Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elrgspn.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
elrgspn.m |
|- M = ( mulGrp ` R ) |
3 |
|
elrgspn.x |
|- .x. = ( .g ` R ) |
4 |
|
elrgspn.n |
|- N = ( RingSpan ` R ) |
5 |
|
elrgspn.f |
|- F = { f e. ( ZZ ^m Word A ) | f finSupp 0 } |
6 |
|
elrgspn.r |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
7 |
|
elrgspn.a |
|- ( ph -> A C_ B ) |
8 |
|
elrgspnlem1.1 |
|- S = ran ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
9 |
1
|
a1i |
|- ( ph -> B = ( Base ` R ) ) |
10 |
4
|
a1i |
|- ( ph -> N = ( RingSpan ` R ) ) |
11 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( N ` A ) = ( N ` A ) ) |
12 |
6 9 7 10 11
|
rgspnval |
|- ( ph -> ( N ` A ) = |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } ) |
13 |
|
sseq2 |
|- ( t = S -> ( A C_ t <-> A C_ S ) ) |
14 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
elrgspnlem2 |
|- ( ph -> S e. ( SubRing ` R ) ) |
15 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
elrgspnlem3 |
|- ( ph -> A C_ S ) |
16 |
13 14 15
|
elrabd |
|- ( ph -> S e. { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } ) |
17 |
|
intss1 |
|- ( S e. { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } -> |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } C_ S ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ph -> |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } C_ S ) |
19 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) /\ g e. F ) /\ s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) -> s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
20 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> ( g supp 0 ) = ( g supp 0 ) ) |
21 |
|
oveq1 |
|- ( f = g -> ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) ) |
22 |
21
|
eqeq1d |
|- ( f = g -> ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) <-> ( g supp 0 ) = ( g supp 0 ) ) ) |
23 |
|
fveq1 |
|- ( f = g -> ( f ` w ) = ( g ` w ) ) |
24 |
23
|
oveq1d |
|- ( f = g -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) |
25 |
24
|
mpteq2dv |
|- ( f = g -> ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( f = g -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
eleq1d |
|- ( f = g -> ( ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t <-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
28 |
22 27
|
imbi12d |
|- ( f = g -> ( ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( g supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
29 |
|
eqeq2 |
|- ( i = (/) -> ( ( f supp 0 ) = i <-> ( f supp 0 ) = (/) ) ) |
30 |
29
|
imbi1d |
|- ( i = (/) -> ( ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = (/) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
31 |
30
|
ralbidv |
|- ( i = (/) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = (/) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
32 |
|
eqeq2 |
|- ( i = h -> ( ( f supp 0 ) = i <-> ( f supp 0 ) = h ) ) |
33 |
32
|
imbi1d |
|- ( i = h -> ( ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
34 |
33
|
ralbidv |
|- ( i = h -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
35 |
|
eqeq2 |
|- ( i = ( h u. { x } ) -> ( ( f supp 0 ) = i <-> ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) ) |
36 |
35
|
imbi1d |
|- ( i = ( h u. { x } ) -> ( ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
37 |
36
|
ralbidv |
|- ( i = ( h u. { x } ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
38 |
|
eqeq2 |
|- ( i = ( g supp 0 ) -> ( ( f supp 0 ) = i <-> ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) ) ) |
39 |
38
|
imbi1d |
|- ( i = ( g supp 0 ) -> ( ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
40 |
39
|
ralbidv |
|- ( i = ( g supp 0 ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
41 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
42 |
6
|
ringcmnd |
|- ( ph -> R e. CMnd ) |
43 |
42
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> R e. CMnd ) |
44 |
1
|
fvexi |
|- B e. _V |
45 |
44
|
a1i |
|- ( ph -> B e. _V ) |
46 |
45 7
|
ssexd |
|- ( ph -> A e. _V ) |
47 |
|
wrdexg |
|- ( A e. _V -> Word A e. _V ) |
48 |
46 47
|
syl |
|- ( ph -> Word A e. _V ) |
49 |
48
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> Word A e. _V ) |
50 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> ph ) |
51 |
5
|
reqabi |
|- ( f e. F <-> ( f e. ( ZZ ^m Word A ) /\ f finSupp 0 ) ) |
52 |
51
|
simplbi |
|- ( f e. F -> f e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
53 |
52
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> f e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
54 |
|
zex |
|- ZZ e. _V |
55 |
54
|
a1i |
|- ( ph -> ZZ e. _V ) |
56 |
55 48
|
elmapd |
|- ( ph -> ( f e. ( ZZ ^m Word A ) <-> f : Word A --> ZZ ) ) |
57 |
56
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ f e. ( ZZ ^m Word A ) ) -> f : Word A --> ZZ ) |
58 |
50 53 57
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> f : Word A --> ZZ ) |
59 |
58
|
ffnd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> f Fn Word A ) |
60 |
59
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> f Fn Word A ) |
61 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> Word A e. _V ) |
62 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> 0 e. ZZ ) |
63 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> w e. ( Word A \ (/) ) ) |
64 |
63
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> w e. Word A ) |
65 |
63
|
eldifbd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> -. w e. (/) ) |
66 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( f supp 0 ) = (/) ) |
67 |
65 66
|
neleqtrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> -. w e. ( f supp 0 ) ) |
68 |
64 67
|
eldifd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> w e. ( Word A \ ( f supp 0 ) ) ) |
69 |
60 61 62 68
|
fvdifsupp |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( f ` w ) = 0 ) |
70 |
69
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0 .x. ( M gsum w ) ) ) |
71 |
2
|
ringmgp |
|- ( R e. Ring -> M e. Mnd ) |
72 |
6 71
|
syl |
|- ( ph -> M e. Mnd ) |
73 |
72
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> M e. Mnd ) |
74 |
|
sswrd |
|- ( A C_ B -> Word A C_ Word B ) |
75 |
7 74
|
syl |
|- ( ph -> Word A C_ Word B ) |
76 |
75
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> Word A C_ Word B ) |
77 |
76 64
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> w e. Word B ) |
78 |
2 1
|
mgpbas |
|- B = ( Base ` M ) |
79 |
78
|
gsumwcl |
|- ( ( M e. Mnd /\ w e. Word B ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
80 |
73 77 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
81 |
1 41 3
|
mulg0 |
|- ( ( M gsum w ) e. B -> ( 0 .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
82 |
80 81
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( 0 .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
83 |
70 82
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
84 |
|
0fi |
|- (/) e. Fin |
85 |
84
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> (/) e. Fin ) |
86 |
6
|
ringgrpd |
|- ( ph -> R e. Grp ) |
87 |
86
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> R e. Grp ) |
88 |
58
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> f : Word A --> ZZ ) |
89 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> w e. Word A ) |
90 |
88 89
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> ( f ` w ) e. ZZ ) |
91 |
72
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> M e. Mnd ) |
92 |
75
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> Word A C_ Word B ) |
93 |
92 89
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> w e. Word B ) |
94 |
91 93 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
95 |
1 3 87 90 94
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) e. B ) |
96 |
|
0ss |
|- (/) C_ Word A |
97 |
96
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> (/) C_ Word A ) |
98 |
1 41 43 49 83 85 95 97
|
gsummptres2 |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. (/) |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
99 |
|
mpt0 |
|- ( w e. (/) |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = (/) |
100 |
99
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( w e. (/) |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = (/) ) |
101 |
100
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum ( w e. (/) |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum (/) ) ) |
102 |
41
|
gsum0 |
|- ( R gsum (/) ) = ( 0g ` R ) |
103 |
102
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum (/) ) = ( 0g ` R ) ) |
104 |
98 101 103
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) |
105 |
|
subrgsubg |
|- ( t e. ( SubRing ` R ) -> t e. ( SubGrp ` R ) ) |
106 |
41
|
subg0cl |
|- ( t e. ( SubGrp ` R ) -> ( 0g ` R ) e. t ) |
107 |
105 106
|
syl |
|- ( t e. ( SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) e. t ) |
108 |
107
|
adantl |
|- ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. t ) |
109 |
108
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( 0g ` R ) e. t ) |
110 |
104 109
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
111 |
110
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> ( ( f supp 0 ) = (/) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
112 |
111
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = (/) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
113 |
42
|
ad7antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> R e. CMnd ) |
114 |
48
|
ad7antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Word A e. _V ) |
115 |
|
simp-5l |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) -> ph ) |
116 |
|
breq1 |
|- ( f = e -> ( f finSupp 0 <-> e finSupp 0 ) ) |
117 |
116 5
|
elrab2 |
|- ( e e. F <-> ( e e. ( ZZ ^m Word A ) /\ e finSupp 0 ) ) |
118 |
117
|
simplbi |
|- ( e e. F -> e e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
119 |
55 48
|
elmapd |
|- ( ph -> ( e e. ( ZZ ^m Word A ) <-> e : Word A --> ZZ ) ) |
120 |
119
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ e e. ( ZZ ^m Word A ) ) -> e : Word A --> ZZ ) |
121 |
118 120
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ e e. F ) -> e : Word A --> ZZ ) |
122 |
115 121
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) -> e : Word A --> ZZ ) |
123 |
122
|
adantl3r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) -> e : Word A --> ZZ ) |
124 |
123
|
ffnd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) -> e Fn Word A ) |
125 |
124
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> e Fn Word A ) |
126 |
114
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> Word A e. _V ) |
127 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> 0 e. ZZ ) |
128 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) |
129 |
125 126 127 128
|
fvdifsupp |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( e ` w ) = 0 ) |
130 |
129
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0 .x. ( M gsum w ) ) ) |
131 |
72
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> M e. Mnd ) |
132 |
75
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> Word A C_ Word B ) |
133 |
128
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> w e. Word A ) |
134 |
132 133
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> w e. Word B ) |
135 |
131 134 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
136 |
135 81
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( 0 .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
137 |
130 136
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
138 |
117
|
simprbi |
|- ( e e. F -> e finSupp 0 ) |
139 |
138
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e finSupp 0 ) |
140 |
139
|
fsuppimpd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e supp 0 ) e. Fin ) |
141 |
86
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> R e. Grp ) |
142 |
123
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> e : Word A --> ZZ ) |
143 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> w e. Word A ) |
144 |
142 143
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( e ` w ) e. ZZ ) |
145 |
72
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> M e. Mnd ) |
146 |
75
|
ad7antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Word A C_ Word B ) |
147 |
146
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> w e. Word B ) |
148 |
145 147 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
149 |
1 3 141 144 148
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) e. B ) |
150 |
|
suppssdm |
|- ( e supp 0 ) C_ dom e |
151 |
123
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e : Word A --> ZZ ) |
152 |
150 151
|
fssdm |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e supp 0 ) C_ Word A ) |
153 |
1 41 113 114 137 140 149 152
|
gsummptres2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. ( e supp 0 ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
154 |
153
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. ( e supp 0 ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
155 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) |
156 |
155
|
mpteq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( w e. ( e supp 0 ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. ( h u. { x } ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
157 |
156
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. ( e supp 0 ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. ( h u. { x } ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
158 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
159 |
|
breq1 |
|- ( f = g -> ( f finSupp 0 <-> g finSupp 0 ) ) |
160 |
159 5
|
elrab2 |
|- ( g e. F <-> ( g e. ( ZZ ^m Word A ) /\ g finSupp 0 ) ) |
161 |
160
|
simprbi |
|- ( g e. F -> g finSupp 0 ) |
162 |
161
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> g finSupp 0 ) |
163 |
162
|
fsuppimpd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> ( g supp 0 ) e. Fin ) |
164 |
163
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( g supp 0 ) e. Fin ) |
165 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> h C_ ( g supp 0 ) ) |
166 |
164 165
|
ssfid |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> h e. Fin ) |
167 |
86
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> R e. Grp ) |
168 |
151
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> e : Word A --> ZZ ) |
169 |
|
suppssdm |
|- ( g supp 0 ) C_ dom g |
170 |
|
simp-7l |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ph ) |
171 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> g e. F ) |
172 |
160
|
simplbi |
|- ( g e. F -> g e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
173 |
55 48
|
elmapd |
|- ( ph -> ( g e. ( ZZ ^m Word A ) <-> g : Word A --> ZZ ) ) |
174 |
173
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ g e. ( ZZ ^m Word A ) ) -> g : Word A --> ZZ ) |
175 |
172 174
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ g e. F ) -> g : Word A --> ZZ ) |
176 |
170 171 175
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> g : Word A --> ZZ ) |
177 |
169 176
|
fssdm |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( g supp 0 ) C_ Word A ) |
178 |
165 177
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> h C_ Word A ) |
179 |
178
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> w e. Word A ) |
180 |
168 179
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( e ` w ) e. ZZ ) |
181 |
179 148
|
syldan |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
182 |
1 3 167 180 181
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) e. B ) |
183 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) |
184 |
183
|
eldifbd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> -. x e. h ) |
185 |
170 86
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> R e. Grp ) |
186 |
183
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. ( g supp 0 ) ) |
187 |
177 186
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. Word A ) |
188 |
151 187
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e ` x ) e. ZZ ) |
189 |
170 72
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> M e. Mnd ) |
190 |
146 187
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. Word B ) |
191 |
78
|
gsumwcl |
|- ( ( M e. Mnd /\ x e. Word B ) -> ( M gsum x ) e. B ) |
192 |
189 190 191
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( M gsum x ) e. B ) |
193 |
1 3 185 188 192
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) e. B ) |
194 |
|
fveq2 |
|- ( w = x -> ( e ` w ) = ( e ` x ) ) |
195 |
|
oveq2 |
|- ( w = x -> ( M gsum w ) = ( M gsum x ) ) |
196 |
194 195
|
oveq12d |
|- ( w = x -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) |
197 |
1 158 113 166 182 183 184 193 196
|
gsumunsn |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. ( h u. { x } ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) ) |
198 |
197
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. ( h u. { x } ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) ) |
199 |
154 157 198
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) ) |
200 |
105
|
ad8antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> t e. ( SubGrp ` R ) ) |
201 |
124
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e Fn Word A ) |
202 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> 0 e. ZZ ) |
203 |
201 187 202
|
fmptunsnop |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
204 |
203
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
205 |
204
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) ) |
206 |
|
eqid |
|- ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) |
207 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ y = x ) -> 0 = 0 ) |
208 |
201
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> e Fn Word A ) |
209 |
114
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> Word A e. _V ) |
210 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> 0 e. ZZ ) |
211 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> y = w ) |
212 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> w e. ( Word A \ h ) ) |
213 |
212
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> w e. Word A ) |
214 |
211 213
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> y e. Word A ) |
215 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) |
216 |
212
|
eldifbd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. w e. h ) |
217 |
211 216
|
eqneltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. y e. h ) |
218 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. y = x ) |
219 |
218
|
neqned |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> y =/= x ) |
220 |
|
nelsn |
|- ( y =/= x -> -. y e. { x } ) |
221 |
219 220
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. y e. { x } ) |
222 |
|
nelun |
|- ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( -. y e. ( e supp 0 ) <-> ( -. y e. h /\ -. y e. { x } ) ) ) |
223 |
222
|
biimpar |
|- ( ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) /\ ( -. y e. h /\ -. y e. { x } ) ) -> -. y e. ( e supp 0 ) ) |
224 |
215 217 221 223
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. y e. ( e supp 0 ) ) |
225 |
214 224
|
eldifd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> y e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) |
226 |
208 209 210 225
|
fvdifsupp |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> ( e ` y ) = 0 ) |
227 |
207 226
|
ifeqda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) = 0 ) |
228 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> w e. ( Word A \ h ) ) |
229 |
228
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> w e. Word A ) |
230 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> 0 e. ZZ ) |
231 |
206 227 229 230
|
fvmptd2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = 0 ) |
232 |
205 231
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) = 0 ) |
233 |
232
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0 .x. ( M gsum w ) ) ) |
234 |
229 148
|
syldan |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
235 |
234 81
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( 0 .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
236 |
233 235
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
237 |
203
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
238 |
237
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) ) |
239 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ y = x ) -> 0 e. ZZ ) |
240 |
151
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> e : Word A --> ZZ ) |
241 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> y e. Word A ) |
242 |
240 241
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> ( e ` y ) e. ZZ ) |
243 |
239 242
|
ifclda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) e. ZZ ) |
244 |
243
|
fmpttd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) : Word A --> ZZ ) |
245 |
244
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) e. ZZ ) |
246 |
238 245
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) e. ZZ ) |
247 |
1 3 141 246 148
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) e. B ) |
248 |
1 41 113 114 236 166 247 178
|
gsummptres2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
249 |
248
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
250 |
203
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
251 |
250
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) ) |
252 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> y = w ) |
253 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> w e. h ) |
254 |
252 253
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> y e. h ) |
255 |
184
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> -. x e. h ) |
256 |
|
nelneq |
|- ( ( y e. h /\ -. x e. h ) -> -. y = x ) |
257 |
254 255 256
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> -. y = x ) |
258 |
257
|
iffalsed |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) = ( e ` y ) ) |
259 |
252
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> ( e ` y ) = ( e ` w ) ) |
260 |
258 259
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) = ( e ` w ) ) |
261 |
206 260 179 180
|
fvmptd2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = ( e ` w ) ) |
262 |
251 261
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) = ( e ` w ) ) |
263 |
262
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) |
264 |
263
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
265 |
264
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
266 |
265
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
267 |
249 266
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
268 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e e. F ) |
269 |
268
|
resexd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e |` ( Word A \ { x } ) ) e. _V ) |
270 |
|
snex |
|- { <. x , 0 >. } e. _V |
271 |
270
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> { <. x , 0 >. } e. _V ) |
272 |
269 271 202
|
suppun2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) supp 0 ) u. ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) ) ) |
273 |
114 202 201
|
fdifsupp |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) supp 0 ) = ( ( e supp 0 ) \ { x } ) ) |
274 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) |
275 |
274
|
difeq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e supp 0 ) \ { x } ) = ( ( h u. { x } ) \ { x } ) ) |
276 |
|
disjsn |
|- ( ( h i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. h ) |
277 |
|
undif5 |
|- ( ( h i^i { x } ) = (/) -> ( ( h u. { x } ) \ { x } ) = h ) |
278 |
276 277
|
sylbir |
|- ( -. x e. h -> ( ( h u. { x } ) \ { x } ) = h ) |
279 |
184 278
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( h u. { x } ) \ { x } ) = h ) |
280 |
273 275 279
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) supp 0 ) = h ) |
281 |
|
vex |
|- x e. _V |
282 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
283 |
281 282
|
xpsn |
|- ( { x } X. { 0 } ) = { <. x , 0 >. } |
284 |
283
|
oveq1i |
|- ( ( { x } X. { 0 } ) supp 0 ) = ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) |
285 |
|
fczsupp0 |
|- ( ( { x } X. { 0 } ) supp 0 ) = (/) |
286 |
284 285
|
eqtr3i |
|- ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) = (/) |
287 |
286
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) = (/) ) |
288 |
280 287
|
uneq12d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) supp 0 ) u. ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) ) = ( h u. (/) ) ) |
289 |
|
un0 |
|- ( h u. (/) ) = h |
290 |
289
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( h u. (/) ) = h ) |
291 |
272 288 290
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h ) |
292 |
291
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h ) |
293 |
|
oveq1 |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( f supp 0 ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) ) |
294 |
293
|
eqeq1d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( ( f supp 0 ) = h <-> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h ) ) |
295 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( f ` w ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) ) |
296 |
295
|
oveq1d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) |
297 |
296
|
mpteq2dv |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
298 |
297
|
oveq2d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
299 |
298
|
eleq1d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t <-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
300 |
294 299
|
imbi12d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
301 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
302 |
|
breq1 |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( f finSupp 0 <-> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) finSupp 0 ) ) |
303 |
54
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ZZ e. _V ) |
304 |
114
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Word A e. _V ) |
305 |
203
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
306 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ y = x ) -> 0 e. ZZ ) |
307 |
|
simp-10l |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> ph ) |
308 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> e e. F ) |
309 |
307 308 121
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> e : Word A --> ZZ ) |
310 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> y e. Word A ) |
311 |
309 310
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> ( e ` y ) e. ZZ ) |
312 |
306 311
|
ifclda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) e. ZZ ) |
313 |
312
|
fmpttd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) : Word A --> ZZ ) |
314 |
305 313
|
feq1dd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) : Word A --> ZZ ) |
315 |
303 304 314
|
elmapdd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
316 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> 0 e. ZZ ) |
317 |
314
|
ffund |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Fun ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
318 |
166
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> h e. Fin ) |
319 |
292 318
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) e. Fin ) |
320 |
315 316 317 319
|
isfsuppd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) finSupp 0 ) |
321 |
302 315 320
|
elrabd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) e. { f e. ( ZZ ^m Word A ) | f finSupp 0 } ) |
322 |
321 5
|
eleqtrrdi |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) e. F ) |
323 |
300 301 322
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
324 |
292 323
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
325 |
267 324
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
326 |
86
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> R e. Grp ) |
327 |
2
|
subrgsubm |
|- ( t e. ( SubRing ` R ) -> t e. ( SubMnd ` M ) ) |
328 |
327
|
ad8antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> t e. ( SubMnd ` M ) ) |
329 |
|
sswrd |
|- ( A C_ t -> Word A C_ Word t ) |
330 |
329
|
ad7antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Word A C_ Word t ) |
331 |
187
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. Word A ) |
332 |
330 331
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. Word t ) |
333 |
|
gsumwsubmcl |
|- ( ( t e. ( SubMnd ` M ) /\ x e. Word t ) -> ( M gsum x ) e. t ) |
334 |
328 332 333
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( M gsum x ) e. t ) |
335 |
123
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e : Word A --> ZZ ) |
336 |
335 331
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e ` x ) e. ZZ ) |
337 |
1 3 326 334 200 336
|
subgmulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) e. t ) |
338 |
158 200 325 337
|
subgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) e. t ) |
339 |
199 338
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
340 |
339
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) -> ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
341 |
340
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) -> A. e e. F ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
342 |
341
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) -> A. e e. F ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
343 |
342
|
anasss |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ ( h C_ ( g supp 0 ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) -> A. e e. F ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
344 |
|
oveq1 |
|- ( e = f -> ( e supp 0 ) = ( f supp 0 ) ) |
345 |
344
|
eqeq1d |
|- ( e = f -> ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) <-> ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) ) |
346 |
|
fveq1 |
|- ( e = f -> ( e ` w ) = ( f ` w ) ) |
347 |
346
|
oveq1d |
|- ( e = f -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) |
348 |
347
|
mpteq2dv |
|- ( e = f -> ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
349 |
348
|
oveq2d |
|- ( e = f -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
350 |
349
|
eleq1d |
|- ( e = f -> ( ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t <-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
351 |
345 350
|
imbi12d |
|- ( e = f -> ( ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
352 |
351
|
cbvralvw |
|- ( A. e e. F ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
353 |
343 352
|
imbitrdi |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ ( h C_ ( g supp 0 ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) -> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
354 |
31 34 37 40 112 353 163
|
findcard2d |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
355 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> g e. F ) |
356 |
28 354 355
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> ( ( g supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
357 |
20 356
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
358 |
357
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) /\ g e. F ) /\ s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
359 |
19 358
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) /\ g e. F ) /\ s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) -> s e. t ) |
360 |
|
eqid |
|- ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) = ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
361 |
8
|
eleq2i |
|- ( s e. S <-> s e. ran ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) ) |
362 |
361
|
biimpi |
|- ( s e. S -> s e. ran ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) ) |
363 |
362
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) -> s e. ran ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) ) |
364 |
360 363
|
elrnmpt2d |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) -> E. g e. F s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
365 |
359 364
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) -> s e. t ) |
366 |
365
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) -> ( s e. S -> s e. t ) ) |
367 |
366
|
ssrdv |
|- ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) -> S C_ t ) |
368 |
367
|
ex |
|- ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) -> ( A C_ t -> S C_ t ) ) |
369 |
368
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. t e. ( SubRing ` R ) ( A C_ t -> S C_ t ) ) |
370 |
|
ssintrab |
|- ( S C_ |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } <-> A. t e. ( SubRing ` R ) ( A C_ t -> S C_ t ) ) |
371 |
369 370
|
sylibr |
|- ( ph -> S C_ |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } ) |
372 |
18 371
|
eqssd |
|- ( ph -> |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } = S ) |
373 |
12 372
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( N ` A ) = S ) |