Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hoidmvlelem2.l |
โข ๐ฟ = ( ๐ฅ โ Fin โฆ ( ๐ โ ( โ โm ๐ฅ ) , ๐ โ ( โ โm ๐ฅ ) โฆ if ( ๐ฅ = โ
, 0 , โ ๐ โ ๐ฅ ( vol โ ( ( ๐ โ ๐ ) [,) ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
2 |
|
hoidmvlelem2.x |
โข ( ๐ โ ๐ โ Fin ) |
3 |
|
hoidmvlelem2.y |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ ) |
4 |
|
hoidmvlelem2.z |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) |
5 |
|
hoidmvlelem2.w |
โข ๐ = ( ๐ โช { ๐ } ) |
6 |
|
hoidmvlelem2.a |
โข ( ๐ โ ๐ด : ๐ โถ โ ) |
7 |
|
hoidmvlelem2.b |
โข ( ๐ โ ๐ต : ๐ โถ โ ) |
8 |
|
hoidmvlelem2.c |
โข ( ๐ โ ๐ถ : โ โถ ( โ โm ๐ ) ) |
9 |
|
hoidmvlelem2.f |
โข ๐น = ( ๐ฆ โ ๐ โฆ 0 ) |
10 |
|
hoidmvlelem2.j |
โข ๐ฝ = ( ๐ โ โ โฆ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
11 |
|
hoidmvlelem2.d |
โข ( ๐ โ ๐ท : โ โถ ( โ โm ๐ ) ) |
12 |
|
hoidmvlelem2.k |
โข ๐พ = ( ๐ โ โ โฆ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
13 |
|
hoidmvlelem2.r |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
14 |
|
hoidmvlelem2.h |
โข ๐ป = ( ๐ฅ โ โ โฆ ( ๐ โ ( โ โm ๐ ) โฆ ( ๐ โ ๐ โฆ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) ) ) |
15 |
|
hoidmvlelem2.g |
โข ๐บ = ( ( ๐ด โพ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐ต โพ ๐ ) ) |
16 |
|
hoidmvlelem2.e |
โข ( ๐ โ ๐ธ โ โ+ ) |
17 |
|
hoidmvlelem2.u |
โข ๐ = { ๐ง โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โฃ ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) } |
18 |
|
hoidmvlelem2.su |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ ) |
19 |
|
hoidmvlelem2.sb |
โข ( ๐ โ ๐ < ( ๐ต โ ๐ ) ) |
20 |
|
hoidmvlelem2.p |
โข ๐ = ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
21 |
|
hoidmvlelem2.m |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
22 |
|
hoidmvlelem2.le |
โข ( ๐ โ ๐บ โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
23 |
|
hoidmvlelem2.O |
โข ๐ = ran ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
24 |
|
hoidmvlelem2.v |
โข ๐ = ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) |
25 |
|
hoidmvlelem2.q |
โข ๐ = inf ( ๐ , โ , < ) |
26 |
|
snidg |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ { ๐ } ) |
27 |
4 26
|
syl |
โข ( ๐ โ ๐ โ { ๐ } ) |
28 |
|
elun2 |
โข ( ๐ โ { ๐ } โ ๐ โ ( ๐ โช { ๐ } ) ) |
29 |
27 28
|
syl |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ๐ โช { ๐ } ) ) |
30 |
29 5
|
eleqtrrdi |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ ) |
31 |
6 30
|
ffvelrnd |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) โ โ ) |
32 |
7 30
|
ffvelrnd |
โข ( ๐ โ ( ๐ต โ ๐ ) โ โ ) |
33 |
32
|
snssd |
โข ( ๐ โ { ( ๐ต โ ๐ ) } โ โ ) |
34 |
|
nfv |
โข โฒ ๐ ๐ |
35 |
|
eqid |
โข ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) = ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
36 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ) โ ๐ ) |
37 |
|
fz1ssnn |
โข ( 1 ... ๐ ) โ โ |
38 |
|
elrabi |
โข ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) |
39 |
37 38
|
sselid |
โข ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ ๐ โ โ ) |
40 |
39
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ) โ ๐ โ โ ) |
41 |
|
eleq1w |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ ) ) |
42 |
41
|
anbi2d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โง ๐ โ โ ) ) ) |
43 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ท โ ๐ ) = ( ๐ท โ ๐ ) ) |
44 |
43
|
fveq1d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
45 |
44
|
eleq1d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) ) |
46 |
42 45
|
imbi12d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) โ ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) ) ) |
47 |
11
|
ffvelrnda |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) โ ( โ โm ๐ ) ) |
48 |
|
elmapi |
โข ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ( โ โm ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
49 |
47 48
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
50 |
30
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ ๐ ) |
51 |
49 50
|
ffvelrnd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
52 |
46 51
|
chvarvv |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
53 |
36 40 52
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
54 |
34 35 53
|
rnmptssd |
โข ( ๐ โ ran ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ โ ) |
55 |
23 54
|
eqsstrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
56 |
33 55
|
unssd |
โข ( ๐ โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) โ โ ) |
57 |
24 56
|
eqsstrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
58 |
|
ltso |
โข < Or โ |
59 |
58
|
a1i |
โข ( ๐ โ < Or โ ) |
60 |
|
snfi |
โข { ( ๐ต โ ๐ ) } โ Fin |
61 |
60
|
a1i |
โข ( ๐ โ { ( ๐ต โ ๐ ) } โ Fin ) |
62 |
|
fzfi |
โข ( 1 ... ๐ ) โ Fin |
63 |
|
rabfi |
โข ( ( 1 ... ๐ ) โ Fin โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ Fin ) |
64 |
62 63
|
ax-mp |
โข { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ Fin |
65 |
64
|
a1i |
โข ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ Fin ) |
66 |
35
|
rnmptfi |
โข ( { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ Fin โ ran ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ Fin ) |
67 |
65 66
|
syl |
โข ( ๐ โ ran ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ Fin ) |
68 |
23 67
|
eqeltrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ Fin ) |
69 |
|
unfi |
โข ( ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โ Fin โง ๐ โ Fin ) โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) โ Fin ) |
70 |
61 68 69
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) โ Fin ) |
71 |
24 70
|
eqeltrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ Fin ) |
72 |
|
fvex |
โข ( ๐ต โ ๐ ) โ V |
73 |
72
|
snid |
โข ( ๐ต โ ๐ ) โ { ( ๐ต โ ๐ ) } |
74 |
|
elun1 |
โข ( ( ๐ต โ ๐ ) โ { ( ๐ต โ ๐ ) } โ ( ๐ต โ ๐ ) โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) ) |
75 |
73 74
|
ax-mp |
โข ( ๐ต โ ๐ ) โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) |
76 |
24
|
eqcomi |
โข ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) = ๐ |
77 |
75 76
|
eleqtri |
โข ( ๐ต โ ๐ ) โ ๐ |
78 |
77
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( ๐ต โ ๐ ) โ ๐ ) |
79 |
|
ne0i |
โข ( ( ๐ต โ ๐ ) โ ๐ โ ๐ โ โ
) |
80 |
78 79
|
syl |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ
) |
81 |
|
fiinfcl |
โข ( ( < Or โ โง ( ๐ โ Fin โง ๐ โ โ
โง ๐ โ โ ) ) โ inf ( ๐ , โ , < ) โ ๐ ) |
82 |
59 71 80 57 81
|
syl13anc |
โข ( ๐ โ inf ( ๐ , โ , < ) โ ๐ ) |
83 |
25 82
|
eqeltrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ ) |
84 |
57 83
|
sseldd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
85 |
|
ssrab2 |
โข { ๐ง โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โฃ ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) } โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) |
86 |
17 85
|
eqsstri |
โข ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) |
87 |
86
|
a1i |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) ) |
88 |
31 32
|
iccssred |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โ โ ) |
89 |
87 88
|
sstrd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
90 |
89 18
|
sseldd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
91 |
31
|
rexrd |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) โ โ* ) |
92 |
32
|
rexrd |
โข ( ๐ โ ( ๐ต โ ๐ ) โ โ* ) |
93 |
86 18
|
sselid |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) ) |
94 |
|
iccgelb |
โข ( ( ( ๐ด โ ๐ ) โ โ* โง ( ๐ต โ ๐ ) โ โ* โง ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) ) โ ( ๐ด โ ๐ ) โค ๐ ) |
95 |
91 92 93 94
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) โค ๐ ) |
96 |
19
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ๐ < ( ๐ต โ ๐ ) ) |
97 |
|
id |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) โ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) |
98 |
97
|
eqcomd |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) โ ( ๐ต โ ๐ ) = ๐ฅ ) |
99 |
98
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ( ๐ต โ ๐ ) = ๐ฅ ) |
100 |
96 99
|
breqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ๐ < ๐ฅ ) |
101 |
100
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โง ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ๐ < ๐ฅ ) |
102 |
|
simpll |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โง ยฌ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ๐ ) |
103 |
|
id |
โข ( ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฅ โ ๐ ) |
104 |
103 24
|
eleqtrdi |
โข ( ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฅ โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) ) |
105 |
104
|
adantr |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ยฌ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ๐ฅ โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) ) |
106 |
|
elsni |
โข ( ๐ฅ โ { ( ๐ต โ ๐ ) } โ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) |
107 |
106
|
con3i |
โข ( ยฌ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) โ ยฌ ๐ฅ โ { ( ๐ต โ ๐ ) } ) |
108 |
107
|
adantl |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ยฌ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ยฌ ๐ฅ โ { ( ๐ต โ ๐ ) } ) |
109 |
|
elunnel1 |
โข ( ( ๐ฅ โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) โง ยฌ ๐ฅ โ { ( ๐ต โ ๐ ) } ) โ ๐ฅ โ ๐ ) |
110 |
105 108 109
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ฅ โ ๐ โง ยฌ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ๐ฅ โ ๐ ) |
111 |
110
|
adantll |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โง ยฌ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ๐ฅ โ ๐ ) |
112 |
|
id |
โข ( ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฅ โ ๐ ) |
113 |
112 23
|
eleqtrdi |
โข ( ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฅ โ ran ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
114 |
|
vex |
โข ๐ฅ โ V |
115 |
35
|
elrnmpt |
โข ( ๐ฅ โ V โ ( ๐ฅ โ ran ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ โ ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
116 |
114 115
|
ax-mp |
โข ( ๐ฅ โ ran ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ โ ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
117 |
113 116
|
sylib |
โข ( ๐ฅ โ ๐ โ โ ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
118 |
117
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ โ ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
119 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ถ โ ๐ ) = ( ๐ถ โ ๐ ) ) |
120 |
119
|
fveq1d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
121 |
120
|
eleq1d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) ) |
122 |
42 121
|
imbi12d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) โ ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) ) ) |
123 |
8
|
ffvelrnda |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ถ โ ๐ ) โ ( โ โm ๐ ) ) |
124 |
|
elmapi |
โข ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ( โ โm ๐ ) โ ( ๐ถ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
125 |
123 124
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ถ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
126 |
125 50
|
ffvelrnd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
127 |
122 126
|
chvarvv |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
128 |
127
|
rexrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* ) |
129 |
36 40 128
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* ) |
130 |
52
|
rexrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* ) |
131 |
36 40 130
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* ) |
132 |
120 44
|
oveq12d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
133 |
132
|
eleq2d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
134 |
133
|
elrab |
โข ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
135 |
134
|
biimpi |
โข ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
136 |
135
|
simprd |
โข ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
137 |
136
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ) โ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
138 |
|
icoltub |
โข ( ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ๐ < ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
139 |
129 131 137 138
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ) โ ๐ < ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
140 |
139
|
3adant3 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โง ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ ๐ < ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
141 |
|
id |
โข ( ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
142 |
141
|
eqcomd |
โข ( ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ฅ ) |
143 |
142
|
3ad2ant3 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โง ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ฅ ) |
144 |
140 143
|
breqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โง ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ ๐ < ๐ฅ ) |
145 |
144
|
3exp |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ ( ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ < ๐ฅ ) ) ) |
146 |
145
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ ( ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ < ๐ฅ ) ) ) |
147 |
146
|
rexlimdv |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ ( โ ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ๐ฅ = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ < ๐ฅ ) ) |
148 |
118 147
|
mpd |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ ๐ < ๐ฅ ) |
149 |
102 111 148
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โง ยฌ ๐ฅ = ( ๐ต โ ๐ ) ) โ ๐ < ๐ฅ ) |
150 |
101 149
|
pm2.61dan |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ ) โ ๐ < ๐ฅ ) |
151 |
150
|
ralrimiva |
โข ( ๐ โ โ ๐ฅ โ ๐ ๐ < ๐ฅ ) |
152 |
|
breq2 |
โข ( ๐ฅ = inf ( ๐ , โ , < ) โ ( ๐ < ๐ฅ โ ๐ < inf ( ๐ , โ , < ) ) ) |
153 |
152
|
rspcva |
โข ( ( inf ( ๐ , โ , < ) โ ๐ โง โ ๐ฅ โ ๐ ๐ < ๐ฅ ) โ ๐ < inf ( ๐ , โ , < ) ) |
154 |
82 151 153
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ๐ < inf ( ๐ , โ , < ) ) |
155 |
25
|
eqcomi |
โข inf ( ๐ , โ , < ) = ๐ |
156 |
155
|
a1i |
โข ( ๐ โ inf ( ๐ , โ , < ) = ๐ ) |
157 |
154 156
|
breqtrd |
โข ( ๐ โ ๐ < ๐ ) |
158 |
31 90 84 95 157
|
lelttrd |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) < ๐ ) |
159 |
31 84 158
|
ltled |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) โค ๐ ) |
160 |
|
fiminre |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โ
) โ โ ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ ) |
161 |
57 71 80 160
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ โ ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ ) |
162 |
|
lbinfle |
โข ( ( ๐ โ โ โง โ ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ โง ( ๐ต โ ๐ ) โ ๐ ) โ inf ( ๐ , โ , < ) โค ( ๐ต โ ๐ ) ) |
163 |
57 161 78 162
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ inf ( ๐ , โ , < ) โค ( ๐ต โ ๐ ) ) |
164 |
25 163
|
eqbrtrid |
โข ( ๐ โ ๐ โค ( ๐ต โ ๐ ) ) |
165 |
31 32 84 159 164
|
eliccd |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) ) |
166 |
84
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
167 |
90
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
168 |
31
|
recnd |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) โ โ ) |
169 |
166 167 168
|
npncand |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ โ ๐ ) + ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) |
170 |
169
|
eqcomd |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) + ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) |
171 |
170
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) = ( ๐บ ยท ( ( ๐ โ ๐ ) + ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) ) |
172 |
|
rge0ssre |
โข ( 0 [,) +โ ) โ โ |
173 |
2 3
|
ssfid |
โข ( ๐ โ ๐ โ Fin ) |
174 |
|
ssun1 |
โข ๐ โ ( ๐ โช { ๐ } ) |
175 |
174 5
|
sseqtrri |
โข ๐ โ ๐ |
176 |
175
|
a1i |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ ) |
177 |
6 176
|
fssresd |
โข ( ๐ โ ( ๐ด โพ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
178 |
7 176
|
fssresd |
โข ( ๐ โ ( ๐ต โพ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
179 |
1 173 177 178
|
hoidmvcl |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ด โพ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐ต โพ ๐ ) ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
180 |
15 179
|
eqeltrid |
โข ( ๐ โ ๐บ โ ( 0 [,) +โ ) ) |
181 |
172 180
|
sselid |
โข ( ๐ โ ๐บ โ โ ) |
182 |
181
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐บ โ โ ) |
183 |
166 167
|
subcld |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
184 |
167 168
|
subcld |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) โ โ ) |
185 |
182 183 184
|
adddid |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ( ๐ โ ๐ ) + ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) ) |
186 |
182 183
|
mulcld |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
187 |
182 184
|
mulcld |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
188 |
186 187
|
addcomd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
189 |
171 185 188
|
3eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
190 |
84 90
|
jca |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ โ โง ๐ โ โ ) ) |
191 |
|
resubcl |
โข ( ( ๐ โ โ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
192 |
190 191
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
193 |
181 192
|
jca |
โข ( ๐ โ ( ๐บ โ โ โง ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) ) |
194 |
|
remulcl |
โข ( ( ๐บ โ โ โง ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
195 |
193 194
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
196 |
90 31
|
jca |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ โ โง ( ๐ด โ ๐ ) โ โ ) ) |
197 |
|
resubcl |
โข ( ( ๐ โ โ โง ( ๐ด โ ๐ ) โ โ ) โ ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) โ โ ) |
198 |
196 197
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) โ โ ) |
199 |
181 198
|
jca |
โข ( ๐ โ ( ๐บ โ โ โง ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) โ โ ) ) |
200 |
|
remulcl |
โข ( ( ๐บ โ โ โง ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) โ โ ) โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
201 |
199 200
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
202 |
195 201
|
jca |
โข ( ๐ โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ โง ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โ โ ) ) |
203 |
|
readdcl |
โข ( ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ โง ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โ โ ) โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
204 |
202 203
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
205 |
188 204
|
eqeltrrd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
206 |
|
1red |
โข ( ๐ โ 1 โ โ ) |
207 |
16
|
rpred |
โข ( ๐ โ ๐ธ โ โ ) |
208 |
206 207
|
readdcld |
โข ( ๐ โ ( 1 + ๐ธ ) โ โ ) |
209 |
4
|
eldifbd |
โข ( ๐ โ ยฌ ๐ โ ๐ ) |
210 |
30 209
|
eldifd |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) |
211 |
1 173 210 5 8 11 13 14 90
|
sge0hsphoire |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
212 |
208 211
|
remulcld |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) โ โ ) |
213 |
|
fzfid |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ Fin ) |
214 |
192
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
215 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ๐ ) |
216 |
|
elfznn |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
217 |
216
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
218 |
|
id |
โข ( ๐ โ โ โ ๐ โ โ ) |
219 |
|
ovexd |
โข ( ๐ โ โ โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) โ V ) |
220 |
20
|
fvmpt2 |
โข ( ( ๐ โ โ โง ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) โ V ) โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
221 |
218 219 220
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ โ โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
222 |
221
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
223 |
173
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ Fin ) |
224 |
175
|
a1i |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ ๐ ) |
225 |
125 224
|
fssresd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
226 |
225
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
227 |
|
iftrue |
โข ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) ) |
228 |
227
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) ) |
229 |
228
|
feq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) : ๐ โถ โ ) ) |
230 |
226 229
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ ) |
231 |
|
0red |
โข ( ( ๐ โง ๐ฆ โ ๐ ) โ 0 โ โ ) |
232 |
231 9
|
fmptd |
โข ( ๐ โ ๐น : ๐ โถ โ ) |
233 |
232
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ๐น : ๐ โถ โ ) |
234 |
|
iffalse |
โข ( ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ๐น ) |
235 |
234
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ๐น ) |
236 |
235
|
feq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ โ ๐น : ๐ โถ โ ) ) |
237 |
233 236
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ ) |
238 |
230 237
|
pm2.61dan |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ ) |
239 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ โ ) |
240 |
|
fvex |
โข ( ๐ถ โ ๐ ) โ V |
241 |
240
|
resex |
โข ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) โ V |
242 |
241
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) โ V ) |
243 |
2 3
|
ssexd |
โข ( ๐ โ ๐ โ V ) |
244 |
|
mptexg |
โข ( ๐ โ V โ ( ๐ฆ โ ๐ โฆ 0 ) โ V ) |
245 |
243 244
|
syl |
โข ( ๐ โ ( ๐ฆ โ ๐ โฆ 0 ) โ V ) |
246 |
9 245
|
eqeltrid |
โข ( ๐ โ ๐น โ V ) |
247 |
242 246
|
ifcld |
โข ( ๐ โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) โ V ) |
248 |
247
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) โ V ) |
249 |
10
|
fvmpt2 |
โข ( ( ๐ โ โ โง if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) โ V ) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) = if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
250 |
239 248 249
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) = if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
251 |
250
|
feq1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) : ๐ โถ โ โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ ) ) |
252 |
238 251
|
mpbird |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
253 |
49 224
|
fssresd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
254 |
253
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
255 |
|
iftrue |
โข ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) ) |
256 |
255
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) ) |
257 |
256
|
feq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) : ๐ โถ โ ) ) |
258 |
254 257
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ ) |
259 |
|
iffalse |
โข ( ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ๐น ) |
260 |
259
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ๐น ) |
261 |
260
|
feq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ โ ๐น : ๐ โถ โ ) ) |
262 |
233 261
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ ) |
263 |
258 262
|
pm2.61dan |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ ) |
264 |
|
fvex |
โข ( ๐ท โ ๐ ) โ V |
265 |
264
|
resex |
โข ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) โ V |
266 |
265
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) โ V ) |
267 |
266 246
|
ifcld |
โข ( ๐ โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) โ V ) |
268 |
267
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) โ V ) |
269 |
12
|
fvmpt2 |
โข ( ( ๐ โ โ โง if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) โ V ) โ ( ๐พ โ ๐ ) = if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
270 |
239 268 269
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐พ โ ๐ ) = if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
271 |
270
|
feq1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐พ โ ๐ ) : ๐ โถ โ โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) : ๐ โถ โ ) ) |
272 |
263 271
|
mpbird |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐พ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
273 |
1 223 252 272
|
hoidmvcl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
274 |
222 273
|
eqeltrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
275 |
172 274
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
276 |
215 217 275
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
277 |
214 276
|
remulcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
278 |
213 277
|
fsumrecl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
279 |
208 278
|
remulcld |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
280 |
212 279
|
readdcld |
โข ( ๐ โ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
281 |
1 173 210 5 8 11 13 14 84
|
sge0hsphoire |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
282 |
208 281
|
remulcld |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) โ โ ) |
283 |
18 17
|
eleqtrdi |
โข ( ๐ โ ๐ โ { ๐ง โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โฃ ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) } ) |
284 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) |
285 |
284
|
oveq2d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) = ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) |
286 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ๐ป โ ๐ง ) = ( ๐ป โ ๐ ) ) |
287 |
286
|
fveq1d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) = ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) |
288 |
287
|
oveq2d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
289 |
288
|
mpteq2dv |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) = ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) |
290 |
289
|
fveq2d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
291 |
290
|
oveq2d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
292 |
285 291
|
breq12d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
293 |
292
|
elrab |
โข ( ๐ โ { ๐ง โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โฃ ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) } โ ( ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โง ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
294 |
283 293
|
sylib |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โง ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
295 |
294
|
simprd |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
296 |
213 276
|
fsumrecl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
297 |
208 296
|
remulcld |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
298 |
|
0red |
โข ( ๐ โ 0 โ โ ) |
299 |
90 84
|
posdifd |
โข ( ๐ โ ( ๐ < ๐ โ 0 < ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
300 |
157 299
|
mpbid |
โข ( ๐ โ 0 < ( ๐ โ ๐ ) ) |
301 |
298 192 300
|
ltled |
โข ( ๐ โ 0 โค ( ๐ โ ๐ ) ) |
302 |
181 297 192 301 22
|
lemul1ad |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โค ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
303 |
208
|
recnd |
โข ( ๐ โ ( 1 + ๐ธ ) โ โ ) |
304 |
296
|
recnd |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
305 |
303 304 183
|
mulassd |
โข ( ๐ โ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
306 |
276
|
recnd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
307 |
213 183 306
|
fsummulc1 |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
308 |
183
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
309 |
306 308
|
mulcomd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
310 |
309
|
sumeq2dv |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
311 |
307 310
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
312 |
311
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
313 |
305 312
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ๐ โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
314 |
302 313
|
breqtrd |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
315 |
201 195 212 279 295 314
|
leadd12dd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โค ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
316 |
|
nnsplit |
โข ( ๐ โ โ โ โ = ( ( 1 ... ๐ ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
317 |
21 316
|
syl |
โข ( ๐ โ โ = ( ( 1 ... ๐ ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) ) |
318 |
|
uncom |
โข ( ( 1 ... ๐ ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) |
319 |
318
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( ( 1 ... ๐ ) โช ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) ) |
320 |
317 319
|
eqtr2d |
โข ( ๐ โ ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) = โ ) |
321 |
320
|
eqcomd |
โข ( ๐ โ โ = ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) ) |
322 |
321
|
mpteq1d |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) = ( ๐ โ ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) |
323 |
322
|
fveq2d |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
324 |
|
nfv |
โข โฒ ๐ ๐ |
325 |
|
fvexd |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ V ) |
326 |
|
ovexd |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ V ) |
327 |
|
incom |
โข ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฉ ( 1 ... ๐ ) ) = ( ( 1 ... ๐ ) โฉ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) |
328 |
|
nnuzdisj |
โข ( ( 1 ... ๐ ) โฉ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) = โ
|
329 |
327 328
|
eqtri |
โข ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฉ ( 1 ... ๐ ) ) = โ
|
330 |
329
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฉ ( 1 ... ๐ ) ) = โ
) |
331 |
|
icossicc |
โข ( 0 [,) +โ ) โ ( 0 [,] +โ ) |
332 |
|
ssid |
โข ( 0 [,) +โ ) โ ( 0 [,) +โ ) |
333 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ๐ ) |
334 |
21
|
peano2nnd |
โข ( ๐ โ ( ๐ + 1 ) โ โ ) |
335 |
|
uznnssnn |
โข ( ( ๐ + 1 ) โ โ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ โ ) |
336 |
334 335
|
syl |
โข ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ โ ) |
337 |
336
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โ โ ) |
338 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) |
339 |
337 338
|
sseldd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ๐ โ โ ) |
340 |
|
snfi |
โข { ๐ } โ Fin |
341 |
340
|
a1i |
โข ( ๐ โ { ๐ } โ Fin ) |
342 |
|
unfi |
โข ( ( ๐ โ Fin โง { ๐ } โ Fin ) โ ( ๐ โช { ๐ } ) โ Fin ) |
343 |
173 341 342
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ( ๐ โช { ๐ } ) โ Fin ) |
344 |
5 343
|
eqeltrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ Fin ) |
345 |
344
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ Fin ) |
346 |
|
eleq1w |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ ) ) |
347 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
348 |
347
|
breq1d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ โ ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ ) ) |
349 |
348 347
|
ifbieq1d |
โข ( ๐ = ๐ โ if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) = if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) |
350 |
346 347 349
|
ifbieq12d |
โข ( ๐ = ๐ โ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) = if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) |
351 |
350
|
cbvmptv |
โข ( ๐ โ ๐ โฆ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ โฆ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) |
352 |
351
|
mpteq2i |
โข ( ๐ โ ( โ โm ๐ ) โฆ ( ๐ โ ๐ โฆ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) ) = ( ๐ โ ( โ โm ๐ ) โฆ ( ๐ โ ๐ โฆ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) ) |
353 |
352
|
mpteq2i |
โข ( ๐ฅ โ โ โฆ ( ๐ โ ( โ โm ๐ ) โฆ ( ๐ โ ๐ โฆ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) ) ) = ( ๐ฅ โ โ โฆ ( ๐ โ ( โ โm ๐ ) โฆ ( ๐ โ ๐ โฆ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) ) ) |
354 |
14 353
|
eqtri |
โข ๐ป = ( ๐ฅ โ โ โฆ ( ๐ โ ( โ โm ๐ ) โฆ ( ๐ โ ๐ โฆ if ( ๐ โ ๐ , ( ๐ โ ๐ ) , if ( ( ๐ โ ๐ ) โค ๐ฅ , ( ๐ โ ๐ ) , ๐ฅ ) ) ) ) ) |
355 |
90
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ โ ) |
356 |
354 355 345 49
|
hsphoif |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) : ๐ โถ โ ) |
357 |
1 345 125 356
|
hoidmvcl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
358 |
333 339 357
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
359 |
332 358
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
360 |
331 359
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,] +โ ) ) |
361 |
215 217 357
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
362 |
331 361
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,] +โ ) ) |
363 |
324 325 326 330 360 362
|
sge0splitmpt |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) +๐ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
364 |
|
nnex |
โข โ โ V |
365 |
364
|
a1i |
โข ( ๐ โ โ โ V ) |
366 |
331 357
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,] +โ ) ) |
367 |
324 365 366 211 336
|
sge0ssrempt |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
368 |
37
|
a1i |
โข ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โ โ ) |
369 |
324 365 366 211 368
|
sge0ssrempt |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
370 |
|
rexadd |
โข ( ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ โง ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) +๐ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
371 |
367 369 370
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) +๐ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
372 |
323 363 371
|
3eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
373 |
372
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
374 |
373
|
oveq1d |
โข ( ๐ โ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
375 |
372 211
|
eqeltrrd |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) โ โ ) |
376 |
375
|
recnd |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) โ โ ) |
377 |
278
|
recnd |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
378 |
303 376 377
|
adddid |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
379 |
378
|
eqcomd |
โข ( ๐ โ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
380 |
367
|
recnd |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
381 |
369
|
recnd |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
382 |
380 381 377
|
addassd |
โข ( ๐ โ ( ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
383 |
213 361
|
sge0fsummpt |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
384 |
383
|
oveq1d |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
385 |
|
ax-resscn |
โข โ โ โ |
386 |
172 385
|
sstri |
โข ( 0 [,) +โ ) โ โ |
387 |
386 357
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
388 |
215 217 387
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
389 |
192
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
390 |
389 275
|
remulcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
391 |
390
|
recnd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
392 |
217 391
|
syldan |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โ โ ) |
393 |
213 388 392
|
fsumadd |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
394 |
393
|
eqcomd |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
395 |
384 394
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
396 |
395
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
397 |
382 396
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) |
398 |
397
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
399 |
374 379 398
|
3eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
400 |
172 357
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
401 |
400 390
|
readdcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
402 |
215 217 401
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
403 |
213 402
|
fsumrecl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
404 |
367 403
|
readdcld |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) โ โ ) |
405 |
|
0le1 |
โข 0 โค 1 |
406 |
405
|
a1i |
โข ( ๐ โ 0 โค 1 ) |
407 |
16
|
rpge0d |
โข ( ๐ โ 0 โค ๐ธ ) |
408 |
206 207 406 407
|
addge0d |
โข ( ๐ โ 0 โค ( 1 + ๐ธ ) ) |
409 |
84
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ โ ) |
410 |
354 409 345 49
|
hsphoif |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) : ๐ โถ โ ) |
411 |
1 345 125 410
|
hoidmvcl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
412 |
331 411
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,] +โ ) ) |
413 |
324 365 412 281 336
|
sge0ssrempt |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
414 |
172 411
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
415 |
215 217 414
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
416 |
213 415
|
fsumrecl |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
417 |
333 339 412
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,] +โ ) ) |
418 |
210
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) |
419 |
90 84 157
|
ltled |
โข ( ๐ โ ๐ โค ๐ ) |
420 |
419
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โค ๐ ) |
421 |
1 345 418 5 355 409 420 354 125 49
|
hsphoidmvle2 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โค ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
422 |
333 339 421
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โค ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
423 |
324 325 360 417 422
|
sge0lempt |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โค ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
424 |
215
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ๐ ) |
425 |
217
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ๐ โ โ ) |
426 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
427 |
|
oveq2 |
โข ( ( ๐ โ ๐ ) = 0 โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) ยท 0 ) ) |
428 |
427
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) ยท 0 ) ) |
429 |
183
|
mul01d |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท 0 ) = 0 ) |
430 |
429
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท 0 ) = 0 ) |
431 |
428 430
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = 0 ) |
432 |
431
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + 0 ) ) |
433 |
387
|
addid1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + 0 ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
434 |
433
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + 0 ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
435 |
432 434
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
436 |
421
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โค ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
437 |
435 436
|
eqbrtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โค ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
438 |
424 425 426 437
|
syl21anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โค ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
439 |
|
simpl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ยฌ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) ) |
440 |
|
neqne |
โข ( ยฌ ( ๐ โ ๐ ) = 0 โ ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) |
441 |
440
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ยฌ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) |
442 |
402
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โ โ ) |
443 |
215
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ ) |
444 |
217
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ โ ) |
445 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) |
446 |
4
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ ( ๐ โ ๐ ) ) |
447 |
209
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ยฌ ๐ โ ๐ ) |
448 |
|
eqid |
โข โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) |
449 |
1 223 446 447 5 125 356 448
|
hoiprodp1 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ยท ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) ) |
450 |
449
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ยท ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) ) |
451 |
222
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
452 |
223
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ Fin ) |
453 |
222
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
454 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = โ
โ ( ๐ฟ โ ๐ ) = ( ๐ฟ โ โ
) ) |
455 |
454
|
oveqd |
โข ( ๐ = โ
โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ โ
) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
456 |
455
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ โ
) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
457 |
252
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
458 |
|
id |
โข ( ๐ = โ
โ ๐ = โ
) |
459 |
458
|
eqcomd |
โข ( ๐ = โ
โ โ
= ๐ ) |
460 |
459
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ โ
= ๐ ) |
461 |
460
|
feq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) : โ
โถ โ โ ( ๐ฝ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) ) |
462 |
457 461
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) : โ
โถ โ ) |
463 |
272
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ๐พ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
464 |
460
|
feq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ( ๐พ โ ๐ ) : โ
โถ โ โ ( ๐พ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) ) |
465 |
463 464
|
mpbird |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ๐พ โ ๐ ) : โ
โถ โ ) |
466 |
1 462 465
|
hoidmv0val |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ โ
) ( ๐พ โ ๐ ) ) = 0 ) |
467 |
453 456 466
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ = โ
) โ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
468 |
467
|
adantlr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ = โ
) โ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
469 |
|
neneq |
โข ( ( ๐ โ ๐ ) โ 0 โ ยฌ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
470 |
469
|
ad2antlr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ = โ
) โ ยฌ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
471 |
468 470
|
pm2.65da |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ยฌ ๐ = โ
) |
472 |
471
|
neqned |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ โ
) |
473 |
252
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
474 |
272
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐พ โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
475 |
1 452 472 473 474
|
hoidmvn0val |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ฝ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐พ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
476 |
250
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) = if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
477 |
222
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
478 |
250
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) = if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
479 |
478 235
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) = ๐น ) |
480 |
270
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ๐พ โ ๐ ) = if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
481 |
480 260
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ๐พ โ ๐ ) = ๐น ) |
482 |
479 481
|
oveq12d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) = ( ๐น ( ๐ฟ โ ๐ ) ๐น ) ) |
483 |
1 173 232
|
hoidmvval0b |
โข ( ๐ โ ( ๐น ( ๐ฟ โ ๐ ) ๐น ) = 0 ) |
484 |
483
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ๐น ( ๐ฟ โ ๐ ) ๐น ) = 0 ) |
485 |
477 482 484
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
486 |
485
|
adantlr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
487 |
469
|
ad2antlr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ยฌ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) |
488 |
486 487
|
condan |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
489 |
488
|
iftrued |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) ) |
490 |
476 489
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐ฝ โ ๐ ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) ) |
491 |
490
|
fveq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) โ ๐ ) ) |
492 |
491
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) โ ๐ ) ) |
493 |
|
fvres |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
494 |
493
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โพ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
495 |
492 494
|
eqtrd |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
496 |
270
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐พ โ ๐ ) = if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) ) |
497 |
488 255
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ if ( ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) , ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) , ๐น ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) ) |
498 |
496 497
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐พ โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) ) |
499 |
498
|
fveq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐พ โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) โ ๐ ) ) |
500 |
499
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐พ โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) โ ๐ ) ) |
501 |
|
fvres |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
502 |
501
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โพ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
503 |
500 502
|
eqtrd |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐พ โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
504 |
495 503
|
oveq12d |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ฝ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐พ โ ๐ ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
505 |
504
|
fveq2d |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ฝ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐พ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
506 |
505
|
prodeq2dv |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ฝ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐พ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
507 |
475 506
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
508 |
355
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
509 |
345
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ Fin ) |
510 |
49
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) : ๐ โถ โ ) |
511 |
|
elun1 |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ โ ( ๐ โช { ๐ } ) ) |
512 |
511 5
|
eleqtrrdi |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐ ) |
513 |
512
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ ๐ ) |
514 |
354 508 509 510 513
|
hsphoival |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) ) |
515 |
|
iftrue |
โข ( ๐ โ ๐ โ if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
516 |
515
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
517 |
514 516
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
518 |
517
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
519 |
518
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
520 |
519
|
prodeq2dv |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
521 |
520
|
eqcomd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) |
522 |
521
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) |
523 |
451 507 522
|
3eqtrrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
524 |
354 355 345 49 50
|
hsphoival |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) ) |
525 |
209
|
iffalsed |
โข ( ๐ โ if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) |
526 |
525
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) |
527 |
524 526
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) |
528 |
527
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) ) |
529 |
528
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) ) |
530 |
126
|
rexrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* ) |
531 |
530
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* ) |
532 |
51
|
rexrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* ) |
533 |
532
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* ) |
534 |
|
icoltub |
โข ( ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ๐ < ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
535 |
531 533 488 534
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ < ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
536 |
355
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ โ ) |
537 |
51
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
538 |
536 537
|
ltnled |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐ < ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) ) |
539 |
535 538
|
mpbid |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) |
540 |
539
|
iffalsed |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) = ๐ ) |
541 |
540
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) |
542 |
529 541
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) |
543 |
542
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) ) |
544 |
|
volico |
โข ( ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ โง ๐ โ โ ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) ) |
545 |
126 536 544
|
syl2an |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) ) |
546 |
545
|
anabss5 |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) ) |
547 |
|
iftrue |
โข ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ โ if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
548 |
547
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
549 |
|
iffalse |
โข ( ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ โ if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) = 0 ) |
550 |
549
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) = 0 ) |
551 |
|
simpll |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ ( ๐ โง ๐ โ โ ) ) |
552 |
|
icogelb |
โข ( ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ* โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) |
553 |
531 533 488 552
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) |
554 |
553
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) |
555 |
|
simpr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) |
556 |
554 555
|
jca |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) ) |
557 |
551 126
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
558 |
551 355
|
syl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
559 |
557 558
|
eqleltd |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) ) ) |
560 |
556 559
|
mpbird |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) |
561 |
|
id |
โข ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) |
562 |
561
|
eqcomd |
โข ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ โ ๐ = ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
563 |
562
|
oveq1d |
โข ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ โ ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
564 |
563
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
565 |
385 126
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
566 |
565
|
subidd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) = 0 ) |
567 |
566
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) = 0 ) |
568 |
564 567
|
eqtr2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ 0 = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
569 |
551 560 568
|
syl2anc |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ 0 = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
570 |
550 569
|
eqtrd |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) โ if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
571 |
548 570
|
pm2.61dan |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
572 |
543 546 571
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
573 |
523 572
|
oveq12d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ยท ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
574 |
386 274
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
575 |
355 126
|
resubcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ โ ) |
576 |
575
|
recnd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ โ ) |
577 |
574 576
|
mulcomd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
578 |
577
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
579 |
450 573 578
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
580 |
579
|
oveq1d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
581 |
183
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ๐ โ ๐ ) โ โ ) |
582 |
576 581 574
|
adddird |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) + ( ๐ โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) |
583 |
582
|
eqcomd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) + ( ๐ โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
584 |
583
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) + ( ๐ โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
585 |
576 581
|
addcomd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) + ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) + ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
586 |
166
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ โ ) |
587 |
167
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐ โ โ ) |
588 |
586 587 565
|
npncand |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) + ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
589 |
585 588
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) + ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
590 |
589
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) + ( ๐ โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
591 |
590
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) + ( ๐ โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
592 |
580 584 591
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
593 |
443 444 445 592
|
syl21anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
594 |
|
eqid |
โข โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) |
595 |
1 223 50 447 5 125 410 594
|
hoiprodp1 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ยท ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) ) |
596 |
215 217 595
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ยท ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) ) |
597 |
596
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ยท ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) ) |
598 |
507
|
eqcomd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ฝ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ๐พ โ ๐ ) ) ) |
599 |
409
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
600 |
354 599 509 510 513
|
hsphoival |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) ) |
601 |
|
iftrue |
โข ( ๐ โ ๐ โ if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
602 |
601
|
adantl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
603 |
600 602
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
604 |
603
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
605 |
604
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
606 |
605
|
prodeq2dv |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
607 |
606
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
608 |
598 607 451
|
3eqtr4d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
609 |
443 444 445 608
|
syl21anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ ) ) |
610 |
354 409 345 49 50
|
hsphoival |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) ) |
611 |
217 610
|
syldan |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) ) |
612 |
611
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) ) |
613 |
209
|
iffalsed |
โข ( ๐ โ if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) |
614 |
613
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ if ( ๐ โ ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) ) |
615 |
217 51
|
syldan |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
616 |
615
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
617 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) |
618 |
616 617
|
eqled |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) |
619 |
618
|
iftrued |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
620 |
619 617
|
eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) = ๐ ) |
621 |
620
|
adantlr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) = ๐ ) |
622 |
84
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
623 |
622
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
624 |
623
|
adantlr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ๐ โ โ ) |
625 |
615
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
626 |
625
|
adantlr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
627 |
25
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ = inf ( ๐ , โ , < ) ) |
628 |
443 57
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ โ ) |
629 |
161
|
ad2antrr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ ) |
630 |
|
simplr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) |
631 |
216 488
|
sylanl2 |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
632 |
630 631
|
jca |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
633 |
|
rabid |
โข ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โง ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
634 |
632 633
|
sylibr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ) |
635 |
|
eqidd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
636 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐ท โ ๐ ) = ( ๐ท โ ๐ ) ) |
637 |
636
|
fveq1d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
638 |
637
|
eqeq2d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
639 |
638
|
rspcev |
โข ( ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ โ ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
640 |
634 635 639
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ โ ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
641 |
|
fvexd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ V ) |
642 |
35 640 641
|
elrnmptd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ran ( ๐ โ { ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฃ ๐ โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) } โฆ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
643 |
642 23
|
eleqtrrdi |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ ) |
644 |
|
elun2 |
โข ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) ) |
645 |
643 644
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) ) |
646 |
76
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( { ( ๐ต โ ๐ ) } โช ๐ ) = ๐ ) |
647 |
645 646
|
eleqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ ) |
648 |
|
lbinfle |
โข ( ( ๐ โ โ โง โ ๐ฅ โ ๐ โ ๐ฆ โ ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ โง ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ ) โ inf ( ๐ , โ , < ) โค ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
649 |
628 629 647 648
|
syl3anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ inf ( ๐ , โ , < ) โค ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
650 |
627 649
|
eqbrtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โค ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
651 |
650
|
adantr |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ๐ โค ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
652 |
|
neqne |
โข ( ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ ) |
653 |
652
|
adantl |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ๐ ) |
654 |
624 626 651 653
|
leneltd |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ๐ < ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) ) |
655 |
624 626
|
ltnled |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ( ๐ < ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โ ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) ) |
656 |
654 655
|
mpbid |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) |
657 |
656
|
iffalsed |
โข ( ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โง ยฌ ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) = ๐ ) โ if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) = ๐ ) |
658 |
621 657
|
pm2.61dan |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ if ( ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ , ( ( ๐ท โ ๐ ) โ ๐ ) , ๐ ) = ๐ ) |
659 |
612 614 658
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) = ๐ ) |
660 |
659
|
oveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) = ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) |
661 |
660
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) ) |
662 |
215 217 126
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
663 |
662
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
664 |
443 84
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ โ ) |
665 |
|
volico |
โข ( ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ โง ๐ โ โ ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) ) |
666 |
663 664 665
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ๐ ) ) = if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) ) |
667 |
443 90
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ โ โ ) |
668 |
443 444 445 553
|
syl21anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โค ๐ ) |
669 |
443 157
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ๐ < ๐ ) |
670 |
663 667 664 668 669
|
lelttrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ ) |
671 |
670
|
iftrued |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ if ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) < ๐ , ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) , 0 ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
672 |
661 666 671
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) |
673 |
609 672
|
oveq12d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( โ ๐ โ ๐ ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ยท ( vol โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) [,) ( ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) โ ๐ ) ) ) ) = ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) ) |
674 |
215 166
|
syl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ๐ โ โ ) |
675 |
385 662
|
sselid |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) โ โ ) |
676 |
674 675
|
subcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) โ โ ) |
677 |
306 676
|
mulcomd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
678 |
677
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
679 |
597 673 678
|
3eqtrd |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) โ ๐ ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) |
680 |
593 679
|
eqtr4d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
681 |
442 680
|
eqled |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ( ๐ โ ๐ ) โ 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โค ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
682 |
439 441 681
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โง ยฌ ( ๐ โ ๐ ) = 0 ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โค ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
683 |
438 682
|
pm2.61dan |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โค ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
684 |
213 402 415 683
|
fsumle |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โค ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
685 |
367 403 413 416 423 684
|
leadd12dd |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) โค ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) |
686 |
321
|
mpteq1d |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) = ( ๐ โ ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) |
687 |
686
|
fveq2d |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
688 |
217 412
|
syldan |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,] +โ ) ) |
689 |
324 325 326 330 417 688
|
sge0splitmpt |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โช ( 1 ... ๐ ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) +๐ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
690 |
687 689
|
eqtrd |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) +๐ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
691 |
215 217 411
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) โ ( 0 [,) +โ ) ) |
692 |
213 691
|
sge0fsummpt |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
693 |
692 416
|
eqeltrd |
โข ( ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) |
694 |
|
rexadd |
โข ( ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ โง ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) โ โ ) โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) +๐ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
695 |
413 693 694
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) +๐ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
696 |
692
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( 1 ... ๐ ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) |
697 |
690 695 696
|
3eqtrrd |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
698 |
685 697
|
breqtrd |
โข ( ๐ โ ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) โค ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
699 |
404 281 208 408 698
|
lemul2ad |
โข ( ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ ( โคโฅ โ ( ๐ + 1 ) ) โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) + ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) + ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
700 |
399 699
|
eqbrtrd |
โข ( ๐ โ ( ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ฮฃ ๐ โ ( 1 ... ๐ ) ( ( ๐ โ ๐ ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
701 |
205 280 282 315 700
|
letrd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) + ( ๐บ ยท ( ๐ โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
702 |
189 701
|
eqbrtrd |
โข ( ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
703 |
165 702
|
jca |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โง ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
704 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) = ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) |
705 |
704
|
oveq2d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) = ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) ) |
706 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ๐ป โ ๐ง ) = ( ๐ป โ ๐ ) ) |
707 |
706
|
fveq1d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) = ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) |
708 |
707
|
oveq2d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) = ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) |
709 |
708
|
mpteq2dv |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) = ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) |
710 |
709
|
fveq2d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) = ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
711 |
710
|
oveq2d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) |
712 |
705 711
|
breq12d |
โข ( ๐ง = ๐ โ ( ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) โ ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
713 |
712
|
elrab |
โข ( ๐ โ { ๐ง โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โฃ ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) } โ ( ๐ โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โง ( ๐บ ยท ( ๐ โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) ) ) |
714 |
703 713
|
sylibr |
โข ( ๐ โ ๐ โ { ๐ง โ ( ( ๐ด โ ๐ ) [,] ( ๐ต โ ๐ ) ) โฃ ( ๐บ ยท ( ๐ง โ ( ๐ด โ ๐ ) ) ) โค ( ( 1 + ๐ธ ) ยท ( ฮฃ^ โ ( ๐ โ โ โฆ ( ( ๐ถ โ ๐ ) ( ๐ฟ โ ๐ ) ( ( ๐ป โ ๐ง ) โ ( ๐ท โ ๐ ) ) ) ) ) ) } ) |
715 |
714 17
|
eleqtrrdi |
โข ( ๐ โ ๐ โ ๐ ) |
716 |
|
breq2 |
โข ( ๐ข = ๐ โ ( ๐ < ๐ข โ ๐ < ๐ ) ) |
717 |
716
|
rspcev |
โข ( ( ๐ โ ๐ โง ๐ < ๐ ) โ โ ๐ข โ ๐ ๐ < ๐ข ) |
718 |
715 157 717
|
syl2anc |
โข ( ๐ โ โ ๐ข โ ๐ ๐ < ๐ข ) |