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Theorem elrspunidl

Description: Elementhood to the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024)

Ref Expression
Hypotheses elrspunidl.n ⊢ 𝑁 = ( RSpan ‘ 𝑅 )
elrspunidl.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
elrspunidl.1 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
elrspunidl.x ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
elrspunidl.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
elrspunidl.i ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
Assertion elrspunidl ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elrspunidl.n ⊢ 𝑁 = ( RSpan ‘ 𝑅 )
2 elrspunidl.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
3 elrspunidl.1 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
4 elrspunidl.x ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
5 elrspunidl.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
6 elrspunidl.i ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
7 6 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑖 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
8 eqid ⊢ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
9 2 8 lidlss ⊢ ( 𝑖 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) → 𝑖 ⊆ 𝐵 )
10 7 9 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑖 ⊆ 𝐵 )
11 10 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵 )
12 unissb ⊢ ( ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵 )
13 11 12 sylibr ⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
14 1 2 3 4 5 13 elrsp ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
15 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ∈ V )
16 15 6 ssexd ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ V )
17 16 uniexd ⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V )
18 eluni2 ⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
19 18 biimpi ⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 → ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
20 19 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
21 20 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
22 eleq2 ⊢ ( 𝑖 = ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) → ( 𝑗 ∈ 𝑖 ↔ 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
23 22 ac6sg ⊢ ( ∪ 𝑆 ∈ V → ( ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ) )
24 17 21 23 sylc ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
25 24 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
26 simp-5l ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝜑 )
27 26 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝜑 )
28 ringcmn ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd )
29 27 5 28 3syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
30 vex ⊢ 𝑓 ∈ V
31 cnvexg ⊢ ( 𝑓 ∈ V → ◡ 𝑓 ∈ V )
32 imaexg ⊢ ( ◡ 𝑓 ∈ V → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V )
33 30 31 32 mp2b ⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V
34 33 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V )
35 5 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
36 elmapi ⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
37 36 ad7antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
38 cnvimass ⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ dom 𝑓
39 fdm ⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → dom 𝑓 = ∪ 𝑆 )
40 38 39 sseqtrid ⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
41 40 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
42 41 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 )
43 37 42 ffvelrnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
44 13 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
45 44 42 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑙 ∈ 𝐵 )
46 2 4 ringcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
47 35 43 45 46 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
48 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) )
49 id ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → 𝑗 = 𝑙 )
50 48 49 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
51 50 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
52 47 51 fmptd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⟶ 𝐵 )
53 34 mptexd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
54 52 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → Fun ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
55 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 finSupp 0 )
56 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
57 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑅
58 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 Σg
59 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
60 57 58 59 nfov ⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
61 60 nfeq2 ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
62 56 61 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
63 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆
64 62 63 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
65 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑗 ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 )
66 64 65 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
67 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ 𝑆
68 66 67 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 )
69 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } )
70 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑏 supp 0 )
71 36 ad7antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
72 71 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
73 26 17 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
74 73 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
75 3 fvexi ⊢ 0 ∈ V
76 75 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
77 41 ssdifd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
78 77 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
79 72 74 76 78 fvdifsupp ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
80 79 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
81 5 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
82 13 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
83 78 eldifad ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
84 82 83 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
85 2 4 3 ringlz ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
86 81 84 85 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
87 80 86 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
88 68 69 70 87 34 suppss2f ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
89 fsuppsssupp ⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
90 53 54 55 88 89 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
91 2 3 29 34 52 90 gsumcl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ 𝐵 )
92 91 fmpttd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
93 2 fvexi ⊢ 𝐵 ∈ V
94 93 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V )
95 94 16 elmapd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
96 95 biimpar ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
97 26 92 96 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
98 breq1 ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑎 finSupp 0 ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ) )
99 oveq2 ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σg 𝑎 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
100 99 eqeq2d ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ↔ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ) )
101 fveq1 ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
102 101 eleq1d ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
103 102 ralbidv ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ↔ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
104 98 100 103 3anbi123d ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
105 104 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
106 26 16 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑆 ∈ V )
107 106 mptexd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V )
108 75 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 0 ∈ V )
109 funmpt ⊢ Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
110 109 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
111 simplr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
112 111 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun 𝑓 )
113 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑏 finSupp 0 )
114 113 fsuppimpd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ∈ Fin )
115 imafi ⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ ( 𝑏 supp 0 ) ∈ Fin ) → ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ∈ Fin )
116 112 114 115 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ∈ Fin )
117 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
118 66 117 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
119 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
120 119 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → Fun 𝑓 )
121 snssi ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
122 121 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
123 sspreima ⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
124 120 122 123 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
125 difpreima ⊢ ( Fun 𝑓 → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) = ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
126 120 125 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) = ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
127 124 126 sseqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
128 suppssdm ⊢ ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
129 36 ad6antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
130 128 129 fssdm ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ∪ 𝑆 )
131 119 fdmd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → dom 𝑓 = ∪ 𝑆 )
132 130 131 sseqtrrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 )
133 sseqin2 ⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( 𝑏 supp 0 ) )
134 133 biimpi ⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( 𝑏 supp 0 ) )
135 dminss ⊢ ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
136 134 135 eqsstrrdi ⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
137 132 136 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
138 137 sscond ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ⊆ ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
139 127 138 sstrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
140 fimacnv ⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
141 119 140 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
142 141 difeq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
143 139 142 sseqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
144 143 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
145 ssidd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
146 73 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
147 75 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 0 ∈ V )
148 129 145 146 147 suppssr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
149 144 148 syldan ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
150 149 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
151 5 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
152 13 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
153 40 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
154 153 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
155 152 154 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
156 151 155 85 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
157 150 156 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
158 118 157 mpteq2da ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) )
159 158 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) )
160 5 28 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd )
161 160 cmnmndd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd )
162 161 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ Mnd )
163 3 gsumz ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
164 162 33 163 sylancl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
165 159 164 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = 0 )
166 165 106 suppss2 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
167 116 166 ssfid ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin )
168 isfsupp ⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ↔ ( Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) ) )
169 168 biimpar ⊢ ( ( ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) ∧ ( Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 )
170 107 108 110 167 169 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 )
171 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
172 26 160 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑅 ∈ CMnd )
173 5 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
174 36 ad5antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
175 174 ffvelrnda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
176 26 13 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
177 176 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
178 2 4 ringcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
179 173 175 177 178 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
180 eqid ⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
181 66 179 180 fmptdf ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
182 73 mptexd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
183 funmpt ⊢ Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
184 183 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
185 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 ∪ 𝑆
186 174 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
187 186 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
188 73 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
189 75 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
190 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
191 187 188 189 190 fvdifsupp ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
192 191 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
193 5 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
194 176 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
195 190 eldifad ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
196 194 195 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
197 193 196 85 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
198 192 197 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
199 66 185 70 198 73 suppss2f ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
200 fsuppsssupp ⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
201 182 184 113 199 200 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
202 sndisj ⊢ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 }
203 disjpreima ⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
204 112 202 203 sylancl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
205 iunid ⊢ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } = 𝑆
206 205 imaeq2i ⊢ ( ◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 )
207 iunpreima ⊢ ( Fun 𝑓 → ( ◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
208 112 207 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
209 140 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
210 206 208 209 3eqtr3a ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) = ∪ 𝑆 )
211 2 3 172 73 106 181 201 204 210 gsumpart ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) ) )
212 41 resmptd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
213 212 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
214 213 mpteq2dva ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
215 214 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
216 171 211 215 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
217 eqid ⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
218 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → 𝑖 = 𝑘 )
219 218 sneqd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → { 𝑖 } = { 𝑘 } )
220 219 imaeq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) = ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) )
221 220 mpteq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
222 221 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
223 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ 𝑆 )
224 ovexd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ V )
225 217 222 223 224 fvmptd2 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
226 160 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
227 30 cnvex ⊢ ◡ 𝑓 ∈ V
228 227 imaex ⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∈ V
229 228 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∈ V )
230 5 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
231 26 6 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
232 231 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
233 8 lidlsubg ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑘 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) )
234 subgsubm ⊢ ( 𝑘 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
235 233 234 syl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
236 230 232 235 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
237 230 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
238 232 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
239 36 ad7antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
240 cnvimass ⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ dom 𝑓
241 240 39 sseqtrid ⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
242 241 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
243 242 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 )
244 239 243 ffvelrnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
245 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) )
246 49 245 eleq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ↔ 𝑙 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ) )
247 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
248 246 247 243 rspcdva ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) )
249 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
250 249 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑓 Fn ∪ 𝑆 )
251 elpreima ⊢ ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 → ( 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↔ ( 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } ) ) )
252 251 biimpa ⊢ ( ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } ) )
253 elsni ⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
254 252 253 simpl2im ⊢ ( ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
255 250 254 sylancom ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
256 248 255 eleqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ 𝑘 )
257 8 2 4 lidlmcl ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝑘 ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝑘 )
258 237 238 244 256 257 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝑘 )
259 50 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
260 258 259 fmptd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⟶ 𝑘 )
261 229 mptexd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
262 260 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → Fun ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
263 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 finSupp 0 )
264 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑘 ∈ 𝑆
265 66 264 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 )
266 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } )
267 36 ad7antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
268 267 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
269 73 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
270 75 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
271 242 ssdifd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
272 271 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
273 268 269 270 272 fvdifsupp ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
274 273 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
275 13 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
276 272 eldifad ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
277 275 276 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
278 230 277 85 syl2an2r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
279 274 278 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
280 265 266 70 279 229 suppss2f ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
281 fsuppsssupp ⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
282 261 262 263 280 281 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
283 3 226 229 236 260 282 gsumsubmcl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ 𝑘 )
284 225 283 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 )
285 284 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 )
286 170 216 285 3jca ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
287 97 105 286 rspcedvd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
288 287 anasss ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
289 25 288 exlimddv ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
290 289 anasss ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
291 290 r19.29an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
292 5 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑅 ∈ Ring )
293 292 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
294 eqid ⊢ ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
295 294 zrhrhm ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∈ ( ℤring RingHom 𝑅 ) )
296 zringbas ⊢ ℤ = ( Base ‘ ℤring )
297 296 2 rhmf ⊢ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∈ ( ℤring RingHom 𝑅 ) → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) : ℤ ⟶ 𝐵 )
298 293 295 297 3syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) : ℤ ⟶ 𝐵 )
299 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
300 75 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 0 ∈ V )
301 ssv ⊢ ran 𝑎 ⊆ V
302 ssdif ⊢ ( ran 𝑎 ⊆ V → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ( V ∖ { 0 } ) )
303 301 302 ax-mp ⊢ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ( V ∖ { 0 } )
304 303 sseli ⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) → 𝑚 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
305 304 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑚 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
306 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
307 299 300 305 306 fsuppinisegfi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ∈ Fin )
308 hashcl ⊢ ( ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℕ0 )
309 307 308 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℕ0 )
310 309 nn0zd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℤ )
311 298 310 ffvelrnd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ∈ 𝐵 )
312 eqid ⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) )
313 311 312 fmptd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) : ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⟶ 𝐵 )
314 2 3 ring0cl ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵 )
315 fconst6g ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) : ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⟶ 𝐵 )
316 292 314 315 3syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) : ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⟶ 𝐵 )
317 disjdif ⊢ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅
318 317 a1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
319 313 316 318 fun2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ⟶ 𝐵 )
320 simplll ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) )
321 94 16 elmapd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ↔ 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
322 321 biimpa ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) → 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
323 320 322 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
324 323 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 Fn 𝑆 )
325 elssuni ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆 )
326 325 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆 )
327 326 sseld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) )
328 327 ralimdva ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) )
329 328 imp ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 )
330 fnfvrnss ⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆 )
331 324 329 330 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆 )
332 331 ssdifssd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
333 undif ⊢ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∪ 𝑆 )
334 332 333 sylib ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∪ 𝑆 )
335 334 feq2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ⟶ 𝐵 ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
336 319 335 mpbid ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
337 93 a1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝐵 ∈ V )
338 17 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
339 337 338 elmapd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
340 336 339 mpbird ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) )
341 breq1 ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑏 finSupp 0 ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ) )
342 fveq1 ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) )
343 342 oveq1d ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
344 343 mpteq2dv ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
345 344 oveq2d ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
346 345 eqeq2d ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ↔ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
347 341 346 anbi12d ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
348 347 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ) → ( ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
349 319 ffund ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) )
350 340 elexd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V )
351 75 a1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 0 ∈ V )
352 323 ffund ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → Fun 𝑎 )
353 320 simprd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
354 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 finSupp 0 )
355 fsupprnfi ⊢ ( ( ( Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ) → ran 𝑎 ∈ Fin )
356 diffi ⊢ ( ran 𝑎 ∈ Fin → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
357 355 356 syl ⊢ ( ( ( Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
358 352 353 351 354 357 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
359 313 358 351 fdmfifsupp ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) finSupp 0 )
360 13 ssdifssd ⊢ ( 𝜑 → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⊆ 𝐵 )
361 360 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⊆ 𝐵 )
362 337 361 ssexd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ∈ V )
363 362 351 fczfsuppd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) finSupp 0 )
364 359 363 fsuppun ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin )
365 funisfsupp ⊢ ( ( Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∧ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) )
366 365 biimpar ⊢ ( ( ( Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∧ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ V ∧ 0 ∈ V ) ∧ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 )
367 349 350 351 364 366 syl31anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 )
368 fvex ⊢ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ∈ V
369 368 312 fnmpti ⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } )
370 369 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
371 fnconstg ⊢ ( 0 ∈ V → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) )
372 75 371 ax-mp ⊢ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
373 372 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) )
374 317 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
375 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
376 370 373 374 375 fvun1d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
377 sneq ⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → { 𝑚 } = { 𝑗 } )
378 377 imaeq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) = ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) )
379 378 fveq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) = ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) )
380 379 fveq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
381 fvexd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) ∈ V )
382 312 380 375 381 fvmptd3 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
383 376 382 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
384 383 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) )
385 384 mpteq2dva ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) )
386 385 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) )
387 292 28 syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
388 317 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
389 fvun2 ⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
390 369 372 389 mp3an12 ⊢ ( ( ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
391 388 390 sylancom ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
392 75 fvconst2 ⊢ ( 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
393 392 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
394 391 393 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
395 394 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
396 361 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
397 292 396 85 syl2an2r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
398 395 397 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
399 292 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
400 336 ffvelrnda ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
401 13 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
402 401 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
403 2 4 ringcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
404 399 400 402 403 syl3anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
405 2 3 387 338 398 358 404 332 gsummptres2 ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
406 eqid ⊢ ( .g ‘ 𝑅 ) = ( .g ‘ 𝑅 )
407 2 3 406 387 323 354 gsumhashmul ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg 𝑎 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) ) )
408 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) )
409 292 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
410 353 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
411 75 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 0 ∈ V )
412 303 375 sseldi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
413 354 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
414 410 411 412 413 fsuppinisegfi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ∈ Fin )
415 hashcl ⊢ ( ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℕ0 )
416 414 415 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℕ0 )
417 416 nn0zd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ )
418 332 401 sstrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ 𝐵 )
419 418 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
420 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
421 294 406 420 zrhmulg ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) )
422 421 adantr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) )
423 422 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) )
424 simpll ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Ring )
425 simplr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ )
426 2 420 ringidcl ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
427 426 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
428 simpr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
429 2 406 4 mulgass2 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) )
430 424 425 427 428 429 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) )
431 2 4 420 ringlidm ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) = 𝑗 )
432 424 431 sylancom ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) = 𝑗 )
433 432 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
434 423 430 433 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
435 409 417 419 434 syl21anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
436 435 mpteq2dva ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) )
437 436 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) ) )
438 407 408 437 3eqtr4d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) )
439 386 405 438 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
440 367 439 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
441 340 348 440 rspcedvd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
442 441 exp41 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) → ( 𝑎 finSupp 0 → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) )
443 442 3imp2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
444 443 r19.29an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
445 291 444 impbida ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
446 14 445 bitrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )