Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
efrlim.1 |
⊢ 𝑆 = ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) |
2 |
|
rge0ssre |
⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ |
3 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
4 |
2 3
|
sstri |
⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℂ |
5 |
4
|
sseli |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
6 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
7 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 1 ∈ ℂ ) |
8 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
9 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
10 |
9
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 1 ≠ 0 ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ¬ 𝑥 = 0 ) |
12 |
11
|
neqned |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ≠ 0 ) |
13 |
6 7 8 10 12
|
divdiv2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝑥 ) / 1 ) ) |
14 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
16 |
15
|
div1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝑥 ) / 1 ) = ( 𝐴 · 𝑥 ) ) |
17 |
13 16
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) = ( 𝐴 · 𝑥 ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) |
19 |
18
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) = ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) |
20 |
19
|
ifeq2da |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) |
21 |
5 20
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) |
22 |
21
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ) |
23 |
|
resmpt |
⊢ ( ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ) |
24 |
4 23
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) |
25 |
22 24
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) ) |
26 |
|
0e0icopnf |
⊢ 0 ∈ ( 0 [,) +∞ ) |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
28 |
|
eqeq2 |
⊢ ( ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) → ( if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) ↔ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) |
29 |
|
eqeq2 |
⊢ ( ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) → ( if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ↔ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) |
30 |
|
cnxmet |
⊢ ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) |
31 |
|
0cnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ ) |
32 |
|
abscl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
33 |
|
peano2re |
⊢ ( ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ → ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
34 |
32 33
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
35 |
|
0red |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ ) |
36 |
|
absge0 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ( abs ‘ 𝐴 ) ) |
37 |
32
|
ltp1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( abs ‘ 𝐴 ) < ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) |
38 |
35 32 34 36 37
|
lelttrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 < ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) |
39 |
34 38
|
elrpd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
40 |
39
|
rpreccld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) |
41 |
40
|
rpxrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
42 |
|
blssm |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ) → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ⊆ ℂ ) |
43 |
30 31 41 42
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ⊆ ℂ ) |
44 |
1 43
|
eqsstrid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
45 |
44
|
sselda |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
46 |
|
mul0or |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ↔ ( 𝐴 = 0 ∨ 𝑥 = 0 ) ) ) |
47 |
45 46
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ↔ ( 𝐴 = 0 ∨ 𝑥 = 0 ) ) ) |
48 |
47
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → ( 𝐴 = 0 ∨ 𝑥 = 0 ) ) |
49 |
8 12
|
reccld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
50 |
45 49
|
syldanl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
51 |
50
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
52 |
51
|
1cxpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 1 ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) = 1 ) |
53 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 = 0 ) |
54 |
53
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) = ( 0 · 𝑥 ) ) |
55 |
45
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
56 |
55
|
mul02d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 0 · 𝑥 ) = 0 ) |
57 |
54 56
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) |
58 |
57
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = ( 1 + 0 ) ) |
59 |
|
1p0e1 |
⊢ ( 1 + 0 ) = 1 |
60 |
58 59
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = 1 ) |
61 |
60
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) = ( 1 ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) |
62 |
53
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( exp ‘ 𝐴 ) = ( exp ‘ 0 ) ) |
63 |
|
ef0 |
⊢ ( exp ‘ 0 ) = 1 |
64 |
62 63
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( exp ‘ 𝐴 ) = 1 ) |
65 |
52 61 64
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) = ( exp ‘ 𝐴 ) ) |
66 |
65
|
ifeq2da |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( exp ‘ 𝐴 ) ) ) |
67 |
|
ifid |
⊢ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( exp ‘ 𝐴 ) ) = ( exp ‘ 𝐴 ) |
68 |
66 67
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐴 = 0 ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ 𝐴 ) ) |
69 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑥 = 0 → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ 𝐴 ) ) |
70 |
69
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 = 0 ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ 𝐴 ) ) |
71 |
68 70
|
jaodan |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∨ 𝑥 = 0 ) ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ 𝐴 ) ) |
72 |
|
mulid1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 · 1 ) = 𝐴 ) |
73 |
72
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∨ 𝑥 = 0 ) ) → ( 𝐴 · 1 ) = 𝐴 ) |
74 |
73
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∨ 𝑥 = 0 ) ) → ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) = ( exp ‘ 𝐴 ) ) |
75 |
71 74
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∨ 𝑥 = 0 ) ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) ) |
76 |
48 75
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) ) |
77 |
|
mulne0b |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ↔ ( 𝐴 · 𝑥 ) ≠ 0 ) ) |
78 |
45 77
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ↔ ( 𝐴 · 𝑥 ) ≠ 0 ) ) |
79 |
|
df-ne |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝑥 ) ≠ 0 ↔ ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) |
80 |
78 79
|
bitrdi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ↔ ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) ) |
81 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → 𝑥 ≠ 0 ) |
82 |
81
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ¬ 𝑥 = 0 ) |
83 |
82
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) |
84 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
85 |
45 14
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
86 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
87 |
84 85 86
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
88 |
87
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
89 |
|
eqid |
⊢ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) = ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) |
90 |
89
|
dvlog2lem |
⊢ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⊆ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) |
91 |
|
eqid |
⊢ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) = ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) |
92 |
91
|
logdmss |
⊢ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } ) |
93 |
90 92
|
sstri |
⊢ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } ) |
94 |
|
eqid |
⊢ ( abs ∘ − ) = ( abs ∘ − ) |
95 |
94
|
cnmetdval |
⊢ ( ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ( abs ∘ − ) 1 ) = ( abs ‘ ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) ) |
96 |
87 84 95
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ( abs ∘ − ) 1 ) = ( abs ‘ ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) ) |
97 |
|
pncan2 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) = ( 𝐴 · 𝑥 ) ) |
98 |
84 85 97
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) = ( 𝐴 · 𝑥 ) ) |
99 |
98
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) |
100 |
96 99
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ( abs ∘ − ) 1 ) = ( abs ‘ ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) |
101 |
85
|
abscld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
102 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
103 |
45
|
abscld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
104 |
102 103
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
105 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 1 ∈ ℝ ) |
106 |
|
absmul |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐴 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
107 |
45 106
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐴 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
108 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
109 |
108 33
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
110 |
45
|
absge0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 0 ≤ ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
111 |
108
|
lep1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ≤ ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) |
112 |
108 109 103 110 111
|
lemul1ad |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
113 |
107 112
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ≤ ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) ) |
114 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
115 |
94
|
cnmetdval |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 0 ) ) ) |
116 |
45 114 115
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 0 ) ) ) |
117 |
45
|
subid1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 − 0 ) = 𝑥 ) |
118 |
117
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 0 ) ) = ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
119 |
116 118
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ 𝑥 ) ) |
120 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
121 |
120 1
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ) |
122 |
30
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ) |
123 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
124 |
|
0cnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 0 ∈ ℂ ) |
125 |
|
elbl3 |
⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ↔ ( 𝑥 ( abs ∘ − ) 0 ) < ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ) |
126 |
122 123 124 45 125
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ↔ ( 𝑥 ( abs ∘ − ) 0 ) < ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ) |
127 |
121 126
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ( abs ∘ − ) 0 ) < ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) |
128 |
119 127
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) |
129 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 0 < ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) |
130 |
|
ltmuldiv2 |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) < 1 ↔ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ) |
131 |
103 105 109 129 130
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) < 1 ↔ ( abs ‘ 𝑥 ) < ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ) |
132 |
128 131
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) · ( abs ‘ 𝑥 ) ) < 1 ) |
133 |
101 104 105 113 132
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 · 𝑥 ) ) < 1 ) |
134 |
100 133
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ( abs ∘ − ) 1 ) < 1 ) |
135 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
136 |
|
rpxr |
⊢ ( 1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ* ) |
137 |
135 136
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 1 ∈ ℝ* ) |
138 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 1 ∈ ℂ ) |
139 |
|
elbl3 |
⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 1 ∈ ℝ* ) ∧ ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↔ ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ( abs ∘ − ) 1 ) < 1 ) ) |
140 |
122 137 138 87 139
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↔ ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ( abs ∘ − ) 1 ) < 1 ) ) |
141 |
134 140
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) |
142 |
93 141
|
sselid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
143 |
|
eldifsni |
⊢ ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ≠ 0 ) |
144 |
142 143
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ≠ 0 ) |
145 |
144
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ≠ 0 ) |
146 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
147 |
146 81
|
reccld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 1 / 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
148 |
88 145 147
|
cxpefd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) = ( exp ‘ ( ( 1 / 𝑥 ) · ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
149 |
87 144
|
logcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
150 |
149
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
151 |
147 150
|
mulcomd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( 1 / 𝑥 ) · ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) · ( 1 / 𝑥 ) ) ) |
152 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
153 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → 𝐴 ≠ 0 ) |
154 |
152 153
|
dividd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / 𝐴 ) = 1 ) |
155 |
154
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐴 ) / 𝑥 ) = ( 1 / 𝑥 ) ) |
156 |
152 152 146 153 81
|
divdiv1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐴 ) / 𝑥 ) = ( 𝐴 / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) |
157 |
155 156
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 1 / 𝑥 ) = ( 𝐴 / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) |
158 |
157
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) · ( 1 / 𝑥 ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) · ( 𝐴 / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) |
159 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
160 |
78
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) ≠ 0 ) |
161 |
150 152 159 160
|
div12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) · ( 𝐴 / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) |
162 |
151 158 161
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( ( 1 / 𝑥 ) · ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) |
163 |
162
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → ( exp ‘ ( ( 1 / 𝑥 ) · ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
164 |
83 148 163
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
165 |
164
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
166 |
80 165
|
sylbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
167 |
166
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
168 |
28 29 76 167
|
ifbothda |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
169 |
168
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) |
170 |
44
|
resmptd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ 𝑆 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ) |
171 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → 1 ∈ ℂ ) |
172 |
149
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
173 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
174 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) |
175 |
174
|
neqned |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → ( 𝐴 · 𝑥 ) ≠ 0 ) |
176 |
172 173 175
|
divcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) → ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
177 |
171 176
|
ifclda |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
178 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
179 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) |
180 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑦 = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) → ( 𝐴 · 𝑦 ) = ( 𝐴 · if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
181 |
180
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑦 = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) → ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
182 |
|
oveq2 |
⊢ ( if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) = 1 → ( 𝐴 · if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝐴 · 1 ) ) |
183 |
182
|
fveq2d |
⊢ ( if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) = 1 → ( exp ‘ ( 𝐴 · if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) ) |
184 |
|
oveq2 |
⊢ ( if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) → ( 𝐴 · if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) |
185 |
184
|
fveq2d |
⊢ ( if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) → ( exp ‘ ( 𝐴 · if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) = ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
186 |
183 185
|
ifsb |
⊢ ( exp ‘ ( 𝐴 · if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
187 |
181 186
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑦 = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) → ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
188 |
177 178 179 187
|
fmptco |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , ( exp ‘ ( 𝐴 · 1 ) ) , ( exp ‘ ( 𝐴 · ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) |
189 |
169 170 188
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ 𝑆 ) = ( ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
190 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) |
191 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ) |
192 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) → ( 𝑦 = 1 ↔ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = 1 ) ) |
193 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) → ( log ‘ 𝑦 ) = ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) |
194 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) → ( 𝑦 − 1 ) = ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) |
195 |
193 194
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑦 = ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) → ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) ) |
196 |
192 195
|
ifbieq2d |
⊢ ( 𝑦 = ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) → if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) = if ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = 1 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) ) ) |
197 |
141 190 191 196
|
fmptco |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = 1 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) ) ) ) |
198 |
59
|
eqeq2i |
⊢ ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = ( 1 + 0 ) ↔ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = 1 ) |
199 |
138 85 124
|
addcand |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = ( 1 + 0 ) ↔ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) ) |
200 |
198 199
|
bitr3id |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = 1 ↔ ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 ) ) |
201 |
98
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) |
202 |
200 201
|
ifbieq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → if ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = 1 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) ) = if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) |
203 |
202
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = 1 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
204 |
197 203
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) |
205 |
|
eqid |
⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) |
206 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
207 |
206
|
cnfldtopon |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) |
208 |
207
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ) |
209 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ ) |
210 |
208 208 209
|
cnmptc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 1 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
211 |
|
id |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ ) |
212 |
208 208 211
|
cnmptc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
213 |
208
|
cnmptid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
214 |
206
|
mulcn |
⊢ · ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
215 |
214
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → · ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
216 |
208 212 213 215
|
cnmpt12f |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
217 |
206
|
addcn |
⊢ + ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
218 |
217
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → + ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ×t ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
219 |
208 210 216 218
|
cnmpt12f |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
220 |
205 208 44 219
|
cnmpt1res |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
221 |
141
|
fmpttd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) : 𝑆 ⟶ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) |
222 |
221
|
frnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ran ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ⊆ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) |
223 |
|
difss |
⊢ ( ℂ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ |
224 |
93 223
|
sstri |
⊢ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⊆ ℂ |
225 |
224
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⊆ ℂ ) |
226 |
|
cnrest2 |
⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ∧ ran ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ⊆ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ∧ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⊆ ℂ ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) Cn ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ) ) |
227 |
207 222 225 226
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) Cn ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ) ) |
228 |
220 227
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) Cn ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ) |
229 |
|
blcntr |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) → 0 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ) |
230 |
30 31 40 229
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ) |
231 |
230 1
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ 𝑆 ) |
232 |
|
resttopon |
⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) ) |
233 |
207 44 232
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) ) |
234 |
|
toponuni |
⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑆 ) → 𝑆 = ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) |
235 |
233 234
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 𝑆 = ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) |
236 |
231 235
|
eleqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) |
237 |
|
eqid |
⊢ ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) = ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) |
238 |
237
|
cncnpi |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) Cn ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ∧ 0 ∈ ∪ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ‘ 0 ) ) |
239 |
228 236 238
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ‘ 0 ) ) |
240 |
|
cnelprrecn |
⊢ ℂ ∈ { ℝ , ℂ } |
241 |
|
logf1o |
⊢ log : ( ℂ ∖ { 0 } ) –1-1-onto→ ran log |
242 |
|
f1of |
⊢ ( log : ( ℂ ∖ { 0 } ) –1-1-onto→ ran log → log : ( ℂ ∖ { 0 } ) ⟶ ran log ) |
243 |
241 242
|
ax-mp |
⊢ log : ( ℂ ∖ { 0 } ) ⟶ ran log |
244 |
|
logrncn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ ) |
245 |
244
|
ssriv |
⊢ ran log ⊆ ℂ |
246 |
|
fss |
⊢ ( ( log : ( ℂ ∖ { 0 } ) ⟶ ran log ∧ ran log ⊆ ℂ ) → log : ( ℂ ∖ { 0 } ) ⟶ ℂ ) |
247 |
243 245 246
|
mp2an |
⊢ log : ( ℂ ∖ { 0 } ) ⟶ ℂ |
248 |
|
fssres |
⊢ ( ( log : ( ℂ ∖ { 0 } ) ⟶ ℂ ∧ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⊆ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) : ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⟶ ℂ ) |
249 |
247 93 248
|
mp2an |
⊢ ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) : ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⟶ ℂ |
250 |
|
blcntr |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ+ ) → 1 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) |
251 |
30 84 135 250
|
mp3an |
⊢ 1 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) |
252 |
|
ovex |
⊢ ( 1 / 𝑦 ) ∈ V |
253 |
89
|
dvlog2 |
⊢ ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ ( 1 / 𝑦 ) ) |
254 |
252 253
|
dmmpti |
⊢ dom ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) = ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) |
255 |
251 254
|
eleqtrri |
⊢ 1 ∈ dom ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) |
256 |
|
eqid |
⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) |
257 |
253
|
fveq1i |
⊢ ( ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ‘ 1 ) = ( ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ ( 1 / 𝑦 ) ) ‘ 1 ) |
258 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 1 → ( 1 / 𝑦 ) = ( 1 / 1 ) ) |
259 |
|
1div1e1 |
⊢ ( 1 / 1 ) = 1 |
260 |
258 259
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑦 = 1 → ( 1 / 𝑦 ) = 1 ) |
261 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ ( 1 / 𝑦 ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ ( 1 / 𝑦 ) ) |
262 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
263 |
260 261 262
|
fvmpt |
⊢ ( 1 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ ( 1 / 𝑦 ) ) ‘ 1 ) = 1 ) |
264 |
251 263
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ ( 1 / 𝑦 ) ) ‘ 1 ) = 1 |
265 |
257 264
|
eqtr2i |
⊢ 1 = ( ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ‘ 1 ) |
266 |
265
|
a1i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → 1 = ( ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ‘ 1 ) ) |
267 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( log ‘ 𝑦 ) ) |
268 |
|
fvres |
⊢ ( 1 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 1 ) = ( log ‘ 1 ) ) |
269 |
251 268
|
mp1i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 1 ) = ( log ‘ 1 ) ) |
270 |
|
log1 |
⊢ ( log ‘ 1 ) = 0 |
271 |
269 270
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 1 ) = 0 ) |
272 |
267 271
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 1 ) ) = ( ( log ‘ 𝑦 ) − 0 ) ) |
273 |
93
|
sseli |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → 𝑦 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
274 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) |
275 |
273 274
|
sylib |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) |
276 |
|
logcl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ( log ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
277 |
275 276
|
syl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( log ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
278 |
277
|
subid1d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( ( log ‘ 𝑦 ) − 0 ) = ( log ‘ 𝑦 ) ) |
279 |
272 278
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( log ‘ 𝑦 ) = ( ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 1 ) ) ) |
280 |
279
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) = ( ( ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 1 ) ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) |
281 |
266 280
|
ifeq12d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) → if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) = if ( 𝑦 = 1 , ( ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ‘ 1 ) , ( ( ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 1 ) ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) |
282 |
281
|
mpteq2ia |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , ( ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ‘ 1 ) , ( ( ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ‘ 1 ) ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) |
283 |
256 206 282
|
dvcnp |
⊢ ( ( ( ℂ ∈ { ℝ , ℂ } ∧ ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) : ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⟶ ℂ ∧ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⊆ ℂ ) ∧ 1 ∈ dom ( ℂ D ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 1 ) ) |
284 |
255 283
|
mpan2 |
⊢ ( ( ℂ ∈ { ℝ , ℂ } ∧ ( log ↾ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) : ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⟶ ℂ ∧ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ⊆ ℂ ) → ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 1 ) ) |
285 |
240 249 224 284
|
mp3an |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 1 ) |
286 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝐴 · 𝑥 ) = ( 𝐴 · 0 ) ) |
287 |
286
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) = ( 1 + ( 𝐴 · 0 ) ) ) |
288 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) |
289 |
|
ovex |
⊢ ( 1 + ( 𝐴 · 0 ) ) ∈ V |
290 |
287 288 289
|
fvmpt |
⊢ ( 0 ∈ 𝑆 → ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 1 + ( 𝐴 · 0 ) ) ) |
291 |
231 290
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ‘ 0 ) = ( 1 + ( 𝐴 · 0 ) ) ) |
292 |
|
mul01 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 · 0 ) = 0 ) |
293 |
292
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 + ( 𝐴 · 0 ) ) = ( 1 + 0 ) ) |
294 |
293 59
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 + ( 𝐴 · 0 ) ) = 1 ) |
295 |
291 294
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ‘ 0 ) = 1 ) |
296 |
295
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ‘ 0 ) ) = ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 1 ) ) |
297 |
285 296
|
eleqtrrid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ‘ 0 ) ) ) |
298 |
|
cnpco |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) ) ‘ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ‘ 0 ) ) ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
299 |
239 297 298
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑦 ∈ ( 1 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 1 ) ↦ if ( 𝑦 = 1 , 1 , ( ( log ‘ 𝑦 ) / ( 𝑦 − 1 ) ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
300 |
204 299
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
301 |
208 208 211
|
cnmptc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
302 |
208
|
cnmptid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
303 |
208 301 302 215
|
cnmpt12f |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
304 |
|
efcn |
⊢ exp ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
305 |
206
|
cncfcn1 |
⊢ ( ℂ –cn→ ℂ ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
306 |
304 305
|
eleqtri |
⊢ exp ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
307 |
306
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → exp ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
308 |
208 303 307
|
cnmpt11f |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ) |
309 |
177
|
fmpttd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) : 𝑆 ⟶ ℂ ) |
310 |
309 231
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 0 ) ∈ ℂ ) |
311 |
|
unicntop |
⊢ ℂ = ∪ ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
312 |
311
|
cncnpi |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) Cn ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 0 ) ∈ ℂ ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 0 ) ) ) |
313 |
308 310 312
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 0 ) ) ) |
314 |
|
cnpco |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 0 ) ) ) → ( ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
315 |
300 313 314
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( exp ‘ ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ∘ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ if ( ( 𝐴 · 𝑥 ) = 0 , 1 , ( ( log ‘ ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) / ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
316 |
189 315
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ 𝑆 ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
317 |
206
|
cnfldtop |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top |
318 |
317
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ) |
319 |
206
|
cnfldtopn |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( MetOpen ‘ ( abs ∘ − ) ) |
320 |
319
|
blopn |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* ) → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ∈ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
321 |
30 31 41 320
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) ( 1 / ( ( abs ‘ 𝐴 ) + 1 ) ) ) ∈ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
322 |
1 321
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 𝑆 ∈ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) |
323 |
|
isopn3i |
⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) → ( ( int ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 𝑆 ) = 𝑆 ) |
324 |
317 322 323
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( int ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 𝑆 ) = 𝑆 ) |
325 |
231 324
|
eleqtrrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ( ( int ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 𝑆 ) ) |
326 |
|
efcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
327 |
326
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( exp ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
328 |
84 15 86
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
329 |
328 49
|
cxpcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ∧ ¬ 𝑥 = 0 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
330 |
327 329
|
ifclda |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) |
331 |
330
|
fmpttd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) : ℂ ⟶ ℂ ) |
332 |
311 311
|
cnprest |
⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ) ∧ ( 0 ∈ ( ( int ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 𝑆 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) : ℂ ⟶ ℂ ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ 𝑆 ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) ) |
333 |
318 44 325 331 332
|
syl22anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ 𝑆 ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) ) |
334 |
316 333
|
mpbird |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
335 |
311
|
cnpresti |
⊢ ( ( ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
336 |
4 27 334 335
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 · 𝑥 ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
337 |
25 336
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) |
338 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
339 |
|
rpcn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ+ → 𝑘 ∈ ℂ ) |
340 |
339
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+ ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
341 |
|
rpne0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ+ → 𝑘 ≠ 0 ) |
342 |
341
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+ ) → 𝑘 ≠ 0 ) |
343 |
338 340 342
|
divcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 / 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
344 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 / 𝑘 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( 𝐴 / 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
345 |
84 343 344
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+ ) → ( 1 + ( 𝐴 / 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
346 |
345 340
|
cxpcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+ ) → ( ( 1 + ( 𝐴 / 𝑘 ) ) ↑𝑐 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
347 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 1 / 𝑥 ) → ( 𝐴 / 𝑘 ) = ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) |
348 |
347
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = ( 1 / 𝑥 ) → ( 1 + ( 𝐴 / 𝑘 ) ) = ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) |
349 |
|
id |
⊢ ( 𝑘 = ( 1 / 𝑥 ) → 𝑘 = ( 1 / 𝑥 ) ) |
350 |
348 349
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = ( 1 / 𝑥 ) → ( ( 1 + ( 𝐴 / 𝑘 ) ) ↑𝑐 𝑘 ) = ( ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) |
351 |
|
eqid |
⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) |
352 |
326 346 350 206 351
|
rlimcnp3 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝑘 ∈ ℝ+ ↦ ( ( 1 + ( 𝐴 / 𝑘 ) ) ↑𝑐 𝑘 ) ) ⇝𝑟 ( exp ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ if ( 𝑥 = 0 , ( exp ‘ 𝐴 ) , ( ( 1 + ( 𝐴 / ( 1 / 𝑥 ) ) ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( 0 [,) +∞ ) ) CnP ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 0 ) ) ) |
353 |
337 352
|
mpbird |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝑘 ∈ ℝ+ ↦ ( ( 1 + ( 𝐴 / 𝑘 ) ) ↑𝑐 𝑘 ) ) ⇝𝑟 ( exp ‘ 𝐴 ) ) |