Metamath Proof Explorer


Theorem hoidmvlelem2

Description: This is the contradiction proven in step (d) in the proof of Lemma 115B of Fremlin1 p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020)

Ref Expression
Hypotheses hoidmvlelem2.l โŠข ๐ฟ = ( ๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†ฆ ( ๐‘Ž โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘ฅ ) , ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘ฅ ) โ†ฆ if ( ๐‘ฅ = โˆ… , 0 , โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ( vol โ€˜ ( ( ๐‘Ž โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ๐‘ โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ) ) )
hoidmvlelem2.x โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin )
hoidmvlelem2.y โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘‹ )
hoidmvlelem2.z โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ( ๐‘‹ โˆ– ๐‘Œ ) )
hoidmvlelem2.w โŠข ๐‘Š = ( ๐‘Œ โˆช { ๐‘ } )
hoidmvlelem2.a โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ด : ๐‘Š โŸถ โ„ )
hoidmvlelem2.b โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ต : ๐‘Š โŸถ โ„ )
hoidmvlelem2.c โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ถ : โ„• โŸถ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) )
hoidmvlelem2.f โŠข ๐น = ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ 0 )
hoidmvlelem2.j โŠข ๐ฝ = ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
hoidmvlelem2.d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ท : โ„• โŸถ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) )
hoidmvlelem2.k โŠข ๐พ = ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
hoidmvlelem2.r โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
hoidmvlelem2.h โŠข ๐ป = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ( ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†ฆ ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , ๐‘ฅ ) ) ) ) )
hoidmvlelem2.g โŠข ๐บ = ( ( ๐ด โ†พ ๐‘Œ ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐ต โ†พ ๐‘Œ ) )
hoidmvlelem2.e โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+ )
hoidmvlelem2.u โŠข ๐‘ˆ = { ๐‘ง โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆฃ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) }
hoidmvlelem2.su โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘ˆ )
hoidmvlelem2.sb โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† < ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
hoidmvlelem2.p โŠข ๐‘ƒ = ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
hoidmvlelem2.m โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„• )
hoidmvlelem2.le โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
hoidmvlelem2.O โŠข ๐‘‚ = ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
hoidmvlelem2.v โŠข ๐‘‰ = ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ )
hoidmvlelem2.q โŠข ๐‘„ = inf ( ๐‘‰ , โ„ , < )
Assertion hoidmvlelem2 ( ๐œ‘ โ†’ โˆƒ ๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘† < ๐‘ข )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hoidmvlelem2.l โŠข ๐ฟ = ( ๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†ฆ ( ๐‘Ž โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘ฅ ) , ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘ฅ ) โ†ฆ if ( ๐‘ฅ = โˆ… , 0 , โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ( vol โ€˜ ( ( ๐‘Ž โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ๐‘ โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ) ) )
2 hoidmvlelem2.x โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin )
3 hoidmvlelem2.y โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘‹ )
4 hoidmvlelem2.z โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ( ๐‘‹ โˆ– ๐‘Œ ) )
5 hoidmvlelem2.w โŠข ๐‘Š = ( ๐‘Œ โˆช { ๐‘ } )
6 hoidmvlelem2.a โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ด : ๐‘Š โŸถ โ„ )
7 hoidmvlelem2.b โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ต : ๐‘Š โŸถ โ„ )
8 hoidmvlelem2.c โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ถ : โ„• โŸถ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) )
9 hoidmvlelem2.f โŠข ๐น = ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ 0 )
10 hoidmvlelem2.j โŠข ๐ฝ = ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
11 hoidmvlelem2.d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ท : โ„• โŸถ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) )
12 hoidmvlelem2.k โŠข ๐พ = ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
13 hoidmvlelem2.r โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
14 hoidmvlelem2.h โŠข ๐ป = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ( ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†ฆ ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , ๐‘ฅ ) ) ) ) )
15 hoidmvlelem2.g โŠข ๐บ = ( ( ๐ด โ†พ ๐‘Œ ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐ต โ†พ ๐‘Œ ) )
16 hoidmvlelem2.e โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+ )
17 hoidmvlelem2.u โŠข ๐‘ˆ = { ๐‘ง โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆฃ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) }
18 hoidmvlelem2.su โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘ˆ )
19 hoidmvlelem2.sb โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† < ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
20 hoidmvlelem2.p โŠข ๐‘ƒ = ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
21 hoidmvlelem2.m โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„• )
22 hoidmvlelem2.le โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
23 hoidmvlelem2.O โŠข ๐‘‚ = ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
24 hoidmvlelem2.v โŠข ๐‘‰ = ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ )
25 hoidmvlelem2.q โŠข ๐‘„ = inf ( ๐‘‰ , โ„ , < )
26 snidg โŠข ( ๐‘ โˆˆ ( ๐‘‹ โˆ– ๐‘Œ ) โ†’ ๐‘ โˆˆ { ๐‘ } )
27 4 26 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ { ๐‘ } )
28 elun2 โŠข ( ๐‘ โˆˆ { ๐‘ } โ†’ ๐‘ โˆˆ ( ๐‘Œ โˆช { ๐‘ } ) )
29 27 28 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ( ๐‘Œ โˆช { ๐‘ } ) )
30 29 5 eleqtrrdi โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘Š )
31 6 30 ffvelrnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
32 7 30 ffvelrnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
33 32 snssd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โŠ† โ„ )
34 nfv โŠข โ„ฒ ๐‘– ๐œ‘
35 eqid โŠข ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
36 simpl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ) โ†’ ๐œ‘ )
37 fz1ssnn โŠข ( 1 ... ๐‘€ ) โŠ† โ„•
38 elrabi โŠข ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†’ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) )
39 37 38 sselid โŠข ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„• )
40 39 adantl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„• )
41 eleq1w โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†” ๐‘– โˆˆ โ„• ) )
42 41 anbi2d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†” ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„• ) ) )
43 fveq2 โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) = ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) )
44 43 fveq1d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
45 44 eleq1d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ โ†” ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ ) )
46 42 45 imbi12d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ ) โ†” ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ ) ) )
47 11 ffvelrnda โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) )
48 elmapi โŠข ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Š โŸถ โ„ )
49 47 48 syl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Š โŸถ โ„ )
50 30 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘Š )
51 49 50 ffvelrnd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
52 46 51 chvarvv โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
53 36 40 52 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
54 34 35 53 rnmptssd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) โŠ† โ„ )
55 23 54 eqsstrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โŠ† โ„ )
56 33 55 unssd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) โŠ† โ„ )
57 24 56 eqsstrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โŠ† โ„ )
58 ltso โŠข < Or โ„
59 58 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ < Or โ„ )
60 snfi โŠข { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆˆ Fin
61 60 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆˆ Fin )
62 fzfi โŠข ( 1 ... ๐‘€ ) โˆˆ Fin
63 rabfi โŠข ( ( 1 ... ๐‘€ ) โˆˆ Fin โ†’ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โˆˆ Fin )
64 62 63 ax-mp โŠข { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โˆˆ Fin
65 64 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โˆˆ Fin )
66 35 rnmptfi โŠข ( { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โˆˆ Fin โ†’ ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ Fin )
67 65 66 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ Fin )
68 23 67 eqeltrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ Fin )
69 unfi โŠข ( ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆˆ Fin โˆง ๐‘‚ โˆˆ Fin ) โ†’ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) โˆˆ Fin )
70 61 68 69 syl2anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) โˆˆ Fin )
71 24 70 eqeltrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ Fin )
72 fvex โŠข ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ V
73 72 snid โŠข ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) }
74 elun1 โŠข ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โ†’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) )
75 73 74 ax-mp โŠข ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ )
76 24 eqcomi โŠข ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) = ๐‘‰
77 75 76 eleqtri โŠข ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‰
78 77 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‰ )
79 ne0i โŠข ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘‰ โ‰  โˆ… )
80 78 79 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โ‰  โˆ… )
81 fiinfcl โŠข ( ( < Or โ„ โˆง ( ๐‘‰ โˆˆ Fin โˆง ๐‘‰ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘‰ โŠ† โ„ ) ) โ†’ inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) โˆˆ ๐‘‰ )
82 59 71 80 57 81 syl13anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) โˆˆ ๐‘‰ )
83 25 82 eqeltrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐‘‰ )
84 57 83 sseldd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ )
85 ssrab2 โŠข { ๐‘ง โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆฃ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) } โŠ† ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
86 17 85 eqsstri โŠข ๐‘ˆ โŠ† ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
87 86 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) )
88 31 32 iccssred โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โŠ† โ„ )
89 87 88 sstrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† โ„ )
90 89 18 sseldd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ )
91 31 rexrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
92 32 rexrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
93 86 18 sselid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) )
94 iccgelb โŠข ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* โˆง ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† )
95 91 92 93 94 syl3anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† )
96 19 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘† < ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
97 id โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โ†’ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
98 97 eqcomd โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โ†’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘ฅ )
99 98 adantl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘ฅ )
100 96 99 breqtrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ )
101 100 adantlr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ )
102 simpll โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ยฌ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐œ‘ )
103 id โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ )
104 103 24 eleqtrdi โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) )
105 104 adantr โŠข ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) )
106 elsni โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โ†’ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
107 106 con3i โŠข ( ยฌ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } )
108 107 adantl โŠข ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } )
109 elunnel1 โŠข ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ )
110 105 108 109 syl2anc โŠข ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ )
111 110 adantll โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ยฌ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ )
112 id โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ )
113 112 23 eleqtrdi โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
114 vex โŠข ๐‘ฅ โˆˆ V
115 35 elrnmpt โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ V โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†” โˆƒ ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
116 114 115 ax-mp โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†” โˆƒ ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
117 113 116 sylib โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ โ†’ โˆƒ ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
118 117 adantl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ ) โ†’ โˆƒ ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
119 fveq2 โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) = ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) )
120 119 fveq1d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
121 120 eleq1d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ โ†” ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ ) )
122 42 121 imbi12d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ ) โ†” ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ ) ) )
123 8 ffvelrnda โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) )
124 elmapi โŠข ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†’ ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Š โŸถ โ„ )
125 123 124 syl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Š โŸถ โ„ )
126 125 50 ffvelrnd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
127 122 126 chvarvv โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
128 127 rexrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
129 36 40 128 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
130 52 rexrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
131 36 40 130 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
132 120 44 oveq12d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
133 132 eleq2d โŠข ( ๐‘— = ๐‘– โ†’ ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†” ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
134 133 elrab โŠข ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†” ( ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
135 134 biimpi โŠข ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†’ ( ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
136 135 simprd โŠข ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†’ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
137 136 adantl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ) โ†’ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
138 icoltub โŠข ( ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ๐‘† < ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
139 129 131 137 138 syl3anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ) โ†’ ๐‘† < ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
140 139 3adant3 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โˆง ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘† < ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
141 id โŠข ( ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โ†’ ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
142 141 eqcomd โŠข ( ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘ฅ )
143 142 3ad2ant3 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โˆง ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘ฅ )
144 140 143 breqtrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โˆง ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ )
145 144 3exp โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†’ ( ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ ) ) )
146 145 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ ) โ†’ ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†’ ( ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ ) ) )
147 146 rexlimdv โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ ) โ†’ ( โˆƒ ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ๐‘ฅ = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ ) )
148 118 147 mpd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‚ ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ )
149 102 111 148 syl2anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ ) โˆง ยฌ ๐‘ฅ = ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ )
150 101 149 pm2.61dan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ ) โ†’ ๐‘† < ๐‘ฅ )
151 150 ralrimiva โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ ๐‘† < ๐‘ฅ )
152 breq2 โŠข ( ๐‘ฅ = inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) โ†’ ( ๐‘† < ๐‘ฅ โ†” ๐‘† < inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) ) )
153 152 rspcva โŠข ( ( inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) โˆˆ ๐‘‰ โˆง โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ ๐‘† < ๐‘ฅ ) โ†’ ๐‘† < inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) )
154 82 151 153 syl2anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† < inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) )
155 25 eqcomi โŠข inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) = ๐‘„
156 155 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) = ๐‘„ )
157 154 156 breqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† < ๐‘„ )
158 31 90 84 95 157 lelttrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘„ )
159 31 84 158 ltled โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ )
160 fiminre โŠข ( ( ๐‘‰ โŠ† โ„ โˆง ๐‘‰ โˆˆ Fin โˆง ๐‘‰ โ‰  โˆ… ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ )
161 57 71 80 160 syl3anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ )
162 lbinfle โŠข ( ( ๐‘‰ โŠ† โ„ โˆง โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‰ ) โ†’ inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) โ‰ค ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
163 57 161 78 162 syl3anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) โ‰ค ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
164 25 163 eqbrtrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰ค ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) )
165 31 32 84 159 164 eliccd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) )
166 84 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚ )
167 90 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚ )
168 31 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„‚ )
169 166 167 168 npncand โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) + ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) )
170 169 eqcomd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) + ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
171 170 oveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ๐บ ยท ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) + ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) )
172 rge0ssre โŠข ( 0 [,) +โˆž ) โŠ† โ„
173 2 3 ssfid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin )
174 ssun1 โŠข ๐‘Œ โŠ† ( ๐‘Œ โˆช { ๐‘ } )
175 174 5 sseqtrri โŠข ๐‘Œ โŠ† ๐‘Š
176 175 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘Š )
177 6 176 fssresd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ†พ ๐‘Œ ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
178 7 176 fssresd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ต โ†พ ๐‘Œ ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
179 1 173 177 178 hoidmvcl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ด โ†พ ๐‘Œ ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐ต โ†พ ๐‘Œ ) ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
180 15 179 eqeltrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
181 172 180 sselid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„ )
182 181 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚ )
183 166 167 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„‚ )
184 167 168 subcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ โ„‚ )
185 182 183 184 adddid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) + ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) = ( ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) )
186 182 183 mulcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) โˆˆ โ„‚ )
187 182 184 mulcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆˆ โ„‚ )
188 186 187 addcomd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) = ( ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ) )
189 171 185 188 3eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ) )
190 84 90 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ ) )
191 resubcl โŠข ( ( ๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ ) โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„ )
192 190 191 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„ )
193 181 192 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ โˆˆ โ„ โˆง ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„ ) )
194 remulcl โŠข ( ( ๐บ โˆˆ โ„ โˆง ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„ ) โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) โˆˆ โ„ )
195 193 194 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) โˆˆ โ„ )
196 90 31 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘† โˆˆ โ„ โˆง ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ ) )
197 resubcl โŠข ( ( ๐‘† โˆˆ โ„ โˆง ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ ) โ†’ ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ โ„ )
198 196 197 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ โ„ )
199 181 198 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ โˆˆ โ„ โˆง ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ โ„ ) )
200 remulcl โŠข ( ( ๐บ โˆˆ โ„ โˆง ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ โ„ ) โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆˆ โ„ )
201 199 200 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆˆ โ„ )
202 195 201 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) โˆˆ โ„ โˆง ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆˆ โ„ ) )
203 readdcl โŠข ( ( ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) โˆˆ โ„ โˆง ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆˆ โ„ ) โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
204 202 203 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
205 188 204 eqeltrrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ) โˆˆ โ„ )
206 1red โŠข ( ๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ )
207 16 rpred โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ )
208 206 207 readdcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( 1 + ๐ธ ) โˆˆ โ„ )
209 4 eldifbd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ )
210 30 209 eldifd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ( ๐‘Š โˆ– ๐‘Œ ) )
211 1 173 210 5 8 11 13 14 90 sge0hsphoire โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
212 208 211 remulcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
213 fzfid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆˆ Fin )
214 192 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„ )
215 simpl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ๐œ‘ )
216 elfznn โŠข ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„• )
217 216 adantl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„• )
218 id โŠข ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„• )
219 ovexd โŠข ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ V )
220 20 fvmpt2 โŠข ( ( ๐‘— โˆˆ โ„• โˆง ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ V ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
221 218 219 220 syl2anc โŠข ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
222 221 adantl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
223 173 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin )
224 175 a1i โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘Š )
225 125 224 fssresd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
226 225 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
227 iftrue โŠข ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) )
228 227 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) )
229 228 feq1d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ โ†” ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ ) )
230 226 229 mpbird โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
231 0red โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ 0 โˆˆ โ„ )
232 231 9 fmptd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐น : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
233 232 ad2antrr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ๐น : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
234 iffalse โŠข ( ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ๐น )
235 234 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ๐น )
236 235 feq1d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ โ†” ๐น : ๐‘Œ โŸถ โ„ ) )
237 233 236 mpbird โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
238 230 237 pm2.61dan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
239 simpr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„• )
240 fvex โŠข ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ V
241 240 resex โŠข ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โˆˆ V
242 241 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โˆˆ V )
243 2 3 ssexd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ V )
244 mptexg โŠข ( ๐‘Œ โˆˆ V โ†’ ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ 0 ) โˆˆ V )
245 243 244 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ โ†ฆ 0 ) โˆˆ V )
246 9 245 eqeltrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ V )
247 242 246 ifcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) โˆˆ V )
248 247 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) โˆˆ V )
249 10 fvmpt2 โŠข ( ( ๐‘— โˆˆ โ„• โˆง if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) โˆˆ V ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) = if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
250 239 248 249 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) = if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
251 250 feq1d โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ โ†” if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ ) )
252 238 251 mpbird โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
253 49 224 fssresd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
254 253 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
255 iftrue โŠข ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) )
256 255 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) )
257 256 feq1d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ โ†” ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ ) )
258 254 257 mpbird โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
259 iffalse โŠข ( ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ๐น )
260 259 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ๐น )
261 260 feq1d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ โ†” ๐น : ๐‘Œ โŸถ โ„ ) )
262 233 261 mpbird โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
263 258 262 pm2.61dan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
264 fvex โŠข ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ V
265 264 resex โŠข ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โˆˆ V
266 265 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โˆˆ V )
267 266 246 ifcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) โˆˆ V )
268 267 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) โˆˆ V )
269 12 fvmpt2 โŠข ( ( ๐‘— โˆˆ โ„• โˆง if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) โˆˆ V ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) = if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
270 239 268 269 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) = if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
271 270 feq1d โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ โ†” if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ ) )
272 263 271 mpbird โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
273 1 223 252 272 hoidmvcl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
274 222 273 eqeltrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
275 172 274 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ โ„ )
276 215 217 275 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ โ„ )
277 214 276 remulcld โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ โ„ )
278 213 277 fsumrecl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ โ„ )
279 208 278 remulcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
280 212 279 readdcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
281 1 173 210 5 8 11 13 14 84 sge0hsphoire โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
282 208 281 remulcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
283 18 17 eleqtrdi โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ { ๐‘ง โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆฃ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) } )
284 oveq1 โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) )
285 284 oveq2d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
286 fveq2 โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) = ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) )
287 286 fveq1d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) )
288 287 oveq2d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
289 288 mpteq2dv โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
290 289 fveq2d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
291 290 oveq2d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
292 285 291 breq12d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘† โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) โ†” ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) )
293 292 elrab โŠข ( ๐‘† โˆˆ { ๐‘ง โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆฃ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) } โ†” ( ๐‘† โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) )
294 283 293 sylib โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘† โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) )
295 294 simprd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
296 213 276 fsumrecl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ โ„ )
297 208 296 remulcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ โ„ )
298 0red โŠข ( ๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ )
299 90 84 posdifd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘† < ๐‘„ โ†” 0 < ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) )
300 157 299 mpbid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ 0 < ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) )
301 298 192 300 ltled โŠข ( ๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) )
302 181 297 192 301 22 lemul1ad โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) โ‰ค ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) )
303 208 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( 1 + ๐ธ ) โˆˆ โ„‚ )
304 296 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ โ„‚ )
305 303 304 183 mulassd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ) )
306 276 recnd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ โ„‚ )
307 213 183 306 fsummulc1 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) = ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) )
308 183 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„‚ )
309 306 308 mulcomd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
310 309 sumeq2dv โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) = ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
311 307 310 eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) = ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
312 311 oveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
313 305 312 eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
314 302 313 breqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
315 201 195 212 279 295 314 leadd12dd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ) โ‰ค ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
316 nnsplit โŠข ( ๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ โ„• = ( ( 1 ... ๐‘€ ) โˆช ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) )
317 21 316 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โ„• = ( ( 1 ... ๐‘€ ) โˆช ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) )
318 uncom โŠข ( ( 1 ... ๐‘€ ) โˆช ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) = ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) )
319 318 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 ... ๐‘€ ) โˆช ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) = ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) )
320 317 319 eqtr2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) = โ„• )
321 320 eqcomd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โ„• = ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) )
322 321 mpteq1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ๐‘— โˆˆ ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
323 322 fveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
324 nfv โŠข โ„ฒ ๐‘— ๐œ‘
325 fvexd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆˆ V )
326 ovexd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆˆ V )
327 incom โŠข ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆฉ ( 1 ... ๐‘€ ) ) = ( ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฉ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) )
328 nnuzdisj โŠข ( ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฉ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) = โˆ…
329 327 328 eqtri โŠข ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆฉ ( 1 ... ๐‘€ ) ) = โˆ…
330 329 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆฉ ( 1 ... ๐‘€ ) ) = โˆ… )
331 icossicc โŠข ( 0 [,) +โˆž ) โŠ† ( 0 [,] +โˆž )
332 ssid โŠข ( 0 [,) +โˆž ) โŠ† ( 0 [,) +โˆž )
333 simpl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ๐œ‘ )
334 21 peano2nnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘€ + 1 ) โˆˆ โ„• )
335 uznnssnn โŠข ( ( ๐‘€ + 1 ) โˆˆ โ„• โ†’ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โŠ† โ„• )
336 334 335 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โŠ† โ„• )
337 336 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โŠ† โ„• )
338 simpr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) )
339 337 338 sseldd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„• )
340 snfi โŠข { ๐‘ } โˆˆ Fin
341 340 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ { ๐‘ } โˆˆ Fin )
342 unfi โŠข ( ( ๐‘Œ โˆˆ Fin โˆง { ๐‘ } โˆˆ Fin ) โ†’ ( ๐‘Œ โˆช { ๐‘ } ) โˆˆ Fin )
343 173 341 342 syl2anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘Œ โˆช { ๐‘ } ) โˆˆ Fin )
344 5 343 eqeltrid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Fin )
345 344 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘Š โˆˆ Fin )
346 eleq1w โŠข ( ๐‘— = ๐‘™ โ†’ ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ ) )
347 fveq2 โŠข ( ๐‘— = ๐‘™ โ†’ ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) = ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) )
348 347 breq1d โŠข ( ๐‘— = ๐‘™ โ†’ ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) โ‰ค ๐‘ฅ ) )
349 348 347 ifbieq1d โŠข ( ๐‘— = ๐‘™ โ†’ if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , ๐‘ฅ ) = if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , ๐‘ฅ ) )
350 346 347 349 ifbieq12d โŠข ( ๐‘— = ๐‘™ โ†’ if ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , ๐‘ฅ ) ) = if ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , ๐‘ฅ ) ) )
351 350 cbvmptv โŠข ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , ๐‘ฅ ) ) ) = ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , ๐‘ฅ ) ) )
352 351 mpteq2i โŠข ( ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†ฆ ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , ๐‘ฅ ) ) ) ) = ( ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†ฆ ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , ๐‘ฅ ) ) ) )
353 352 mpteq2i โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ( ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†ฆ ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘— โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘— ) , ๐‘ฅ ) ) ) ) ) = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ( ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†ฆ ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , ๐‘ฅ ) ) ) ) )
354 14 353 eqtri โŠข ๐ป = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ( ๐‘ โˆˆ ( โ„ โ†‘m ๐‘Š ) โ†ฆ ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ if ( ๐‘™ โˆˆ ๐‘Œ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , if ( ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) โ‰ค ๐‘ฅ , ( ๐‘ โ€˜ ๐‘™ ) , ๐‘ฅ ) ) ) ) )
355 90 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ )
356 354 355 345 49 hsphoif โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) : ๐‘Š โŸถ โ„ )
357 1 345 125 356 hoidmvcl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
358 333 339 357 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
359 332 358 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
360 331 359 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,] +โˆž ) )
361 215 217 357 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
362 331 361 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,] +โˆž ) )
363 324 325 326 330 360 362 sge0splitmpt โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) +๐‘’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
364 nnex โŠข โ„• โˆˆ V
365 364 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โ„• โˆˆ V )
366 331 357 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,] +โˆž ) )
367 324 365 366 211 336 sge0ssrempt โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
368 37 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( 1 ... ๐‘€ ) โŠ† โ„• )
369 324 365 366 211 368 sge0ssrempt โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
370 rexadd โŠข ( ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ โˆง ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ ) โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) +๐‘’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
371 367 369 370 syl2anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) +๐‘’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
372 323 363 371 3eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
373 372 oveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) )
374 373 oveq1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
375 372 211 eqeltrrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
376 375 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) โˆˆ โ„‚ )
377 278 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ โ„‚ )
378 303 376 377 adddid โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
379 378 eqcomd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
380 367 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„‚ )
381 369 recnd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„‚ )
382 380 381 377 addassd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
383 213 361 sge0fsummpt โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
384 383 oveq1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
385 ax-resscn โŠข โ„ โŠ† โ„‚
386 172 385 sstri โŠข ( 0 [,) +โˆž ) โŠ† โ„‚
387 386 357 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„‚ )
388 215 217 387 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„‚ )
389 192 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„ )
390 389 275 remulcld โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ โ„ )
391 390 recnd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ โ„‚ )
392 217 391 syldan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) โˆˆ โ„‚ )
393 213 388 392 fsumadd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
394 393 eqcomd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
395 384 394 eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
396 395 oveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
397 382 396 eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
398 397 oveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
399 374 379 398 3eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
400 172 357 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
401 400 390 readdcld โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
402 215 217 401 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
403 213 402 fsumrecl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
404 367 403 readdcld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
405 0le1 โŠข 0 โ‰ค 1
406 405 a1i โŠข ( ๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1 )
407 16 rpge0d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ธ )
408 206 207 406 407 addge0d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ( 1 + ๐ธ ) )
409 84 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ )
410 354 409 345 49 hsphoif โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) : ๐‘Š โŸถ โ„ )
411 1 345 125 410 hoidmvcl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
412 331 411 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,] +โˆž ) )
413 324 365 412 281 336 sge0ssrempt โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
414 172 411 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
415 215 217 414 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
416 213 415 fsumrecl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
417 333 339 412 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,] +โˆž ) )
418 210 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ( ๐‘Š โˆ– ๐‘Œ ) )
419 90 84 157 ltled โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰ค ๐‘„ )
420 419 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘† โ‰ค ๐‘„ )
421 1 345 418 5 355 409 420 354 125 49 hsphoidmvle2 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
422 333 339 421 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
423 324 325 360 417 422 sge0lempt โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โ‰ค ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
424 215 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ๐œ‘ )
425 217 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„• )
426 simpr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 )
427 oveq2 โŠข ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท 0 ) )
428 427 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท 0 ) )
429 183 mul01d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท 0 ) = 0 )
430 429 ad2antrr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท 0 ) = 0 )
431 428 430 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) = 0 )
432 431 oveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + 0 ) )
433 387 addid1d โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + 0 ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
434 433 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + 0 ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
435 432 434 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
436 421 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
437 435 436 eqbrtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
438 424 425 426 437 syl21anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
439 simpl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ยฌ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) )
440 neqne โŠข ( ยฌ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 )
441 440 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ยฌ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 )
442 402 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ โ„ )
443 215 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐œ‘ )
444 217 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„• )
445 simpr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 )
446 4 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ( ๐‘‹ โˆ– ๐‘Œ ) )
447 209 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ )
448 eqid โŠข โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) )
449 1 223 446 447 5 125 356 448 hoiprodp1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ยท ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) )
450 449 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ยท ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) )
451 222 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
452 223 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin )
453 222 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
454 fveq2 โŠข ( ๐‘Œ = โˆ… โ†’ ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) = ( ๐ฟ โ€˜ โˆ… ) )
455 454 oveqd โŠข ( ๐‘Œ = โˆ… โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ โˆ… ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
456 455 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ โˆ… ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
457 252 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
458 id โŠข ( ๐‘Œ = โˆ… โ†’ ๐‘Œ = โˆ… )
459 458 eqcomd โŠข ( ๐‘Œ = โˆ… โ†’ โˆ… = ๐‘Œ )
460 459 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ โˆ… = ๐‘Œ )
461 460 feq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) : โˆ… โŸถ โ„ โ†” ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ ) )
462 457 461 mpbird โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) : โˆ… โŸถ โ„ )
463 272 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
464 460 feq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) : โˆ… โŸถ โ„ โ†” ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ ) )
465 463 464 mpbird โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) : โˆ… โŸถ โ„ )
466 1 462 465 hoidmv0val โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ โˆ… ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) = 0 )
467 453 456 466 3eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 )
468 467 adantlr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 )
469 neneq โŠข ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 โ†’ ยฌ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 )
470 469 ad2antlr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘Œ = โˆ… ) โ†’ ยฌ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 )
471 468 470 pm2.65da โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ยฌ ๐‘Œ = โˆ… )
472 471 neqned โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘Œ โ‰  โˆ… )
473 252 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
474 272 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Œ โŸถ โ„ )
475 1 452 472 473 474 hoidmvn0val โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
476 250 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) = if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
477 222 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
478 250 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) = if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
479 478 235 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) = ๐น )
480 270 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) = if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
481 480 260 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) = ๐น )
482 479 481 oveq12d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ๐น ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ๐น ) )
483 1 173 232 hoidmvval0b โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐น ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ๐น ) = 0 )
484 483 ad2antrr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐น ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ๐น ) = 0 )
485 477 482 484 3eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 )
486 485 adantlr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 )
487 469 ad2antlr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ยฌ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 )
488 486 487 condan โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
489 488 iftrued โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) )
490 476 489 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) )
491 490 fveq1d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
492 491 adantr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
493 fvres โŠข ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
494 493 adantl โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
495 492 494 eqtrd โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
496 270 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) = if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) )
497 488 255 syl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ if ( ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) , ๐น ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) )
498 496 497 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) )
499 498 fveq1d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
500 499 adantr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
501 fvres โŠข ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
502 501 adantl โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ†พ ๐‘Œ ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
503 500 502 eqtrd โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
504 495 503 oveq12d โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) )
505 504 fveq2d โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
506 505 prodeq2dv โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
507 475 506 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
508 355 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ )
509 345 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ๐‘Š โˆˆ Fin )
510 49 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) : ๐‘Š โŸถ โ„ )
511 elun1 โŠข ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘Œ โˆช { ๐‘ } ) )
512 511 5 eleqtrrdi โŠข ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š )
513 512 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š )
514 354 508 509 510 513 hsphoival โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) = if ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , ๐‘† ) ) )
515 iftrue โŠข ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ if ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , ๐‘† ) ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
516 515 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ if ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , ๐‘† ) ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
517 514 516 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
518 517 oveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) )
519 518 fveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
520 519 prodeq2dv โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
521 520 eqcomd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
522 521 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
523 451 507 522 3eqtrrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) )
524 354 355 345 49 50 hsphoival โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) = if ( ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) ) )
525 209 iffalsed โŠข ( ๐œ‘ โ†’ if ( ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) ) = if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) )
526 525 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ if ( ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) ) = if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) )
527 524 526 eqtrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) = if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) )
528 527 oveq2d โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) ) )
529 528 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) ) )
530 126 rexrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
531 530 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
532 51 rexrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
533 532 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* )
534 icoltub โŠข ( ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ๐‘† < ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
535 531 533 488 534 syl3anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘† < ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
536 355 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ )
537 51 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
538 536 537 ltnled โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐‘† < ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ†” ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† ) )
539 535 538 mpbid โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† )
540 539 iffalsed โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) = ๐‘† )
541 540 oveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘† ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘† ) )
542 529 541 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘† ) )
543 542 fveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘† ) ) )
544 volico โŠข ( ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘† ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) )
545 126 536 544 syl2an โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘† ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) )
546 545 anabss5 โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘† ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) )
547 iftrue โŠข ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† โ†’ if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) = ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
548 547 adantl โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) = ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
549 iffalse โŠข ( ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† โ†’ if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) = 0 )
550 549 adantl โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) = 0 )
551 simpll โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) )
552 icogelb โŠข ( ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† )
553 531 533 488 552 syl3anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† )
554 553 adantr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† )
555 simpr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† )
556 554 555 jca โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) )
557 551 126 syl โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
558 551 355 syl โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ )
559 557 558 eqleltd โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† โ†” ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) ) )
560 556 559 mpbird โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† )
561 id โŠข ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† )
562 561 eqcomd โŠข ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† โ†’ ๐‘† = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
563 562 oveq1d โŠข ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† โ†’ ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
564 563 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† ) โ†’ ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
565 385 126 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„‚ )
566 565 subidd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) = 0 )
567 566 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) = 0 )
568 564 567 eqtr2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘† ) โ†’ 0 = ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
569 551 560 568 syl2anc โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ 0 = ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
570 550 569 eqtrd โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† ) โ†’ if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) = ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
571 548 570 pm2.61dan โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘† , ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) = ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
572 543 546 571 3eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
573 523 572 oveq12d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ยท ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) = ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
574 386 274 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โˆˆ โ„‚ )
575 355 126 resubcld โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ โ„ )
576 575 recnd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ โ„‚ )
577 574 576 mulcomd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
578 577 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
579 450 573 578 3eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
580 579 oveq1d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
581 183 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) โˆˆ โ„‚ )
582 576 581 574 adddird โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) + ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
583 582 eqcomd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) + ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
584 583 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) + ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
585 576 581 addcomd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) + ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) + ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
586 166 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚ )
587 167 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚ )
588 586 587 565 npncand โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) + ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
589 585 588 eqtrd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) + ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) = ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
590 589 oveq1d โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) + ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
591 590 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐‘† โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) + ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
592 580 584 591 3eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
593 443 444 445 592 syl21anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
594 eqid โŠข โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) )
595 1 223 50 447 5 125 410 594 hoiprodp1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ยท ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) )
596 215 217 595 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ยท ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) )
597 596 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ยท ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) )
598 507 eqcomd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = ( ( ๐ฝ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Œ ) ( ๐พ โ€˜ ๐‘— ) ) )
599 409 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ )
600 354 599 509 510 513 hsphoival โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) = if ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , ๐‘„ ) ) )
601 iftrue โŠข ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ if ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , ๐‘„ ) ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
602 601 adantl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ if ( ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) , ๐‘„ ) ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
603 600 602 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) )
604 603 oveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) )
605 604 fveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
606 605 prodeq2dv โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
607 606 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) )
608 598 607 451 3eqtr4d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) )
609 443 444 445 608 syl21anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) = ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) )
610 354 409 345 49 50 hsphoival โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) = if ( ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) ) )
611 217 610 syldan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) = if ( ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) ) )
612 611 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) = if ( ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) ) )
613 209 iffalsed โŠข ( ๐œ‘ โ†’ if ( ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) ) = if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) )
614 613 ad2antrr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ if ( ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) ) = if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) )
615 217 51 syldan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
616 615 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
617 simpr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ )
618 616 617 eqled โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ )
619 618 iftrued โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
620 619 617 eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) = ๐‘„ )
621 620 adantlr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) = ๐‘„ )
622 84 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ )
623 622 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ )
624 623 adantlr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ )
625 615 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
626 625 adantlr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
627 25 a1i โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘„ = inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) )
628 443 57 syl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘‰ โŠ† โ„ )
629 161 ad2antrr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ )
630 simplr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) )
631 216 488 sylanl2 โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
632 630 631 jca โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
633 rabid โŠข ( ๐‘— โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†” ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆง ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
634 632 633 sylibr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘— โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } )
635 eqidd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
636 fveq2 โŠข ( ๐‘– = ๐‘— โ†’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) = ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) )
637 636 fveq1d โŠข ( ๐‘– = ๐‘— โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
638 637 eqeq2d โŠข ( ๐‘– = ๐‘— โ†’ ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) โ†” ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
639 638 rspcev โŠข ( ( ๐‘— โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
640 634 635 639 syl2anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ โˆƒ ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) )
641 fvexd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ V )
642 35 640 641 elrnmptd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ran ( ๐‘– โˆˆ { ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โˆฃ ๐‘† โˆˆ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) } โ†ฆ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
643 642 23 eleqtrrdi โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‚ )
644 elun2 โŠข ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‚ โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) )
645 643 644 syl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) )
646 76 a1i โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( { ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) } โˆช ๐‘‚ ) = ๐‘‰ )
647 645 646 eleqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‰ )
648 lbinfle โŠข ( ( ๐‘‰ โŠ† โ„ โˆง โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ ๐‘‰ ) โ†’ inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) โ‰ค ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
649 628 629 647 648 syl3anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ inf ( ๐‘‰ , โ„ , < ) โ‰ค ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
650 627 649 eqbrtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘„ โ‰ค ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
651 650 adantr โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ๐‘„ โ‰ค ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
652 neqne โŠข ( ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰  ๐‘„ )
653 652 adantl โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰  ๐‘„ )
654 624 626 651 653 leneltd โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ๐‘„ < ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) )
655 624 626 ltnled โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ( ๐‘„ < ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ†” ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ ) )
656 654 655 mpbid โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ )
657 656 iffalsed โŠข ( ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โˆง ยฌ ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ ) โ†’ if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) = ๐‘„ )
658 621 657 pm2.61dan โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ if ( ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘„ , ( ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) , ๐‘„ ) = ๐‘„ )
659 612 614 658 3eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) = ๐‘„ )
660 659 oveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘„ ) )
661 660 fveq2d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘„ ) ) )
662 215 217 126 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
663 662 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ )
664 443 84 syl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ )
665 volico โŠข ( ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘„ ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘„ , ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) )
666 663 664 665 syl2anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ๐‘„ ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘„ , ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) )
667 443 90 syl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ )
668 443 444 445 553 syl21anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โ‰ค ๐‘† )
669 443 157 syl โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘† < ๐‘„ )
670 663 667 664 668 669 lelttrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘„ )
671 670 iftrued โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ if ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) < ๐‘„ , ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) , 0 ) = ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
672 661 666 671 3eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
673 609 672 oveq12d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( โˆ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Œ ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘˜ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) ยท ( vol โ€˜ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) [,) ( ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) = ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
674 215 166 syl โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚ )
675 385 662 sselid โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) โˆˆ โ„‚ )
676 674 675 subcld โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆˆ โ„‚ )
677 306 676 mulcomd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
678 677 adantr โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
679 597 673 678 3eqtrd โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ๐‘„ โˆ’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) โ€˜ ๐‘ ) ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) )
680 593 679 eqtr4d โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
681 442 680 eqled โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) โ‰  0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
682 439 441 681 syl2anc โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โˆง ยฌ ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) = 0 ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
683 438 682 pm2.61dan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
684 213 402 415 683 fsumle โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) โ‰ค ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
685 367 403 413 416 423 684 leadd12dd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) โ‰ค ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
686 321 mpteq1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ๐‘— โˆˆ ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
687 686 fveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
688 217 412 syldan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,] +โˆž ) )
689 324 325 326 330 417 688 sge0splitmpt โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โˆช ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) +๐‘’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
690 687 689 eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) +๐‘’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
691 215 217 411 syl2anc โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ) โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) โˆˆ ( 0 [,) +โˆž ) )
692 213 691 sge0fsummpt โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
693 692 416 eqeltrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ )
694 rexadd โŠข ( ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ โˆง ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โˆˆ โ„ ) โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) +๐‘’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
695 413 693 694 syl2anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) +๐‘’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
696 692 oveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
697 690 695 696 3eqtrrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
698 685 697 breqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) โ‰ค ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
699 404 281 208 408 698 lemul2ad โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ ( โ„คโ‰ฅ โ€˜ ( ๐‘€ + 1 ) ) โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) + ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
700 399 699 eqbrtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘† ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐‘— โˆˆ ( 1 ... ๐‘€ ) ( ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ยท ( ๐‘ƒ โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
701 205 280 282 315 700 letrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘† โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ๐‘† ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
702 189 701 eqbrtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
703 165 702 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘„ โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) )
704 oveq1 โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) )
705 704 oveq2d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) = ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) )
706 fveq2 โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) = ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) )
707 706 fveq1d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) = ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) )
708 707 oveq2d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) = ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) )
709 708 mpteq2dv โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) = ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) )
710 709 fveq2d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) )
711 710 oveq2d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) )
712 705 711 breq12d โŠข ( ๐‘ง = ๐‘„ โ†’ ( ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) โ†” ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) )
713 712 elrab โŠข ( ๐‘„ โˆˆ { ๐‘ง โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆฃ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) } โ†” ( ๐‘„ โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐บ ยท ( ๐‘„ โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘„ ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) ) )
714 703 713 sylibr โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ { ๐‘ง โˆˆ ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) [,] ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โˆฃ ( ๐บ ยท ( ๐‘ง โˆ’ ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ‰ค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ€˜ ( ๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘— ) ( ๐ฟ โ€˜ ๐‘Š ) ( ( ๐ป โ€˜ ๐‘ง ) โ€˜ ( ๐ท โ€˜ ๐‘— ) ) ) ) ) ) } )
715 714 17 eleqtrrdi โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐‘ˆ )
716 breq2 โŠข ( ๐‘ข = ๐‘„ โ†’ ( ๐‘† < ๐‘ข โ†” ๐‘† < ๐‘„ ) )
717 716 rspcev โŠข ( ( ๐‘„ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘† < ๐‘„ ) โ†’ โˆƒ ๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘† < ๐‘ข )
718 715 157 717 syl2anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โˆƒ ๐‘ข โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘† < ๐‘ข )