| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
elrgspn.b |
|- B = ( Base ` R ) |
| 2 |
|
elrgspn.m |
|- M = ( mulGrp ` R ) |
| 3 |
|
elrgspn.x |
|- .x. = ( .g ` R ) |
| 4 |
|
elrgspn.n |
|- N = ( RingSpan ` R ) |
| 5 |
|
elrgspn.f |
|- F = { f e. ( ZZ ^m Word A ) | f finSupp 0 } |
| 6 |
|
elrgspn.r |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
| 7 |
|
elrgspn.a |
|- ( ph -> A C_ B ) |
| 8 |
|
elrgspnlem1.1 |
|- S = ran ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 9 |
1
|
a1i |
|- ( ph -> B = ( Base ` R ) ) |
| 10 |
4
|
a1i |
|- ( ph -> N = ( RingSpan ` R ) ) |
| 11 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( N ` A ) = ( N ` A ) ) |
| 12 |
6 9 7 10 11
|
rgspnval |
|- ( ph -> ( N ` A ) = |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } ) |
| 13 |
|
sseq2 |
|- ( t = S -> ( A C_ t <-> A C_ S ) ) |
| 14 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
elrgspnlem2 |
|- ( ph -> S e. ( SubRing ` R ) ) |
| 15 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
elrgspnlem3 |
|- ( ph -> A C_ S ) |
| 16 |
13 14 15
|
elrabd |
|- ( ph -> S e. { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } ) |
| 17 |
|
intss1 |
|- ( S e. { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } -> |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } C_ S ) |
| 18 |
16 17
|
syl |
|- ( ph -> |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } C_ S ) |
| 19 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) /\ g e. F ) /\ s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) -> s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 20 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> ( g supp 0 ) = ( g supp 0 ) ) |
| 21 |
|
oveq1 |
|- ( f = g -> ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) ) |
| 22 |
21
|
eqeq1d |
|- ( f = g -> ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) <-> ( g supp 0 ) = ( g supp 0 ) ) ) |
| 23 |
|
fveq1 |
|- ( f = g -> ( f ` w ) = ( g ` w ) ) |
| 24 |
23
|
oveq1d |
|- ( f = g -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) |
| 25 |
24
|
mpteq2dv |
|- ( f = g -> ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
| 26 |
25
|
oveq2d |
|- ( f = g -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 27 |
26
|
eleq1d |
|- ( f = g -> ( ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t <-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 28 |
22 27
|
imbi12d |
|- ( f = g -> ( ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( g supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 29 |
|
eqeq2 |
|- ( i = (/) -> ( ( f supp 0 ) = i <-> ( f supp 0 ) = (/) ) ) |
| 30 |
29
|
imbi1d |
|- ( i = (/) -> ( ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = (/) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 31 |
30
|
ralbidv |
|- ( i = (/) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = (/) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 32 |
|
eqeq2 |
|- ( i = h -> ( ( f supp 0 ) = i <-> ( f supp 0 ) = h ) ) |
| 33 |
32
|
imbi1d |
|- ( i = h -> ( ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 34 |
33
|
ralbidv |
|- ( i = h -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 35 |
|
eqeq2 |
|- ( i = ( h u. { x } ) -> ( ( f supp 0 ) = i <-> ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) ) |
| 36 |
35
|
imbi1d |
|- ( i = ( h u. { x } ) -> ( ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 37 |
36
|
ralbidv |
|- ( i = ( h u. { x } ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 38 |
|
eqeq2 |
|- ( i = ( g supp 0 ) -> ( ( f supp 0 ) = i <-> ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) ) ) |
| 39 |
38
|
imbi1d |
|- ( i = ( g supp 0 ) -> ( ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 40 |
39
|
ralbidv |
|- ( i = ( g supp 0 ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = i -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 41 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
| 42 |
6
|
ringcmnd |
|- ( ph -> R e. CMnd ) |
| 43 |
42
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> R e. CMnd ) |
| 44 |
1
|
fvexi |
|- B e. _V |
| 45 |
44
|
a1i |
|- ( ph -> B e. _V ) |
| 46 |
45 7
|
ssexd |
|- ( ph -> A e. _V ) |
| 47 |
|
wrdexg |
|- ( A e. _V -> Word A e. _V ) |
| 48 |
46 47
|
syl |
|- ( ph -> Word A e. _V ) |
| 49 |
48
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> Word A e. _V ) |
| 50 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> ph ) |
| 51 |
5
|
reqabi |
|- ( f e. F <-> ( f e. ( ZZ ^m Word A ) /\ f finSupp 0 ) ) |
| 52 |
51
|
simplbi |
|- ( f e. F -> f e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
| 53 |
52
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> f e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
| 54 |
|
zex |
|- ZZ e. _V |
| 55 |
54
|
a1i |
|- ( ph -> ZZ e. _V ) |
| 56 |
55 48
|
elmapd |
|- ( ph -> ( f e. ( ZZ ^m Word A ) <-> f : Word A --> ZZ ) ) |
| 57 |
56
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ f e. ( ZZ ^m Word A ) ) -> f : Word A --> ZZ ) |
| 58 |
50 53 57
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> f : Word A --> ZZ ) |
| 59 |
58
|
ffnd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> f Fn Word A ) |
| 60 |
59
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> f Fn Word A ) |
| 61 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> Word A e. _V ) |
| 62 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> 0 e. ZZ ) |
| 63 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> w e. ( Word A \ (/) ) ) |
| 64 |
63
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> w e. Word A ) |
| 65 |
63
|
eldifbd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> -. w e. (/) ) |
| 66 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( f supp 0 ) = (/) ) |
| 67 |
65 66
|
neleqtrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> -. w e. ( f supp 0 ) ) |
| 68 |
64 67
|
eldifd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> w e. ( Word A \ ( f supp 0 ) ) ) |
| 69 |
60 61 62 68
|
fvdifsupp |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( f ` w ) = 0 ) |
| 70 |
69
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0 .x. ( M gsum w ) ) ) |
| 71 |
2
|
ringmgp |
|- ( R e. Ring -> M e. Mnd ) |
| 72 |
6 71
|
syl |
|- ( ph -> M e. Mnd ) |
| 73 |
72
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> M e. Mnd ) |
| 74 |
|
sswrd |
|- ( A C_ B -> Word A C_ Word B ) |
| 75 |
7 74
|
syl |
|- ( ph -> Word A C_ Word B ) |
| 76 |
75
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> Word A C_ Word B ) |
| 77 |
76 64
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> w e. Word B ) |
| 78 |
2 1
|
mgpbas |
|- B = ( Base ` M ) |
| 79 |
78
|
gsumwcl |
|- ( ( M e. Mnd /\ w e. Word B ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
| 80 |
73 77 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
| 81 |
1 41 3
|
mulg0 |
|- ( ( M gsum w ) e. B -> ( 0 .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 82 |
80 81
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( 0 .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 83 |
70 82
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. ( Word A \ (/) ) ) -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 84 |
|
0fi |
|- (/) e. Fin |
| 85 |
84
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> (/) e. Fin ) |
| 86 |
6
|
ringgrpd |
|- ( ph -> R e. Grp ) |
| 87 |
86
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> R e. Grp ) |
| 88 |
58
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> f : Word A --> ZZ ) |
| 89 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> w e. Word A ) |
| 90 |
88 89
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> ( f ` w ) e. ZZ ) |
| 91 |
72
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> M e. Mnd ) |
| 92 |
75
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> Word A C_ Word B ) |
| 93 |
92 89
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> w e. Word B ) |
| 94 |
91 93 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
| 95 |
1 3 87 90 94
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) e. B ) |
| 96 |
|
0ss |
|- (/) C_ Word A |
| 97 |
96
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> (/) C_ Word A ) |
| 98 |
1 41 43 49 83 85 95 97
|
gsummptres2 |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. (/) |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 99 |
|
mpt0 |
|- ( w e. (/) |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = (/) |
| 100 |
99
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( w e. (/) |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = (/) ) |
| 101 |
100
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum ( w e. (/) |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum (/) ) ) |
| 102 |
41
|
gsum0 |
|- ( R gsum (/) ) = ( 0g ` R ) |
| 103 |
102
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum (/) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 104 |
98 101 103
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 105 |
|
subrgsubg |
|- ( t e. ( SubRing ` R ) -> t e. ( SubGrp ` R ) ) |
| 106 |
41
|
subg0cl |
|- ( t e. ( SubGrp ` R ) -> ( 0g ` R ) e. t ) |
| 107 |
105 106
|
syl |
|- ( t e. ( SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) e. t ) |
| 108 |
107
|
adantl |
|- ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. t ) |
| 109 |
108
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( 0g ` R ) e. t ) |
| 110 |
104 109
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) /\ ( f supp 0 ) = (/) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
| 111 |
110
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ f e. F ) -> ( ( f supp 0 ) = (/) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 112 |
111
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = (/) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 113 |
42
|
ad7antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> R e. CMnd ) |
| 114 |
48
|
ad7antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Word A e. _V ) |
| 115 |
|
simp-5l |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) -> ph ) |
| 116 |
|
breq1 |
|- ( f = e -> ( f finSupp 0 <-> e finSupp 0 ) ) |
| 117 |
116 5
|
elrab2 |
|- ( e e. F <-> ( e e. ( ZZ ^m Word A ) /\ e finSupp 0 ) ) |
| 118 |
117
|
simplbi |
|- ( e e. F -> e e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
| 119 |
55 48
|
elmapd |
|- ( ph -> ( e e. ( ZZ ^m Word A ) <-> e : Word A --> ZZ ) ) |
| 120 |
119
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ e e. ( ZZ ^m Word A ) ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 121 |
118 120
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ e e. F ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 122 |
115 121
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 123 |
122
|
adantl3r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 124 |
123
|
ffnd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) -> e Fn Word A ) |
| 125 |
124
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> e Fn Word A ) |
| 126 |
114
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> Word A e. _V ) |
| 127 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> 0 e. ZZ ) |
| 128 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) |
| 129 |
125 126 127 128
|
fvdifsupp |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( e ` w ) = 0 ) |
| 130 |
129
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0 .x. ( M gsum w ) ) ) |
| 131 |
72
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> M e. Mnd ) |
| 132 |
75
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> Word A C_ Word B ) |
| 133 |
128
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> w e. Word A ) |
| 134 |
132 133
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> w e. Word B ) |
| 135 |
131 134 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
| 136 |
135 81
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( 0 .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 137 |
130 136
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 138 |
117
|
simprbi |
|- ( e e. F -> e finSupp 0 ) |
| 139 |
138
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e finSupp 0 ) |
| 140 |
139
|
fsuppimpd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e supp 0 ) e. Fin ) |
| 141 |
86
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> R e. Grp ) |
| 142 |
123
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 143 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> w e. Word A ) |
| 144 |
142 143
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( e ` w ) e. ZZ ) |
| 145 |
72
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> M e. Mnd ) |
| 146 |
75
|
ad7antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Word A C_ Word B ) |
| 147 |
146
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> w e. Word B ) |
| 148 |
145 147 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
| 149 |
1 3 141 144 148
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) e. B ) |
| 150 |
|
suppssdm |
|- ( e supp 0 ) C_ dom e |
| 151 |
123
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 152 |
150 151
|
fssdm |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e supp 0 ) C_ Word A ) |
| 153 |
1 41 113 114 137 140 149 152
|
gsummptres2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. ( e supp 0 ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 154 |
153
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. ( e supp 0 ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 155 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) |
| 156 |
155
|
mpteq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( w e. ( e supp 0 ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. ( h u. { x } ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
| 157 |
156
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. ( e supp 0 ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. ( h u. { x } ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 158 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
| 159 |
|
breq1 |
|- ( f = g -> ( f finSupp 0 <-> g finSupp 0 ) ) |
| 160 |
159 5
|
elrab2 |
|- ( g e. F <-> ( g e. ( ZZ ^m Word A ) /\ g finSupp 0 ) ) |
| 161 |
160
|
simprbi |
|- ( g e. F -> g finSupp 0 ) |
| 162 |
161
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> g finSupp 0 ) |
| 163 |
162
|
fsuppimpd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> ( g supp 0 ) e. Fin ) |
| 164 |
163
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( g supp 0 ) e. Fin ) |
| 165 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> h C_ ( g supp 0 ) ) |
| 166 |
164 165
|
ssfid |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> h e. Fin ) |
| 167 |
86
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> R e. Grp ) |
| 168 |
151
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 169 |
|
suppssdm |
|- ( g supp 0 ) C_ dom g |
| 170 |
|
simp-7l |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ph ) |
| 171 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> g e. F ) |
| 172 |
160
|
simplbi |
|- ( g e. F -> g e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
| 173 |
55 48
|
elmapd |
|- ( ph -> ( g e. ( ZZ ^m Word A ) <-> g : Word A --> ZZ ) ) |
| 174 |
173
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ g e. ( ZZ ^m Word A ) ) -> g : Word A --> ZZ ) |
| 175 |
172 174
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ g e. F ) -> g : Word A --> ZZ ) |
| 176 |
170 171 175
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> g : Word A --> ZZ ) |
| 177 |
169 176
|
fssdm |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( g supp 0 ) C_ Word A ) |
| 178 |
165 177
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> h C_ Word A ) |
| 179 |
178
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> w e. Word A ) |
| 180 |
168 179
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( e ` w ) e. ZZ ) |
| 181 |
179 148
|
syldan |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
| 182 |
1 3 167 180 181
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) e. B ) |
| 183 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) |
| 184 |
183
|
eldifbd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> -. x e. h ) |
| 185 |
170 86
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> R e. Grp ) |
| 186 |
183
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. ( g supp 0 ) ) |
| 187 |
177 186
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. Word A ) |
| 188 |
151 187
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e ` x ) e. ZZ ) |
| 189 |
170 72
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> M e. Mnd ) |
| 190 |
146 187
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. Word B ) |
| 191 |
78
|
gsumwcl |
|- ( ( M e. Mnd /\ x e. Word B ) -> ( M gsum x ) e. B ) |
| 192 |
189 190 191
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( M gsum x ) e. B ) |
| 193 |
1 3 185 188 192
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) e. B ) |
| 194 |
|
fveq2 |
|- ( w = x -> ( e ` w ) = ( e ` x ) ) |
| 195 |
|
oveq2 |
|- ( w = x -> ( M gsum w ) = ( M gsum x ) ) |
| 196 |
194 195
|
oveq12d |
|- ( w = x -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) |
| 197 |
1 158 113 166 182 183 184 193 196
|
gsumunsn |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. ( h u. { x } ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) ) |
| 198 |
197
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. ( h u. { x } ) |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) ) |
| 199 |
154 157 198
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) ) |
| 200 |
105
|
ad8antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> t e. ( SubGrp ` R ) ) |
| 201 |
124
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e Fn Word A ) |
| 202 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> 0 e. ZZ ) |
| 203 |
201 187 202
|
fmptunsnop |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
| 204 |
203
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
| 205 |
204
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) ) |
| 206 |
|
eqid |
|- ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) |
| 207 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ y = x ) -> 0 = 0 ) |
| 208 |
201
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> e Fn Word A ) |
| 209 |
114
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> Word A e. _V ) |
| 210 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> 0 e. ZZ ) |
| 211 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> y = w ) |
| 212 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> w e. ( Word A \ h ) ) |
| 213 |
212
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> w e. Word A ) |
| 214 |
211 213
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> y e. Word A ) |
| 215 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) |
| 216 |
212
|
eldifbd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. w e. h ) |
| 217 |
211 216
|
eqneltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. y e. h ) |
| 218 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. y = x ) |
| 219 |
218
|
neqned |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> y =/= x ) |
| 220 |
|
nelsn |
|- ( y =/= x -> -. y e. { x } ) |
| 221 |
219 220
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. y e. { x } ) |
| 222 |
|
nelun |
|- ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( -. y e. ( e supp 0 ) <-> ( -. y e. h /\ -. y e. { x } ) ) ) |
| 223 |
222
|
biimpar |
|- ( ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) /\ ( -. y e. h /\ -. y e. { x } ) ) -> -. y e. ( e supp 0 ) ) |
| 224 |
215 217 221 223
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> -. y e. ( e supp 0 ) ) |
| 225 |
214 224
|
eldifd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> y e. ( Word A \ ( e supp 0 ) ) ) |
| 226 |
208 209 210 225
|
fvdifsupp |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) /\ -. y = x ) -> ( e ` y ) = 0 ) |
| 227 |
207 226
|
ifeqda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) /\ y = w ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) = 0 ) |
| 228 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> w e. ( Word A \ h ) ) |
| 229 |
228
|
eldifad |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> w e. Word A ) |
| 230 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> 0 e. ZZ ) |
| 231 |
206 227 229 230
|
fvmptd2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = 0 ) |
| 232 |
205 231
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) = 0 ) |
| 233 |
232
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0 .x. ( M gsum w ) ) ) |
| 234 |
229 148
|
syldan |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( M gsum w ) e. B ) |
| 235 |
234 81
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( 0 .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 236 |
233 235
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. ( Word A \ h ) ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( 0g ` R ) ) |
| 237 |
203
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
| 238 |
237
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) ) |
| 239 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ y = x ) -> 0 e. ZZ ) |
| 240 |
151
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 241 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> y e. Word A ) |
| 242 |
240 241
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> ( e ` y ) e. ZZ ) |
| 243 |
239 242
|
ifclda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) e. ZZ ) |
| 244 |
243
|
fmpttd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) : Word A --> ZZ ) |
| 245 |
244
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) e. ZZ ) |
| 246 |
238 245
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) e. ZZ ) |
| 247 |
1 3 141 246 148
|
mulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. Word A ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) e. B ) |
| 248 |
1 41 113 114 236 166 247 178
|
gsummptres2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 249 |
248
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 250 |
203
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
| 251 |
250
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) ) |
| 252 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> y = w ) |
| 253 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> w e. h ) |
| 254 |
252 253
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> y e. h ) |
| 255 |
184
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> -. x e. h ) |
| 256 |
|
nelneq |
|- ( ( y e. h /\ -. x e. h ) -> -. y = x ) |
| 257 |
254 255 256
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> -. y = x ) |
| 258 |
257
|
iffalsed |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) = ( e ` y ) ) |
| 259 |
252
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> ( e ` y ) = ( e ` w ) ) |
| 260 |
258 259
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) /\ y = w ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) = ( e ` w ) ) |
| 261 |
206 260 179 180
|
fvmptd2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) ` w ) = ( e ` w ) ) |
| 262 |
251 261
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) = ( e ` w ) ) |
| 263 |
262
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ w e. h ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) |
| 264 |
263
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
| 265 |
264
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
| 266 |
265
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. h |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 267 |
249 266
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 268 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e e. F ) |
| 269 |
268
|
resexd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e |` ( Word A \ { x } ) ) e. _V ) |
| 270 |
|
snex |
|- { <. x , 0 >. } e. _V |
| 271 |
270
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> { <. x , 0 >. } e. _V ) |
| 272 |
269 271 202
|
suppun2 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) supp 0 ) u. ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) ) ) |
| 273 |
114 202 201
|
fdifsupp |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) supp 0 ) = ( ( e supp 0 ) \ { x } ) ) |
| 274 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) |
| 275 |
274
|
difeq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e supp 0 ) \ { x } ) = ( ( h u. { x } ) \ { x } ) ) |
| 276 |
|
disjsn |
|- ( ( h i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. h ) |
| 277 |
|
undif5 |
|- ( ( h i^i { x } ) = (/) -> ( ( h u. { x } ) \ { x } ) = h ) |
| 278 |
276 277
|
sylbir |
|- ( -. x e. h -> ( ( h u. { x } ) \ { x } ) = h ) |
| 279 |
184 278
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( h u. { x } ) \ { x } ) = h ) |
| 280 |
273 275 279
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) supp 0 ) = h ) |
| 281 |
|
vex |
|- x e. _V |
| 282 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
| 283 |
281 282
|
xpsn |
|- ( { x } X. { 0 } ) = { <. x , 0 >. } |
| 284 |
283
|
oveq1i |
|- ( ( { x } X. { 0 } ) supp 0 ) = ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) |
| 285 |
|
fczsupp0 |
|- ( ( { x } X. { 0 } ) supp 0 ) = (/) |
| 286 |
284 285
|
eqtr3i |
|- ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) = (/) |
| 287 |
286
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) = (/) ) |
| 288 |
280 287
|
uneq12d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) supp 0 ) u. ( { <. x , 0 >. } supp 0 ) ) = ( h u. (/) ) ) |
| 289 |
|
un0 |
|- ( h u. (/) ) = h |
| 290 |
289
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( h u. (/) ) = h ) |
| 291 |
272 288 290
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h ) |
| 292 |
291
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h ) |
| 293 |
|
oveq1 |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( f supp 0 ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) ) |
| 294 |
293
|
eqeq1d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( ( f supp 0 ) = h <-> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h ) ) |
| 295 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( f ` w ) = ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) ) |
| 296 |
295
|
oveq1d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) |
| 297 |
296
|
mpteq2dv |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
| 298 |
297
|
oveq2d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 299 |
298
|
eleq1d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t <-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 300 |
294 299
|
imbi12d |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 301 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 302 |
|
breq1 |
|- ( f = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) -> ( f finSupp 0 <-> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) finSupp 0 ) ) |
| 303 |
54
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ZZ e. _V ) |
| 304 |
114
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Word A e. _V ) |
| 305 |
203
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) = ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
| 306 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ y = x ) -> 0 e. ZZ ) |
| 307 |
|
simp-10l |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> ph ) |
| 308 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> e e. F ) |
| 309 |
307 308 121
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 310 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> y e. Word A ) |
| 311 |
309 310
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) /\ -. y = x ) -> ( e ` y ) e. ZZ ) |
| 312 |
306 311
|
ifclda |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) /\ y e. Word A ) -> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) e. ZZ ) |
| 313 |
312
|
fmpttd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( y e. Word A |-> if ( y = x , 0 , ( e ` y ) ) ) : Word A --> ZZ ) |
| 314 |
305 313
|
feq1dd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) : Word A --> ZZ ) |
| 315 |
303 304 314
|
elmapdd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) e. ( ZZ ^m Word A ) ) |
| 316 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> 0 e. ZZ ) |
| 317 |
314
|
ffund |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Fun ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ) |
| 318 |
166
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> h e. Fin ) |
| 319 |
292 318
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) e. Fin ) |
| 320 |
315 316 317 319
|
isfsuppd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) finSupp 0 ) |
| 321 |
302 315 320
|
elrabd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) e. { f e. ( ZZ ^m Word A ) | f finSupp 0 } ) |
| 322 |
321 5
|
eleqtrrdi |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) e. F ) |
| 323 |
300 301 322
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 324 |
292 323
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( ( ( e |` ( Word A \ { x } ) ) u. { <. x , 0 >. } ) ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
| 325 |
267 324
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
| 326 |
86
|
ad8antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> R e. Grp ) |
| 327 |
2
|
subrgsubm |
|- ( t e. ( SubRing ` R ) -> t e. ( SubMnd ` M ) ) |
| 328 |
327
|
ad8antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> t e. ( SubMnd ` M ) ) |
| 329 |
|
sswrd |
|- ( A C_ t -> Word A C_ Word t ) |
| 330 |
329
|
ad7antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> Word A C_ Word t ) |
| 331 |
187
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. Word A ) |
| 332 |
330 331
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> x e. Word t ) |
| 333 |
|
gsumwsubmcl |
|- ( ( t e. ( SubMnd ` M ) /\ x e. Word t ) -> ( M gsum x ) e. t ) |
| 334 |
328 332 333
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( M gsum x ) e. t ) |
| 335 |
123
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> e : Word A --> ZZ ) |
| 336 |
335 331
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( e ` x ) e. ZZ ) |
| 337 |
1 3 326 334 200 336
|
subgmulgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) e. t ) |
| 338 |
158 200 325 337
|
subgcld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( ( R gsum ( w e. h |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( e ` x ) .x. ( M gsum x ) ) ) e. t ) |
| 339 |
199 338
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) /\ ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
| 340 |
339
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) /\ e e. F ) -> ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 341 |
340
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) /\ A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) -> A. e e. F ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 342 |
341
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ h C_ ( g supp 0 ) ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) -> A. e e. F ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 343 |
342
|
anasss |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ ( h C_ ( g supp 0 ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) -> A. e e. F ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 344 |
|
oveq1 |
|- ( e = f -> ( e supp 0 ) = ( f supp 0 ) ) |
| 345 |
344
|
eqeq1d |
|- ( e = f -> ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) <-> ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) ) ) |
| 346 |
|
fveq1 |
|- ( e = f -> ( e ` w ) = ( f ` w ) ) |
| 347 |
346
|
oveq1d |
|- ( e = f -> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) = ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) |
| 348 |
347
|
mpteq2dv |
|- ( e = f -> ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) = ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) |
| 349 |
348
|
oveq2d |
|- ( e = f -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 350 |
349
|
eleq1d |
|- ( e = f -> ( ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t <-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 351 |
345 350
|
imbi12d |
|- ( e = f -> ( ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 352 |
351
|
cbvralvw |
|- ( A. e e. F ( ( e supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( e ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) <-> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 353 |
343 352
|
imbitrdi |
|- ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) /\ ( h C_ ( g supp 0 ) /\ x e. ( ( g supp 0 ) \ h ) ) ) -> ( A. f e. F ( ( f supp 0 ) = h -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) -> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( h u. { x } ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) ) |
| 354 |
31 34 37 40 112 353 163
|
findcard2d |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> A. f e. F ( ( f supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( f ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 355 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> g e. F ) |
| 356 |
28 354 355
|
rspcdva |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> ( ( g supp 0 ) = ( g supp 0 ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) ) |
| 357 |
20 356
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ g e. F ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
| 358 |
357
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) /\ g e. F ) /\ s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) -> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) e. t ) |
| 359 |
19 358
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) /\ g e. F ) /\ s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) -> s e. t ) |
| 360 |
|
eqid |
|- ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) = ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 361 |
8
|
eleq2i |
|- ( s e. S <-> s e. ran ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) ) |
| 362 |
361
|
biimpi |
|- ( s e. S -> s e. ran ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) ) |
| 363 |
362
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) -> s e. ran ( g e. F |-> ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) ) |
| 364 |
360 363
|
elrnmpt2d |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) -> E. g e. F s = ( R gsum ( w e. Word A |-> ( ( g ` w ) .x. ( M gsum w ) ) ) ) ) |
| 365 |
359 364
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) /\ s e. S ) -> s e. t ) |
| 366 |
365
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) -> ( s e. S -> s e. t ) ) |
| 367 |
366
|
ssrdv |
|- ( ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) /\ A C_ t ) -> S C_ t ) |
| 368 |
367
|
ex |
|- ( ( ph /\ t e. ( SubRing ` R ) ) -> ( A C_ t -> S C_ t ) ) |
| 369 |
368
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. t e. ( SubRing ` R ) ( A C_ t -> S C_ t ) ) |
| 370 |
|
ssintrab |
|- ( S C_ |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } <-> A. t e. ( SubRing ` R ) ( A C_ t -> S C_ t ) ) |
| 371 |
369 370
|
sylibr |
|- ( ph -> S C_ |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } ) |
| 372 |
18 371
|
eqssd |
|- ( ph -> |^| { t e. ( SubRing ` R ) | A C_ t } = S ) |
| 373 |
12 372
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( N ` A ) = S ) |