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Theorem psdmul

Description: Product rule for power series. An outline is available at https://github.com/icecream17/Stuff/blob/main/math/psdmul.pdf . (Contributed by SN, 25-Apr-2025)

Ref Expression
Hypotheses psdmul.s 
|- S = ( I mPwSer R )
psdmul.b 
|- B = ( Base ` S )
psdmul.p 
|- .+ = ( +g ` S )
psdmul.m 
|- .x. = ( .r ` S )
psdmul.r 
|- ( ph -> R e. CRing )
psdmul.x 
|- ( ph -> X e. I )
psdmul.f 
|- ( ph -> F e. B )
psdmul.g 
|- ( ph -> G e. B )
Assertion psdmul 
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( F .x. G ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psdmul.s 
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 psdmul.b 
 |-  B = ( Base ` S )
3 psdmul.p 
 |-  .+ = ( +g ` S )
4 psdmul.m 
 |-  .x. = ( .r ` S )
5 psdmul.r 
 |-  ( ph -> R e. CRing )
6 psdmul.x 
 |-  ( ph -> X e. I )
7 psdmul.f 
 |-  ( ph -> F e. B )
8 psdmul.g 
 |-  ( ph -> G e. B )
9 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
10 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
11 5 crngringd 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
12 11 ringcmnd 
 |-  ( ph -> R e. CMnd )
13 12 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. CMnd )
14 simpr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
15 reldmpsr 
 |-  Rel dom mPwSer
16 1 2 15 strov2rcl 
 |-  ( F e. B -> I e. _V )
17 7 16 syl 
 |-  ( ph -> I e. _V )
18 eqid 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
19 18 psrbagsn 
 |-  ( I e. _V -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
20 17 19 syl 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
21 20 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
22 18 psrbagaddcl 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
23 14 21 22 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
24 18 psrbaglefi 
 |-  ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. Fin )
25 23 24 syl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. Fin )
26 eqid 
 |-  ( .g ` R ) = ( .g ` R )
27 5 crnggrpd 
 |-  ( ph -> R e. Grp )
28 27 grpmndd 
 |-  ( ph -> R e. Mnd )
29 28 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> R e. Mnd )
30 18 psrbagf 
 |-  ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> d : I --> NN0 )
31 30 adantl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 )
32 6 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I )
33 31 32 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
34 peano2nn0 
 |-  ( ( d ` X ) e. NN0 -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
35 33 34 syl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
36 35 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
37 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
38 11 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> R e. Ring )
39 1 9 18 2 7 psrelbas 
 |-  ( ph -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
40 39 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
41 elrabi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
42 41 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
43 40 42 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) )
44 1 9 18 2 8 psrelbas 
 |-  ( ph -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
45 44 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
46 eqid 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) }
47 18 46 psrbagconcl 
 |-  ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
48 23 47 sylan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
49 elrabi 
 |-  ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
50 48 49 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
51 45 50 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) )
52 9 37 38 43 51 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) )
53 9 26 29 36 52 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
54 disjdifr 
 |-  ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = (/)
55 54 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = (/) )
56 1nn0 
 |-  1 e. NN0
57 0nn0 
 |-  0 e. NN0
58 56 57 ifcli 
 |-  if ( i = X , 1 , 0 ) e. NN0
59 58 nn0ge0i 
 |-  0 <_ if ( i = X , 1 , 0 )
60 31 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
61 60 nn0red 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. RR )
62 58 nn0rei 
 |-  if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR
63 62 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR )
64 61 63 addge01d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( 0 <_ if ( i = X , 1 , 0 ) <-> ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
65 59 64 mpbii 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
66 65 ralrimiva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> A. i e. I ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
67 31 ffnd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d Fn I )
68 56 57 ifcli 
 |-  if ( y = X , 1 , 0 ) e. NN0
69 68 elexi 
 |-  if ( y = X , 1 , 0 ) e. _V
70 eqid 
 |-  ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) )
71 69 70 fnmpti 
 |-  ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I
72 71 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
73 17 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. _V )
74 inidm 
 |-  ( I i^i I ) = I
75 67 72 73 73 74 offn 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
76 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
77 eqeq1 
 |-  ( y = i -> ( y = X <-> i = X ) )
78 77 ifbid 
 |-  ( y = i -> if ( y = X , 1 , 0 ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
79 58 elexi 
 |-  if ( i = X , 1 , 0 ) e. _V
80 78 70 79 fvmpt 
 |-  ( i e. I -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
81 80 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
82 67 72 73 73 74 76 81 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
83 67 75 73 73 74 76 82 ofrfval 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( d ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
84 66 83 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
85 84 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
86 17 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. _V )
87 18 psrbagf 
 |-  ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> k : I --> NN0 )
88 87 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> k : I --> NN0 )
89 31 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 )
90 18 psrbagf 
 |-  ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
91 23 90 syl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
92 91 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
93 nn0re 
 |-  ( q e. NN0 -> q e. RR )
94 nn0re 
 |-  ( r e. NN0 -> r e. RR )
95 nn0re 
 |-  ( s e. NN0 -> s e. RR )
96 letr 
 |-  ( ( q e. RR /\ r e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) )
97 93 94 95 96 syl3an 
 |-  ( ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) )
98 97 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q <_ r /\ r <_ s ) -> q <_ s ) )
99 86 88 89 92 98 caoftrn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( k oR <_ d /\ d oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) -> k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
100 85 99 mpan2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k oR <_ d -> k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
101 100 ss2rabdv 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
102 undifr 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
103 101 102 sylib 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
104 103 eqcomd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
105 9 10 13 25 53 55 104 gsummptfidmsplit 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
106 eqid 
 |-  ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
107 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
108 107 rabex 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V
109 108 rabex 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. _V
110 109 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } e. _V )
111 ovex 
 |-  ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. _V
112 eqid 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) )
113 111 112 fnmpti 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) }
114 113 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
115 fvexd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
116 114 25 115 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
117 9 106 26 110 52 116 13 35 gsummulg 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
118 difrab 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) }
119 118 eleq2i 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } )
120 breq1 
 |-  ( k = u -> ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
121 breq1 
 |-  ( k = u -> ( k oR <_ d <-> u oR <_ d ) )
122 121 notbid 
 |-  ( k = u -> ( -. k oR <_ d <-> -. u oR <_ d ) )
123 120 122 anbi12d 
 |-  ( k = u -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) <-> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) )
124 123 elrab 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) )
125 18 psrbagf 
 |-  ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> u : I --> NN0 )
126 125 ffnd 
 |-  ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> u Fn I )
127 126 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u Fn I )
128 75 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
129 17 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> I e. _V )
130 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
131 67 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d Fn I )
132 68 a1i 
 |-  ( y e. I -> if ( y = X , 1 , 0 ) e. NN0 )
133 70 132 fmpti 
 |-  ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0
134 133 a1i 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
135 134 ffnd 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
136 135 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
137 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
138 80 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
139 131 136 129 129 74 137 138 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
140 127 128 129 129 74 130 139 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
141 127 131 129 129 74 130 137 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u oR <_ d <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
142 141 notbid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( -. u oR <_ d <-> -. A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
143 rexnal 
 |-  ( E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> -. A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) )
144 142 143 bitr4di 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( -. u oR <_ d <-> E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
145 140 144 anbi12d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) <-> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
146 33 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
147 125 adantl 
 |-  ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u : I --> NN0 )
148 6 adantr 
 |-  ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I )
149 147 148 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
150 149 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
151 150 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
152 nn0nlt0 
 |-  ( ( d ` X ) e. NN0 -> -. ( d ` X ) < 0 )
153 146 152 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( d ` X ) < 0 )
154 31 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 )
155 154 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
156 155 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC )
157 156 addridd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( d ` i ) + 0 ) = ( d ` i ) )
158 157 breq2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) <-> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
159 158 biimpd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
160 ifnefalse 
 |-  ( i =/= X -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 0 )
161 160 oveq2d 
 |-  ( i =/= X -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + 0 ) )
162 161 breq2d 
 |-  ( i =/= X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) <-> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) ) )
163 162 imbi1d 
 |-  ( i =/= X -> ( ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) <-> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + 0 ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
164 159 163 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( i =/= X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
165 164 imp 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
166 165 impancom 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( i =/= X -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
167 166 necon1bd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> i = X ) )
168 167 ancrd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) /\ ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
169 168 ex 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) )
170 169 ralimdva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) ) )
171 170 anim1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
172 171 imp 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
173 rexim 
 |-  ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) )
174 173 imp 
 |-  ( ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
175 fveq2 
 |-  ( i = X -> ( u ` i ) = ( u ` X ) )
176 fveq2 
 |-  ( i = X -> ( d ` i ) = ( d ` X ) )
177 175 176 breq12d 
 |-  ( i = X -> ( ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) )
178 177 notbid 
 |-  ( i = X -> ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) <-> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) )
179 178 ceqsrexbv 
 |-  ( E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) <-> ( X e. I /\ -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) )
180 179 simprbi 
 |-  ( E. i e. I ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) )
181 174 180 syl 
 |-  ( ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) -> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) )
182 33 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
183 182 nn0red 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. RR )
184 150 nn0red 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u ` X ) e. RR )
185 183 184 ltnled 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d ` X ) < ( u ` X ) <-> -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) )
186 185 biimpar 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ -. ( u ` X ) <_ ( d ` X ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) )
187 181 186 sylan2 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) -> ( i = X /\ -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) )
188 172 187 syldan 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) < ( u ` X ) )
189 breq2 
 |-  ( ( u ` X ) = 0 -> ( ( d ` X ) < ( u ` X ) <-> ( d ` X ) < 0 ) )
190 188 189 syl5ibcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> ( d ` X ) < 0 ) )
191 153 190 mtod 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( u ` X ) = 0 )
192 191 neqned 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) =/= 0 )
193 elnnne0 
 |-  ( ( u ` X ) e. NN <-> ( ( u ` X ) e. NN0 /\ ( u ` X ) =/= 0 ) )
194 151 192 193 sylanbrc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN )
195 elfzo0 
 |-  ( ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) <-> ( ( d ` X ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( d ` X ) < ( u ` X ) ) )
196 146 194 188 195 syl3anbrc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) )
197 fzostep1 
 |-  ( ( d ` X ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) \/ ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) )
198 196 197 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) \/ ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) ) )
199 151 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) e. RR )
200 35 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
201 200 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. RR )
202 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I )
203 iftrue 
 |-  ( i = X -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 1 )
204 176 203 oveq12d 
 |-  ( i = X -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` X ) + 1 ) )
205 175 204 breq12d 
 |-  ( i = X -> ( ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) <-> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) )
206 205 rspcv 
 |-  ( X e. I -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) )
207 202 206 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) ) )
208 207 imp 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) )
209 208 adantrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( u ` X ) <_ ( ( d ` X ) + 1 ) )
210 199 201 209 lensymd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) )
211 210 intn3an3d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) ) )
212 elfzo0 
 |-  ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) <-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( u ` X ) e. NN /\ ( ( d ` X ) + 1 ) < ( u ` X ) ) )
213 211 212 sylnibr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> -. ( ( d ` X ) + 1 ) e. ( 0 ..^ ( u ` X ) ) )
214 198 213 orcnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) /\ E. i e. I -. ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
215 145 214 sylbida 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
216 215 anasss 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. u oR <_ d ) ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
217 124 216 sylan2b 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. k oR <_ d ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
218 119 217 sylan2b 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
219 218 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
220 219 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
221 220 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
222 18 psrbaglefi 
 |-  ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. Fin )
223 222 adantl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. Fin )
224 28 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Mnd )
225 35 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 )
226 11 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Ring )
227 elrabi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
228 39 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
229 228 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) )
230 227 229 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) )
231 44 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
232 31 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d : I --> NN0 )
233 232 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
234 233 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC )
235 227 125 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> u : I --> NN0 )
236 235 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u : I --> NN0 )
237 236 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 )
238 237 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC )
239 58 nn0cni 
 |-  if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC
240 239 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC )
241 234 238 240 subadd23d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + ( if ( i = X , 1 , 0 ) - ( u ` i ) ) ) )
242 234 240 238 addsubassd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) = ( ( d ` i ) + ( if ( i = X , 1 , 0 ) - ( u ` i ) ) ) )
243 241 242 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) )
244 243 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) )
245 eqid 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d }
246 18 245 psrbagconcl 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
247 elrabi 
 |-  ( ( d oF - u ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
248 246 247 syl 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
249 248 adantll 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
250 18 psrbagf 
 |-  ( ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF - u ) : I --> NN0 )
251 249 250 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) : I --> NN0 )
252 251 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - u ) Fn I )
253 71 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
254 17 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. _V )
255 232 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d Fn I )
256 236 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u Fn I )
257 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
258 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
259 255 256 254 254 74 257 258 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` i ) = ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) )
260 80 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
261 252 253 254 254 74 259 260 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) - ( u ` i ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
262 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
263 20 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
264 262 263 22 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
265 264 90 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
266 265 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
267 255 253 254 254 74 257 260 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
268 266 256 254 254 74 267 258 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) )
269 244 261 268 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) )
270 18 psrbagaddcl 
 |-  ( ( ( d oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
271 249 263 270 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
272 269 271 eqeltrrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
273 231 272 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) )
274 9 37 226 230 273 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) )
275 9 26 224 225 274 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
276 disjdifr 
 |-  ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = (/)
277 276 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = (/) )
278 simpl 
 |-  ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) -> k oR <_ d )
279 278 a1i 
 |-  ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) -> k oR <_ d ) )
280 279 ss2rabi 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d }
281 280 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
282 undifr 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } <-> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
283 281 282 sylib 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
284 283 eqcomd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) u. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
285 9 10 13 223 275 277 284 gsummptfidmsplit 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
286 eldifi 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
287 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> X e. I )
288 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( d ` X ) = ( d ` X ) )
289 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) )
290 255 256 254 254 74 288 289 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
291 287 290 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
292 286 291 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
293 292 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) = ( ( u ` X ) + ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) )
294 236 287 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
295 286 294 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
296 295 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( u ` X ) e. CC )
297 33 nn0cnd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. CC )
298 297 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( d ` X ) e. CC )
299 296 298 pncan3d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) ) = ( d ` X ) )
300 293 299 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) = ( d ` X ) )
301 300 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) + 1 ) = ( ( d ` X ) + 1 ) )
302 251 287 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 )
303 286 302 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 )
304 303 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) e. CC )
305 1cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> 1 e. CC )
306 296 304 305 addassd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( d oF - u ) ` X ) ) + 1 ) = ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) )
307 301 306 eqtr3d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) )
308 307 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
309 28 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> R e. Mnd )
310 peano2nn0 
 |-  ( ( ( d oF - u ) ` X ) e. NN0 -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 )
311 302 310 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 )
312 286 311 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 )
313 286 274 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) )
314 9 26 10 mulgnn0dir 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( ( u ` X ) e. NN0 /\ ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. NN0 /\ ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
315 309 295 312 313 314 syl13anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( u ` X ) + ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
316 308 315 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
317 316 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
318 317 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
319 difssd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
320 223 319 ssfid 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. Fin )
321 9 26 224 294 274 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
322 286 321 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
323 9 26 224 311 274 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
324 286 323 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
325 eqid 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
326 eqid 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
327 9 10 13 320 322 324 325 326 gsummptfidmadd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
328 318 327 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
329 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> X e. I )
330 67 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> d Fn I )
331 elrabi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
332 331 126 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u Fn I )
333 332 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> u Fn I )
334 17 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> I e. _V )
335 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( d ` X ) = ( d ` X ) )
336 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) )
337 330 333 334 334 74 335 336 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) /\ X e. I ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
338 329 337 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d oF - u ) ` X ) = ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) )
339 fveq1 
 |-  ( k = u -> ( k ` X ) = ( u ` X ) )
340 339 eqeq1d 
 |-  ( k = u -> ( ( k ` X ) = 0 <-> ( u ` X ) = 0 ) )
341 121 340 anbi12d 
 |-  ( k = u -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) )
342 341 elrab 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) )
343 342 simprbi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) )
344 343 simprd 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> ( u ` X ) = 0 )
345 344 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( u ` X ) = 0 )
346 345 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) - ( u ` X ) ) = ( ( d ` X ) - 0 ) )
347 33 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
348 347 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) e. CC )
349 348 subid1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) - 0 ) = ( d ` X ) )
350 338 346 349 3eqtrrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( d ` X ) = ( ( d oF - u ) ` X ) )
351 350 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) = ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) )
352 351 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
353 352 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
354 353 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
355 328 354 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
356 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. Grp )
357 108 rabex 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. _V
358 357 difexi 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. _V
359 358 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) e. _V )
360 322 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) --> ( Base ` R ) )
361 ovex 
 |-  ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. _V
362 361 325 fnmpti 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } )
363 362 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
364 363 320 115 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
365 9 106 13 359 360 364 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
366 324 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) --> ( Base ` R ) )
367 ovex 
 |-  ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. _V
368 367 326 fnmpti 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } )
369 368 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
370 369 320 115 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
371 9 106 13 359 366 370 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
372 108 rabex 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. _V
373 372 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. _V )
374 280 sseli 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
375 374 323 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
376 375 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } --> ( Base ` R ) )
377 eqid 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
378 367 377 fnmpti 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) }
379 378 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } )
380 223 281 ssfid 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } e. Fin )
381 379 380 115 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
382 9 106 13 373 376 381 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
383 9 10 356 365 371 382 grpassd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) )
384 285 355 383 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) )
385 221 384 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
386 105 117 385 3eqtr3d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
387 7 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F e. B )
388 8 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> G e. B )
389 1 2 37 4 18 387 388 23 psrmulval 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
390 389 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
391 109 difexi 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. _V
392 391 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. _V )
393 eldifi 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
394 41 125 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u : I --> NN0 )
395 394 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> u : I --> NN0 )
396 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> X e. I )
397 395 396 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
398 9 26 29 397 52 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
399 393 398 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
400 399 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) : ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) --> ( Base ` R ) )
401 eqid 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
402 361 401 fnmpti 
 |-  ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
403 402 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
404 difssd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
405 25 404 ssfid 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) e. Fin )
406 403 405 115 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
407 9 106 13 392 400 406 gsumcl 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
408 9 10 356 371 382 grpcld 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
409 9 10 356 407 365 408 grpassd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
410 386 390 409 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) )
411 410 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
412 1 2 4 11 7 8 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( F .x. G ) e. B )
413 1 2 18 6 412 psdval 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( F .x. G ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F .x. G ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) )
414 27 grpmgmd 
 |-  ( ph -> R e. Mgm )
415 1 2 414 6 7 psdcl 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B )
416 1 2 4 11 415 8 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) e. B )
417 1 2 414 6 8 psdcl 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) e. B )
418 1 2 4 11 7 417 psrmulcl 
 |-  ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) e. B )
419 1 2 10 3 416 418 psradd 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) oF ( +g ` R ) ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) )
420 1 9 18 2 416 psrelbas 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
421 420 ffnd 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
422 1 9 18 2 418 psrelbas 
 |-  ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
423 422 ffnd 
 |-  ( ph -> ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
424 108 a1i 
 |-  ( ph -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
425 inidm 
 |-  ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } i^i { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
426 415 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B )
427 1 2 37 4 18 426 388 14 psrmulval 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) ` d ) = ( R gsum ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) ) )
428 357 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } e. _V )
429 11 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> R e. Ring )
430 elrabi 
 |-  ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
431 1 9 18 2 415 psrelbas 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
432 431 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
433 432 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) e. ( Base ` R ) )
434 430 433 sylan2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) e. ( Base ` R ) )
435 44 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
436 18 245 psrbagconcl 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
437 436 adantll 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
438 elrabi 
 |-  ( ( d oF - b ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( d oF - b ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
439 437 438 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( d oF - b ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
440 435 439 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( d oF - b ) ) e. ( Base ` R ) )
441 9 37 429 434 440 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) e. ( Base ` R ) )
442 441 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) : { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } --> ( Base ` R ) )
443 ovex 
 |-  ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) e. _V
444 eqid 
 |-  ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) = ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) )
445 443 444 fnmpti 
 |-  ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d }
446 445 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
447 446 223 115 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
448 eqid 
 |-  ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
449 df-of 
 |-  oF + = ( m e. _V , n e. _V |-> ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) )
450 vex 
 |-  u e. _V
451 450 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> u e. _V )
452 ssv 
 |-  { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ _V
453 452 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } C_ _V )
454 ssv 
 |-  { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } C_ _V
455 454 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } C_ _V )
456 449 451 453 455 elimampo 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) <-> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) )
457 456 biimpa 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) )
458 elrabi 
 |-  ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
459 18 psrbagf 
 |-  ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> m : I --> NN0 )
460 459 ffund 
 |-  ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> Fun m )
461 458 460 syl 
 |-  ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> Fun m )
462 461 funfnd 
 |-  ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m Fn dom m )
463 462 ad2antrl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> m Fn dom m )
464 velsn 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) )
465 funmpt 
 |-  Fun ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) )
466 funeq 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( Fun n <-> Fun ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
467 465 466 mpbiri 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> Fun n )
468 467 funfnd 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> n Fn dom n )
469 464 468 sylbi 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> n Fn dom n )
470 469 ad2antll 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> n Fn dom n )
471 vex 
 |-  m e. _V
472 471 dmex 
 |-  dom m e. _V
473 472 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> dom m e. _V )
474 vex 
 |-  n e. _V
475 474 dmex 
 |-  dom n e. _V
476 475 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> dom n e. _V )
477 eqid 
 |-  ( dom m i^i dom n ) = ( dom m i^i dom n )
478 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ o e. dom m ) -> ( m ` o ) = ( m ` o ) )
479 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ o e. dom n ) -> ( n ` o ) = ( n ` o ) )
480 463 470 473 476 477 478 479 offval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + n ) = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) )
481 480 eqeq2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) )
482 elsni 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) )
483 482 oveq2d 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> ( m oF + n ) = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
484 483 eqeq2d 
 |-  ( n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
485 484 ad2antll 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
486 17 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. _V )
487 458 459 syl 
 |-  ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> m : I --> NN0 )
488 487 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m : I --> NN0 )
489 133 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
490 nn0cn 
 |-  ( q e. NN0 -> q e. CC )
491 nn0cn 
 |-  ( r e. NN0 -> r e. CC )
492 nn0cn 
 |-  ( s e. NN0 -> s e. CC )
493 addsubass 
 |-  ( ( q e. CC /\ r e. CC /\ s e. CC ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) )
494 490 491 492 493 syl3an 
 |-  ( ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) )
495 494 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) )
496 486 488 489 489 495 caofass 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
497 simpr 
 |-  ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I )
498 58 a1i 
 |-  ( ( ph /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. NN0 )
499 70 78 497 498 fvmptd3 
 |-  ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
500 135 135 17 17 74 499 499 offval 
 |-  ( ph -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
501 500 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
502 501 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
503 239 subidi 
 |-  ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) = 0
504 503 mpteq2i 
 |-  ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> 0 )
505 fconstmpt 
 |-  ( I X. { 0 } ) = ( i e. I |-> 0 )
506 504 505 eqtr4i 
 |-  ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( I X. { 0 } )
507 506 oveq2i 
 |-  ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( m oF + ( I X. { 0 } ) )
508 0zd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> 0 e. ZZ )
509 490 addridd 
 |-  ( q e. NN0 -> ( q + 0 ) = q )
510 509 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ q e. NN0 ) -> ( q + 0 ) = q )
511 486 488 508 510 caofid0r 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( I X. { 0 } ) ) = m )
512 507 511 eqtrid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = m )
513 496 502 512 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = m )
514 simpr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
515 513 514 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
516 oveq1 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
517 516 eleq1d 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
518 515 517 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
519 518 adantrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
520 485 519 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
521 481 520 sylbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
522 521 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
523 457 522 mpd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
524 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
525 17 mptexd 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. _V )
526 elsng 
 |-  ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. _V -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
527 525 526 syl 
 |-  ( ph -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } <-> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
528 70 527 mpbiri 
 |-  ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } )
529 528 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } )
530 449 mpofun 
 |-  Fun oF +
531 530 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> Fun oF + )
532 xpss 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) C_ ( _V X. _V )
533 472 inex1 
 |-  ( dom m i^i dom n ) e. _V
534 533 mptex 
 |-  ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V
535 534 rgen2w 
 |-  A. m e. _V A. n e. _V ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V
536 449 dmmpoga 
 |-  ( A. m e. _V A. n e. _V ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) e. _V -> dom oF + = ( _V X. _V ) )
537 535 536 mp1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> dom oF + = ( _V X. _V ) )
538 532 537 sseqtrrid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) C_ dom oF + )
539 524 529 531 538 elovimad 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) )
540 17 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> I e. _V )
541 elrabi 
 |-  ( v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> v e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
542 18 psrbagf 
 |-  ( v e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> v : I --> NN0 )
543 541 542 syl 
 |-  ( v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> v : I --> NN0 )
544 543 ad2antll 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> v : I --> NN0 )
545 133 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
546 494 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ ( q e. NN0 /\ r e. NN0 /\ s e. NN0 ) ) -> ( ( q + r ) - s ) = ( q + ( r - s ) ) )
547 540 544 545 545 546 caofass 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( v oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
548 135 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
549 80 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
550 548 548 540 540 74 549 549 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
551 550 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
552 506 oveq2i 
 |-  ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( v oF + ( I X. { 0 } ) )
553 0zd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> 0 e. ZZ )
554 nn0cn 
 |-  ( p e. NN0 -> p e. CC )
555 554 addridd 
 |-  ( p e. NN0 -> ( p + 0 ) = p )
556 555 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ p e. NN0 ) -> ( p + 0 ) = p )
557 540 544 553 556 caofid0r 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( I X. { 0 } ) ) = v )
558 552 557 eqtrid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = v )
559 547 551 558 3eqtrrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> v = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
560 oveq1 
 |-  ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
561 560 eqeq2d 
 |-  ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> v = ( ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
562 559 561 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
563 20 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
564 18 psrbagaddcl 
 |-  ( ( m e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
565 458 563 564 syl2an2 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
566 18 psrbagf 
 |-  ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
567 565 566 syl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
568 567 adantrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 )
569 feq1 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u : I --> NN0 <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) : I --> NN0 ) )
570 568 569 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u : I --> NN0 ) )
571 485 570 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> u : I --> NN0 ) )
572 481 571 sylbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u : I --> NN0 ) )
573 572 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u : I --> NN0 ) )
574 457 573 mpd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u : I --> NN0 )
575 574 adantrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u : I --> NN0 )
576 575 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 )
577 576 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC )
578 239 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC )
579 577 578 npcand 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) )
580 579 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) )
581 575 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u Fn I )
582 581 548 540 540 74 offn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
583 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
584 581 548 540 540 74 583 549 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
585 582 548 540 540 74 584 549 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
586 575 feqmptd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) )
587 580 585 586 3eqtr4rd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
588 oveq1 
 |-  ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
589 588 eqeq2d 
 |-  ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
590 587 589 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
591 562 590 impbid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) /\ v e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) -> ( u = ( v oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> v = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
592 448 523 539 591 f1o2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) : ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -1-1-onto-> { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
593 9 106 13 428 442 447 592 gsumf1o 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) ) = ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) )
594 555 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ p e. NN0 ) -> ( p + 0 ) = p )
595 486 488 508 594 caofid0r 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( I X. { 0 } ) ) = m )
596 507 595 eqtrid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( i e. I |-> ( if ( i = X , 1 , 0 ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = m )
597 496 502 596 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = m )
598 597 514 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
599 598 517 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
600 599 adantrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
601 485 600 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
602 481 601 sylbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
603 602 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) )
604 457 603 mpd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
605 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
606 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) = ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) )
607 fveq2 
 |-  ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) = ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
608 oveq2 
 |-  ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( d oF - b ) = ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
609 608 fveq2d 
 |-  ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( G ` ( d oF - b ) ) = ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) )
610 607 609 oveq12d 
 |-  ( b = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) )
611 604 605 606 610 fmptco 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) )
612 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> X e. I )
613 7 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> F e. B )
614 elrabi 
 |-  ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
615 604 614 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
616 1 2 18 612 613 615 psdcoef 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) )
617 574 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u Fn I )
618 133 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
619 618 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
620 17 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> I e. _V )
621 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( u ` X ) = ( u ` X ) )
622 iftrue 
 |-  ( y = X -> if ( y = X , 1 , 0 ) = 1 )
623 1ex 
 |-  1 e. _V
624 622 70 623 fvmpt 
 |-  ( X e. I -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 )
625 624 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 )
626 617 619 620 620 74 621 625 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ X e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( u ` X ) - 1 ) )
627 612 626 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( u ` X ) - 1 ) )
628 627 oveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) = ( ( ( u ` X ) - 1 ) + 1 ) )
629 nn0sscn 
 |-  NN0 C_ CC
630 629 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> NN0 C_ CC )
631 574 630 fssd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u : I --> CC )
632 631 612 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. CC )
633 1cnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> 1 e. CC )
634 632 633 npcand 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) - 1 ) + 1 ) = ( u ` X ) )
635 628 634 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) = ( u ` X ) )
636 617 619 620 620 74 offn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
637 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
638 80 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
639 617 619 620 620 74 637 638 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
640 574 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 )
641 640 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC )
642 239 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC )
643 641 642 npcand 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) )
644 620 636 619 617 639 638 643 offveq 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = u )
645 644 fveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( F ` u ) )
646 635 645 oveq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) )
647 616 646 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) )
648 30 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> d : I --> NN0 )
649 648 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
650 649 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. CC )
651 650 641 642 subsub3d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) )
652 651 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( i e. I |-> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) )
653 67 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> d Fn I )
654 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
655 653 636 620 620 74 654 639 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( d ` i ) - ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
656 653 619 620 620 74 offn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
657 653 619 620 620 74 654 638 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
658 656 617 620 620 74 657 637 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) = ( i e. I |-> ( ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) - ( u ` i ) ) ) )
659 652 655 658 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) )
660 659 fveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) )
661 647 660 oveq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) )
662 11 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> R e. Ring )
663 574 612 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
664 663 nn0zd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( u ` X ) e. ZZ )
665 39 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
666 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
667 20 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
668 simprl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
669 eqid 
 |-  { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } = { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) }
670 18 245 669 psrbagleadd1 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
671 666 667 668 670 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
672 eleq1 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
673 671 672 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
674 485 673 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( m oF + n ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
675 481 674 sylbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) /\ ( m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) -> ( u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
676 675 rexlimdvva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) )
677 457 676 mpd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
678 elrabi 
 |-  ( u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
679 677 678 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
680 665 679 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( F ` u ) e. ( Base ` R ) )
681 44 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> G : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
682 23 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
683 18 669 psrbagconcl 
 |-  ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ u e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
684 682 677 683 syl2anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
685 elrabi 
 |-  ( ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { l e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | l oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
686 684 685 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
687 681 686 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) )
688 9 26 37 mulgass2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( ( u ` X ) e. ZZ /\ ( F ` u ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
689 662 664 680 687 688 syl13anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( F ` u ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
690 661 689 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
691 690 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
692 611 691 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
693 692 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
694 snex 
 |-  { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } e. _V
695 357 694 xpex 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) e. _V
696 695 funimaex 
 |-  ( Fun oF + -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) e. _V )
697 530 696 mp1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) e. _V )
698 28 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> R e. Mnd )
699 9 37 662 680 687 ringcld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) e. ( Base ` R ) )
700 9 26 698 663 699 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) ) -> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
701 eqid 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
702 361 701 fnmpti 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) }
703 702 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) Fn { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
704 703 25 115 fndmfifsupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
705 462 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> m Fn dom m )
706 469 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> n Fn dom n )
707 472 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> dom m e. _V )
708 475 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> dom n e. _V )
709 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) /\ o e. dom m ) -> ( m ` o ) = ( m ` o ) )
710 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) /\ o e. dom n ) -> ( n ` o ) = ( n ` o ) )
711 705 706 707 708 477 709 710 offval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> ( m oF + n ) = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) )
712 711 eqeq2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) )
713 712 rexbidva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) ) )
714 20 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
715 oveq2 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( m oF + n ) = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
716 715 eqeq2d 
 |-  ( n = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) -> ( u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
717 716 rexsng 
 |-  ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
718 714 717 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( m oF + n ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
719 713 718 bitr3d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) <-> u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
720 719 rexbidva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } E. n e. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } u = ( o e. ( dom m i^i dom n ) |-> ( ( m ` o ) + ( n ` o ) ) ) <-> E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
721 breq1 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
722 breq1 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ d <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d ) )
723 fveq1 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k ` X ) = ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) )
724 723 eqeq1d 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k ` X ) = 0 <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) )
725 722 724 anbi12d 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) )
726 725 notbid 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) )
727 721 726 anbi12d 
 |-  ( k = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) ) )
728 458 714 564 syl2an2 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
729 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
730 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
731 18 245 46 psrbagleadd1 
 |-  ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
732 729 714 730 731 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
733 721 elrab 
 |-  ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } <-> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
734 733 simprbi 
 |-  ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
735 732 734 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
736 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> X e. I )
737 487 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m : I --> NN0 )
738 737 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> m Fn I )
739 135 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
740 17 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> I e. _V )
741 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( m ` X ) = ( m ` X ) )
742 624 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` X ) = 1 )
743 738 739 740 740 74 741 742 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) /\ X e. I ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( m ` X ) + 1 ) )
744 736 743 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = ( ( m ` X ) + 1 ) )
745 737 736 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m ` X ) e. NN0 )
746 nn0p1nn 
 |-  ( ( m ` X ) e. NN0 -> ( ( m ` X ) + 1 ) e. NN )
747 745 746 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m ` X ) + 1 ) e. NN )
748 744 747 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) e. NN )
749 748 nnne0d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) =/= 0 )
750 749 neneqd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 )
751 750 intnand 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) )
752 735 751 jca 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d /\ ( ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` X ) = 0 ) ) )
753 727 728 752 elrabd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } )
754 eleq1 
 |-  ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } <-> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) )
755 753 754 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) )
756 breq1 
 |-  ( k = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( k oR <_ d <-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d ) )
757 elrabi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
758 757 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
759 133 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
760 757 125 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u : I --> NN0 )
761 760 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u : I --> NN0 )
762 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> X e. I )
763 761 762 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN0 )
764 341 notbid 
 |-  ( k = u -> ( -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) <-> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) )
765 120 764 anbi12d 
 |-  ( k = u -> ( ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) <-> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) )
766 765 elrab 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } <-> ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) ) )
767 766 simprbi 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) ) )
768 767 simpld 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
769 768 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
770 769 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
771 757 126 syl 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> u Fn I )
772 771 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u Fn I )
773 772 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u Fn I )
774 23 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
775 90 ffnd 
 |-  ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
776 774 775 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
777 776 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
778 17 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> I e. _V )
779 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
780 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) )
781 773 777 778 778 74 779 780 ofrfval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) ) )
782 770 781 mpbid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) )
783 782 r19.21bi 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) )
784 783 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) )
785 67 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> d Fn I )
786 71 a1i 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
787 17 ad4antr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) -> I e. _V )
788 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
789 80 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
790 785 786 787 787 74 788 789 ofval 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i =/= X ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
791 790 an32s 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
792 160 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) = 0 )
793 792 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( ( d ` i ) + 0 ) )
794 31 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> d : I --> NN0 )
795 794 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
796 795 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
797 796 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( d ` i ) e. CC )
798 797 addridd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d ` i ) + 0 ) = ( d ` i ) )
799 791 793 798 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( d ` i ) )
800 784 799 breqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) /\ i =/= X ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) )
801 simpr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u ` X ) = 0 )
802 31 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> d : I --> NN0 )
803 802 762 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( d ` X ) e. NN0 )
804 803 nn0ge0d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> 0 <_ ( d ` X ) )
805 804 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> 0 <_ ( d ` X ) )
806 801 805 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) )
807 806 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` X ) <_ ( d ` X ) )
808 177 800 807 pm2.61ne 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( d ` i ) )
809 808 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) )
810 67 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> d Fn I )
811 810 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> d Fn I )
812 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
813 773 811 778 778 74 779 812 ofrfval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> ( u oR <_ d <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( d ` i ) ) )
814 809 813 mpbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ ( u ` X ) = 0 ) -> u oR <_ d )
815 814 ex 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> u oR <_ d ) )
816 767 simprd 
 |-  ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } -> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) )
817 816 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) )
818 imnan 
 |-  ( ( u oR <_ d -> -. ( u ` X ) = 0 ) <-> -. ( u oR <_ d /\ ( u ` X ) = 0 ) )
819 817 818 sylibr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oR <_ d -> -. ( u ` X ) = 0 ) )
820 819 con2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u ` X ) = 0 -> -. u oR <_ d ) )
821 815 820 pm2.65d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> -. ( u ` X ) = 0 )
822 821 neqned 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) =/= 0 )
823 763 822 193 sylanbrc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u ` X ) e. NN )
824 823 nnge1d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> 1 <_ ( u ` X ) )
825 824 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> 1 <_ ( u ` X ) )
826 175 breq2d 
 |-  ( i = X -> ( 1 <_ ( u ` i ) <-> 1 <_ ( u ` X ) ) )
827 825 826 syl5ibrcom 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( i = X -> 1 <_ ( u ` i ) ) )
828 827 imp 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) /\ i = X ) -> 1 <_ ( u ` i ) )
829 761 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. NN0 )
830 829 nn0ge0d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> 0 <_ ( u ` i ) )
831 830 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) /\ -. i = X ) -> 0 <_ ( u ` i ) )
832 828 831 ifpimpda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if- ( i = X , 1 <_ ( u ` i ) , 0 <_ ( u ` i ) ) )
833 brif1 
 |-  ( if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) <-> if- ( i = X , 1 <_ ( u ` i ) , 0 <_ ( u ` i ) ) )
834 832 833 sylibr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) )
835 834 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) )
836 71 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) Fn I )
837 17 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> I e. _V )
838 80 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ` i ) = if ( i = X , 1 , 0 ) )
839 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) = ( u ` i ) )
840 836 772 837 837 74 838 839 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u <-> A. i e. I if ( i = X , 1 , 0 ) <_ ( u ` i ) ) )
841 835 840 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u )
842 18 psrbagcon 
 |-  ( ( u e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) oR <_ u ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ u ) )
843 758 759 841 842 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ u ) )
844 843 simpld 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } )
845 eqidd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) = ( d ` i ) )
846 810 836 837 837 74 845 838 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
847 772 776 837 837 74 839 846 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
848 769 847 mpbid 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
849 848 r19.21bi 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
850 829 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. RR )
851 62 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. RR )
852 802 ffvelcdmda 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. NN0 )
853 852 nn0red 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( d ` i ) e. RR )
854 850 851 853 lesubaddd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) <-> ( u ` i ) <_ ( ( d ` i ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
855 849 854 mpbird 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) )
856 855 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> A. i e. I ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) )
857 772 836 837 837 74 offn 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) Fn I )
858 772 836 837 837 74 839 838 ofval 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ` i ) = ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) )
859 857 810 837 837 74 858 845 ofrfval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d <-> A. i e. I ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) <_ ( d ` i ) ) )
860 856 859 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oR <_ d )
861 756 844 860 elrabd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } )
862 829 nn0cnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( u ` i ) e. CC )
863 239 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> if ( i = X , 1 , 0 ) e. CC )
864 862 863 npcand 
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) /\ i e. I ) -> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) = ( u ` i ) )
865 864 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) )
866 857 836 837 837 74 858 838 offval 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( i e. I |-> ( ( ( u ` i ) - if ( i = X , 1 , 0 ) ) + if ( i = X , 1 , 0 ) ) ) )
867 761 feqmptd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u = ( i e. I |-> ( u ` i ) ) )
868 865 866 867 3eqtr4rd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) -> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
869 oveq1 
 |-  ( m = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) )
870 869 eqeq2d 
 |-  ( m = ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) -> ( u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u = ( ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) )
871 755 861 868 870 rspceb2dv 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( E. m e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } u = ( m oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) )
872 456 720 871 3bitrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) <-> u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } ) )
873 872 eqrdv 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) } )
874 difrab 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) = { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) /\ -. ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) ) }
875 873 874 eqtr4di 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
876 difssd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
877 875 876 eqsstrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } )
878 704 877 115 fmptssfisupp 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
879 difss 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d }
880 disjdif 
 |-  ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/)
881 ssdisj 
 |-  ( ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) C_ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } /\ ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/) ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/) )
882 879 880 881 mp2an 
 |-  ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) ) = (/)
883 882 ineqcomi 
 |-  ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = (/)
884 883 a1i 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) i^i ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = (/) )
885 281 101 psdmullem 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) = ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) )
886 875 885 eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) = ( ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) u. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) ) )
887 9 106 10 13 697 700 878 884 886 gsumsplit2 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
888 693 887 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( ( b e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` b ) ( .r ` R ) ( G ` ( d oF - b ) ) ) ) o. ( u e. ( oF + " ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } X. { ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) } ) ) |-> ( u oF - ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
889 427 593 888 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) ` d ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
890 417 adantr 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) e. B )
891 1 2 37 4 18 387 890 14 psrmulval 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ` d ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) ) )
892 8 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> G e. B )
893 1 2 18 287 892 249 psdcoef 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) )
894 269 fveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) )
895 894 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF - u ) oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) )
896 893 895 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) )
897 896 oveq2d 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) = ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
898 311 nn0zd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. ZZ )
899 9 26 37 mulgass3 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ ( F ` u ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
900 226 898 230 273 899 syl13anc 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
901 897 900 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) /\ u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) -> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) = ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) )
902 901 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) = ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) )
903 902 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ` ( d oF - u ) ) ) ) ) = ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) )
904 9 10 13 223 323 277 284 gsummptfidmsplit 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
905 891 903 904 3eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ` d ) = ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) )
906 421 423 424 424 425 889 905 offval 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) oF ( +g ` R ) ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
907 419 906 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) = ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( u ` X ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( R gsum ( u e. ( { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | k oR <_ d } \ { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } ) |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsum ( u e. { k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | ( k oR <_ d /\ ( k ` X ) = 0 ) } |-> ( ( ( ( d oF - u ) ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( F ` u ) ( .r ` R ) ( G ` ( ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) oF - u ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
908 411 413 907 3eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( F .x. G ) ) = ( ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) .x. G ) .+ ( F .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` G ) ) ) )