Theorem elrspunidl

Description: Elementhood in the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024) Remove dependency on ax-reg and ax-inf2 . (Revised by Timothy J. O'Malley, 15-Oct-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	elrspunidl.n	|- N = ( RSpan ` R )
	elrspunidl.b	|- B = ( Base ` R )
	elrspunidl.1	|- .0. = ( 0g ` R )
	elrspunidl.x	|- .x. = ( .r ` R )
	elrspunidl.r	|- ( ph -> R e. Ring )
	elrspunidl.i	|- ( ph -> S C_ ( LIdeal ` R ) )
Assertion	elrspunidl	|- ( ph -> ( X e. ( N ` U. S ) <-> E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrspunidl.n	|- N = ( RSpan ` R )
2		elrspunidl.b	|- B = ( Base ` R )
3		elrspunidl.1	|- .0. = ( 0g ` R )
4		elrspunidl.x	|- .x. = ( .r ` R )
5		elrspunidl.r	|- ( ph -> R e. Ring )
6		elrspunidl.i	|- ( ph -> S C_ ( LIdeal ` R ) )
7	6	sselda	|- ( ( ph /\ i e. S ) -> i e. ( LIdeal ` R ) )
8		eqid	|- ( LIdeal ` R ) = ( LIdeal ` R )
9	2 8	lidlss	|- ( i e. ( LIdeal ` R ) -> i C_ B )
10	7 9	syl	|- ( ( ph /\ i e. S ) -> i C_ B )
11	10	ralrimiva	|- ( ph -> A. i e. S i C_ B )
12		unissb	|- ( U. S C_ B <-> A. i e. S i C_ B )
13	11 12	sylibr	|- ( ph -> U. S C_ B )
14	1 2 3 4 5 13	elrsp	|- ( ph -> ( X e. ( N ` U. S ) <-> E. b e. ( B ^m U. S ) ( b finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) )
15		fvexd	|- ( ph -> ( LIdeal ` R ) e. _V )
16	15 6	ssexd	|- ( ph -> S e. _V )
17	16	uniexd	|- ( ph -> U. S e. _V )
18		eluni2	|- ( j e. U. S <-> E. i e. S j e. i )
19	18	bilani	|- ( ( ph /\ j e. U. S ) -> E. i e. S j e. i )
20	19	ralrimiva	|- ( ph -> A. j e. U. S E. i e. S j e. i )
21		eleq2	|- ( i = ( f ` j ) -> ( j e. i <-> j e. ( f ` j ) ) )
22	21	ac6	|- ( ( U. S e. _V /\ S e. _V /\ A. j e. U. S E. i e. S j e. i ) -> E. f ( f : U. S --> S /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) )
23	17 16 20 22	syl3anc	|- ( ph -> E. f ( f : U. S --> S /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) )
24	23	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> E. f ( f : U. S --> S /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) )
25		breq1	|- ( a = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> ( a finSupp .0. <-> ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) finSupp .0. ) )
26		oveq2	|- ( a = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> ( R gsum a ) = ( R gsum ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) )
27	26	eqeq2d	|- ( a = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> ( X = ( R gsum a ) <-> X = ( R gsum ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) ) )
28		fveq1	|- ( a = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> ( a ` k ) = ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ` k ) )
29	28	eleq1d	|- ( a = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> ( ( a ` k ) e. k <-> ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ` k ) e. k ) )
30	29	ralbidv	|- ( a = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> ( A. k e. S ( a ` k ) e. k <-> A. k e. S ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ` k ) e. k ) )
31	25 27 30	3anbi123d	|- ( a = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> ( ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) <-> ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) /\ A. k e. S ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ` k ) e. k ) ) )
32		simp-5l	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ph )
33	32	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ph )
34		ringcmn	|- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
35	33 5 34	3syl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> R e. CMnd )
36		vex	|- f e. _V
37	36	cnvex	|- `' f e. _V
38	37	imaex	|- ( `' f " { i } ) e. _V
39	38	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( `' f " { i } ) e. _V )
40	5	ad7antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ l e. ( `' f " { i } ) ) -> R e. Ring )
41		elmapi	|- ( b e. ( B ^m U. S ) -> b : U. S --> B )
42	41	ad7antlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ l e. ( `' f " { i } ) ) -> b : U. S --> B )
43		cnvimass	|- ( `' f " { i } ) C_ dom f
44		fdm	|- ( f : U. S --> S -> dom f = U. S )
45	43 44	sseqtrid	|- ( f : U. S --> S -> ( `' f " { i } ) C_ U. S )
46	45	ad3antlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( `' f " { i } ) C_ U. S )
47	46	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ l e. ( `' f " { i } ) ) -> l e. U. S )
48	42 47	ffvelcdmd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ l e. ( `' f " { i } ) ) -> ( b ` l ) e. B )
49	13	ad7antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ l e. ( `' f " { i } ) ) -> U. S C_ B )
50	49 47	sseldd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ l e. ( `' f " { i } ) ) -> l e. B )
51	2 4 40 48 50	ringcld	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ l e. ( `' f " { i } ) ) -> ( ( b ` l ) .x. l ) e. B )
52		fveq2	|- ( j = l -> ( b ` j ) = ( b ` l ) )
53		id	|- ( j = l -> j = l )
54	52 53	oveq12d	|- ( j = l -> ( ( b ` j ) .x. j ) = ( ( b ` l ) .x. l ) )
55	54	cbvmptv	|- ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) = ( l e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` l ) .x. l ) )
56	51 55	fmptd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) : ( `' f " { i } ) --> B )
57	39	mptexd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) e. _V )
58	56	ffund	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> Fun ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) )
59		simp-5r	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> b finSupp .0. )
60		nfv	|- F/ j ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. )
61		nfcv	|- F/_ j R
62		nfcv	|- F/_ j gsum
63		nfmpt1	|- F/_ j ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) )
64	61 62 63	nfov	|- F/_ j ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) )
65	64	nfeq2	|- F/ j X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) )
66	60 65	nfan	|- F/ j ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) )
67		nfv	|- F/ j f : U. S --> S
68	66 67	nfan	|- F/ j ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S )
69		nfra1	|- F/ j A. j e. U. S j e. ( f ` j )
70	68 69	nfan	|- F/ j ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) )
71		nfv	|- F/ j i e. S
72	70 71	nfan	|- F/ j ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S )
73		nfcv	|- F/_ j ( `' f " { i } )
74		nfcv	|- F/_ j ( b supp .0. )
75	41	ad7antlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> b : U. S --> B )
76	75	ffnd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> b Fn U. S )
77	32 17	syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> U. S e. _V )
78	77	ad2antrr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> U. S e. _V )
79	3	fvexi	|- .0. e. _V
80	79	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> .0. e. _V )
81	46	ssdifd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) C_ ( U. S \ ( b supp .0. ) ) )
82	81	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) )
83	76 78 80 82	fvdifsupp	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( b ` j ) = .0. )
84	83	oveq1d	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = ( .0. .x. j ) )
85	5	ad7antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> R e. Ring )
86	13	ad7antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> U. S C_ B )
87	82	eldifad	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. U. S )
88	86 87	sseldd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. B )
89	2 4 3	ringlz	|- ( ( R e. Ring /\ j e. B ) -> ( .0. .x. j ) = .0. )
90	85 88 89	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( .0. .x. j ) = .0. )
91	84 90	eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { i } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = .0. )
92	72 73 74 91 39	suppss2f	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) supp .0. ) C_ ( b supp .0. ) )
93		fsuppsssupp	|- ( ( ( ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) e. _V /\ Fun ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) /\ ( b finSupp .0. /\ ( ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) supp .0. ) C_ ( b supp .0. ) ) ) -> ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) finSupp .0. )
94	57 58 59 92 93	syl22anc	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) finSupp .0. )
95	2 3 35 39 56 94	gsumcl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) e. B )
96	95	fmpttd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) : S --> B )
97	2	fvexi	|- B e. _V
98	97	a1i	|- ( ph -> B e. _V )
99	98 16	elmapd	|- ( ph -> ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) e. ( B ^m S ) <-> ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) : S --> B ) )
100	99	biimpar	|- ( ( ph /\ ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) : S --> B ) -> ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) e. ( B ^m S ) )
101	32 96 100	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) e. ( B ^m S ) )
102	32 16	syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> S e. _V )
103	102	mptexd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) e. _V )
104	79	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> .0. e. _V )
105		funmpt	|- Fun ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) )
106	105	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> Fun ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) )
107		simplr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> f : U. S --> S )
108	107	ffund	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> Fun f )
109		simp-4r	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> b finSupp .0. )
110	109	fsuppimpd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( b supp .0. ) e. Fin )
111		imafi	|- ( ( Fun f /\ ( b supp .0. ) e. Fin ) -> ( f " ( b supp .0. ) ) e. Fin )
112	108 110 111	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( f " ( b supp .0. ) ) e. Fin )
113		nfv	|- F/ j i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) )
114	70 113	nfan	|- F/ j ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) )
115		simpllr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> f : U. S --> S )
116	115	ffund	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> Fun f )
117		snssi	|- ( i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) -> { i } C_ ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) )
118	117	adantl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> { i } C_ ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) )
119		sspreima	|- ( ( Fun f /\ { i } C_ ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( `' f " { i } ) C_ ( `' f " ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) )
120	116 118 119	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( `' f " { i } ) C_ ( `' f " ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) )
121		difpreima	|- ( Fun f -> ( `' f " ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) = ( ( `' f " S ) \ ( `' f " ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) )
122	116 121	syl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( `' f " ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) = ( ( `' f " S ) \ ( `' f " ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) )
123	120 122	sseqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( `' f " { i } ) C_ ( ( `' f " S ) \ ( `' f " ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) )
124		suppssdm	|- ( b supp .0. ) C_ dom b
125	41	ad6antlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> b : U. S --> B )
126	124 125	fssdm	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( b supp .0. ) C_ U. S )
127	115	fdmd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> dom f = U. S )
128	126 127	sseqtrrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( b supp .0. ) C_ dom f )
129		sseqin2	|- ( ( b supp .0. ) C_ dom f <-> ( dom f i^i ( b supp .0. ) ) = ( b supp .0. ) )
130	129	biimpi	|- ( ( b supp .0. ) C_ dom f -> ( dom f i^i ( b supp .0. ) ) = ( b supp .0. ) )
131		dminss	|- ( dom f i^i ( b supp .0. ) ) C_ ( `' f " ( f " ( b supp .0. ) ) )
132	130 131	eqsstrrdi	|- ( ( b supp .0. ) C_ dom f -> ( b supp .0. ) C_ ( `' f " ( f " ( b supp .0. ) ) ) )
133	128 132	syl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( b supp .0. ) C_ ( `' f " ( f " ( b supp .0. ) ) ) )
134	133	sscond	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( ( `' f " S ) \ ( `' f " ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) C_ ( ( `' f " S ) \ ( b supp .0. ) ) )
135	123 134	sstrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( `' f " { i } ) C_ ( ( `' f " S ) \ ( b supp .0. ) ) )
136		fimacnv	|- ( f : U. S --> S -> ( `' f " S ) = U. S )
137	115 136	syl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( `' f " S ) = U. S )
138	137	difeq1d	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( ( `' f " S ) \ ( b supp .0. ) ) = ( U. S \ ( b supp .0. ) ) )
139	135 138	sseqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( `' f " { i } ) C_ ( U. S \ ( b supp .0. ) ) )
140	139	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) )
141		ssidd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( b supp .0. ) C_ ( b supp .0. ) )
142	77	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> U. S e. _V )
143	79	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> .0. e. _V )
144	125 141 142 143	suppssr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( b ` j ) = .0. )
145	140 144	syldan	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> ( b ` j ) = .0. )
146	145	oveq1d	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = ( .0. .x. j ) )
147	5	ad7antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> R e. Ring )
148	13	ad7antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> U. S C_ B )
149	45	ad3antlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( `' f " { i } ) C_ U. S )
150	149	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> j e. U. S )
151	148 150	sseldd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> j e. B )
152	147 151 89	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> ( .0. .x. j ) = .0. )
153	146 152	eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) /\ j e. ( `' f " { i } ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = .0. )
154	114 153	mpteq2da	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) = ( j e. ( `' f " { i } ) |-> .0. ) )
155	154	oveq2d	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) = ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> .0. ) ) )
156	5	ringcmnd	|- ( ph -> R e. CMnd )
157	156	cmnmndd	|- ( ph -> R e. Mnd )
158	157	ad6antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> R e. Mnd )
159	3	gsumz	|- ( ( R e. Mnd /\ ( `' f " { i } ) e. _V ) -> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> .0. ) ) = .0. )
160	158 38 159	sylancl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> .0. ) ) = .0. )
161	155 160	eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. ( S \ ( f " ( b supp .0. ) ) ) ) -> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) = .0. )
162	161 102	suppss2	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) supp .0. ) C_ ( f " ( b supp .0. ) ) )
163	112 162	ssfid	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) supp .0. ) e. Fin )
164	103 104 106 163	isfsuppd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) finSupp .0. )
165		simpllr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) )
166	32 156	syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> R e. CMnd )
167	5	ad6antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. U. S ) -> R e. Ring )
168	41	ad5antlr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> b : U. S --> B )
169	168	ffvelcdmda	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. U. S ) -> ( b ` j ) e. B )
170	32 13	syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> U. S C_ B )
171	170	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. U. S ) -> j e. B )
172	2 4 167 169 171	ringcld	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. U. S ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) e. B )
173		eqid	|- ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) = ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) )
174	70 172 173	fmptdf	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) : U. S --> B )
175	77	mptexd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) e. _V )
176		funmpt	|- Fun ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) )
177	176	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> Fun ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) )
178		nfcv	|- F/_ j U. S
179	168	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> b : U. S --> B )
180	179	ffnd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> b Fn U. S )
181	77	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> U. S e. _V )
182	79	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> .0. e. _V )
183		simpr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) )
184	180 181 182 183	fvdifsupp	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( b ` j ) = .0. )
185	184	oveq1d	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = ( .0. .x. j ) )
186	5	ad6antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> R e. Ring )
187	170	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> U. S C_ B )
188	183	eldifad	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. U. S )
189	187 188	sseldd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. B )
190	186 189 89	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( .0. .x. j ) = .0. )
191	185 190	eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = .0. )
192	70 178 74 191 77	suppss2f	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) supp .0. ) C_ ( b supp .0. ) )
193		fsuppsssupp	|- ( ( ( ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) e. _V /\ Fun ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) /\ ( b finSupp .0. /\ ( ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) supp .0. ) C_ ( b supp .0. ) ) ) -> ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) finSupp .0. )
194	175 177 109 192 193	syl22anc	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) finSupp .0. )
195		sndisj	|- Disj_ i e. S { i }
196		disjpreima	|- ( ( Fun f /\ Disj_ i e. S { i } ) -> Disj_ i e. S ( `' f " { i } ) )
197	108 195 196	sylancl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> Disj_ i e. S ( `' f " { i } ) )
198		iunid	|- U_ i e. S { i } = S
199	198	imaeq2i	|- ( `' f " U_ i e. S { i } ) = ( `' f " S )
200		iunpreima	|- ( Fun f -> ( `' f " U_ i e. S { i } ) = U_ i e. S ( `' f " { i } ) )
201	108 200	syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( `' f " U_ i e. S { i } ) = U_ i e. S ( `' f " { i } ) )
202	136	ad2antlr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( `' f " S ) = U. S )
203	199 201 202	3eqtr3a	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> U_ i e. S ( `' f " { i } ) = U. S )
204	2 3 166 77 102 174 194 197 203	gsumpart	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) = ( R gsum ( i e. S |-> ( R gsum ( ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) |` ( `' f " { i } ) ) ) ) ) )
205	46	resmptd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) |` ( `' f " { i } ) ) = ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) )
206	205	oveq2d	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ i e. S ) -> ( R gsum ( ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) |` ( `' f " { i } ) ) ) = ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) )
207	206	mpteq2dva	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( i e. S |-> ( R gsum ( ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) |` ( `' f " { i } ) ) ) ) = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) )
208	207	oveq2d	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( R gsum ( i e. S |-> ( R gsum ( ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) |` ( `' f " { i } ) ) ) ) ) = ( R gsum ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) )
209	165 204 208	3eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> X = ( R gsum ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) )
210		eqid	|- ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) = ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) )
211		simpr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ i = k ) -> i = k )
212	211	sneqd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ i = k ) -> { i } = { k } )
213	212	imaeq2d	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ i = k ) -> ( `' f " { i } ) = ( `' f " { k } ) )
214	213	mpteq1d	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ i = k ) -> ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) = ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) )
215	214	oveq2d	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ i = k ) -> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) = ( R gsum ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) )
216		simpr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> k e. S )
217		ovexd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( R gsum ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) e. _V )
218	210 215 216 217	fvmptd2	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ` k ) = ( R gsum ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) )
219	156	ad6antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> R e. CMnd )
220	37	imaex	|- ( `' f " { k } ) e. _V
221	220	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( `' f " { k } ) e. _V )
222	5	ad6antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> R e. Ring )
223	32 6	syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> S C_ ( LIdeal ` R ) )
224	223	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> k e. ( LIdeal ` R ) )
225	8	lidlsubg	|- ( ( R e. Ring /\ k e. ( LIdeal ` R ) ) -> k e. ( SubGrp ` R ) )
226		subgsubm	|- ( k e. ( SubGrp ` R ) -> k e. ( SubMnd ` R ) )
227	225 226	syl	|- ( ( R e. Ring /\ k e. ( LIdeal ` R ) ) -> k e. ( SubMnd ` R ) )
228	222 224 227	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> k e. ( SubMnd ` R ) )
229	222	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> R e. Ring )
230	224	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> k e. ( LIdeal ` R ) )
231	41	ad7antlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> b : U. S --> B )
232		cnvimass	|- ( `' f " { k } ) C_ dom f
233	232 44	sseqtrid	|- ( f : U. S --> S -> ( `' f " { k } ) C_ U. S )
234	233	ad3antlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( `' f " { k } ) C_ U. S )
235	234	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> l e. U. S )
236	231 235	ffvelcdmd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> ( b ` l ) e. B )
237		fveq2	|- ( j = l -> ( f ` j ) = ( f ` l ) )
238	53 237	eleq12d	|- ( j = l -> ( j e. ( f ` j ) <-> l e. ( f ` l ) ) )
239		simpllr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> A. j e. U. S j e. ( f ` j ) )
240	238 239 235	rspcdva	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> l e. ( f ` l ) )
241		simp-4r	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> f : U. S --> S )
242	241	ffnd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> f Fn U. S )
243		elpreima	|- ( f Fn U. S -> ( l e. ( `' f " { k } ) <-> ( l e. U. S /\ ( f ` l ) e. { k } ) ) )
244	243	biimpa	|- ( ( f Fn U. S /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> ( l e. U. S /\ ( f ` l ) e. { k } ) )
245		elsni	|- ( ( f ` l ) e. { k } -> ( f ` l ) = k )
246	244 245	simpl2im	|- ( ( f Fn U. S /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> ( f ` l ) = k )
247	242 246	sylancom	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> ( f ` l ) = k )
248	240 247	eleqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> l e. k )
249	8 2 4 229 230 236 248	lidlmcld	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ l e. ( `' f " { k } ) ) -> ( ( b ` l ) .x. l ) e. k )
250	54	cbvmptv	|- ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) = ( l e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` l ) .x. l ) )
251	249 250	fmptd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) : ( `' f " { k } ) --> k )
252	221	mptexd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) e. _V )
253	251	ffund	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> Fun ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) )
254		simp-5r	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> b finSupp .0. )
255		nfv	|- F/ j k e. S
256	70 255	nfan	|- F/ j ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S )
257		nfcv	|- F/_ j ( `' f " { k } )
258	41	ad7antlr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> b : U. S --> B )
259	258	ffnd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> b Fn U. S )
260	77	ad2antrr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> U. S e. _V )
261	79	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> .0. e. _V )
262	234	ssdifd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) C_ ( U. S \ ( b supp .0. ) ) )
263	262	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. ( U. S \ ( b supp .0. ) ) )
264	259 260 261 263	fvdifsupp	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( b ` j ) = .0. )
265	264	oveq1d	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = ( .0. .x. j ) )
266	13	ad7antr	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> U. S C_ B )
267	263	eldifad	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. U. S )
268	266 267	sseldd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> j e. B )
269	222 268 89	syl2an2r	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( .0. .x. j ) = .0. )
270	265 269	eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) /\ j e. ( ( `' f " { k } ) \ ( b supp .0. ) ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = .0. )
271	256 257 74 270 221	suppss2f	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) supp .0. ) C_ ( b supp .0. ) )
272		fsuppsssupp	|- ( ( ( ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) e. _V /\ Fun ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) /\ ( b finSupp .0. /\ ( ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) supp .0. ) C_ ( b supp .0. ) ) ) -> ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) finSupp .0. )
273	252 253 254 271 272	syl22anc	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) finSupp .0. )
274	3 219 221 228 251 273	gsumsubmcl	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( R gsum ( j e. ( `' f " { k } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) e. k )
275	218 274	eqeltrd	|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) /\ k e. S ) -> ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ` k ) e. k )
276	275	ralrimiva	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> A. k e. S ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ` k ) e. k )
277	164 209 276	3jca	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) /\ A. k e. S ( ( i e. S |-> ( R gsum ( j e. ( `' f " { i } ) |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ` k ) e. k ) )
278	31 101 277	rspcedvdw	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ f : U. S --> S ) /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) -> E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) )
279	278	anasss	|- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) /\ ( f : U. S --> S /\ A. j e. U. S j e. ( f ` j ) ) ) -> E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) )
280	24 279	exlimddv	|- ( ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ b finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) -> E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) )
281	280	anasss	|- ( ( ( ph /\ b e. ( B ^m U. S ) ) /\ ( b finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) -> E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) )
282	281	r19.29an	|- ( ( ph /\ E. b e. ( B ^m U. S ) ( b finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) ) -> E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) )
283		breq1	|- ( b = ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) -> ( b finSupp .0. <-> ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) finSupp .0. ) )
284		fveq1	|- ( b = ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) -> ( b ` j ) = ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) )
285	284	oveq1d	|- ( b = ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) -> ( ( b ` j ) .x. j ) = ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) )
286	285	mpteq2dv	|- ( b = ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) -> ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) = ( j e. U. S |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) )
287	286	oveq2d	|- ( b = ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) -> ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) ) )
288	287	eqeq2d	|- ( b = ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) -> ( X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) <-> X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) ) ) )
289	283 288	anbi12d	|- ( b = ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) -> ( ( b finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) <-> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) ) ) ) )
290	97	a1i	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> B e. _V )
291	17	ad4antr	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> U. S e. _V )
292	98 16	elmapd	|- ( ph -> ( a e. ( B ^m S ) <-> a : S --> B ) )
293	292	biimpa	|- ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) -> a : S --> B )
294	293	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> a : S --> B )
295	294	ffnd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> a Fn S )
296		elssuni	|- ( k e. S -> k C_ U. S )
297	296	adantl	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ k e. S ) -> k C_ U. S )
298	297	sseld	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ k e. S ) -> ( ( a ` k ) e. k -> ( a ` k ) e. U. S ) )
299	298	ralimdva	|- ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) -> ( A. k e. S ( a ` k ) e. k -> A. k e. S ( a ` k ) e. U. S ) )
300	299	imp	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> A. k e. S ( a ` k ) e. U. S )
301		fnfvrnss	|- ( ( a Fn S /\ A. k e. S ( a ` k ) e. U. S ) -> ran a C_ U. S )
302	295 300 301	syl2anc	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ran a C_ U. S )
303	302	ssdifssd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ran a \ { .0. } ) C_ U. S )
304		undif	|- ( ( ran a \ { .0. } ) C_ U. S <-> ( ( ran a \ { .0. } ) u. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) = U. S )
305	303 304	sylib	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( ran a \ { .0. } ) u. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) = U. S )
306	5	ad4antr	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> R e. Ring )
307	306	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> R e. Ring )
308		eqid	|- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
309	308	zrhrhm	|- ( R e. Ring -> ( ZRHom ` R ) e. ( ZZring RingHom R ) )
310		zringbas	|- ZZ = ( Base ` ZZring )
311	310 2	rhmf	|- ( ( ZRHom ` R ) e. ( ZZring RingHom R ) -> ( ZRHom ` R ) : ZZ --> B )
312	307 309 311	3syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ZRHom ` R ) : ZZ --> B )
313		simp-5r	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> a e. ( B ^m S ) )
314	79	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> .0. e. _V )
315		ssv	|- ran a C_ _V
316		ssdif	|- ( ran a C_ _V -> ( ran a \ { .0. } ) C_ ( _V \ { .0. } ) )
317	315 316	ax-mp	|- ( ran a \ { .0. } ) C_ ( _V \ { .0. } )
318	317	sseli	|- ( m e. ( ran a \ { .0. } ) -> m e. ( _V \ { .0. } ) )
319	318	adantl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> m e. ( _V \ { .0. } ) )
320		simp-4r	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> a finSupp .0. )
321	313 314 319 320	fsuppinisegfi	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( `' a " { m } ) e. Fin )
322		hashcl	|- ( ( `' a " { m } ) e. Fin -> ( # ` ( `' a " { m } ) ) e. NN0 )
323	321 322	syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( # ` ( `' a " { m } ) ) e. NN0 )
324	323	nn0zd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( # ` ( `' a " { m } ) ) e. ZZ )
325	312 324	ffvelcdmd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ m e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) e. B )
326		eqid	|- ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) = ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) )
327	325 326	fmptd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) : ( ran a \ { .0. } ) --> B )
328	2 3	ring0cl	|- ( R e. Ring -> .0. e. B )
329		fconst6g	|- ( .0. e. B -> ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) : ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) --> B )
330	306 328 329	3syl	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) : ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) --> B )
331		disjdif	|- ( ( ran a \ { .0. } ) i^i ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) = (/)
332	331	a1i	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( ran a \ { .0. } ) i^i ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) = (/) )
333	327 330 332	fun2d	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) : ( ( ran a \ { .0. } ) u. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) --> B )
334	305 333	feq2dd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) : U. S --> B )
335	290 291 334	elmapdd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) e. ( B ^m U. S ) )
336	79	a1i	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> .0. e. _V )
337	333	ffund	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> Fun ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) )
338	294	ffund	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> Fun a )
339		simp-4r	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> a e. ( B ^m S ) )
340		simpllr	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> a finSupp .0. )
341		fsupprnfi	|- ( ( ( Fun a /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ ( .0. e. _V /\ a finSupp .0. ) ) -> ran a e. Fin )
342		diffi	|- ( ran a e. Fin -> ( ran a \ { .0. } ) e. Fin )
343	341 342	syl	|- ( ( ( Fun a /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ ( .0. e. _V /\ a finSupp .0. ) ) -> ( ran a \ { .0. } ) e. Fin )
344	338 339 336 340 343	syl22anc	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ran a \ { .0. } ) e. Fin )
345	327 344 336	fdmfifsupp	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) finSupp .0. )
346	13	ssdifssd	|- ( ph -> ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) C_ B )
347	346	ad4antr	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) C_ B )
348	290 347	ssexd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) e. _V )
349	348 336	fczfsuppd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) finSupp .0. )
350	345 349	fsuppun	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) supp .0. ) e. Fin )
351	335 336 337 350	isfsuppd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) finSupp .0. )
352		fvex	|- ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) e. _V
353	352 326	fnmpti	|- ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) Fn ( ran a \ { .0. } )
354	353	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) Fn ( ran a \ { .0. } ) )
355		fnconstg	|- ( .0. e. _V -> ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) Fn ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) )
356	79 355	ax-mp	|- ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) Fn ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) )
357	356	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) Fn ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) )
358	331	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( ran a \ { .0. } ) i^i ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) = (/) )
359		simpr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> j e. ( ran a \ { .0. } ) )
360	354 357 358 359	fvun1d	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) = ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) ` j ) )
361		sneq	|- ( m = j -> { m } = { j } )
362	361	imaeq2d	|- ( m = j -> ( `' a " { m } ) = ( `' a " { j } ) )
363	362	fveq2d	|- ( m = j -> ( # ` ( `' a " { m } ) ) = ( # ` ( `' a " { j } ) ) )
364	363	fveq2d	|- ( m = j -> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) = ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) )
365		fvexd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) e. _V )
366	326 364 359 365	fvmptd3	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) ` j ) = ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) )
367	360 366	eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) = ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) )
368	367	oveq1d	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) = ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) )
369	368	mpteq2dva	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) = ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) ) )
370	369	oveq2d	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( R gsum ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) ) = ( R gsum ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) ) ) )
371	306	ringcmnd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> R e. CMnd )
372	331	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> ( ( ran a \ { .0. } ) i^i ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) = (/) )
373		fvun2	|- ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) Fn ( ran a \ { .0. } ) /\ ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) Fn ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) /\ ( ( ( ran a \ { .0. } ) i^i ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) = (/) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) = ( ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ` j ) )
374	353 356 373	mp3an12	|- ( ( ( ( ran a \ { .0. } ) i^i ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) = (/) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) = ( ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ` j ) )
375	372 374	sylancom	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) = ( ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ` j ) )
376	79	fvconst2	|- ( j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ` j ) = .0. )
377	376	adantl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> ( ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ` j ) = .0. )
378	375 377	eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) = .0. )
379	378	oveq1d	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) = ( .0. .x. j ) )
380	347	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> j e. B )
381	306 380 89	syl2an2r	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> ( .0. .x. j ) = .0. )
382	379 381	eqtrd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) ) -> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) = .0. )
383	306	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. U. S ) -> R e. Ring )
384	334	ffvelcdmda	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. U. S ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) e. B )
385	13	ad4antr	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> U. S C_ B )
386	385	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. U. S ) -> j e. B )
387	2 4 383 384 386	ringcld	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. U. S ) -> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) e. B )
388	2 3 371 291 382 344 387 303	gsummptres2	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) ) = ( R gsum ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) ) )
389		eqid	|- ( .g ` R ) = ( .g ` R )
390	2 3 389 371 294 340	gsumhashmul	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( R gsum a ) = ( R gsum ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) j ) ) ) )
391		simplr	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> X = ( R gsum a ) )
392	306	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> R e. Ring )
393	339	adantr	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> a e. ( B ^m S ) )
394	79	a1i	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> .0. e. _V )
395	317 359	sselid	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> j e. ( _V \ { .0. } ) )
396		simp-4r	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> a finSupp .0. )
397	393 394 395 396	fsuppinisegfi	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( `' a " { j } ) e. Fin )
398		hashcl	|- ( ( `' a " { j } ) e. Fin -> ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. NN0 )
399	397 398	syl	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. NN0 )
400	399	nn0zd	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ )
401	303 385	sstrd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ran a \ { .0. } ) C_ B )
402	401	sselda	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> j e. B )
403		eqid	|- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
404	308 389 403	zrhmulg	|- ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) = ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
405	404	adantr	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) = ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
406	405	oveq1d	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) = ( ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) ( 1r ` R ) ) .x. j ) )
407		simpll	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> R e. Ring )
408		simplr	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ )
409	2 403	ringidcl	|- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
410	409	ad2antrr	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
411		simpr	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> j e. B )
412	2 389 4	mulgass2	|- ( ( R e. Ring /\ ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ /\ ( 1r ` R ) e. B /\ j e. B ) ) -> ( ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) ( 1r ` R ) ) .x. j ) = ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) ( ( 1r ` R ) .x. j ) ) )
413	407 408 410 411 412	syl13anc	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> ( ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) ( 1r ` R ) ) .x. j ) = ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) ( ( 1r ` R ) .x. j ) ) )
414	2 4 403	ringlidm	|- ( ( R e. Ring /\ j e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. j ) = j )
415	407 414	sylancom	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. j ) = j )
416	415	oveq2d	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) ( ( 1r ` R ) .x. j ) ) = ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) j ) )
417	406 413 416	3eqtrd	|- ( ( ( R e. Ring /\ ( # ` ( `' a " { j } ) ) e. ZZ ) /\ j e. B ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) = ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) j ) )
418	392 400 402 417	syl21anc	|- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) /\ j e. ( ran a \ { .0. } ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) = ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) j ) )
419	418	mpteq2dva	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) ) = ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) j ) ) )
420	419	oveq2d	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( R gsum ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) ) ) = ( R gsum ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( # ` ( `' a " { j } ) ) ( .g ` R ) j ) ) ) )
421	390 391 420	3eqtr4d	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> X = ( R gsum ( j e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { j } ) ) ) .x. j ) ) ) )
422	370 388 421	3eqtr4rd	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) ) )
423	351 422	jca	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( ( ( m e. ( ran a \ { .0. } ) |-> ( ( ZRHom ` R ) ` ( # ` ( `' a " { m } ) ) ) ) u. ( ( U. S \ ( ran a \ { .0. } ) ) X. { .0. } ) ) ` j ) .x. j ) ) ) ) )
424	289 335 423	rspcedvdw	|- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ a finSupp .0. ) /\ X = ( R gsum a ) ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) -> E. b e. ( B ^m U. S ) ( b finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) )
425	424	3anasss	|- ( ( ( ph /\ a e. ( B ^m S ) ) /\ ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) ) -> E. b e. ( B ^m U. S ) ( b finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) )
426	425	r19.29an	|- ( ( ph /\ E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) ) -> E. b e. ( B ^m U. S ) ( b finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) )
427	282 426	impbida	|- ( ph -> ( E. b e. ( B ^m U. S ) ( b finSupp .0. /\ X = ( R gsum ( j e. U. S |-> ( ( b ` j ) .x. j ) ) ) ) <-> E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) ) )
428	14 427	bitrd	|- ( ph -> ( X e. ( N ` U. S ) <-> E. a e. ( B ^m S ) ( a finSupp .0. /\ X = ( R gsum a ) /\ A. k e. S ( a ` k ) e. k ) ) )