Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xrlimcnp.a |
|- ( ph -> A = ( B u. { +oo } ) ) |
2 |
|
xrlimcnp.b |
|- ( ph -> B C_ RR ) |
3 |
|
xrlimcnp.r |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC ) |
4 |
|
xrlimcnp.c |
|- ( x = +oo -> R = C ) |
5 |
|
xrlimcnp.j |
|- J = ( TopOpen ` CCfld ) |
6 |
|
xrlimcnp.k |
|- K = ( ( ordTop ` <_ ) |`t A ) |
7 |
3
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> CC ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) -> ( x e. A |-> R ) : A --> CC ) |
9 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R ) |
10 |
|
ssun2 |
|- { +oo } C_ ( B u. { +oo } ) |
11 |
|
pnfex |
|- +oo e. _V |
12 |
11
|
snid |
|- +oo e. { +oo } |
13 |
10 12
|
sselii |
|- +oo e. ( B u. { +oo } ) |
14 |
13 1
|
eleqtrrid |
|- ( ph -> +oo e. A ) |
15 |
4
|
eleq1d |
|- ( x = +oo -> ( R e. CC <-> C e. CC ) ) |
16 |
3
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. A R e. CC ) |
17 |
15 16 14
|
rspcdva |
|- ( ph -> C e. CC ) |
18 |
9 4 14 17
|
fvmptd3 |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) = C ) |
19 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ y e. J ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) = C ) |
20 |
19
|
eleq1d |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ y e. J ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) e. y <-> C e. y ) ) |
21 |
|
cnxmet |
|- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) |
22 |
5
|
cnfldtopn |
|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) |
23 |
22
|
mopni2 |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. J /\ C e. y ) -> E. r e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) |
24 |
21 23
|
mp3an1 |
|- ( ( y e. J /\ C e. y ) -> E. r e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) |
25 |
|
ssun1 |
|- B C_ ( B u. { +oo } ) |
26 |
25 1
|
sseqtrrid |
|- ( ph -> B C_ A ) |
27 |
|
ssralv |
|- ( B C_ A -> ( A. x e. A R e. CC -> A. x e. B R e. CC ) ) |
28 |
26 16 27
|
sylc |
|- ( ph -> A. x e. B R e. CC ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) -> A. x e. B R e. CC ) |
30 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) -> r e. RR+ ) |
31 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) -> ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) |
32 |
29 30 31
|
rlimi |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) -> E. k e. RR A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
33 |
|
letop |
|- ( ordTop ` <_ ) e. Top |
34 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
35 |
2 34
|
sstrdi |
|- ( ph -> B C_ RR* ) |
36 |
|
pnfxr |
|- +oo e. RR* |
37 |
36
|
a1i |
|- ( ph -> +oo e. RR* ) |
38 |
37
|
snssd |
|- ( ph -> { +oo } C_ RR* ) |
39 |
35 38
|
unssd |
|- ( ph -> ( B u. { +oo } ) C_ RR* ) |
40 |
1 39
|
eqsstrd |
|- ( ph -> A C_ RR* ) |
41 |
|
xrex |
|- RR* e. _V |
42 |
41
|
ssex |
|- ( A C_ RR* -> A e. _V ) |
43 |
40 42
|
syl |
|- ( ph -> A e. _V ) |
44 |
43
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> A e. _V ) |
45 |
|
iocpnfordt |
|- ( k (,] +oo ) e. ( ordTop ` <_ ) |
46 |
45
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( k (,] +oo ) e. ( ordTop ` <_ ) ) |
47 |
|
elrestr |
|- ( ( ( ordTop ` <_ ) e. Top /\ A e. _V /\ ( k (,] +oo ) e. ( ordTop ` <_ ) ) -> ( ( k (,] +oo ) i^i A ) e. ( ( ordTop ` <_ ) |`t A ) ) |
48 |
33 44 46 47
|
mp3an2i |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( ( k (,] +oo ) i^i A ) e. ( ( ordTop ` <_ ) |`t A ) ) |
49 |
48 6
|
eleqtrrdi |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( ( k (,] +oo ) i^i A ) e. K ) |
50 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> k e. RR ) |
51 |
50
|
rexrd |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> k e. RR* ) |
52 |
36
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> +oo e. RR* ) |
53 |
50
|
ltpnfd |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> k < +oo ) |
54 |
|
ubioc1 |
|- ( ( k e. RR* /\ +oo e. RR* /\ k < +oo ) -> +oo e. ( k (,] +oo ) ) |
55 |
51 52 53 54
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> +oo e. ( k (,] +oo ) ) |
56 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> +oo e. A ) |
57 |
55 56
|
elind |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> +oo e. ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) |
58 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> k e. RR ) |
59 |
58
|
rexrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> k e. RR* ) |
60 |
|
elioc1 |
|- ( ( k e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( k (,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ k < x /\ x <_ +oo ) ) ) |
61 |
59 36 60
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( k (,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ k < x /\ x <_ +oo ) ) ) |
62 |
|
simp2 |
|- ( ( x e. RR* /\ k < x /\ x <_ +oo ) -> k < x ) |
63 |
61 62
|
syl6bi |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( k (,] +oo ) -> k < x ) ) |
64 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) -> B C_ RR ) |
65 |
64
|
sselda |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> x e. RR ) |
66 |
|
ltle |
|- ( ( k e. RR /\ x e. RR ) -> ( k < x -> k <_ x ) ) |
67 |
58 65 66
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( k < x -> k <_ x ) ) |
68 |
63 67
|
syld |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( k (,] +oo ) -> k <_ x ) ) |
69 |
21
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) |
70 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) -> r e. RR+ ) |
71 |
70
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> r e. RR+ ) |
72 |
|
rpxr |
|- ( r e. RR+ -> r e. RR* ) |
73 |
71 72
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> r e. RR* ) |
74 |
17
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> C e. CC ) |
75 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) -> A. x e. B R e. CC ) |
76 |
75
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> R e. CC ) |
77 |
|
elbl3 |
|- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( C e. CC /\ R e. CC ) ) -> ( R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( R ( abs o. - ) C ) < r ) ) |
78 |
69 73 74 76 77
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( R ( abs o. - ) C ) < r ) ) |
79 |
|
eqid |
|- ( abs o. - ) = ( abs o. - ) |
80 |
79
|
cnmetdval |
|- ( ( R e. CC /\ C e. CC ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) ) |
81 |
76 74 80
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) ) |
82 |
81
|
breq1d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( ( R ( abs o. - ) C ) < r <-> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
83 |
78 82
|
bitrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
84 |
83
|
biimprd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( ( abs ` ( R - C ) ) < r -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
85 |
68 84
|
imim12d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) /\ x e. B ) -> ( ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) -> ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
86 |
85
|
ralimdva |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ k e. RR ) -> ( A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) -> A. x e. B ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
87 |
86
|
impr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> A. x e. B ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
88 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> C e. CC ) |
89 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> r e. RR+ ) |
90 |
|
blcntr |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ r e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
91 |
21 88 89 90
|
mp3an2i |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
92 |
91
|
a1d |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( +oo e. ( k (,] +oo ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
93 |
|
eleq1 |
|- ( x = +oo -> ( x e. ( k (,] +oo ) <-> +oo e. ( k (,] +oo ) ) ) |
94 |
4
|
eleq1d |
|- ( x = +oo -> ( R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
95 |
93 94
|
imbi12d |
|- ( x = +oo -> ( ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> ( +oo e. ( k (,] +oo ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
96 |
11 95
|
ralsn |
|- ( A. x e. { +oo } ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> ( +oo e. ( k (,] +oo ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
97 |
92 96
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> A. x e. { +oo } ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
98 |
|
ralunb |
|- ( A. x e. ( B u. { +oo } ) ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> ( A. x e. B ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) /\ A. x e. { +oo } ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
99 |
87 97 98
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> A. x e. ( B u. { +oo } ) ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
100 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> A = ( B u. { +oo } ) ) |
101 |
100
|
raleqdv |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( A. x e. A ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> A. x e. ( B u. { +oo } ) ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
102 |
99 101
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> A. x e. A ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
103 |
|
ss2rab |
|- ( { x e. A | x e. ( k (,] +oo ) } C_ { x e. A | R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) } <-> A. x e. A ( x e. ( k (,] +oo ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
104 |
102 103
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> { x e. A | x e. ( k (,] +oo ) } C_ { x e. A | R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) } ) |
105 |
|
incom |
|- ( ( k (,] +oo ) i^i A ) = ( A i^i ( k (,] +oo ) ) |
106 |
|
dfin5 |
|- ( A i^i ( k (,] +oo ) ) = { x e. A | x e. ( k (,] +oo ) } |
107 |
105 106
|
eqtri |
|- ( ( k (,] +oo ) i^i A ) = { x e. A | x e. ( k (,] +oo ) } |
108 |
9
|
mptpreima |
|- ( `' ( x e. A |-> R ) " ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) = { x e. A | R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) } |
109 |
104 107 108
|
3sstr4g |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( ( k (,] +oo ) i^i A ) C_ ( `' ( x e. A |-> R ) " ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
110 |
|
funmpt |
|- Fun ( x e. A |-> R ) |
111 |
|
inss2 |
|- ( ( k (,] +oo ) i^i A ) C_ A |
112 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( x e. A |-> R ) : A --> CC ) |
113 |
112
|
fdmd |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> dom ( x e. A |-> R ) = A ) |
114 |
111 113
|
sseqtrrid |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( ( k (,] +oo ) i^i A ) C_ dom ( x e. A |-> R ) ) |
115 |
|
funimass3 |
|- ( ( Fun ( x e. A |-> R ) /\ ( ( k (,] +oo ) i^i A ) C_ dom ( x e. A |-> R ) ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) " ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( k (,] +oo ) i^i A ) C_ ( `' ( x e. A |-> R ) " ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
116 |
110 114 115
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) " ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( k (,] +oo ) i^i A ) C_ ( `' ( x e. A |-> R ) " ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
117 |
109 116
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( ( x e. A |-> R ) " ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
118 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) |
119 |
117 118
|
sstrd |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> ( ( x e. A |-> R ) " ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) C_ y ) |
120 |
|
eleq2 |
|- ( z = ( ( k (,] +oo ) i^i A ) -> ( +oo e. z <-> +oo e. ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) ) |
121 |
|
imaeq2 |
|- ( z = ( ( k (,] +oo ) i^i A ) -> ( ( x e. A |-> R ) " z ) = ( ( x e. A |-> R ) " ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) ) |
122 |
121
|
sseq1d |
|- ( z = ( ( k (,] +oo ) i^i A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y <-> ( ( x e. A |-> R ) " ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) C_ y ) ) |
123 |
120 122
|
anbi12d |
|- ( z = ( ( k (,] +oo ) i^i A ) -> ( ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) <-> ( +oo e. ( ( k (,] +oo ) i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) C_ y ) ) ) |
124 |
123
|
rspcev |
|- ( ( ( ( k (,] +oo ) i^i A ) e. K /\ ( +oo e. ( ( k (,] +oo ) i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( ( k (,] +oo ) i^i A ) ) C_ y ) ) -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) |
125 |
49 57 119 124
|
syl12anc |
|- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) /\ ( k e. RR /\ A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) |
126 |
125
|
rexlimdvaa |
|- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) -> ( E. k e. RR A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) |
127 |
126
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) -> ( E. k e. RR A. x e. B ( k <_ x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) |
128 |
32 127
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ ( r e. RR+ /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y ) ) -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) |
129 |
128
|
rexlimdvaa |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) -> ( E. r e. RR+ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ y -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) |
130 |
24 129
|
syl5 |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) -> ( ( y e. J /\ C e. y ) -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) |
131 |
130
|
expdimp |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ y e. J ) -> ( C e. y -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) |
132 |
20 131
|
sylbid |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) /\ y e. J ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) e. y -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) |
133 |
132
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) -> A. y e. J ( ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) e. y -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) |
134 |
|
letopon |
|- ( ordTop ` <_ ) e. ( TopOn ` RR* ) |
135 |
|
resttopon |
|- ( ( ( ordTop ` <_ ) e. ( TopOn ` RR* ) /\ A C_ RR* ) -> ( ( ordTop ` <_ ) |`t A ) e. ( TopOn ` A ) ) |
136 |
134 40 135
|
sylancr |
|- ( ph -> ( ( ordTop ` <_ ) |`t A ) e. ( TopOn ` A ) ) |
137 |
6 136
|
eqeltrid |
|- ( ph -> K e. ( TopOn ` A ) ) |
138 |
5
|
cnfldtopon |
|- J e. ( TopOn ` CC ) |
139 |
138
|
a1i |
|- ( ph -> J e. ( TopOn ` CC ) ) |
140 |
|
iscnp |
|- ( ( K e. ( TopOn ` A ) /\ J e. ( TopOn ` CC ) /\ +oo e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. y e. J ( ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) e. y -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) ) ) |
141 |
137 139 14 140
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. y e. J ( ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) e. y -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) ) ) |
142 |
141
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. y e. J ( ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) e. y -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ y ) ) ) ) ) |
143 |
8 133 142
|
mpbir2and |
|- ( ( ph /\ ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) -> ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) |
144 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) |
145 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> C e. CC ) |
146 |
72
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* ) |
147 |
22
|
blopn |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. CC /\ r e. RR* ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. J ) |
148 |
21 145 146 147
|
mp3an2i |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. J ) |
149 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) = C ) |
150 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ ) |
151 |
21 145 150 90
|
mp3an2i |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
152 |
149 151
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
153 |
|
cnpimaex |
|- ( ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) /\ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) e. J /\ ( ( x e. A |-> R ) ` +oo ) e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
154 |
144 148 152 153
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
155 |
|
vex |
|- w e. _V |
156 |
155
|
inex1 |
|- ( w i^i A ) e. _V |
157 |
156
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) /\ w e. ( ordTop ` <_ ) ) -> ( w i^i A ) e. _V ) |
158 |
6
|
eleq2i |
|- ( z e. K <-> z e. ( ( ordTop ` <_ ) |`t A ) ) |
159 |
43
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> A e. _V ) |
160 |
|
elrest |
|- ( ( ( ordTop ` <_ ) e. Top /\ A e. _V ) -> ( z e. ( ( ordTop ` <_ ) |`t A ) <-> E. w e. ( ordTop ` <_ ) z = ( w i^i A ) ) ) |
161 |
33 159 160
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( z e. ( ( ordTop ` <_ ) |`t A ) <-> E. w e. ( ordTop ` <_ ) z = ( w i^i A ) ) ) |
162 |
158 161
|
syl5bb |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( z e. K <-> E. w e. ( ordTop ` <_ ) z = ( w i^i A ) ) ) |
163 |
|
eleq2 |
|- ( z = ( w i^i A ) -> ( +oo e. z <-> +oo e. ( w i^i A ) ) ) |
164 |
|
imaeq2 |
|- ( z = ( w i^i A ) -> ( ( x e. A |-> R ) " z ) = ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) ) |
165 |
164
|
sseq1d |
|- ( z = ( w i^i A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
166 |
163 165
|
anbi12d |
|- ( z = ( w i^i A ) -> ( ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> ( +oo e. ( w i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
167 |
166
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) /\ z = ( w i^i A ) ) -> ( ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> ( +oo e. ( w i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
168 |
157 162 167
|
rexxfr2d |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. z e. K ( +oo e. z /\ ( ( x e. A |-> R ) " z ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. w e. ( ordTop ` <_ ) ( +oo e. ( w i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
169 |
154 168
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> E. w e. ( ordTop ` <_ ) ( +oo e. ( w i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
170 |
|
elinel1 |
|- ( +oo e. ( w i^i A ) -> +oo e. w ) |
171 |
|
pnfnei |
|- ( ( w e. ( ordTop ` <_ ) /\ +oo e. w ) -> E. k e. RR ( k (,] +oo ) C_ w ) |
172 |
170 171
|
sylan2 |
|- ( ( w e. ( ordTop ` <_ ) /\ +oo e. ( w i^i A ) ) -> E. k e. RR ( k (,] +oo ) C_ w ) |
173 |
|
df-ima |
|- ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) = ran ( ( x e. A |-> R ) |` ( w i^i A ) ) |
174 |
|
inss2 |
|- ( w i^i A ) C_ A |
175 |
|
resmpt |
|- ( ( w i^i A ) C_ A -> ( ( x e. A |-> R ) |` ( w i^i A ) ) = ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) ) |
176 |
174 175
|
ax-mp |
|- ( ( x e. A |-> R ) |` ( w i^i A ) ) = ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) |
177 |
176
|
rneqi |
|- ran ( ( x e. A |-> R ) |` ( w i^i A ) ) = ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) |
178 |
173 177
|
eqtri |
|- ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) = ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) |
179 |
178
|
sseq1i |
|- ( ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
180 |
|
dfss3 |
|- ( ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> A. z e. ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) z e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
181 |
179 180
|
bitri |
|- ( ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> A. z e. ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) z e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
182 |
16
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> A. x e. A R e. CC ) |
183 |
|
ssralv |
|- ( ( w i^i A ) C_ A -> ( A. x e. A R e. CC -> A. x e. ( w i^i A ) R e. CC ) ) |
184 |
174 182 183
|
mpsyl |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> A. x e. ( w i^i A ) R e. CC ) |
185 |
|
eqid |
|- ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) = ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) |
186 |
|
eleq1 |
|- ( z = R -> ( z e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
187 |
185 186
|
ralrnmptw |
|- ( A. x e. ( w i^i A ) R e. CC -> ( A. z e. ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) z e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
188 |
184 187
|
syl |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. z e. ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) z e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
189 |
188
|
biimpd |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. z e. ran ( x e. ( w i^i A ) |-> R ) z e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
190 |
181 189
|
syl5bi |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
191 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> ( k (,] +oo ) C_ w ) |
192 |
35
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> B C_ RR* ) |
193 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> x e. B ) |
194 |
192 193
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> x e. RR* ) |
195 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> k < x ) |
196 |
|
pnfge |
|- ( x e. RR* -> x <_ +oo ) |
197 |
194 196
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> x <_ +oo ) |
198 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> k e. RR ) |
199 |
198
|
rexrd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> k e. RR* ) |
200 |
199 36 60
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> ( x e. ( k (,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ k < x /\ x <_ +oo ) ) ) |
201 |
194 195 197 200
|
mpbir3and |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> x e. ( k (,] +oo ) ) |
202 |
191 201
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> x e. w ) |
203 |
26
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> B C_ A ) |
204 |
203
|
sselda |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ x e. B ) -> x e. A ) |
205 |
204
|
adantrr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> x e. A ) |
206 |
202 205
|
elind |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> x e. ( w i^i A ) ) |
207 |
206
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> ( ( x e. B /\ k < x ) -> x e. ( w i^i A ) ) ) |
208 |
207
|
imim1d |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> ( ( x e. ( w i^i A ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x e. B /\ k < x ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
209 |
21
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) |
210 |
72
|
adantl |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* ) |
211 |
210
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> r e. RR* ) |
212 |
17
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> C e. CC ) |
213 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> A. x e. B R e. CC ) |
214 |
213
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ x e. B ) -> R e. CC ) |
215 |
214
|
adantrr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> R e. CC ) |
216 |
209 211 212 215 77
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> ( R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( R ( abs o. - ) C ) < r ) ) |
217 |
215 212 80
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) ) |
218 |
217
|
breq1d |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> ( ( R ( abs o. - ) C ) < r <-> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
219 |
216 218
|
bitrd |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ ( x e. B /\ k < x ) ) -> ( R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
220 |
219
|
pm5.74da |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> ( ( ( x e. B /\ k < x ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> ( ( x e. B /\ k < x ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
221 |
208 220
|
sylibd |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> ( ( x e. ( w i^i A ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x e. B /\ k < x ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
222 |
221
|
exp4a |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> ( ( x e. ( w i^i A ) -> R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( x e. B -> ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) ) |
223 |
222
|
ralimdv2 |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> ( A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
224 |
223
|
imp |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) /\ A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
225 |
224
|
an32s |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) /\ ( k e. RR /\ ( k (,] +oo ) C_ w ) ) -> A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
226 |
225
|
expr |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) /\ k e. RR ) -> ( ( k (,] +oo ) C_ w -> A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
227 |
226
|
reximdva |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( E. k e. RR ( k (,] +oo ) C_ w -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
228 |
227
|
ex |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( w i^i A ) R e. ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( E. k e. RR ( k (,] +oo ) C_ w -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) ) |
229 |
190 228
|
syld |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( E. k e. RR ( k (,] +oo ) C_ w -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) ) |
230 |
229
|
com23 |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. k e. RR ( k (,] +oo ) C_ w -> ( ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) ) |
231 |
172 230
|
syl5 |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( w e. ( ordTop ` <_ ) /\ +oo e. ( w i^i A ) ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) ) |
232 |
231
|
impl |
|- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ w e. ( ordTop ` <_ ) ) /\ +oo e. ( w i^i A ) ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
233 |
232
|
expimpd |
|- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ w e. ( ordTop ` <_ ) ) -> ( ( +oo e. ( w i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
234 |
233
|
rexlimdva |
|- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. w e. ( ordTop ` <_ ) ( +oo e. ( w i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
235 |
234
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. w e. ( ordTop ` <_ ) ( +oo e. ( w i^i A ) /\ ( ( x e. A |-> R ) " ( w i^i A ) ) C_ ( C ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
236 |
169 235
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) /\ r e. RR+ ) -> E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
237 |
236
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) -> A. r e. RR+ E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) |
238 |
28 2 17
|
rlim2lt |
|- ( ph -> ( ( x e. B |-> R ) ~~>r C <-> A. r e. RR+ E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
239 |
238
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) -> ( ( x e. B |-> R ) ~~>r C <-> A. r e. RR+ E. k e. RR A. x e. B ( k < x -> ( abs ` ( R - C ) ) < r ) ) ) |
240 |
237 239
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) -> ( x e. B |-> R ) ~~>r C ) |
241 |
143 240
|
impbida |
|- ( ph -> ( ( x e. B |-> R ) ~~>r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` +oo ) ) ) |