Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hoidmvlelem2.l |
|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) |
2 |
|
hoidmvlelem2.x |
|- ( ph -> X e. Fin ) |
3 |
|
hoidmvlelem2.y |
|- ( ph -> Y C_ X ) |
4 |
|
hoidmvlelem2.z |
|- ( ph -> Z e. ( X \ Y ) ) |
5 |
|
hoidmvlelem2.w |
|- W = ( Y u. { Z } ) |
6 |
|
hoidmvlelem2.a |
|- ( ph -> A : W --> RR ) |
7 |
|
hoidmvlelem2.b |
|- ( ph -> B : W --> RR ) |
8 |
|
hoidmvlelem2.c |
|- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m W ) ) |
9 |
|
hoidmvlelem2.f |
|- F = ( y e. Y |-> 0 ) |
10 |
|
hoidmvlelem2.j |
|- J = ( j e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) ) |
11 |
|
hoidmvlelem2.d |
|- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m W ) ) |
12 |
|
hoidmvlelem2.k |
|- K = ( j e. NN |-> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) ) |
13 |
|
hoidmvlelem2.r |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR ) |
14 |
|
hoidmvlelem2.h |
|- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) ) |
15 |
|
hoidmvlelem2.g |
|- G = ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) |
16 |
|
hoidmvlelem2.e |
|- ( ph -> E e. RR+ ) |
17 |
|
hoidmvlelem2.u |
|- U = { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } |
18 |
|
hoidmvlelem2.su |
|- ( ph -> S e. U ) |
19 |
|
hoidmvlelem2.sb |
|- ( ph -> S < ( B ` Z ) ) |
20 |
|
hoidmvlelem2.p |
|- P = ( j e. NN |-> ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) ) |
21 |
|
hoidmvlelem2.m |
|- ( ph -> M e. NN ) |
22 |
|
hoidmvlelem2.le |
|- ( ph -> G <_ ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) ) ) |
23 |
|
hoidmvlelem2.O |
|- O = ran ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
24 |
|
hoidmvlelem2.v |
|- V = ( { ( B ` Z ) } u. O ) |
25 |
|
hoidmvlelem2.q |
|- Q = inf ( V , RR , < ) |
26 |
|
snidg |
|- ( Z e. ( X \ Y ) -> Z e. { Z } ) |
27 |
4 26
|
syl |
|- ( ph -> Z e. { Z } ) |
28 |
|
elun2 |
|- ( Z e. { Z } -> Z e. ( Y u. { Z } ) ) |
29 |
27 28
|
syl |
|- ( ph -> Z e. ( Y u. { Z } ) ) |
30 |
29 5
|
eleqtrrdi |
|- ( ph -> Z e. W ) |
31 |
6 30
|
ffvelrnd |
|- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR ) |
32 |
7 30
|
ffvelrnd |
|- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR ) |
33 |
32
|
snssd |
|- ( ph -> { ( B ` Z ) } C_ RR ) |
34 |
|
nfv |
|- F/ i ph |
35 |
|
eqid |
|- ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) = ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
36 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ) -> ph ) |
37 |
|
fz1ssnn |
|- ( 1 ... M ) C_ NN |
38 |
|
elrabi |
|- ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } -> i e. ( 1 ... M ) ) |
39 |
37 38
|
sselid |
|- ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } -> i e. NN ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ) -> i e. NN ) |
41 |
|
eleq1w |
|- ( j = i -> ( j e. NN <-> i e. NN ) ) |
42 |
41
|
anbi2d |
|- ( j = i -> ( ( ph /\ j e. NN ) <-> ( ph /\ i e. NN ) ) ) |
43 |
|
fveq2 |
|- ( j = i -> ( D ` j ) = ( D ` i ) ) |
44 |
43
|
fveq1d |
|- ( j = i -> ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
45 |
44
|
eleq1d |
|- ( j = i -> ( ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR <-> ( ( D ` i ) ` Z ) e. RR ) ) |
46 |
42 45
|
imbi12d |
|- ( j = i -> ( ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( D ` i ) ` Z ) e. RR ) ) ) |
47 |
11
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. ( RR ^m W ) ) |
48 |
|
elmapi |
|- ( ( D ` j ) e. ( RR ^m W ) -> ( D ` j ) : W --> RR ) |
49 |
47 48
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : W --> RR ) |
50 |
30
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. W ) |
51 |
49 50
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR ) |
52 |
46 51
|
chvarvv |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( D ` i ) ` Z ) e. RR ) |
53 |
36 40 52
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ) -> ( ( D ` i ) ` Z ) e. RR ) |
54 |
34 35 53
|
rnmptssd |
|- ( ph -> ran ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) C_ RR ) |
55 |
23 54
|
eqsstrid |
|- ( ph -> O C_ RR ) |
56 |
33 55
|
unssd |
|- ( ph -> ( { ( B ` Z ) } u. O ) C_ RR ) |
57 |
24 56
|
eqsstrid |
|- ( ph -> V C_ RR ) |
58 |
|
ltso |
|- < Or RR |
59 |
58
|
a1i |
|- ( ph -> < Or RR ) |
60 |
|
snfi |
|- { ( B ` Z ) } e. Fin |
61 |
60
|
a1i |
|- ( ph -> { ( B ` Z ) } e. Fin ) |
62 |
|
fzfi |
|- ( 1 ... M ) e. Fin |
63 |
|
rabfi |
|- ( ( 1 ... M ) e. Fin -> { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } e. Fin ) |
64 |
62 63
|
ax-mp |
|- { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } e. Fin |
65 |
64
|
a1i |
|- ( ph -> { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } e. Fin ) |
66 |
35
|
rnmptfi |
|- ( { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } e. Fin -> ran ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) e. Fin ) |
67 |
65 66
|
syl |
|- ( ph -> ran ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) e. Fin ) |
68 |
23 67
|
eqeltrid |
|- ( ph -> O e. Fin ) |
69 |
|
unfi |
|- ( ( { ( B ` Z ) } e. Fin /\ O e. Fin ) -> ( { ( B ` Z ) } u. O ) e. Fin ) |
70 |
61 68 69
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( { ( B ` Z ) } u. O ) e. Fin ) |
71 |
24 70
|
eqeltrid |
|- ( ph -> V e. Fin ) |
72 |
|
fvex |
|- ( B ` Z ) e. _V |
73 |
72
|
snid |
|- ( B ` Z ) e. { ( B ` Z ) } |
74 |
|
elun1 |
|- ( ( B ` Z ) e. { ( B ` Z ) } -> ( B ` Z ) e. ( { ( B ` Z ) } u. O ) ) |
75 |
73 74
|
ax-mp |
|- ( B ` Z ) e. ( { ( B ` Z ) } u. O ) |
76 |
24
|
eqcomi |
|- ( { ( B ` Z ) } u. O ) = V |
77 |
75 76
|
eleqtri |
|- ( B ` Z ) e. V |
78 |
77
|
a1i |
|- ( ph -> ( B ` Z ) e. V ) |
79 |
|
ne0i |
|- ( ( B ` Z ) e. V -> V =/= (/) ) |
80 |
78 79
|
syl |
|- ( ph -> V =/= (/) ) |
81 |
|
fiinfcl |
|- ( ( < Or RR /\ ( V e. Fin /\ V =/= (/) /\ V C_ RR ) ) -> inf ( V , RR , < ) e. V ) |
82 |
59 71 80 57 81
|
syl13anc |
|- ( ph -> inf ( V , RR , < ) e. V ) |
83 |
25 82
|
eqeltrid |
|- ( ph -> Q e. V ) |
84 |
57 83
|
sseldd |
|- ( ph -> Q e. RR ) |
85 |
|
ssrab2 |
|- { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) |
86 |
17 85
|
eqsstri |
|- U C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) |
87 |
86
|
a1i |
|- ( ph -> U C_ ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) ) |
88 |
31 32
|
iccssred |
|- ( ph -> ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) C_ RR ) |
89 |
87 88
|
sstrd |
|- ( ph -> U C_ RR ) |
90 |
89 18
|
sseldd |
|- ( ph -> S e. RR ) |
91 |
31
|
rexrd |
|- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR* ) |
92 |
32
|
rexrd |
|- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR* ) |
93 |
86 18
|
sselid |
|- ( ph -> S e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) ) |
94 |
|
iccgelb |
|- ( ( ( A ` Z ) e. RR* /\ ( B ` Z ) e. RR* /\ S e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) ) -> ( A ` Z ) <_ S ) |
95 |
91 92 93 94
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( A ` Z ) <_ S ) |
96 |
19
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x = ( B ` Z ) ) -> S < ( B ` Z ) ) |
97 |
|
id |
|- ( x = ( B ` Z ) -> x = ( B ` Z ) ) |
98 |
97
|
eqcomd |
|- ( x = ( B ` Z ) -> ( B ` Z ) = x ) |
99 |
98
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x = ( B ` Z ) ) -> ( B ` Z ) = x ) |
100 |
96 99
|
breqtrd |
|- ( ( ph /\ x = ( B ` Z ) ) -> S < x ) |
101 |
100
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ x e. V ) /\ x = ( B ` Z ) ) -> S < x ) |
102 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ x e. V ) /\ -. x = ( B ` Z ) ) -> ph ) |
103 |
|
id |
|- ( x e. V -> x e. V ) |
104 |
103 24
|
eleqtrdi |
|- ( x e. V -> x e. ( { ( B ` Z ) } u. O ) ) |
105 |
104
|
adantr |
|- ( ( x e. V /\ -. x = ( B ` Z ) ) -> x e. ( { ( B ` Z ) } u. O ) ) |
106 |
|
elsni |
|- ( x e. { ( B ` Z ) } -> x = ( B ` Z ) ) |
107 |
106
|
con3i |
|- ( -. x = ( B ` Z ) -> -. x e. { ( B ` Z ) } ) |
108 |
107
|
adantl |
|- ( ( x e. V /\ -. x = ( B ` Z ) ) -> -. x e. { ( B ` Z ) } ) |
109 |
|
elunnel1 |
|- ( ( x e. ( { ( B ` Z ) } u. O ) /\ -. x e. { ( B ` Z ) } ) -> x e. O ) |
110 |
105 108 109
|
syl2anc |
|- ( ( x e. V /\ -. x = ( B ` Z ) ) -> x e. O ) |
111 |
110
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ x e. V ) /\ -. x = ( B ` Z ) ) -> x e. O ) |
112 |
|
id |
|- ( x e. O -> x e. O ) |
113 |
112 23
|
eleqtrdi |
|- ( x e. O -> x e. ran ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) |
114 |
|
vex |
|- x e. _V |
115 |
35
|
elrnmpt |
|- ( x e. _V -> ( x e. ran ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) <-> E. i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } x = ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) |
116 |
114 115
|
ax-mp |
|- ( x e. ran ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) <-> E. i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } x = ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
117 |
113 116
|
sylib |
|- ( x e. O -> E. i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } x = ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
118 |
117
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. O ) -> E. i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } x = ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
119 |
|
fveq2 |
|- ( j = i -> ( C ` j ) = ( C ` i ) ) |
120 |
119
|
fveq1d |
|- ( j = i -> ( ( C ` j ) ` Z ) = ( ( C ` i ) ` Z ) ) |
121 |
120
|
eleq1d |
|- ( j = i -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR <-> ( ( C ` i ) ` Z ) e. RR ) ) |
122 |
42 121
|
imbi12d |
|- ( j = i -> ( ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( C ` i ) ` Z ) e. RR ) ) ) |
123 |
8
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. ( RR ^m W ) ) |
124 |
|
elmapi |
|- ( ( C ` j ) e. ( RR ^m W ) -> ( C ` j ) : W --> RR ) |
125 |
123 124
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : W --> RR ) |
126 |
125 50
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR ) |
127 |
122 126
|
chvarvv |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( C ` i ) ` Z ) e. RR ) |
128 |
127
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( C ` i ) ` Z ) e. RR* ) |
129 |
36 40 128
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ) -> ( ( C ` i ) ` Z ) e. RR* ) |
130 |
52
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( D ` i ) ` Z ) e. RR* ) |
131 |
36 40 130
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ) -> ( ( D ` i ) ` Z ) e. RR* ) |
132 |
120 44
|
oveq12d |
|- ( j = i -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) |
133 |
132
|
eleq2d |
|- ( j = i -> ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) <-> S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) ) |
134 |
133
|
elrab |
|- ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } <-> ( i e. ( 1 ... M ) /\ S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) ) |
135 |
134
|
biimpi |
|- ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } -> ( i e. ( 1 ... M ) /\ S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) ) |
136 |
135
|
simprd |
|- ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } -> S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) |
137 |
136
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ) -> S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) |
138 |
|
icoltub |
|- ( ( ( ( C ` i ) ` Z ) e. RR* /\ ( ( D ` i ) ` Z ) e. RR* /\ S e. ( ( ( C ` i ) ` Z ) [,) ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) -> S < ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
139 |
129 131 137 138
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ) -> S < ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
140 |
139
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } /\ x = ( ( D ` i ) ` Z ) ) -> S < ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
141 |
|
id |
|- ( x = ( ( D ` i ) ` Z ) -> x = ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
142 |
141
|
eqcomd |
|- ( x = ( ( D ` i ) ` Z ) -> ( ( D ` i ) ` Z ) = x ) |
143 |
142
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } /\ x = ( ( D ` i ) ` Z ) ) -> ( ( D ` i ) ` Z ) = x ) |
144 |
140 143
|
breqtrd |
|- ( ( ph /\ i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } /\ x = ( ( D ` i ) ` Z ) ) -> S < x ) |
145 |
144
|
3exp |
|- ( ph -> ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } -> ( x = ( ( D ` i ) ` Z ) -> S < x ) ) ) |
146 |
145
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. O ) -> ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } -> ( x = ( ( D ` i ) ` Z ) -> S < x ) ) ) |
147 |
146
|
rexlimdv |
|- ( ( ph /\ x e. O ) -> ( E. i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } x = ( ( D ` i ) ` Z ) -> S < x ) ) |
148 |
118 147
|
mpd |
|- ( ( ph /\ x e. O ) -> S < x ) |
149 |
102 111 148
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ x e. V ) /\ -. x = ( B ` Z ) ) -> S < x ) |
150 |
101 149
|
pm2.61dan |
|- ( ( ph /\ x e. V ) -> S < x ) |
151 |
150
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. V S < x ) |
152 |
|
breq2 |
|- ( x = inf ( V , RR , < ) -> ( S < x <-> S < inf ( V , RR , < ) ) ) |
153 |
152
|
rspcva |
|- ( ( inf ( V , RR , < ) e. V /\ A. x e. V S < x ) -> S < inf ( V , RR , < ) ) |
154 |
82 151 153
|
syl2anc |
|- ( ph -> S < inf ( V , RR , < ) ) |
155 |
25
|
eqcomi |
|- inf ( V , RR , < ) = Q |
156 |
155
|
a1i |
|- ( ph -> inf ( V , RR , < ) = Q ) |
157 |
154 156
|
breqtrd |
|- ( ph -> S < Q ) |
158 |
31 90 84 95 157
|
lelttrd |
|- ( ph -> ( A ` Z ) < Q ) |
159 |
31 84 158
|
ltled |
|- ( ph -> ( A ` Z ) <_ Q ) |
160 |
|
fiminre |
|- ( ( V C_ RR /\ V e. Fin /\ V =/= (/) ) -> E. x e. V A. y e. V x <_ y ) |
161 |
57 71 80 160
|
syl3anc |
|- ( ph -> E. x e. V A. y e. V x <_ y ) |
162 |
|
lbinfle |
|- ( ( V C_ RR /\ E. x e. V A. y e. V x <_ y /\ ( B ` Z ) e. V ) -> inf ( V , RR , < ) <_ ( B ` Z ) ) |
163 |
57 161 78 162
|
syl3anc |
|- ( ph -> inf ( V , RR , < ) <_ ( B ` Z ) ) |
164 |
25 163
|
eqbrtrid |
|- ( ph -> Q <_ ( B ` Z ) ) |
165 |
31 32 84 159 164
|
eliccd |
|- ( ph -> Q e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) ) |
166 |
84
|
recnd |
|- ( ph -> Q e. CC ) |
167 |
90
|
recnd |
|- ( ph -> S e. CC ) |
168 |
31
|
recnd |
|- ( ph -> ( A ` Z ) e. CC ) |
169 |
166 167 168
|
npncand |
|- ( ph -> ( ( Q - S ) + ( S - ( A ` Z ) ) ) = ( Q - ( A ` Z ) ) ) |
170 |
169
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( Q - ( A ` Z ) ) = ( ( Q - S ) + ( S - ( A ` Z ) ) ) ) |
171 |
170
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( G x. ( Q - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. ( ( Q - S ) + ( S - ( A ` Z ) ) ) ) ) |
172 |
|
rge0ssre |
|- ( 0 [,) +oo ) C_ RR |
173 |
2 3
|
ssfid |
|- ( ph -> Y e. Fin ) |
174 |
|
ssun1 |
|- Y C_ ( Y u. { Z } ) |
175 |
174 5
|
sseqtrri |
|- Y C_ W |
176 |
175
|
a1i |
|- ( ph -> Y C_ W ) |
177 |
6 176
|
fssresd |
|- ( ph -> ( A |` Y ) : Y --> RR ) |
178 |
7 176
|
fssresd |
|- ( ph -> ( B |` Y ) : Y --> RR ) |
179 |
1 173 177 178
|
hoidmvcl |
|- ( ph -> ( ( A |` Y ) ( L ` Y ) ( B |` Y ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
180 |
15 179
|
eqeltrid |
|- ( ph -> G e. ( 0 [,) +oo ) ) |
181 |
172 180
|
sselid |
|- ( ph -> G e. RR ) |
182 |
181
|
recnd |
|- ( ph -> G e. CC ) |
183 |
166 167
|
subcld |
|- ( ph -> ( Q - S ) e. CC ) |
184 |
167 168
|
subcld |
|- ( ph -> ( S - ( A ` Z ) ) e. CC ) |
185 |
182 183 184
|
adddid |
|- ( ph -> ( G x. ( ( Q - S ) + ( S - ( A ` Z ) ) ) ) = ( ( G x. ( Q - S ) ) + ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) ) ) |
186 |
182 183
|
mulcld |
|- ( ph -> ( G x. ( Q - S ) ) e. CC ) |
187 |
182 184
|
mulcld |
|- ( ph -> ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) e. CC ) |
188 |
186 187
|
addcomd |
|- ( ph -> ( ( G x. ( Q - S ) ) + ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) ) = ( ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) + ( G x. ( Q - S ) ) ) ) |
189 |
171 185 188
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( G x. ( Q - ( A ` Z ) ) ) = ( ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) + ( G x. ( Q - S ) ) ) ) |
190 |
84 90
|
jca |
|- ( ph -> ( Q e. RR /\ S e. RR ) ) |
191 |
|
resubcl |
|- ( ( Q e. RR /\ S e. RR ) -> ( Q - S ) e. RR ) |
192 |
190 191
|
syl |
|- ( ph -> ( Q - S ) e. RR ) |
193 |
181 192
|
jca |
|- ( ph -> ( G e. RR /\ ( Q - S ) e. RR ) ) |
194 |
|
remulcl |
|- ( ( G e. RR /\ ( Q - S ) e. RR ) -> ( G x. ( Q - S ) ) e. RR ) |
195 |
193 194
|
syl |
|- ( ph -> ( G x. ( Q - S ) ) e. RR ) |
196 |
90 31
|
jca |
|- ( ph -> ( S e. RR /\ ( A ` Z ) e. RR ) ) |
197 |
|
resubcl |
|- ( ( S e. RR /\ ( A ` Z ) e. RR ) -> ( S - ( A ` Z ) ) e. RR ) |
198 |
196 197
|
syl |
|- ( ph -> ( S - ( A ` Z ) ) e. RR ) |
199 |
181 198
|
jca |
|- ( ph -> ( G e. RR /\ ( S - ( A ` Z ) ) e. RR ) ) |
200 |
|
remulcl |
|- ( ( G e. RR /\ ( S - ( A ` Z ) ) e. RR ) -> ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) e. RR ) |
201 |
199 200
|
syl |
|- ( ph -> ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) e. RR ) |
202 |
195 201
|
jca |
|- ( ph -> ( ( G x. ( Q - S ) ) e. RR /\ ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) e. RR ) ) |
203 |
|
readdcl |
|- ( ( ( G x. ( Q - S ) ) e. RR /\ ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) e. RR ) -> ( ( G x. ( Q - S ) ) + ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) ) e. RR ) |
204 |
202 203
|
syl |
|- ( ph -> ( ( G x. ( Q - S ) ) + ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) ) e. RR ) |
205 |
188 204
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> ( ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) + ( G x. ( Q - S ) ) ) e. RR ) |
206 |
|
1red |
|- ( ph -> 1 e. RR ) |
207 |
16
|
rpred |
|- ( ph -> E e. RR ) |
208 |
206 207
|
readdcld |
|- ( ph -> ( 1 + E ) e. RR ) |
209 |
4
|
eldifbd |
|- ( ph -> -. Z e. Y ) |
210 |
30 209
|
eldifd |
|- ( ph -> Z e. ( W \ Y ) ) |
211 |
1 173 210 5 8 11 13 14 90
|
sge0hsphoire |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) |
212 |
208 211
|
remulcld |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. RR ) |
213 |
|
fzfid |
|- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin ) |
214 |
192
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( Q - S ) e. RR ) |
215 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ph ) |
216 |
|
elfznn |
|- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. NN ) |
217 |
216
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> j e. NN ) |
218 |
|
id |
|- ( j e. NN -> j e. NN ) |
219 |
|
ovexd |
|- ( j e. NN -> ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) e. _V ) |
220 |
20
|
fvmpt2 |
|- ( ( j e. NN /\ ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) e. _V ) -> ( P ` j ) = ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) ) |
221 |
218 219 220
|
syl2anc |
|- ( j e. NN -> ( P ` j ) = ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) ) |
222 |
221
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( P ` j ) = ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) ) |
223 |
173
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Y e. Fin ) |
224 |
175
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Y C_ W ) |
225 |
125 224
|
fssresd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) |` Y ) : Y --> RR ) |
226 |
225
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( ( C ` j ) |` Y ) : Y --> RR ) |
227 |
|
iftrue |
|- ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) = ( ( C ` j ) |` Y ) ) |
228 |
227
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) = ( ( C ` j ) |` Y ) ) |
229 |
228
|
feq1d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR <-> ( ( C ` j ) |` Y ) : Y --> RR ) ) |
230 |
226 229
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR ) |
231 |
|
0red |
|- ( ( ph /\ y e. Y ) -> 0 e. RR ) |
232 |
231 9
|
fmptd |
|- ( ph -> F : Y --> RR ) |
233 |
232
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> F : Y --> RR ) |
234 |
|
iffalse |
|- ( -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) = F ) |
235 |
234
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) = F ) |
236 |
235
|
feq1d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR <-> F : Y --> RR ) ) |
237 |
233 236
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR ) |
238 |
230 237
|
pm2.61dan |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR ) |
239 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN ) |
240 |
|
fvex |
|- ( C ` j ) e. _V |
241 |
240
|
resex |
|- ( ( C ` j ) |` Y ) e. _V |
242 |
241
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( C ` j ) |` Y ) e. _V ) |
243 |
2 3
|
ssexd |
|- ( ph -> Y e. _V ) |
244 |
|
mptexg |
|- ( Y e. _V -> ( y e. Y |-> 0 ) e. _V ) |
245 |
243 244
|
syl |
|- ( ph -> ( y e. Y |-> 0 ) e. _V ) |
246 |
9 245
|
eqeltrid |
|- ( ph -> F e. _V ) |
247 |
242 246
|
ifcld |
|- ( ph -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) e. _V ) |
248 |
247
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) e. _V ) |
249 |
10
|
fvmpt2 |
|- ( ( j e. NN /\ if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) e. _V ) -> ( J ` j ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) ) |
250 |
239 248 249
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( J ` j ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) ) |
251 |
250
|
feq1d |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( J ` j ) : Y --> RR <-> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR ) ) |
252 |
238 251
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( J ` j ) : Y --> RR ) |
253 |
49 224
|
fssresd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( D ` j ) |` Y ) : Y --> RR ) |
254 |
253
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( ( D ` j ) |` Y ) : Y --> RR ) |
255 |
|
iftrue |
|- ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) = ( ( D ` j ) |` Y ) ) |
256 |
255
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) = ( ( D ` j ) |` Y ) ) |
257 |
256
|
feq1d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR <-> ( ( D ` j ) |` Y ) : Y --> RR ) ) |
258 |
254 257
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR ) |
259 |
|
iffalse |
|- ( -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) = F ) |
260 |
259
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) = F ) |
261 |
260
|
feq1d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR <-> F : Y --> RR ) ) |
262 |
233 261
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR ) |
263 |
258 262
|
pm2.61dan |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR ) |
264 |
|
fvex |
|- ( D ` j ) e. _V |
265 |
264
|
resex |
|- ( ( D ` j ) |` Y ) e. _V |
266 |
265
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( D ` j ) |` Y ) e. _V ) |
267 |
266 246
|
ifcld |
|- ( ph -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) e. _V ) |
268 |
267
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) e. _V ) |
269 |
12
|
fvmpt2 |
|- ( ( j e. NN /\ if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) e. _V ) -> ( K ` j ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) ) |
270 |
239 268 269
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) ) |
271 |
270
|
feq1d |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( K ` j ) : Y --> RR <-> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) : Y --> RR ) ) |
272 |
263 271
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) : Y --> RR ) |
273 |
1 223 252 272
|
hoidmvcl |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
274 |
222 273
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( P ` j ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
275 |
172 274
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( P ` j ) e. RR ) |
276 |
215 217 275
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` j ) e. RR ) |
277 |
214 276
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) e. RR ) |
278 |
213 277
|
fsumrecl |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) e. RR ) |
279 |
208 278
|
remulcld |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) e. RR ) |
280 |
212 279
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) e. RR ) |
281 |
1 173 210 5 8 11 13 14 84
|
sge0hsphoire |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) |
282 |
208 281
|
remulcld |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. RR ) |
283 |
18 17
|
eleqtrdi |
|- ( ph -> S e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } ) |
284 |
|
oveq1 |
|- ( z = S -> ( z - ( A ` Z ) ) = ( S - ( A ` Z ) ) ) |
285 |
284
|
oveq2d |
|- ( z = S -> ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) ) |
286 |
|
fveq2 |
|- ( z = S -> ( H ` z ) = ( H ` S ) ) |
287 |
286
|
fveq1d |
|- ( z = S -> ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) = ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) |
288 |
287
|
oveq2d |
|- ( z = S -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
289 |
288
|
mpteq2dv |
|- ( z = S -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) |
290 |
289
|
fveq2d |
|- ( z = S -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
291 |
290
|
oveq2d |
|- ( z = S -> ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
292 |
285 291
|
breq12d |
|- ( z = S -> ( ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) <-> ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) |
293 |
292
|
elrab |
|- ( S e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } <-> ( S e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) |
294 |
283 293
|
sylib |
|- ( ph -> ( S e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) |
295 |
294
|
simprd |
|- ( ph -> ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
296 |
213 276
|
fsumrecl |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) e. RR ) |
297 |
208 296
|
remulcld |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) ) e. RR ) |
298 |
|
0red |
|- ( ph -> 0 e. RR ) |
299 |
90 84
|
posdifd |
|- ( ph -> ( S < Q <-> 0 < ( Q - S ) ) ) |
300 |
157 299
|
mpbid |
|- ( ph -> 0 < ( Q - S ) ) |
301 |
298 192 300
|
ltled |
|- ( ph -> 0 <_ ( Q - S ) ) |
302 |
181 297 192 301 22
|
lemul1ad |
|- ( ph -> ( G x. ( Q - S ) ) <_ ( ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) ) x. ( Q - S ) ) ) |
303 |
208
|
recnd |
|- ( ph -> ( 1 + E ) e. CC ) |
304 |
296
|
recnd |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) e. CC ) |
305 |
303 304 183
|
mulassd |
|- ( ph -> ( ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) ) x. ( Q - S ) ) = ( ( 1 + E ) x. ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) x. ( Q - S ) ) ) ) |
306 |
276
|
recnd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` j ) e. CC ) |
307 |
213 183 306
|
fsummulc1 |
|- ( ph -> ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) x. ( Q - S ) ) = sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( P ` j ) x. ( Q - S ) ) ) |
308 |
183
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( Q - S ) e. CC ) |
309 |
306 308
|
mulcomd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( P ` j ) x. ( Q - S ) ) = ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) |
310 |
309
|
sumeq2dv |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( P ` j ) x. ( Q - S ) ) = sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) |
311 |
307 310
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) x. ( Q - S ) ) = sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) |
312 |
311
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) x. ( Q - S ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
313 |
305 312
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( P ` j ) ) x. ( Q - S ) ) = ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
314 |
302 313
|
breqtrd |
|- ( ph -> ( G x. ( Q - S ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
315 |
201 195 212 279 295 314
|
leadd12dd |
|- ( ph -> ( ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) + ( G x. ( Q - S ) ) ) <_ ( ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) |
316 |
|
nnsplit |
|- ( M e. NN -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) |
317 |
21 316
|
syl |
|- ( ph -> NN = ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) |
318 |
|
uncom |
|- ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) |
319 |
318
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( 1 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) ) |
320 |
317 319
|
eqtr2d |
|- ( ph -> ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) = NN ) |
321 |
320
|
eqcomd |
|- ( ph -> NN = ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) ) |
322 |
321
|
mpteq1d |
|- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) |
323 |
322
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = ( sum^ ` ( j e. ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
324 |
|
nfv |
|- F/ j ph |
325 |
|
fvexd |
|- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) e. _V ) |
326 |
|
ovexd |
|- ( ph -> ( 1 ... M ) e. _V ) |
327 |
|
incom |
|- ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) i^i ( 1 ... M ) ) = ( ( 1 ... M ) i^i ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) |
328 |
|
nnuzdisj |
|- ( ( 1 ... M ) i^i ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = (/) |
329 |
327 328
|
eqtri |
|- ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) i^i ( 1 ... M ) ) = (/) |
330 |
329
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) i^i ( 1 ... M ) ) = (/) ) |
331 |
|
icossicc |
|- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) |
332 |
|
ssid |
|- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,) +oo ) |
333 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ph ) |
334 |
21
|
peano2nnd |
|- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN ) |
335 |
|
uznnssnn |
|- ( ( M + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN ) |
336 |
334 335
|
syl |
|- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN ) |
337 |
336
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN ) |
338 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) |
339 |
337 338
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> j e. NN ) |
340 |
|
snfi |
|- { Z } e. Fin |
341 |
340
|
a1i |
|- ( ph -> { Z } e. Fin ) |
342 |
|
unfi |
|- ( ( Y e. Fin /\ { Z } e. Fin ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin ) |
343 |
173 341 342
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( Y u. { Z } ) e. Fin ) |
344 |
5 343
|
eqeltrid |
|- ( ph -> W e. Fin ) |
345 |
344
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> W e. Fin ) |
346 |
|
eleq1w |
|- ( j = l -> ( j e. Y <-> l e. Y ) ) |
347 |
|
fveq2 |
|- ( j = l -> ( c ` j ) = ( c ` l ) ) |
348 |
347
|
breq1d |
|- ( j = l -> ( ( c ` j ) <_ x <-> ( c ` l ) <_ x ) ) |
349 |
348 347
|
ifbieq1d |
|- ( j = l -> if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) = if ( ( c ` l ) <_ x , ( c ` l ) , x ) ) |
350 |
346 347 349
|
ifbieq12d |
|- ( j = l -> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) = if ( l e. Y , ( c ` l ) , if ( ( c ` l ) <_ x , ( c ` l ) , x ) ) ) |
351 |
350
|
cbvmptv |
|- ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) = ( l e. W |-> if ( l e. Y , ( c ` l ) , if ( ( c ` l ) <_ x , ( c ` l ) , x ) ) ) |
352 |
351
|
mpteq2i |
|- ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( l e. W |-> if ( l e. Y , ( c ` l ) , if ( ( c ` l ) <_ x , ( c ` l ) , x ) ) ) ) |
353 |
352
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( j e. W |-> if ( j e. Y , ( c ` j ) , if ( ( c ` j ) <_ x , ( c ` j ) , x ) ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( l e. W |-> if ( l e. Y , ( c ` l ) , if ( ( c ` l ) <_ x , ( c ` l ) , x ) ) ) ) ) |
354 |
14 353
|
eqtri |
|- H = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m W ) |-> ( l e. W |-> if ( l e. Y , ( c ` l ) , if ( ( c ` l ) <_ x , ( c ` l ) , x ) ) ) ) ) |
355 |
90
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S e. RR ) |
356 |
354 355 345 49
|
hsphoif |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) : W --> RR ) |
357 |
1 345 125 356
|
hoidmvcl |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
358 |
333 339 357
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
359 |
332 358
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
360 |
331 359
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
361 |
215 217 357
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
362 |
331 361
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
363 |
324 325 326 330 360 362
|
sge0splitmpt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
364 |
|
nnex |
|- NN e. _V |
365 |
364
|
a1i |
|- ( ph -> NN e. _V ) |
366 |
331 357
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
367 |
324 365 366 211 336
|
sge0ssrempt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) |
368 |
37
|
a1i |
|- ( ph -> ( 1 ... M ) C_ NN ) |
369 |
324 365 366 211 368
|
sge0ssrempt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) |
370 |
|
rexadd |
|- ( ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR /\ ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
371 |
367 369 370
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
372 |
323 363 371
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
373 |
372
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) |
374 |
373
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) = ( ( ( 1 + E ) x. ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) |
375 |
372 211
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. RR ) |
376 |
375
|
recnd |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. CC ) |
377 |
278
|
recnd |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) e. CC ) |
378 |
303 376 377
|
adddid |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. ( ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) = ( ( ( 1 + E ) x. ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) |
379 |
378
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( ( ( 1 + E ) x. ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. ( ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) |
380 |
367
|
recnd |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. CC ) |
381 |
369
|
recnd |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. CC ) |
382 |
380 381 377
|
addassd |
|- ( ph -> ( ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) |
383 |
213 361
|
sge0fsummpt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
384 |
383
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
385 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
386 |
172 385
|
sstri |
|- ( 0 [,) +oo ) C_ CC |
387 |
386 357
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. CC ) |
388 |
215 217 387
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. CC ) |
389 |
192
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( Q - S ) e. RR ) |
390 |
389 275
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) e. RR ) |
391 |
390
|
recnd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) e. CC ) |
392 |
217 391
|
syldan |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) e. CC ) |
393 |
213 388 392
|
fsumadd |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
394 |
393
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
395 |
384 394
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
396 |
395
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) |
397 |
382 396
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) |
398 |
397
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. ( ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) ) |
399 |
374 379 398
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) ) |
400 |
172 357
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) e. RR ) |
401 |
400 390
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) e. RR ) |
402 |
215 217 401
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) e. RR ) |
403 |
213 402
|
fsumrecl |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) e. RR ) |
404 |
367 403
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) e. RR ) |
405 |
|
0le1 |
|- 0 <_ 1 |
406 |
405
|
a1i |
|- ( ph -> 0 <_ 1 ) |
407 |
16
|
rpge0d |
|- ( ph -> 0 <_ E ) |
408 |
206 207 406 407
|
addge0d |
|- ( ph -> 0 <_ ( 1 + E ) ) |
409 |
84
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Q e. RR ) |
410 |
354 409 345 49
|
hsphoif |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) : W --> RR ) |
411 |
1 345 125 410
|
hoidmvcl |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
412 |
331 411
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
413 |
324 365 412 281 336
|
sge0ssrempt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) |
414 |
172 411
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) e. RR ) |
415 |
215 217 414
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) e. RR ) |
416 |
213 415
|
fsumrecl |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) e. RR ) |
417 |
333 339 412
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
418 |
210
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. ( W \ Y ) ) |
419 |
90 84 157
|
ltled |
|- ( ph -> S <_ Q ) |
420 |
419
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S <_ Q ) |
421 |
1 345 418 5 355 409 420 354 125 49
|
hsphoidmvle2 |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
422 |
333 339 421
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
423 |
324 325 360 417 422
|
sge0lempt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) <_ ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
424 |
215
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ph ) |
425 |
217
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> j e. NN ) |
426 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( P ` j ) = 0 ) |
427 |
|
oveq2 |
|- ( ( P ` j ) = 0 -> ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) = ( ( Q - S ) x. 0 ) ) |
428 |
427
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) = ( ( Q - S ) x. 0 ) ) |
429 |
183
|
mul01d |
|- ( ph -> ( ( Q - S ) x. 0 ) = 0 ) |
430 |
429
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( Q - S ) x. 0 ) = 0 ) |
431 |
428 430
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) = 0 ) |
432 |
431
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + 0 ) ) |
433 |
387
|
addid1d |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + 0 ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
434 |
433
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + 0 ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
435 |
432 434
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
436 |
421
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
437 |
435 436
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
438 |
424 425 426 437
|
syl21anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
439 |
|
simpl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ -. ( P ` j ) = 0 ) -> ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) ) |
440 |
|
neqne |
|- ( -. ( P ` j ) = 0 -> ( P ` j ) =/= 0 ) |
441 |
440
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ -. ( P ` j ) = 0 ) -> ( P ` j ) =/= 0 ) |
442 |
402
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) e. RR ) |
443 |
215
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ph ) |
444 |
217
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> j e. NN ) |
445 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( P ` j ) =/= 0 ) |
446 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. ( X \ Y ) ) |
447 |
209
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> -. Z e. Y ) |
448 |
|
eqid |
|- prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) |
449 |
1 223 446 447 5 125 356 448
|
hoiprodp1 |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) = ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) ) ) |
450 |
449
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) = ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) ) ) |
451 |
222
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( P ` j ) = ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) ) |
452 |
223
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> Y e. Fin ) |
453 |
222
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( P ` j ) = ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) ) |
454 |
|
fveq2 |
|- ( Y = (/) -> ( L ` Y ) = ( L ` (/) ) ) |
455 |
454
|
oveqd |
|- ( Y = (/) -> ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) = ( ( J ` j ) ( L ` (/) ) ( K ` j ) ) ) |
456 |
455
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) = ( ( J ` j ) ( L ` (/) ) ( K ` j ) ) ) |
457 |
252
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( J ` j ) : Y --> RR ) |
458 |
|
id |
|- ( Y = (/) -> Y = (/) ) |
459 |
458
|
eqcomd |
|- ( Y = (/) -> (/) = Y ) |
460 |
459
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> (/) = Y ) |
461 |
460
|
feq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( ( J ` j ) : (/) --> RR <-> ( J ` j ) : Y --> RR ) ) |
462 |
457 461
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( J ` j ) : (/) --> RR ) |
463 |
272
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( K ` j ) : Y --> RR ) |
464 |
460
|
feq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( ( K ` j ) : (/) --> RR <-> ( K ` j ) : Y --> RR ) ) |
465 |
463 464
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( K ` j ) : (/) --> RR ) |
466 |
1 462 465
|
hoidmv0val |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( ( J ` j ) ( L ` (/) ) ( K ` j ) ) = 0 ) |
467 |
453 456 466
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ Y = (/) ) -> ( P ` j ) = 0 ) |
468 |
467
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ Y = (/) ) -> ( P ` j ) = 0 ) |
469 |
|
neneq |
|- ( ( P ` j ) =/= 0 -> -. ( P ` j ) = 0 ) |
470 |
469
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ Y = (/) ) -> -. ( P ` j ) = 0 ) |
471 |
468 470
|
pm2.65da |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> -. Y = (/) ) |
472 |
471
|
neqned |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> Y =/= (/) ) |
473 |
252
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( J ` j ) : Y --> RR ) |
474 |
272
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( K ` j ) : Y --> RR ) |
475 |
1 452 472 473 474
|
hoidmvn0val |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( J ` j ) ` k ) [,) ( ( K ` j ) ` k ) ) ) ) |
476 |
250
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( J ` j ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) ) |
477 |
222
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( P ` j ) = ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) ) |
478 |
250
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( J ` j ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) ) |
479 |
478 235
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( J ` j ) = F ) |
480 |
270
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( K ` j ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) ) |
481 |
480 260
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( K ` j ) = F ) |
482 |
479 481
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) = ( F ( L ` Y ) F ) ) |
483 |
1 173 232
|
hoidmvval0b |
|- ( ph -> ( F ( L ` Y ) F ) = 0 ) |
484 |
483
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( F ( L ` Y ) F ) = 0 ) |
485 |
477 482 484
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( P ` j ) = 0 ) |
486 |
485
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( P ` j ) = 0 ) |
487 |
469
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> -. ( P ` j ) = 0 ) |
488 |
486 487
|
condan |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) |
489 |
488
|
iftrued |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( C ` j ) |` Y ) , F ) = ( ( C ` j ) |` Y ) ) |
490 |
476 489
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( J ` j ) = ( ( C ` j ) |` Y ) ) |
491 |
490
|
fveq1d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( J ` j ) ` k ) = ( ( ( C ` j ) |` Y ) ` k ) ) |
492 |
491
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ k e. Y ) -> ( ( J ` j ) ` k ) = ( ( ( C ` j ) |` Y ) ` k ) ) |
493 |
|
fvres |
|- ( k e. Y -> ( ( ( C ` j ) |` Y ) ` k ) = ( ( C ` j ) ` k ) ) |
494 |
493
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( C ` j ) |` Y ) ` k ) = ( ( C ` j ) ` k ) ) |
495 |
492 494
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ k e. Y ) -> ( ( J ` j ) ` k ) = ( ( C ` j ) ` k ) ) |
496 |
270
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( K ` j ) = if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) ) |
497 |
488 255
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> if ( S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) , ( ( D ` j ) |` Y ) , F ) = ( ( D ` j ) |` Y ) ) |
498 |
496 497
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( K ` j ) = ( ( D ` j ) |` Y ) ) |
499 |
498
|
fveq1d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( K ` j ) ` k ) = ( ( ( D ` j ) |` Y ) ` k ) ) |
500 |
499
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ k e. Y ) -> ( ( K ` j ) ` k ) = ( ( ( D ` j ) |` Y ) ` k ) ) |
501 |
|
fvres |
|- ( k e. Y -> ( ( ( D ` j ) |` Y ) ` k ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
502 |
501
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( D ` j ) |` Y ) ` k ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
503 |
500 502
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ k e. Y ) -> ( ( K ` j ) ` k ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
504 |
495 503
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( J ` j ) ` k ) [,) ( ( K ` j ) ` k ) ) = ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) |
505 |
504
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( ( J ` j ) ` k ) [,) ( ( K ` j ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) |
506 |
505
|
prodeq2dv |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( J ` j ) ` k ) [,) ( ( K ` j ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) |
507 |
475 506
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) |
508 |
355
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> S e. RR ) |
509 |
345
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> W e. Fin ) |
510 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( D ` j ) : W --> RR ) |
511 |
|
elun1 |
|- ( k e. Y -> k e. ( Y u. { Z } ) ) |
512 |
511 5
|
eleqtrrdi |
|- ( k e. Y -> k e. W ) |
513 |
512
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> k e. W ) |
514 |
354 508 509 510 513
|
hsphoival |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = if ( k e. Y , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ S , ( ( D ` j ) ` k ) , S ) ) ) |
515 |
|
iftrue |
|- ( k e. Y -> if ( k e. Y , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ S , ( ( D ` j ) ` k ) , S ) ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
516 |
515
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> if ( k e. Y , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ S , ( ( D ` j ) ` k ) , S ) ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
517 |
514 516
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
518 |
517
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) = ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) |
519 |
518
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) |
520 |
519
|
prodeq2dv |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) |
521 |
520
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) ) |
522 |
521
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) ) |
523 |
451 507 522
|
3eqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = ( P ` j ) ) |
524 |
354 355 345 49 50
|
hsphoival |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) = if ( Z e. Y , ( ( D ` j ) ` Z ) , if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) ) |
525 |
209
|
iffalsed |
|- ( ph -> if ( Z e. Y , ( ( D ` j ) ` Z ) , if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) = if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) |
526 |
525
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( Z e. Y , ( ( D ` j ) ` Z ) , if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) = if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) |
527 |
524 526
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) = if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) |
528 |
527
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) ) |
529 |
528
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) ) |
530 |
126
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR* ) |
531 |
530
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR* ) |
532 |
51
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR* ) |
533 |
532
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR* ) |
534 |
|
icoltub |
|- ( ( ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR* /\ ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR* /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> S < ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
535 |
531 533 488 534
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> S < ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
536 |
355
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> S e. RR ) |
537 |
51
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR ) |
538 |
536 537
|
ltnled |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( S < ( ( D ` j ) ` Z ) <-> -. ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S ) ) |
539 |
535 538
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> -. ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S ) |
540 |
539
|
iffalsed |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) = S ) |
541 |
540
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ S , ( ( D ` j ) ` Z ) , S ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) S ) ) |
542 |
529 541
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) S ) ) |
543 |
542
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) S ) ) ) |
544 |
|
volico |
|- ( ( ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR /\ S e. RR ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) S ) ) = if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) ) |
545 |
126 536 544
|
syl2an |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) S ) ) = if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) ) |
546 |
545
|
anabss5 |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) S ) ) = if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) ) |
547 |
|
iftrue |
|- ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S -> if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) = ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
548 |
547
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) = ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
549 |
|
iffalse |
|- ( -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S -> if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) = 0 ) |
550 |
549
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) = 0 ) |
551 |
|
simpll |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> ( ph /\ j e. NN ) ) |
552 |
|
icogelb |
|- ( ( ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR* /\ ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR* /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) <_ S ) |
553 |
531 533 488 552
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) <_ S ) |
554 |
553
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) <_ S ) |
555 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) |
556 |
554 555
|
jca |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) <_ S /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) ) |
557 |
551 126
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR ) |
558 |
551 355
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> S e. RR ) |
559 |
557 558
|
eqleltd |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) = S <-> ( ( ( C ` j ) ` Z ) <_ S /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) ) ) |
560 |
556 559
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) = S ) |
561 |
|
id |
|- ( ( ( C ` j ) ` Z ) = S -> ( ( C ` j ) ` Z ) = S ) |
562 |
561
|
eqcomd |
|- ( ( ( C ` j ) ` Z ) = S -> S = ( ( C ` j ) ` Z ) ) |
563 |
562
|
oveq1d |
|- ( ( ( C ` j ) ` Z ) = S -> ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
564 |
563
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( ( C ` j ) ` Z ) = S ) -> ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
565 |
385 126
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. CC ) |
566 |
565
|
subidd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) - ( ( C ` j ) ` Z ) ) = 0 ) |
567 |
566
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( ( C ` j ) ` Z ) = S ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) - ( ( C ` j ) ` Z ) ) = 0 ) |
568 |
564 567
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( ( C ` j ) ` Z ) = S ) -> 0 = ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
569 |
551 560 568
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> 0 = ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
570 |
550 569
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( C ` j ) ` Z ) < S ) -> if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) = ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
571 |
548 570
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < S , ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) = ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
572 |
543 546 571
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) = ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
573 |
523 572
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) ) = ( ( P ` j ) x. ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) ) |
574 |
386 274
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( P ` j ) e. CC ) |
575 |
355 126
|
resubcld |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) e. RR ) |
576 |
575
|
recnd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) e. CC ) |
577 |
574 576
|
mulcomd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( P ` j ) x. ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) = ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
578 |
577
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( P ` j ) x. ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) = ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
579 |
450 573 578
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
580 |
579
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
581 |
183
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( Q - S ) e. CC ) |
582 |
576 581 574
|
adddird |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) + ( Q - S ) ) x. ( P ` j ) ) = ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) |
583 |
582
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) + ( Q - S ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
584 |
583
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) + ( Q - S ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
585 |
576 581
|
addcomd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) + ( Q - S ) ) = ( ( Q - S ) + ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) ) |
586 |
166
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Q e. CC ) |
587 |
167
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S e. CC ) |
588 |
586 587 565
|
npncand |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( Q - S ) + ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) = ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
589 |
585 588
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) + ( Q - S ) ) = ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
590 |
589
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) + ( Q - S ) ) x. ( P ` j ) ) = ( ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
591 |
590
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( S - ( ( C ` j ) ` Z ) ) + ( Q - S ) ) x. ( P ` j ) ) = ( ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
592 |
580 584 591
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
593 |
443 444 445 592
|
syl21anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
594 |
|
eqid |
|- prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) |
595 |
1 223 50 447 5 125 410 594
|
hoiprodp1 |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) = ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) ) ) |
596 |
215 217 595
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) = ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) ) ) |
597 |
596
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) = ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) ) ) |
598 |
507
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) = ( ( J ` j ) ( L ` Y ) ( K ` j ) ) ) |
599 |
409
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> Q e. RR ) |
600 |
354 599 509 510 513
|
hsphoival |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = if ( k e. Y , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` k ) , Q ) ) ) |
601 |
|
iftrue |
|- ( k e. Y -> if ( k e. Y , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` k ) , Q ) ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
602 |
601
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> if ( k e. Y , ( ( D ` j ) ` k ) , if ( ( ( D ` j ) ` k ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` k ) , Q ) ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
603 |
600 602
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) = ( ( D ` j ) ` k ) ) |
604 |
603
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) = ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) |
605 |
604
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) |
606 |
605
|
prodeq2dv |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) |
607 |
606
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) |
608 |
598 607 451
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = ( P ` j ) ) |
609 |
443 444 445 608
|
syl21anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) = ( P ` j ) ) |
610 |
354 409 345 49 50
|
hsphoival |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) = if ( Z e. Y , ( ( D ` j ) ` Z ) , if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) ) ) |
611 |
217 610
|
syldan |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) = if ( Z e. Y , ( ( D ` j ) ` Z ) , if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) ) ) |
612 |
611
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) = if ( Z e. Y , ( ( D ` j ) ` Z ) , if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) ) ) |
613 |
209
|
iffalsed |
|- ( ph -> if ( Z e. Y , ( ( D ` j ) ` Z ) , if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) ) = if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) ) |
614 |
613
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> if ( Z e. Y , ( ( D ` j ) ` Z ) , if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) ) = if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) ) |
615 |
217 51
|
syldan |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR ) |
616 |
615
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR ) |
617 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) |
618 |
616 617
|
eqled |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q ) |
619 |
618
|
iftrued |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) = ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
620 |
619 617
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) = Q ) |
621 |
620
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) = Q ) |
622 |
84
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> Q e. RR ) |
623 |
622
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> Q e. RR ) |
624 |
623
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> Q e. RR ) |
625 |
615
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR ) |
626 |
625
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. RR ) |
627 |
25
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> Q = inf ( V , RR , < ) ) |
628 |
443 57
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> V C_ RR ) |
629 |
161
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> E. x e. V A. y e. V x <_ y ) |
630 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> j e. ( 1 ... M ) ) |
631 |
216 488
|
sylanl2 |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) |
632 |
630 631
|
jca |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( j e. ( 1 ... M ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) |
633 |
|
rabid |
|- ( j e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } <-> ( j e. ( 1 ... M ) /\ S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) ) |
634 |
632 633
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> j e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ) |
635 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
636 |
|
fveq2 |
|- ( i = j -> ( D ` i ) = ( D ` j ) ) |
637 |
636
|
fveq1d |
|- ( i = j -> ( ( D ` i ) ` Z ) = ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
638 |
637
|
eqeq2d |
|- ( i = j -> ( ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` i ) ` Z ) <-> ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` j ) ` Z ) ) ) |
639 |
638
|
rspcev |
|- ( ( j e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } /\ ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` j ) ` Z ) ) -> E. i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
640 |
634 635 639
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> E. i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } ( ( D ` j ) ` Z ) = ( ( D ` i ) ` Z ) ) |
641 |
|
fvexd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. _V ) |
642 |
35 640 641
|
elrnmptd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. ran ( i e. { j e. ( 1 ... M ) | S e. ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( D ` j ) ` Z ) ) } |-> ( ( D ` i ) ` Z ) ) ) |
643 |
642 23
|
eleqtrrdi |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. O ) |
644 |
|
elun2 |
|- ( ( ( D ` j ) ` Z ) e. O -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. ( { ( B ` Z ) } u. O ) ) |
645 |
643 644
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. ( { ( B ` Z ) } u. O ) ) |
646 |
76
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( { ( B ` Z ) } u. O ) = V ) |
647 |
645 646
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) e. V ) |
648 |
|
lbinfle |
|- ( ( V C_ RR /\ E. x e. V A. y e. V x <_ y /\ ( ( D ` j ) ` Z ) e. V ) -> inf ( V , RR , < ) <_ ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
649 |
628 629 647 648
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> inf ( V , RR , < ) <_ ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
650 |
627 649
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> Q <_ ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
651 |
650
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> Q <_ ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
652 |
|
neqne |
|- ( -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q -> ( ( D ` j ) ` Z ) =/= Q ) |
653 |
652
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> ( ( D ` j ) ` Z ) =/= Q ) |
654 |
624 626 651 653
|
leneltd |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> Q < ( ( D ` j ) ` Z ) ) |
655 |
624 626
|
ltnled |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> ( Q < ( ( D ` j ) ` Z ) <-> -. ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q ) ) |
656 |
654 655
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> -. ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q ) |
657 |
656
|
iffalsed |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) /\ -. ( ( D ` j ) ` Z ) = Q ) -> if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) = Q ) |
658 |
621 657
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> if ( ( ( D ` j ) ` Z ) <_ Q , ( ( D ` j ) ` Z ) , Q ) = Q ) |
659 |
612 614 658
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) = Q ) |
660 |
659
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) = ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) Q ) ) |
661 |
660
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) Q ) ) ) |
662 |
215 217 126
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR ) |
663 |
662
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR ) |
664 |
443 84
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> Q e. RR ) |
665 |
|
volico |
|- ( ( ( ( C ` j ) ` Z ) e. RR /\ Q e. RR ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) Q ) ) = if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < Q , ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) ) |
666 |
663 664 665
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) Q ) ) = if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < Q , ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) ) |
667 |
443 90
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> S e. RR ) |
668 |
443 444 445 553
|
syl21anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) <_ S ) |
669 |
443 157
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> S < Q ) |
670 |
663 667 664 668 669
|
lelttrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) < Q ) |
671 |
670
|
iftrued |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> if ( ( ( C ` j ) ` Z ) < Q , ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) , 0 ) = ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
672 |
661 666 671
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) = ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) |
673 |
609 672
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( prod_ k e. Y ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` k ) ) ) x. ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` Z ) [,) ( ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ` Z ) ) ) ) = ( ( P ` j ) x. ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) ) |
674 |
215 166
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> Q e. CC ) |
675 |
385 662
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ` Z ) e. CC ) |
676 |
674 675
|
subcld |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) e. CC ) |
677 |
306 676
|
mulcomd |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( P ` j ) x. ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) = ( ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
678 |
677
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( P ` j ) x. ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) ) = ( ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
679 |
597 673 678
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( Q - ( ( C ` j ) ` Z ) ) x. ( P ` j ) ) ) |
680 |
593 679
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
681 |
442 680
|
eqled |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ ( P ` j ) =/= 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
682 |
439 441 681
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ -. ( P ` j ) = 0 ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
683 |
438 682
|
pm2.61dan |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) <_ ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
684 |
213 402 415 683
|
fsumle |
|- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
685 |
367 403 413 416 423 684
|
leadd12dd |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) <_ ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) |
686 |
321
|
mpteq1d |
|- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) |
687 |
686
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = ( sum^ ` ( j e. ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
688 |
217 412
|
syldan |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
689 |
324 325 326 330 417 688
|
sge0splitmpt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) u. ( 1 ... M ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
690 |
687 689
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
691 |
215 217 411
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
692 |
213 691
|
sge0fsummpt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
693 |
692 416
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) |
694 |
|
rexadd |
|- ( ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR /\ ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
695 |
413 693 694
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) +e ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
696 |
692
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + ( sum^ ` ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) |
697 |
690 695 696
|
3eqtrrd |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
698 |
685 697
|
breqtrd |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
699 |
404 281 208 408 698
|
lemul2ad |
|- ( ph -> ( ( 1 + E ) x. ( ( sum^ ` ( j e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) + sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) + ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
700 |
399 699
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> ( ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` S ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) + ( ( 1 + E ) x. sum_ j e. ( 1 ... M ) ( ( Q - S ) x. ( P ` j ) ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
701 |
205 280 282 315 700
|
letrd |
|- ( ph -> ( ( G x. ( S - ( A ` Z ) ) ) + ( G x. ( Q - S ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
702 |
189 701
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> ( G x. ( Q - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
703 |
165 702
|
jca |
|- ( ph -> ( Q e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( Q - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) |
704 |
|
oveq1 |
|- ( z = Q -> ( z - ( A ` Z ) ) = ( Q - ( A ` Z ) ) ) |
705 |
704
|
oveq2d |
|- ( z = Q -> ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) = ( G x. ( Q - ( A ` Z ) ) ) ) |
706 |
|
fveq2 |
|- ( z = Q -> ( H ` z ) = ( H ` Q ) ) |
707 |
706
|
fveq1d |
|- ( z = Q -> ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) = ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) |
708 |
707
|
oveq2d |
|- ( z = Q -> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) = ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) |
709 |
708
|
mpteq2dv |
|- ( z = Q -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) |
710 |
709
|
fveq2d |
|- ( z = Q -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) = ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
711 |
710
|
oveq2d |
|- ( z = Q -> ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) |
712 |
705 711
|
breq12d |
|- ( z = Q -> ( ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) <-> ( G x. ( Q - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) |
713 |
712
|
elrab |
|- ( Q e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } <-> ( Q e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) /\ ( G x. ( Q - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` Q ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) |
714 |
703 713
|
sylibr |
|- ( ph -> Q e. { z e. ( ( A ` Z ) [,] ( B ` Z ) ) | ( G x. ( z - ( A ` Z ) ) ) <_ ( ( 1 + E ) x. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` W ) ( ( H ` z ) ` ( D ` j ) ) ) ) ) ) } ) |
715 |
714 17
|
eleqtrrdi |
|- ( ph -> Q e. U ) |
716 |
|
breq2 |
|- ( u = Q -> ( S < u <-> S < Q ) ) |
717 |
716
|
rspcev |
|- ( ( Q e. U /\ S < Q ) -> E. u e. U S < u ) |
718 |
715 157 717
|
syl2anc |
|- ( ph -> E. u e. U S < u ) |