Theorem 1arithidom

Description: Uniqueness of prime factorizations in an integral domain R . Given two equal products F and G of prime elements, F and G are equal up to a renumbering w and a multiplication by units u . See also 1arith . Chapter VII, Paragraph 3, Section 3, Proposition 2 of BourbakiCAlg2, p. 228. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	1arithidom.u	⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
	1arithidom.i	⊢ 𝑃 = ( RPrime ‘ 𝑅 )
	1arithidom.m	⊢ 𝑀 = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
	1arithidom.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
	1arithidom.j	⊢ 𝐽 = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) )
	1arithidom.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn )
	1arithidom.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃 )
	1arithidom.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃 )
	1arithidom.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑀 Σg 𝐺 ) )
Assertion	1arithidom	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m 𝐽 ) ( 𝑤 : 𝐽 –1-1-onto→ 𝐽 ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithidom.u	⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
2		1arithidom.i	⊢ 𝑃 = ( RPrime ‘ 𝑅 )
3		1arithidom.m	⊢ 𝑀 = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
4		1arithidom.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
5		1arithidom.j	⊢ 𝐽 = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) )
6		1arithidom.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn )
7		1arithidom.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃 )
8		1arithidom.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃 )
9		1arithidom.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑀 Σg 𝐺 ) )
10	6	idomringd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
11		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
12	1 11	1unit	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑈 )
13	10 12	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑈 )
14		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 1r ‘ 𝑅 ) → ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) )
15	14	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) )
16		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
17	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
18	3 16	mgpbas	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑀 )
19	3 11	ringidval	⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑀 )
20		id	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn )
21	20	idomcringd	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing )
22	3	crngmgp	⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd )
23	21 22	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ CMnd )
24	6 23	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd )
25		ovexd	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐺 ) ) ∈ V )
26		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝐺 ) = ( ♯ ‘ 𝐺 ) )
27	26 8	wrdfd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐺 ) ) ⟶ 𝑃 )
28	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝑅 ∈ IDomn )
29		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
30	16 2 28 29	rprmcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
31	30	ex	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
32	31	ssrdv	⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) )
33	27 32	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐺 ) ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
34	13 8	wrdfsupp	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 finSupp ( 1r ‘ 𝑅 ) )
35	18 19 24 25 33 34	gsumcl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
36	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
37	16 4 11 17 36	ringlidmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) = ( 𝑀 Σg 𝐺 ) )
38	15 37	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) = ( 𝑀 Σg 𝐺 ) )
39	38	eqeq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) ↔ ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) )
40	13 39 9	rspcedvd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) )
41		oveq2	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑀 Σg 𝑔 ) = ( 𝑀 Σg 𝐺 ) )
42	41	oveq2d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) )
43	42	eqeq2d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) ) )
44	43	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) ) )
45		eqeq1	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ↔ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) )
46	45	anbi2d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
47	46	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
48	47	exbidv	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
49	44 48	imbi12d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
50		oveq2	⊢ ( ℎ = ∅ → ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑀 Σg ∅ ) )
51	50	eqeq1d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) )
52	51	rexbidv	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) )
53		fveq2	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ♯ ‘ ℎ ) = ( ♯ ‘ ∅ ) )
54	53	oveq2d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) )
55	54	oveq2d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) = ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) )
56		eqidd	⊢ ( ℎ = ∅ → 𝑤 = 𝑤 )
57	56 54 54	f1oeq123d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ↔ 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) )
58		coeq1	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ℎ ∘ 𝑤 ) = ( ∅ ∘ 𝑤 ) )
59	58	oveq2d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) )
60	59	eqeq2d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ↔ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) )
61	57 60	anbi12d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
62	55 61	rexeqbidv	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
63	62	exbidv	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
64	52 63	imbi12d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
65	64	ralbidv	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
66	65	imbi2d	⊢ ( ℎ = ∅ → ( ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) )
67		oveq2	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑀 Σg 𝑓 ) )
68	67	eqeq1d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) )
69	68	rexbidv	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) )
70		fveq2	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ♯ ‘ ℎ ) = ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
71	70	oveq2d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) )
72	71	oveq2d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) = ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) )
73		eqidd	⊢ ( ℎ = 𝑓 → 𝑤 = 𝑤 )
74	73 71 71	f1oeq123d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ↔ 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) )
75		coeq1	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ℎ ∘ 𝑤 ) = ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) )
76	75	oveq2d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) )
77	76	eqeq2d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ↔ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) )
78	74 77	anbi12d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
79	72 78	rexeqbidv	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
80	79	exbidv	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
81	69 80	imbi12d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
82	81	ralbidv	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
83	82	imbi2d	⊢ ( ℎ = 𝑓 → ( ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) )
84		oveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) )
85	84	eqeq1d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) )
86	85	rexbidv	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) )
87		fveq2	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ♯ ‘ ℎ ) = ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) )
88	87	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) )
89	88	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) = ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) )
90		eqidd	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → 𝑤 = 𝑤 )
91	90 88 88	f1oeq123d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ↔ 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) )
92		coeq1	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ℎ ∘ 𝑤 ) = ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) )
93	92	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) )
94	93	eqeq2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ↔ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) )
95	91 94	anbi12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
96	89 95	rexeqbidv	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
97	96	exbidv	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
98	86 97	imbi12d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
99	98	ralbidv	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
100	99	imbi2d	⊢ ( ℎ = ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) → ( ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) )
101		oveq2	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑀 Σg 𝐹 ) )
102	101	eqeq1d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) )
103	102	rexbidv	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) )
104		fveq2	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ♯ ‘ ℎ ) = ( ♯ ‘ 𝐹 ) )
105	104	oveq2d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) )
106	105	oveq2d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) = ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) )
107		eqidd	⊢ ( ℎ = 𝐹 → 𝑤 = 𝑤 )
108	107 105 105	f1oeq123d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ↔ 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) )
109		coeq1	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ℎ ∘ 𝑤 ) = ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) )
110	109	oveq2d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) )
111	110	eqeq2d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ↔ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) )
112	108 111	anbi12d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
113	106 112	rexeqbidv	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
114	113	exbidv	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
115	103 114	imbi12d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
116	115	ralbidv	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
117	116	imbi2d	⊢ ( ℎ = 𝐹 → ( ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ℎ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ℎ ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) )
118		0ex	⊢ ∅ ∈ V
119	118	a1i	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ∅ ∈ V )
120	118	snid	⊢ ∅ ∈ { ∅ }
121	1	fvexi	⊢ 𝑈 ∈ V
122		mapdm0	⊢ ( 𝑈 ∈ V → ( 𝑈 ↑m ∅ ) = { ∅ } )
123	121 122	ax-mp	⊢ ( 𝑈 ↑m ∅ ) = { ∅ }
124	120 123	eleqtrri	⊢ ∅ ∈ ( 𝑈 ↑m ∅ )
125	124	a1i	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ∅ ∈ ( 𝑈 ↑m ∅ ) )
126		f1o0	⊢ ∅ : ∅ –1-1-onto→ ∅
127	126	biantrur	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ↔ ( ∅ : ∅ –1-1-onto→ ∅ ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ) )
128		co02	⊢ ( ∅ ∘ ∅ ) = ∅
129	128	oveq2i	⊢ ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) = ( 𝑢 ∘f · ∅ )
130		of0r	⊢ ( 𝑢 ∘f · ∅ ) = ∅
131	129 130	eqtri	⊢ ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) = ∅
132	131	eqeq2i	⊢ ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ↔ 𝑔 = ∅ )
133	127 132	bitr3i	⊢ ( ( ∅ : ∅ –1-1-onto→ ∅ ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ) ↔ 𝑔 = ∅ )
134	133	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑢 = ∅ ) → ( ( ∅ : ∅ –1-1-onto→ ∅ ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ) ↔ 𝑔 = ∅ ) )
135		simpl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → 𝑅 ∈ IDomn )
136	135	idomcringd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → 𝑅 ∈ CRing )
137	136	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
138		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → 𝑘 ∈ 𝑈 )
139	16 1	unitcl	⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑈 → 𝑘 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
140	138 139	syl	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
141	137 22	syl	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → 𝑀 ∈ CMnd )
142		ovexd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑔 ) ) ∈ V )
143		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑔 ) = ( ♯ ‘ 𝑔 ) )
144		simpl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝑅 ∈ IDomn )
145		simpr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
146	16 2 144 145	rprmcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
147	146	ex	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → ( 𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
148	147	ssrdv	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) )
149		sswrd	⊢ ( 𝑃 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) → Word 𝑃 ⊆ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
150	148 149	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → Word 𝑃 ⊆ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
151	150	sselda	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → 𝑔 ∈ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
152	151	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → 𝑔 ∈ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
153	143 152	wrdfd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → 𝑔 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑔 ) ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
154	135	idomringd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → 𝑅 ∈ Ring )
155	154 12	syl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑈 )
156	155	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑈 )
157	156 152	wrdfsupp	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → 𝑔 finSupp ( 1r ‘ 𝑅 ) )
158	18 19 141 142 153 157	gsumcl	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
159		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) )
160	19	gsum0	⊢ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
161	160 156	eqeltrid	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 𝑀 Σg ∅ ) ∈ 𝑈 )
162	159 161	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ∈ 𝑈 )
163	1 4 16	unitmulclb	⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑘 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ∈ 𝑈 ↔ ( 𝑘 ∈ 𝑈 ∧ ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑈 ) ) )
164	163	biimpa	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑘 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ∈ 𝑈 ) → ( 𝑘 ∈ 𝑈 ∧ ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑈 ) )
165	137 140 158 162 164	syl31anc	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ 𝑈 ∧ ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑈 ) )
166	165	simprd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑈 )
167	166	r19.29an	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑈 )
168	16 1 3 136 151	unitprodclb	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → ( ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑈 ↔ ran 𝑔 ⊆ 𝑈 ) )
169	168	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ( ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ∈ 𝑈 ↔ ran 𝑔 ⊆ 𝑈 ) )
170	167 169	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ran 𝑔 ⊆ 𝑈 )
171	170	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) → ran 𝑔 ⊆ 𝑈 )
172		eqidd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → ( ♯ ‘ 𝑔 ) = ( ♯ ‘ 𝑔 ) )
173		simpr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → 𝑔 ∈ Word 𝑃 )
174	172 173	wrdfd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → 𝑔 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑔 ) ) ⟶ 𝑃 )
175	174	freld	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → Rel 𝑔 )
176	175	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) → Rel 𝑔 )
177		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) → 𝑔 ≠ ∅ )
178		relrn0	⊢ ( Rel 𝑔 → ( 𝑔 = ∅ ↔ ran 𝑔 = ∅ ) )
179	178	necon3bid	⊢ ( Rel 𝑔 → ( 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran 𝑔 ≠ ∅ ) )
180	179	biimpa	⊢ ( ( Rel 𝑔 ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) → ran 𝑔 ≠ ∅ )
181	176 177 180	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) → ran 𝑔 ≠ ∅ )
182		n0	⊢ ( ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑖 𝑖 ∈ ran 𝑔 )
183	181 182	sylib	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑖 𝑖 ∈ ran 𝑔 )
184		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔 ) → 𝑖 ∈ ran 𝑔 )
185	135	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔 ) → 𝑅 ∈ IDomn )
186	174	frnd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → ran 𝑔 ⊆ 𝑃 )
187	186	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) → ran 𝑔 ⊆ 𝑃 )
188	187	sselda	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔 ) → 𝑖 ∈ 𝑃 )
189	2 1 185 188	rprmnunit	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔 ) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑈 )
190		nelss	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ran 𝑔 ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝑈 ) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈 )
191	184 189 190	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) ∧ 𝑖 ∈ ran 𝑔 ) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈 )
192	183 191	exlimddv	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) ∧ 𝑔 ≠ ∅ ) → ¬ ran 𝑔 ⊆ 𝑈 )
193	171 192	pm2.65da	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ¬ 𝑔 ≠ ∅ )
194		nne	⊢ ( ¬ 𝑔 ≠ ∅ ↔ 𝑔 = ∅ )
195	193 194	sylib	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → 𝑔 = ∅ )
196	125 134 195	rspcedvd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ∅ ) ( ∅ : ∅ –1-1-onto→ ∅ ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ) )
197		hash0	⊢ ( ♯ ‘ ∅ ) = 0
198	197	oveq2i	⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) = ( 0 ..^ 0 )
199		fzo0	⊢ ( 0 ..^ 0 ) = ∅
200	198 199	eqtri	⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) = ∅
201	200	oveq2i	⊢ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) = ( 𝑈 ↑m ∅ )
202	201	a1i	⊢ ( 𝑤 = ∅ → ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) = ( 𝑈 ↑m ∅ ) )
203		id	⊢ ( 𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅ )
204	200	a1i	⊢ ( 𝑤 = ∅ → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) = ∅ )
205	203 204 204	f1oeq123d	⊢ ( 𝑤 = ∅ → ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ↔ ∅ : ∅ –1-1-onto→ ∅ ) )
206		coeq2	⊢ ( 𝑤 = ∅ → ( ∅ ∘ 𝑤 ) = ( ∅ ∘ ∅ ) )
207	206	oveq2d	⊢ ( 𝑤 = ∅ → ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) )
208	207	eqeq2d	⊢ ( 𝑤 = ∅ → ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ↔ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ) )
209	205 208	anbi12d	⊢ ( 𝑤 = ∅ → ( ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( ∅ : ∅ –1-1-onto→ ∅ ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ) ) )
210	202 209	rexeqbidv	⊢ ( 𝑤 = ∅ → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ∅ ) ( ∅ : ∅ –1-1-onto→ ∅ ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ ∅ ) ) ) ) )
211	119 196 210	spcedv	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) )
212	211	ex	⊢ ( ( 𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
213	212	ralrimiva	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ∅ ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ∅ ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ∅ ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
214		eqid	⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) )
215		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
216		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ℎ ∈ Word 𝑃 )
217	216	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ℎ ∈ Word 𝑃 )
218		eqid	⊢ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) )
219	214 215 217 218	wrdpmtrlast	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑟 ( 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) )
220		eqid	⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
221		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑅 ∈ IDomn )
222	221	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑅 ∈ IDomn )
223		simp-5l	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑓 ∈ Word 𝑃 )
224	223	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑓 ∈ Word 𝑃 )
225		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑀 Σg 𝑓 ) )
226		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
227	226	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
228		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) → ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
229	228	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
230	222 229	mpd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
231	217	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ℎ ∈ Word 𝑃 )
232		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
233	215	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
234		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
235	234	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
236		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑡 ∈ 𝑈 )
237		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
238		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
239		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) )
240		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑚 ∈ 𝑈 )
241		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
242	1 2 3 4 220 222 224 224 225 227 230 231 232 233 235 236 237 238 239 240 241	1arithidomlem1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∃ 𝑐 ∃ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) )
243		ovexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∈ V )
244		vex	⊢ 𝑟 ∈ V
245	244	cnvex	⊢ ◡ 𝑟 ∈ V
246	245	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ◡ 𝑟 ∈ V )
247	243 246	coexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ∈ V )
248		oveq1	⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) = ( ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) )
249	248	eqeq2d	⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ↔ ℎ = ( ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ) )
250	249	anbi2d	⊢ ( 𝑠 = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( ( ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ) ) )
251	121	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑈 ∈ V )
252		ovexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∈ V )
253		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) )
254		elmapi	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑑 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ 𝑈 )
255	253 254	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑑 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ 𝑈 )
256		iswrdi	⊢ ( 𝑑 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ 𝑈 → 𝑑 ∈ Word 𝑈 )
257	255 256	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ Word 𝑈 )
258		ccatws1len	⊢ ( 𝑑 ∈ Word 𝑈 → ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) )
259	257 258	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) )
260		elmapfn	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) → 𝑑 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) )
261		hashfn	⊢ ( 𝑑 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) = ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) )
262	253 260 261	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) = ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) )
263	223	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ Word 𝑃 )
264		lencl	⊢ ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 → ( ♯ ‘ 𝑓 ) ∈ ℕ0 )
265	263 264	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑓 ) ∈ ℕ0 )
266		hashfzo0	⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑓 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
267	265 266	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
268	262 267	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) = ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
269	268	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑓 ) + 1 ) )
270		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) )
271	270	dmeqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → dom ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = dom ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) )
272		f1of	⊢ ( 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
273		iswrdi	⊢ ( 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → 𝑟 ∈ Word ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
274	238 272 273	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑟 ∈ Word ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
275		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ( ♯ ‘ ℎ ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
276	275 216	wrdfd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ℎ : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ 𝑃 )
277	276	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ℎ : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ 𝑃 )
278		wrdco	⊢ ( ( 𝑟 ∈ Word ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ ℎ : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ 𝑃 ) → ( ℎ ∘ 𝑟 ) ∈ Word 𝑃 )
279	274 277 278	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ℎ ∘ 𝑟 ) ∈ Word 𝑃 )
280	279	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ℎ ∘ 𝑟 ) ∈ Word 𝑃 )
281		elfzo0	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ↔ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℕ ∧ 𝑗 < ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
282	281	simp2bi	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℕ )
283		nnm1nn0	⊢ ( ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
284	233 282 283	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
285		lenco	⊢ ( ( 𝑟 ∈ Word ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ ℎ : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ 𝑃 ) → ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) = ( ♯ ‘ 𝑟 ) )
286	274 277 285	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) = ( ♯ ‘ 𝑟 ) )
287		lencl	⊢ ( 𝑟 ∈ Word ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑟 ) ∈ ℕ0 )
288	274 287	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑟 ) ∈ ℕ0 )
289	286 288	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) ∈ ℕ0 )
290		lencl	⊢ ( ℎ ∈ Word 𝑃 → ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℕ0 )
291	231 290	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℕ0 )
292	291	nn0red	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℝ )
293	292	lem1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ ℎ ) )
294	238 272	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
295		ffn	⊢ ( 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → 𝑟 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
296		hashfn	⊢ ( 𝑟 Fn ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑟 ) = ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) )
297	294 295 296	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑟 ) = ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) )
298		hashfzo0	⊢ ( ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
299	231 290 298	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
300	286 297 299	3eqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ ℎ ) = ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) )
301	293 300	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) )
302		elfz2nn0	⊢ ( ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) ) ↔ ( ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ≤ ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) ) )
303	284 289 301 302	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) ) )
304	303	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) ) )
305		pfxfn	⊢ ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) ∈ Word 𝑃 ∧ ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( ℎ ∘ 𝑟 ) ) ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) Fn ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) )
306	280 304 305	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) Fn ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) )
307	306	fndmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → dom ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) )
308	222	idomringd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
309	308	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
310		simprl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑈 )
311	16 1	unitcl	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
312	310 311	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
313	222	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑅 ∈ IDomn )
314		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
315	16 2 313 314	rprmcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
316	16 4 309 312 315	ringcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
317		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑓 ) = ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
318	317 263	wrdfd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑓 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ 𝑃 )
319		simprl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) )
320		f1of	⊢ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) → 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) )
321	319 320	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) )
322	318 321	fcod	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ 𝑃 )
323		ovexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∈ V )
324		inidm	⊢ ( ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∩ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
325	316 255 322 323 323 324	off	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
326	325	fdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → dom ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) )
327	271 307 326	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) )
328	284	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
329	328 265	fzo0opth	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ↔ ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) )
330	327 329	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
331	330	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) + 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑓 ) + 1 ) )
332	282	ad10antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℕ )
333	332	nncnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℂ )
334		npcan1	⊢ ( ( ♯ ‘ ℎ ) ∈ ℂ → ( ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
335	333 334	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
336	331 335	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑓 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
337	259 269 336	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
338	337	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
339		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ) = ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ) )
340	236	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ 𝑈 )
341		ccatws1cl	⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝑈 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) → ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∈ Word 𝑈 )
342	257 340 341	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∈ Word 𝑈 )
343	339 342	wrdfd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ) ) ⟶ 𝑈 )
344	338 343	feq2dd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ 𝑈 )
345		ccatws1len	⊢ ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 → ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑓 ) + 1 ) )
346	263 345	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑓 ) + 1 ) )
347	346 336	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
348	347	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
349	348	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) )
350	238	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
351		f1ocnv	⊢ ( 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → ◡ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
352		f1of	⊢ ( ◡ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → ◡ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
353	350 351 352	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ◡ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
354	349 353	feq2dd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ◡ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ⟶ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
355	344 354	fcod	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ⟶ 𝑈 )
356	251 252 355	elmapdd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) )
357	222	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ IDomn )
358		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑀 Σg 𝑓 ) )
359	227	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
360	230	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
361	231	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ℎ ∈ Word 𝑃 )
362	232	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
363	233	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
364	235	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
365	237	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
366		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) )
367		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ 𝑈 )
368		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
369	1 2 3 4 220 357 263 263 358 359 360 361 362 363 364 340 365 350 366 367 368 253 319 270	1arithidomlem2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑡 ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ) )
370	250 356 369	rspcedvdw	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ) )
371		f1oeq1	⊢ ( 𝑣 = ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ↔ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) )
372		coeq2	⊢ ( 𝑣 = ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) = ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) )
373	372	oveq2d	⊢ ( 𝑣 = ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) )
374	373	eqeq2d	⊢ ( 𝑣 = ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ↔ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ) )
375	371 374	anbi12d	⊢ ( 𝑣 = ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ) ) )
376	375	rexbidv	⊢ ( 𝑣 = ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) → ( ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ ( ( 𝑐 ++ ⟨“ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ”⟩ ) ∘ ◡ 𝑟 ) ) ) ) ) )
377	247 370 376	spcedv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
378	377	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑐 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑐 ) ) ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
379	242 378	exlimddv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
380		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) → ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
381		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
382	381	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) )
383	382	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
384	380 383	sylib	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) → ∃ 𝑚 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
385	379 384	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
386	385	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ ( 𝑟 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∧ ( ℎ ∘ 𝑟 ) = ( ( ( ℎ ∘ 𝑟 ) prefix ( ( ♯ ‘ ℎ ) − 1 ) ) ++ ⟨“ ( ℎ ‘ 𝑗 ) ”⟩ ) ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
387	219 386	exlimddv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
388		eqid	⊢ ( ∥r ‘ 𝑅 ) = ( ∥r ‘ 𝑅 )
389		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
390	276 389	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ( ℎ ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑃 )
391	16 2 388 221 226 234 390 4 1	rprmasso3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑈 ( 𝑡 · 𝑝 ) = ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
392	387 391	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ) ∧ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
393		suppssdm	⊢ ( ℎ supp ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ⊆ dom ℎ
394		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ ℎ ) = ( ♯ ‘ ℎ ) )
395		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑅 ∈ IDomn )
396	395 150	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → Word 𝑃 ⊆ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
397	396	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → Word 𝑃 ⊆ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
398		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ℎ ∈ Word 𝑃 )
399	397 398	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ℎ ∈ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
400	394 399	wrdfd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ℎ : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
401	393 400	fssdm	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ℎ supp ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) )
402	21	ad5antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
403		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
404	403	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
405		ovexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) ∈ V )
406		fvexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ V )
407	406 398	wrdfsupp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ℎ finSupp ( 1r ‘ 𝑅 ) )
408		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑅 ∈ IDomn )
409		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑚 ∈ 𝑈 )
410	16 1	unitcl	⊢ ( 𝑚 ∈ 𝑈 → 𝑚 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
411	409 410	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑚 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
412	23	ad5antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑀 ∈ CMnd )
413	18 19 412 405 400 407	gsumcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑀 Σg ℎ ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
414	16 2 395 403	rprmcl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
415	414	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
416		ovexd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∈ V )
417		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝑓 ) = ( ♯ ‘ 𝑓 ) )
418	396 223	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑓 ∈ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
419	418	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑓 ∈ Word ( Base ‘ 𝑅 ) )
420	417 419	wrdfd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑓 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
421	406 419	wrdfsupp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑓 finSupp ( 1r ‘ 𝑅 ) )
422	18 19 412 416 420 421	gsumcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑀 Σg 𝑓 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
423	16 388 4	dvdsrmul	⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑀 Σg 𝑓 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑀 Σg 𝑓 ) · 𝑝 ) )
424	415 422 423	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑀 Σg 𝑓 ) · 𝑝 ) )
425	20	idomringd	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring )
426	3	ringmgp	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd )
427	425 426	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ Mnd )
428	427	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑀 ∈ Mnd )
429	3 4	mgpplusg	⊢ · = ( +g ‘ 𝑀 )
430	18 429	gsumccatsn	⊢ ( ( 𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( ( 𝑀 Σg 𝑓 ) · 𝑝 ) )
431	428 418 414 430	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( ( 𝑀 Σg 𝑓 ) · 𝑝 ) )
432	431	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( ( 𝑀 Σg 𝑓 ) · 𝑝 ) )
433		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
434	432 433	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( ( 𝑀 Σg 𝑓 ) · 𝑝 ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
435	424 434	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
436	16 2 388 4 408 404 411 413 435	rprmdvds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ( 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) 𝑚 ∨ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
437	1 2 388 402 404 409	rprmndvdsru	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ¬ 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) 𝑚 )
438	436 437	orcnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( 𝑀 Σg ℎ ) )
439	16 2 388 11 3 402 404 405 407 400 438	rprmdvdsprod	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( ℎ supp ( 1r ‘ 𝑅 ) ) 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
440		ssrexv	⊢ ( ( ℎ supp ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ℎ supp ( 1r ‘ 𝑅 ) ) 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) ) )
441	401 439 440	sylc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
442	383	biimpi	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) → ∃ 𝑚 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
443	442	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∃ 𝑚 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑚 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
444	441 443	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ℎ ) ) 𝑝 ( ∥r ‘ 𝑅 ) ( ℎ ‘ 𝑗 ) )
445	392 444	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
446	445	ex	⊢ ( ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) ∧ ℎ ∈ Word 𝑃 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
447	446	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) → ∀ ℎ ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
448		f1oeq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ↔ 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) )
449		coeq2	⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) = ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) )
450	449	oveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) )
451	450	eqeq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ↔ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
452	448 451	anbi12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
453	452	rexbidv	⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
454	453	cbvexvw	⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
455		oveq1	⊢ ( 𝑢 = 𝑠 → ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) )
456	455	eqeq2d	⊢ ( 𝑢 = 𝑠 → ( 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ↔ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
457	456	anbi2d	⊢ ( 𝑢 = 𝑠 → ( ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
458	457	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
459	458	exbii	⊢ ( ∃ 𝑣 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
460	454 459	bitri	⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
461	460	imbi2i	⊢ ( ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
462	461	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
463		oveq2	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( 𝑀 Σg 𝑔 ) = ( 𝑀 Σg ℎ ) )
464	463	oveq2d	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) )
465	464	eqeq2d	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) )
466	465	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) ) )
467		eqeq1	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ↔ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) )
468	467	anbi2d	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
469	468	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
470	469	exbidv	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
471	466 470	imbi12d	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) ) )
472	471	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) ↔ ∀ ℎ ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
473	462 472	bitri	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∀ ℎ ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg ℎ ) ) → ∃ 𝑣 ∃ 𝑠 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑣 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ ℎ = ( 𝑠 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑣 ) ) ) ) )
474	447 473	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) ∧ 𝑅 ∈ IDomn ) → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
475	474	exp31	⊢ ( ( 𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝑓 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝑓 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( ( 𝑓 ++ ⟨“ 𝑝 ”⟩ ) ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) ) )
476	66 83 100 117 213 475	wrdind	⊢ ( 𝐹 ∈ Word 𝑃 → ( 𝑅 ∈ IDomn → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) ) )
477	7 6 476	sylc	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑔 ∈ Word 𝑃 ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝑔 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝑔 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
478	49 477 8	rspcdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑘 ∈ 𝑈 ( 𝑀 Σg 𝐹 ) = ( 𝑘 · ( 𝑀 Σg 𝐺 ) ) → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ) )
479	40 478	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) )
480	5	oveq2i	⊢ ( 𝑈 ↑m 𝐽 ) = ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) )
481		f1oeq23	⊢ ( ( 𝐽 = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐽 = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑤 : 𝐽 –1-1-onto→ 𝐽 ↔ 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) )
482	5 5 481	mp2an	⊢ ( 𝑤 : 𝐽 –1-1-onto→ 𝐽 ↔ 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) )
483	482	anbi1i	⊢ ( ( 𝑤 : 𝐽 –1-1-onto→ 𝐽 ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) )
484	480 483	rexeqbii	⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m 𝐽 ) ( 𝑤 : 𝐽 –1-1-onto→ 𝐽 ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) )
485	484	exbii	⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m 𝐽 ) ( 𝑤 : 𝐽 –1-1-onto→ 𝐽 ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ( 𝑤 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) –1-1-onto→ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) )
486	479 485	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑈 ↑m 𝐽 ) ( 𝑤 : 𝐽 –1-1-onto→ 𝐽 ∧ 𝐺 = ( 𝑢 ∘f · ( 𝐹 ∘ 𝑤 ) ) ) )