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Theorem mblfinlem1

Description: Lemma for ismblfin , ordering the sets of dyadic intervals that are antichains under subset and whose unions are contained entirely in A . (Contributed by Brendan Leahy, 13-Jul-2018)

Ref Expression
Assertion mblfinlem1 A topGen ran . A f f : 1-1 onto a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 peano2re n n + 1
2 ltp1 n n < n + 1
3 breq2 z = n + 1 n < z n < n + 1
4 3 rspcev n + 1 n < n + 1 z n < z
5 1 2 4 syl2anc n z n < z
6 5 rgen n z n < z
7 ltnle n z n < z ¬ z n
8 7 rexbidva n z n < z z ¬ z n
9 rexnal z ¬ z n ¬ z z n
10 8 9 bitrdi n z n < z ¬ z z n
11 10 ralbiia n z n < z n ¬ z z n
12 ralnex n ¬ z z n ¬ n z z n
13 11 12 bitri n z n < z ¬ n z z n
14 6 13 mpbi ¬ n z z n
15 raleq A = z A z n z z n
16 15 rexbidv A = n z A z n n z z n
17 14 16 mtbiri A = ¬ n z A z n
18 ssrab2 a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A
19 ssrab2 b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y
20 zre x x
21 2re 2
22 reexpcl 2 y 0 2 y
23 21 22 mpan y 0 2 y
24 nn0z y 0 y
25 2cn 2
26 2ne0 2 0
27 expne0i 2 2 0 y 2 y 0
28 25 26 27 mp3an12 y 2 y 0
29 24 28 syl y 0 2 y 0
30 23 29 jca y 0 2 y 2 y 0
31 redivcl x 2 y 2 y 0 x 2 y
32 peano2re x x + 1
33 redivcl x + 1 2 y 2 y 0 x + 1 2 y
34 32 33 syl3an1 x 2 y 2 y 0 x + 1 2 y
35 opelxpi x 2 y x + 1 2 y x 2 y x + 1 2 y 2
36 31 34 35 syl2anc x 2 y 2 y 0 x 2 y x + 1 2 y 2
37 36 3expb x 2 y 2 y 0 x 2 y x + 1 2 y 2
38 20 30 37 syl2an x y 0 x 2 y x + 1 2 y 2
39 38 rgen2 x y 0 x 2 y x + 1 2 y 2
40 eqid x , y 0 x 2 y x + 1 2 y = x , y 0 x 2 y x + 1 2 y
41 40 fmpo x y 0 x 2 y x + 1 2 y 2 x , y 0 x 2 y x + 1 2 y : × 0 2
42 39 41 mpbi x , y 0 x 2 y x + 1 2 y : × 0 2
43 frn x , y 0 x 2 y x + 1 2 y : × 0 2 ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y 2
44 42 43 ax-mp ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y 2
45 19 44 sstri b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A 2
46 18 45 sstri a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 2
47 rnss a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 2 ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ran 2
48 rnxpid ran 2 =
49 47 48 sseqtrdi a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 2 ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
50 46 49 ax-mp ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
51 rnfi a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin
52 fimaxre2 ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n
53 50 51 52 sylancr a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n
54 53 adantl . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n
55 eluni2 z . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z u
56 iccf . : * × * 𝒫 *
57 ffn . : * × * 𝒫 * . Fn * × *
58 56 57 ax-mp . Fn * × *
59 rexpssxrxp 2 * × *
60 46 59 sstri a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c * × *
61 eleq2 u = . v z u z . v
62 61 rexima . Fn * × * a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c * × * u . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z u v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z . v
63 58 60 62 mp2an u . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z u v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z . v
64 55 63 bitri z . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z . v
65 46 sseli v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c v 2
66 1st2nd2 v 2 v = 1 st v 2 nd v
67 66 fveq2d v 2 . v = . 1 st v 2 nd v
68 df-ov 1 st v 2 nd v = . 1 st v 2 nd v
69 67 68 eqtr4di v 2 . v = 1 st v 2 nd v
70 69 eleq2d v 2 z . v z 1 st v 2 nd v
71 65 70 syl v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z . v z 1 st v 2 nd v
72 71 biimpd v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z . v z 1 st v 2 nd v
73 72 imdistani v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z . v v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v
74 eliccxr z 1 st v 2 nd v z *
75 74 ad2antll . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v z *
76 xp2nd v 2 2 nd v
77 76 rexrd v 2 2 nd v *
78 65 77 syl v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 2 nd v *
79 78 ad2antrl . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v 2 nd v *
80 simpllr . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v n
81 80 rexrd . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v n *
82 xp1st v 2 1 st v
83 82 rexrd v 2 1 st v *
84 83 77 jca v 2 1 st v * 2 nd v *
85 65 84 syl v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 1 st v * 2 nd v *
86 iccleub 1 st v * 2 nd v * z 1 st v 2 nd v z 2 nd v
87 86 3expa 1 st v * 2 nd v * z 1 st v 2 nd v z 2 nd v
88 85 87 sylan v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v z 2 nd v
89 88 adantl . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v z 2 nd v
90 xpss 2 V × V
91 46 90 sstri a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c V × V
92 df-rel Rel a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c V × V
93 91 92 mpbir Rel a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
94 2ndrn Rel a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 2 nd v ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
95 93 94 mpan v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 2 nd v ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
96 breq1 u = 2 nd v u n 2 nd v n
97 96 rspccva u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n 2 nd v ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 2 nd v n
98 95 97 sylan2 u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c 2 nd v n
99 98 ad2ant2lr . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v 2 nd v n
100 75 79 81 89 99 xrletrd . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 1 st v 2 nd v z n
101 73 100 sylan2 . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z . v z n
102 101 rexlimdvaa . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n v a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z . v z n
103 64 102 syl5bi . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n z . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z n
104 103 ralrimiv . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n z . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z n
105 raleq . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A z . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z n z A z n
106 105 ad2antrr . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n z . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z n z A z n
107 104 106 mpbid . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n z A z n
108 107 ex . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n z A z n
109 108 reximdva . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n n z A z n
110 109 adantr . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin n u ran a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c u n n z A z n
111 54 110 mpd . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin n z A z n
112 17 111 nsyl A = ¬ . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin
113 112 adantl A topGen ran . A A = ¬ . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin
114 uniretop = topGen ran .
115 retopconn topGen ran . Conn
116 115 a1i A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin topGen ran . Conn
117 simpll A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin A topGen ran .
118 simplr A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin A
119 simprl A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A
120 ffun . : * × * 𝒫 * Fun .
121 funiunfv Fun . z a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c . z = . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
122 56 120 121 mp2b z a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c . z = . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
123 retop topGen ran . Top
124 46 sseli z a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c z 2
125 1st2nd2 z 2 z = 1 st z 2 nd z
126 125 fveq2d z 2 . z = . 1 st z 2 nd z
127 df-ov 1 st z 2 nd z = . 1 st z 2 nd z
128 126 127 eqtr4di z 2 . z = 1 st z 2 nd z
129 xp1st z 2 1 st z
130 xp2nd z 2 2 nd z
131 icccld 1 st z 2 nd z 1 st z 2 nd z Clsd topGen ran .
132 129 130 131 syl2anc z 2 1 st z 2 nd z Clsd topGen ran .
133 128 132 eqeltrd z 2 . z Clsd topGen ran .
134 124 133 syl z a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c . z Clsd topGen ran .
135 134 rgen z a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c . z Clsd topGen ran .
136 114 iuncld topGen ran . Top a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin z a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c . z Clsd topGen ran . z a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c . z Clsd topGen ran .
137 123 135 136 mp3an13 a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin z a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c . z Clsd topGen ran .
138 122 137 eqeltrrid a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Clsd topGen ran .
139 138 ad2antll A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Clsd topGen ran .
140 119 139 eqeltrrd A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin A Clsd topGen ran .
141 114 116 117 118 140 connclo A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin A =
142 141 ex A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin A =
143 142 necon3ad A topGen ran . A A ¬ . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin
144 143 imp A topGen ran . A A ¬ . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin
145 113 144 pm2.61dane A topGen ran . A ¬ . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin
146 oveq1 x = u x 2 y = u 2 y
147 oveq1 x = u x + 1 = u + 1
148 147 oveq1d x = u x + 1 2 y = u + 1 2 y
149 146 148 opeq12d x = u x 2 y x + 1 2 y = u 2 y u + 1 2 y
150 oveq2 y = v 2 y = 2 v
151 150 oveq2d y = v u 2 y = u 2 v
152 150 oveq2d y = v u + 1 2 y = u + 1 2 v
153 151 152 opeq12d y = v u 2 y u + 1 2 y = u 2 v u + 1 2 v
154 149 153 cbvmpov x , y 0 x 2 y x + 1 2 y = u , v 0 u 2 v u + 1 2 v
155 fveq2 a = z . a = . z
156 155 sseq1d a = z . a . c . z . c
157 equequ1 a = z a = c z = c
158 156 157 imbi12d a = z . a . c a = c . z . c z = c
159 158 ralbidv a = z c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . z . c z = c
160 159 cbvrabv a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = z b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . z . c z = c
161 19 a1i A topGen ran . b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y
162 154 160 161 dyadmbllem A topGen ran . . b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A = . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
163 opnmbllem0 A topGen ran . . b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A = A
164 162 163 eqtr3d A topGen ran . . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A
165 164 adantr A topGen ran . A . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A
166 nnenom ω
167 sdomentr a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ω a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ω
168 166 167 mpan2 a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ω
169 isfinite a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ω
170 168 169 sylibr a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin
171 165 170 anim12i A topGen ran . A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c . a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c = A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c Fin
172 145 171 mtand A topGen ran . A ¬ a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
173 qex V
174 173 173 xpex × V
175 zq x x
176 2nn 2
177 nnq 2 2
178 176 177 ax-mp 2
179 qexpcl 2 y 0 2 y
180 178 179 mpan y 0 2 y
181 180 29 jca y 0 2 y 2 y 0
182 qdivcl x 2 y 2 y 0 x 2 y
183 1z 1
184 zq 1 1
185 183 184 ax-mp 1
186 qaddcl x 1 x + 1
187 185 186 mpan2 x x + 1
188 qdivcl x + 1 2 y 2 y 0 x + 1 2 y
189 187 188 syl3an1 x 2 y 2 y 0 x + 1 2 y
190 opelxpi x 2 y x + 1 2 y x 2 y x + 1 2 y ×
191 182 189 190 syl2anc x 2 y 2 y 0 x 2 y x + 1 2 y ×
192 191 3expb x 2 y 2 y 0 x 2 y x + 1 2 y ×
193 175 181 192 syl2an x y 0 x 2 y x + 1 2 y ×
194 193 rgen2 x y 0 x 2 y x + 1 2 y ×
195 40 fmpo x y 0 x 2 y x + 1 2 y × x , y 0 x 2 y x + 1 2 y : × 0 ×
196 194 195 mpbi x , y 0 x 2 y x + 1 2 y : × 0 ×
197 frn x , y 0 x 2 y x + 1 2 y : × 0 × ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y ×
198 196 197 ax-mp ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y ×
199 19 198 sstri b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A ×
200 18 199 sstri a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ×
201 ssdomg × V a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c × a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ×
202 174 200 201 mp2 a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ×
203 qnnen
204 xpen × ×
205 203 203 204 mp2an × ×
206 xpnnen ×
207 205 206 entri ×
208 domentr a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c × × a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
209 202 207 208 mp2an a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
210 172 209 jctil A topGen ran . A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ¬ a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
211 bren2 a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c ¬ a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
212 210 211 sylibr A topGen ran . A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
213 212 ensymd A topGen ran . A a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
214 bren a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c f f : 1-1 onto a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c
215 213 214 sylib A topGen ran . A f f : 1-1 onto a b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A | c b ran x , y 0 x 2 y x + 1 2 y | . b A . a . c a = c