Theorem dvnprodlem2

Description: Induction step for dvnprodlem2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	dvnprodlem2.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
	dvnprodlem2.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
	dvnprodlem2.t	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
	dvnprodlem2.h	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnprodlem2.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	dvnprodlem2.dvnh	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
	dvnprodlem2.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
	dvnprodlem2.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑇 )
	dvnprodlem2.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
	dvnprodlem2.ind	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
	dvnprodlem2.j	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
	dvnprodlem2.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ↦ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
Assertion	dvnprodlem2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnprodlem2.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } )
2		dvnprodlem2.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) )
3		dvnprodlem2.t	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
4		dvnprodlem2.h	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
5		dvnprodlem2.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
6		dvnprodlem2.dvnh	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
7		dvnprodlem2.c	⊢ 𝐶 = ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
8		dvnprodlem2.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑇 )
9		dvnprodlem2.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
10		dvnprodlem2.ind	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
11		dvnprodlem2.j	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
12		dvnprodlem2.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ↦ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
13		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 )
14		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 )
15		ssfi	⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) → 𝑅 ∈ Fin )
16	3 8 15	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Fin )
17	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ Fin )
18	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) )
19	9	eldifbd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
20	19	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
21		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
22	8	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
23	21 22 4	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
24	23	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
25		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
26	24 25	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
27		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) )
28	27	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
29		id	⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
30		eldifi	⊢ ( 𝑍 ∈ ( 𝑇 ∖ 𝑅 ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
31	9 30	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇 )
32		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
33		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) )
34		eleq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑡 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇 ) )
35	34	anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) ) )
36	27	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
37	35 36	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
38	37 4	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
39	32 33 38	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
40	29 31 39	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
41	40	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
42		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
43	41 42	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
44	13 14 17 18 20 26 28 43	fprodsplitsn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
45	44	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
46	45	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
47	46	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝐽 ) )
48	13 17 26	fprodclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
49		elfznn0	⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐽 ∈ ℕ0 )
50	11 49	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0 )
51		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
52		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
53		oveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) )
54		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
55	53 54	syl	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
56		sumeq1	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
57	56	eqeq1d	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ) )
58	57	rabbidv	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
59	55 58	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
60	59	mpteq2dv	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
61		ssexg	⊢ ( ( 𝑅 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin ) → 𝑅 ∈ V )
62	8 3 61	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ V )
63		elpwg	⊢ ( 𝑅 ∈ V → ( 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) )
64	62 63	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑇 ) )
65	8 64	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 )
66	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 )
67		nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V
68	67	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V
69	68	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V )
70	7 60 66 69	fvmptd3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
71		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝑘 ) )
72	71	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) = ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
73		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) = ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
74	72 73	syl	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
75		eqeq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 ) )
76	75	rabbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
77	74 76	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
78	77	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
79		elfznn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
80	79	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
81		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑘 ) ∈ Fin )
82		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑘 ) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∈ Fin )
83	81 16 82	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∈ Fin )
84	83	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∈ Fin )
85		ssrab2	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 )
86	85	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
87	84 86	ssexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ V )
88	70 78 80 87	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
89		ssfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∈ Fin ∧ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
90	83 85 89	sylancl	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
91	90	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ∈ Fin )
92	88 91	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
93	92	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
94	79	faccld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ )
95	94	nncnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
96	95	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ! ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
97	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
98	97	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
99		elfznn0	⊢ ( 𝑧 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) → 𝑧 ∈ ℕ0 )
100	99	ssriv	⊢ ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ℕ0
101	100	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ℕ0 )
102		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
103	88	eleq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ) )
104	103	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } ) )
105	102 104	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } )
106	85	sseli	⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑅 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑘 } → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
107	105 106	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
108		elmapi	⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
109	107 108	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
110	109	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑐 : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝑘 ) )
111		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑅 )
112	110 111	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑘 ) )
113	101 112	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ0 )
114	113	faccld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
115	114	nncnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
116	98 115	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
117	114	nnne0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
118	98 115 117	fprodn0	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
119	96 116 118	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
120	119	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
121	98	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
122	29	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
123	122 22	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
124		elfzuz3	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑘 ) )
125		fzss2	⊢ ( 𝐽 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑘 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
126	124 125	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
127	126	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) )
128	50	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ )
129	5	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
130		elfzle2	⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐽 ≤ 𝑁 )
131	11 130	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ≤ 𝑁 )
132	128 129 131	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ≤ 𝑁 ) )
133		eluz2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ≤ 𝑁 ) )
134	132 133	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) )
135		fzss2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
136	134 135	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
137	136	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
138	127 137	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
139	138	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
140	139 112	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
141	140	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
142		fvex	⊢ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ V
143		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
144	143	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
145		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
146	145	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
147	144 146	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
148	142 147 6	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
149	122 123 141 148	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
150		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
151	149 150	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
152	121 151	fprodcl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
153	120 152	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
154	93 153	fsumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
155	154	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
156	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
157		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ∈ ℤ )
158	129	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
159		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
160	159	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
161	157 158 160	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) )
162		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ 𝑘 )
163	162	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ 𝑘 )
164	160	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
165	50	nn0red	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ )
166	165	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ )
167	158	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
168		elfzle2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ≤ 𝐽 )
169	168	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ≤ 𝐽 )
170	131	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ≤ 𝑁 )
171	164 166 167 169 170	letrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑁 )
172	161 163 171	jca32	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁 ) ) )
173		elfz2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁 ) ) )
174	172 173	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
175		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
176	156 174 175	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
177	176	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
178	155 177	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
179	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
180		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝜑 )
181	180 179 174	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
182	34	3anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
183	27	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
184	183	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
185	184	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
186	182 185	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
187		eleq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
188	187	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
189		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) )
190	189	feq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
191	188 190	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
192	191 6	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
193	186 192	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
194	179 181 193	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
195	40	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
196	195	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) )
197	196	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
198	197	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
199	198	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) )
200	199	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
201	194 200	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
202		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
203	202	prodeq2ad	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
204	203	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) )
205	204	oveq2i	⊢ ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) )
206	205	fveq1i	⊢ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 )
207	206	mpteq2i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
208		fveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
209	208	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) )
210	209	oveq2i	⊢ ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) )
211	210	fveq1i	⊢ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 )
212	211	mpteq2i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
213	1 2 48 43 50 51 52 178 201 207 212	dvnmul	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
214	206	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
215	10	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
216	180 174 215	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
217	214 216	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
218	217	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
219		mptexg	⊢ ( 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
220	2 219	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
221	220	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ V )
222	218 221	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
223	222	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
224	223	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
225	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
226	154	an32s	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
227		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
228	227	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
229	225 226 228	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
230	224 229	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
231		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
232	231	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
233	232	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
234	210 197	syl5eq	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) )
235	234	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
236	235	mpteq2dv	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
237	233 236	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
238	237	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
239		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
240	239	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
241		0zd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ∈ ℤ )
242		elfzel2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ℤ )
243	242 159	zsubcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ )
244	241 242 243	3jca	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) )
245	242	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝐽 ∈ ℝ )
246	79	nn0red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
247	245 246	subge0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝐽 ) )
248	168 247	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) )
249	245 246	subge02d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ≤ 𝑘 ↔ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) )
250	162 249	mpbid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 )
251	244 248 250	jca32	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
252	251	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
253		elfz2	⊢ ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ≤ 𝐽 ) ) )
254	252 253	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
255		fvex	⊢ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ∈ V
256	255	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ∈ V )
257	238 240 254 256	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
258	257	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
259	258	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
260	230 259	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
261	260	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
262	92	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ Fin )
263		ovex	⊢ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ V
264		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
265	264	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
266	239	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
267	265 266	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − 𝑘 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
268		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
269	268	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
270		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
271	270	feq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
272	269 271	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑘 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
273	272 194	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
274	263 267 273	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐽 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
275	180 254 274	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
276	275	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
277	276 225	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
278		anass	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) )
279		ancom	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
280	279	anbi2i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
281		anass	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
282	281	bicomi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
283	280 282	bitri	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
284	278 283	bitri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
285	284	anbi1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
286	285	imbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) )
287	153 286	mpbi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
288	262 277 287	fsummulc1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
289	288	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
290	180 50	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℕ0 )
291	290 160	bccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
292	291	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
293	292	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
294	277	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
295	287 294	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
296	262 293 295	fsummulc2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
297	261 289 296	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
298	297	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
299		vex	⊢ 𝑘 ∈ V
300		vex	⊢ 𝑐 ∈ V
301	299 300	op1std	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 1st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
302	301	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 C 𝑘 ) )
303	301	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( ! ‘ 𝑘 ) )
304	299 300	op2ndd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 2nd ‘ 𝑝 ) = 𝑐 )
305	304	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
306	305	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
307	306	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
308	303 307	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
309	305	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
310	309	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
311	310	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
312	308 311	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
313	301	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 − 𝑘 ) )
314	313	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) )
315	314	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) )
316	312 315	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
317	302 316	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ 𝑘 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
318		fzfid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin )
319	293	adantrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
320	295	anasss	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
321	319 320	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
322	317 318 262 321	fsum2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
323		ovex	⊢ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ V
324	300	resex	⊢ ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ∈ V
325	323 324	op1std	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 1st ‘ 𝑝 ) = ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
326	325	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
327	325	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
328	323 324	op2ndd	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 2nd ‘ 𝑝 ) = ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) )
329	328	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) = ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) )
330	329	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
331	330	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
332	327 331	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) )
333	329	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) )
334	333	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
335	334	prodeq2ad	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
336	332 335	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
337	325	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
338	337	fveq2d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
339	338	fveq1d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
340	336 339	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
341	326 340	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ → ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
342		oveq2	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
343		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) = ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
344	342 343	syl	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
345		sumeq1	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
346	345	eqeq1d	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ) )
347	346	rabbidv	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
348	344 347	eqtrd	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
349	348	mpteq2dv	⊢ ( 𝑠 = ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m 𝑠 ) ∣ Σ 𝑡 ∈ 𝑠 ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
350	31	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝑍 } ⊆ 𝑇 )
351	8 350	unssd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 )
352	3 351	ssexd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ V )
353		elpwg	⊢ ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ V → ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 ↔ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 ) )
354	352 353	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 ↔ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⊆ 𝑇 ) )
355	351 354	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ 𝒫 𝑇 )
356	67	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V
357	356	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) ∈ V )
358	7 349 355 357	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } ) )
359		oveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( 0 ... 𝑛 ) = ( 0 ... 𝐽 ) )
360	359	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
361		rabeq	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) = ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
362	360 361	syl	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } )
363		eqeq2	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → ( Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 ↔ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 ) )
364	363	rabbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
365	362 364	eqtrd	⊢ ( 𝑛 = 𝐽 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
366	365	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 = 𝐽 ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝑛 } = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
367		ovex	⊢ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ V
368	367	rabex	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ V
369	368	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ V )
370	358 366 50 369	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
371		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin )
372		snfi	⊢ { 𝑍 } ∈ Fin
373	372	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑍 } ∈ Fin )
374		unfi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Fin ∧ { 𝑍 } ∈ Fin ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
375	16 373 374	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
376		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ∈ Fin ∧ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin )
377	371 375 376	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin )
378		ssrab2	⊢ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
379	378	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
380		ssfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ) → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ Fin )
381	377 379 380	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } ∈ Fin )
382	370 381	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ Fin )
383	382	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ Fin )
384	7 50 12 3 31 19 351	dvnprodlem1	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 : ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) –1-1-onto→ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
385	384	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝐷 : ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) –1-1-onto→ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
386		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
387		opex	⊢ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V
388	387	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V )
389	12	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ∧ ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ ∈ V ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
390	386 388 389	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
391	390	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑐 ) = ⟨ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) , ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ⟩ )
392	50	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝐽 ∈ ℕ0 )
393		eliun	⊢ ( 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
394	393	biimpi	⊢ ( 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
395	394	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
396		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝜑
397		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑝
398		nfiu1	⊢ Ⅎ 𝑘 ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
399	397 398	nfel	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
400	396 399	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
401		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 )
402		xp1st	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ { 𝑘 } )
403		elsni	⊢ ( ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ { 𝑘 } → ( 1st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
404	402 403	syl	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
405	404	adantl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) = 𝑘 )
406		simpl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
407	405 406	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
408	407	ex	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
409	408	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
410	400 401 409	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
411	395 410	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
412		elfzelz	⊢ ( ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ℤ )
413	411 412	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ℤ )
414	392 413	bccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℕ0 )
415	414	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
416	415	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
417		elfznn0	⊢ ( ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ℕ0 )
418	411 417	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ℕ0 )
419	418	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℕ )
420	419	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
421	420	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ℂ )
422	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
423		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 )
424	88 86	eqsstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) )
425		ovex	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V
426	425	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V )
427		mapss	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐽 ) ∈ V ∧ ( 0 ... 𝑘 ) ⊆ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
428	426 126 427	syl2anc	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
429	428	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ... 𝑘 ) ↑m 𝑅 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
430	424 429	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
431	430	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
432		xp2nd	⊢ ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
433	432	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
434	431 433	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) )
435		elmapi	⊢ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m 𝑅 ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
436	434 435	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
437	436	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
438	437	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
439	400 423 438	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
440	395 439	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 2nd ‘ 𝑝 ) : 𝑅 ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
441	440	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
442		elfznn0	⊢ ( ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ0 )
443	442	faccld	⊢ ( ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
444	443	nncnd	⊢ ( ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
445	441 444	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
446	422 445	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
447	446	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
448	441 443	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
449		nnne0	⊢ ( ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
450	448 449	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
451	422 445 450	fprodn0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
452	451	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
453	421 447 452	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
454	17	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
455		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
456	455 22	sylancom	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
457	455 136	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
458	457 441	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
459	455 456 458	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
460		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
461	460	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
462		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) )
463	462	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
464	461 463	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
465	464 6	vtoclg	⊢ ( ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
466	441 459 465	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
467	466	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
468	25	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
469	467 468	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
470	454 469	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
471	453 470	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
472		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 )
473		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝜑 )
474	407	3adant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
475		fznn0sub2	⊢ ( ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
476	475	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 1st ‘ 𝑝 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
477	473 474 476	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ∧ 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
478	477	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
479	478	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) ) )
480	400 472 479	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) 𝑝 ∈ ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) )
481	395 480	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
482		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝜑 )
483	482 31	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
484	482 136	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
485	484 481	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
486	482 483 485	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
487		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
488	487	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
489		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) )
490	489	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
491	488 490	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
492		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
493		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
494	34	3anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
495	183	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) )
496	495	feq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
497	494 496	imbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
498	497 6	vtoclg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
499	492 493 498	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
500	491 499	vtoclg	⊢ ( ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
501	481 486 500	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
502	501	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
503	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
504	502 503	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
505	471 504	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
506	416 505	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) → ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
507	341 383 385 391 506	fsumf1o	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
508		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝜑 )
509	370	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
510	386 509	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } )
511	378	sseli	⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ∣ Σ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = 𝐽 } → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
512	510 511	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) )
513		elmapi	⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐽 ) ↑m ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
514	512 513	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
515		snidg	⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑇 → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
516	31 515	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ { 𝑍 } )
517		elun2	⊢ ( 𝑍 ∈ { 𝑍 } → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
518	516 517	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
519	518	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
520	514 519	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
521		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ∈ ℤ )
522	128	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℤ )
523		fzssz	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℤ
524	523	sseli	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℤ )
525	524	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℤ )
526	522 525	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℤ )
527	521 522 526	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℤ ) )
528		elfzle2	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 )
529	528	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 )
530	165	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ )
531	525	zred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℝ )
532	530 531	subge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ≤ 𝐽 ) )
533	529 532	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
534		elfzle1	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
535	534	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
536	530 531	subge02d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ↔ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≤ 𝐽 ) )
537	535 536	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≤ 𝐽 )
538	527 533 537	jca32	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≤ 𝐽 ) ) )
539		elfz2	⊢ ( ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≤ 𝐽 ) ) )
540	538 539	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
541	508 520 540	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
542		bcval2	⊢ ( ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
543	541 542	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
544	165	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ )
545	544	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ℂ )
546		zsscn	⊢ ℤ ⊆ ℂ
547	523 546	sstri	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℂ
548	547	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℂ )
549	548 520	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℂ )
550	545 549	nncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
551	550	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
552	551	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
553	552	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
554	50	faccld	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℕ )
555	554	nncnd	⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
556	555	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
557		elfznn0	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℕ0 )
558	520 557	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ℕ0 )
559	558	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ )
560	559	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℂ )
561		elfznn0	⊢ ( ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ0 )
562	541 561	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℕ0 )
563	562	faccld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℕ )
564	563	nncnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
565	559	nnne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≠ 0 )
566	563	nnne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ≠ 0 )
567	556 560 564 565 566	divdiv1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) )
568	567	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
569	543 553 568	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
570	569	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) )
571		fvres	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
572	571	fveq2d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
573	572	prodeq2i	⊢ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) )
574	573	oveq2i	⊢ ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
575	571	fveq2d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
576	575	fveq1d	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
577	576	prodeq2i	⊢ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 )
578	574 577	oveq12i	⊢ ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
579	578	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
580	579	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
581	564	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
582	508 16	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
583	79	ssriv	⊢ ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ0
584	583	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ0 )
585	514	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝐽 ) )
586		elun1	⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑅 → 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
587	586	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) )
588	585 587	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
589	584 588	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ0 )
590	589	faccld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
591	590	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
592	582 591	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
593	592	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
594	17	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑅 ∈ Fin )
595	508	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝜑 )
596	508 22	sylan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
597	595 136	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
598	597 588	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
599	595 596 598 148	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
600	599	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
601	25	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
602	600 601	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑅 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
603	594 602	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
604	582 590	fprodnncl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
605		nnne0	⊢ ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
606	604 605	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
607	606	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
608	581 593 603 607	div32d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
609	580 608	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
610	550	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
611	610	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
612	611	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
613	609 612	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
614	603 593 607	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ∈ ℂ )
615	508 31	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
616	508 136	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
617	616 520	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
618	508 615 617	3jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
619		eleq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) )
620	619	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) )
621		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
622	621	feq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ↔ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
623	620 622	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑗 ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) ) )
624	623 499	vtoclg	⊢ ( ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ ) )
625	520 618 624	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
626	625	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
627	42	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
628	626 627	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
629	581 614 628	mulassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
630	613 629	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
631	570 630	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
632	555	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
633	560	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ∈ ℂ )
634	565	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ≠ 0 )
635	632 633 634	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ∈ ℂ )
636	614 628	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
637	566	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ≠ 0 )
638	635 581 636 637	dmmcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) · ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
639	603 628 593 607	div23d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
640	639	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
641		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
642		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 )
643	615	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑇 )
644	20	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
645		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
646	183 645	fveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
647	646	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) )
648	641 642 594 643 644 602 647 628	fprodsplitsn	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
649	648	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) )
650	649	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
651	640 650	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
652	651	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
653	594 372 374	sylancl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
654	508	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝜑 )
655	351	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
656	655	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑡 ∈ 𝑇 )
657	514 616	fssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → 𝑐 : ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) )
658	657	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
659	654 656 658 148	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
660	659	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) : 𝑋 ⟶ ℂ )
661	627	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 )
662	660 661	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
663	653 662	fprodcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
664	632 633 663 593 634 607	divmuldivd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) )
665	560 592	mulcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
666		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) )
667		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) )
668	508 19	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ¬ 𝑍 ∈ 𝑅 )
669	645	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑍 → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) )
670	666 667 582 615 668 591 669 560	fprodsplitsn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) = ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) )
671	670	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) · ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
672	665 671	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) )
673	672	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
674	673	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) )
675	508 375	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ∈ Fin )
676	583	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 0 ... 𝐽 ) ⊆ ℕ0 )
677	514	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝐽 ) )
678	676 677	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ∈ ℕ0 )
679	678	faccld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℕ )
680	679	nncnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
681	675 680	fprodcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
682	681	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ )
683	679	nnne0d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
684	675 680 683	fprodn0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
685	684	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ≠ 0 )
686	632 663 682 685	div23d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
687		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
688	674 686 687	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
689	652 664 688	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
690	631 638 689	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
691	690	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( 𝐽 C ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 𝑐 ↾ 𝑅 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 𝐽 − ( 𝑐 ‘ 𝑍 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
692	507 691	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑝 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( { 𝑘 } × ( ( 𝐶 ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ( ( 𝐽 C ( 1st ‘ 𝑝 ) ) · ( ( ( ( ! ‘ ( 1st ‘ 𝑝 ) ) / ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ! ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( ( 2nd ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) · ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ) ‘ ( 𝐽 − ( 1st ‘ 𝑝 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
693	298 322 692	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
694	693	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ( ( 𝐽 C 𝑘 ) · ( ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ 𝑅 ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝐽 − 𝑘 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
695	47 213 694	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ‘ 𝑥 ) ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ 𝑐 ∈ ( ( 𝐶 ‘ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ) ‘ 𝐽 ) ( ( ( ! ‘ 𝐽 ) / ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ) · ∏ 𝑡 ∈ ( 𝑅 ∪ { 𝑍 } ) ( ( ( 𝑆 D𝑛 ( 𝐻 ‘ 𝑡 ) ) ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )