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Theorem elrspunidl

Description: Elementhood in the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024) Remove dependency on ax-reg and ax-inf2 . (Revised by Timothy J. O'Malley, 15-Oct-2026)

Ref Expression
Hypotheses elrspunidl.n ⊢ 𝑁 = ( RSpan ‘ 𝑅 )
elrspunidl.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
elrspunidl.1 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
elrspunidl.x ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
elrspunidl.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
elrspunidl.i ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
Assertion elrspunidl ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elrspunidl.n ⊢ 𝑁 = ( RSpan ‘ 𝑅 )
2 elrspunidl.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
3 elrspunidl.1 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
4 elrspunidl.x ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
5 elrspunidl.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
6 elrspunidl.i ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
7 6 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑖 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
8 eqid ⊢ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
9 2 8 lidlss ⊢ ( 𝑖 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) → 𝑖 ⊆ 𝐵 )
10 7 9 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑖 ⊆ 𝐵 )
11 10 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵 )
12 unissb ⊢ ( ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵 )
13 11 12 sylibr ⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
14 1 2 3 4 5 13 elrsp ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
15 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ∈ V )
16 15 6 ssexd ⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ V )
17 16 uniexd ⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V )
18 eluni2 ⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
19 18 bilani ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
20 19 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 )
21 eleq2 ⊢ ( 𝑖 = ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) → ( 𝑗 ∈ 𝑖 ↔ 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
22 21 ac6 ⊢ ( ( ∪ 𝑆 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ∃ 𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
23 17 16 20 22 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
24 23 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) )
25 breq1 ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑎 finSupp 0 ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ) )
26 oveq2 ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σg 𝑎 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
27 26 eqeq2d ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ↔ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ) )
28 fveq1 ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) )
29 28 eleq1d ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
30 29 ralbidv ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ↔ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
31 25 27 30 3anbi123d ⊢ ( 𝑎 = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
32 simp-5l ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝜑 )
33 32 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝜑 )
34 ringcmn ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd )
35 33 5 34 3syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
36 vex ⊢ 𝑓 ∈ V
37 36 cnvex ⊢ ◡ 𝑓 ∈ V
38 37 imaex ⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V
39 38 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V )
40 5 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
41 elmapi ⊢ ( 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
42 41 ad7antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
43 cnvimass ⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ dom 𝑓
44 fdm ⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → dom 𝑓 = ∪ 𝑆 )
45 43 44 sseqtrid ⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
46 45 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
47 46 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 )
48 42 47 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
49 13 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
50 49 47 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑙 ∈ 𝐵 )
51 2 4 40 48 50 ringcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
52 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) )
53 id ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → 𝑗 = 𝑙 )
54 52 53 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
55 54 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
56 51 55 fmptd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⟶ 𝐵 )
57 39 mptexd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
58 56 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → Fun ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
59 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 finSupp 0 )
60 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
61 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑅
62 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 Σg
63 nfmpt1 ⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
64 61 62 63 nfov ⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
65 64 nfeq2 ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
66 60 65 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
67 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆
68 66 67 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
69 nfra1 ⊢ Ⅎ 𝑗 ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 )
70 68 69 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
71 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ 𝑆
72 70 71 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 )
73 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } )
74 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑏 supp 0 )
75 41 ad7antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
76 75 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
77 32 17 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
78 77 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
79 3 fvexi ⊢ 0 ∈ V
80 79 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
81 46 ssdifd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
82 81 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
83 76 78 80 82 fvdifsupp ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
84 83 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
85 5 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
86 13 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
87 82 eldifad ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
88 86 87 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
89 2 4 3 ringlz ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
90 85 88 89 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
91 84 90 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
92 72 73 74 91 39 suppss2f ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
93 fsuppsssupp ⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
94 57 58 59 92 93 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
95 2 3 35 39 56 94 gsumcl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ 𝐵 )
96 95 fmpttd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
97 2 fvexi ⊢ 𝐵 ∈ V
98 97 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V )
99 98 16 elmapd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ↔ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
100 99 biimpar ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
101 32 96 100 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
102 32 16 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑆 ∈ V )
103 102 mptexd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∈ V )
104 79 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 0 ∈ V )
105 funmpt ⊢ Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
106 105 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
107 simplr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
108 107 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun 𝑓 )
109 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑏 finSupp 0 )
110 109 fsuppimpd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ∈ Fin )
111 imafi ⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ ( 𝑏 supp 0 ) ∈ Fin ) → ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ∈ Fin )
112 108 110 111 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ∈ Fin )
113 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
114 70 113 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
115 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
116 115 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → Fun 𝑓 )
117 snssi ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
118 117 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
119 sspreima ⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ { 𝑖 } ⊆ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
120 116 118 119 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
121 difpreima ⊢ ( Fun 𝑓 → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) = ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
122 116 121 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) = ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
123 120 122 sseqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) )
124 suppssdm ⊢ ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
125 41 ad6antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
126 124 125 fssdm ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ∪ 𝑆 )
127 115 fdmd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → dom 𝑓 = ∪ 𝑆 )
128 126 127 sseqtrrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 )
129 sseqin2 ⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( 𝑏 supp 0 ) )
130 129 biimpi ⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( 𝑏 supp 0 ) )
131 dminss ⊢ ( dom 𝑓 ∩ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
132 130 131 eqsstrrdi ⊢ ( ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
133 128 132 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) )
134 133 sscond ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( ◡ 𝑓 “ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ⊆ ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
135 123 134 sstrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
136 fimacnv ⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
137 115 136 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
138 137 difeq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) = ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
139 135 138 sseqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
140 139 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
141 ssidd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑏 supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
142 77 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
143 79 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 0 ∈ V )
144 125 141 142 143 suppssr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
145 140 144 syldan ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
146 145 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
147 5 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
148 13 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
149 45 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
150 149 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
151 148 150 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
152 147 151 89 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
153 146 152 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
154 114 153 mpteq2da ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) )
155 154 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) )
156 5 ringcmnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd )
157 156 cmnmndd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd )
158 157 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ Mnd )
159 3 gsumz ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ∈ V ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
160 158 38 159 sylancl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ 0 ) ) = 0 )
161 155 160 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑆 ∖ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = 0 )
162 161 102 suppss2 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑓 “ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
163 112 162 ssfid ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) supp 0 ) ∈ Fin )
164 103 104 106 163 isfsuppd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 )
165 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
166 32 156 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑅 ∈ CMnd )
167 5 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
168 41 ad5antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
169 168 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
170 32 13 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
171 170 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
172 2 4 167 169 171 ringcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
173 eqid ⊢ ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
174 70 172 173 fmptdf ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
175 77 mptexd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
176 funmpt ⊢ Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
177 176 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
178 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 ∪ 𝑆
179 168 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
180 179 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
181 77 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
182 79 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
183 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
184 180 181 182 183 fvdifsupp ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
185 184 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
186 5 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
187 170 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
188 183 eldifad ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
189 187 188 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
190 186 189 89 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
191 185 190 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
192 70 178 74 191 77 suppss2f ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
193 fsuppsssupp ⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
194 175 177 109 192 193 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
195 sndisj ⊢ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 }
196 disjpreima ⊢ ( ( Fun 𝑓 ∧ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
197 108 195 196 sylancl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
198 iunid ⊢ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } = 𝑆
199 198 imaeq2i ⊢ ( ◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 )
200 iunpreima ⊢ ( Fun 𝑓 → ( ◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
201 108 200 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ◡ 𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 { 𝑖 } ) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) )
202 136 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ◡ 𝑓 “ 𝑆 ) = ∪ 𝑆 )
203 199 201 202 3eqtr3a ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) = ∪ 𝑆 )
204 2 3 166 77 102 174 194 197 203 gsumpart ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) ) )
205 46 resmptd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
206 205 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
207 206 mpteq2dva ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
208 207 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ↾ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
209 165 204 208 3eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
210 eqid ⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
211 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → 𝑖 = 𝑘 )
212 211 sneqd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → { 𝑖 } = { 𝑘 } )
213 212 imaeq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) = ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) )
214 213 mpteq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
215 214 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑖 = 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
216 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ 𝑆 )
217 ovexd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ V )
218 210 215 216 217 fvmptd2 ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
219 156 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
220 37 imaex ⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∈ V
221 220 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∈ V )
222 5 ad6antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
223 32 6 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → 𝑆 ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
224 223 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
225 8 lidlsubg ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑘 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) )
226 subgsubm ⊢ ( 𝑘 ∈ ( SubGrp ‘ 𝑅 ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
227 225 226 syl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
228 222 224 227 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ∈ ( SubMnd ‘ 𝑅 ) )
229 222 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
230 224 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑘 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) )
231 41 ad7antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
232 cnvimass ⊢ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ dom 𝑓
233 232 44 sseqtrid ⊢ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
234 233 ad3antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
235 234 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 )
236 231 235 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) ∈ 𝐵 )
237 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) )
238 53 237 eleq12d ⊢ ( 𝑗 = 𝑙 → ( 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ↔ 𝑙 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ) )
239 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) )
240 238 239 235 rspcdva ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) )
241 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 )
242 241 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑓 Fn ∪ 𝑆 )
243 elpreima ⊢ ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 → ( 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↔ ( 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } ) ) )
244 243 biimpa ⊢ ( ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } ) )
245 elsni ⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) ∈ { 𝑘 } → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
246 244 245 simpl2im ⊢ ( ( 𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
247 242 246 sylancom ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑙 ) = 𝑘 )
248 240 247 eleqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → 𝑙 ∈ 𝑘 )
249 8 2 4 229 230 236 248 lidlmcld ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) ∈ 𝑘 )
250 54 cbvmptv ⊢ ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑙 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑙 ) · 𝑙 ) )
251 249 250 fmptd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) : ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ⟶ 𝑘 )
252 221 mptexd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V )
253 251 ffund ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → Fun ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
254 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 finSupp 0 )
255 nfv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑘 ∈ 𝑆
256 70 255 nfan ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 )
257 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } )
258 41 ad7antlr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
259 258 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆 )
260 77 ad2antrr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
261 79 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 0 ∈ V )
262 234 ssdifd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ⊆ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
263 262 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) )
264 259 260 261 263 fvdifsupp ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = 0 )
265 264 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
266 13 ad7antr ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
267 263 eldifad ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 )
268 266 267 sseldd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
269 222 268 89 syl2an2r ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
270 265 269 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ∖ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
271 256 257 74 270 221 suppss2f ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) )
272 fsuppsssupp ⊢ ( ( ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ∈ V ∧ Fun ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ ( ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) supp 0 ) ⊆ ( 𝑏 supp 0 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
273 252 253 254 271 272 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) finSupp 0 )
274 3 219 221 228 251 273 gsumsubmcl ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑘 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ∈ 𝑘 )
275 218 274 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 )
276 275 ralrimiva ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 )
277 164 209 276 3jca ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( ( 𝑖 ∈ 𝑆 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ◡ 𝑓 “ { 𝑖 } ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
278 31 101 277 rspcedvdw ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
279 278 anasss ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ∧ ( 𝑓 : ∪ 𝑆 ⟶ 𝑆 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 𝑗 ∈ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
280 24 279 exlimddv ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
281 280 anasss ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
282 281 r19.29an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) )
283 breq1 ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑏 finSupp 0 ↔ ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ) )
284 fveq1 ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) )
285 284 oveq1d ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) )
286 285 mpteq2dv ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) )
287 286 oveq2d ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
288 287 eqeq2d ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ↔ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
289 283 288 anbi12d ⊢ ( 𝑏 = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) → ( ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ) )
290 97 a1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝐵 ∈ V )
291 17 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∪ 𝑆 ∈ V )
292 98 16 elmapd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ↔ 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) )
293 292 biimpa ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) → 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
294 293 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 : 𝑆 ⟶ 𝐵 )
295 294 ffnd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 Fn 𝑆 )
296 elssuni ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆 )
297 296 adantl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆 )
298 297 sseld ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) )
299 298 ralimdva ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) )
300 299 imp ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 )
301 fnfvrnss ⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ ∪ 𝑆 ) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆 )
302 295 300 301 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆 )
303 302 ssdifssd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ∪ 𝑆 )
304 undif ⊢ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∪ 𝑆 )
305 303 304 sylib ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∪ 𝑆 )
306 5 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑅 ∈ Ring )
307 306 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
308 eqid ⊢ ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
309 308 zrhrhm ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∈ ( ℤring RingHom 𝑅 ) )
310 zringbas ⊢ ℤ = ( Base ‘ ℤring )
311 310 2 rhmf ⊢ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∈ ( ℤring RingHom 𝑅 ) → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) : ℤ ⟶ 𝐵 )
312 307 309 311 3syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) : ℤ ⟶ 𝐵 )
313 simp-5r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
314 79 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 0 ∈ V )
315 ssv ⊢ ran 𝑎 ⊆ V
316 ssdif ⊢ ( ran 𝑎 ⊆ V → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ( V ∖ { 0 } ) )
317 315 316 ax-mp ⊢ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ ( V ∖ { 0 } )
318 317 sseli ⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) → 𝑚 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
319 318 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑚 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
320 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
321 313 314 319 320 fsuppinisegfi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ∈ Fin )
322 hashcl ⊢ ( ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℕ0 )
323 321 322 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℕ0 )
324 323 nn0zd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ∈ ℤ )
325 312 324 ffvelcdmd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ∈ 𝐵 )
326 eqid ⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) )
327 325 326 fmptd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) : ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⟶ 𝐵 )
328 2 3 ring0cl ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵 )
329 fconst6g ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) : ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⟶ 𝐵 )
330 306 328 329 3syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) : ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⟶ 𝐵 )
331 disjdif ⊢ ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅
332 331 a1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
333 327 330 332 fun2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∪ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ⟶ 𝐵 )
334 305 333 feq2dd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) : ∪ 𝑆 ⟶ 𝐵 )
335 290 291 334 elmapdd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) )
336 79 a1i ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 0 ∈ V )
337 333 ffund ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → Fun ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) )
338 294 ffund ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → Fun 𝑎 )
339 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
340 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑎 finSupp 0 )
341 fsupprnfi ⊢ ( ( ( Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ) → ran 𝑎 ∈ Fin )
342 diffi ⊢ ( ran 𝑎 ∈ Fin → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
343 341 342 syl ⊢ ( ( ( Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
344 338 339 336 340 343 syl22anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∈ Fin )
345 327 344 336 fdmfifsupp ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) finSupp 0 )
346 13 ssdifssd ⊢ ( 𝜑 → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⊆ 𝐵 )
347 346 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ⊆ 𝐵 )
348 290 347 ssexd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ∈ V )
349 348 336 fczfsuppd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) finSupp 0 )
350 345 349 fsuppun ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) supp 0 ) ∈ Fin )
351 335 336 337 350 isfsuppd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 )
352 fvex ⊢ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ∈ V
353 352 326 fnmpti ⊢ ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } )
354 353 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
355 fnconstg ⊢ ( 0 ∈ V → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) )
356 79 355 ax-mp ⊢ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
357 356 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) )
358 331 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
359 simpr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) )
360 354 357 358 359 fvun1d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) )
361 sneq ⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → { 𝑚 } = { 𝑗 } )
362 361 imaeq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) = ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) )
363 362 fveq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) = ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) )
364 363 fveq2d ⊢ ( 𝑚 = 𝑗 → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
365 fvexd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) ∈ V )
366 326 364 359 365 fvmptd3 ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
367 360 366 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) )
368 367 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) )
369 368 mpteq2dva ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) )
370 369 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) )
371 306 ringcmnd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
372 331 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ )
373 fvun2 ⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) Fn ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) Fn ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ∧ ( ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
374 353 356 373 mp3an12 ⊢ ( ( ( ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ∩ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
375 372 374 sylancom ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) )
376 79 fvconst2 ⊢ ( 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
377 376 adantl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
378 375 377 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
379 378 oveq1d ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = ( 0 · 𝑗 ) )
380 347 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
381 306 380 89 syl2an2r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( 0 · 𝑗 ) = 0 )
382 379 381 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) = 0 )
383 306 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
384 334 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
385 13 ad4antr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 )
386 385 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
387 2 4 383 384 386 ringcld ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ) → ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ∈ 𝐵 )
388 2 3 371 291 382 344 387 303 gsummptres2 ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
389 eqid ⊢ ( .g ‘ 𝑅 ) = ( .g ‘ 𝑅 )
390 2 3 389 371 294 340 gsumhashmul ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg 𝑎 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) ) )
391 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) )
392 306 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
393 339 adantr ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) )
394 79 a1i ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 0 ∈ V )
395 317 359 sselid ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( V ∖ { 0 } ) )
396 simp-4r ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
397 393 394 395 396 fsuppinisegfi ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ∈ Fin )
398 hashcl ⊢ ( ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℕ0 )
399 397 398 syl ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℕ0 )
400 399 nn0zd ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ )
401 303 385 sstrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ⊆ 𝐵 )
402 401 sselda ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
403 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
404 308 389 403 zrhmulg ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) )
405 404 adantr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) )
406 405 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) )
407 simpll ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Ring )
408 simplr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ )
409 2 403 ringidcl ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
410 409 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
411 simpr ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → 𝑗 ∈ 𝐵 )
412 2 389 4 mulgass2 ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) )
413 407 408 410 411 412 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) )
414 2 4 403 ringlidm ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) = 𝑗 )
415 407 414 sylancom ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) = 𝑗 )
416 415 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) ( ( 1r ‘ 𝑅 ) · 𝑗 ) ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
417 406 413 416 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
418 392 400 402 417 syl21anc ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) = ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) )
419 418 mpteq2dva ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) )
420 419 oveq2d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ( .g ‘ 𝑅 ) 𝑗 ) ) ) )
421 390 391 420 3eqtr4d ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑗 } ) ) ) · 𝑗 ) ) ) )
422 370 388 421 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) )
423 351 422 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( ( ( 𝑚 ∈ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ↦ ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ ( ◡ 𝑎 “ { 𝑚 } ) ) ) ) ∪ ( ( ∪ 𝑆 ∖ ( ran 𝑎 ∖ { 0 } ) ) × { 0 } ) ) ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
424 289 335 423 rspcedvdw ⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
425 424 3anasss ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
426 425 r19.29an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) )
427 282 426 impbida ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝐵 ↑m ∪ 𝑆 ) ( 𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑗 ) · 𝑗 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )
428 14 427 bitrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ∪ 𝑆 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ( 𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = ( 𝑅 Σg 𝑎 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑆 ( 𝑎 ‘ 𝑘 ) ∈ 𝑘 ) ) )