Theorem fourierdlem49

Description: The given periodic function F has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem49.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem49.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem49.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
	fourierdlem49.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem49.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
	fourierdlem49.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem49.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem49.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ )
	fourierdlem49.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
	fourierdlem49.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
	fourierdlem49.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
	fourierdlem49.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem49.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem49.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem49.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
	fourierdlem49.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
Assertion	fourierdlem49	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem49.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		fourierdlem49.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		fourierdlem49.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
4		fourierdlem49.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
5		fourierdlem49.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
6		fourierdlem49.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
7		fourierdlem49.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
8		fourierdlem49.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ )
9		fourierdlem49.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
10		fourierdlem49.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
11		fourierdlem49.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
12		fourierdlem49.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
13		fourierdlem49.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
14		fourierdlem49.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
15		fourierdlem49.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
16		fourierdlem49.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
17		ovex	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V
18	15	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V ) → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
19	17 18	mpan2	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
20	19	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
21	20	mpteq2ia	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
22	16 21	eqtri	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
23	1 2 3 5 22	fourierdlem4	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
24	23 14	ffvelrnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
25		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
26	4	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
27	6 26	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
28	7 27	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
29	28	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
30		elmapi	⊢ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
31	29 30	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
32		ffn	⊢ ( 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
33	31 32	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
34	33	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
35		fvelrnb	⊢ ( 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
36	34 35	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
37	25 36	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
38		1zzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
39		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
40	39	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
41		1e0p1	⊢ 1 = ( 0 + 1 )
42	41	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 = ( 0 + 1 ) )
43	40	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
44		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 0 ≤ 𝑗 )
45	44	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
46		id	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
47	46	eqcomd	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
48	47	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
49		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
50	49	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
51	28	simprld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) )
52	51	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
53	52	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
54	48 50 53	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
55	54	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
56	55	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
57	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
58	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
59	58	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
60	2	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
61	60	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
62		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
63		iocgtlb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
64	59 61 62 63	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
65	57 64	gtned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐴 )
66	65	neneqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
67	66	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
68	56 67	pm2.65da	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ¬ 𝑗 = 0 )
69	68	neqned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ≠ 0 )
70	43 45 69	ne0gt0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 < 𝑗 )
71		0zd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ∈ ℤ )
72		zltp1le	⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
73	71 40 72	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
74	70 73	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 )
75	42 74	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
76		eluz2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗 ) )
77	38 40 75 76	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
78		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
79	77 78	eleqtrrdi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
80		nnm1nn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
81	79 80	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
82		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
83	82	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
84	81 83	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
85	6	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
86	85	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
87		peano2zm	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
88	39 87	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
89	88	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
90	39	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
91		elfzel2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
92	91	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℝ )
93	90	ltm1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 )
94		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ≤ 𝑀 )
95	89 90 92 93 94	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
96	95	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
97		elfzo2	⊢ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 ) )
98	84 86 96 97	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
99	31	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
100	40 87	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
101	71 86 100	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) )
102	81	nn0ge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
103	89 92 95	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
104	103	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
105	101 102 104	jca32	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ∧ ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 ) ) )
106		elfz2	⊢ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↔ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ∧ ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 ) ) )
107	105 106	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
108	99 107	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ )
109	108	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ* )
110	31	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
111	110	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
112	111	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
113	112	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
114		iocssre	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
115	58 2 114	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
116	115	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
117	116	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
118	117	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
119		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝜑 )
120		ovex	⊢ ( 𝑗 − 1 ) ∈ V
121		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
122	121	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
123		fveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) )
124		oveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
125	124	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
126	123 125	breq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
127	122 126	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
128	28	simprrd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
129	128	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
130	120 127 129	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
131	119 98 130	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
132	39	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℂ )
133		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 1 ∈ ℂ )
134	132 133	npcand	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
135	134	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
136	135	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
137	136	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
138	137	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
139	131 138	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
140		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
141	139 140	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
142	115 24	sseldd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
143	142	leidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
144	143	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
145	47	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
146	144 145	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
147	146	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
148	109 113 118 141 147	eliocd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
149	136	oveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
150	149	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
151	148 150	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
152	123 125	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
153	152	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
154	153	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
155	98 151 154	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
156	155	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
157	156	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
158	157	rexlimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
159	37 158	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
160	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑀 ∈ ℕ )
161	31	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
162		iocssicc	⊢ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 )
163	52	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
164	51	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
165	164	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
166	163 165	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
167	162 166	sseqtrid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
168	167	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
169	168	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
170		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
171		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
172	171	breq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
173	172	cbvrabv	⊢ { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } = { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) }
174	173	supeq1i	⊢ sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < )
175	160 161 169 170 174	fourierdlem25	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
176		ioossioc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
177	176	sseli	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
178	177	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
179	178	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
180	175 179	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
181	159 180	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
182	24 181	mpdan	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
183		frel	⊢ ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → Rel 𝐹 )
184	9 183	syl	⊢ ( 𝜑 → Rel 𝐹 )
185		resindm	⊢ ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
186	185	eqcomd	⊢ ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
187	184 186	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
188		fdm	⊢ ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → dom 𝐹 = 𝐷 )
189	9 188	syl	⊢ ( 𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷 )
190	189	ineq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
191	190	reseq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) )
192	187 191	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) )
193	192	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) )
194	193	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
195		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
196	195	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
197	9 196	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
198	197	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
199		inss2	⊢ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
200	199	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
201	198 200	fssresd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
202		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
203	202	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
204	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
205		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
206	205	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
207	204 206	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
208	207	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
209	207	mnfltd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → -∞ < ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
210	203 208 209	xrltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → -∞ ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
211		iooss1	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
212	202 210 211	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
213	212	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
214		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
215	214	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
216	204 215	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
217	216	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
218	217	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
219	207	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
220	219	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
221		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
222		iocleub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
223	220 218 221 222	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
224		iooss2	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
225	218 223 224	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
226		cncff	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
227		fdm	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
228	12 226 227	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
229		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
230	228 229	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
231	189	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
232	230 231	sseqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
233	232	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
234	225 233	sstrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐷 )
235	213 234	ssind	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
236	8 196	sstrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ )
237	236	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐷 ⊆ ℂ )
238	199 237	sstrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
239		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
240		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
241	142	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
242	241	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
243		iocgtlb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
244	220 218 221 243	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
245	241	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
246	220 242 242 244 245	eliocd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
247		ioounsn	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
248	220 242 244 247	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
249	248	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
250	239	cnfldtop	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
251		ovex	⊢ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∈ V
252	251	inex1	⊢ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
253		snex	⊢ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ∈ V
254	252 253	unex	⊢ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∈ V
255		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ Top )
256	250 254 255	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ Top
257		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
258	257	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top )
259	254	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∈ V )
260		iooretop	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
261	260	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
262		elrestr	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∈ V ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
263	258 259 261 262	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
264		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
265		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
266	265	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
267	241	ltpnfd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < +∞ )
268	220 266 241 244 267	eliood	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
269		snidg	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } )
270		elun2	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
271	269 270	syl	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
272	142 271	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
273	272	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
274	268 273	elind	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
275	274	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
276	264 275	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
277	276	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
278	220	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
279	265	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
280	208	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
281	142	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
282	281	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
283		iocssre	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
284	280 282 283	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
285		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
286	284 285	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
287	286	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
288	282	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
289		iocgtlb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
290	280 288 285 289	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
291	290	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
292	287	ltpnfd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 < +∞ )
293	278 279 287 291 292	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
294	293	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
295	202	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
296	288	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
297	286	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
298	297	mnfltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → -∞ < 𝑥 )
299	142	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
300		iocleub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
301	280 288 285 300	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
302	301	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
303		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → 𝑥 ≠ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
304	303	necomd	⊢ ( ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝑥 )
305	304	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝑥 )
306	297 299 302 305	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
307	295 296 297 298 306	eliood	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
308	307	3adantll3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
309	233	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
310	278	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
311	218	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
312	287	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
313	291	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
314	241	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
315	217	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
316	306	3adantll3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
317	223	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
318	312 314 315 316 317	ltletrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
319	310 311 312 313 318	eliood	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
320	309 319	sseldd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
321	308 320	elind	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
322		elun1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
323	321 322	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
324	294 323	elind	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
325	277 324	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
326	220	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
327	242	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
328		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
329		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
330	329	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
331	328 330	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
332	331	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
333	208	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
334	265	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
335	328	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) )
336		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
337	333 334 335 336	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
338	337	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < 𝑥 )
339		elinel2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) )
340		elsni	⊢ ( 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } → 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
341	340	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
342	143	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
343	341 342	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
344	343	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∧ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
345		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝜑 )
346		elunnel2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
347	346	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) )
348		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
349		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
350	349	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
351	142	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
352	202	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
353	351	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
354		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
355		iooltub	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
356	352 353 354 355	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
357	350 351 356	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
358	348 357	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
359	345 347 358	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
360	344 359	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
361	360	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
362	339 361	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
363	362	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
364	326 327 332 338 363	eliocd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
365	325 364	impbida	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) )
366	365	eqrdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
367		ioossre	⊢ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℝ
368		ssinss1	⊢ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℝ → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
369	367 368	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
370	241	snssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ⊆ ℝ )
371	369 370	unssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ⊆ ℝ )
372		eqid	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
373	239 372	rerest	⊢ ( ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
374	371 373	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
375	263 366 374	3eltr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
376		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
377	256 375 376	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
378	249 377	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
379	246 378	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∪ { ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } ) ) )
380	201 235 238 239 240 379	limcres	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
381	235	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
382	381	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
383	194 380 382	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
384	189	feq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ ↔ 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ ) )
385	197 384	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
386	385	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
387	386	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
388		ioosscn	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℂ
389	388	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ ℂ )
390	189	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = dom 𝐹 )
391	390	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐷 = dom 𝐹 )
392	234 391	sseqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ dom 𝐹 )
393	392	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ dom 𝐹 )
394	15	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
395		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝑋 ) )
396	395	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) )
397	396	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) )
398	397	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
399	398	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
400	2 14	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
401	2 1	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
402	5 401	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
403	1 2	posdifd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
404	3 403	mpbid	⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) )
405	5	eqcomi	⊢ ( 𝐵 − 𝐴 ) = 𝑇
406	405	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = 𝑇 )
407	404 406	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
408	407	gt0ne0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
409	400 402 408	redivcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
410	409	flcld	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
411	410	zred	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
412	411 402	remulcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
413	394 399 14 412	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
414	413 412	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
415	414	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
416	415	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
417	416	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
418	417	negcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
419		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) }
420		ioosscn	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ
421	420	sseli	⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑦 ∈ ℂ )
422	421	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
423	415	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
424	422 423	pncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = 𝑦 )
425	424	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
426	425	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
427	413	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
428	427	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
429	422 423	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
430	412	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
431	430	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
432	429 431	negsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
433	410	zcnd	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
434	402	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ )
435	433 434	mulneg1d	⊢ ( 𝜑 → ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
436	435	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
437	436	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
438	437	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
439	428 432 438	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
440	439	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
441	410	znegcld	⊢ ( 𝜑 → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
442	441	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
443	442	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
444		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝜑 )
445	234	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ⊆ 𝐷 )
446	208	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
447	142	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
448	447	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
449		elioore	⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
450	449	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
451	414	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
452	450 451	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
453	452	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
454	414	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
455	207 454	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
456	455	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
457	456	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
458	14	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ* )
459	458	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
460		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
461		ioogtlb	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑦 )
462	457 459 460 461	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑦 )
463	207	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
464	454	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
465	449	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
466	463 464 465	ltsubaddd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑦 ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
467	462 466	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
468	14	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
469		iooltub	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 < 𝑋 )
470	457 459 460 469	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 < 𝑋 )
471	465 468 464 470	ltadd1dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
472	16	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) )
473		id	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋 )
474		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) )
475	473 474	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
476	475	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
477	14 414	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
478	472 476 14 477	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
479	478	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
480	479	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
481	471 480	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
482	446 448 453 467 481	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
483	482	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
484	445 483	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 )
485	444 484 443	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
486		eleq1	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
487	486	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) ) )
488		oveq1	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
489	488	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
490	489	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
491	487 490	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
492		ovex	⊢ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ V
493		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ) )
494	493	3anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
495		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
496	495	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
497	494 496	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
498	492 497 10	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
499	491 498	vtoclg	⊢ ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
500	443 485 499	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
501	440 500	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ( 𝑦 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐷 )
502	426 501	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐷 )
503	502	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑦 ∈ 𝐷 )
504		dfss3	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑦 ∈ 𝐷 )
505	503 504	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ 𝐷 )
506	207	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
507	415	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
508	506 507	negsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
509	508	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
510	478	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
511	477	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℂ )
512	511 415	negsubd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
513	14	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
514	513 415	pncand	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 )
515	510 512 514	3eqtrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
516	515	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
517	509 516	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
518	454	renegcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
519	207 281 518	iooshift	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } )
520	517 519	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
521	520	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
522	189	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
523	505 521 522	3sstr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
524	523	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
525	413	negeqd	⊢ ( 𝜑 → - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = - ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
526	525 436	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
527	526	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
528	527	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
529	528	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
530	529	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
531	441	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
532	531	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
533		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝜑 )
534	234	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
535	533 534 532	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
536	486	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) ) )
537	488	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
538	537	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
539	538	eqeq1d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
540	536 539	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
541	540 11	vtoclg	⊢ ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
542	532 535 541	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
543	530 542	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
544	543	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
545		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
546	387 389 393 418 419 524 544 545	limcperiod	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
547	520	reseq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) )
548	516	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = 𝑋 )
549	547 548	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
550	549	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
551	550	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) + - ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
552	546 551	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
553	385	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
554	553	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
555	420	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
556	505 522	sseqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ dom 𝐹 )
557	556	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ dom 𝐹 )
558	415	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
559	558	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ )
560		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) }
561	506 507	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
562	561	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
563	478	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
564	562 563	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
565	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
566	455 565 454	iooshift	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } )
567	564 566	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
568	567	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
569	234 568 522	3sstr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
570	569	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
571	413	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
572	571	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
573	572	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
574	573	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
575	410	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
576	575	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
577		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝜑 )
578	505	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
579	577 578 576	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
580		eleq1	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) )
581	580	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) ) )
582		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
583	582	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
584	583	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
585	584	eqeq1d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
586	581 585	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
587	586 11	vtoclg	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
588	576 579 587	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
589	574 588	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
590	589	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
591		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
592	554 555 557 559 560 570 590 591	limcperiod	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
593	567	reseq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
594	479	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
595	593 594	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
596	595	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
597	596	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
598	592 597	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
599	552 598	impbida	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ↔ 𝑦 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) )
600	599	eqrdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
601		resindm	⊢ ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) )
602	601	eqcomd	⊢ ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
603	184 602	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
604	189	ineq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
605	604	reseq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) )
606	603 605	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) )
607	606	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
608	607	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
609		inss2	⊢ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
610	609	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
611	198 610	fssresd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
612	455	mnfltd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → -∞ < ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
613	203 456 612	xrltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → -∞ ≤ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
614		iooss1	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
615	202 613 614	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
616	615	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
617	616 505	ssind	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ⊆ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
618	609 237	sstrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
619		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
620	456	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
621	458	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
622	478	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
623	244 622	breqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
624	414	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
625	14	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
626	219 624 625	ltsubaddd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑋 ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ) )
627	623 626	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑋 )
628	14	leidd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋 )
629	628	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑋 )
630	620 621 621 627 629	eliocd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
631		ioounsn	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
632	620 621 627 631	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
633	632	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) )
634		ovex	⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ∈ V
635	634	inex1	⊢ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
636		snex	⊢ { 𝑋 } ∈ V
637	635 636	unex	⊢ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V
638		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
639	250 637 638	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top
640	637	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V )
641		iooretop	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
642	641	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
643		elrestr	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
644	258 640 642 643	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
645	456	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
646	265	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
647	14	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
648		iocssre	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ⊆ ℝ )
649	645 647 648	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ⊆ ℝ )
650		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
651	649 650	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
652	458	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
653		iocgtlb	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
654	645 652 650 653	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
655	651	ltpnfd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 < +∞ )
656	645 646 651 654 655	eliood	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) )
657	656	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) )
658		eqvisset	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ V )
659		snidg	⊢ ( 𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ { 𝑋 } )
660	658 659	syl	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ∈ { 𝑋 } )
661	473 660	eqeltrd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
662		elun2	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
663	661 662	syl	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
664	663	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
665		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
666	645	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
667	458	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
668	651	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
669	654	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
670	14	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
671		iocleub	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
672	645 652 650 671	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
673	672	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
674	473	eqcoms	⊢ ( 𝑋 = 𝑥 → 𝑥 = 𝑋 )
675	674	necon3bi	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑥 )
676	675	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≠ 𝑥 )
677	668 670 673 676	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < 𝑋 )
678	666 667 668 669 677	eliood	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
679	678	3adantll3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) )
680	617	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
681		elun1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
682	680 681	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
683	665 679 682	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
684	664 683	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
685	657 684	elind	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
686	620	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
687	621	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
688		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) )
689		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
690	688 689	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
691	690	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
692	691	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
693	456	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* )
694	265	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
695	688	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) )
696		ioogtlb	⊢ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
697	693 694 695 696	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
698	697	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) < 𝑥 )
699		elinel2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
700		elsni	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 = 𝑋 )
701	700	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 = 𝑋 )
702	628	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑋 ≤ 𝑋 )
703	701 702	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
704	703	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
705		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝜑 )
706		elunnel2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
707	706	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) )
708		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
709	707 708	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
710		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
711	710	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
712	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
713	202	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
714	458	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
715		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) )
716		iooltub	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 < 𝑋 )
717	713 714 715 716	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 < 𝑋 )
718	711 712 717	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
719	705 709 718	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
720	704 719	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
721	699 720	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
722	721	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ≤ 𝑋 )
723	686 687 692 698 722	eliocd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
724	685 723	impbida	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) )
725	724	eqrdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) +∞ ) ∩ ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
726	609 8	sstrid	⊢ ( 𝜑 → ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
727	14	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝑋 } ⊆ ℝ )
728	726 727	unssd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
729	728	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
730	239 372	rerest	⊢ ( ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
731	729 730	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
732	644 725 731	3eltr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
733		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
734	639 732 733	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) )
735	633 734	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,] 𝑋 ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
736	630 735	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
737	611 617 618 239 619 736	limcres	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
738	737	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
739	617	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) )
740	739	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( -∞ (,) 𝑋 ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
741	608 738 740	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
742	383 600 741	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
743	742	rexlimdv3a	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
744	182 743	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
745	129	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
746	12	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
747	13	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
748		eqid	⊢ if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
749		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∪ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∪ { ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) )
750	219 217 745 746 747 219 241 244 225 748 749	fourierdlem33	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
751	225	resabs1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) )
752	751	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
753	750 752	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
754		ne0i	⊢ ( if ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ )
755	753 754	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ )
756	383 755	eqnetrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ )
757	756	rexlimdv3a	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ ) )
758	182 757	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ) limℂ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ≠ ∅ )
759	744 758	eqnetrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )