Theorem fourierdlem49

Description: The given periodic function F has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem49.a	|- ( ph -> A e. RR )
	fourierdlem49.b	|- ( ph -> B e. RR )
	fourierdlem49.altb	|- ( ph -> A < B )
	fourierdlem49.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem49.t	|- T = ( B - A )
	fourierdlem49.m	|- ( ph -> M e. NN )
	fourierdlem49.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
	fourierdlem49.d	|- ( ph -> D C_ RR )
	fourierdlem49.f	|- ( ph -> F : D --> RR )
	fourierdlem49.dper	|- ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. D )
	fourierdlem49.per	|- ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
	fourierdlem49.cn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
	fourierdlem49.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
	fourierdlem49.x	|- ( ph -> X e. RR )
	fourierdlem49.z	|- Z = ( x e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
	fourierdlem49.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( Z ` x ) ) )
Assertion	fourierdlem49	|- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) =/= (/) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem49.a	|- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem49.b	|- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem49.altb	|- ( ph -> A < B )
4		fourierdlem49.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
5		fourierdlem49.t	|- T = ( B - A )
6		fourierdlem49.m	|- ( ph -> M e. NN )
7		fourierdlem49.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
8		fourierdlem49.d	|- ( ph -> D C_ RR )
9		fourierdlem49.f	|- ( ph -> F : D --> RR )
10		fourierdlem49.dper	|- ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. D )
11		fourierdlem49.per	|- ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
12		fourierdlem49.cn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
13		fourierdlem49.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
14		fourierdlem49.x	|- ( ph -> X e. RR )
15		fourierdlem49.z	|- Z = ( x e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
16		fourierdlem49.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( Z ` x ) ) )
17		ovex	|- ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) e. _V
18	15	fvmpt2	|- ( ( x e. RR /\ ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) e. _V ) -> ( Z ` x ) = ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
19	17 18	mpan2	|- ( x e. RR -> ( Z ` x ) = ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
20	19	oveq2d	|- ( x e. RR -> ( x + ( Z ` x ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
21	20	mpteq2ia	|- ( x e. RR |-> ( x + ( Z ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
22	16 21	eqtri	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
23	1 2 3 5 22	fourierdlem4	|- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
24	23 14	ffvelrnd	|- ( ph -> ( E ` X ) e. ( A (,] B ) )
25		simpr	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ ( E ` X ) e. ran Q ) -> ( E ` X ) e. ran Q )
26	4	fourierdlem2	|- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
27	6 26	syl	|- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
28	7 27	mpbid	|- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
29	28	simpld	|- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
30		elmapi	|- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
31	29 30	syl	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
32		ffn	|- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
33	31 32	syl	|- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
34	33	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ ( E ` X ) e. ran Q ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
35		fvelrnb	|- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( ( E ` X ) e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) )
36	34 35	syl	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ ( E ` X ) e. ran Q ) -> ( ( E ` X ) e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) )
37	25 36	mpbid	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ ( E ` X ) e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = ( E ` X ) )
38		1zzd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> 1 e. ZZ )
39		elfzelz	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
40	39	ad2antlr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> j e. ZZ )
41		1e0p1	|- 1 = ( 0 + 1 )
42	41	a1i	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> 1 = ( 0 + 1 ) )
43	40	zred	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> j e. RR )
44		elfzle1	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ j )
45	44	ad2antlr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> 0 <_ j )
46		id	|- ( ( Q ` j ) = ( E ` X ) -> ( Q ` j ) = ( E ` X ) )
47	46	eqcomd	|- ( ( Q ` j ) = ( E ` X ) -> ( E ` X ) = ( Q ` j ) )
48	47	ad2antlr	|- ( ( ( ph /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) /\ j = 0 ) -> ( E ` X ) = ( Q ` j ) )
49		fveq2	|- ( j = 0 -> ( Q ` j ) = ( Q ` 0 ) )
50	49	adantl	|- ( ( ( ph /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) /\ j = 0 ) -> ( Q ` j ) = ( Q ` 0 ) )
51	28	simprld	|- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
52	51	simpld	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
53	52	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) /\ j = 0 ) -> ( Q ` 0 ) = A )
54	48 50 53	3eqtrd	|- ( ( ( ph /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) /\ j = 0 ) -> ( E ` X ) = A )
55	54	adantllr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) /\ j = 0 ) -> ( E ` X ) = A )
56	55	adantllr	|- ( ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) /\ j = 0 ) -> ( E ` X ) = A )
57	1	adantr	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> A e. RR )
58	1	rexrd	|- ( ph -> A e. RR* )
59	58	adantr	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> A e. RR* )
60	2	rexrd	|- ( ph -> B e. RR* )
61	60	adantr	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> B e. RR* )
62		simpr	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> ( E ` X ) e. ( A (,] B ) )
63		iocgtlb	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> A < ( E ` X ) )
64	59 61 62 63	syl3anc	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> A < ( E ` X ) )
65	57 64	gtned	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> ( E ` X ) =/= A )
66	65	neneqd	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> -. ( E ` X ) = A )
67	66	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) /\ j = 0 ) -> -. ( E ` X ) = A )
68	56 67	pm2.65da	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> -. j = 0 )
69	68	neqned	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> j =/= 0 )
70	43 45 69	ne0gt0d	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> 0 < j )
71		0zd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> 0 e. ZZ )
72		zltp1le	|- ( ( 0 e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( 0 < j <-> ( 0 + 1 ) <_ j ) )
73	71 40 72	syl2anc	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( 0 < j <-> ( 0 + 1 ) <_ j ) )
74	70 73	mpbid	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ j )
75	42 74	eqbrtrd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> 1 <_ j )
76		eluz2	|- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ /\ 1 <_ j ) )
77	38 40 75 76	syl3anbrc	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
78		nnuz	|- NN = ( ZZ>= ` 1 )
79	77 78	eleqtrrdi	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> j e. NN )
80		nnm1nn0	|- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 )
81	79 80	syl	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
82		nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
83	82	a1i	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) )
84	81 83	eleqtrd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
85	6	nnzd	|- ( ph -> M e. ZZ )
86	85	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> M e. ZZ )
87		peano2zm	|- ( j e. ZZ -> ( j - 1 ) e. ZZ )
88	39 87	syl	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 1 ) e. ZZ )
89	88	zred	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 1 ) e. RR )
90	39	zred	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. RR )
91		elfzel2	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
92	91	zred	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
93	90	ltm1d	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 1 ) < j )
94		elfzle2	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> j <_ M )
95	89 90 92 93 94	ltletrd	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 1 ) < M )
96	95	ad2antlr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( j - 1 ) < M )
97		elfzo2	|- ( ( j - 1 ) e. ( 0 ..^ M ) <-> ( ( j - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ ( j - 1 ) < M ) )
98	84 86 96 97	syl3anbrc	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( j - 1 ) e. ( 0 ..^ M ) )
99	31	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
100	40 87	syl	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( j - 1 ) e. ZZ )
101	71 86 100	3jca	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( j - 1 ) e. ZZ ) )
102	81	nn0ge0d	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> 0 <_ ( j - 1 ) )
103	89 92 95	ltled	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 1 ) <_ M )
104	103	ad2antlr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( j - 1 ) <_ M )
105	101 102 104	jca32	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( j - 1 ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( j - 1 ) /\ ( j - 1 ) <_ M ) ) )
106		elfz2	|- ( ( j - 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( j - 1 ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( j - 1 ) /\ ( j - 1 ) <_ M ) ) )
107	105 106	sylibr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( j - 1 ) e. ( 0 ... M ) )
108	99 107	ffvelrnd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( Q ` ( j - 1 ) ) e. RR )
109	108	rexrd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( Q ` ( j - 1 ) ) e. RR* )
110	31	ffvelrnda	|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
111	110	rexrd	|- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR* )
112	111	adantlr	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR* )
113	112	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( Q ` j ) e. RR* )
114		iocssre	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
115	58 2 114	syl2anc	|- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
116	115	sselda	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
117	116	rexrd	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> ( E ` X ) e. RR* )
118	117	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) e. RR* )
119		simplll	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ph )
120		ovex	|- ( j - 1 ) e. _V
121		eleq1	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( i e. ( 0 ..^ M ) <-> ( j - 1 ) e. ( 0 ..^ M ) ) )
122	121	anbi2d	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) <-> ( ph /\ ( j - 1 ) e. ( 0 ..^ M ) ) ) )
123		fveq2	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` ( j - 1 ) ) )
124		oveq1	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( i + 1 ) = ( ( j - 1 ) + 1 ) )
125	124	fveq2d	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) )
126	123 125	breq12d	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` ( j - 1 ) ) < ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) ) )
127	122 126	imbi12d	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( j - 1 ) e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( j - 1 ) ) < ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
128	28	simprrd	|- ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
129	128	r19.21bi	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
130	120 127 129	vtocl	|- ( ( ph /\ ( j - 1 ) e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( j - 1 ) ) < ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) )
131	119 98 130	syl2anc	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( Q ` ( j - 1 ) ) < ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) )
132	39	zcnd	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. CC )
133		1cnd	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> 1 e. CC )
134	132 133	npcand	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( j - 1 ) + 1 ) = j )
135	134	eqcomd	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> j = ( ( j - 1 ) + 1 ) )
136	135	fveq2d	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( Q ` j ) = ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) )
137	136	eqcomd	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) = ( Q ` j ) )
138	137	ad2antlr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) = ( Q ` j ) )
139	131 138	breqtrd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( Q ` ( j - 1 ) ) < ( Q ` j ) )
140		simpr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( Q ` j ) = ( E ` X ) )
141	139 140	breqtrd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( Q ` ( j - 1 ) ) < ( E ` X ) )
142	115 24	sseldd	|- ( ph -> ( E ` X ) e. RR )
143	142	leidd	|- ( ph -> ( E ` X ) <_ ( E ` X ) )
144	143	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) <_ ( E ` X ) )
145	47	adantl	|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) = ( Q ` j ) )
146	144 145	breqtrd	|- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) <_ ( Q ` j ) )
147	146	adantllr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) <_ ( Q ` j ) )
148	109 113 118 141 147	eliocd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` j ) ) )
149	136	oveq2d	|- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` j ) ) = ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) ) )
150	149	ad2antlr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` j ) ) = ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) ) )
151	148 150	eleqtrd	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) ) )
152	123 125	oveq12d	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) ) )
153	152	eleq2d	|- ( i = ( j - 1 ) -> ( ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( E ` X ) e. ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
154	153	rspcev	|- ( ( ( j - 1 ) e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` ( j - 1 ) ) (,] ( Q ` ( ( j - 1 ) + 1 ) ) ) ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
155	98 151 154	syl2anc	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = ( E ` X ) ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
156	155	ex	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( Q ` j ) = ( E ` X ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
157	156	adantlr	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ ( E ` X ) e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( Q ` j ) = ( E ` X ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
158	157	rexlimdva	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ ( E ` X ) e. ran Q ) -> ( E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = ( E ` X ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
159	37 158	mpd	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ ( E ` X ) e. ran Q ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
160	6	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ -. ( E ` X ) e. ran Q ) -> M e. NN )
161	31	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ -. ( E ` X ) e. ran Q ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
162		iocssicc	|- ( A (,] B ) C_ ( A [,] B )
163	52	eqcomd	|- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
164	51	simprd	|- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
165	164	eqcomd	|- ( ph -> B = ( Q ` M ) )
166	163 165	oveq12d	|- ( ph -> ( A [,] B ) = ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
167	162 166	sseqtrid	|- ( ph -> ( A (,] B ) C_ ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
168	167	sselda	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
169	168	adantr	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ -. ( E ` X ) e. ran Q ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
170		simpr	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ -. ( E ` X ) e. ran Q ) -> -. ( E ` X ) e. ran Q )
171		fveq2	|- ( k = j -> ( Q ` k ) = ( Q ` j ) )
172	171	breq1d	|- ( k = j -> ( ( Q ` k ) < ( E ` X ) <-> ( Q ` j ) < ( E ` X ) ) )
173	172	cbvrabv	|- { k e. ( 0 ..^ M ) | ( Q ` k ) < ( E ` X ) } = { j e. ( 0 ..^ M ) | ( Q ` j ) < ( E ` X ) }
174	173	supeq1i	|- sup ( { k e. ( 0 ..^ M ) | ( Q ` k ) < ( E ` X ) } , RR , < ) = sup ( { j e. ( 0 ..^ M ) | ( Q ` j ) < ( E ` X ) } , RR , < )
175	160 161 169 170 174	fourierdlem25	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ -. ( E ` X ) e. ran Q ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
176		ioossioc	|- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
177	176	sseli	|- ( ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
178	177	a1i	|- ( ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ -. ( E ` X ) e. ran Q ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
179	178	reximdva	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ -. ( E ` X ) e. ran Q ) -> ( E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
180	175 179	mpd	|- ( ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) /\ -. ( E ` X ) e. ran Q ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
181	159 180	pm2.61dan	|- ( ( ph /\ ( E ` X ) e. ( A (,] B ) ) -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
182	24 181	mpdan	|- ( ph -> E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
183		frel	|- ( F : D --> RR -> Rel F )
184	9 183	syl	|- ( ph -> Rel F )
185		resindm	|- ( Rel F -> ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i dom F ) ) = ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) )
186	185	eqcomd	|- ( Rel F -> ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i dom F ) ) )
187	184 186	syl	|- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i dom F ) ) )
188		fdm	|- ( F : D --> RR -> dom F = D )
189	9 188	syl	|- ( ph -> dom F = D )
190	189	ineq2d	|- ( ph -> ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i dom F ) = ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) )
191	190	reseq2d	|- ( ph -> ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i dom F ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) )
192	187 191	eqtrd	|- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) )
193	192	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) )
194	193	oveq1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) = ( ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) limCC ( E ` X ) ) )
195		ax-resscn	|- RR C_ CC
196	195	a1i	|- ( ph -> RR C_ CC )
197	9 196	fssd	|- ( ph -> F : D --> CC )
198	197	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> F : D --> CC )
199		inss2	|- ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) C_ D
200	199	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) C_ D )
201	198 200	fssresd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) : ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) --> CC )
202		mnfxr	|- -oo e. RR*
203	202	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -oo e. RR* )
204	31	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
205		elfzofz	|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
206	205	adantl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
207	204 206	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
208	207	rexrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
209	207	mnfltd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -oo < ( Q ` i ) )
210	203 208 209	xrltled	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -oo <_ ( Q ` i ) )
211		iooss1	|- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ ( Q ` i ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ ( -oo (,) ( E ` X ) ) )
212	202 210 211	sylancr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ ( -oo (,) ( E ` X ) ) )
213	212	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ ( -oo (,) ( E ` X ) ) )
214		fzofzp1	|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
215	214	adantl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
216	204 215	ffvelrnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
217	216	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
218	217	rexrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
219	207	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
220	219	rexrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
221		simp3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
222		iocleub	|- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
223	220 218 221 222	syl3anc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
224		iooss2	|- ( ( ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ ( E ` X ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
225	218 223 224	syl2anc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
226		cncff	|- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
227		fdm	|- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
228	12 226 227	3syl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
229		ssdmres	|- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F <-> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
230	228 229	sylibr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F )
231	189	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> dom F = D )
232	230 231	sseqtrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ D )
233	232	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ D )
234	225 233	sstrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ D )
235	213 234	ssind	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) )
236	8 196	sstrd	|- ( ph -> D C_ CC )
237	236	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> D C_ CC )
238	199 237	sstrid	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) C_ CC )
239		eqid	|- ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld )
240		eqid	|- ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) )
241	142	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
242	241	rexrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) e. RR* )
243		iocgtlb	|- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( E ` X ) )
244	220 218 221 243	syl3anc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( E ` X ) )
245	241	leidd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) <_ ( E ` X ) )
246	220 242 242 244 245	eliocd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) )
247		ioounsn	|- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( E ` X ) e. RR* /\ ( Q ` i ) < ( E ` X ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) u. { ( E ` X ) } ) = ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) )
248	220 242 244 247	syl3anc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) u. { ( E ` X ) } ) = ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) )
249	248	fveq2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) u. { ( E ` X ) } ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) )
250	239	cnfldtop	|- ( TopOpen ` CCfld ) e. Top
251		ovex	|- ( -oo (,) ( E ` X ) ) e. _V
252	251	inex1	|- ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) e. _V
253		snex	|- { ( E ` X ) } e. _V
254	252 253	unex	|- ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) e. _V
255		resttop	|- ( ( ( TopOpen ` CCfld ) e. Top /\ ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) e. Top )
256	250 254 255	mp2an	|- ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) e. Top
257		retop	|- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
258	257	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
259	254	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) e. _V )
260		iooretop	|- ( ( Q ` i ) (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
261	260	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
262		elrestr	|- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) e. _V /\ ( ( Q ` i ) (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
263	258 259 261 262	syl3anc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
264		simpr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x = ( E ` X ) ) -> x = ( E ` X ) )
265		pnfxr	|- +oo e. RR*
266	265	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> +oo e. RR* )
267	241	ltpnfd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) < +oo )
268	220 266 241 244 267	eliood	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,) +oo ) )
269		snidg	|- ( ( E ` X ) e. RR -> ( E ` X ) e. { ( E ` X ) } )
270		elun2	|- ( ( E ` X ) e. { ( E ` X ) } -> ( E ` X ) e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) )
271	269 270	syl	|- ( ( E ` X ) e. RR -> ( E ` X ) e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) )
272	142 271	syl	|- ( ph -> ( E ` X ) e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) )
273	272	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) )
274	268 273	elind	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
275	274	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
276	264 275	eqeltrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x = ( E ` X ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
277	276	adantlr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ x = ( E ` X ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
278	220	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
279	265	a1i	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> +oo e. RR* )
280	208	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
281	142	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
282	281	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
283		iocssre	|- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( E ` X ) e. RR ) -> ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) C_ RR )
284	280 282 283	syl2anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) C_ RR )
285		simpr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) )
286	284 285	sseldd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> x e. RR )
287	286	3adantl3	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> x e. RR )
288	282	rexrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> ( E ` X ) e. RR* )
289		iocgtlb	|- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( E ` X ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> ( Q ` i ) < x )
290	280 288 285 289	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> ( Q ` i ) < x )
291	290	3adantl3	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> ( Q ` i ) < x )
292	287	ltpnfd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> x < +oo )
293	278 279 287 291 292	eliood	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) +oo ) )
294	293	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) +oo ) )
295	202	a1i	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> -oo e. RR* )
296	288	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) e. RR* )
297	286	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. RR )
298	297	mnfltd	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> -oo < x )
299	142	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
300		iocleub	|- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( E ` X ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
301	280 288 285 300	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
302	301	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
303		neqne	|- ( -. x = ( E ` X ) -> x =/= ( E ` X ) )
304	303	necomd	|- ( -. x = ( E ` X ) -> ( E ` X ) =/= x )
305	304	adantl	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) =/= x )
306	297 299 302 305	leneltd	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x < ( E ` X ) )
307	295 296 297 298 306	eliood	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) )
308	307	3adantll3	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) )
309	233	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ D )
310	278	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
311	218	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
312	287	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. RR )
313	291	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( Q ` i ) < x )
314	241	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
315	217	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
316	306	3adantll3	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x < ( E ` X ) )
317	223	ad2antrr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> ( E ` X ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
318	312 314 315 316 317	ltletrd	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
319	310 311 312 313 318	eliood	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
320	309 319	sseldd	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. D )
321	308 320	elind	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) )
322		elun1	|- ( x e. ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) -> x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) )
323	321 322	syl	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) )
324	294 323	elind	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) /\ -. x = ( E ` X ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
325	277 324	pm2.61dan	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
326	220	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
327	242	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> ( E ` X ) e. RR* )
328		elinel1	|- ( x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) +oo ) )
329		elioore	|- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) +oo ) -> x e. RR )
330	329	rexrd	|- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) +oo ) -> x e. RR* )
331	328 330	syl	|- ( x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) -> x e. RR* )
332	331	adantl	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> x e. RR* )
333	208	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
334	265	a1i	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> +oo e. RR* )
335	328	adantl	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) +oo ) )
336		ioogtlb	|- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) +oo ) ) -> ( Q ` i ) < x )
337	333 334 335 336	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> ( Q ` i ) < x )
338	337	3adantl3	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> ( Q ` i ) < x )
339		elinel2	|- ( x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) -> x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) )
340		elsni	|- ( x e. { ( E ` X ) } -> x = ( E ` X ) )
341	340	adantl	|- ( ( ph /\ x e. { ( E ` X ) } ) -> x = ( E ` X ) )
342	143	adantr	|- ( ( ph /\ x e. { ( E ` X ) } ) -> ( E ` X ) <_ ( E ` X ) )
343	341 342	eqbrtrd	|- ( ( ph /\ x e. { ( E ` X ) } ) -> x <_ ( E ` X ) )
344	343	adantlr	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) /\ x e. { ( E ` X ) } ) -> x <_ ( E ` X ) )
345		simpll	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) /\ -. x e. { ( E ` X ) } ) -> ph )
346		elunnel2	|- ( ( x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) /\ -. x e. { ( E ` X ) } ) -> x e. ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) )
347	346	adantll	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) /\ -. x e. { ( E ` X ) } ) -> x e. ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) )
348		elinel1	|- ( x e. ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) -> x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) )
349		elioore	|- ( x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) -> x e. RR )
350	349	adantl	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) -> x e. RR )
351	142	adantr	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
352	202	a1i	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) -> -oo e. RR* )
353	351	rexrd	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) -> ( E ` X ) e. RR* )
354		simpr	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) -> x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) )
355		iooltub	|- ( ( -oo e. RR* /\ ( E ` X ) e. RR* /\ x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) -> x < ( E ` X ) )
356	352 353 354 355	syl3anc	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) -> x < ( E ` X ) )
357	350 351 356	ltled	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
358	348 357	sylan2	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
359	345 347 358	syl2anc	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) /\ -. x e. { ( E ` X ) } ) -> x <_ ( E ` X ) )
360	344 359	pm2.61dan	|- ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
361	360	adantlr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
362	339 361	sylan2	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
363	362	3adantl3	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> x <_ ( E ` X ) )
364	326 327 332 338 363	eliocd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) )
365	325 364	impbida	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( x e. ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) <-> x e. ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) )
366	365	eqrdv	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) = ( ( ( Q ` i ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
367		ioossre	|- ( -oo (,) ( E ` X ) ) C_ RR
368		ssinss1	|- ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) C_ RR -> ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) C_ RR )
369	367 368	mp1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) C_ RR )
370	241	snssd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> { ( E ` X ) } C_ RR )
371	369 370	unssd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) C_ RR )
372		eqid	|- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
373	239 372	rerest	|- ( ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) C_ RR -> ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
374	371 373	syl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
375	263 366 374	3eltr4d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
376		isopn3i	|- ( ( ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) e. Top /\ ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) )
377	256 375 376	sylancr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) )
378	249 377	eqtr2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,] ( E ` X ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
379	246 378	eleqtrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) u. { ( E ` X ) } ) ) ) ` ( ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) u. { ( E ` X ) } ) ) )
380	201 235 238 239 240 379	limcres	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) = ( ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) limCC ( E ` X ) ) )
381	235	resabs1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) )
382	381	oveq1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F |` ( ( -oo (,) ( E ` X ) ) i^i D ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
383	194 380 382	3eqtr2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
384	189	feq2d	|- ( ph -> ( F : dom F --> CC <-> F : D --> CC ) )
385	197 384	mpbird	|- ( ph -> F : dom F --> CC )
386	385	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> F : dom F --> CC )
387	386	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> F : dom F --> CC )
388		ioosscn	|- ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ CC
389	388	a1i	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ CC )
390	189	eqcomd	|- ( ph -> D = dom F )
391	390	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> D = dom F )
392	234 391	sseqtrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ dom F )
393	392	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ dom F )
394	15	a1i	|- ( ph -> Z = ( x e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
395		oveq2	|- ( x = X -> ( B - x ) = ( B - X ) )
396	395	oveq1d	|- ( x = X -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
397	396	fveq2d	|- ( x = X -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
398	397	oveq1d	|- ( x = X -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
399	398	adantl	|- ( ( ph /\ x = X ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
400	2 14	resubcld	|- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
401	2 1	resubcld	|- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
402	5 401	eqeltrid	|- ( ph -> T e. RR )
403	1 2	posdifd	|- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
404	3 403	mpbid	|- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
405	5	eqcomi	|- ( B - A ) = T
406	405	a1i	|- ( ph -> ( B - A ) = T )
407	404 406	breqtrd	|- ( ph -> 0 < T )
408	407	gt0ne0d	|- ( ph -> T =/= 0 )
409	400 402 408	redivcld	|- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. RR )
410	409	flcld	|- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
411	410	zred	|- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. RR )
412	411 402	remulcld	|- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. RR )
413	394 399 14 412	fvmptd	|- ( ph -> ( Z ` X ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
414	413 412	eqeltrd	|- ( ph -> ( Z ` X ) e. RR )
415	414	recnd	|- ( ph -> ( Z ` X ) e. CC )
416	415	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> ( Z ` X ) e. CC )
417	416	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> ( Z ` X ) e. CC )
418	417	negcld	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> -u ( Z ` X ) e. CC )
419		eqid	|- { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } = { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) }
420		ioosscn	|- ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ CC
421	420	sseli	|- ( y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) -> y e. CC )
422	421	adantl	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y e. CC )
423	415	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( Z ` X ) e. CC )
424	422 423	pncand	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) = y )
425	424	eqcomd	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y = ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) )
426	425	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y = ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) )
427	413	oveq2d	|- ( ph -> ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
428	427	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
429	422 423	addcld	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( y + ( Z ` X ) ) e. CC )
430	412	recnd	|- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. CC )
431	430	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. CC )
432	429 431	negsubd	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + -u ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
433	410	zcnd	|- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. CC )
434	402	recnd	|- ( ph -> T e. CC )
435	433 434	mulneg1d	|- ( ph -> ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) = -u ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
436	435	eqcomd	|- ( ph -> -u ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) = ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
437	436	oveq2d	|- ( ph -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + -u ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
438	437	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + -u ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
439	428 432 438	3eqtr2d	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
440	439	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
441	410	znegcld	|- ( ph -> -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
442	441	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
443	442	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
444		simpl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ph )
445	234	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) C_ D )
446	208	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
447	142	rexrd	|- ( ph -> ( E ` X ) e. RR* )
448	447	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( E ` X ) e. RR* )
449		elioore	|- ( y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) -> y e. RR )
450	449	adantl	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y e. RR )
451	414	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( Z ` X ) e. RR )
452	450 451	readdcld	|- ( ( ph /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( y + ( Z ` X ) ) e. RR )
453	452	adantlr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( y + ( Z ` X ) ) e. RR )
454	414	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Z ` X ) e. RR )
455	207 454	resubcld	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR )
456	455	rexrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* )
457	456	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* )
458	14	rexrd	|- ( ph -> X e. RR* )
459	458	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> X e. RR* )
460		simpr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) )
461		ioogtlb	|- ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* /\ X e. RR* /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < y )
462	457 459 460 461	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < y )
463	207	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
464	454	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( Z ` X ) e. RR )
465	449	adantl	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y e. RR )
466	463 464 465	ltsubaddd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < y <-> ( Q ` i ) < ( y + ( Z ` X ) ) ) )
467	462 466	mpbid	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( Q ` i ) < ( y + ( Z ` X ) ) )
468	14	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> X e. RR )
469		iooltub	|- ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* /\ X e. RR* /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y < X )
470	457 459 460 469	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y < X )
471	465 468 464 470	ltadd1dd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( y + ( Z ` X ) ) < ( X + ( Z ` X ) ) )
472	16	a1i	|- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( Z ` x ) ) ) )
473		id	|- ( x = X -> x = X )
474		fveq2	|- ( x = X -> ( Z ` x ) = ( Z ` X ) )
475	473 474	oveq12d	|- ( x = X -> ( x + ( Z ` x ) ) = ( X + ( Z ` X ) ) )
476	475	adantl	|- ( ( ph /\ x = X ) -> ( x + ( Z ` x ) ) = ( X + ( Z ` X ) ) )
477	14 414	readdcld	|- ( ph -> ( X + ( Z ` X ) ) e. RR )
478	472 476 14 477	fvmptd	|- ( ph -> ( E ` X ) = ( X + ( Z ` X ) ) )
479	478	eqcomd	|- ( ph -> ( X + ( Z ` X ) ) = ( E ` X ) )
480	479	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( X + ( Z ` X ) ) = ( E ` X ) )
481	471 480	breqtrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( y + ( Z ` X ) ) < ( E ` X ) )
482	446 448 453 467 481	eliood	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( y + ( Z ` X ) ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) )
483	482	3adantl3	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( y + ( Z ` X ) ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) )
484	445 483	sseldd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( y + ( Z ` X ) ) e. D )
485	444 484 443	3jca	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) )
486		eleq1	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( k e. ZZ <-> -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) )
487	486	3anbi3d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ k e. ZZ ) <-> ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) ) )
488		oveq1	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( k x. T ) = ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
489	488	oveq2d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( k x. T ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
490	489	eleq1d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( k x. T ) ) e. D <-> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. D ) )
491	487 490	imbi12d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ k e. ZZ ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( k x. T ) ) e. D ) <-> ( ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. D ) ) )
492		ovex	|- ( y + ( Z ` X ) ) e. _V
493		eleq1	|- ( x = ( y + ( Z ` X ) ) -> ( x e. D <-> ( y + ( Z ` X ) ) e. D ) )
494	493	3anbi2d	|- ( x = ( y + ( Z ` X ) ) -> ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) <-> ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ k e. ZZ ) ) )
495		oveq1	|- ( x = ( y + ( Z ` X ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( k x. T ) ) )
496	495	eleq1d	|- ( x = ( y + ( Z ` X ) ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. D <-> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( k x. T ) ) e. D ) )
497	494 496	imbi12d	|- ( x = ( y + ( Z ` X ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. D ) <-> ( ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ k e. ZZ ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( k x. T ) ) e. D ) ) )
498	492 497 10	vtocl	|- ( ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ k e. ZZ ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( k x. T ) ) e. D )
499	491 498	vtoclg	|- ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ -> ( ( ph /\ ( y + ( Z ` X ) ) e. D /\ -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. D ) )
500	443 485 499	sylc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. D )
501	440 500	eqeltrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ( y + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) e. D )
502	426 501	eqeltrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> y e. D )
503	502	ralrimiva	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) y e. D )
504		dfss3	|- ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ D <-> A. y e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) y e. D )
505	503 504	sylibr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ D )
506	207	recnd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
507	415	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Z ` X ) e. CC )
508	506 507	negsubd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + -u ( Z ` X ) ) = ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) )
509	508	eqcomd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) = ( ( Q ` i ) + -u ( Z ` X ) ) )
510	478	oveq1d	|- ( ph -> ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) = ( ( X + ( Z ` X ) ) + -u ( Z ` X ) ) )
511	477	recnd	|- ( ph -> ( X + ( Z ` X ) ) e. CC )
512	511 415	negsubd	|- ( ph -> ( ( X + ( Z ` X ) ) + -u ( Z ` X ) ) = ( ( X + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) )
513	14	recnd	|- ( ph -> X e. CC )
514	513 415	pncand	|- ( ph -> ( ( X + ( Z ` X ) ) - ( Z ` X ) ) = X )
515	510 512 514	3eqtrrd	|- ( ph -> X = ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) )
516	515	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X = ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) )
517	509 516	oveq12d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) = ( ( ( Q ` i ) + -u ( Z ` X ) ) (,) ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) ) )
518	454	renegcld	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -u ( Z ` X ) e. RR )
519	207 281 518	iooshift	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + -u ( Z ` X ) ) (,) ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) ) = { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } )
520	517 519	eqtr2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } = ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) )
521	520	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } = ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) )
522	189	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> dom F = D )
523	505 521 522	3sstr4d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } C_ dom F )
524	523	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } C_ dom F )
525	413	negeqd	|- ( ph -> -u ( Z ` X ) = -u ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
526	525 436	eqtrd	|- ( ph -> -u ( Z ` X ) = ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
527	526	oveq2d	|- ( ph -> ( x + -u ( Z ` X ) ) = ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
528	527	fveq2d	|- ( ph -> ( F ` ( x + -u ( Z ` X ) ) ) = ( F ` ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) )
529	528	adantr	|- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> ( F ` ( x + -u ( Z ` X ) ) ) = ( F ` ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) )
530	529	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> ( F ` ( x + -u ( Z ` X ) ) ) = ( F ` ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) )
531	441	adantr	|- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
532	531	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
533		simpl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> ph )
534	234	sselda	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> x e. D )
535	533 534 532	3jca	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> ( ph /\ x e. D /\ -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) )
536	486	3anbi3d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) <-> ( ph /\ x e. D /\ -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) ) )
537	488	oveq2d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
538	537	fveq2d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) )
539	538	eqeq1d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) )
540	536 539	imbi12d	|- ( k = -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ x e. D /\ -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) ) )
541	540 11	vtoclg	|- ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ -> ( ( ph /\ x e. D /\ -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) )
542	532 535 541	sylc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> ( F ` ( x + ( -u ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
543	530 542	eqtrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> ( F ` ( x + -u ( Z ` X ) ) ) = ( F ` x ) )
544	543	adantlr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) -> ( F ` ( x + -u ( Z ` X ) ) ) = ( F ` x ) )
545		simpr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
546	387 389 393 418 419 524 544 545	limcperiod	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> y e. ( ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } ) limCC ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) ) )
547	520	reseq2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } ) = ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) )
548	516	eqcomd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) = X )
549	547 548	oveq12d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } ) limCC ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) ) = ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) )
550	549	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } ) limCC ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) ) = ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) )
551	550	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> ( ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) z = ( x + -u ( Z ` X ) ) } ) limCC ( ( E ` X ) + -u ( Z ` X ) ) ) = ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) )
552	546 551	eleqtrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) -> y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) )
553	385	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> F : dom F --> CC )
554	553	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> F : dom F --> CC )
555	420	a1i	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ CC )
556	505 522	sseqtrrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ dom F )
557	556	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ dom F )
558	415	adantr	|- ( ( ph /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> ( Z ` X ) e. CC )
559	558	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> ( Z ` X ) e. CC )
560		eqid	|- { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } = { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) }
561	506 507	npcand	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) + ( Z ` X ) ) = ( Q ` i ) )
562	561	eqcomd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) + ( Z ` X ) ) )
563	478	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( E ` X ) = ( X + ( Z ` X ) ) )
564	562 563	oveq12d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) = ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) + ( Z ` X ) ) (,) ( X + ( Z ` X ) ) ) )
565	14	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. RR )
566	455 565 454	iooshift	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) + ( Z ` X ) ) (,) ( X + ( Z ` X ) ) ) = { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } )
567	564 566	eqtr2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } = ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) )
568	567	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } = ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) )
569	234 568 522	3sstr4d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } C_ dom F )
570	569	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } C_ dom F )
571	413	oveq2d	|- ( ph -> ( x + ( Z ` X ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
572	571	fveq2d	|- ( ph -> ( F ` ( x + ( Z ` X ) ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) )
573	572	adantr	|- ( ( ph /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( F ` ( x + ( Z ` X ) ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) )
574	573	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( F ` ( x + ( Z ` X ) ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) )
575	410	adantr	|- ( ( ph /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
576	575	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
577		simpl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ph )
578	505	sselda	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> x e. D )
579	577 578 576	3jca	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( ph /\ x e. D /\ ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) )
580		eleq1	|- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( k e. ZZ <-> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) )
581	580	3anbi3d	|- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) <-> ( ph /\ x e. D /\ ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) ) )
582		oveq1	|- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( k x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
583	582	oveq2d	|- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
584	583	fveq2d	|- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) )
585	584	eqeq1d	|- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) )
586	581 585	imbi12d	|- ( k = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. D /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ x e. D /\ ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) ) )
587	586 11	vtoclg	|- ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ -> ( ( ph /\ x e. D /\ ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) )
588	576 579 587	sylc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
589	574 588	eqtrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( F ` ( x + ( Z ` X ) ) ) = ( F ` x ) )
590	589	adantlr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> ( F ` ( x + ( Z ` X ) ) ) = ( F ` x ) )
591		simpr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) )
592	554 555 557 559 560 570 590 591	limcperiod	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> y e. ( ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } ) limCC ( X + ( Z ` X ) ) ) )
593	567	reseq2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } ) = ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) )
594	479	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( X + ( Z ` X ) ) = ( E ` X ) )
595	593 594	oveq12d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } ) limCC ( X + ( Z ` X ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
596	595	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } ) limCC ( X + ( Z ` X ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
597	596	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> ( ( F |` { z e. CC | E. x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) z = ( x + ( Z ` X ) ) } ) limCC ( X + ( Z ` X ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
598	592 597	eleqtrd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) -> y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
599	552 598	impbida	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) <-> y e. ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) ) )
600	599	eqrdv	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) = ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) )
601		resindm	|- ( Rel F -> ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i dom F ) ) = ( F |` ( -oo (,) X ) ) )
602	601	eqcomd	|- ( Rel F -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i dom F ) ) )
603	184 602	syl	|- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i dom F ) ) )
604	189	ineq2d	|- ( ph -> ( ( -oo (,) X ) i^i dom F ) = ( ( -oo (,) X ) i^i D ) )
605	604	reseq2d	|- ( ph -> ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i dom F ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) )
606	603 605	eqtrd	|- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) = ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) )
607	606	oveq1d	|- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) = ( ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) limCC X ) )
608	607	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) = ( ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) limCC X ) )
609		inss2	|- ( ( -oo (,) X ) i^i D ) C_ D
610	609	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( -oo (,) X ) i^i D ) C_ D )
611	198 610	fssresd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) : ( ( -oo (,) X ) i^i D ) --> CC )
612	455	mnfltd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -oo < ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) )
613	203 456 612	xrltled	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -oo <_ ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) )
614		iooss1	|- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ ( -oo (,) X ) )
615	202 613 614	sylancr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ ( -oo (,) X ) )
616	615	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ ( -oo (,) X ) )
617	616 505	ssind	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) C_ ( ( -oo (,) X ) i^i D ) )
618	609 237	sstrid	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( -oo (,) X ) i^i D ) C_ CC )
619		eqid	|- ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
620	456	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* )
621	458	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR* )
622	478	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( E ` X ) = ( X + ( Z ` X ) ) )
623	244 622	breqtrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( X + ( Z ` X ) ) )
624	414	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Z ` X ) e. RR )
625	14	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
626	219 624 625	ltsubaddd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < X <-> ( Q ` i ) < ( X + ( Z ` X ) ) ) )
627	623 626	mpbird	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < X )
628	14	leidd	|- ( ph -> X <_ X )
629	628	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X <_ X )
630	620 621 621 627 629	eliocd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) )
631		ioounsn	|- ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* /\ X e. RR* /\ ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < X ) -> ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) u. { X } ) = ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) )
632	620 621 627 631	syl3anc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) u. { X } ) = ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) )
633	632	fveq2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) ` ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) u. { X } ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) ` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) )
634		ovex	|- ( -oo (,) X ) e. _V
635	634	inex1	|- ( ( -oo (,) X ) i^i D ) e. _V
636		snex	|- { X } e. _V
637	635 636	unex	|- ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) e. _V
638		resttop	|- ( ( ( TopOpen ` CCfld ) e. Top /\ ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) e. Top )
639	250 637 638	mp2an	|- ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) e. Top
640	637	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) e. _V )
641		iooretop	|- ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
642	641	a1i	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
643		elrestr	|- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) e. _V /\ ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) )
644	258 640 642 643	syl3anc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) )
645	456	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* )
646	265	a1i	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> +oo e. RR* )
647	14	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> X e. RR )
648		iocssre	|- ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* /\ X e. RR ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) C_ RR )
649	645 647 648	syl2anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) C_ RR )
650		simpr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) )
651	649 650	sseldd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x e. RR )
652	458	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> X e. RR* )
653		iocgtlb	|- ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* /\ X e. RR* /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < x )
654	645 652 650 653	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < x )
655	651	ltpnfd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x < +oo )
656	645 646 651 654 655	eliood	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) )
657	656	3adantl3	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) )
658		eqvisset	|- ( x = X -> X e. _V )
659		snidg	|- ( X e. _V -> X e. { X } )
660	658 659	syl	|- ( x = X -> X e. { X } )
661	473 660	eqeltrd	|- ( x = X -> x e. { X } )
662		elun2	|- ( x e. { X } -> x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
663	661 662	syl	|- ( x = X -> x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
664	663	adantl	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ x = X ) -> x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
665		simpll	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
666	645	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* )
667	458	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> X e. RR* )
668	651	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> x e. RR )
669	654	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < x )
670	14	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> X e. RR )
671		iocleub	|- ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* /\ X e. RR* /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x <_ X )
672	645 652 650 671	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x <_ X )
673	672	adantr	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> x <_ X )
674	473	eqcoms	|- ( X = x -> x = X )
675	674	necon3bi	|- ( -. x = X -> X =/= x )
676	675	adantl	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> X =/= x )
677	668 670 673 676	leneltd	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> x < X )
678	666 667 668 669 677	eliood	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) )
679	678	3adantll3	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) )
680	617	sselda	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> x e. ( ( -oo (,) X ) i^i D ) )
681		elun1	|- ( x e. ( ( -oo (,) X ) i^i D ) -> x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
682	680 681	syl	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) -> x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
683	665 679 682	syl2anc	|- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) /\ -. x = X ) -> x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
684	664 683	pm2.61dan	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
685	657 684	elind	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) -> x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) )
686	620	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* )
687	621	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> X e. RR* )
688		elinel1	|- ( x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) )
689		elioore	|- ( x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) -> x e. RR )
690	688 689	syl	|- ( x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) -> x e. RR )
691	690	rexrd	|- ( x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) -> x e. RR* )
692	691	adantl	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> x e. RR* )
693	456	adantr	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* )
694	265	a1i	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> +oo e. RR* )
695	688	adantl	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) )
696		ioogtlb	|- ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < x )
697	693 694 695 696	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < x )
698	697	3adantl3	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) < x )
699		elinel2	|- ( x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) -> x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) )
700		elsni	|- ( x e. { X } -> x = X )
701	700	adantl	|- ( ( ph /\ x e. { X } ) -> x = X )
702	628	adantr	|- ( ( ph /\ x e. { X } ) -> X <_ X )
703	701 702	eqbrtrd	|- ( ( ph /\ x e. { X } ) -> x <_ X )
704	703	adantlr	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) /\ x e. { X } ) -> x <_ X )
705		simpll	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) /\ -. x e. { X } ) -> ph )
706		elunnel2	|- ( ( x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) /\ -. x e. { X } ) -> x e. ( ( -oo (,) X ) i^i D ) )
707	706	adantll	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) /\ -. x e. { X } ) -> x e. ( ( -oo (,) X ) i^i D ) )
708		elinel1	|- ( x e. ( ( -oo (,) X ) i^i D ) -> x e. ( -oo (,) X ) )
709	707 708	syl	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) /\ -. x e. { X } ) -> x e. ( -oo (,) X ) )
710		elioore	|- ( x e. ( -oo (,) X ) -> x e. RR )
711	710	adantl	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) X ) ) -> x e. RR )
712	14	adantr	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) X ) ) -> X e. RR )
713	202	a1i	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) X ) ) -> -oo e. RR* )
714	458	adantr	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) X ) ) -> X e. RR* )
715		simpr	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) X ) ) -> x e. ( -oo (,) X ) )
716		iooltub	|- ( ( -oo e. RR* /\ X e. RR* /\ x e. ( -oo (,) X ) ) -> x < X )
717	713 714 715 716	syl3anc	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) X ) ) -> x < X )
718	711 712 717	ltled	|- ( ( ph /\ x e. ( -oo (,) X ) ) -> x <_ X )
719	705 709 718	syl2anc	|- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) /\ -. x e. { X } ) -> x <_ X )
720	704 719	pm2.61dan	|- ( ( ph /\ x e. ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) -> x <_ X )
721	699 720	sylan2	|- ( ( ph /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> x <_ X )
722	721	3ad2antl1	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> x <_ X )
723	686 687 692 698 722	eliocd	|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) )
724	685 723	impbida	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( x e. ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) <-> x e. ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) )
725	724	eqrdv	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) = ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) +oo ) i^i ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) )
726	609 8	sstrid	|- ( ph -> ( ( -oo (,) X ) i^i D ) C_ RR )
727	14	snssd	|- ( ph -> { X } C_ RR )
728	726 727	unssd	|- ( ph -> ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) C_ RR )
729	728	3ad2ant1	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) C_ RR )
730	239 372	rerest	|- ( ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) C_ RR -> ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) )
731	729 730	syl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) )
732	644 725 731	3eltr4d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) )
733		isopn3i	|- ( ( ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) e. Top /\ ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) ` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) = ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) )
734	639 732 733	sylancr	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) ` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) ) = ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) )
735	633 734	eqtr2d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,] X ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) ` ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) u. { X } ) ) )
736	630 735	eleqtrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( -oo (,) X ) i^i D ) u. { X } ) ) ) ` ( ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) u. { X } ) ) )
737	611 617 618 239 619 736	limcres	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) = ( ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) limCC X ) )
738	737	eqcomd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) limCC X ) = ( ( ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) )
739	617	resabs1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) = ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) )
740	739	oveq1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F |` ( ( -oo (,) X ) i^i D ) ) |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) = ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) )
741	608 738 740	3eqtrrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( ( Q ` i ) - ( Z ` X ) ) (,) X ) ) limCC X ) = ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
742	383 600 741	3eqtrrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
743	742	rexlimdv3a	|- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) ) )
744	182 743	mpd	|- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
745	129	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
746	12	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
747	13	3adant3	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
748		eqid	|- if ( ( E ` X ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( E ` X ) ) ) = if ( ( E ` X ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( E ` X ) ) )
749		eqid	|- ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
750	219 217 745 746 747 219 241 244 225 748 749	fourierdlem33	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( ( E ` X ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( E ` X ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
751	225	resabs1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) )
752	751	oveq1d	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
753	750 752	eleqtrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( ( E ` X ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( E ` X ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) )
754		ne0i	|- ( if ( ( E ` X ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( E ` X ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) =/= (/) )
755	753 754	syl	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) =/= (/) )
756	383 755	eqnetrd	|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) /\ ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) =/= (/) )
757	756	rexlimdv3a	|- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ..^ M ) ( E ` X ) e. ( ( Q ` i ) (,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) =/= (/) ) )
758	182 757	mpd	|- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) ( E ` X ) ) ) limCC ( E ` X ) ) =/= (/) )
759	744 758	eqnetrd	|- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) =/= (/) )