Theorem selvvvval

Description: Recover the original polynomial from a selectVars application. (Contributed by SN, 15-Mar-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	selvvvval.d	⊢ 𝐷 = { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin }
	selvvvval.p	⊢ 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
	selvvvval.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑃 )
	selvvvval.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
	selvvvval.j	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
	selvvvval.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
	selvvvval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷 )
Assertion	selvvvval	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvvvval.d	⊢ 𝐷 = { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin }
2		selvvvval.p	⊢ 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
3		selvvvval.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑃 )
4		selvvvval.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
5		selvvvval.j	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
6		selvvvval.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
7		selvvvval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷 )
8		eqid	⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 )
9		eqid	⊢ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
10		eqid	⊢ ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
11		eqid	⊢ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
12	2 3 8 9 10 11 4 5 6	selvval2	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) = ( ( ( 𝐼 eval ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) )
13		eqid	⊢ ( 𝐼 eval ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 𝐼 eval ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
14		eqid	⊢ ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
15		eqid	⊢ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
16		eqid	⊢ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
17		eqid	⊢ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
18		eqid	⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
19		eqid	⊢ ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
20	2 3	mplrcl	⊢ ( 𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V )
21	6 20	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ V )
22	21 5	ssexd	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ V )
23	21	difexd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V )
24	8 23 4	mplcrngd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CRing )
25	9 22 24	mplcrngd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CRing )
26	9	mplassa	⊢ ( ( 𝐽 ∈ V ∧ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CRing ) → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg )
27	22 24 26	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg )
28		eqid	⊢ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
29	10 28	asclrhm	⊢ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
30	27 29	syl	⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
31	8	mplassa	⊢ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg )
32	23 4 31	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg )
33		eqid	⊢ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
34		eqid	⊢ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
35	33 34	asclrhm	⊢ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) RingHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
36	32 35	syl	⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) RingHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
37	8 23 4	mplsca	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
38	37	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = 𝑅 )
39	9 22 24	mplsca	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) = ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
40	38 39	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) RingHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 𝑅 RingHom ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
41	36 40	eleqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
42		rhmco	⊢ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∧ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
43	30 41 42	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
44		rhmghm	⊢ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
45		ghmmhm	⊢ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
46	43 44 45	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
47	2 14 3 15 46 6	mhmcompl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
48		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ V )
49		eqid	⊢ ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
50	24	crngringd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ Ring )
51	9 49 16 22 50	mvrf2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) : 𝐽 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
52	51	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
53	52	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
54		eldif	⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽 ) )
55		eqid	⊢ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
56	9 16 55 10 22 50	mplasclf	⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
57	56	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
58		eqid	⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 )
59	4	crngringd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
60	8 58 55 23 59	mvrf2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
61	60	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
62	57 61	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
63	54 62	sylan2br	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
64	63	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽 ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
65	53 64	ifclda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
66	65	fmpttd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
67	48 21 66	elmapdd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↑m 𝐼 ) )
68	13 14 15 1 16 17 18 19 21 25 47 67	evlvvval	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 eval ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
69		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
70	2 69 3 1 6	mplelf	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
71	70	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
72		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 ∈ 𝐷 )
73	71 72	fvco3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) )
74	8 55 69 33 23 59	mplasclf	⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) : ( Base ‘ 𝑅 ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
75	74	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) : ( Base ‘ 𝑅 ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
76	70	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
77	75 76	fvco3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) )
78	73 77	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) )
79	17 16	mgpbas	⊢ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
80		eqid	⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
81	17 19	mgpplusg	⊢ ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( +g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
82	17	crngmgp	⊢ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CRing → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CMnd )
83	25 82	syl	⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CMnd )
84	83	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CMnd )
85	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐼 ∈ V )
86	83	cmnmndd	⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ Mnd )
87	86	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ Mnd )
88	1	psrbagf	⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐷 → 𝑔 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
89	88	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
90	89	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
91		eqid	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) )
92		eleq1w	⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → ( 𝑧 ∈ 𝐽 ↔ 𝑘 ∈ 𝐽 ) )
93		fveq2	⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) )
94		fveq2	⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
95	94	fveq2d	⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
96	92 93 95	ifbieq12d	⊢ ( 𝑧 = 𝑘 → if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
97		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑘 ∈ 𝐼 )
98	51	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) : 𝐽 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
99	98	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
100		eldif	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 ) )
101	56	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
102	60	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
103	101 102	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
104	100 103	sylan2br	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
105	104	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
106	105	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
107	99 106	ifclda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
108	91 96 97 107	fvmptd3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
109	108 107	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
110	79 18 87 90 109	mulgnn0cld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
111	110	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
112	89	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) )
113	1	psrbagfsupp	⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐷 → 𝑔 finSupp 0 )
114	113	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 finSupp 0 )
115	112 114	eqbrtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) finSupp 0 )
116	79 80 18	mulg0	⊢ ( 𝑡 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) 𝑡 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
117	116	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) 𝑡 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
118		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ V )
119	115 117 90 109 118	fsuppssov1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
120		disjdifr	⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∩ 𝐽 ) = ∅
121	120	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∩ 𝐽 ) = ∅ )
122		undifr	⊢ ( 𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) = 𝐼 )
123	5 122	sylib	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) = 𝐼 )
124	123	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) )
125	124	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐼 = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) )
126	79 80 81 84 85 111 119 121 125	gsumsplit	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) ) )
127		eldifi	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) → 𝑘 ∈ 𝐼 )
128	127	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ 𝐼 )
129	127 107	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
130	91 96 128 129	fvmptd3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
131		eldifn	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 )
132	131	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐽 )
133	132	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
134	130 133	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
135	134	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
136		eqid	⊢ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
137	136 17	rhmmhm	⊢ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
138	30 137	syl	⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
139	138	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
140	127 90	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
141	102	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
142	39	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
143	142	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
144	141 143	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
145		eqid	⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
146	136 145	mgpbas	⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
147		eqid	⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
148	146 147 18	mhmmulg	⊢ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
149	139 140 144 148	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
150	135 149	eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
151	150	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
152		difssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⊆ 𝐼 )
153	152	resmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
154	56	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
155	39	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
156	155	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
157	156	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
158	157	oveqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
159		eqid	⊢ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
160	159 55	mgpbas	⊢ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
161		eqid	⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
162	159	crngmgp	⊢ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CRing → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CMnd )
163	24 162	syl	⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CMnd )
164	163	cmnmndd	⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ Mnd )
165	164	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ Mnd )
166	160 161 165 140 141	mulgnn0cld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
167	158 166	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
168	154 167	cofmpt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
169	151 153 168	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
170	169	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
171		eqid	⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
172	39 24	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CRing )
173	136	crngmgp	⊢ ( ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ CRing → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ CMnd )
174	172 173	syl	⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ CMnd )
175	174	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ CMnd )
176	86	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ Mnd )
177	23	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V )
178	138	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
179	167 143	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
180	179	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
181		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 0 ∈ ℤ )
182	115 152 181	fmptssfisupp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) finSupp 0 )
183	142	eqimssd	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ⊆ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
184	183	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
185	184	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
186	146 171 147	mulg0	⊢ ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) 𝑢 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
187	185 186	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑢 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) 𝑢 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
188		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ∈ V )
189	182 187 140 141 188	fsuppssov1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) )
190	146 171 175 176 177 178 180 189	gsummhm	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
191	170 190	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
192	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
193	192	resmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) = ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
194	192	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → 𝑘 ∈ 𝐼 )
195	194 107	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
196	91 96 194 195	fvmptd3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
197		iftrue	⊢ ( 𝑘 ∈ 𝐽 → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) )
198	197	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) )
199	196 198	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) )
200	199	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
201	200	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
202	193 201	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) = ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
203	202	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
204	191 203	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
205	27	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg )
206	146 171 175 177 180 189	gsumcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
207	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝐽 ∈ V )
208	86	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ Mnd )
209	194 90	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
210	51	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
211	210	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
212	79 18 208 209 211	mulgnn0cld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
213	212	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) : 𝐽 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
214	115 192 181	fmptssfisupp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ) finSupp 0 )
215	214 117 209 211 118	fsuppssov1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
216	79 80 84 207 213 215	gsumcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
217		eqid	⊢ ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
218	10 28 145 16 19 217	asclmul1	⊢ ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg ∧ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
219	205 206 216 218	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
220	156	oveqd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
221	220	mpteq2dv	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
222	155 221	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
223	222	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
224	223	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
225	219 224	eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
226	126 204 225	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
227	78 226	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
228	75 76	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
229	142	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
230	228 229	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
231	9 22 50	mpllmodd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ LMod )
232	231	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ LMod )
233		eqid	⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
234	163	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CMnd )
235	166	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
236	160 233 161	mulg0	⊢ ( 𝑒 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) 𝑒 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
237	236	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑒 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) 𝑒 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
238		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ V )
239	182 237 140 141 238	fsuppssov1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
240	160 233 234 177 235 239	gsumcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
241	240 229	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
242	16 28 217 145 232 241 216	lmodvscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
243	10 28 145 16 19 217	asclmul1	⊢ ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ AssAlg ∧ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
244	205 230 242 243	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
245	227 244	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
246	245	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
247	246	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑧 ∈ 𝐽 , ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑧 ) , ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑧 ) ) ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) )
248	12 68 247	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) = ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) )
249	248	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
250	249	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
251		eqid	⊢ ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
252	50	ringcmnd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CMnd )
253	4	crnggrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Grp )
254	253	grpmndd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd )
255		ovex	⊢ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∈ V
256	1 255	rabex2	⊢ 𝐷 ∈ V
257	256	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ V )
258		eqid	⊢ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } = { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin }
259		eqid	⊢ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
260		difssd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⊆ 𝐼 )
261	1 258 21 260 7	psrbagres	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } )
262	8 55 258 259 23 253 261	mplmapghm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) GrpHom 𝑅 ) )
263		ghmmhm	⊢ ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) GrpHom 𝑅 ) → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) MndHom 𝑅 ) )
264	262 263	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) MndHom 𝑅 ) )
265		eqid	⊢ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } = { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin }
266		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
267	9 55 16 265 266	mplelf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → 𝑤 : { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
268	1 265 21 5 7	psrbagres	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } )
269	268	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } )
270	267 269	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
271	270	fmpttd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) : ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
272	16 28 217 145 232 230 242	lmodvscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
273	272	fmpttd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
274	271 273	fcod	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
275		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ V )
276	25	crngringd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ Ring )
277		eqid	⊢ ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
278	16 277	ring0cl	⊢ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ Ring → ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
279	276 278	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
280		ssidd	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ⊆ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
281	256	mptex	⊢ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ∈ V
282	281	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) ∈ V )
283		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ∈ V )
284		funmpt	⊢ Fun ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) )
285	284	a1i	⊢ ( 𝜑 → Fun ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) )
286		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
287	2 3 286 6	mplelsfi	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
288		ssidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
289		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
290	70 288 6 289	suppssrg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
291	290	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
292	8 33 286 251 23 59	mplascl0	⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
293	39	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
294	292 293	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
295	294	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
296	291 295	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
297	296 257	suppss2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) supp ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ) ⊆ ( 𝐹 supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
298	282 283 285 287 297	fsuppsssuppgd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) )
299		eqid	⊢ ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
300	16 28 217 299 277	lmod0vs	⊢ ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ LMod ∧ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) 𝑓 ) = ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
301	231 300	sylan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) 𝑓 ) = ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
302		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ V )
303	298 301 228 242 302	fsuppssov1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
304		eqid	⊢ ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
305	24	crnggrpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ Grp )
306	9 16 265 304 22 305 268	mplmapghm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) GrpHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
307		ghmmhm	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) GrpHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) MndHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
308	306 307	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) MndHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
309	277 251	mhm0	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) MndHom ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
310	308 309	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 0g ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
311	275 279 273 271 280 257 48 303 310	fsuppcor	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
312	55 251 252 254 257 264 274 311	gsummhm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
313		fveq1	⊢ ( 𝑣 = ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
314	55 251 252 257 274 311	gsumcl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
315		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ∈ V )
316	259 313 314 315	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
317	276	ringcmnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ CMnd )
318	305	grpmndd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ Mnd )
319	16 277 317 318 257 308 273 303	gsummhm	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
320		fveq1	⊢ ( 𝑤 = ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
321	16 277 317 257 273 303	gsumcl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
322		fvexd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ∈ V )
323	304 320 321 322	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
324	319 323	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
325	324	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) Σg ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
326	312 316 325	3eqtrrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
327	9 55 16 265 272	mplelf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) : { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
328	268	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } )
329	327 328	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
330		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
331		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
332		fveq1	⊢ ( 𝑤 = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
333	272 330 331 332	fmptco	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
334		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
335		fveq1	⊢ ( 𝑣 = ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) → ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
336	329 333 334 335	fmptco	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
337		eqid	⊢ ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
338	9 217 55 16 337 265 228 242 328	mplvscaval	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
339	9 217 55 16 337 265 240 216 328	mplvscaval	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
340	339	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
341	32	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg )
342	37	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
343	342	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
344	76 343	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
345	50	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ Ring )
346	9 55 16 265 216	mplelf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) : { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
347	346 328	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
348	55 337 345 240 347	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
349		eqid	⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
350		eqid	⊢ ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
351	33 34 349 55 337 350	asclmul1	⊢ ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ AssAlg ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
352	341 344 348 351	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
353	338 340 352	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
354	353	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
355		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
356	261	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } )
357	8 350 69 55 355 258 76 348 356	mplvscaval	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
358		ovif2	⊢ ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
359	358	fveq1i	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
360		iffv	⊢ ( if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) , ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
361	359 360	eqtri	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
362		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ↔ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
363	362	ifbid	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
364		eqid	⊢ ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) )
365		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
366	59	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 ∈ Ring )
367	1 258 85 152 72	psrbagres	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } )
368	8 55 286 365 258 177 366 367	mplmon	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
369	55 337 364 345 368	ringridmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
370		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ V )
371		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
372	370 371	ifcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ V )
373	363 369 356 372	fvmptd4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
374	55 337 251 345 368	ringrzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) )
375	8 258 286 251 23 253	mpl0	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
376	375	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) = ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
377	374 376	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
378	377	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
379		fvex	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V
380	379	fvconst2	⊢ ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } → ( ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
381	356 380	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
382	378 381	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
383	373 382	ifeq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
384	361 383	eqtrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
385	384	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
386		ifan	⊢ if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) )
387	386	oveq2i	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
388	1	psrbagf	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
389	7 388	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
390	389	ffnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼 )
391	390	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑌 Fn 𝐼 )
392		undif	⊢ ( 𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝐼 )
393	5 392	sylib	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝐼 )
394	393	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝐼 )
395	394	fneq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑌 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ↔ 𝑌 Fn 𝐼 ) )
396	391 395	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑌 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
397	89	ffnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 Fn 𝐼 )
398	394	fneq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑔 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ↔ 𝑔 Fn 𝐼 ) )
399	397 398	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑔 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
400		eqfnun	⊢ ( ( 𝑌 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∧ 𝑔 Fn ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑌 = 𝑔 ↔ ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
401	396 399 400	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑌 = 𝑔 ↔ ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
402	401	ifbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
403	402	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
404		ovif2	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
405	403 404	eqtr3di	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∧ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
406	387 405	eqtr3id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , if ( ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
407	385 406	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
408	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 ∈ CRing )
409	8 258 286 365 177 159 161 58 408 367	mplcoe2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
410		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) )
411	410	fvresd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) )
412	411	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
413	412	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
414	413	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
415	409 414	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
416		eqid	⊢ ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
417		eqeq1	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) → ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ↔ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ) )
418	417	ifbid	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) → if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
419		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ V )
420		fvexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ∈ V )
421	419 420	ifcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ∈ V )
422	416 418 328 421	fvmptd3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) )
423	24	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ∈ CRing )
424	1 265 85 192 72	psrbagres	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } )
425	9 265 251 364 207 17 18 49 423 424	mplcoe2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
426		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → 𝑘 ∈ 𝐽 )
427	426	fvresd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) )
428	427	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐽 ) → ( ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
429	428	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
430	429	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
431	425 430	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
432	431	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑗 ∈ { 𝑥 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑥 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑗 = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
433	422 432	eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) )
434	415 433	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) )
435	434	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
436	435	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑖 ∈ { 𝑦 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑦 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ if ( 𝑖 = ( 𝑔 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) if ( ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) = ( 𝑔 ↾ 𝐽 ) , ( 1r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) , ( 0g ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
437	69 355 365 366 76	ringridmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) )
438	69 355 286 366 76	ringrzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
439	437 438	ifeq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
440	407 436 439	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( .r ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
441	354 357 440	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
442	441	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
443	336 442	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
444	443	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) )
445	59	ringcmnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd )
446	69 286	ring0cl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
447	59 446	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
448	447	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
449	76 448	ifcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐷 ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
450	449	fmpttd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) : 𝐷 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
451		eldifsnneq	⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑌 } ) → ¬ 𝑔 = 𝑌 )
452	451	neqcomd	⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑌 } ) → ¬ 𝑌 = 𝑔 )
453	452	iffalsed	⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑌 } ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
454	453	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑌 } ) ) → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
455	454 257	suppss2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ⊆ { 𝑌 } )
456	257	mptexd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∈ V )
457		funmpt	⊢ Fun ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
458	457	a1i	⊢ ( 𝜑 → Fun ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
459		snfi	⊢ { 𝑌 } ∈ Fin
460	459	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑌 } ∈ Fin )
461	460 455	ssfid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ Fin )
462	456 447 458 461	isfsuppd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
463	69 286 445 257 450 455 462	gsumres	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ↾ { 𝑌 } ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) )
464	7	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝑌 } ⊆ 𝐷 )
465	464	resmptd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ↾ { 𝑌 } ) = ( 𝑔 ∈ { 𝑌 } ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
466	465	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ↾ { 𝑌 } ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ { 𝑌 } ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) )
467	70 7	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
468		iftrue	⊢ ( 𝑌 = 𝑔 → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) )
469	468	eqcoms	⊢ ( 𝑔 = 𝑌 → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) )
470		fveq2	⊢ ( 𝑔 = 𝑌 → ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
471	469 470	eqtrd	⊢ ( 𝑔 = 𝑌 → if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
472	69 471	gsumsn	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ { 𝑌 } ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
473	254 7 467 472	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑔 ∈ { 𝑌 } ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
474	466 473	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if ( 𝑌 = 𝑔 , ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ↾ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
475	444 463 474	3eqtr2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ↦ ( 𝑣 ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) ∘ ( ( 𝑤 ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ↦ ( 𝑤 ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ) ∘ ( 𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( algSc ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mVar 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ( ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) Σg ( 𝑘 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑔 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐽 mPoly ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ) ) ( ( 𝐽 mVar ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )
476	250 326 475	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑌 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑌 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) )