heicant

Description: Heine-Cantor theorem: a continuous mapping between metric spaces whose domain is compact is uniformly continuous. Theorem on Rosenlicht p. 80. (Contributed by Brendan Leahy, 13-Aug-2018) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	heicant.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
	heicant.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) )
	heicant.j	⊢ ( 𝜑 → ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∈ Comp )
	heicant.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ ∅ )
	heicant.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≠ ∅ )
Assertion	heicant	⊢ ( 𝜑 → ( ( metUnif ‘ 𝐶 ) Cn_u ( metUnif ‘ 𝐷 ) ) = ( ( MetOpen ‘ 𝐶 ) Cn ( MetOpen ‘ 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heicant.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
2		heicant.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) )
3		heicant.j	⊢ ( 𝜑 → ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∈ Comp )
4		heicant.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ ∅ )
5		heicant.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≠ ∅ )
6		breq2	⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) )
7	6	imbi2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ↔ ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) )
8	7	2ralbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) )
9	8	rexbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑦 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) )
10	9	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) )
11		r19.12	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) )
12	11	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) → ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) )
13	10 12	sylbi	⊢ ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) → ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) )
14		rphalfcl	⊢ ( 𝑑 ∈ ℝ⁺ → ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ⁺ )
15		breq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 / 2 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
16	15	imbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 / 2 ) → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
17	16	ralbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 / 2 ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
18	17	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 / 2 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
19	18	ralbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 / 2 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
20	19	rspcva	⊢ ( ( ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
21	3	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∈ Comp )
22	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
23	22	anim1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) )
24		rphalfcl	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → ( 𝑧 / 2 ) ∈ ℝ⁺ )
25	24	rpxrd	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → ( 𝑧 / 2 ) ∈ ℝ^* )
26		eqid	⊢ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ( MetOpen ‘ 𝐶 )
27	26	blopn	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑧 / 2 ) ∈ ℝ^* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) )
28	27	3expa	⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 / 2 ) ∈ ℝ^* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) )
29	23 25 28	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) )
30	29	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) )
31	24	rpgt0d	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → 0 < ( 𝑧 / 2 ) )
32	25 31	jca	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → ( ( 𝑧 / 2 ) ∈ ℝ^* ∧ 0 < ( 𝑧 / 2 ) ) )
33		xblcntr	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( ( 𝑧 / 2 ) ∈ ℝ^* ∧ 0 < ( 𝑧 / 2 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) )
34	33	3expa	⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( ( 𝑧 / 2 ) ∈ ℝ^* ∧ 0 < ( 𝑧 / 2 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) )
35	23 32 34	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) → 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) )
36	35	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) )
37		opelxpi	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑧 / 2 ) ∈ ℝ⁺ ) → ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
38	24 37	sylan2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) → ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
39	38	ad4ant23	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
40		rpcn	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → 𝑧 ∈ ℂ )
41	40	2halvesd	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) = 𝑧 )
42	41	breq2d	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) ↔ ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < 𝑧 ) )
43	42	imbi1d	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
44	43	ralbidv	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → ( ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
45		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) = ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) )
46	45	breq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < 𝑧 ↔ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 ) )
47		fveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) )
48	47	oveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) )
49	48	breq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
50	46 49	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
51	50	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
52	44 51	bitrdi	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ → ( ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
53	52	biimpar	⊢ ( ( 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
54	53	adantll	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
55		vex	⊢ 𝑥 ∈ V
56		ovex	⊢ ( 𝑧 / 2 ) ∈ V
57	55 56	op1std	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( 1^st ‘ 𝑝 ) = 𝑥 )
58	55 56	op2ndd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) = ( 𝑧 / 2 ) )
59	57 58	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) )
60	59	eqcomd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) )
61	60	biantrurd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
62	57	oveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) = ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) )
63	58 58	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) = ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) )
64	62 63	breq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ↔ ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) ) )
65	57	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) )
66	65	oveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) )
67	66	breq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
68	64 67	imbi12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
69	68	ralbidv	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
70	61 69	bitr3d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ → ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ↔ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
71	70	rspcev	⊢ ( ( ⟨ 𝑥 , ( 𝑧 / 2 ) ⟩ ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑐 ) < ( ( 𝑧 / 2 ) + ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
72	39 54 71	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
73		eleq2	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑏 ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) ) )
74		eqeq1	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) → ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ↔ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ) )
75	74	anbi1d	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
76	75	rexbidv	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
77	73 76	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) )
78	77	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) ( 𝑧 / 2 ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
79	30 36 72 78	syl12anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
80	79	rexlimdva2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) )
81	80	ralimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) )
82	81	imp	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
83	26	mopnuni	⊢ ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) )
84	1 83	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) )
85	84	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) )
86	85	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) )
87	82 86	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
88		eqid	⊢ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 )
89		fveq2	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( 1^st ‘ 𝑝 ) = ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
90		fveq2	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( 2^nd ‘ 𝑝 ) = ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
91	89 90	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
92	91	eqeq2d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ↔ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
93	89	oveq1d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) )
94	90 90	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
95	93 94	breq12d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ↔ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
96	89	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
97	96	oveq1d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) )
98	97	breq1d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
99	95 98	imbi12d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
100	99	ralbidv	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
101	92 100	anbi12d	⊢ ( 𝑝 = ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) → ( ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ↔ ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
102	88 101	cmpcovf	⊢ ( ( ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∈ Comp ∧ ∀ 𝑥 ∈ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑏 ∈ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ( 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ 𝑝 ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ 𝑝 ) + ( 2^nd ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ 𝑝 ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( 𝒫 ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∩ Fin ) ( ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ∧ ∃ 𝑔 ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) )
103	21 87 102	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( 𝒫 ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∩ Fin ) ( ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ∧ ∃ 𝑔 ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) )
104	103	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( 𝒫 ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∩ Fin ) ( ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ∧ ∃ 𝑔 ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) ) )
105		elinel2	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝒫 ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∩ Fin ) → 𝑠 ∈ Fin )
106		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) → 𝜑 )
107	106	anim1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) → ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) )
108		frn	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ran 𝑔 ⊆ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
109		rnss	⊢ ( ran 𝑔 ⊆ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ran ran 𝑔 ⊆ ran ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
110	108 109	syl	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ran ran 𝑔 ⊆ ran ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
111		rnxpss	⊢ ran ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ⊆ ℝ⁺
112	110 111	sstrdi	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺ )
113	112	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺ )
114		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → 𝑠 ∈ Fin )
115		ffun	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → Fun 𝑔 )
116		vex	⊢ 𝑔 ∈ V
117	116	fundmen	⊢ ( Fun 𝑔 → dom 𝑔 ≈ 𝑔 )
118	117	ensymd	⊢ ( Fun 𝑔 → 𝑔 ≈ dom 𝑔 )
119	115 118	syl	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → 𝑔 ≈ dom 𝑔 )
120		fdm	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → dom 𝑔 = 𝑠 )
121	119 120	breqtrd	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → 𝑔 ≈ 𝑠 )
122		enfii	⊢ ( ( 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 ≈ 𝑠 ) → 𝑔 ∈ Fin )
123	121 122	sylan2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → 𝑔 ∈ Fin )
124		rnfi	⊢ ( 𝑔 ∈ Fin → ran 𝑔 ∈ Fin )
125		rnfi	⊢ ( ran 𝑔 ∈ Fin → ran ran 𝑔 ∈ Fin )
126	123 124 125	3syl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ran ran 𝑔 ∈ Fin )
127	114 126	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ran ran 𝑔 ∈ Fin )
128	120	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → dom 𝑔 = 𝑠 )
129		eqtr	⊢ ( ( 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → 𝑋 = ∪ 𝑠 )
130	84 129	sylan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → 𝑋 = ∪ 𝑠 )
131	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → 𝑋 ≠ ∅ )
132	130 131	eqnetrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → ∪ 𝑠 ≠ ∅ )
133		unieq	⊢ ( 𝑠 = ∅ → ∪ 𝑠 = ∪ ∅ )
134		uni0	⊢ ∪ ∅ = ∅
135	133 134	eqtrdi	⊢ ( 𝑠 = ∅ → ∪ 𝑠 = ∅ )
136	135	necon3i	⊢ ( ∪ 𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 ≠ ∅ )
137	132 136	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → 𝑠 ≠ ∅ )
138	137	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → 𝑠 ≠ ∅ )
139	128 138	eqnetrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → dom 𝑔 ≠ ∅ )
140		dm0rn0	⊢ ( dom 𝑔 = ∅ ↔ ran 𝑔 = ∅ )
141	140	necon3bii	⊢ ( dom 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran 𝑔 ≠ ∅ )
142	139 141	sylib	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ran 𝑔 ≠ ∅ )
143		relxp	⊢ Rel ( 𝑋 × ℝ⁺ )
144		relss	⊢ ( ran 𝑔 ⊆ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ( Rel ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → Rel ran 𝑔 ) )
145	108 143 144	mpisyl	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → Rel ran 𝑔 )
146		relrn0	⊢ ( Rel ran 𝑔 → ( ran 𝑔 = ∅ ↔ ran ran 𝑔 = ∅ ) )
147	146	necon3bid	⊢ ( Rel ran 𝑔 → ( ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ) )
148	145 147	syl	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ( ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ) )
149	148	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ( ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ) )
150	142 149	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ran ran 𝑔 ≠ ∅ )
151	150	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ran ran 𝑔 ≠ ∅ )
152		rpssre	⊢ ℝ⁺ ⊆ ℝ
153	113 152	sstrdi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ )
154		ltso	⊢ < Or ℝ
155		fiinfcl	⊢ ( ( < Or ℝ ∧ ( ran ran 𝑔 ∈ Fin ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ran ran 𝑔 ⊆ ℝ ) ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ran ran 𝑔 )
156	154 155	mpan	⊢ ( ( ran ran 𝑔 ∈ Fin ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ran ran 𝑔 ⊆ ℝ ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ran ran 𝑔 )
157	127 151 153 156	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ran ran 𝑔 )
158	113 157	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ⁺ )
159	107 158	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ⁺ )
160	159	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ⁺ )
161	84	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) → 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) )
162	161	anim1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → ( 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) )
163	162	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) )
164		simpl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
165	129	eleq2d	⊢ ( ( 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑠 ) )
166		eluni2	⊢ ( 𝑥 ∈ ∪ 𝑠 ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏 )
167	165 166	bitrdi	⊢ ( ( 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏 ) )
168	167	biimpa	⊢ ( ( ( 𝑋 = ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏 )
169	163 164 168	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏 )
170		nfv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
171		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑏 ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
172	170 171	nfan	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
173		nfv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 )
174	172 173	nfan	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) )
175		nfv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 )
176		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
177		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) )
178	177	breq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
179		fveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) )
180	179	oveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) )
181	180	breq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
182	178 181	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
183	182	rspcva	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
184		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) )
185	184	breq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
186	47	oveq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) )
187	186	breq1d	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
188	185 187	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = 𝑤 → ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ↔ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
189	188	rspcva	⊢ ( ( 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) )
190	183 189	anim12i	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
191	190	anandirs	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
192		anim12	⊢ ( ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
193	191 192	syl	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
194	193	adantrl	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
195	194	ad4ant23	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
196		simpll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) )
197	196	anim1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) )
198	197	anim1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) )
199	112 152	sstrdi	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ )
200	199	adantr	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ )
201		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
202		rpge0	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑦 )
203	202	rgen	⊢ ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ 0 ≤ 𝑦
204		ssralv	⊢ ( ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺ → ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ 0 ≤ 𝑦 → ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 0 ≤ 𝑦 ) )
205	112 203 204	mpisyl	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 0 ≤ 𝑦 )
206		breq1	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦 ) )
207	206	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 0 ≤ 𝑦 ) )
208	207	rspcev	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 0 ≤ 𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 )
209	201 205 208	sylancr	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 )
210	209	adantr	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 )
211	145	adantr	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → Rel ran 𝑔 )
212		ffn	⊢ ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → 𝑔 Fn 𝑠 )
213		fnfvelrn	⊢ ( ( 𝑔 Fn 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ∈ ran 𝑔 )
214	212 213	sylan	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ∈ ran 𝑔 )
215		2ndrn	⊢ ( ( Rel ran 𝑔 ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ∈ ran 𝑔 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ran ran 𝑔 )
216	211 214 215	syl2anc	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ran ran 𝑔 )
217		infrelb	⊢ ( ( ran ran 𝑔 ⊆ ℝ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ran ran 𝑔 ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
218	200 210 216 217	syl3anc	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
219	218	adantll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
220	219	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
221	1	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
222		xmetcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* )
223	222	3expb	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* )
224	221 223	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* )
225	224	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* )
226		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
227		simpl	⊢ ( ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) → 𝑏 ∈ 𝑠 )
228	216	ne0d	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ran ran 𝑔 ≠ ∅ )
229		infrecl	⊢ ( ( ran ran 𝑔 ⊆ ℝ ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ )
230	200 228 210 229	syl3anc	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ )
231	230	rexrd	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ^* )
232	226 227 231	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ^* )
233		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
234	233	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
235		xp2nd	⊢ ( ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ⁺ )
236	234 235	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ⁺ )
237	236	rpxrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ^* )
238	237	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ^* )
239		xrltletr	⊢ ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* ∧ inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ^* ∧ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ^* ) → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∧ inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
240	225 232 238 239	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∧ inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
241	220 240	mpan2d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
242	241	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
243	1	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
244		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
245		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
246		xp1st	⊢ ( ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) → ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 )
247	245 246	syl	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 )
248	244 227 247	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 )
249		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) → 𝑤 ∈ 𝑋 )
250	249	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑋 )
251		xmetcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* )
252	243 248 250 251	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* )
253	252	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* )
254	245 235	syl	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ⁺ )
255	226 254	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ⁺ )
256	255	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ⁺ )
257	256	rpred	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ )
258	164	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
259		xmetcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ^* )
260	243 248 258 259	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ^* )
261	254	rpxrd	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ^* )
262	244 227 261	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ^* )
263		eleq2	⊢ ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑏 ↔ 𝑥 ∈ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
264	1	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
265	226 247	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 )
266	255	rpxrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ^* )
267		elbl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 ∧ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ^* ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
268	264 265 266 267	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
269	263 268	sylan9bbr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑏 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
270	269	biimpd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑏 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
271	270	an32s	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑏 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
272	271	impr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
273	272	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
274	260 262 273	xrltled	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
275	226	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ∈ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) )
276	275 246	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 )
277		simplrl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
278	264 276 277 259	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ^* )
279		xmetge0	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) )
280	264 276 277 279	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → 0 ≤ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) )
281		xrrege0	⊢ ( ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ )
282	281	an4s	⊢ ( ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ )
283	282	ex	⊢ ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ ) )
284	278 280 283	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ ) )
285	284	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ ) )
286	257 274 285	mp2and	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ )
287	286	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ )
288		xrltle	⊢ ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ^* ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
289	225 238 288	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
290		xmetge0	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) )
291	290	3expb	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) )
292	221 291	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) )
293	292	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → 0 ≤ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) )
294	236	rpred	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ )
295	294	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ )
296		xrrege0	⊢ ( ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ )
297	296	ex	⊢ ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ^* ∧ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ ) )
298	225 295 297	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ ) )
299	293 298	mpand	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ≤ ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ ) )
300	289 299	syld	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ ) )
301	300	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ ) )
302	301	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ )
303	287 302	readdcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) + ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
304	303	rexrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) + ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
305	256 256	rpaddcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ ℝ⁺ )
306	305	rpxrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ ℝ^* )
307	306	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ ℝ^* )
308		xmettri	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) ≤ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) +_𝑒 ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) )
309	243 248 250 258 308	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) ≤ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) +_𝑒 ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) )
310	309	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) ≤ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) +_𝑒 ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) )
311		rexadd	⊢ ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) +_𝑒 ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) = ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) + ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) )
312	287 302 311	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) +_𝑒 ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) = ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) + ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) )
313	310 312	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) ≤ ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) + ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) )
314	257	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ )
315	273	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
316		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) )
317	287 302 314 314 315 316	lt2addd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) + ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
318	253 304 307 313 317	xrlelttrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
319	318	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
320	254	rpred	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ∈ ℝ )
321	320 254	ltaddrpd	⊢ ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
322	244 227 321	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
323	260 262 306 273 322	xrlttrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) )
324	319 323	jctild	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ) )
325	242 324	syld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ) )
326		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) )
327		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 )
328		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 )
329	327 328	anim12dan	⊢ ( ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 ) )
330		xmetcl	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
331	330	3expb	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
332	2 329 331	syl2an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
333	332	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
334	326 333	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
335	334	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
336	2	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) )
337		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 )
338	337 276	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑌 )
339		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) → 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 )
340	339	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 )
341	340	adantrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 )
342	341	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 )
343		xmetcl	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ^* )
344	336 338 342 343	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ^* )
345	14	rpxrd	⊢ ( 𝑑 ∈ ℝ⁺ → ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ^* )
346	345	ad4antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ^* )
347		xrltle	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ^* ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) )
348	344 346 347	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) )
349		xmetge0	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 ) → 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) )
350	336 338 342 349	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) )
351	14	rpred	⊢ ( 𝑑 ∈ ℝ⁺ → ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ )
352	351	ad4antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ )
353		xrrege0	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
354	353	ex	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) )
355	344 352 354	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) )
356	350 355	mpand	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) )
357	348 356	syld	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) )
358	357	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) )
359	358	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
360	339	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 )
361	360	adantrl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 )
362	361	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 )
363		xmetcl	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
364	336 338 362 363	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* )
365		xrltle	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ^* ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) )
366	364 346 365	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) )
367		xmetge0	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 ) → 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) )
368	336 338 362 367	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) )
369		xrrege0	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
370	369	ex	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ^* ∧ ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) )
371	364 352 370	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( 0 ≤ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) )
372	368 371	mpand	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) )
373	366 372	syld	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) )
374	373	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) )
375	374	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
376		readdcl	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ )
377	359 375 376	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ )
378	377	anandis	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ )
379	378	rexrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ^* )
380		rpxr	⊢ ( 𝑑 ∈ ℝ⁺ → 𝑑 ∈ ℝ^* )
381	380	ad6antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ^* )
382		xmettri	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑌 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
383	336 342 362 338 382	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
384	383	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
385	384	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
386		xmetsym	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑌 ∧ ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∈ 𝑌 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) )
387	336 342 338 386	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) )
388	387	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) )
389	388	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) )
390	389	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
391		rexadd	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
392	359 375 391	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
393	392	anandis	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
394	390 393	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) +_𝑒 ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
395	385 394	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ≤ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) )
396		lt2add	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) < ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
397	396	expcom	⊢ ( ( ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) < ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
398	352 352 397	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) < ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
399	357 373 398	syl2and	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) < ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) )
400	399	pm2.43d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) < ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
401	400	ad2ant2r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) < ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) ) )
402	401	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) < ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) )
403		rpcn	⊢ ( 𝑑 ∈ ℝ⁺ → 𝑑 ∈ ℂ )
404	403	2halvesd	⊢ ( 𝑑 ∈ ℝ⁺ → ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) = 𝑑 )
405	404	ad6antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑑 / 2 ) + ( 𝑑 / 2 ) ) = 𝑑 )
406	402 405	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) + ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) ) < 𝑑 )
407	335 379 381 395 406	xrlelttrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 )
408	407	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) )
409	325 408	imim12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
410	198 409	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
411	410	adantlrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑥 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑤 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
412	195 411	mpd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) )
413	412	exp32	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑠 → ( 𝑥 ∈ 𝑏 → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ) )
414	176 413	sylan2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠 ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑠 → ( 𝑥 ∈ 𝑏 → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ) )
415	414	expr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑠 → ( 𝑏 ∈ 𝑠 → ( 𝑥 ∈ 𝑏 → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ) ) )
416	415	pm2.43d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑠 → ( 𝑥 ∈ 𝑏 → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ) )
417	416	an32s	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑠 → ( 𝑥 ∈ 𝑏 → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ) )
418	174 175 417	rexlimd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏 → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
419	169 418	mpd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) )
420	419	ralrimivva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) )
421		breq2	⊢ ( 𝑧 = inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 ↔ ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ) )
422	421	imbi1d	⊢ ( 𝑧 = inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ↔ ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
423	422	2ralbidv	⊢ ( 𝑧 = inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
424	423	rspcev	⊢ ( ( inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < inf ( ran ran 𝑔 , ℝ , < ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) )
425	160 420 424	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) ∧ 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) )
426	425	expl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → ( ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
427	426	exlimdv	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) ∧ ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ) → ( ∃ 𝑔 ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
428	427	expimpd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ Fin ) → ( ( ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ∧ ∃ 𝑔 ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
429	105 428	sylan2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝒫 ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∩ Fin ) ) → ( ( ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ∧ ∃ 𝑔 ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
430	429	rexlimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) → ( ∃ 𝑠 ∈ ( 𝒫 ( MetOpen ‘ 𝐶 ) ∩ Fin ) ( ∪ ( MetOpen ‘ 𝐶 ) = ∪ 𝑠 ∧ ∃ 𝑔 ( 𝑔 : 𝑠 ⟶ ( 𝑋 × ℝ⁺ ) ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝑠 ( 𝑏 = ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ( ball ‘ 𝐶 ) ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) ∧ ∀ 𝑐 ∈ 𝑋 ( ( ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) 𝐶 𝑐 ) < ( ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) + ( 2^nd ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( 𝑓 ‘ ( 1^st ‘ ( 𝑔 ‘ 𝑏 ) ) ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑐 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
431	104 430	syld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < ( 𝑑 / 2 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
432	20 431	syl5	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ) → ( ( ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
433	432	exp4b	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( 𝑑 ∈ ℝ⁺ → ( ( 𝑑 / 2 ) ∈ ℝ⁺ → ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ) ) )
434	14 433	mpdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( 𝑑 ∈ ℝ⁺ → ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ) )
435	434	ralrimiv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
436		r19.21v	⊢ ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ↔ ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) → ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
437	435 436	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) → ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) )
438	13 437	impbid2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) )
439		ralcom	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) )
440	438 439	bitrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) )
441	440	pm5.32da	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ↔ ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) ) )
442		eqid	⊢ ( metUnif ‘ 𝐶 ) = ( metUnif ‘ 𝐶 )
443		eqid	⊢ ( metUnif ‘ 𝐷 ) = ( metUnif ‘ 𝐷 )
444		xmetpsmet	⊢ ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → 𝐶 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) )
445	1 444	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) )
446		xmetpsmet	⊢ ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) → 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑌 ) )
447	2 446	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑌 ) )
448	442 443 4 5 445 447	metucn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑓 ∈ ( ( metUnif ‘ 𝐶 ) Cn_u ( metUnif ‘ 𝐷 ) ) ↔ ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑑 ) ) ) )
449		eqid	⊢ ( MetOpen ‘ 𝐷 ) = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
450	26 449	metcn	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑌 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( ( MetOpen ‘ 𝐶 ) Cn ( MetOpen ‘ 𝐷 ) ) ↔ ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) ) )
451	1 2 450	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑓 ∈ ( ( MetOpen ‘ 𝐶 ) Cn ( MetOpen ‘ 𝐷 ) ) ↔ ( 𝑓 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃ 𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐶 𝑤 ) < 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝑓 ‘ 𝑤 ) ) < 𝑦 ) ) ) )
452	441 448 451	3bitr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑓 ∈ ( ( metUnif ‘ 𝐶 ) Cn_u ( metUnif ‘ 𝐷 ) ) ↔ 𝑓 ∈ ( ( MetOpen ‘ 𝐶 ) Cn ( MetOpen ‘ 𝐷 ) ) ) )
453	452	eqrdv	⊢ ( 𝜑 → ( ( metUnif ‘ 𝐶 ) Cn_u ( metUnif ‘ 𝐷 ) ) = ( ( MetOpen ‘ 𝐶 ) Cn ( MetOpen ‘ 𝐷 ) ) )

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Theorem heicant

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