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Theorem fourierdlem73

Description: A version of the Riemann Lebesgue lemma: as r increases, the integral in S goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem73.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
fourierdlem73.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
fourierdlem73.f ( 𝜑𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
fourierdlem73.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ )
fourierdlem73.qf ( 𝜑𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
fourierdlem73.q0 ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
fourierdlem73.qm ( 𝜑 → ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 )
fourierdlem73.qilt ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
fourierdlem73.fcn ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem73.l ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
fourierdlem73.r ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
fourierdlem73.g 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
fourierdlem73.gcn ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem73.gbd ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
fourierdlem73.s 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
fourierdlem73.d 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
Assertion fourierdlem73 ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem73.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
2 fourierdlem73.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
3 fourierdlem73.f ( 𝜑𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
4 fourierdlem73.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ )
5 fourierdlem73.qf ( 𝜑𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
6 fourierdlem73.q0 ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
7 fourierdlem73.qm ( 𝜑 → ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 )
8 fourierdlem73.qilt ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
9 fourierdlem73.fcn ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
10 fourierdlem73.l ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
11 fourierdlem73.r ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
12 fourierdlem73.g 𝐺 = ( ℝ D 𝐹 )
13 fourierdlem73.gcn ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
14 fourierdlem73.gbd ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
15 fourierdlem73.s 𝑆 = ( 𝑟 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
16 fourierdlem73.d 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
17 cncff ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
18 13 17 syl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
19 ax-resscn ℝ ⊆ ℂ
20 19 a1i ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
21 1 2 iccssred ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
22 5 21 fssd ( 𝜑𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
23 22 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
24 elfzofz ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
25 24 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
26 23 25 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
27 fzofzp1 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
28 27 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
29 23 28 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
30 26 29 iccssred ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
31 limccl ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) ⊆ ℂ
32 31 11 sseldi ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
33 32 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ℂ )
34 limccl ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
35 34 10 sseldi ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
36 35 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ℂ )
37 3 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
38 1 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
39 2 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
40 26 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
41 29 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
42 simpr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
43 eliccre ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
44 40 41 42 43 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
45 1 rexrd ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ* )
46 45 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
47 2 rexrd ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ* )
48 47 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
49 5 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
50 49 25 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
51 iccgelb ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄𝑖 ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄𝑖 ) )
52 46 48 50 51 syl3anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄𝑖 ) )
53 52 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝑄𝑖 ) )
54 40 rexrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* )
55 41 rexrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
56 iccgelb ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑥 )
57 54 55 42 56 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑥 )
58 38 40 44 53 57 letrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴𝑥 )
59 iccleub ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
60 54 55 42 59 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
61 45 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
62 47 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
63 49 28 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
64 63 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
65 iccleub ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
66 61 62 64 65 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ 𝐵 )
67 44 41 39 60 66 letrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥𝐵 )
68 38 39 44 58 67 eliccd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
69 37 68 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ )
70 36 69 ifcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ∈ ℂ )
71 33 70 ifcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
72 71 16 fmptd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 : ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
73 eqid ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
74 73 tgioo2 ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
75 iccntr ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
76 26 29 75 syl2anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
77 20 30 72 74 73 76 dvresntr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
78 ioossicc ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79 78 sseli ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
80 79 adantl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
81 fvres ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹𝑥 ) )
82 80 81 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹𝑥 ) )
83 80 71 syldan ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
84 16 fvmpt2 ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐷𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
85 80 83 84 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
86 26 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
87 80 54 syldan ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* )
88 80 55 syldan ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
89 simpr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
90 ioogtlb ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < 𝑥 )
91 87 88 89 90 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < 𝑥 )
92 86 91 gtned ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄𝑖 ) )
93 92 neneqd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) )
94 93 iffalsed ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) )
95 elioore ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
96 95 adantl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
97 iooltub ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
98 87 88 89 97 syl3anc ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
99 96 98 ltned ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
100 99 neneqd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
101 100 iffalsed ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
102 85 94 101 3eqtrrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑥 ) = ( 𝐷𝑥 ) )
103 82 102 eqtr2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
104 103 ralrimiva ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
105 ffn ( 𝐷 : ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → 𝐷 Fn ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
106 72 105 syl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 Fn ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
107 ffn ( 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
108 3 107 syl ( 𝜑𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
109 108 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
110 simpr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
111 46 48 49 110 fourierdlem8 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
112 fnssres ( ( 𝐹 Fn ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
113 109 111 112 syl2anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
114 78 a1i ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
115 fvreseq ( ( ( 𝐷 Fn ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) Fn ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
116 106 113 114 115 syl21anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( 𝐷𝑥 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
117 104 116 mpbird ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
118 114 resabs1d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
119 117 118 eqtrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
120 119 oveq2d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐷 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
121 3 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
122 21 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
123 114 30 sstrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
124 73 74 dvres ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
125 20 121 122 123 124 syl22anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
126 12 eqcomi ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺
127 126 a1i ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐹 ) = 𝐺 )
128 iooretop ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
129 retop ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
130 uniretop ℝ = ( topGen ‘ ran (,) )
131 130 isopn3 ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) → ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
132 129 123 131 sylancr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ↔ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
133 128 132 mpbii ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
134 127 133 reseq12d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135 125 134 eqtrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
136 77 120 135 3eqtrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
137 136 feq1d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) )
138 18 137 mpbird ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
139 138 feqmptd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
140 139 136 eqtr3d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
141 ioombl ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol
142 141 a1i ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
143 26 29 8 ltled ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
144 volioo ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄𝑖 ) ) )
145 26 29 143 144 syl3anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄𝑖 ) ) )
146 29 26 resubcld ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑄𝑖 ) ) ∈ ℝ )
147 145 146 eqeltrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
148 14 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
149 nfv 𝑥 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ )
150 nfra1 𝑥𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦
151 149 150 nfan 𝑥 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
152 simpr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153 fdm ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
154 18 153 syl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
155 154 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
156 152 155 eleqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
157 fvres ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺𝑥 ) )
158 156 157 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺𝑥 ) )
159 158 fveq2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) )
160 159 ad4ant14 ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) )
161 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
162 ssdmres ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 ↔ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
163 154 162 sylibr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐺 )
164 163 sselda ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
165 156 164 syldan ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
166 165 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
167 rsp ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( 𝑥 ∈ dom 𝐺 → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
168 161 166 167 sylc ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
169 168 adantllr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
170 160 169 eqbrtrd ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
171 170 ex ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
172 151 171 ralrimi ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
173 172 ex ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
174 173 reximdva ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
175 148 174 mpd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
176 142 147 13 175 cnbdibl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
177 140 176 eqeltrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
178 177 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ 𝐿1 )
179 141 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ dom vol )
180 147 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
181 140 13 eqeltrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
182 181 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
183 coscn cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
184 183 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
185 ioosscn ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
186 185 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
187 simpr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
188 187 recnd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
189 ssid ℂ ⊆ ℂ
190 189 a1i ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ℂ ⊆ ℂ )
191 186 188 190 constcncfg ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
192 185 a1i ( 𝜑 → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
193 189 a1i ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ )
194 192 193 idcncfg ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
195 194 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
196 191 195 mulcncf ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
197 184 196 cncfmpt1f ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
198 197 negcncfg ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
199 182 198 mulcncf ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
200 nfv 𝑥 ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
201 200 150 nfan 𝑥 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
202 136 fveq1d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
203 202 157 sylan9eq ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺𝑥 ) )
204 203 fveq2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) )
205 204 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) )
206 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
207 164 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺 )
208 206 207 167 sylc ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
209 205 208 eqbrtrd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
210 209 ex ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
211 201 210 ralrimi ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
212 211 ex ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
213 212 reximdv ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ dom 𝐺 ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
214 148 213 mpd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
215 214 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
216 eqidd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) )
217 fveq2 ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) )
218 eleq1w ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
219 218 anbi2d ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
220 fveq2 ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝐺𝑥 ) = ( 𝐺𝑧 ) )
221 217 220 eqeq12d ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺𝑥 ) ↔ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺𝑧 ) ) )
222 219 221 imbi12d ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺𝑥 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺𝑧 ) ) ) )
223 222 203 chvarvv ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺𝑧 ) )
224 217 223 sylan9eqr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺𝑧 ) )
225 oveq2 ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · 𝑧 ) )
226 225 fveq2d ( 𝑥 = 𝑧 → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
227 226 negeqd ( 𝑥 = 𝑧 → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
228 227 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) )
229 224 228 oveq12d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
230 229 adantllr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑧 ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
231 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
232 fvres ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺𝑧 ) )
233 232 adantl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐺𝑧 ) )
234 18 ffvelrnda ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ∈ ℂ )
235 233 234 eqeltrrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺𝑧 ) ∈ ℂ )
236 235 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐺𝑧 ) ∈ ℂ )
237 simpl ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
238 elioore ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
239 238 adantl ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
240 237 239 remulcld ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ )
241 240 recnd ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℂ )
242 241 coscld ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
243 242 negcld ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
244 243 adantll ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ∈ ℂ )
245 236 244 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℂ )
246 216 230 231 245 fvmptd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
247 246 fveq2d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
248 247 ad4ant14 ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
249 245 abscld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
250 249 ad4ant14 ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ∈ ℝ )
251 236 abscld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ∈ ℝ )
252 251 ad4ant14 ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ∈ ℝ )
253 simpllr ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
254 244 abscld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ∈ ℝ )
255 1red ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
256 236 absge0d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) )
257 242 absnegd ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) = ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) )
258 abscosbd ( ( 𝑟 · 𝑧 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
259 240 258 syl ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
260 257 259 eqbrtrd ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
261 260 adantll ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ≤ 1 )
262 254 255 251 256 261 lemul2ad ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) · 1 ) )
263 236 244 absmuld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) · ( abs ‘ - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) )
264 251 recnd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ∈ ℂ )
265 264 mulid1d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) · 1 ) = ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) )
266 265 eqcomd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) = ( ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) · 1 ) )
267 262 263 266 3brtr4d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) )
268 267 ad4ant14 ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) )
269 simpr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
270 nfra1 𝑥𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦
271 200 270 nfan 𝑥 ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
272 204 eqcomd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
273 272 adantr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
274 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
275 273 274 eqbrtrd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
276 275 ex ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
277 276 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
278 271 277 ralimdaa ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) )
279 269 278 mpd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
280 220 fveq2d ( 𝑥 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) )
281 280 breq1d ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
282 281 cbvralvw ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
283 279 282 sylib ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
284 283 ad4ant14 ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
285 284 r19.21bi ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
286 250 252 253 268 285 letrd ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺𝑧 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑧 ) ) ) ) ≤ 𝑦 )
287 248 286 eqbrtrd ( ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
288 287 ralrimiva ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
289 138 ffvelrnda ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
290 289 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
291 simpl ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
292 95 adantl ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
293 291 292 remulcld ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
294 293 recnd ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
295 294 coscld ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
296 295 negcld ( ( 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
297 296 adantll ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
298 290 297 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
299 298 ralrimiva ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
300 dmmptg ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
301 299 300 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
302 301 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
303 302 raleqdv ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
304 288 303 mpbird ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
305 304 ex ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
306 305 reximdva ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 ) )
307 215 306 mpd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ dom ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ‘ 𝑧 ) ) ≤ 𝑦 )
308 179 180 199 307 cnbdibl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
309 308 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
310 289 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
311 simpr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
312 185 sseli ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
313 312 ad2antlr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑥 ∈ ℂ )
314 311 313 mulcld ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
315 314 coscld ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
316 293 ancoms ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
317 abscosbd ( ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
318 316 317 syl ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
319 318 adantll ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ≤ 1 )
320 16 a1i ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) ) )
321 26 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
322 8 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
323 eqcom ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
324 323 biimpri ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
325 324 adantl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥 )
326 322 325 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < 𝑥 )
327 321 326 gtned ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄𝑖 ) )
328 327 neneqd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) )
329 328 iffalsed ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) )
330 iftrue ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) = 𝐿 )
331 330 adantl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) = 𝐿 )
332 329 331 eqtrd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) = 𝐿 )
333 29 leidd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
334 26 29 29 143 333 eliccd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
335 320 332 334 10 fvmptd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = 𝐿 )
336 335 35 eqeltrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
337 336 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
338 eqid ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
339 iftrue ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
340 339 adantl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) = 𝑅 )
341 26 rexrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* )
342 29 rexrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
343 lbicc2 ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
344 341 342 143 343 syl3anc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
345 320 340 344 11 fvmptd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) = 𝑅 )
346 345 32 eqeltrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ∈ ℂ )
347 346 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ∈ ℂ )
348 eqid ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) )
349 eqid ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
350 simpr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
351 4 nnrpd ( 𝜑𝑀 ∈ ℝ+ )
352 351 adantr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℝ+ )
353 350 352 rpdivcld ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
354 353 adantlr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ+ )
355 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
356 29 recnd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
357 356 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
358 355 357 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
359 358 coscld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
360 29 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
361 187 360 remulcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
362 abscosbd ( ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
363 361 362 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
364 363 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ≤ 1 )
365 26 recnd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℂ )
366 365 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℂ )
367 355 366 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ∈ ℂ )
368 367 coscld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ∈ ℂ )
369 26 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
370 187 369 remulcld ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ∈ ℝ )
371 abscosbd ( ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ∈ ℝ → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
372 370 371 syl ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
373 372 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) ≤ 1 )
374 fveq2 ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) )
375 374 fveq2d ( 𝑧 = 𝑥 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) )
376 375 cbvitgv ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥
377 376 oveq2i ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 )
378 377 oveq1i ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) )
379 378 oveq1i ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 )
380 379 fveq2i ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) )
381 380 oveq1i ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑧 ) ) d 𝑧 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) + ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) d 𝑥 ) / ( 𝑒 / 𝑀 ) ) + 1 ) ) + 1 )
382 178 309 310 315 319 337 338 347 348 349 354 359 364 368 373 381 fourierdlem47 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
383 simplll ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
384 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
385 elioore ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
386 385 adantl ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
387 0red ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
388 nnre ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ )
389 388 adantr ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ )
390 nngt0 ( 𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚 )
391 390 adantr ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑚 )
392 389 rexrd ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 ∈ ℝ* )
393 pnfxr +∞ ∈ ℝ*
394 393 a1i ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
395 simpr ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) )
396 ioogtlb ( ( 𝑚 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
397 392 394 395 396 syl3anc ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑚 < 𝑟 )
398 387 389 386 391 397 lttrd ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
399 386 398 elrpd ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
400 399 adantll ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
401 26 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
402 29 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
403 72 ffvelrnda ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷𝑥 ) ∈ ℂ )
404 403 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷𝑥 ) ∈ ℂ )
405 rpcn ( 𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℂ )
406 405 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
407 44 recnd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
408 407 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
409 406 408 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
410 409 sincld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
411 404 410 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
412 401 402 411 itgioo ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
413 143 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
414 72 feqmptd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷𝑥 ) ) )
415 iftrue ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = 𝐿 )
416 330 415 eqtr4d ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
417 416 adantl ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
418 iffalse ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
419 418 adantl ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) )
420 54 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* )
421 55 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
422 44 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
423 26 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
424 44 adantr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
425 57 adantr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑥 )
426 neqne ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄𝑖 ) )
427 426 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) → 𝑥 ≠ ( 𝑄𝑖 ) )
428 423 424 425 427 leneltd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < 𝑥 )
429 428 adantr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < 𝑥 )
430 44 adantr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
431 29 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
432 60 adantr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
433 323 biimpi ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑥𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
434 433 necon3bi ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
435 434 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ≠ 𝑥 )
436 430 431 432 435 leneltd ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
437 436 adantlr ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
438 420 421 422 429 437 eliood ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
439 fvres ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹𝑥 ) )
440 438 439 syl ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹𝑥 ) )
441 iffalse ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
442 441 eqcomd ( ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) → ( 𝐹𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) )
443 442 adantl ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐹𝑥 ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) )
444 419 440 443 3eqtrrd ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
445 417 444 pm2.61dan ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) )
446 445 ifeq2da ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) = if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
447 446 mpteq2dva ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( 𝐹𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
448 320 414 447 3eqtr3d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
449 eqid ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) )
450 200 449 26 29 9 10 11 cncfiooicc ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑥 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , if ( 𝑥 = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) , 𝐿 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
451 448 450 eqeltrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐷𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
452 414 451 eqeltrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
453 452 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐷 ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
454 eqid ( ℝ D 𝐷 ) = ( ℝ D 𝐷 )
455 136 13 eqeltrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
456 455 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ℝ D 𝐷 ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
457 214 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑦 )
458 simpr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
459 401 402 413 453 454 456 457 458 fourierdlem39 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
460 412 459 eqtr3d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
461 383 384 400 460 syl21anc ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) )
462 461 fveq2d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) )
463 462 breq1d ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
464 463 ralbidva ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
465 464 rexbidva ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
466 465 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ( ( ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) / 𝑟 ) ) − ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑄𝑖 ) ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) / 𝑟 ) ) ) − ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( ( ℝ D 𝐷 ) ‘ 𝑥 ) · - ( ( cos ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) / 𝑟 ) ) d 𝑥 ) ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
467 382 466 mpbird ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
468 467 an32s ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
469 102 oveq1d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
470 469 itgeq2dv ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
471 470 eqcomd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
472 471 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
473 26 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
474 29 adantr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
475 403 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐷𝑥 ) ∈ ℂ )
476 385 recnd ( 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
477 476 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
478 407 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
479 477 478 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
480 479 sincld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
481 475 480 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
482 473 474 481 itgioo ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
483 69 adantlr ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ )
484 483 480 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
485 473 474 484 itgioo ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
486 472 482 485 3eqtr3d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
487 486 fveq2d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
488 487 breq1d ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
489 488 ralbidva ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
490 489 adantlr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
491 490 rexbidv ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐷𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
492 468 491 mpbid ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
493 492 ralrimiva ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
494 493 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
495 nfv 𝑖 ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ )
496 nfra1 𝑖𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
497 495 496 nfan 𝑖 ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
498 nfv 𝑟 ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ )
499 nfcv 𝑟 ( 0 ..^ 𝑀 )
500 nfcv 𝑟
501 nfra1 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
502 500 501 nfrex 𝑟𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
503 499 502 nfralw 𝑟𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
504 498 503 nfan 𝑟 ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
505 nfmpt1 𝑖 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
506 fzofi ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin
507 506 a1i ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
508 simpr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
509 eqid { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } = { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) }
510 eqid ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) )
511 eqid sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < ) = sup ( ran ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ inf ( { 𝑚 ∈ ℕ ∣ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) } , ℝ , < ) ) , ℝ , < )
512 497 504 505 507 508 509 510 511 fourierdlem31 ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
513 simpr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
514 nfv 𝑛 ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ )
515 nfre1 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
516 514 515 nfan 𝑛 ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
517 nfv 𝑟 𝑛 ∈ ℕ
518 nfra1 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 )
519 498 517 518 nf3an 𝑟 ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
520 simpll ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝜑 )
521 elioore ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℝ )
522 521 adantl ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
523 0red ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 ∈ ℝ )
524 nnre ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
525 524 adantr ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
526 nngt0 ( 𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛 )
527 526 adantr ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑛 )
528 525 rexrd ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 ∈ ℝ* )
529 393 a1i ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
530 simpr ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
531 ioogtlb ( ( 𝑛 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
532 528 529 530 531 syl3anc ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑛 < 𝑟 )
533 523 525 522 527 532 lttrd ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 0 < 𝑟 )
534 522 533 elrpd ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
535 534 adantll ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
536 1 adantr ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
537 2 adantr ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
538 3 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ )
539 538 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ )
540 405 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
541 21 sselda ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
542 541 recnd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
543 542 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
544 540 543 mulcld ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
545 544 sincld ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
546 539 545 mulcld ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
547 536 537 546 itgioo ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
548 6 eqcomd ( 𝜑𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
549 7 eqcomd ( 𝜑𝐵 = ( 𝑄𝑀 ) )
550 548 549 oveq12d ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
551 550 adantr ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
552 551 itgeq1d ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
553 0zd ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → 0 ∈ ℤ )
554 nnuz ℕ = ( ℤ ‘ 1 )
555 0p1e1 ( 0 + 1 ) = 1
556 555 fveq2i ( ℤ ‘ ( 0 + 1 ) ) = ( ℤ ‘ 1 )
557 554 556 eqtr4i ℕ = ( ℤ ‘ ( 0 + 1 ) )
558 4 557 eleqtrdi ( 𝜑𝑀 ∈ ( ℤ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
559 558 adantr ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ( ℤ ‘ ( 0 + 1 ) ) )
560 22 adantr ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
561 8 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
562 simpr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
563 550 eqcomd ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
564 563 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) = ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
565 562 564 eleqtrd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
566 565 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
567 566 546 syldan ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
568 26 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
569 29 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
570 114 111 sstrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
571 121 570 feqresmpt ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) )
572 571 9 eqeltrrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
573 572 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
574 sincn sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ )
575 574 a1i ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
576 185 a1i ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
577 405 adantl ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
578 189 a1i ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ℂ ⊆ ℂ )
579 576 577 578 constcncfg ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
580 194 adantr ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
581 579 580 mulcncf ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
582 581 adantr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
583 575 582 cncfmpt1f ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
584 573 583 mulcncf ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
585 eqid ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) )
586 eqid ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
587 eqid ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) )
588 3 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⟶ ℂ )
589 45 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
590 47 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
591 5 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
592 simplr ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
593 589 590 591 592 80 fourierdlem1 ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
594 588 593 ffvelrnd ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ )
595 594 adantllr ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ )
596 577 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
597 312 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
598 596 597 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
599 598 sincld ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
600 571 oveq1d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
601 10 600 eleqtrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
602 601 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
603 rpre ( 𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ )
604 603 adantr ( ( 𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
605 95 adantl ( ( 𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
606 604 605 remulcld ( ( 𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
607 606 adantll ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
608 607 ad2ant2r ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
609 recn ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
610 609 sincld ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
611 610 adantl ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℂ )
612 eqid ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 )
613 eqid ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 )
614 eqid ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) )
615 185 a1i ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
616 577 adantr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
617 569 recnd ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
618 612 615 616 617 constlimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
619 615 613 617 idlimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
620 612 613 614 596 597 618 619 mullimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
621 eqid ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) )
622 sinf sin : ℂ ⟶ ℂ
623 622 a1i ( ⊤ → sin : ℂ ⟶ ℂ )
624 623 feqmptd ( ⊤ → sin = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) )
625 624 574 eqeltrrdi ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) )
626 19 a1i ( ⊤ → ℝ ⊆ ℂ )
627 resincl ( 𝑦 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
628 627 adantl ( ( ⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ 𝑦 ) ∈ ℝ )
629 621 625 626 626 628 cncfmptssg ( ⊤ → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
630 629 mptru ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ )
631 630 a1i ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
632 603 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ )
633 632 569 remulcld ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
634 fveq2 ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
635 631 633 634 cnmptlimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) lim ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
636 fveq2 ( 𝑦 = ( 𝑟 · 𝑥 ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) )
637 fveq2 ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
638 637 ad2antll ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
639 608 611 620 635 636 638 limcco ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
640 585 586 587 595 599 602 639 mullimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐿 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) lim ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
641 571 oveq1d ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
642 11 641 eleqtrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
643 642 adantlr ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
644 607 ad2ant2r ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) ≠ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℝ )
645 568 recnd ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℂ )
646 612 615 616 645 constlimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑟 ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
647 615 613 645 idlimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ 𝑥 ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
648 612 613 614 596 597 646 647 mullimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
649 632 568 remulcld ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ∈ ℝ )
650 fveq2 ( 𝑦 = ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) → ( sin ‘ 𝑦 ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) )
651 631 649 650 cnmptlimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ 𝑦 ) ) lim ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) )
652 fveq2 ( ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) )
653 652 ad2antll ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝑟 · 𝑥 ) = ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) )
654 644 611 648 651 636 653 limcco ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
655 585 586 587 595 599 643 654 mullimc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑅 · ( sin ‘ ( 𝑟 · ( 𝑄𝑖 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
656 568 569 584 640 655 iblcncfioo ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
657 simpll ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) )
658 68 adantllr ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) )
659 657 658 546 syl2anc ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
660 568 569 656 659 ibliooicc ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
661 553 559 560 561 567 660 itgspltprt ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
662 547 552 661 3eqtrd ( ( 𝜑𝑟 ∈ ℝ+ ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
663 520 535 662 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
664 506 a1i ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
665 69 adantllr ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ )
666 521 recnd ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → 𝑟 ∈ ℂ )
667 666 adantl ( ( 𝜑𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
668 667 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ℂ )
669 407 adantllr ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ )
670 668 669 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑟 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
671 670 sincld ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
672 665 671 mulcld ( ( ( ( 𝜑𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
673 672 adantl3r ( ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
674 simplll ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
675 535 adantr ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
676 simpr ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
677 674 675 676 660 syl21anc ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
678 673 677 itgcl ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
679 664 678 fsumcl ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
680 663 679 eqeltrd ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
681 680 adantllr ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
682 681 3adantl3 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
683 682 abscld ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
684 678 abscld ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
685 664 684 fsumrecl ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
686 685 adantllr ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
687 686 3adantl3 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
688 rpre ( 𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ )
689 688 ad2antlr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
690 689 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → 𝑒 ∈ ℝ )
691 663 fveq2d ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
692 664 678 fsumabs ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
693 691 692 eqbrtrd ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
694 693 adantllr ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
695 694 3adantl3 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
696 506 a1i ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin )
697 0zd ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
698 4 nnzd ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
699 4 nngt0d ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
700 fzolb ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
701 697 698 699 700 syl3anbrc ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
702 ne0i ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
703 701 702 syl ( 𝜑 → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
704 703 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
705 704 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( 0 ..^ 𝑀 ) ≠ ∅ )
706 simp1l ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → 𝜑 )
707 706 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝜑 )
708 simpll2 ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
709 707 708 jca ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) )
710 simplr ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) )
711 simpr ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
712 eleq1w ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
713 712 anbi2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
714 fveq2 ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
715 oveq1 ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
716 715 fveq2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
717 714 716 oveq12d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
718 717 itgeq1d ( 𝑖 = 𝑗 → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
719 718 eleq1d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ↔ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) )
720 713 719 imbi12d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ ) ) )
721 720 678 chvarvv ( ( ( ( 𝜑𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
722 709 710 711 721 syl21anc ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ∈ ℂ )
723 722 abscld ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) ∈ ℝ )
724 353 rpred ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
725 724 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
726 725 ad2antrr ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
727 simpll3 ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
728 rspa ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
729 728 adantr ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
730 718 fveq2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
731 730 breq1d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
732 731 cbvralvw ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
733 729 732 sylib ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
734 rspa ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
735 733 734 sylancom ( ( ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
736 727 710 711 735 syl21anc ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) )
737 696 705 723 726 736 fsumlt ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) )
738 fveq2 ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝑄𝑖 ) )
739 oveq1 ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
740 739 fveq2d ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
741 738 740 oveq12d ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
742 741 itgeq1d ( 𝑗 = 𝑖 → ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
743 742 fveq2d ( 𝑗 = 𝑖 → ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
744 743 cbvsumv Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 )
745 744 a1i ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑗 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) )
746 353 rpcnd ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ )
747 fsumconst ( ( ( 0 ..^ 𝑀 ) ∈ Fin ∧ ( 𝑒 / 𝑀 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
748 506 746 747 sylancr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
749 4 nnnn0d ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ0 )
750 hashfzo0 ( 𝑀 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
751 749 750 syl ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) = 𝑀 )
752 751 oveq1d ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
753 752 adantr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ( ♯ ‘ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) )
754 350 rpcnd ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℂ )
755 352 rpcnd ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℂ )
756 352 rpne0d ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ≠ 0 )
757 754 755 756 divcan2d ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑀 · ( 𝑒 / 𝑀 ) ) = 𝑒 )
758 748 753 757 3eqtrd ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
759 758 adantr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
760 759 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑒 / 𝑀 ) = 𝑒 )
761 737 745 760 3brtr3d ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
762 683 687 690 695 761 lelttrd ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
763 762 ex ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
764 519 763 ralrimi ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
765 764 3exp ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
766 765 adantr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) ) )
767 516 766 reximdai ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
768 513 767 mpd ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
769 512 768 syldan ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )
770 769 ex ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
771 770 ralimdva ( 𝜑 → ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑚 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑚 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( ( 𝑄𝑖 ) [,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < ( 𝑒 / 𝑀 ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 ) )
772 494 771 mpd ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑟 ∈ ( 𝑛 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( 𝐹𝑥 ) · ( sin ‘ ( 𝑟 · 𝑥 ) ) ) d 𝑥 ) < 𝑒 )