| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
psdmul.s |
|- S = ( I mPwSer R ) |
| 2 |
|
psdmul.b |
|- B = ( Base ` S ) |
| 3 |
|
psdmul.p |
|- .+ = ( +g ` S ) |
| 4 |
|
psdmul.m |
|- .x. = ( .r ` S ) |
| 5 |
|
psdmul.r |
|- ( ph -> R e. CRing ) |
| 6 |
|
psdmul.x |
|- ( ph -> X e. I ) |
| 7 |
|
psdmul.f |
|- ( ph -> F e. B ) |
| 8 |
|
psdmul.g |
|- ( ph -> G e. B ) |
| 9 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
| 10 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
| 11 |
5
|
crngringd |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
| 12 |
11
|
ringcmnd |
|- ( ph -> R e. CMnd ) |
| 13 |
12
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. CMnd ) |
| 14 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 15 |
|
reldmpsr |
|- Rel dom mPwSer |
| 16 |
1 2 15
|
strov2rcl |
|- ( F e. B -> I e. _V ) |
| 17 |
7 16
|
syl |
|- ( ph -> I e. _V ) |
| 18 |
|
eqid |
|- { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |
| 19 |
18
|
psrbagsn |
|- ( I e. _V -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 20 |
17 19
|
syl |
|- ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 21 |
20
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 22 |
18
|
psrbagaddcl |
|- ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 23 |
14 21 22
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 24 |
18
|
psrbaglefi |
|- ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. Fin ) |
| 25 |
23 24
|
syl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. Fin ) |
| 26 |
|
eqid |
|- ( .g ` R ) = ( .g ` R ) |
| 27 |
5
|
crnggrpd |
|- ( ph -> R e. Grp ) |
| 28 |
27
|
grpmndd |
|- ( ph -> R e. Mnd ) |
| 29 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> R e. Mnd ) |
| 30 |
18
|
psrbagf |
|- ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> d : I --> NN0 ) |
| 31 |
30
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 ) |
| 32 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I ) |
| 33 |
31 32
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. NN0 ) |
| 34 |
|
peano2nn0 |
|- ( ( d ` X ) e. NN0 -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
| 35 |
33 34
|
syl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
| 36 |
35
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
| 37 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
| 38 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> R e. Ring ) |
| 39 |
1 9 18 2 7
|
psrelbas |
|- ( ph -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 40 |
39
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 41 |
|
elrabi |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 42 |
41
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 43 |
40 42
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) ) |
| 44 |
1 9 18 2 8
|
psrelbas |
|- ( ph -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 45 |
44
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 46 |
|
eqid |
|- { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |
| 47 |
18 46
|
psrbagconcl |
|- ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 48 |
23 47
|
sylan |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 49 |
|
elrabi |
|- ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 50 |
48 49
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 51 |
45 50
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 52 |
9 37 38 43 51
|
ringcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 53 |
9 26 29 36 52
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 54 |
|
disjdifr |
|- ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = (/) |
| 55 |
54
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = (/) ) |
| 56 |
|
1nn0 |
|- 1 e. NN0 |
| 57 |
|
0nn0 |
|- 0 e. NN0 |
| 58 |
56 57
|
ifcli |
|- if ( i = X , 1 , 0 ) e. NN0 |
| 59 |
58
|
nn0ge0i |
|- 0 <_ if ( i = X , 1 , 0 ) |
| 60 |
31
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 ) |
| 61 |
60
|
nn0red |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. RR ) |
| 62 |
58
|
nn0rei |
|- if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR |
| 63 |
62
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR ) |
| 64 |
61 63
|
addge01d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( 0 <_ if ( i = X , 1 , 0 ) <-> ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 65 |
59 64
|
mpbii |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 66 |
65
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> A. i e. I ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 67 |
31
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d Fn I ) |
| 68 |
56 57
|
ifcli |
|- if ( y = X , 1 , 0 ) e. NN0 |
| 69 |
68
|
elexi |
|- if ( y = X , 1 , 0 ) e. _V |
| 70 |
|
eqid |
|- ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) |
| 71 |
69 70
|
fnmpti |
|- ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I |
| 72 |
71
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 73 |
17
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. _V ) |
| 74 |
|
inidm |
|- ( I i^i I ) = I |
| 75 |
67 72 73 73 74
|
offn |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 76 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) ) |
| 77 |
|
eqeq1 |
|- ( y = i -> ( y = X <-> i = X ) ) |
| 78 |
77
|
ifbid |
|- ( y = i -> if ( y = X , 1 , 0 ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 79 |
58
|
elexi |
|- if ( i = X , 1 , 0 ) e. _V |
| 80 |
78 70 79
|
fvmpt |
|- ( i e. I -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 81 |
80
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 82 |
67 72 73 73 74 76 81
|
ofval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 83 |
67 75 73 73 74 76 82
|
ofrfval |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 84 |
66 83
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 85 |
84
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 86 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. _V ) |
| 87 |
18
|
psrbagf |
|- ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> k : I --> NN0 ) |
| 88 |
87
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> k : I --> NN0 ) |
| 89 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 ) |
| 90 |
18
|
psrbagf |
|- ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) |
| 91 |
23 90
|
syl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) |
| 92 |
91
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) |
| 93 |
|
nn0re |
|- ( q e. NN0 -> q e. RR ) |
| 94 |
|
nn0re |
|- ( r e. NN0 -> r e. RR ) |
| 95 |
|
nn0re |
|- ( s e. NN0 -> s e. RR ) |
| 96 |
|
letr |
|- ( ( q e. RR /\ r e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) ) |
| 97 |
93 94 95 96
|
syl3an |
|- ( ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) ) |
| 98 |
97
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) ) |
| 99 |
86 88 89 92 98
|
caoftrn |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( k oR <_ d /\ d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) -> k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 100 |
85 99
|
mpan2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k oR <_ d -> k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 101 |
100
|
ss2rabdv |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 102 |
|
undifr |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 103 |
101 102
|
sylib |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 104 |
103
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 105 |
9 10 13 25 53 55 104
|
gsummptfidmsplit |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 106 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
| 107 |
|
ovex |
|- ( NN0 ^m I ) e. _V |
| 108 |
107
|
rabex |
|- { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V |
| 109 |
108
|
rabex |
|- { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. _V |
| 110 |
109
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. _V ) |
| 111 |
|
ovex |
|- ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. _V |
| 112 |
|
eqid |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) |
| 113 |
111 112
|
fnmpti |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |
| 114 |
113
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 115 |
|
fvexd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( 0g ` R ) e. _V ) |
| 116 |
114 25 115
|
fndmfifsupp |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 117 |
9 106 26 110 52 116 13 35
|
gsummulg |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) |
| 118 |
|
difrab |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } |
| 119 |
118
|
eleq2i |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } ) |
| 120 |
|
breq1 |
|- ( k = u -> ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 121 |
|
breq1 |
|- ( k = u -> ( k oR <_ d <-> u oR <_ d ) ) |
| 122 |
121
|
notbid |
|- ( k = u -> ( -. k oR <_ d <-> -. u oR <_ d ) ) |
| 123 |
120 122
|
anbi12d |
|- ( k = u -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) <-> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) ) |
| 124 |
123
|
elrab |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) ) |
| 125 |
18
|
psrbagf |
|- ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> u : I --> NN0 ) |
| 126 |
125
|
ffnd |
|- ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> u Fn I ) |
| 127 |
126
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u Fn I ) |
| 128 |
75
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 129 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. _V ) |
| 130 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) ) |
| 131 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d Fn I ) |
| 132 |
68
|
a1i |
|- ( y e. I -> if ( y = X , 1 , 0 ) e. NN0 ) |
| 133 |
70 132
|
fmpti |
|- ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 |
| 134 |
133
|
a1i |
|- ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 ) |
| 135 |
134
|
ffnd |
|- ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 136 |
135
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 137 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) ) |
| 138 |
80
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 139 |
131 136 129 129 74 137 138
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 140 |
127 128 129 129 74 130 139
|
ofrfval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 141 |
127 131 129 129 74 130 137
|
ofrfval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u oR <_ d <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 142 |
141
|
notbid |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( -. u oR <_ d <-> -. A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 143 |
|
rexnal |
|- ( E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> -. A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) |
| 144 |
142 143
|
bitr4di |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( -. u oR <_ d <-> E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 145 |
140 144
|
anbi12d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) <-> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) |
| 146 |
33
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) e. NN0 ) |
| 147 |
125
|
adantl |
|- ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u : I --> NN0 ) |
| 148 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I ) |
| 149 |
147 148
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. NN0 ) |
| 150 |
149
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. NN0 ) |
| 151 |
150
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 ) |
| 152 |
|
nn0nlt0 |
|- ( ( d ` X ) e. NN0 -> -. ( d ` X ) < 0 ) |
| 153 |
146 152
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( d ` X ) < 0 ) |
| 154 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 ) |
| 155 |
154
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 ) |
| 156 |
155
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC ) |
| 157 |
156
|
addridd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d ` i ) + 0 ) = ( d ` i ) ) |
| 158 |
157
|
breq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) <-> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 159 |
158
|
biimpd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 160 |
|
ifnefalse |
|- ( i =/= X -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 0 ) |
| 161 |
160
|
oveq2d |
|- ( i =/= X -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + 0 ) ) |
| 162 |
161
|
breq2d |
|- ( i =/= X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) <-> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) ) ) |
| 163 |
162
|
imbi1d |
|- ( i =/= X -> ( ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) <-> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) |
| 164 |
159 163
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( i =/= X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) |
| 165 |
164
|
imp |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 166 |
165
|
impancom |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( i =/= X -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 167 |
166
|
necon1bd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> i = X ) ) |
| 168 |
167
|
ancrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) |
| 169 |
168
|
ex |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) ) |
| 170 |
169
|
ralimdva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) ) |
| 171 |
170
|
anim1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) |
| 172 |
171
|
imp |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 173 |
|
rexim |
|- ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) |
| 174 |
173
|
imp |
|- ( ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 175 |
|
fveq2 |
|- ( i = X -> ( u ` i ) = ( u ` X ) ) |
| 176 |
|
fveq2 |
|- ( i = X -> ( d ` i ) = ( d ` X ) ) |
| 177 |
175 176
|
breq12d |
|- ( i = X -> ( ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) ) |
| 178 |
177
|
notbid |
|- ( i = X -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) ) |
| 179 |
178
|
ceqsrexbv |
|- ( E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) <-> ( X e. I /\ -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) ) |
| 180 |
179
|
simprbi |
|- ( E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) |
| 181 |
174 180
|
syl |
|- ( ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) |
| 182 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. NN0 ) |
| 183 |
182
|
nn0red |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. RR ) |
| 184 |
150
|
nn0red |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. RR ) |
| 185 |
183 184
|
ltnled |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d ` X ) < ( u ` X ) <-> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) ) |
| 186 |
185
|
biimpar |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) ) |
| 187 |
181 186
|
sylan2 |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) ) |
| 188 |
172 187
|
syldan |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) ) |
| 189 |
|
breq2 |
|- ( ( u ` X ) = 0 -> ( ( d ` X ) < ( u ` X ) <-> ( d ` X ) < 0 ) ) |
| 190 |
188 189
|
syl5ibcom |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> ( d ` X ) < 0 ) ) |
| 191 |
153 190
|
mtod |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( u ` X ) = 0 ) |
| 192 |
191
|
neqned |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) =/= 0 ) |
| 193 |
|
elnnne0 |
|- ( ( u ` X ) e. NN <-> ( ( u ` X ) e. NN0 /\ ( u ` X ) =/= 0 ) ) |
| 194 |
151 192 193
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN ) |
| 195 |
|
elfzo0 |
|- ( ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) <-> ( ( d ` X ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( d ` X ) < ( u ` X ) ) ) |
| 196 |
146 194 188 195
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) ) |
| 197 |
|
fzostep1 |
|- ( ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) \/ ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) ) |
| 198 |
196 197
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) \/ ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) ) |
| 199 |
151
|
nn0red |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. RR ) |
| 200 |
35
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
| 201 |
200
|
nn0red |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. RR ) |
| 202 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I ) |
| 203 |
|
iftrue |
|- ( i = X -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 1 ) |
| 204 |
176 203
|
oveq12d |
|- ( i = X -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` X ) + 1 ) ) |
| 205 |
175 204
|
breq12d |
|- ( i = X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) <-> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) ) |
| 206 |
205
|
rspcv |
|- ( X e. I -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) ) |
| 207 |
202 206
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) ) |
| 208 |
207
|
imp |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) |
| 209 |
208
|
adantrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) |
| 210 |
199 201 209
|
lensymd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) ) |
| 211 |
210
|
intn3an3d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) ) ) |
| 212 |
|
elfzo0 |
|- ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) <-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) ) ) |
| 213 |
211 212
|
sylnibr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) ) |
| 214 |
198 213
|
orcnd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) |
| 215 |
145 214
|
sylbida |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) |
| 216 |
215
|
anasss |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) |
| 217 |
124 216
|
sylan2b |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) |
| 218 |
119 217
|
sylan2b |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) |
| 219 |
218
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 220 |
219
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 221 |
220
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) |
| 222 |
18
|
psrbaglefi |
|- ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. Fin ) |
| 223 |
222
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. Fin ) |
| 224 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Mnd ) |
| 225 |
35
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
| 226 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Ring ) |
| 227 |
|
elrabi |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 228 |
39
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 229 |
228
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) ) |
| 230 |
227 229
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) ) |
| 231 |
44
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 232 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d : I --> NN0 ) |
| 233 |
232
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 ) |
| 234 |
233
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC ) |
| 235 |
227 125
|
syl |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> u : I --> NN0 ) |
| 236 |
235
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u : I --> NN0 ) |
| 237 |
236
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 ) |
| 238 |
237
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC ) |
| 239 |
58
|
nn0cni |
|- if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC |
| 240 |
239
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC ) |
| 241 |
234 238 240
|
subadd23d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + ( if ( i = X , 1 , 0 ) - ( u ` i ) ) ) ) |
| 242 |
234 240 238
|
addsubassd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) = ( ( d ` i ) + ( if ( i = X , 1 , 0 ) - ( u ` i ) ) ) ) |
| 243 |
241 242
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) |
| 244 |
243
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) ) |
| 245 |
|
eqid |
|- { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |
| 246 |
18 245
|
psrbagconcl |
|- ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 247 |
|
elrabi |
|- ( ( d oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 248 |
246 247
|
syl |
|- ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 249 |
248
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 250 |
18
|
psrbagf |
|- ( ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF - u ) : I --> NN0 ) |
| 251 |
249 250
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) : I --> NN0 ) |
| 252 |
251
|
ffnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) Fn I ) |
| 253 |
71
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 254 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. _V ) |
| 255 |
232
|
ffnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d Fn I ) |
| 256 |
236
|
ffnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u Fn I ) |
| 257 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) ) |
| 258 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) ) |
| 259 |
255 256 254 254 74 257 258
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` i ) = ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) ) |
| 260 |
80
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 261 |
252 253 254 254 74 259 260
|
offval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 262 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 263 |
20
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 264 |
262 263 22
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 265 |
264 90
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) |
| 266 |
265
|
ffnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 267 |
255 253 254 254 74 257 260
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 268 |
266 256 254 254 74 267 258
|
offval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) ) |
| 269 |
244 261 268
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) |
| 270 |
18
|
psrbagaddcl |
|- ( ( ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 271 |
249 263 270
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 272 |
269 271
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 273 |
231 272
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 274 |
9 37 226 230 273
|
ringcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 275 |
9 26 224 225 274
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 276 |
|
disjdifr |
|- ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = (/) |
| 277 |
276
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = (/) ) |
| 278 |
|
simpl |
|- ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) -> k oR <_ d ) |
| 279 |
278
|
a1i |
|- ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) -> k oR <_ d ) ) |
| 280 |
279
|
ss2rabi |
|- { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |
| 281 |
280
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 282 |
|
undifr |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } <-> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 283 |
281 282
|
sylib |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 284 |
283
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) |
| 285 |
9 10 13 223 275 277 284
|
gsummptfidmsplit |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 286 |
|
eldifi |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 287 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> X e. I ) |
| 288 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( d ` X ) = ( d ` X ) ) |
| 289 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) ) |
| 290 |
255 256 254 254 74 288 289
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) |
| 291 |
287 290
|
mpdan |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) |
| 292 |
286 291
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) |
| 293 |
292
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) = ( ( u ` X ) + ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) ) |
| 294 |
236 287
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u ` X ) e. NN0 ) |
| 295 |
286 294
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 ) |
| 296 |
295
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( u ` X ) e. CC ) |
| 297 |
33
|
nn0cnd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. CC ) |
| 298 |
297
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( d ` X ) e. CC ) |
| 299 |
296 298
|
pncan3d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) = ( d ` X ) ) |
| 300 |
293 299
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) = ( d ` X ) ) |
| 301 |
300
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) + 1 ) = ( ( d ` X ) + 1 ) ) |
| 302 |
251 287
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 ) |
| 303 |
286 302
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 ) |
| 304 |
303
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. CC ) |
| 305 |
|
1cnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> 1 e. CC ) |
| 306 |
296 304 305
|
addassd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) + 1 ) = ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ) |
| 307 |
301 306
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ) |
| 308 |
307
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 309 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> R e. Mnd ) |
| 310 |
|
peano2nn0 |
|- ( ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
| 311 |
302 310
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
| 312 |
286 311
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
| 313 |
286 274
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 314 |
9 26 10
|
mulgnn0dir |
|- ( ( R e. Mnd /\ ( ( u ` X ) e. NN0 /\ ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 315 |
309 295 312 313 314
|
syl13anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 316 |
308 315
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 317 |
316
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) |
| 318 |
317
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 319 |
|
difssd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 320 |
223 319
|
ssfid |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. Fin ) |
| 321 |
9 26 224 294 274
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 322 |
286 321
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 323 |
9 26 224 311 274
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 324 |
286 323
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 325 |
|
eqid |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 326 |
|
eqid |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 327 |
9 10 13 320 322 324 325 326
|
gsummptfidmadd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 328 |
318 327
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 329 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> X e. I ) |
| 330 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> d Fn I ) |
| 331 |
|
elrabi |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 332 |
331 126
|
syl |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u Fn I ) |
| 333 |
332
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> u Fn I ) |
| 334 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> I e. _V ) |
| 335 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( d ` X ) = ( d ` X ) ) |
| 336 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) ) |
| 337 |
330 333 334 334 74 335 336
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) |
| 338 |
329 337
|
mpdan |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) |
| 339 |
|
fveq1 |
|- ( k = u -> ( k ` X ) = ( u ` X ) ) |
| 340 |
339
|
eqeq1d |
|- ( k = u -> ( ( k ` X ) = 0 <-> ( u ` X ) = 0 ) ) |
| 341 |
121 340
|
anbi12d |
|- ( k = u -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) |
| 342 |
341
|
elrab |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) |
| 343 |
342
|
simprbi |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) |
| 344 |
343
|
simprd |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> ( u ` X ) = 0 ) |
| 345 |
344
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( u ` X ) = 0 ) |
| 346 |
345
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) = ( ( d ` X ) - 0 ) ) |
| 347 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) e. NN0 ) |
| 348 |
347
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) e. CC ) |
| 349 |
348
|
subid1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) - 0 ) = ( d ` X ) ) |
| 350 |
338 346 349
|
3eqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) = ( ( d oF - u ) ` X ) ) |
| 351 |
350
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) |
| 352 |
351
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 353 |
352
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 354 |
353
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) |
| 355 |
328 354
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 356 |
27
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. Grp ) |
| 357 |
108
|
rabex |
|- { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. _V |
| 358 |
357
|
difexi |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. _V |
| 359 |
358
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. _V ) |
| 360 |
322
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) --> ( Base ` R ) ) |
| 361 |
|
ovex |
|- ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. _V |
| 362 |
361 325
|
fnmpti |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |
| 363 |
362
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) |
| 364 |
363 320 115
|
fndmfifsupp |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 365 |
9 106 13 359 360 364
|
gsumcl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 366 |
324
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) --> ( Base ` R ) ) |
| 367 |
|
ovex |
|- ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. _V |
| 368 |
367 326
|
fnmpti |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |
| 369 |
368
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) |
| 370 |
369 320 115
|
fndmfifsupp |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 371 |
9 106 13 359 366 370
|
gsumcl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 372 |
108
|
rabex |
|- { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. _V |
| 373 |
372
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. _V ) |
| 374 |
280
|
sseli |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 375 |
374 323
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 376 |
375
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } --> ( Base ` R ) ) |
| 377 |
|
eqid |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 378 |
367 377
|
fnmpti |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |
| 379 |
378
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |
| 380 |
223 281
|
ssfid |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. Fin ) |
| 381 |
379 380 115
|
fndmfifsupp |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 382 |
9 106 13 373 376 381
|
gsumcl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 383 |
9 10 356 365 371 382
|
grpassd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 384 |
285 355 383
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 385 |
221 384
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 386 |
105 117 385
|
3eqtr3d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 387 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F e. B ) |
| 388 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> G e. B ) |
| 389 |
1 2 37 4 18 387 388 23
|
psrmulval |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 390 |
389
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) |
| 391 |
109
|
difexi |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. _V |
| 392 |
391
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. _V ) |
| 393 |
|
eldifi |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 394 |
41 125
|
syl |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u : I --> NN0 ) |
| 395 |
394
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> u : I --> NN0 ) |
| 396 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> X e. I ) |
| 397 |
395 396
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN0 ) |
| 398 |
9 26 29 397 52
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 399 |
393 398
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 400 |
399
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) --> ( Base ` R ) ) |
| 401 |
|
eqid |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 402 |
361 401
|
fnmpti |
|- ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 403 |
402
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 404 |
|
difssd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 405 |
25 404
|
ssfid |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. Fin ) |
| 406 |
403 405 115
|
fndmfifsupp |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 407 |
9 106 13 392 400 406
|
gsumcl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 408 |
9 10 356 371 382
|
grpcld |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 409 |
9 10 356 407 365 408
|
grpassd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 410 |
386 390 409
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 411 |
410
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 412 |
1 2 4 11 7 8
|
psrmulcl |
|- ( ph -> ( F .x. G ) e. B ) |
| 413 |
1 2 18 6 412
|
psdval |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( F .x. G ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) |
| 414 |
27
|
grpmgmd |
|- ( ph -> R e. Mgm ) |
| 415 |
1 2 414 6 7
|
psdcl |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B ) |
| 416 |
1 2 4 11 415 8
|
psrmulcl |
|- ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) e. B ) |
| 417 |
1 2 414 6 8
|
psdcl |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) e. B ) |
| 418 |
1 2 4 11 7 417
|
psrmulcl |
|- ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) e. B ) |
| 419 |
1 2 10 3 416 418
|
psradd |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) oF ( +g ` R ) ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) ) |
| 420 |
1 9 18 2 416
|
psrelbas |
|- ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 421 |
420
|
ffnd |
|- ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 422 |
1 9 18 2 418
|
psrelbas |
|- ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 423 |
422
|
ffnd |
|- ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 424 |
108
|
a1i |
|- ( ph -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V ) |
| 425 |
|
inidm |
|- ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } i^i { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |
| 426 |
415
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B ) |
| 427 |
1 2 37 4 18 426 388 14
|
psrmulval |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) ` d ) = ( R gsum ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) ) ) |
| 428 |
357
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. _V ) |
| 429 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Ring ) |
| 430 |
|
elrabi |
|- ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 431 |
1 9 18 2 415
|
psrelbas |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 432 |
431
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 433 |
432
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) e. ( Base ` R ) ) |
| 434 |
430 433
|
sylan2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) e. ( Base ` R ) ) |
| 435 |
44
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 436 |
18 245
|
psrbagconcl |
|- ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 437 |
436
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 438 |
|
elrabi |
|- ( ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( d oF - b ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 439 |
437 438
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 440 |
435 439
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( d oF - b ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 441 |
9 37 429 434 440
|
ringcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 442 |
441
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) : { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } --> ( Base ` R ) ) |
| 443 |
|
ovex |
|- ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) e. _V |
| 444 |
|
eqid |
|- ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) = ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) |
| 445 |
443 444
|
fnmpti |
|- ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |
| 446 |
445
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 447 |
446 223 115
|
fndmfifsupp |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 448 |
|
eqid |
|- ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 449 |
|
df-of |
|- oF + = ( m e. _V , n e. _V |-> ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) |
| 450 |
|
vex |
|- u e. _V |
| 451 |
450
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u e. _V ) |
| 452 |
|
ssv |
|- { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ _V |
| 453 |
452
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ _V ) |
| 454 |
|
ssv |
|- { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } C_ _V |
| 455 |
454
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } C_ _V ) |
| 456 |
449 451 453 455
|
elimampo |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) <-> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) ) |
| 457 |
456
|
biimpa |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) |
| 458 |
|
elrabi |
|- ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 459 |
18
|
psrbagf |
|- ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> m : I --> NN0 ) |
| 460 |
459
|
ffund |
|- ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> Fun m ) |
| 461 |
458 460
|
syl |
|- ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> Fun m ) |
| 462 |
461
|
funfnd |
|- ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m Fn dom m ) |
| 463 |
462
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> m Fn dom m ) |
| 464 |
|
velsn |
|- ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 465 |
|
funmpt |
|- Fun ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) |
| 466 |
|
funeq |
|- ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( Fun n <-> Fun ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 467 |
465 466
|
mpbiri |
|- ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> Fun n ) |
| 468 |
467
|
funfnd |
|- ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> n Fn dom n ) |
| 469 |
464 468
|
sylbi |
|- ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> n Fn dom n ) |
| 470 |
469
|
ad2antll |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> n Fn dom n ) |
| 471 |
|
vex |
|- m e. _V |
| 472 |
471
|
dmex |
|- dom m e. _V |
| 473 |
472
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> dom m e. _V ) |
| 474 |
|
vex |
|- n e. _V |
| 475 |
474
|
dmex |
|- dom n e. _V |
| 476 |
475
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> dom n e. _V ) |
| 477 |
|
eqid |
|- ( dom m i^i dom n ) = ( dom m i^i dom n ) |
| 478 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ o e. dom m ) -> ( m ` o ) = ( m ` o ) ) |
| 479 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ o e. dom n ) -> ( n ` o ) = ( n ` o ) ) |
| 480 |
463 470 473 476 477 478 479
|
offval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + n ) = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) |
| 481 |
480
|
eqeq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) ) |
| 482 |
|
elsni |
|- ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 483 |
482
|
oveq2d |
|- ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> ( m oF + n ) = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 484 |
483
|
eqeq2d |
|- ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 485 |
484
|
ad2antll |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 486 |
17
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. _V ) |
| 487 |
458 459
|
syl |
|- ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m : I --> NN0 ) |
| 488 |
487
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m : I --> NN0 ) |
| 489 |
133
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 ) |
| 490 |
|
nn0cn |
|- ( q e. NN0 -> q e. CC ) |
| 491 |
|
nn0cn |
|- ( r e. NN0 -> r e. CC ) |
| 492 |
|
nn0cn |
|- ( s e. NN0 -> s e. CC ) |
| 493 |
|
addsubass |
|- ( ( q e. CC /\ r e. CC /\ s e. CC ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) ) |
| 494 |
490 491 492 493
|
syl3an |
|- ( ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) ) |
| 495 |
494
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) ) |
| 496 |
486 488 489 489 495
|
caofass |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 497 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I ) |
| 498 |
58
|
a1i |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. NN0 ) |
| 499 |
70 78 497 498
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 500 |
135 135 17 17 74 499 499
|
offval |
|- ( ph -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 501 |
500
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 502 |
501
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 503 |
239
|
subidi |
|- ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) = 0 |
| 504 |
503
|
mpteq2i |
|- ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> 0 ) |
| 505 |
|
fconstmpt |
|- ( I X. { 0 } ) = ( i e. I |-> 0 ) |
| 506 |
504 505
|
eqtr4i |
|- ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( I X. { 0 } ) |
| 507 |
506
|
oveq2i |
|- ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( I X. { 0 } ) ) |
| 508 |
|
0zd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> 0 e. ZZ ) |
| 509 |
490
|
addridd |
|- ( q e. NN0 -> ( q + 0 ) = q ) |
| 510 |
509
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ q e. NN0 ) -> ( q + 0 ) = q ) |
| 511 |
486 488 508 510
|
caofid0r |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( I X. { 0 } ) ) = m ) |
| 512 |
507 511
|
eqtrid |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = m ) |
| 513 |
496 502 512
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = m ) |
| 514 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 515 |
513 514
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 516 |
|
oveq1 |
|- ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 517 |
516
|
eleq1d |
|- ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 518 |
515 517
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 519 |
518
|
adantrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 520 |
485 519
|
sylbid |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 521 |
481 520
|
sylbird |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 522 |
521
|
rexlimdvva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 523 |
457 522
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 524 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 525 |
17
|
mptexd |
|- ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. _V ) |
| 526 |
|
elsng |
|- ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. _V -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 527 |
525 526
|
syl |
|- ( ph -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 528 |
70 527
|
mpbiri |
|- ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) |
| 529 |
528
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) |
| 530 |
449
|
mpofun |
|- Fun oF + |
| 531 |
530
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> Fun oF + ) |
| 532 |
|
xpss |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) C_ ( _V X. _V ) |
| 533 |
472
|
inex1 |
|- ( dom m i^i dom n ) e. _V |
| 534 |
533
|
mptex |
|- ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V |
| 535 |
534
|
rgen2w |
|- A. m e. _V A. n e. _V ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V |
| 536 |
449
|
dmmpoga |
|- ( A. m e. _V A. n e. _V ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V -> dom oF + = ( _V X. _V ) ) |
| 537 |
535 536
|
mp1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> dom oF + = ( _V X. _V ) ) |
| 538 |
532 537
|
sseqtrrid |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) C_ dom oF + ) |
| 539 |
524 529 531 538
|
elovimad |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) |
| 540 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> I e. _V ) |
| 541 |
|
elrabi |
|- ( v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> v e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 542 |
18
|
psrbagf |
|- ( v e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> v : I --> NN0 ) |
| 543 |
541 542
|
syl |
|- ( v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> v : I --> NN0 ) |
| 544 |
543
|
ad2antll |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> v : I --> NN0 ) |
| 545 |
133
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 ) |
| 546 |
494
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) ) |
| 547 |
540 544 545 545 546
|
caofass |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( v oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 548 |
135
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 549 |
80
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 550 |
548 548 540 540 74 549 549
|
offval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 551 |
550
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 552 |
506
|
oveq2i |
|- ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( v oF + ( I X. { 0 } ) ) |
| 553 |
|
0zd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> 0 e. ZZ ) |
| 554 |
|
nn0cn |
|- ( p e. NN0 -> p e. CC ) |
| 555 |
554
|
addridd |
|- ( p e. NN0 -> ( p + 0 ) = p ) |
| 556 |
555
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ p e. NN0 ) -> ( p + 0 ) = p ) |
| 557 |
540 544 553 556
|
caofid0r |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( I X. { 0 } ) ) = v ) |
| 558 |
552 557
|
eqtrid |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = v ) |
| 559 |
547 551 558
|
3eqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> v = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 560 |
|
oveq1 |
|- ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 561 |
560
|
eqeq2d |
|- ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> v = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 562 |
559 561
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 563 |
20
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 564 |
18
|
psrbagaddcl |
|- ( ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 565 |
458 563 564
|
syl2an2 |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 566 |
18
|
psrbagf |
|- ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) |
| 567 |
565 566
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) |
| 568 |
567
|
adantrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) |
| 569 |
|
feq1 |
|- ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u : I --> NN0 <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) ) |
| 570 |
568 569
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u : I --> NN0 ) ) |
| 571 |
485 570
|
sylbid |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> u : I --> NN0 ) ) |
| 572 |
481 571
|
sylbird |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u : I --> NN0 ) ) |
| 573 |
572
|
rexlimdvva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u : I --> NN0 ) ) |
| 574 |
457 573
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u : I --> NN0 ) |
| 575 |
574
|
adantrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u : I --> NN0 ) |
| 576 |
575
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 ) |
| 577 |
576
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC ) |
| 578 |
239
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC ) |
| 579 |
577 578
|
npcand |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) ) |
| 580 |
579
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) ) |
| 581 |
575
|
ffnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u Fn I ) |
| 582 |
581 548 540 540 74
|
offn |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 583 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) ) |
| 584 |
581 548 540 540 74 583 549
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 585 |
582 548 540 540 74 584 549
|
offval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 586 |
575
|
feqmptd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) ) |
| 587 |
580 585 586
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 588 |
|
oveq1 |
|- ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 589 |
588
|
eqeq2d |
|- ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 590 |
587 589
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 591 |
562 590
|
impbid |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 592 |
448 523 539 591
|
f1o2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) : ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -1-1-onto-> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 593 |
9 106 13 428 442 447 592
|
gsumf1o |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) ) = ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) |
| 594 |
555
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ p e. NN0 ) -> ( p + 0 ) = p ) |
| 595 |
486 488 508 594
|
caofid0r |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( I X. { 0 } ) ) = m ) |
| 596 |
507 595
|
eqtrid |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = m ) |
| 597 |
496 502 596
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = m ) |
| 598 |
597 514
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 599 |
598 517
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 600 |
599
|
adantrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 601 |
485 600
|
sylbid |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 602 |
481 601
|
sylbird |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 603 |
602
|
rexlimdvva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) |
| 604 |
457 603
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 605 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 606 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) = ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) ) |
| 607 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) = ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 608 |
|
oveq2 |
|- ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( d oF - b ) = ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 609 |
608
|
fveq2d |
|- ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( G ` ( d oF - b ) ) = ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) |
| 610 |
607 609
|
oveq12d |
|- ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) |
| 611 |
604 605 606 610
|
fmptco |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 612 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> X e. I ) |
| 613 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> F e. B ) |
| 614 |
|
elrabi |
|- ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 615 |
604 614
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 616 |
1 2 18 612 613 615
|
psdcoef |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) |
| 617 |
574
|
ffnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u Fn I ) |
| 618 |
133
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 ) |
| 619 |
618
|
ffnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 620 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> I e. _V ) |
| 621 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) ) |
| 622 |
|
iftrue |
|- ( y = X -> if ( y = X , 1 , 0 ) = 1 ) |
| 623 |
|
1ex |
|- 1 e. _V |
| 624 |
622 70 623
|
fvmpt |
|- ( X e. I -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 ) |
| 625 |
624
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 ) |
| 626 |
617 619 620 620 74 621 625
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( u ` X ) - 1 ) ) |
| 627 |
612 626
|
mpdan |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( u ` X ) - 1 ) ) |
| 628 |
627
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) = ( ( ( u ` X ) - 1 ) + 1 ) ) |
| 629 |
|
nn0sscn |
|- NN0 C_ CC |
| 630 |
629
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> NN0 C_ CC ) |
| 631 |
574 630
|
fssd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u : I --> CC ) |
| 632 |
631 612
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. CC ) |
| 633 |
|
1cnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> 1 e. CC ) |
| 634 |
632 633
|
npcand |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) - 1 ) + 1 ) = ( u ` X ) ) |
| 635 |
628 634
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) |
| 636 |
617 619 620 620 74
|
offn |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 637 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) ) |
| 638 |
80
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 639 |
617 619 620 620 74 637 638
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 640 |
574
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 ) |
| 641 |
640
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC ) |
| 642 |
239
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC ) |
| 643 |
641 642
|
npcand |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) ) |
| 644 |
620 636 619 617 639 638 643
|
offveq |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = u ) |
| 645 |
644
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( F ` u ) ) |
| 646 |
635 645
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ) |
| 647 |
616 646
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ) |
| 648 |
30
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> d : I --> NN0 ) |
| 649 |
648
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 ) |
| 650 |
649
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC ) |
| 651 |
650 641 642
|
subsub3d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) |
| 652 |
651
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( i e. I |-> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) ) |
| 653 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> d Fn I ) |
| 654 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) ) |
| 655 |
653 636 620 620 74 654 639
|
offval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 656 |
653 619 620 620 74
|
offn |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 657 |
653 619 620 620 74 654 638
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 658 |
656 617 620 620 74 657 637
|
offval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) ) |
| 659 |
652 655 658
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) |
| 660 |
659
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) |
| 661 |
647 660
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) |
| 662 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> R e. Ring ) |
| 663 |
574 612
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 ) |
| 664 |
663
|
nn0zd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. ZZ ) |
| 665 |
39
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 666 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 667 |
20
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 668 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 669 |
|
eqid |
|- { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |
| 670 |
18 245 669
|
psrbagleadd1 |
|- ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 671 |
666 667 668 670
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 672 |
|
eleq1 |
|- ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) ) |
| 673 |
671 672
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) ) |
| 674 |
485 673
|
sylbid |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) ) |
| 675 |
481 674
|
sylbird |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) ) |
| 676 |
675
|
rexlimdvva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) ) |
| 677 |
457 676
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 678 |
|
elrabi |
|- ( u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 679 |
677 678
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 680 |
665 679
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) ) |
| 681 |
44
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 682 |
23
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 683 |
18 669
|
psrbagconcl |
|- ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 684 |
682 677 683
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 685 |
|
elrabi |
|- ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 686 |
684 685
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 687 |
681 686
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 688 |
9 26 37
|
mulgass2 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( u ` X ) e. ZZ /\ ( F ` u ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 689 |
662 664 680 687 688
|
syl13anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 690 |
661 689
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 691 |
690
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 692 |
611 691
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 693 |
692
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) |
| 694 |
|
snex |
|- { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } e. _V |
| 695 |
357 694
|
xpex |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) e. _V |
| 696 |
695
|
funimaex |
|- ( Fun oF + -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) e. _V ) |
| 697 |
530 696
|
mp1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) e. _V ) |
| 698 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> R e. Mnd ) |
| 699 |
9 37 662 680 687
|
ringcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 700 |
9 26 698 663 699
|
mulgnn0cld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 701 |
|
eqid |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 702 |
361 701
|
fnmpti |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |
| 703 |
702
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 704 |
703 25 115
|
fndmfifsupp |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 705 |
462
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> m Fn dom m ) |
| 706 |
469
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> n Fn dom n ) |
| 707 |
472
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> dom m e. _V ) |
| 708 |
475
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> dom n e. _V ) |
| 709 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) /\ o e. dom m ) -> ( m ` o ) = ( m ` o ) ) |
| 710 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) /\ o e. dom n ) -> ( n ` o ) = ( n ` o ) ) |
| 711 |
705 706 707 708 477 709 710
|
offval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> ( m oF + n ) = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) |
| 712 |
711
|
eqeq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) ) |
| 713 |
712
|
rexbidva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) ) |
| 714 |
20
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 715 |
|
oveq2 |
|- ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( m oF + n ) = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 716 |
715
|
eqeq2d |
|- ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 717 |
716
|
rexsng |
|- ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 718 |
714 717
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 719 |
713 718
|
bitr3d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 720 |
719
|
rexbidva |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) <-> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 721 |
|
breq1 |
|- ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 722 |
|
breq1 |
|- ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ d <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d ) ) |
| 723 |
|
fveq1 |
|- ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k ` X ) = ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) ) |
| 724 |
723
|
eqeq1d |
|- ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k ` X ) = 0 <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) |
| 725 |
722 724
|
anbi12d |
|- ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) ) |
| 726 |
725
|
notbid |
|- ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) ) |
| 727 |
721 726
|
anbi12d |
|- ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) ) ) |
| 728 |
458 714 564
|
syl2an2 |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 729 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 730 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 731 |
18 245 46
|
psrbagleadd1 |
|- ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 732 |
729 714 730 731
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 733 |
721
|
elrab |
|- ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 734 |
733
|
simprbi |
|- ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 735 |
732 734
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 736 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> X e. I ) |
| 737 |
487
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m : I --> NN0 ) |
| 738 |
737
|
ffnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m Fn I ) |
| 739 |
135
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 740 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. _V ) |
| 741 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( m ` X ) = ( m ` X ) ) |
| 742 |
624
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 ) |
| 743 |
738 739 740 740 74 741 742
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( m ` X ) + 1 ) ) |
| 744 |
736 743
|
mpdan |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( m ` X ) + 1 ) ) |
| 745 |
737 736
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m ` X ) e. NN0 ) |
| 746 |
|
nn0p1nn |
|- ( ( m ` X ) e. NN0 -> ( ( m ` X ) + 1 ) e. NN ) |
| 747 |
745 746
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m ` X ) + 1 ) e. NN ) |
| 748 |
744 747
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) e. NN ) |
| 749 |
748
|
nnne0d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) =/= 0 ) |
| 750 |
749
|
neneqd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) |
| 751 |
750
|
intnand |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) |
| 752 |
735 751
|
jca |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) ) |
| 753 |
727 728 752
|
elrabd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) |
| 754 |
|
eleq1 |
|- ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) ) |
| 755 |
753 754
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) ) |
| 756 |
|
breq1 |
|- ( k = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ d <-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d ) ) |
| 757 |
|
elrabi |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 758 |
757
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 759 |
133
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 ) |
| 760 |
757 125
|
syl |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u : I --> NN0 ) |
| 761 |
760
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u : I --> NN0 ) |
| 762 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> X e. I ) |
| 763 |
761 762
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN0 ) |
| 764 |
341
|
notbid |
|- ( k = u -> ( -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) |
| 765 |
120 764
|
anbi12d |
|- ( k = u -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) <-> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) ) |
| 766 |
765
|
elrab |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) ) |
| 767 |
766
|
simprbi |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) |
| 768 |
767
|
simpld |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 769 |
768
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 770 |
769
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 771 |
757 126
|
syl |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u Fn I ) |
| 772 |
771
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u Fn I ) |
| 773 |
772
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u Fn I ) |
| 774 |
23
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 775 |
90
|
ffnd |
|- ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 776 |
774 775
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 777 |
776
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 778 |
17
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> I e. _V ) |
| 779 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) ) |
| 780 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) ) |
| 781 |
773 777 778 778 74 779 780
|
ofrfval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) ) ) |
| 782 |
770 781
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) ) |
| 783 |
782
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) ) |
| 784 |
783
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) ) |
| 785 |
67
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> d Fn I ) |
| 786 |
71
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 787 |
17
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> I e. _V ) |
| 788 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) ) |
| 789 |
80
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 790 |
785 786 787 787 74 788 789
|
ofval |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 791 |
790
|
an32s |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 792 |
160
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 0 ) |
| 793 |
792
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + 0 ) ) |
| 794 |
31
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> d : I --> NN0 ) |
| 795 |
794
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 ) |
| 796 |
795
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( d ` i ) e. NN0 ) |
| 797 |
796
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( d ` i ) e. CC ) |
| 798 |
797
|
addridd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d ` i ) + 0 ) = ( d ` i ) ) |
| 799 |
791 793 798
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( d ` i ) ) |
| 800 |
784 799
|
breqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) |
| 801 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u ` X ) = 0 ) |
| 802 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> d : I --> NN0 ) |
| 803 |
802 762
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d ` X ) e. NN0 ) |
| 804 |
803
|
nn0ge0d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> 0 <_ ( d ` X ) ) |
| 805 |
804
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> 0 <_ ( d ` X ) ) |
| 806 |
801 805
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) |
| 807 |
806
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) |
| 808 |
177 800 807
|
pm2.61ne |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) |
| 809 |
808
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) |
| 810 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> d Fn I ) |
| 811 |
810
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> d Fn I ) |
| 812 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) ) |
| 813 |
773 811 778 778 74 779 812
|
ofrfval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u oR <_ d <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 814 |
809 813
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u oR <_ d ) |
| 815 |
814
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> u oR <_ d ) ) |
| 816 |
767
|
simprd |
|- ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) |
| 817 |
816
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) |
| 818 |
|
imnan |
|- ( ( u oR <_ d -> -. ( u ` X ) = 0 ) <-> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) |
| 819 |
817 818
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oR <_ d -> -. ( u ` X ) = 0 ) ) |
| 820 |
819
|
con2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> -. u oR <_ d ) ) |
| 821 |
815 820
|
pm2.65d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> -. ( u ` X ) = 0 ) |
| 822 |
821
|
neqned |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) =/= 0 ) |
| 823 |
763 822 193
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN ) |
| 824 |
823
|
nnge1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> 1 <_ ( u ` X ) ) |
| 825 |
824
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> 1 <_ ( u ` X ) ) |
| 826 |
175
|
breq2d |
|- ( i = X -> ( 1 <_ ( u ` i ) <-> 1 <_ ( u ` X ) ) ) |
| 827 |
825 826
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( i = X -> 1 <_ ( u ` i ) ) ) |
| 828 |
827
|
imp |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) /\ i = X ) -> 1 <_ ( u ` i ) ) |
| 829 |
761
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 ) |
| 830 |
829
|
nn0ge0d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> 0 <_ ( u ` i ) ) |
| 831 |
830
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) /\ -. i = X ) -> 0 <_ ( u ` i ) ) |
| 832 |
828 831
|
ifpimpda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if- ( i = X , 1 <_ ( u ` i ) , 0 <_ ( u ` i ) ) ) |
| 833 |
|
brif1 |
|- ( if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) <-> if- ( i = X , 1 <_ ( u ` i ) , 0 <_ ( u ` i ) ) ) |
| 834 |
832 833
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) ) |
| 835 |
834
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) ) |
| 836 |
71
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I ) |
| 837 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> I e. _V ) |
| 838 |
80
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) ) |
| 839 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) ) |
| 840 |
836 772 837 837 74 838 839
|
ofrfval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u <-> A. i e. I if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) ) ) |
| 841 |
835 840
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u ) |
| 842 |
18
|
psrbagcon |
|- ( ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ u ) ) |
| 843 |
758 759 841 842
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ u ) ) |
| 844 |
843
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 845 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) ) |
| 846 |
810 836 837 837 74 845 838
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 847 |
772 776 837 837 74 839 846
|
ofrfval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 848 |
769 847
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 849 |
848
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 850 |
829
|
nn0red |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. RR ) |
| 851 |
62
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR ) |
| 852 |
802
|
ffvelcdmda |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 ) |
| 853 |
852
|
nn0red |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. RR ) |
| 854 |
850 851 853
|
lesubaddd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) <-> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 855 |
849 854
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) ) |
| 856 |
855
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) ) |
| 857 |
772 836 837 837 74
|
offn |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I ) |
| 858 |
772 836 837 837 74 839 838
|
ofval |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) |
| 859 |
857 810 837 837 74 858 845
|
ofrfval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d <-> A. i e. I ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) ) ) |
| 860 |
856 859
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d ) |
| 861 |
756 844 860
|
elrabd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |
| 862 |
829
|
nn0cnd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC ) |
| 863 |
239
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC ) |
| 864 |
862 863
|
npcand |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) ) |
| 865 |
864
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) ) |
| 866 |
857 836 837 837 74 858 838
|
offval |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 867 |
761
|
feqmptd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) ) |
| 868 |
865 866 867
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 869 |
|
oveq1 |
|- ( m = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) |
| 870 |
869
|
eqeq2d |
|- ( m = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) |
| 871 |
755 861 868 870
|
rspceb2dv |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) ) |
| 872 |
456 720 871
|
3bitrd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) ) |
| 873 |
872
|
eqrdv |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) |
| 874 |
|
difrab |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } |
| 875 |
873 874
|
eqtr4di |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) |
| 876 |
|
difssd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 877 |
875 876
|
eqsstrd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) |
| 878 |
704 877 115
|
fmptssfisupp |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 879 |
|
difss |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |
| 880 |
|
disjdif |
|- ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/) |
| 881 |
|
ssdisj |
|- ( ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/) ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/) ) |
| 882 |
879 880 881
|
mp2an |
|- ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/) |
| 883 |
882
|
ineqcomi |
|- ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = (/) |
| 884 |
883
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = (/) ) |
| 885 |
281 101
|
psdmullem |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) |
| 886 |
875 885
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) ) |
| 887 |
9 106 10 13 697 700 878 884 886
|
gsumsplit2 |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 888 |
693 887
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 889 |
427 593 888
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) ` d ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 890 |
417
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) e. B ) |
| 891 |
1 2 37 4 18 387 890 14
|
psrmulval |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ` d ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 892 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G e. B ) |
| 893 |
1 2 18 287 892 249
|
psdcoef |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) |
| 894 |
269
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) |
| 895 |
894
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) |
| 896 |
893 895
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) |
| 897 |
896
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) = ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 898 |
311
|
nn0zd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. ZZ ) |
| 899 |
9 26 37
|
mulgass3 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ ( F ` u ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 900 |
226 898 230 273 899
|
syl13anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 901 |
897 900
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) |
| 902 |
901
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) |
| 903 |
902
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) |
| 904 |
9 10 13 223 323 277 284
|
gsummptfidmsplit |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 905 |
891 903 904
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ` d ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 906 |
421 423 424 424 425 889 905
|
offval |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) oF ( +g ` R ) ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 907 |
419 906
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 908 |
411 413 907
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( F .x. G ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) ) |