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Theorem 1arithidom

Description: Uniqueness of prime factorizations in an integral domain R . Given two equal products F and G of prime elements, F and G are equal up to a renumbering w and a multiplication by units u . See also 1arith . Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of BourbakiCAlg2, p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025)

Ref Expression
Hypotheses 1arithidom.u 
|- U = ( Unit ` R )
1arithidom.i 
|- P = ( RPrime ` R )
1arithidom.m 
|- M = ( mulGrp ` R )
1arithidom.t 
|- .x. = ( .r ` R )
1arithidom.j 
|- J = ( 0 ..^ ( # ` F ) )
1arithidom.r 
|- ( ph -> R e. IDomn )
1arithidom.f 
|- ( ph -> F e. Word P )
1arithidom.g 
|- ( ph -> G e. Word P )
1arithidom.1 
|- ( ph -> ( M gsum F ) = ( M gsum G ) )
Assertion 1arithidom 
|- ( ph -> E. w E. u e. ( U ^m J ) ( w : J -1-1-onto-> J /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 1arithidom.u 
 |-  U = ( Unit ` R )
2 1arithidom.i 
 |-  P = ( RPrime ` R )
3 1arithidom.m 
 |-  M = ( mulGrp ` R )
4 1arithidom.t 
 |-  .x. = ( .r ` R )
5 1arithidom.j 
 |-  J = ( 0 ..^ ( # ` F ) )
6 1arithidom.r 
 |-  ( ph -> R e. IDomn )
7 1arithidom.f 
 |-  ( ph -> F e. Word P )
8 1arithidom.g 
 |-  ( ph -> G e. Word P )
9 1arithidom.1 
 |-  ( ph -> ( M gsum F ) = ( M gsum G ) )
10 6 idomringd 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
11 eqid 
 |-  ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
12 1 11 1unit 
 |-  ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. U )
13 10 12 syl 
 |-  ( ph -> ( 1r ` R ) e. U )
14 oveq1 
 |-  ( k = ( 1r ` R ) -> ( k .x. ( M gsum G ) ) = ( ( 1r ` R ) .x. ( M gsum G ) ) )
15 14 adantl 
 |-  ( ( ph /\ k = ( 1r ` R ) ) -> ( k .x. ( M gsum G ) ) = ( ( 1r ` R ) .x. ( M gsum G ) ) )
16 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
17 10 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k = ( 1r ` R ) ) -> R e. Ring )
18 3 16 mgpbas 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` M )
19 3 11 ringidval 
 |-  ( 1r ` R ) = ( 0g ` M )
20 id 
 |-  ( R e. IDomn -> R e. IDomn )
21 20 idomcringd 
 |-  ( R e. IDomn -> R e. CRing )
22 3 crngmgp 
 |-  ( R e. CRing -> M e. CMnd )
23 21 22 syl 
 |-  ( R e. IDomn -> M e. CMnd )
24 6 23 syl 
 |-  ( ph -> M e. CMnd )
25 ovexd 
 |-  ( ph -> ( 0 ..^ ( # ` G ) ) e. _V )
26 eqidd 
 |-  ( ph -> ( # ` G ) = ( # ` G ) )
27 26 8 wrdfd 
 |-  ( ph -> G : ( 0 ..^ ( # ` G ) ) --> P )
28 6 adantr 
 |-  ( ( ph /\ p e. P ) -> R e. IDomn )
29 simpr 
 |-  ( ( ph /\ p e. P ) -> p e. P )
30 16 2 28 29 rprmcl 
 |-  ( ( ph /\ p e. P ) -> p e. ( Base ` R ) )
31 30 ex 
 |-  ( ph -> ( p e. P -> p e. ( Base ` R ) ) )
32 31 ssrdv 
 |-  ( ph -> P C_ ( Base ` R ) )
33 27 32 fssd 
 |-  ( ph -> G : ( 0 ..^ ( # ` G ) ) --> ( Base ` R ) )
34 13 8 wrdfsupp 
 |-  ( ph -> G finSupp ( 1r ` R ) )
35 18 19 24 25 33 34 gsumcl 
 |-  ( ph -> ( M gsum G ) e. ( Base ` R ) )
36 35 adantr 
 |-  ( ( ph /\ k = ( 1r ` R ) ) -> ( M gsum G ) e. ( Base ` R ) )
37 16 4 11 17 36 ringlidmd 
 |-  ( ( ph /\ k = ( 1r ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) .x. ( M gsum G ) ) = ( M gsum G ) )
38 15 37 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ k = ( 1r ` R ) ) -> ( k .x. ( M gsum G ) ) = ( M gsum G ) )
39 38 eqeq2d 
 |-  ( ( ph /\ k = ( 1r ` R ) ) -> ( ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum G ) ) <-> ( M gsum F ) = ( M gsum G ) ) )
40 13 39 9 rspcedvd 
 |-  ( ph -> E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum G ) ) )
41 oveq2 
 |-  ( g = G -> ( M gsum g ) = ( M gsum G ) )
42 41 oveq2d 
 |-  ( g = G -> ( k .x. ( M gsum g ) ) = ( k .x. ( M gsum G ) ) )
43 42 eqeq2d 
 |-  ( g = G -> ( ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum G ) ) ) )
44 43 rexbidv 
 |-  ( g = G -> ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum G ) ) ) )
45 eqeq1 
 |-  ( g = G -> ( g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) <-> G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) )
46 45 anbi2d 
 |-  ( g = G -> ( ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) <-> ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) )
47 46 rexbidv 
 |-  ( g = G -> ( E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) <-> E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) )
48 47 exbidv 
 |-  ( g = G -> ( E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) <-> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) )
49 44 48 imbi12d 
 |-  ( g = G -> ( ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) <-> ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum G ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) ) )
50 oveq2 
 |-  ( h = (/) -> ( M gsum h ) = ( M gsum (/) ) )
51 50 eqeq1d 
 |-  ( h = (/) -> ( ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) )
52 51 rexbidv 
 |-  ( h = (/) -> ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) )
53 fveq2 
 |-  ( h = (/) -> ( # ` h ) = ( # ` (/) ) )
54 53 oveq2d 
 |-  ( h = (/) -> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) = ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) )
55 54 oveq2d 
 |-  ( h = (/) -> ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) = ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) )
56 eqidd 
 |-  ( h = (/) -> w = w )
57 56 54 54 f1oeq123d 
 |-  ( h = (/) -> ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) <-> w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) )
58 coeq1 
 |-  ( h = (/) -> ( h o. w ) = ( (/) o. w ) )
59 58 oveq2d 
 |-  ( h = (/) -> ( u oF .x. ( h o. w ) ) = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) )
60 59 eqeq2d 
 |-  ( h = (/) -> ( g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) <-> g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) )
61 57 60 anbi12d 
 |-  ( h = (/) -> ( ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) ) )
62 55 61 rexeqbidv 
 |-  ( h = (/) -> ( E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) ) )
63 62 exbidv 
 |-  ( h = (/) -> ( E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) ) )
64 52 63 imbi12d 
 |-  ( h = (/) -> ( ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) <-> ( E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) ) ) )
65 64 ralbidv 
 |-  ( h = (/) -> ( A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) <-> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) ) ) )
66 65 imbi2d 
 |-  ( h = (/) -> ( ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) ) <-> ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) ) ) ) )
67 oveq2 
 |-  ( h = f -> ( M gsum h ) = ( M gsum f ) )
68 67 eqeq1d 
 |-  ( h = f -> ( ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) )
69 68 rexbidv 
 |-  ( h = f -> ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) )
70 fveq2 
 |-  ( h = f -> ( # ` h ) = ( # ` f ) )
71 70 oveq2d 
 |-  ( h = f -> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) = ( 0 ..^ ( # ` f ) ) )
72 71 oveq2d 
 |-  ( h = f -> ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) = ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) )
73 eqidd 
 |-  ( h = f -> w = w )
74 73 71 71 f1oeq123d 
 |-  ( h = f -> ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) <-> w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) )
75 coeq1 
 |-  ( h = f -> ( h o. w ) = ( f o. w ) )
76 75 oveq2d 
 |-  ( h = f -> ( u oF .x. ( h o. w ) ) = ( u oF .x. ( f o. w ) ) )
77 76 eqeq2d 
 |-  ( h = f -> ( g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) <-> g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) )
78 74 77 anbi12d 
 |-  ( h = f -> ( ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) )
79 72 78 rexeqbidv 
 |-  ( h = f -> ( E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) )
80 79 exbidv 
 |-  ( h = f -> ( E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) )
81 69 80 imbi12d 
 |-  ( h = f -> ( ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) <-> ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) )
82 81 ralbidv 
 |-  ( h = f -> ( A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) <-> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) )
83 82 imbi2d 
 |-  ( h = f -> ( ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) ) <-> ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) )
84 oveq2 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( M gsum h ) = ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) )
85 84 eqeq1d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) )
86 85 rexbidv 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) )
87 fveq2 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( # ` h ) = ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) )
88 87 oveq2d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) = ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) )
89 88 oveq2d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) = ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) )
90 eqidd 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> w = w )
91 90 88 88 f1oeq123d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) <-> w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) )
92 coeq1 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( h o. w ) = ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) )
93 92 oveq2d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( u oF .x. ( h o. w ) ) = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) )
94 93 eqeq2d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) <-> g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) )
95 91 94 anbi12d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) )
96 89 95 rexeqbidv 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) )
97 96 exbidv 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) )
98 86 97 imbi12d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) <-> ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) ) )
99 98 ralbidv 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) <-> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) ) )
100 99 imbi2d 
 |-  ( h = ( f ++ <" p "> ) -> ( ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) ) <-> ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) ) ) )
101 oveq2 
 |-  ( h = F -> ( M gsum h ) = ( M gsum F ) )
102 101 eqeq1d 
 |-  ( h = F -> ( ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) )
103 102 rexbidv 
 |-  ( h = F -> ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) )
104 fveq2 
 |-  ( h = F -> ( # ` h ) = ( # ` F ) )
105 104 oveq2d 
 |-  ( h = F -> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) = ( 0 ..^ ( # ` F ) ) )
106 105 oveq2d 
 |-  ( h = F -> ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) = ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) )
107 eqidd 
 |-  ( h = F -> w = w )
108 107 105 105 f1oeq123d 
 |-  ( h = F -> ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) <-> w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) )
109 coeq1 
 |-  ( h = F -> ( h o. w ) = ( F o. w ) )
110 109 oveq2d 
 |-  ( h = F -> ( u oF .x. ( h o. w ) ) = ( u oF .x. ( F o. w ) ) )
111 110 eqeq2d 
 |-  ( h = F -> ( g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) <-> g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) )
112 108 111 anbi12d 
 |-  ( h = F -> ( ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) )
113 106 112 rexeqbidv 
 |-  ( h = F -> ( E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) )
114 113 exbidv 
 |-  ( h = F -> ( E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) <-> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) )
115 103 114 imbi12d 
 |-  ( h = F -> ( ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) <-> ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) ) )
116 115 ralbidv 
 |-  ( h = F -> ( A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) <-> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) ) )
117 116 imbi2d 
 |-  ( h = F -> ( ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum h ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ g = ( u oF .x. ( h o. w ) ) ) ) ) <-> ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) ) ) )
118 0ex 
 |-  (/) e. _V
119 118 a1i 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> (/) e. _V )
120 118 snid 
 |-  (/) e. { (/) }
121 1 fvexi 
 |-  U e. _V
122 mapdm0 
 |-  ( U e. _V -> ( U ^m (/) ) = { (/) } )
123 121 122 ax-mp 
 |-  ( U ^m (/) ) = { (/) }
124 120 123 eleqtrri 
 |-  (/) e. ( U ^m (/) )
125 124 a1i 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> (/) e. ( U ^m (/) ) )
126 f1o0 
 |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
127 126 biantrur 
 |-  ( g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) <-> ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) ) )
128 co02 
 |-  ( (/) o. (/) ) = (/)
129 128 oveq2i 
 |-  ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) = ( u oF .x. (/) )
130 of0r 
 |-  ( u oF .x. (/) ) = (/)
131 129 130 eqtri 
 |-  ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) = (/)
132 131 eqeq2i 
 |-  ( g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) <-> g = (/) )
133 127 132 bitr3i 
 |-  ( ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) ) <-> g = (/) )
134 133 a1i 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ u = (/) ) -> ( ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) ) <-> g = (/) ) )
135 simpl 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> R e. IDomn )
136 135 idomcringd 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> R e. CRing )
137 136 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> R e. CRing )
138 simplr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> k e. U )
139 16 1 unitcl 
 |-  ( k e. U -> k e. ( Base ` R ) )
140 138 139 syl 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> k e. ( Base ` R ) )
141 137 22 syl 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> M e. CMnd )
142 ovexd 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` g ) ) e. _V )
143 eqidd 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( # ` g ) = ( # ` g ) )
144 simpl 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ p e. P ) -> R e. IDomn )
145 simpr 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ p e. P ) -> p e. P )
146 16 2 144 145 rprmcl 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ p e. P ) -> p e. ( Base ` R ) )
147 146 ex 
 |-  ( R e. IDomn -> ( p e. P -> p e. ( Base ` R ) ) )
148 147 ssrdv 
 |-  ( R e. IDomn -> P C_ ( Base ` R ) )
149 sswrd 
 |-  ( P C_ ( Base ` R ) -> Word P C_ Word ( Base ` R ) )
150 148 149 syl 
 |-  ( R e. IDomn -> Word P C_ Word ( Base ` R ) )
151 150 sselda 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> g e. Word ( Base ` R ) )
152 151 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> g e. Word ( Base ` R ) )
153 143 152 wrdfd 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> g : ( 0 ..^ ( # ` g ) ) --> ( Base ` R ) )
154 135 idomringd 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> R e. Ring )
155 154 12 syl 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> ( 1r ` R ) e. U )
156 155 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. U )
157 156 152 wrdfsupp 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> g finSupp ( 1r ` R ) )
158 18 19 141 142 153 157 gsumcl 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( M gsum g ) e. ( Base ` R ) )
159 simpr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) )
160 19 gsum0 
 |-  ( M gsum (/) ) = ( 1r ` R )
161 160 156 eqeltrid 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( M gsum (/) ) e. U )
162 159 161 eqeltrrd 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( k .x. ( M gsum g ) ) e. U )
163 1 4 16 unitmulclb 
 |-  ( ( R e. CRing /\ k e. ( Base ` R ) /\ ( M gsum g ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( k .x. ( M gsum g ) ) e. U <-> ( k e. U /\ ( M gsum g ) e. U ) ) )
164 163 biimpa 
 |-  ( ( ( R e. CRing /\ k e. ( Base ` R ) /\ ( M gsum g ) e. ( Base ` R ) ) /\ ( k .x. ( M gsum g ) ) e. U ) -> ( k e. U /\ ( M gsum g ) e. U ) )
165 137 140 158 162 164 syl31anc 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( k e. U /\ ( M gsum g ) e. U ) )
166 165 simprd 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ k e. U ) /\ ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( M gsum g ) e. U )
167 166 r19.29an 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( M gsum g ) e. U )
168 16 1 3 136 151 unitprodclb 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> ( ( M gsum g ) e. U <-> ran g C_ U ) )
169 168 adantr 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ( ( M gsum g ) e. U <-> ran g C_ U ) )
170 167 169 mpbid 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> ran g C_ U )
171 170 adantr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) -> ran g C_ U )
172 eqidd 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> ( # ` g ) = ( # ` g ) )
173 simpr 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> g e. Word P )
174 172 173 wrdfd 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> g : ( 0 ..^ ( # ` g ) ) --> P )
175 174 freld 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> Rel g )
176 175 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) -> Rel g )
177 simpr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) -> g =/= (/) )
178 relrn0 
 |-  ( Rel g -> ( g = (/) <-> ran g = (/) ) )
179 178 necon3bid 
 |-  ( Rel g -> ( g =/= (/) <-> ran g =/= (/) ) )
180 179 biimpa 
 |-  ( ( Rel g /\ g =/= (/) ) -> ran g =/= (/) )
181 176 177 180 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) -> ran g =/= (/) )
182 n0 
 |-  ( ran g =/= (/) <-> E. i i e. ran g )
183 181 182 sylib 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) -> E. i i e. ran g )
184 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) /\ i e. ran g ) -> i e. ran g )
185 135 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) /\ i e. ran g ) -> R e. IDomn )
186 174 frnd 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> ran g C_ P )
187 186 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) -> ran g C_ P )
188 187 sselda 
 |-  ( ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) /\ i e. ran g ) -> i e. P )
189 2 1 185 188 rprmnunit 
 |-  ( ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) /\ i e. ran g ) -> -. i e. U )
190 nelss 
 |-  ( ( i e. ran g /\ -. i e. U ) -> -. ran g C_ U )
191 184 189 190 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) /\ i e. ran g ) -> -. ran g C_ U )
192 183 191 exlimddv 
 |-  ( ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) /\ g =/= (/) ) -> -. ran g C_ U )
193 171 192 pm2.65da 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> -. g =/= (/) )
194 nne 
 |-  ( -. g =/= (/) <-> g = (/) )
195 193 194 sylib 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> g = (/) )
196 125 134 195 rspcedvd 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> E. u e. ( U ^m (/) ) ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) ) )
197 hash0 
 |-  ( # ` (/) ) = 0
198 197 oveq2i 
 |-  ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) = ( 0 ..^ 0 )
199 fzo0 
 |-  ( 0 ..^ 0 ) = (/)
200 198 199 eqtri 
 |-  ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) = (/)
201 200 oveq2i 
 |-  ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) = ( U ^m (/) )
202 201 a1i 
 |-  ( w = (/) -> ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) = ( U ^m (/) ) )
203 id 
 |-  ( w = (/) -> w = (/) )
204 200 a1i 
 |-  ( w = (/) -> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) = (/) )
205 203 204 204 f1oeq123d 
 |-  ( w = (/) -> ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
206 coeq2 
 |-  ( w = (/) -> ( (/) o. w ) = ( (/) o. (/) ) )
207 206 oveq2d 
 |-  ( w = (/) -> ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) )
208 207 eqeq2d 
 |-  ( w = (/) -> ( g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) <-> g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) ) )
209 205 208 anbi12d 
 |-  ( w = (/) -> ( ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) <-> ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) ) ) )
210 202 209 rexeqbidv 
 |-  ( w = (/) -> ( E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) <-> E. u e. ( U ^m (/) ) ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. (/) ) ) ) ) )
211 119 196 210 spcedv 
 |-  ( ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) )
212 211 ex 
 |-  ( ( R e. IDomn /\ g e. Word P ) -> ( E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) ) )
213 212 ralrimiva 
 |-  ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum (/) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` (/) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( (/) o. w ) ) ) ) )
214 eqid 
 |-  ( 0 ..^ ( # ` h ) ) = ( 0 ..^ ( # ` h ) )
215 simp-4r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) -> j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
216 simp-4r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> h e. Word P )
217 216 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) -> h e. Word P )
218 eqid 
 |-  ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) )
219 214 215 217 218 wrdpmtrlast 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) -> E. r ( r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) )
220 eqid 
 |-  ( 0 ..^ ( # ` f ) ) = ( 0 ..^ ( # ` f ) )
221 simp-5r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> R e. IDomn )
222 221 ad6antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> R e. IDomn )
223 simp-5l 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> f e. Word P )
224 223 ad8antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> f e. Word P )
225 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( M gsum f ) = ( M gsum f ) )
226 simp-7r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> p e. P )
227 226 ad6antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> p e. P )
228 simplr 
 |-  ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) -> ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) )
229 228 ad10antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) )
230 222 229 mpd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) )
231 217 ad4antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> h e. Word P )
232 simp-9r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) )
233 215 ad4antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
234 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> p ( ||r ` R ) ( h ` j ) )
235 234 ad6antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> p ( ||r ` R ) ( h ` j ) )
236 simp-6r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> t e. U )
237 simp-5r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( t .x. p ) = ( h ` j ) )
238 simp-4r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
239 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) )
240 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> m e. U )
241 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
242 1 2 3 4 220 222 224 224 225 227 230 231 232 233 235 236 237 238 239 240 241 1arithidomlem1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> E. c E. d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) )
243 ovexd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) e. _V )
244 vex 
 |-  r e. _V
245 244 cnvex 
 |-  `' r e. _V
246 245 a1i 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> `' r e. _V )
247 243 246 coexd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) e. _V )
248 oveq1 
 |-  ( s = ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) -> ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) = ( ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) )
249 248 eqeq2d 
 |-  ( s = ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) -> ( h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) <-> h = ( ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) ) )
250 249 anbi2d 
 |-  ( s = ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) -> ( ( ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) ) <-> ( ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) ) ) )
251 121 a1i 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> U e. _V )
252 ovexd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) e. _V )
253 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) )
254 elmapi 
 |-  ( d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) -> d : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> U )
255 253 254 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> d : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> U )
256 iswrdi 
 |-  ( d : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> U -> d e. Word U )
257 255 256 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> d e. Word U )
258 ccatws1len 
 |-  ( d e. Word U -> ( # ` ( d ++ <" t "> ) ) = ( ( # ` d ) + 1 ) )
259 257 258 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` ( d ++ <" t "> ) ) = ( ( # ` d ) + 1 ) )
260 elmapfn 
 |-  ( d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) -> d Fn ( 0 ..^ ( # ` f ) ) )
261 hashfn 
 |-  ( d Fn ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -> ( # ` d ) = ( # ` ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) )
262 253 260 261 3syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` d ) = ( # ` ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) )
263 223 ad10antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> f e. Word P )
264 lencl 
 |-  ( f e. Word P -> ( # ` f ) e. NN0 )
265 263 264 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` f ) e. NN0 )
266 hashfzo0 
 |-  ( ( # ` f ) e. NN0 -> ( # ` ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) = ( # ` f ) )
267 265 266 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) = ( # ` f ) )
268 262 267 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` d ) = ( # ` f ) )
269 268 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( # ` d ) + 1 ) = ( ( # ` f ) + 1 ) )
270 simprr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) )
271 270 dmeqd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> dom ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = dom ( d oF .x. ( f o. c ) ) )
272 f1of 
 |-  ( r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
273 iswrdi 
 |-  ( r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> r e. Word ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
274 238 272 273 3syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> r e. Word ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
275 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> ( # ` h ) = ( # ` h ) )
276 275 216 wrdfd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> h : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> P )
277 276 ad6antr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> h : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> P )
278 wrdco 
 |-  ( ( r e. Word ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ h : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> P ) -> ( h o. r ) e. Word P )
279 274 277 278 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( h o. r ) e. Word P )
280 279 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( h o. r ) e. Word P )
281 elfzo0 
 |-  ( j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) <-> ( j e. NN0 /\ ( # ` h ) e. NN /\ j < ( # ` h ) ) )
282 281 simp2bi 
 |-  ( j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> ( # ` h ) e. NN )
283 nnm1nn0 
 |-  ( ( # ` h ) e. NN -> ( ( # ` h ) - 1 ) e. NN0 )
284 233 282 283 3syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( ( # ` h ) - 1 ) e. NN0 )
285 lenco 
 |-  ( ( r e. Word ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ h : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> P ) -> ( # ` ( h o. r ) ) = ( # ` r ) )
286 274 277 285 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` ( h o. r ) ) = ( # ` r ) )
287 lencl 
 |-  ( r e. Word ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> ( # ` r ) e. NN0 )
288 274 287 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` r ) e. NN0 )
289 286 288 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` ( h o. r ) ) e. NN0 )
290 lencl 
 |-  ( h e. Word P -> ( # ` h ) e. NN0 )
291 231 290 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` h ) e. NN0 )
292 291 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` h ) e. RR )
293 292 lem1d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( ( # ` h ) - 1 ) <_ ( # ` h ) )
294 238 272 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
295 ffn 
 |-  ( r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> r Fn ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
296 hashfn 
 |-  ( r Fn ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> ( # ` r ) = ( # ` ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) )
297 294 295 296 3syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` r ) = ( # ` ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) )
298 hashfzo0 
 |-  ( ( # ` h ) e. NN0 -> ( # ` ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) = ( # ` h ) )
299 231 290 298 3syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) = ( # ` h ) )
300 286 297 299 3eqtrrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` h ) = ( # ` ( h o. r ) ) )
301 293 300 breqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( ( # ` h ) - 1 ) <_ ( # ` ( h o. r ) ) )
302 elfz2nn0 
 |-  ( ( ( # ` h ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` ( h o. r ) ) ) <-> ( ( ( # ` h ) - 1 ) e. NN0 /\ ( # ` ( h o. r ) ) e. NN0 /\ ( ( # ` h ) - 1 ) <_ ( # ` ( h o. r ) ) ) )
303 284 289 301 302 syl3anbrc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( ( # ` h ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` ( h o. r ) ) ) )
304 303 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( # ` h ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` ( h o. r ) ) ) )
305 pfxfn 
 |-  ( ( ( h o. r ) e. Word P /\ ( ( # ` h ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` ( h o. r ) ) ) ) -> ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) Fn ( 0 ..^ ( ( # ` h ) - 1 ) ) )
306 280 304 305 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) Fn ( 0 ..^ ( ( # ` h ) - 1 ) ) )
307 306 fndmd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> dom ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( 0 ..^ ( ( # ` h ) - 1 ) ) )
308 222 idomringd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> R e. Ring )
309 308 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. P ) ) -> R e. Ring )
310 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. P ) ) -> x e. U )
311 16 1 unitcl 
 |-  ( x e. U -> x e. ( Base ` R ) )
312 310 311 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. P ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
313 222 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. P ) ) -> R e. IDomn )
314 simprr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. P ) ) -> y e. P )
315 16 2 313 314 rprmcl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. P ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
316 16 4 309 312 315 ringcld 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. P ) ) -> ( x .x. y ) e. ( Base ` R ) )
317 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` f ) = ( # ` f ) )
318 317 263 wrdfd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> f : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> P )
319 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) )
320 f1of 
 |-  ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -> c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) )
321 319 320 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) )
322 318 321 fcod 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( f o. c ) : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> P )
323 ovexd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) e. _V )
324 inidm 
 |-  ( ( 0 ..^ ( # ` f ) ) i^i ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) = ( 0 ..^ ( # ` f ) )
325 316 255 322 323 323 324 off 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( d oF .x. ( f o. c ) ) : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> ( Base ` R ) )
326 325 fdmd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> dom ( d oF .x. ( f o. c ) ) = ( 0 ..^ ( # ` f ) ) )
327 271 307 326 3eqtr3d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( 0 ..^ ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( 0 ..^ ( # ` f ) ) )
328 284 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( # ` h ) - 1 ) e. NN0 )
329 328 265 fzo0opth 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( 0 ..^ ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( 0 ..^ ( # ` f ) ) <-> ( ( # ` h ) - 1 ) = ( # ` f ) ) )
330 327 329 mpbid 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( # ` h ) - 1 ) = ( # ` f ) )
331 330 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( ( # ` h ) - 1 ) + 1 ) = ( ( # ` f ) + 1 ) )
332 282 ad10antlr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` h ) e. NN )
333 332 nncnd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` h ) e. CC )
334 npcan1 
 |-  ( ( # ` h ) e. CC -> ( ( ( # ` h ) - 1 ) + 1 ) = ( # ` h ) )
335 333 334 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( ( # ` h ) - 1 ) + 1 ) = ( # ` h ) )
336 331 335 eqtr3d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( # ` f ) + 1 ) = ( # ` h ) )
337 259 269 336 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` ( d ++ <" t "> ) ) = ( # ` h ) )
338 337 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` ( d ++ <" t "> ) ) ) = ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
339 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` ( d ++ <" t "> ) ) = ( # ` ( d ++ <" t "> ) ) )
340 236 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> t e. U )
341 ccatws1cl 
 |-  ( ( d e. Word U /\ t e. U ) -> ( d ++ <" t "> ) e. Word U )
342 257 340 341 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( d ++ <" t "> ) e. Word U )
343 339 342 wrdfd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( d ++ <" t "> ) : ( 0 ..^ ( # ` ( d ++ <" t "> ) ) ) --> U )
344 338 343 feq2dd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( d ++ <" t "> ) : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> U )
345 ccatws1len 
 |-  ( f e. Word P -> ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) = ( ( # ` f ) + 1 ) )
346 263 345 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) = ( ( # ` f ) + 1 ) )
347 346 336 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) = ( # ` h ) )
348 347 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) = ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
349 348 eqcomd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) = ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) )
350 238 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
351 f1ocnv 
 |-  ( r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> `' r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
352 f1of 
 |-  ( `' r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> `' r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
353 350 351 352 3syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> `' r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
354 349 353 feq2dd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> `' r : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) --> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
355 344 354 fcod 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) --> U )
356 251 252 355 elmapdd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) )
357 222 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> R e. IDomn )
358 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( M gsum f ) = ( M gsum f ) )
359 227 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> p e. P )
360 230 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) )
361 231 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> h e. Word P )
362 232 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) )
363 233 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
364 235 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> p ( ||r ` R ) ( h ` j ) )
365 237 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( t .x. p ) = ( h ` j ) )
366 simp-5r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) )
367 simp-4r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> m e. U )
368 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
369 1 2 3 4 220 357 263 263 358 359 360 361 362 363 364 340 365 350 366 367 368 253 319 270 1arithidomlem2 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> ( ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( ( ( d ++ <" t "> ) o. `' r ) oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) ) )
370 250 356 369 rspcedvdw 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) ) )
371 f1oeq1 
 |-  ( v = ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) -> ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) <-> ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) )
372 coeq2 
 |-  ( v = ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) -> ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) = ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) )
373 372 oveq2d 
 |-  ( v = ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) -> ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) )
374 373 eqeq2d 
 |-  ( v = ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) -> ( h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) <-> h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) ) )
375 371 374 anbi12d 
 |-  ( v = ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) -> ( ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) <-> ( ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) ) ) )
376 375 rexbidv 
 |-  ( v = ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) -> ( E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) <-> E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. ( ( c ++ <" ( # ` f ) "> ) o. `' r ) ) ) ) ) )
377 247 370 376 spcedv 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ) /\ ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
378 377 r19.29an 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) /\ E. d e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( c : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) = ( d oF .x. ( f o. c ) ) ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
379 242 378 exlimddv 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
380 simp-7r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) -> E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) )
381 oveq1 
 |-  ( k = m -> ( k .x. ( M gsum h ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
382 381 eqeq2d 
 |-  ( k = m -> ( ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) <-> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) )
383 382 cbvrexvw 
 |-  ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) <-> E. m e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
384 380 383 sylib 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) -> E. m e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
385 379 384 r19.29a 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
386 385 anasss 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) /\ ( r : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) /\ ( h o. r ) = ( ( ( h o. r ) prefix ( ( # ` h ) - 1 ) ) ++ <" ( h ` j ) "> ) ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
387 219 386 exlimddv 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) /\ t e. U ) /\ ( t .x. p ) = ( h ` j ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
388 eqid 
 |-  ( ||r ` R ) = ( ||r ` R )
389 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
390 276 389 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> ( h ` j ) e. P )
391 16 2 388 221 226 234 390 4 1 rprmasso3 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> E. t e. U ( t .x. p ) = ( h ` j ) )
392 387 391 r19.29a 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) ) /\ p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
393 suppssdm 
 |-  ( h supp ( 1r ` R ) ) C_ dom h
394 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` h ) = ( # ` h ) )
395 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> R e. IDomn )
396 395 150 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> Word P C_ Word ( Base ` R ) )
397 396 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> Word P C_ Word ( Base ` R ) )
398 simp-4r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> h e. Word P )
399 397 398 sseldd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> h e. Word ( Base ` R ) )
400 394 399 wrdfd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> h : ( 0 ..^ ( # ` h ) ) --> ( Base ` R ) )
401 393 400 fssdm 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( h supp ( 1r ` R ) ) C_ ( 0 ..^ ( # ` h ) ) )
402 21 ad5antlr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> R e. CRing )
403 simp-5r 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> p e. P )
404 403 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> p e. P )
405 ovexd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` h ) ) e. _V )
406 fvexd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. _V )
407 406 398 wrdfsupp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> h finSupp ( 1r ` R ) )
408 simp-5r 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> R e. IDomn )
409 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> m e. U )
410 16 1 unitcl 
 |-  ( m e. U -> m e. ( Base ` R ) )
411 409 410 syl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> m e. ( Base ` R ) )
412 23 ad5antlr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> M e. CMnd )
413 18 19 412 405 400 407 gsumcl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( M gsum h ) e. ( Base ` R ) )
414 16 2 395 403 rprmcl 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> p e. ( Base ` R ) )
415 414 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> p e. ( Base ` R ) )
416 ovexd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) e. _V )
417 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( # ` f ) = ( # ` f ) )
418 396 223 sseldd 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> f e. Word ( Base ` R ) )
419 418 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> f e. Word ( Base ` R ) )
420 417 419 wrdfd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> f : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) --> ( Base ` R ) )
421 406 419 wrdfsupp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> f finSupp ( 1r ` R ) )
422 18 19 412 416 420 421 gsumcl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( M gsum f ) e. ( Base ` R ) )
423 16 388 4 dvdsrmul 
 |-  ( ( p e. ( Base ` R ) /\ ( M gsum f ) e. ( Base ` R ) ) -> p ( ||r ` R ) ( ( M gsum f ) .x. p ) )
424 415 422 423 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> p ( ||r ` R ) ( ( M gsum f ) .x. p ) )
425 20 idomringd 
 |-  ( R e. IDomn -> R e. Ring )
426 3 ringmgp 
 |-  ( R e. Ring -> M e. Mnd )
427 425 426 syl 
 |-  ( R e. IDomn -> M e. Mnd )
428 427 ad3antlr 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> M e. Mnd )
429 3 4 mgpplusg 
 |-  .x. = ( +g ` M )
430 18 429 gsumccatsn 
 |-  ( ( M e. Mnd /\ f e. Word ( Base ` R ) /\ p e. ( Base ` R ) ) -> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( ( M gsum f ) .x. p ) )
431 428 418 414 430 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( ( M gsum f ) .x. p ) )
432 431 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( ( M gsum f ) .x. p ) )
433 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
434 432 433 eqtr3d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( ( M gsum f ) .x. p ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
435 424 434 breqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> p ( ||r ` R ) ( m .x. ( M gsum h ) ) )
436 16 2 388 4 408 404 411 413 435 rprmdvds 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> ( p ( ||r ` R ) m \/ p ( ||r ` R ) ( M gsum h ) ) )
437 1 2 388 402 404 409 rprmndvdsru 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> -. p ( ||r ` R ) m )
438 436 437 orcnd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> p ( ||r ` R ) ( M gsum h ) )
439 16 2 388 11 3 402 404 405 407 400 438 rprmdvdsprod 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> E. j e. ( h supp ( 1r ` R ) ) p ( ||r ` R ) ( h ` j ) )
440 ssrexv 
 |-  ( ( h supp ( 1r ` R ) ) C_ ( 0 ..^ ( # ` h ) ) -> ( E. j e. ( h supp ( 1r ` R ) ) p ( ||r ` R ) ( h ` j ) -> E. j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) p ( ||r ` R ) ( h ` j ) ) )
441 401 439 440 sylc 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) /\ m e. U ) /\ ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) ) -> E. j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) p ( ||r ` R ) ( h ` j ) )
442 383 biimpi 
 |-  ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) -> E. m e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
443 442 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> E. m e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( m .x. ( M gsum h ) ) )
444 441 443 r19.29a 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> E. j e. ( 0 ..^ ( # ` h ) ) p ( ||r ` R ) ( h ` j ) )
445 392 444 r19.29a 
 |-  ( ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) /\ E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
446 445 ex 
 |-  ( ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) /\ h e. Word P ) -> ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
447 446 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) -> A. h e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
448 f1oeq1 
 |-  ( w = v -> ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) <-> v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) )
449 coeq2 
 |-  ( w = v -> ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) = ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) )
450 449 oveq2d 
 |-  ( w = v -> ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) )
451 450 eqeq2d 
 |-  ( w = v -> ( g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) <-> g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
452 448 451 anbi12d 
 |-  ( w = v -> ( ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) <-> ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
453 452 rexbidv 
 |-  ( w = v -> ( E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) <-> E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
454 453 cbvexvw 
 |-  ( E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) <-> E. v E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
455 oveq1 
 |-  ( u = s -> ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) )
456 455 eqeq2d 
 |-  ( u = s -> ( g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) <-> g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
457 456 anbi2d 
 |-  ( u = s -> ( ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) <-> ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
458 457 cbvrexvw 
 |-  ( E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) <-> E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
459 458 exbii 
 |-  ( E. v E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) <-> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
460 454 459 bitri 
 |-  ( E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) <-> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
461 460 imbi2i 
 |-  ( ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) <-> ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
462 461 ralbii 
 |-  ( A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) <-> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
463 oveq2 
 |-  ( g = h -> ( M gsum g ) = ( M gsum h ) )
464 463 oveq2d 
 |-  ( g = h -> ( k .x. ( M gsum g ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) )
465 464 eqeq2d 
 |-  ( g = h -> ( ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) )
466 465 rexbidv 
 |-  ( g = h -> ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) <-> E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) ) )
467 eqeq1 
 |-  ( g = h -> ( g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) <-> h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) )
468 467 anbi2d 
 |-  ( g = h -> ( ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) <-> ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
469 468 rexbidv 
 |-  ( g = h -> ( E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) <-> E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
470 469 exbidv 
 |-  ( g = h -> ( E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) <-> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
471 466 470 imbi12d 
 |-  ( g = h -> ( ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) <-> ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) ) )
472 471 cbvralvw 
 |-  ( A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) <-> A. h e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
473 462 472 bitri 
 |-  ( A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) <-> A. h e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum h ) ) -> E. v E. s e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( v : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ h = ( s oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. v ) ) ) ) )
474 447 473 sylibr 
 |-  ( ( ( ( f e. Word P /\ p e. P ) /\ ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) ) /\ R e. IDomn ) -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) )
475 474 exp31 
 |-  ( ( f e. Word P /\ p e. P ) -> ( ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum f ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` f ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` f ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` f ) ) /\ g = ( u oF .x. ( f o. w ) ) ) ) ) -> ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum ( f ++ <" p "> ) ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` ( f ++ <" p "> ) ) ) /\ g = ( u oF .x. ( ( f ++ <" p "> ) o. w ) ) ) ) ) ) )
476 66 83 100 117 213 475 wrdind 
 |-  ( F e. Word P -> ( R e. IDomn -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) ) )
477 7 6 476 sylc 
 |-  ( ph -> A. g e. Word P ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum g ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ g = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) )
478 49 477 8 rspcdva 
 |-  ( ph -> ( E. k e. U ( M gsum F ) = ( k .x. ( M gsum G ) ) -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) ) )
479 40 478 mpd 
 |-  ( ph -> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) )
480 5 oveq2i 
 |-  ( U ^m J ) = ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) )
481 f1oeq23 
 |-  ( ( J = ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ J = ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) -> ( w : J -1-1-onto-> J <-> w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) )
482 5 5 481 mp2an 
 |-  ( w : J -1-1-onto-> J <-> w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) )
483 482 anbi1i 
 |-  ( ( w : J -1-1-onto-> J /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) <-> ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) )
484 480 483 rexeqbii 
 |-  ( E. u e. ( U ^m J ) ( w : J -1-1-onto-> J /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) <-> E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) )
485 484 exbii 
 |-  ( E. w E. u e. ( U ^m J ) ( w : J -1-1-onto-> J /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) <-> E. w E. u e. ( U ^m ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ) ( w : ( 0 ..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) )
486 479 485 sylibr 
 |-  ( ph -> E. w E. u e. ( U ^m J ) ( w : J -1-1-onto-> J /\ G = ( u oF .x. ( F o. w ) ) ) )