200	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) )
202		oveq2	⊢ ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
203	188 202	oveqan12d	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
204		oveq2	⊢ ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
205	204 189	oveqan12rd	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
206	203 205	eqeq12d	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) )
207	187 201 206	syl2an	⊢ ( ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) )
208	207	anandis	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) )
209	208	2ralbidva	⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) )
210	193 209	anbi12d	⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) )
211	210	biimprcd	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
212	89 179 211	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
213	212	rexlimdva	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
214		fveere	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
215	214	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
216		mulsuble0b	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
217	3 215 5 216	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
218	217	ralbidva	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
219	218	anbi1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
220		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
221		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
222		eqeefv	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) )
223	220 221 222	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) )
224	3	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
225	215	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
226	224 225	letri3d	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
227		pm4.25	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
228		fveq1	⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) )
229	228	breq2d	⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) )
230	229	anbi2d	⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) )
231	228	breq1d	⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) )
232	231	anbi1d	⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) )
233	230 232	orbi12d	⊢ ( 𝐵 = 𝐶 → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
234	233	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
235	227 234	syl5bb	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
236	226 235	bitrd	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
237	236	ralbidva	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
238	223 237	bitrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
239	238	biimprd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) → 𝐵 = 𝐴 ) )
240	239	adantrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐵 = 𝐶 ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → 𝐵 = 𝐴 ) )
241	240	ex	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 = 𝐶 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → 𝐵 = 𝐴 ) ) )
242		0elunit	⊢ 0 ∈ ( 0 [,] 1 )
243		fveecn	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
244	243	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
245		fveecn	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
246	245	3ad2antl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
247		fveecn	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
248	247	3ad2antl3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
249	244 246 248	3jca	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) )
250		mulid2	⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ → ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
251		mul02	⊢ ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ → ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) = 0 )
252	250 251	oveqan12d	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) + 0 ) )
253		addid1	⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) + 0 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
254	253	adantr	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) + 0 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
255	252 254	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
256	255	3adant1	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
257	256	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴 ) ) → ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
258		fveq1	⊢ ( 𝐵 = 𝐴 → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
259	258	ad2antll	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
260	257 259	eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
261	249 260	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
262	261	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
263	262	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
264		oveq2	⊢ ( 𝑡 = 0 → ( 1 − 𝑡 ) = ( 1 − 0 ) )
265		1m0e1	⊢ ( 1 − 0 ) = 1
266	264 265	eqtrdi	⊢ ( 𝑡 = 0 → ( 1 − 𝑡 ) = 1 )
267	266	oveq1d	⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) = ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) )
268		oveq1	⊢ ( 𝑡 = 0 → ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) = ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) )
269	267 268	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
270	269	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
271	270	ralbidv	⊢ ( 𝑡 = 0 → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
272	271	rspcev	⊢ ( ( 0 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( 1 · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
273	242 263 272	sylancr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐴 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
274	273	exp32	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 = 𝐶 → ( 𝐵 = 𝐴 → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
275	241 274	syldd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 = 𝐶 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
276		eqeefv	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 = 𝐶 ↔ ∀ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
277	276	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 = 𝐶 ↔ ∀ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
278	277	necon3abid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ≠ 𝐶 ↔ ¬ ∀ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
279		df-ne	⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ ¬ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
280	279	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ¬ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
281		rexnal	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ¬ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ ¬ ∀ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
282	280 281	bitri	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ ¬ ∀ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
283	278 282	bitr4di	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ≠ 𝐶 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
284		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) )
285		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) )
286	284 285	breq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) )
287		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
288	285 287	breq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
289	286 288	anbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
290	287 285	breq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) )
291	285 284	breq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
292	290 291	anbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
293	289 292	orbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
294	293	rspcv	⊢ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
295	294	ad2antrl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
296		simprr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
297		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
298		simpl	⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
299		fveere	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ )
300	297 298 299	syl2an	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ )
301		simp3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
302		fveere	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ )
303	301 298 302	syl2an	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ )
304		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
305		simprl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
306		fveere	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ )
307	304 305 306	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ )
308	300 303 307	lesub1d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
309	308	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
310	296 309	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
311	300 307	resubcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ )
312	311	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ )
313		simprl	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) )
314	300 307	subge0d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) )
315	314	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) )
316	313 315	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
317	303 307	resubcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ )
318	317	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ )
319		letr	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
320	307 300 303 319	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
321	320	imp	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
322		simplrr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
323	322	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) )
324	307 303	ltlend	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
325	324	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
326	321 323 325	mpbir2and	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
327	307 303	posdifd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ 0 < ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
328	327	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ↔ 0 < ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
329	326 328	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → 0 < ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
330		divelunit	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
331	312 316 318 329 330	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
332	310 331	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) )
333	300	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
334	307	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
335	303	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
336		simprr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
337	336	necomd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) )
338	333 334 335 334 337	div2subd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
339	338	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
340		simprl	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) )
341	303 300 307	lesub2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
342	341	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
343	340 342	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
344	307 300	resubcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ )
345	344	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ )
346		simprr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) )
347	307 300	subge0d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
348	347	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
349	346 348	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) )
350	307 303	resubcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ )
351	350	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ )
352		letr	⊢ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
353	303 300 307 352	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
354	353	imp	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) )
355		simplrr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
356	303 307	ltlend	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ↔ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
357	356	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ↔ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
358	354 355 357	mpbir2and	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) )
359	303 307	posdifd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ↔ 0 < ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
360	359	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) < ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ↔ 0 < ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
361	358 360	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → 0 < ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) )
362		divelunit	⊢ ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
363	345 349 351 361 362	syl22anc	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ≤ ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) )
364	343 363	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) )
365	339 364	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) )
366	332 365	jaodan	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) )
367	366	ex	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) ) )
368	295 367	syld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) ) )
369		simp2l	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
370		simp3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
371	284 285	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) )
372	371	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) )
373	287 285	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) )
374	373	oveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) )
375	372 374	eqeq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑝 → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
376		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) )
377		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
378	376 377	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) )
379	378	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
380		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
381	380 377	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) )
382	381	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) )
383	379 382	eqeq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
384	375 383	rspc2v	⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
385	369 370 384	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
386		simp11	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
387	386 370 243	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
388		simp12	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
389	388 370 245	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
390		simp13	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
391	390 370 247	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
392	333	3adant3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
393	334	3adant3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
394	335	3adant3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
395		simp2r	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) )
396	395	necomd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) )
397		simpl23	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
398		simpl21	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
399	397 398	subcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
400		simpl12	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
401	399 400	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
402		simpl22	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ )
403	398 402	subcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
404		simpl13	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
405	403 404	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
406	397 402	subcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
407		simpl3	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) )
408	397 402 407	subne0d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ≠ 0 )
409	401 405 406 408	divdird	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
410		npncan2	⊢ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) + ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = 0 )
411	402 398 410	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) + ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = 0 )
412	411	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) + ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) = ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) )
413	402 398	subcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
414	413 403 404	adddird	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) + ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
415	404	mul02d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 0 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) = 0 )
416	412 414 415	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = 0 )
417	416	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 0 + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
418	413 404	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
419		simpl11	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
420	406 419	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
421	418 405 420	add32d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
422	420	addid2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 0 + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) )
423	417 421 422	3eqtr3rd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
424	399 419	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
425	413 419	mulcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
426	418 424 425	addsubd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
427	397 402 398	nnncan2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) )
428	427	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) )
429	399 413 419	subdird	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) − ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
430	428 429	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
431	430	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
432	418 424 425	addsubassd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
433	431 432	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
434	413 404 419	subdid	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
435	434	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) − ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
436	426 433 435	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
437	436	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
438	423 437	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
439		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) )
440	439	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
441	440	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
442	400 419	subcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
443	442 399	mulcomd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
444	443	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
445	399 442 419	adddid	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) )
446	400 419	npcand	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) )
447	446	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) )
448	444 445 447	3eqtr2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) )
449	448	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) + ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
450	438 441 449	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
451	401 405	addcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
452	451 406 419 408	divmuld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ↔ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
453	450 452	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
454	399 400 406 408	div23d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) )
455	406 403 406 408	divsubdird	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
456	397 398 402	nnncan2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) )
457	456	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) )
458	406 408	dividd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = 1 )
459	458	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) = ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
460	455 457 459	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
461	460	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) )
462	454 461	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) )
463	403 404 406 408	div23d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) )
464	462 463	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
465	409 453 464	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ∧ ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
466	465	ex	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
467	387 389 391 392 393 394 396 466	syl331anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
468	385 467	syld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
469	468	3expia	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
470	469	com23	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
471	470	ralrimdv	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
472	368 471	anim12d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
473		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 1 − 𝑡 ) = ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) )
474	473	oveq1d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) )
475		oveq1	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) )
476	474 475	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
477	476	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ↔ ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
478	477	ralbidv	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
479	478	rspcev	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) / ( ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ) ) · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) )
480	472 479	syl6	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
481	480	rexlimdvaa	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑝 ) ≠ ( 𝐶 ‘ 𝑝 ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
482	283 481	sylbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ≠ 𝐶 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
483	275 482	pm2.61dne	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ∨ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
484	219 483	sylbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
485	213 484	impbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 1 − 𝑡 ) · ( 𝐵 ‘ 𝑘 ) ) + ( 𝑡 · ( 𝐶 ‘ 𝑘 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
486	1 485	bitrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )